# 15주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 서식으로 증명을 함께 만들기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 서식의 오프닝부터 마감까지 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 규격을 갖춘 직접 증명 **명제.** $x$가 홀수이면 $x^2 + 3x + 5$는 홀수이다. **설계 — 번역표부터.** 2주차 예제 2.3의 루틴 그대로, 가정(출발점)과 목표(도착점)를 정의로 번역해 먼저 정한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (If) — 출발점 | $x$는 홀수 | $x = 2a + 1$인 정수 $a$가 존재 | | 목표 (Then) — 도착점 | $x^2 + 3x + 5$가 홀수 | $x^2 + 3x + 5 = \underline{\quad(?)\quad}$ 꼴을 만든다 | :::{container} quotebox **확인 13.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 정의 목록(§1.4)의 어느 줄을 어느 방향으로 쓰는 것인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $2(\text{정수}) + 1$ 꼴. 홀수 정의의 ($\Leftarrow$) 방향이다 — 이 꼴을 실제로 만들어 제시하면 홀수라는 결론이 닫힌다(§1.4 확인 6). 출발점(등식 하나)과 도착점(만들 꼴)이 정해졌으니 그 사이는 계산이다. ::: **오프닝.** 조건문이므로 가정을 선언하며 연다. :::{container} quotebox **확인 14.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$라 가정하자." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x$가 홀수라 가정하자." 목표($x^2 + 3x + 5$의 꼴)는 답안이 아니라 번역표에 둔다 — 답안에 "보일 것: ~"라고 적어 두는 것은 좋지만, 목표를 **가정처럼** 쓰는 순간 규범 3 위반이 된다. ::: **몸통 1 — 정의 풀기.** 가정의 "홀수"를 등식으로 바꾼다. 몸통에서 둘 수 있는 유일한 첫 수다. :::{container} quotebox **확인 15.** 둘째 문장을 완성해 보자: "홀수의 정의에 의해 $x = \underline{\quad}$인 정수 $\underline{\quad}$가 존재한다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $x = 2a + 1$인 정수 $a$. 규범 2대로 문자 $a$를 소개하는 형식("~인 정수 $a$가 존재한다")까지가 이 문장이다. ::: **몸통 2 — 목표에 등장하는 식을 전개한다.** 도착점의 주인공은 $x^2 + 3x + 5$다. 가정의 재료 $2a + 1$을 대입해 전개한다. :::{container} quotebox **확인 16.** 전개의 중간 단계를 채워 보자. $(2a+1)^2 = \underline{\quad(1)\quad}$, $3(2a+1) = \underline{\quad(2)\quad}$이고, 두 결과에 $5$까지 더해 정리하면 $x^2 + 3x + 5 = \underline{\quad(3)\quad}$이다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $4a^2 + 4a + 1$ (2) $6a + 3$ (3) $4a^2 + 4a + 1 + 6a + 3 + 5 = 4a^2 + 10a + 9$. 계산은 성실하게 — 중간 단계를 답안에서 건너뛰면 읽는 사람이 검산할 수 없는 답안이 된다. ::: **몸통 3 — 도착점의 꼴로 묶는다.** $4a^2 + 10a + 9$를 $2(\text{정수}) + 1$ 꼴로 재편한다. :::{container} quotebox **확인 17.** $4a^2 + 10a + 9 = 2(\,\underline{\quad}\,) + 1$의 괄호를 채우고, 괄호 안이 정수인 근거를 말해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $4a^2 + 10a + 9 = 2(2a^2 + 5a + 4) + 1$. 홀수 상수 $9$에서 $1$만 남기고 $8$을 앞의 짝수 항들과 함께 2로 묶었다(근거 ③). $2a^2 + 5a + 4$는 정수의 곱과 합이므로 정수다(근거 ②). ::: **마감.** 목표 꼴이 완성되었음을 선언한다. :::{container} quotebox **확인 18.** 마지막 문장을 완성해 보자: "따라서 $\underline{\qquad}$이다. $\blacksquare$" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "따라서 $x^2 + 3x + 5$는 홀수이다. $\blacksquare$" — 정의의 ($\Leftarrow$) 방향으로 결론을 닫는 마감이다. ::: **완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $x$가 홀수라 가정하자. | 서식의 오프닝. 목표는 번역표에 두고, 답안은 가정에서 출발한다(규범 3). | | 홀수의 정의에 의해 $x = 2a+1$인 정수 $a$가 존재한다. | 몸통의 첫 수 — 정의 풀기(근거 ①). 문자 $a$를 소개하는 형식까지가 규범 2다. | | 그러면 $x^2 + 3x + 5 = (2a+1)^2 + 3(2a+1) + 5 = 4a^2 + 4a + 1 + 6a + 3 + 5 = 4a^2 + 10a + 9$이다. | 목표에 등장하는 식을 가정의 재료로 전개(근거 ③). 중간 단계를 건너뛰지 않는다. | | $= 2(2a^2 + 5a + 4) + 1$이고 $2a^2 + 5a + 4 \in \mathbb{Z}$이다. | 도착점 $2(\text{정수})+1$ 꼴로 묶기(근거 ③) + 괄호 안 정수 확인(근거 ②). | | 따라서 $x^2 + 3x + 5$는 홀수이다. $\blacksquare$ | 정의의 ($\Leftarrow$) 방향으로 일치를 선언하며 마감. | **대입 시뮬레이션.** 완성본의 $a$에 $1$을 넣어 읽어 보자: "$x = 3$이 홀수라 하자. $3 = 2 \times 1 + 1$. $9 + 9 + 5 = 23 = 2 \times 11 + 1$. 따라서 $23$은 홀수이다." — 모든 줄이 그대로 작동한다. :::{container} quotebox **확인 19.** $a = -2$(곧 $x = -3$)를 넣으면 셋째 줄과 넷째 줄은 각각 어떤 등식이 되는가. 직접 계산해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 셋째 줄: $x^2 + 3x + 5 = 9 - 9 + 5 = 5$. 넷째 줄: 괄호 안은 $2(-2)^2 + 5(-2) + 4 = 8 - 10 + 4 = 2$이고 $5 = 2 \times 2 + 1$ — 성립한다. 음수 홀수에서도 모든 줄이 그대로 작동한다. 증명의 어느 줄도 $a$가 특정 정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문이다(1주차 확인 13의 일반성 그대로). ::: ### 예제 2.2 — 유리수의 닫힘성 **명제.** 두 유리수의 합은 유리수이다. §1.1에서 막혔던 그 명제다. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다. :::{container} quotebox **확인 20.** 번역표를 채워 보자. 가정: $x, y$는 유리수 $\to$ $x = \underline{\quad}$, $y = \underline{\quad}$인 정수 $a, b, c, d$ ($\underline{\qquad}$)가 존재. 목표: $x + y$가 유리수 $\to$ $x + y$를 어떤 꼴로 만들어야 하는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가정: $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$)가 존재. 유리수가 둘이므로 문자도 두 벌이다 — 서로 다른 대상에는 서로 다른 문자. 목표: $x + y = \frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}$ 꼴. 도착점의 조건이 **두 개**(분자가 정수, 분모가 0이 아닌 정수)라는 것을 설계 단계에서 봐 두면 마지막 점검을 빠뜨리지 않는다. ::: **증명.** $x, y$를 유리수라 하자. 정의에 의해 $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$)가 존재한다. 그러면 $$ x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} $$ 이고, $ad + bc$와 $bd$는 정수이다(근거 ②). 또한 $b \neq 0$이고 $d \neq 0$이므로 $bd \neq 0$이다. 따라서 $x + y$는 유리수의 정의를 만족한다. $\blacksquare$ **"$bd \neq 0$"의 근거.** 0이 아닌 정수끼리의 곱이 0이 아니라는 것은, 2주차 문제 20에서 인정하고 쓰기로 한 사실 "정수 $x, y$에 대해 $xy = 0$이면 $x = 0$ 또는 $y = 0$"(25주차에서 증명)에서 곧장 나온다 — 만약 $bd = 0$이면 $b = 0$ 또는 $d = 0$이어야 하는데 둘 다 아니다. **포인트.** 통분이라는 중1 계산이 그대로 증명의 몸통이다. 다만 $bd \neq 0$ 확인이 빠지면 무엇이 무너지는가 — 분모의 자격이 미확인인 채 "정의를 만족한다"고 선언한 셈이 되어, 정의의 조각 하나($b \neq 0$)가 빈 미완성 답안이 된다. **정의의 모든 조건을 점검**하는 마지막 문장이 증명의 완성을 가른다. ### 예제 2.3 — 존재 명제: 증인 제작 **명제.** 모든 홀수는 연속한 두 정수의 합으로 쓸 수 있다. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 21.** 이 명제의 구조를 분해해 보자. ① 명제 전체의 꼴: 모든 홀수 $n$에 대해, $\underline{\qquad}$가 존재한다. ② 오프닝은 어떤 문장인가. ③ 증인의 후보를 찾기 위해, 가정이 줄 등식 $n = 2k + 1$의 우변을 두 정수의 합으로 쪼개 보자: $2k + 1 = k + \underline{\quad}$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① "합이 $n$인 연속한 두 정수"가 존재한다 — $\forall$ 속에 $\exists$가 든 이중 구조다(10주차 예제 2.3의 순서 구조). ② $\forall$ 오프닝 — "$n$을 홀수라 하자." ③ $2k + 1 = k + (k + 1)$ — 가정이 준 재료 $k$로 증인 쌍 $(k,\ k+1)$을 제작한다. 검증할 것: 두 수가 연속한 정수인가, 합이 $n$인가. ::: **증명.** $n$을 홀수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ n = 2k + 1 = k + (k + 1) $$ 이고, $k$와 $k+1$은 연속한 두 정수이다. 따라서 $n$은 연속한 두 정수의 합이다. $\blacksquare$ **구조 읽기.** 명제는 $\forall n\,(\text{홀수} \Rightarrow \exists\ \text{연속 두 정수의 합 표현})$이다. $\forall$은 "임의의 $n$"으로 열고, $\exists$는 증인 $(k, k+1)$을 가정의 재료 $k$로 제작해 처리했다 — §1.6과 §1.7의 서식 두 개가 한 증명 안에 겹쳐 있다. 1주차 문제 10("연속한 두 정수의 합은 홀수")의 역방향이기도 하다 — 그 문제와 이 예제를 합치면 "홀수 = 연속한 두 정수의 합으로 쓸 수 있는 수"라는 완전한 동치가 된다. ### 관찰 — 서식은 하나, 오프닝이 셋 세 예제를 서식의 부품으로 분해해 대응표의 빈칸을 채워 보자. :::{container} quotebox **확인 22.** 각 칸에 해당하는 문장을 예제에서 찾아 적어 보자. ① 예제 2.1의 오프닝: $\underline{\qquad}$ ② 예제 2.2의 몸통 첫 수(정의 풀기): $\underline{\qquad}$ ③ 예제 2.3의 증인 제작과 검증: $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① "$x$가 홀수라 가정하자." — 조건문 오프닝. ② "정의에 의해 $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$)가 존재한다." ③ "$n = 2k + 1 = k + (k+1)$이고, $k$와 $k+1$은 연속한 두 정수이다." 오프닝과 결론 처리만 다르고, 몸통과 마감의 문법 — 정의 풀기, 변형, 정의와의 일치 선언 — 은 셋이 같다. ::: 방금 확인한 것을 규칙으로 굳힌다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **오프닝 선택 규칙** 명제의 꼴이 첫 문장을 정한다. ① "$P$이면 $Q$이다" $\to$ "$P$라 가정하자." ② "모든 ~에 대해 …" $\to$ "~을 임의의 …라 하자." ③ "~가 존재한다" $\to$ "증인 ~을 제시한다." (이후 검증이 본체) 몸통과 마감은 공통이다 — 정의$\cdot$가정$\cdot$대수$\cdot$기증명 명제로 변형하고, "따라서 $Q$이다. $\blacksquare$"로 닫는다. ::: 문제 5가 이 규칙의 연습 자리다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 **명제.** $x, y$가 유리수이면 $xy$도 유리수이다. **증명.** $x, y$를 유리수라 하자. 정의에 의해 $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b, d \neq 0$)가 존재한다. 그러면 $$ xy = \underline{\quad(1)\quad} $$ 이고, $ac$와 $bd$는 $\underline{\quad(2)\quad}$이며, $b \neq 0$, $d \neq 0$이므로 $\underline{\quad(3)\quad}$이다. 따라서 $xy$는 유리수이다. $\blacksquare$ ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** $x$가 유리수이면 $3x + 1$은 유리수이다. **증명.** $x$가 유리수라 $\underline{\quad(1)\quad}$하자. 정의에 의해 $x = \underline{\quad(2)\quad}$인 정수 $a, b$ ($b \neq 0$)가 존재한다. 그러면 $$ 3x + 1 = \frac{3a}{b} + 1 = \underline{\quad(3)\quad} $$ 이고, $3a + b$는 $\underline{\quad(4)\quad}$이며(근거 $\underline{\quad(5)\quad}$), $b$도 정수이고 $b \neq 0$이다. 따라서 $3x + 1$은 $\underline{\quad(6)\quad}$의 정의를 만족하므로 유리수이다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 서식의 각 칸을 통째로 채운다. ($\forall$ 오프닝 $\to$ 증인 제시 $\to$ 검증 두 건 $\to$ 마감) **명제.** 임의의 유리수 $x$에 대해, $x$보다 큰 유리수가 존재한다. **증명의 뼈대.** - ① 오프닝: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 증인 제시: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 검증(유리수인가 / $x$보다 큰가)과 마감: $\underline{\quad(3)\quad}$ (증인 후보가 떠오르지 않으면 예제 2.3을 다시 본다 — 가정의 재료 $x$로 만든다. 이 훈련이 문제 17의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 증명 문제는 번역표(예제 2.1의 설계)부터 채우고, 답안은 서식(오프닝 $\to$ 몸통 $\to$ 마감)을 지킨다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "$\frac{7}{3}$은 유리수다(맞음)"는 0점이고, "$7, 3 \in \mathbb{Z}$이고 $3 \neq 0$이므로 정의를 만족한다"가 만점이다. 증명 문제는 여기에 두 가지가 더 얹힌다 — 서식(오프닝$\cdot$마감의 고정 문구)과 규범 1~3(문장$\cdot$문자 소개$\cdot$결론 가정 금지)도 채점 대상이다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** 정리$\cdot$보조정리$\cdot$따름정리$\cdot$추측 중 알맞은 말을 고르시오. (a) 아직 증명되지 않았지만 참이라 믿어지는 명제 (b) 큰 정리의 증명에 쓰이는 디딤돌 결과 (c) 정리에서 즉시 따라 나오는 결과 :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.5의 표에서 구분선은 두 개였다 — 증명이 있는가, 다른 결과와의 관계가 무엇인가. 각 항목이 어느 구분선의 어느 쪽인지부터 정한다. ::: **2.** [백지] 소수, 합성수, 유리수의 정의를 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 자가 채점 포인트를 미리 적어 둔다: 소수$\cdot$합성수의 "$n \ge 2$"와 "양의", 합성수의 "$1 < a, b < n$", 유리수의 "실수 $x$"와 "$b \neq 0$"과 "존재한다". 조각이 왜 필요한지는 §1.2~1.3의 삭제 실험이다. ::: **3.** 다음 명제의 If–Then 분해표(가정/결론 + 수식 번역)를 만드시오 (증명은 안 해도 됨). (a) $a \mid b$이면 $a^2 \mid b^2$이다. (b) $x$가 유리수이면 $3x + 1$은 유리수이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.1$\cdot$2.2의 번역표 양식 그대로 두 행이면 된다. 가정 행은 정의를 ($\Rightarrow$) 방향으로 푼 등식, 목표 행은 "~꼴 만들기"로 적는다. ::: **4.** 다음 수를 소수/합성수로 판정하고, 합성수는 정의의 증인($n = ab$)을 제시하시오: $91,\ 97,\ 1$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $91$이 수상하다 — $91 = 70 + 21$로 쪼개 보면 두 덩어리가 공유하는 약수가 보인다. $97$은 "합성수라면 작은 쪽 인수가 어디까지 내려와야 하는가"를 생각하면 확인량이 줄어든다. $1$은 두 정의의 첫 조각부터 본다. ::: **5.** 다음 명제들의 "증명 첫 문장"만 쓰시오 (서식 연습). (a) $n$이 짝수이면 $n^2 - n$은 짝수이다. (b) 모든 정수 $n$에 대해 $2n^2 + n + 1$은 …이다. (c) $x, y$가 모두 무리수이면 …이다. (d) $\exists n \in \mathbb{Z},\ n^2 = n$. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §2 끝의 오프닝 선택 규칙 그대로다. 각 명제의 꼴(조건문 / $\forall$ / $\exists$)부터 판별한다. (c)는 가정이 두 개처럼 보이지만 "모두"로 묶인 하나의 가정이다. ::: **6.** 예제 2.1을 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다 쓴 뒤 완성본의 "왜?" 열로 자가 채점한다 — 다섯 줄이 전부 있는가, 각 줄의 근거(①~④)를 말할 수 있는가. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $x$가 짝수이면 $x^2 - 6x + 5$는 홀수임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 전개하면 상수가 $5$다 — 목표 꼴 $2(\text{정수}) + 1$에 맞추려면 $5 = 4 + 1$로 쪼개 $4$를 짝수 항들 쪽으로 보낸다. 1주차 문제 7에서 쓴 그 기술이다. ::: **8.** $a \mid b$이면 $a \mid (5b^2 - 3b)$임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 목표 꼴은 $5b^2 - 3b = a \times (\text{정수})$다. $b = ak$를 **모든** $b$ 자리에 대입하면 각 항에 $a$가 살아 있다 — 공통인수로 묶는다. ::: **9.** 두 유리수의 차는 유리수임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.2에서 부호 하나만 바뀐다 — 통분, 분자$\cdot$분모의 정수성, 분모 $\neq 0$의 세 점검이 그대로 반복된다. ::: **10.** $m$이 짝수이고 $n$이 홀수이면 $m^2 + n^2$은 홀수임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 가정이 두 개이므로 정의도 두 번, 문자도 두 벌($m = 2a$, $n = 2b + 1$)이다. 전개한 뒤 상수 $1$만 남기고 나머지에서 2를 묶는다. ::: **11.** $r$이 0이 아닌 유리수이면 $\dfrac{1}{r}$도 유리수임을 증명하시오. (주의: $\frac{1}{r} = \frac{b}{a}$라 쓰기 전에 확인할 것이 하나 있다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 뒤집은 표현 $\frac{b}{a}$가 정의를 만족하려면 새 분모 $a$의 자격을 심사해야 한다. 정의가 보장하는 것은 $b \neq 0$뿐이다 — $a = 0$이면 $r$은 무엇이 되는가. 가정과 대조해 보자. ::: **12.** 모든 정수 $a$에 대해 $a^2 + a + 1$은 홀수임을 증명하시오. (힌트: $a^2 + a$는 1주차 문제 16) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 오프닝부터 — 조건문이 아니라 $\forall$ 명제다. 몸통은 보조정리 인용(근거 ④) 한 번이 거의 전부다. ::: **13.** 모든 정수 $n$에 대해 $5 \mid (10n^2 + 5n + 25)$임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 항 $10n^2$, $5n$, $25$가 공통으로 갖는 인수를 묶으면 목표 꼴 $5 \times (\text{정수})$가 한 줄에 나온다. ::: **14.** $n$이 홀수이면 $n$은 두 제곱수의 차로 쓸 수 있음을 증명하시오. (힌트: 예제 2.3처럼 증인을 제작 — $(k+1)^2 - k^2$을 계산해 보라) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 문제의 힌트 계산을 실제로 해 보면 결과가 홀수의 정의 꼴 그대로다 — 가정이 준 $k$가 그대로 증인의 재료가 된다. ::: ### 도전 ●●● **15.** $r, s$가 유리수이고 $s \neq 0$이면 $\dfrac{r}{s}$는 유리수임을 증명하시오. (문제 11을 보조정리로 인용해도 좋고, 처음부터 해도 좋다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 조립 경로: $\frac{r}{s} = r \cdot \frac{1}{s}$로 쪼개면 문제 11(역수)과 훈련 1(곱)이 맞물린다. $s \neq 0$이 어느 부품의 입장 조건인지 확인한다. ::: **16.** $n$이 홀수이면 $n^2 + 4n + 3$은 4의 배수임을 증명하시오. (힌트: 인수분해 $(n+1)(n+3)$ — 두 인수가 각각 무엇의 배수인가?) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 두 인수 $n + 1$과 $n + 3$을 각각 가정($n = 2k+1$)으로 표현해 보면, 인수마다 2가 하나씩 나온다 — 곱에서 4가 조립된다. ::: **17.** 두 유리수 $a < b$ 사이에는 반드시 유리수가 존재함을 증명하시오. (10주차 예제 2.2(c)의 빚 회수. 증인 후보: $\frac{a+b}{2}$. 증명할 것: ① 유리수다 ② $a$와 $b$ 사이에 있다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 검증이 두 건이다. ① 유리수인 것은 닫힘성 부품 조립 — $a + b$는 예제 2.2, $\frac{1}{2}$을 곱하는 것은 훈련 1. ② 사이에 있는 것은 $a < b$의 양변에 같은 수를 더하고 양수 2로 나누는 변형 — 이 두 변형은 지금은 대수 법칙(근거 ③)으로 인정하고 쓴다(16주차에서 부등식의 성질로 정식화한다). ::: **18.** 다음 '증명'의 문제점을 규범 1~3에 비추어 지적하시오. :::{container} quotebox "명제: $x$가 홀수이면 $x^2$은 홀수이다. 증명: $x^2$이 홀수라 하자. $x^2 = 2k+1$. $x = 2m+1$. $(2m+1)^2 = 4m^2+4m+1$ 홀수. 맞다. $\blacksquare$" ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.8에서 답안 A로 이미 한 번 해부한 답안이다 — 규범 3, 2, 1 순서로 대조하고, 마지막에 올바른 증명으로 고쳐 쓰는 것까지가 완결이다. ::: :::{admonition} 이 문제가 빌려 쓰는 사실과 어법 :class: quotebox 아래 문제 19에서 "$\sqrt{2}$는 무리수이다"는 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다 (21주차에서 증명한다). 그리고 힌트의 논증에는 "만약 ~라면 …가 되어 모순"이라는 어법이 나온다 — 어떤 가정을 놓았더니 이미 확보된 사실과 충돌하면 그 가정을 기각하는 방식이다. 정식 이름과 서식은 21주차(귀류법)에서 배우고, 여기서는 힌트가 시키는 한 걸음만 쓴다. ::: **19.** 두 무리수의 합이 유리수가 되는 예가 존재함을 보이시오. (증인: $\sqrt{2}$와 $-\sqrt{2}$. "$\sqrt{2}$가 무리수"는 21주차에서 증명할 사실로 인정하고, "$-\sqrt{2}$도 무리수"는 다음 힌트로 직접 보이시오: $-\sqrt{2}$가 유리수라면 $(-1) \times (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$도 유리수가 되어(문제 9$\cdot$빈칸의 닫힘성) 모순) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 검증이 세 건이다 — ① $\sqrt{2}$가 무리수(인정하고 쓰는 사실) ② $-\sqrt{2}$도 무리수(문제가 준 미니 논증을 그대로 적는다) ③ 두 수의 합이 유리수(정의 15.1로 확인). ③은 합이 $0$이고 $0 = \frac{0}{1}$임을 정의에 대입하는 한 줄이다. ::: **20.** (서술) "증명의 몸통에서 쓸 수 있는 것은 정의$\cdot$가정$\cdot$대수 법칙$\cdot$기증명 정리뿐"이라는 규칙이 왜 필요한지, "직관적으로 당연한 사실"을 마음대로 쓰면 무엇이 무너지는지 두 문장 이내로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 재료 두 가지 — "당연함"의 기준은 사람마다 다르다는 점, 그리고 1주차 문제 18 ($n^2 + n + 41$)에서 직관이 몇 번째까지 맞다가 틀렸는지. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 서식 카드 허용.** 직접 증명의 서식(§1.6)$\cdot$오프닝 선택 규칙 (§2 관찰)$\cdot$근거 목록(§1.9)만 펴 놓고, 예제 2.1과 2.2를 처음부터 끝까지 적는다. 정의 목록과 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] 소수$\cdot$합성수$\cdot$유리수의 정의를 토씨까지 정확히 썼다 ("$n \ge 2$", "양의", "$1 < a, b < n$", "실수", "$b \neq 0$", "존재한다"). - [ ] 직접 증명의 서식(오프닝 $\to$ 몸통 $\to$ 마감)과 오프닝 선택 규칙 세 가지를 백지에 썼다. - [ ] 예제 2.2(유리수 합)와 2.3(연속 두 정수의 합)을 백지에 처음부터 끝까지 재현했다. - [ ] 재현한 증명에서 오프닝$\cdot$정의 풀기$\cdot$목표 꼴 변형$\cdot$마감을 손가락으로 짚을 수 있다. - [ ] 글쓰기 규범 세 가지를 말로 재현하고, 답안 A(§1.8)의 위반 지점을 지적할 수 있다. - [ ] 정리$\cdot$명제$\cdot$보조정리$\cdot$따름정리$\cdot$추측을 구분해 설명했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 정의가 정확히 기억나지 않는다 | §1.2~1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다 | | 첫 문장이 나오지 않는다 | §2 관찰의 오프닝 선택 규칙 — 명제의 꼴부터 판별한다 | | 통분 다음이 나오지 않는다 | 예제 2.2 — 도착점의 조건 두 개(분자$\cdot$분모)를 하나씩 점검한다 | | 존재 명제에서 증인이 떠오르지 않는다 | 예제 2.3 — 가정의 재료를 등식으로 쪼개 본다 | | 증명이 기호 나열이 된다 | §1.8 규범 1 — 줄마다 "그러면/이므로/따라서"를 붙여 다시 쓴다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $\dfrac{ac}{bd}$ (2) 정수 (근거 ②) (3) $bd \neq 0$ ※ 예제 2.2와 같은 리듬이다 — 계산(분수의 곱셈)보다 마지막 두 점검(분자$\cdot$분모의 정수성, 분모 $\neq 0$)이 채점 포인트다. 이 결과(유리수의 곱 닫힘)는 문제 15, 17, 19에서 부품으로 인용된다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 가정 (2) $\dfrac{a}{b}$ (3) $\dfrac{3a + b}{b}$ (4) 정수 (5) ② (닫힘성) (6) 유리수 ※ (3)의 통분($1 = \frac{b}{b}$)이 유일한 계산이다. 분모가 $b$ 그대로이므로 "$b$는 정수이고 $b \neq 0$"은 가정에서 정의를 푼 것(근거 ①)을 다시 적으면 된다 — 새 분자 $3a + b$만이 닫힘성(근거 ②)을 필요로 한다. 근거 번호를 붙일 때 이 둘을 섞지 않는다. 문제 3(b)의 분해표가 이 증명의 설계도였다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) "$x$를 임의의 유리수라 하자." (2) "$y = x + 1$을 증인으로 제시한다." (3) "$x$는 유리수이고 $1 = \frac{1}{1}$도 유리수이므로, 합 $y = x + 1$은 유리수이다(예제 2.2). 또한 $1 > 0$이므로 $y = x + 1 > x$이다. 따라서 $x$보다 큰 유리수가 존재한다. $\blacksquare$" ※ $\forall$ 오프닝 속의 증인 제작 — 예제 2.3과 같은 이중 구조다. 검증 두 건 (유리수인가, 큰가)을 전부 적어야 완결이다. 검증 ②의 부등식 변형($1 > 0$의 양변에 $x$ 더하기)은 지금은 대수 법칙(근거 ③)으로 인정하고 쓴다 — 16주차에서 부등식의 성질로 정식화한다. 문제 17이 같은 구조의 완성판이다. ### 문제 1 **접근.** §1.5의 용어 표를 두 구분선 — 증명의 유무, 다른 결과와의 관계 — 으로 다시 읽는 문제다. (a)만 "증명 없음" 쪽이고, (b)(c)는 증명된 결과들 사이의 역할 구분이다. **풀이.** (a) **추측** — 참이라 믿어지지만 아직 증명되지 않은 명제. 다섯 용어 중 증명이 없는 것은 추측뿐이다. (b) **보조정리** — 더 큰 정리를 증명하기 위한 디딤돌. 1주차 문제 15$\cdot$16이 문제 17에 대해 맡았던 역할이다(§1.5 확인 7). (c) **따름정리** — 정리에서 짧게 따라 나오는 결과. 증명의 대부분을 본체 정리가 이미 해 두었으므로 남는 것은 짧은 연결뿐이다. **복기.** 다섯 용어는 명제의 다섯 종류가 아니라 한 종류(명제)의 다섯 역할이다. 문헌에서 보조정리를 만나면 "이것은 어느 본체를 위한 디딤돌인가"를 찾는 것이 독해 요령이다. ### 문제 2 **접근.** 백지 암기 확인. 쓰고 나서 §1.4의 목록과 낱말 단위로 대조한다 — 조각 하나가 빠지면 §1.2~1.3의 삭제 실험이 보여 준 붕괴가 그대로 재연되기 때문이다. **풀이.** 다음 세 문장과 대조해 자가 채점한다. - 소수: $n \ge 2$인 정수 $n$의 **양의** 약수가 $1$과 $n$뿐이다. - 합성수: $n \ge 2$인 정수 $n$에 대해, $n = ab$인 정수 $a, b$ ($1 < a, b < n$)가 **존재**한다. - 유리수: **실수** $x$에 대해, $x = \frac{a}{b}$인 **정수** $a, b$ ($b \neq 0$)가 **존재**한다. 채점 포인트: "$n \ge 2$"($1$의 배제), "양의"(음의 약수 배제), "$1 < a, b < n$" (하나마나 한 분해 배제), "실수 $x$"(무대 — 무리수 후보까지 심사 대상이다. "정수 $x$가 …"로 적으면 무리수 판정의 무대가 사라진다), "$b \neq 0$"(분모 보호), "존재한다"(표현 하나면 충분). 하나라도 빠졌으면 해당 삭제 실험(§1.2, §1.3)을 다시 읽고 재암기한다. ### 문제 3 **접근.** 증명 없이 설계만 요구하는 문제다 — 2주차 예제 2.3의 If–Then 분해표 양식 그대로, 가정은 정의를 푼 등식으로, 목표는 "~꼴 만들기"로 번역하면 완결이다. **풀이.** (a) 가정: $a \mid b$ $\to$ 정의 2.1에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재. / 결론: $a^2 \mid b^2$ $\to$ $b^2 = a^2 \times (\text{정수})$ 꼴 만들기. (이 설계의 실행은 2주차 문제 19에서 이미 했다 — $b = ak$의 양변 제곱.) (b) 가정: $x$가 유리수 $\to$ $x = \frac{a}{b}$인 정수 $a, b$ ($b \neq 0$)가 존재. / 결론: $3x + 1$이 유리수 $\to$ $3x + 1 = \frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}$ 꼴 만들기. (실행은 훈련 2에서 했다.) **복기.** 설계 단계에서 증명의 절반이 끝난다 — 출발 등식과 도착 꼴이 정해지면 남는 것은 둘을 잇는 대수뿐이다. ### 문제 4 **접근.** 판정 문제이므로 정의 15.2$\cdot$15.3을 기준으로 놓는다. $91$은 분해 하나를 찾으면 되고(합성수 판정 = $\exists$의 참 = 증인 제시), $97$은 분해가 **없음**을 보여야 하므로 후보 전원을 배제해야 한다($\exists$의 거짓) — 확인량을 줄이는 관찰이 필요하다. 게다가 "분해가 없다"는 정의 15.3의 부정일 뿐이므로, 소수의 정의 15.2("양의 약수가 $1$과 $n$뿐")로 옮기는 다리를 한 번 더 놓아야 한다 — §1.3 확인 4에서 미뤄 둔 확인이다. $1$은 무대 조건부터 본다. **풀이.** - $91$: **합성수.** $91 = 7 \times 13$이고 $1 < 7, 13 < 91$이므로 정의 15.3의 증인 $a = 7$, $b = 13$이 존재한다. (찾는 법: $91 = 70 + 21 = 7(10 + 3)$ — 두 덩어리가 7을 공유한다.) - $97$: **소수.** 만약 $97 = ab$ ($1 < a, b < 97$)라면 두 인수 중 작은 쪽은 $10$ 미만이어야 한다 — 둘 다 $10$ 이상이면 곱이 $100$ 이상이 되어 $97$을 넘기 때문이다. 그런데 $2 \le c \le 9$인 어느 $c$도 $97$을 나누지 않는다: $97$은 홀수이고($2, 4, 6, 8$ 배제), $97 = 3 \times 32 + 1$($3$과 $9$ 배제), 일의 자리가 $7$이라 $5$의 배수가 아니며($5$ 배제), $97 = 7 \times 13 + 6$($7$ 배제)이다. 따라서 $1 < a, b < 97$인 분해는 없다. 여기서 정의 15.2로 건너가려면 다리가 하나 필요하다 — 지금 보인 것은 정의 15.3(분해)의 부정이고, 소수의 정의 15.2는 약수로 적혀 있기 때문이다. 다리: $d$가 $97$의 양의 약수이고 $d \neq 1$, $d \neq 97$이라 하자. $97$의 양의 약수는 $97$ 이하이므로 $1 < d < 97$이고, $e = 97/d$도 $97$의 양의 약수인 정수다. $e = 1$이면 $d = 97$, $e = 97$이면 $d = 1$이 되어 어긋나므로 $1 < e < 97$이다. 그러면 $97 = de$가 정의 15.3의 분해가 되는데, 방금 그런 분해가 없음을 보였다. 따라서 그런 $d$는 없다 — 즉 $97$의 양의 약수는 $1$과 $97$뿐이고, 정의 15.2에 의해 $97$은 소수다. - $1$: **소수도 합성수도 아니다.** 두 정의 모두 "$n \ge 2$"를 요구하므로 $1$은 심사 대상이 아니다(§1.3 확인 5). **복기.** 합성수 판정은 증인 하나, 소수 판정은 후보 전원 배제 — 10주차 비대칭 표의 입증 부담 차이가 판정량의 차이로 나타난다. "작은 쪽 인수는 크기가 제한된다"는 절약 관찰은 큰 수의 소수 판정에서 늘 같은 방식으로 쓰인다. $97$에서 쓴 다리($d \leftrightarrow 97/d$의 짝짓기)는 "가운데 범위의 분해가 없다"와 "양의 약수가 $1$과 $n$뿐이다"가 같은 조건임을 임의의 $n \ge 2$에 대해 보이는 논증이기도 하다 — §1.3 확인 4에서 미룬 확인이 여기서 끝난다. (검산: $7 \times 13 = 91$ ✓) ### 문제 5 **접근.** 오프닝 선택 규칙(§2 관찰)의 적용 연습. 각 명제의 꼴 — 조건문인가, 순수 $\forall$인가, $\exists$인가 — 를 판별하면 첫 문장은 자동으로 정해진다. **풀이.** (a) 조건문 — "$n$이 짝수라 가정하자." (b) 순수 $\forall$ — "$n$을 임의의 정수라 하자." (c) 조건문(가정이 "모두 무리수"라는 하나의 조건) — "$x, y$가 모두 무리수라 가정하자." (d) $\exists$ — "증인으로 $n = 0$을 제시한다." (또는 $n = 1$. 검증까지는 §1.7 확인 10에서 했다.) 존재 증명은 첫 문장부터 증인이다 — "~라 가정하자"로 열 가정 자체가 없다. **복기.** 첫 문장은 창작이 아니라 명제의 꼴이 정하는 규칙이다. 첫 문장이 막힌다면 문장력의 문제가 아니라 꼴 판별의 문제다 — 명제를 다시 읽는다. ### 문제 6 **접근.** 재현 문제의 채점은 완성본 대조로 한다 — 다섯 줄이 전부 있는가부터 줄 단위로 본다. **풀이.** 예제 2.1의 완성본과 대조해 자가 채점한다. 점검 목록: ① 오프닝이 "$x$가 홀수라 가정하자"인가 — 결론에서 출발하지 않았는가(규범 3). ② $a$가 "~인 정수 $a$가 존재한다"로 소개되었는가(규범 2). ③ 전개의 중간 단계($4a^2 + 4a + 1 + 6a + 3 + 5$)가 있는가. ④ $2(2a^2 + 5a + 4) + 1$로 묶고 괄호 안의 정수성을 확인했는가. ⑤ "따라서 ~는 홀수이다. $\blacksquare$"로 마감했는가. "왜?" 열의 내용을 각 줄에서 말로 할 수 있으면 통과다. 하나라도 빠졌으면 §5의 처방 표에서 해당 행을 찾아 그 절만 다시 본다. ### 문제 7 **접근.** 번역표: 가정 $x = 2a$ / 목표 $x^2 - 6x + 5 = 2(\text{정수}) + 1$ 꼴. 대입$\cdot$전개하면 상수 $5$가 남는데 목표 꼴의 꼬리는 $+1$이다 — $5 = 4 + 1$로 쪼개 $4$를 짝수 항들과 함께 2로 묶는다(1주차 문제 7의 기술). **풀이.** $x$가 짝수라 가정하자. 정의에 의해 $x = 2a$인 정수 $a$가 존재한다. 그러면 $$ x^2 - 6x + 5 = (2a)^2 - 6(2a) + 5 = 4a^2 - 12a + 5 = (4a^2 - 12a + 4) + 1 = 2(2a^2 - 6a + 2) + 1 $$ 이고, $2a^2 - 6a + 2$는 정수의 곱$\cdot$합$\cdot$차이므로 정수다(근거 ②). 따라서 $x^2 - 6x + 5$는 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** 전개 결과의 상수가 홀수일 때마다 쓰는 리듬 — "짝수 부분 $+\ 1$"로 재편하는 상수 쪼개기다. 이 명제는 19주차 문제 7에서 대우 증명의 몸통으로 재등장한다. (검산: $x = 2$이면 $4 - 12 + 5 = -3 = 2 \times (-2) + 1$ — 홀수 ✓) ### 문제 8 **접근.** 번역표: 가정 $a \mid b$ $\to$ $b = ak$인 정수 $k$가 존재 / 목표 $a \mid (5b^2 - 3b)$ $\to$ $5b^2 - 3b = a \times (\text{정수})$ 꼴. $b$ 자리마다 $ak$를 대입하면 모든 항이 $a$를 인수로 갖는다 — 공통인수로 묶는다. **풀이.** $a \mid b$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ 5b^2 - 3b = 5(ak)^2 - 3(ak) = 5a^2k^2 - 3ak = a(5ak^2 - 3k) $$ 이고, $5ak^2 - 3k$는 정수의 곱과 차이므로 정수다(근거 ②). 따라서 $5b^2 - 3b$는 $a \times (\text{정수})$ 꼴이므로 $a \mid (5b^2 - 3b)$이다. $\blacksquare$ **복기.** $\mid$ 증명의 리듬은 2주차 그대로다 — 정의로 등식을 받고, 목표 식에 대입하고, 약수를 공통인수로 앞에 세운다. 소재가 넓어져도 절차는 늘지 않는다. (검산: $a = 2$, $b = 6$이면 $5 \cdot 36 - 18 = 162 = 2 \times 81$ ✓) ### 문제 9 **접근.** 예제 2.2에서 $+$가 $-$로 바뀔 뿐이다 — 통분, 분자$\cdot$분모의 정수성, 분모 $\neq 0$의 세 점검이 그대로 반복된다. **풀이.** $x, y$를 유리수라 하자. 정의에 의해 $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$)가 존재한다. 그러면 $$ x - y = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} $$ 이고, $ad - bc$와 $bd$는 정수다(근거 ②). 또한 $b \neq 0$이고 $d \neq 0$이므로 $bd \neq 0$이다(예제 2.2와 같은 근거). 따라서 $x - y$는 유리수의 정의를 만족한다. $\blacksquare$ **복기.** 합(예제 2.2)$\cdot$차(이 문제)$\cdot$곱(훈련 1)이 모였다 — 유리수 닫힘성의 수집은 문제 11$\cdot$15의 역수$\cdot$몫으로 완성된다. 이 문제는 뒤 주차들(21~23주차의 무리수 논증)에서 가장 자주 인용되는 부품이 된다. ### 문제 10 **접근.** 가정이 두 개이므로 정의도 두 번, 문자도 두 벌($m = 2a$, $n = 2b + 1$)이다. 전개한 뒤 상수 $1$만 남기고 나머지에서 2를 묶는다 — 1주차 문제 8의 리듬이다. **풀이.** $m$이 짝수이고 $n$이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $m = 2a$인 정수 $a$와 $n = 2b + 1$인 정수 $b$가 존재한다. 그러면 $$ m^2 + n^2 = (2a)^2 + (2b+1)^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4b + 1 = 2(2a^2 + 2b^2 + 2b) + 1 $$ 이고, $2a^2 + 2b^2 + 2b$는 정수의 곱과 합이므로 정수다(근거 ②). 따라서 $m^2 + n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** 가정 두 개 = 정의 풀기 두 번 = 서로 다른 문자 두 벌 — 1주차 예제 2.1부터 이어지는 원칙이 새 서식 안에서도 그대로다. (검산: $m = 2$, $n = 3$이면 $4 + 9 = 13 = 2 \times 6 + 1$ ✓) ### 문제 11 **접근.** $r = \frac{a}{b}$를 뒤집어 $\frac{1}{r} = \frac{b}{a}$로 적고 싶다. 그런데 이 표현이 유리수의 정의를 만족하려면 새 분모 $a$가 0이 아니어야 한다 — 정의가 보장하는 것은 $b \neq 0$뿐이므로 $a \neq 0$은 별도로 확보해야 한다. 그 확보에 쓰이는 것이 아직 소비하지 않은 가정 "$r \neq 0$"이다. **풀이.** $r$을 0이 아닌 유리수라 하자. 정의에 의해 $r = \frac{a}{b}$인 정수 $a, b$ ($b \neq 0$)가 존재한다. 만약 $a = 0$이면 $r = \frac{0}{b} = 0$이 되어 $r \neq 0$이라는 가정과 어긋나므로, $a \neq 0$이다. 그러면 $$ \frac{1}{r} = \frac{b}{a} $$ 는 정수 $b$를 0이 아닌 정수 $a$로 나눈 표현이므로, $\frac{1}{r}$은 유리수의 정의를 만족한다. $\blacksquare$ **복기.** 가정($r \neq 0$)이 증명 어디서 소비되는지 확인하는 습관 — 가정을 한 번도 쓰지 않은 증명은 대개 어딘가 잘못된 것이다. ("만약 ~라면 어긋난다" 어법은 문제 19와 21주차의 예고편이다.) ### 문제 12 **접근.** 순수 $\forall$ 명제이므로 오프닝은 "임의의 정수 $a$라 하자". 몸통은 문제의 힌트대로 $a^2 + a = a(a+1)$ — 연속한 두 정수의 곱 — 에 1주차 문제 16을 보조정리로 인용(근거 ④)하면 한 걸음에 끝난다. **풀이.** $a$를 임의의 정수라 하자. $a^2 + a = a(a + 1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이다(1주차 문제 16). 즉 $a^2 + a = 2m$인 정수 $m$이 존재한다. 그러면 $$ a^2 + a + 1 = 2m + 1 $$ 이고 $m \in \mathbb{Z}$이므로, $a^2 + a + 1$은 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** 11주차 문제 19에서 같은 명제를 증명했다 — 그때 빌려 쓰던 절차가 이번 주에 "보조정리 인용"이라는 정식 이름과 근거 번호(④)를 얻었다. 인용문에 출처(어느 주차의 어느 문제인지)를 밝히는 것까지가 서식이다. (검산: $a = 3$이면 $9 + 3 + 1 = 13$ — 홀수 ✓) ### 문제 13 **접근.** 목표는 $10n^2 + 5n + 25 = 5 \times (\text{정수})$ 꼴. 세 항이 전부 5의 배수이므로 공통인수 5로 묶는 인수분해(근거 ③) 한 줄이 몸통의 전부다. **풀이.** $n$을 임의의 정수라 하자. 그러면 $$ 10n^2 + 5n + 25 = 5(2n^2 + n + 5) $$ 이고, $2n^2 + n + 5$는 정수의 곱과 합이므로 정수다(근거 ②). 따라서 $10n^2 + 5n + 25$는 $5 \times (\text{정수})$ 꼴이므로, 정의 2.1에 의해 $5 \mid (10n^2 + 5n + 25)$이다. $\blacksquare$ **복기.** 짧다고 의심하지 않는다 — 근거(③ 묶기, ② 정수 확인, ① 정의 마감)가 전부 있으면 세 줄도 완결이다(2주차 문제 8의 복기와 같은 원칙). (검산: $n = 1$이면 $10 + 5 + 25 = 40 = 5 \times 8$ ✓) ### 문제 14 **접근.** 존재 명제("~로 쓸 수 있다")이므로 서식은 증인 제작 + 검증이다. 힌트의 계산 $(k+1)^2 - k^2 = 2k + 1$이 홀수의 정의 꼴 그대로이므로, 가정 $n = 2k + 1$의 $k$가 곧바로 증인 쌍 $\big((k+1)^2,\ k^2\big)$의 재료가 된다 — 예제 2.3과 같은 구조다. **풀이.** $n$을 홀수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 두 제곱수로 $(k+1)^2$과 $k^2$을 제시한다. 실제로 $$ (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1 = n $$ 이므로, $n$은 두 제곱수의 차다. $\blacksquare$ **복기.** 증인을 찾는 요령 — 목표 쪽 표현(여기서는 $(k+1)^2 - k^2$ 같은 후보)을 미리 계산해 가정의 꼴과 겹치는지 본다. 겹치는 순간 증인이 확정된다. 이 증인은 26주차 문제 10에서 재사용된다. (검산: $7 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9$ ✓) ### 문제 15 **접근.** 보조정리 조립 — $\frac{r}{s} = r \cdot \frac{1}{s}$로 쪼개면 문제 11 (역수)과 훈련 1(곱)이 정확히 맞물린다. $s \neq 0$은 문제 11의 입장 조건으로 소비된다. 통분으로 처음부터 직접 해도 된다 — 두 길을 다 적는다. **풀이 1 (보조정리 조립).** $r, s$를 유리수라 하고 $s \neq 0$이라 하자. $s$가 0이 아닌 유리수이므로 문제 11에 의해 $\frac{1}{s}$는 유리수이다. 유리수끼리의 곱은 유리수이므로(훈련 1) $\frac{r}{s} = r \cdot \frac{1}{s}$는 유리수이다. $\blacksquare$ **풀이 2 (직접).** $r, s$를 유리수라 하고 $s \neq 0$이라 하자. 정의에 의해 $r = \frac{a}{b}$, $s = \frac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b \neq 0$, $d \neq 0$)가 존재한다. $s \neq 0$이므로 $c \neq 0$이다 (만약 $c = 0$이면 $s = \frac{0}{d} = 0$이 되어 가정과 어긋난다). 그러면 $$ \frac{r}{s} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} $$ 이고, $ad$와 $bc$는 정수이며(근거 ②), $b \neq 0$이고 $c \neq 0$이므로 $bc \neq 0$이다. 따라서 $\frac{r}{s}$는 유리수이다. $\blacksquare$ **복기.** 좋은 보조정리를 갖추면 증명이 두 줄짜리 조립이 된다(1주차 문제 13 풀이 2와 같은 감각) — 이미 증명한 결과를 쌓아 올리는 것이 수학이 커지는 방식이다. 이로써 유리수는 사칙연산(0으로 나누기 제외)에 닫혀 있음이 완비되었다 — 합(예제 2.2)$\cdot$차(문제 9)$\cdot$곱(훈련 1)$\cdot$역수(문제 11)$\cdot$몫(이 문제). 이 다섯이 21~23주차 무리수 논증의 상비 부품이다. ### 문제 16 **접근.** 문제의 힌트대로 인수분해 $(n+1)(n+3)$에서 시작한다. $n$이 홀수이면 $n + 1$과 $n + 3$은 둘 다 짝수 — 각 인수가 2를 하나씩 내놓으므로 곱에서 4가 조립된다. 목표 꼴은 $4 \times (\text{정수})$다. **풀이.** $n$이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)$이고 $n + 3 = 2k + 4 = 2(k+2)$이므로 $$ n^2 + 4n + 3 = (n+1)(n+3) = 2(k+1) \cdot 2(k+2) = 4(k+1)(k+2) $$ 이고, $(k+1)(k+2)$는 정수의 곱이므로 정수다(근거 ②). 따라서 $n^2 + 4n + 3$은 4의 배수이다. $\blacksquare$ **복기.** 전개 대신 인수분해 — 목표가 "4의 배수"처럼 곱의 성질일 때는 식을 곱으로 유지하는 쪽이 빠르다. 덧붙여 $(k+1)(k+2)$는 연속한 두 정수의 곱이라 짝수이므로(1주차 문제 16) 실은 8의 배수까지 참이다 — 1주차 문제 17과 같은 강화가 가능하다. (검산: $n = 3$이면 $9 + 12 + 3 = 24 = 4 \times 6$, 그리고 $8 \times 3$ ✓) ### 문제 17 **접근.** 10주차 예제 2.2(c)에서 기호로 번역만 하고 참을 약속했던 명제의 빚 회수다. $\forall$ 두 개($a, b$) 속의 $\exists$(사이의 유리수) — 오프닝은 "임의의", $\exists$는 증인 제작 + 검증 **두 건**(유리수인가, 사이에 있는가)이다. 증인 후보는 문제가 준 $\frac{a+b}{2}$. **풀이.** $a, b$를 $a < b$인 유리수라 하자. $c = \frac{a+b}{2}$를 증인으로 제시한다. 검증 ① — $c$는 유리수다: $a + b$는 유리수이고(예제 2.2), $\frac{1}{2}$도 유리수이므로($1, 2 \in \mathbb{Z}$이고 $2 \neq 0$), 곱 $c = (a+b) \cdot \frac{1}{2}$는 유리수이다(훈련 1). 검증 ② — $a < c < b$다: $a < b$의 양변에 $a$를 더하면 $2a < a + b$이고, 양변을 양수 2로 나누면 $a < \frac{a+b}{2}$이다. 같은 부등식의 양변에 $b$를 더하면 $a + b < 2b$이고, 2로 나누면 $\frac{a+b}{2} < b$이다. 따라서 $a < c < b$. ①$\cdot$②에 의해 $a$와 $b$ 사이에 유리수 $c$가 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 검증 두 건을 전부 적는 것이 존재 증명의 완결 기준이다 — 하나만 적으면 증인의 자격 심사가 반쪽이다. 이 명제의 별명은 "유리수의 조밀성(density)" — 26주차 문제 12에서 "사이의 유리수는 무한히 많다"로 증폭되고, 45주차 해석학에서 재회한다. (검산: $a = 0$, $b = 1$이면 $c = \frac{1}{2}$ — 유리수이고 사이에 있다 ✓) ### 문제 18 **접근.** §1.8에서 해부한 답안 A의 정식 채점이다. 규범 3(결론 가정), 2(문자 소개), 1(문장) 순서로 대조하고, 올바른 증명으로 고쳐 쓰는 것까지가 완결이다. **풀이.** 결함은 네 곳이다. ① **규범 3 위반 (치명적).** 첫 문장 "$x^2$이 홀수라 하자"는 증명해야 할 결론 $Q$에서 출발했다. 이후의 모든 계산이 순환이 된다. 올바른 오프닝은 가정 쪽 — "$x$가 홀수라 하자". ② **규범 2 위반.** $k$와 $m$이 소개 없이 등장한다. "$x^2 = 2k+1$"의 $k$는 어디서 온 것인지, "$x = 2m+1$"의 $m$은 존재가 보장된 것인지 아무 선언이 없다 — "~인 정수 $m$이 존재한다"가 필요하다. ③ **규범 1 위반.** "그러면/이므로/따라서"가 전혀 없는 기호 나열이라, 어느 줄이 어느 줄의 근거인지 읽는 사람이 복원할 수 없다. ④ 마감 부재. "맞다"는 수학 문장이 아니다 — "따라서 $x^2$은 홀수이다. $\blacksquare$"가 마감이다. 고쳐 쓰면: "$x$가 홀수라 하자. 정의에 의해 $x = 2m + 1$인 정수 $m$이 존재한다. 그러면 $x^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1$이고, $2m^2 + 2m$은 정수이므로 $x^2$은 홀수이다. $\blacksquare$" **복기.** 답안 A의 계산 내용은 옳은 방향이었다 — 서술이 증명을 무너뜨린 사례다. 증명 검사는 계산 검사이기 전에 오프닝 검사$\cdot$소개 검사다(1주차 문제 6의 복기 — "설정 검사가 먼저다" — 와 짝을 이룬다). ### 문제 19 **접근.** 존재 명제이므로 증인 쌍 하나 + 검증. 검증할 것이 세 건이다 — 첫째 수가 무리수(인정하고 쓰는 사실), 둘째 수가 무리수(힌트의 미니 논증), 합이 유리수 (정의로 확인). 둘째 검증에서 처음으로 "만약 ~라면 모순" 어법을 쓴다. **풀이.** 증인으로 $\sqrt{2}$와 $-\sqrt{2}$를 제시한다. 검증 ① — $\sqrt{2}$는 무리수다(21주차에서 증명할 사실로 인정하고 쓴다). 검증 ② — $-\sqrt{2}$도 무리수다: 만약 $-\sqrt{2}$가 유리수라면, $-1 = \frac{-1}{1}$도 유리수이므로 곱 $(-1) \times (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$가 유리수가 된다(훈련 1의 곱 닫힘). 이는 검증 ①과 어긋난다. 따라서 $-\sqrt{2}$는 유리수가 아니다 — 정의 15.1에 의해 무리수다. 검증 ③ — 합은 유리수다: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 = \frac{0}{1}$이고 $0, 1 \in \mathbb{Z}$, $1 \neq 0$이므로 유리수의 정의를 만족한다. ①~③에 의해, 합이 유리수인 두 무리수가 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 이 결과는 "무리수는 덧셈에 닫혀 있지 않다"는 뜻이기도 하다 — 닫힘성은 공짜가 아니라 집합마다 증명하거나 반증해야 할 성질이고, "무리수 + 무리수 = 무리수"를 정리처럼 인용하는 답안은 이 반례 앞에서 무효가 된다(23주차에서 그런 답안을 실제로 채점한다). 검증 ②의 "만약 ~라면 모순" 어법은 21주차 귀류법의 예고편이다. ### 문제 20 **접근.** 근거 목록과 서식이 왜 규칙인지 언어로 정리하는 문제다. 재료 두 가지 — 검증 가능성(누가 검사해도 같은 결론이 나와야 한다), 그리고 직관이 무너진 실제 사례(1주차 문제 18). **풀이.** (예시 답안) 증명의 힘은 모든 단계가 누구나 검사할 수 있는 근거(정의$\cdot$가정$\cdot$대수 법칙$\cdot$이미 증명된 정리)로 소급된다는 데서 나오는데, "직관적으로 당연한 사실"은 사람마다 당연의 범위가 달라 검사가 불가능해진다. 실제로 1주차 문제 18의 $n^2 + n + 41$은 39개의 사례에서 직관("계속 소수일 것")이 맞다가 $n = 40$에서 무너졌다 — 당연해 보이는 것과 증명된 것 사이의 간격이 오류가 스며드는 자리다. **복기.** 허용 목록이 유한하다는 것은 제약이 아니라 장치다 — 막혔을 때 검토할 서랍이 네 칸뿐이고, 완성된 증명을 검사할 때도 각 줄을 네 칸 중 하나에 대응시키기만 하면 된다. --- **다음 주 예고:** 직접 증명을 부등식으로 확장한다. "$A \ge B$를 보이려면 차 $A - B$를 만들어 $\ge 0$을 보인다" — 그리고 $\ge 0$의 근원은 거의 언제나 제곱이다. 고1의 절대부등식(산술–기하 평균)이 증명 훈련의 소재로 돌아온다. 이번 주의 서식과 규범 3(결론을 가정하지 않는다)이 부등식에서 특히 중요해진다 — "증명할 부등식에서 출발해 변형하는" 답안의 진단이 다음 주의 훈련이다.