S7주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

S7주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 넣는 값을 함께 고르기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 한 예제마다 하나씩 빠진다.

예제 2.1 — 가정의 전칭과 결론의 전칭이 한 증명에#

명제. \(A \subseteq B\)이면 \(C \cap A \subseteq C \cap B\)이다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것 (도착점)을 먼저 수식으로 옮긴다. 이번 주에는 출발점 칸에 “그 전칭 문장을 무엇에 넣을 것인가”까지 적는다.

말

수식 번역

가정 (출발점)

\(A \subseteq B\)

\(\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]\) — 넣을 값은 아직 미정

목표 (도착점)

\(C \cap A \subseteq C \cap B\)

\(\underline{\quad(?)\quad}\)

확인 8. 도착점 칸을 채워 보자. 목표의 포함관계를 정의로 펴면 어떤 전칭

문장이 되는가. 그리고 그 전칭은 네 칸 표의 어느 칸인가.

답

\(\forall x\,[\,x \in C \cap A \Rightarrow x \in C \cap B\,]\)이며, 결론의 \(\forall\) —

선택법의 칸이다.

한 명제 안에 전칭이 두 개 있고 칸이 서로 다르다. 가정의 전칭은 재료이고

결론의 전칭은 의무다. 처리법이 정반대이므로, 어느 쪽을 다루고 있는지 매 줄

의식하는 것이 이 예제의 목적이다.

1단계 — 결론의 전칭부터 연다. 증명의 첫 문장은 결론 쪽이 정한다. 결론이 전칭이므로 선택법의 걸음 ①이 먼저 온다.

확인 9. 첫 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)를 임의로 잡자.”

답

“\(x \in C \cap A\)를 임의로 잡자.” 자격은 “\(C \cap A\)에 속하는 원소”이고, 그

자격을 그대로 옮겨 적은 것이 첫 문장이다.

이 문장을 쓰는 순간 무대에 \(x\)가 올라온다. 특수화에 넣을 값은 무대에 있는

것으로만 조립해야 하므로, 순서가 반대일 수 없다.

2단계 — 가진 것을 정의로 편다. 새로 얻은 사실 \(x \in C \cap A\)를 전진 방향으로 전개한다.

확인 10. 둘째 문장을 완성해 보자: “교집합의 정의에 의해 \(\underline{\qquad}\)이다.”

답

“\(x \in C\)이고 \(x \in A\)이다.” 근거 ① 정의.

이 줄에서 얻은 \(x \in A\)가 다음 걸음의 자격 검증 재료가 된다. 정의를 펴는

줄과 특수화 줄의 순서가 바뀌면 자격을 검증할 문장이 아직 없다.

3단계 — 가정의 전칭에 값을 넣는다. 이번 주의 걸음이다. 세 걸음을 각각 적는다.

확인 11. 셋째 문장을 세 걸음으로 나누어 완성해 보자.

① 값 지정: \(A \subseteq B\)의 전칭 변수 \(y\)에 \(\underline{\quad}\)를 넣는다.

② 자격 검증: \(\underline{\qquad}\) — 근거는 \(\underline{\qquad}\).

③ 사실 수령: \(\underline{\qquad}\).

답

① \(y\)에 \(x\)를 넣는다. 무대에 있는 문자는 \(x\)뿐이고, 도착점이 요구하는 것이

\(x \in B\)이므로 역산하면 넣을 값은 \(x\) 하나로 정해진다.

② 자격은 “\(x \in A\)”이고, 근거는 직전 줄(2단계에서 정의를 편 결과)이다.

③ \(x \in B\).

답안에 적을 때는 한 문장으로 이어 쓴다: “\(x \in A\)이므로, \(A \subseteq B\)를

\(x\)에 적용하면 \(x \in B\)이다.”

4단계 — 도착점의 꼴로 조립한다. 결론이 요구하는 것은 \(C \cap B\) 소속이다.

확인 12. 넷째 문장을 완성해 보자:

“\(\underline{\quad}\)이고 \(\underline{\quad}\)이므로, 교집합의 정의에 의해 \(x \in C \cap B\)이다.”

답

“\(x \in C\)이고 \(x \in B\)이므로”. 앞의 것은 2단계에서, 뒤의 것은 3단계에서 얻었다.

특수화가 한 일은 정확히 하나 — 조립에 필요한 두 부품 중 없던 쪽을 만들어 준

것이다.

5단계 — 선택법의 걸음 ④로 닫는다.

확인 13. 마지막 문장을 완성해 보자: “\(x\)가 \(\underline{\qquad}\)이었으므로 \(\underline{\qquad}\)이다. \(\blacksquare\)”

답

“\(x\)가 임의였으므로 \(C \cap A \subseteq C \cap B\)이다. \(\blacksquare\)”

이 줄이 없으면 증명한 것은 특정 원소 하나에 대한 문장뿐이다 — S6주차 걸음 ④의

역할이 여기서도 그대로다.

완성본. 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(A \subseteq B\)라 하자.

조건문의 가정을 사실 목록에 올린다. 이 문장은 전칭이므로 아직 그대로는 쓰이지 못한다.

\(x \in C \cap A\)를 임의로 잡자.

결론의 \(\forall\) — 선택법 걸음 ①. 결론의 포함관계가 숨기고 있는 전칭을 연다. 이 줄에서 \(x\)가 무대에 올라온다.

교집합의 정의에 의해 \(x \in C\)이고 \(x \in A\)이다.

새로 얻은 사실을 정의로 편다(근거 ①). 여기서 나온 \(x \in A\)가 다음 줄의 자격이 된다.

\(x \in A\)이므로, \(A \subseteq B\)를 \(x\)에 적용하면 \(x \in B\)이다.

가정의 \(\forall\) — 특수화. ① 값 지정: 도착점이 \(x \in B\)이므로 넣을 값은 \(x\) ② 자격 검증: \(x \in A\) ✓ (직전 줄) ③ 사실 수령: \(x \in B\).

\(x \in C\)이고 \(x \in B\)이므로, 교집합의 정의에 의해 \(x \in C \cap B\)이다.

도착점의 꼴로 조립한다(근거 ①). 두 부품 중 하나가 방금 특수화로 만들어졌다.

\(x\)가 임의였으므로 \(C \cap A \subseteq C \cap B\)이다. \(\blacksquare\)

선택법 걸음 ④. 개별 원소에 대한 결론을 전칭으로 승격한다.

한 증명 안의 두 전칭. 둘째 줄과 넷째 줄은 둘 다 \(\forall\)를 다루지만 동사가 정반대다 — 하나는 “임의로 잡자”이고 하나는 “적용하면”이다. 잡는 쪽은 값을 고를 권리가 없고, 적용하는 쪽은 값을 고를 의무가 없다. 네 칸 표에서 “내가 고르는” 두 줄과 “남이 고르는” 두 줄을 갈라 놓았던 대비가, 증명 한 편 안에서 드러난 모습이다. 1권 27주차에서 원소 하나를 따라가며 감각으로 하던 일의 해부도이기도 하다.

예제 2.2 — 다중 특수화: 같은 사실을 세 번#

명제. 양의 실수 \(a, b, c\)에 대해 \((a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc\)이다.

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. 쓸 전칭 사실은 §1.2의 (G)다.

확인 14. 번역표를 채워 보자.

가정 (출발점): \(a, b, c\)는 양의 실수 \(\to\) 자격 검증에 쓸 사실 \(\underline{\qquad}\).

목표 (도착점): \((a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc\) \(\to\) 좌변이 세 인수의 곱이므로, 인수마다

\(\underline{\qquad}\) 꼴의 부등식을 하나씩 만든 뒤 \(\underline{\qquad}\).

답

출발점: \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\). 이 셋이 (G)의 자격 \(u \ge 0\), \(v \ge 0\)을

만족시키는 근거가 된다.

도착점: 인수마다 “(그 인수) \(\ge\) (제곱근 꼴)” 부등식을 하나씩 만든 뒤 **세

부등식을 변변 곱한다**.

확인 15. (G)에 넣을 값을 정해 보자. 좌변의 세 인수가 \(a+b\), \(b+c\), \(c+a\)

이므로, \((u, v)\)에 무엇을 넣어야 하는가. 세 쌍을 모두 적어 보자.

답

\((u, v) = (a, b)\), \((b, c)\), \((c, a)\).

고른 방법은 역산이다. 도착점의 좌변에 \(a + b\)가 있고, (G)의 산출 문장 좌변은

\(u + v\)이므로, \(u + v\)가 \(a + b\)가 되도록 값을 정하면 순서를 무시하고 \((a, b)\)로

결정된다 — \((b, a)\)를 넣어도 (G)가 \(u\)와 \(v\)에 대칭이므로 같은 부등식이 나온다.

나머지 두 쌍도 같은 방식이다. 넣는 값을 고르는 기술은 결론을 보고 거꾸로

읽는 것이고, 이것이 §1.5에서 확인한 “내가 고르는 칸”의 공통 기술이다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

양의 실수 \(a, b, c\)를 임의로 잡자.

결론의 \(\forall\) — 선택법 걸음 ①. 자격은 “양의 실수” 셋이다.

(G)를 \((u, v) = (a, b)\)에 적용한다. 자격: \(a > 0\)이므로 \(a \ge 0\) ✓, \(b > 0\)이므로 \(b \ge 0\) ✓. 수령: \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\).

특수화 1. 세 걸음을 모두 적었다. 자격이 가정에서 한 줄로 나오더라도 생략하지 않는다.

같은 방식으로 \((u, v) = (b, c)\)와 \((c, a)\)에 적용하면 \(b + c \ge 2\sqrt{bc}\), \(c + a \ge 2\sqrt{ca}\)를 얻는다.

특수화 2, 3. 전칭 사실은 소모되지 않으므로 같은 (G)를 다시 쓴다. 넣는 값만 바뀐다.

세 부등식은 양변이 모두 양수이므로 변변 곱하면 \((a+b)(b+c)(c+a) \ge 8\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}\)이다.

양변이 양수인 부등식끼리는 곱해도 방향이 유지된다(1권 16주차 (W3)의 연쇄). 양수임을 확인하는 줄이 곱셈의 조건이다.

\(a, b, c > 0\)이므로 \(\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca} = \sqrt{a^2b^2c^2} = abc\)이다.

우변을 도착점의 꼴로 정리한다. 근호를 합치는 등식도 음이 아닌 수에서만 성립하므로 조건을 적는다.

따라서 \((a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc\)이다. \(x\)가 아니라 \(a, b, c\)가 임의였으므로 전칭이 성립한다. \(\blacksquare\)

선택법 걸음 ④로 닫는다.

세 번 쓴 것은 하나의 사실이다. (G)는 한 번 쓰면 사라지는 것이 아니라, 자격을 만족하는 값이면 몇 번이든 넣을 수 있는 문장이다. 어느 쌍에 넣을지를 정한 것은 도착점의 좌변 구조였다 — 걸음 ①을 역산 없이 넘겨 아무 쌍에나 넣으면 곱했을 때 우변이 \(8abc\)로 정리되지 않는다.

예제 2.3 — 설계부터 혼자: 자격이 통과하지 않는 경우#

명제(시도 대상). 실수 \(x\)에 대해, \(x > 4\)이면 \((x - 5) + \dfrac{1}{x-5} \ge 2\)이다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 쓸 전칭 사실은 §1.3의 (T)다.

확인 16. 설계를 적어 보자.

① 값 지정: (T)의 \(t\)에 무엇을 넣으면 도착점이 나오는가.

② 자격 검증: 그 값이 (T)의 자격 \(t > 0\)을 만족하는가. 가정 \(x > 4\)에서 실제로

따라 나오는지 확인해 보자.

답

① \(t = x - 5\). 도착점의 좌변이 \((x-5) + \frac{1}{x-5}\)이고 (T)의 산출 좌변이

\(t + \frac1t\)이므로, 역산하면 넣을 값이 하나로 정해진다.

② 따라 나오지 않는다. 가정 \(x > 4\)에서 나오는 것은 \(x - 5 > -1\)뿐이고,

이것은 \(x - 5 > 0\)을 보장하지 않는다. 걸음 ②가 통과하지 못하므로 특수화를

실행할 수 없다.

여기서 멈추는 것이 옳은 판단이다. 자격이 통과하지 않을 때 할 일은 걸음 ②를

생략하는 것이 아니라, 명제 자체를 의심하는 것이다.

진단. 걸음 ②가 통과하지 않는다는 신호를 따라가면 명제 자체가 거짓임이 드러난다. \(x = 4.5\)를 잡으면 가정 \(x > 4\)는 성립하지만 \(t = x - 5 = -0.5\)이고, 이때 \((x-5) + \frac{1}{x-5} = -0.5 - 2 = -2.5\)이므로 결론 \(\ge 2\)가 거짓이다. 따라서 \(x = 4.5\)는 명제의 반례이고, 명제는 거짓이다. 덧붙여 \(x = 5\)는 가정 \(x > 4\)를 만족하지만, 이때 \(\frac{1}{x-5}\)의 분모가 0이 되어 결론 문장 자체가 뜻을 잃는다 — 명제가 거짓인 것에 더해, 진술 자체가 성립하지 않는 값까지 가정이 통과시키고 있었다. 걸음 ②를 생략한 답안은 거짓 명제에 증명을 붙일 뻔했다. 자격 검증은 요식이 아니라 참\(\cdot\)거짓을 가르는 관문이라는 §1.3의 판정이 여기서 사례로 확인된다.

고친 명제와 그 증명. 가정을 \(x > 5\)로 바꾸면 자격 \(t > 0\)이 통과하고, 동시에 \(x - 5 \neq 0\)이 보장되어 좌변이 가정을 만족하는 모든 \(x\)에서 정의된다.

명제. 실수 \(x\)에 대해, \(x > 5\)이면 \((x - 5) + \dfrac{1}{x-5} \ge 2\)이다.

증명. 실수 \(x\)를 임의로 잡고 \(x > 5\)라 하자. \(t = x - 5\)로 두면 양변에서 5를 빼는 이항에 의해 \(t > 0\)이다. (T)를 이 \(t\)에 적용하면 — 자격 \(t > 0\)이 방금 확인되었으므로 — \(t + \frac1t \ge 2\), 곧 \((x-5) + \frac{1}{x-5} \ge 2\)를 얻는다. \(x\)가 임의였으므로 명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

이번 증명은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 산문에서도 세 걸음은 그대로 남아 있다 — “\(t = x-5\)로 두면”이 걸음 ①, “\(t > 0\)이다”가 걸음 ②, “\(t + \frac1t \ge 2\)를 얻는다”가 걸음 ③이다.

관찰 — 같은 뼈대#

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재가 전혀 다르지만 특수화가 들어가는 자리는 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

예제 2.1

예제 2.2

예제 2.3(고친 버전)

쓴 전칭 사실

\(A \subseteq B\)

(G)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

넣는 값을 정한 근거

도착점이 \(x \in B\)

도착점 좌변의 세 인수

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

자격

\(x \in A\)

\(a, b, c \ge 0\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

자격의 출처

교집합 정의를 편 직전 줄

선택 문장의 자격

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

특수화 횟수

1

\(\underline{\quad(5)\quad}\)

1

확인 17. 표의 빈칸 (1)~(5)를 채우고, 세 예제에서 공통으로 반복된 순서를

세 걸음으로 적어 보자.

답

(1) (T) (2) 도착점 좌변이 \((x-5) + \frac{1}{x-5}\) (3) \(x - 5 > 0\)

(4) 가정 \(x > 5\)의 이항 (5) 3

공통 순서는 이렇다. **① 도착점을 보고 넣을 값을 정한다 \(\to\) ② 그 값의 자격을

무대에 이미 있는 사실로 검증한다 \(\to\) ③ 산출 문장을 사실 목록에 넣고 조립을

계속한다.** 자격의 출처가 매번 다르다는 점만 유의한다 — 직전 줄일 수도,

선택 문장의 자격일 수도, 가정의 변형일 수도 있다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

특수화가 들어간 증명의 뼈대

결론의 \(\forall\)가 있으면 먼저 선택법으로 대상을 무대에 올린다 \(\to\) 가진 사실을 정의로 편다 \(\to\) 도착점을 보고 넣을 값을 정해 가정의 전칭에 특수화한다(자격 검증 포함) \(\to\) 산출 문장으로 도착점을 조립한다 \(\to\) 선택법 걸음 ④로 닫는다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸#

명제 (\(\subseteq\)의 추이성). \(A \subseteq B\)이고 \(B \subseteq C\)이면 \(A \subseteq C\)이다.

출발점. 전칭 사실 두 개. ①: \(\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]\) ②: \(\forall y\,[\,y \in \underline{\quad(1)\quad} \Rightarrow y \in \underline{\quad(2)\quad}\,]\)

도착점. \(A \subseteq C\)를 펴면 \(\forall x\,[\,x \in A \Rightarrow x \in C\,]\) — 결론의 \(\forall\).

  • 걸음 ①(선택법). “\(x \in \underline{\quad(3)\quad}\)를 임의로 잡자.” (기법 이름: \(\underline{\quad(4)\quad}\))

  • 특수화 1. ①에 \(y = x\)를 넣는다. 자격 검증: \(\underline{\quad(5)\quad}\) ✓ — 출처는 선택 문장. 수령: \(x \in B\).

  • 특수화 2. ②에 \(y = x\)를 넣는다. 자격 검증: \(\underline{\quad(6)\quad}\) ✓ — 출처는 \(\underline{\quad(7)\quad}\). 수령: \(\underline{\quad(8)\quad}\).

  • 걸음 ④. \(x\)가 임의였으므로 \(A \subseteq C\)이다. \(\blacksquare\)

한 줄 논평. 이 증명의 구조는 특수화 두 번을 이어 붙인 것이고, 첫 특수화의 산출 문장이 둘째 특수화의 \(\underline{\quad(9)\quad}\)이 된다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 근거 문장도 빈칸이다. 쓸 전칭 사실은 (T)다.

명제. 모든 실수 \(x\)에 대해 \((x^2 + 1) + \dfrac{1}{x^2+1} \ge 2\)이다.

증명. \(\underline{\quad(1)\quad}\) \(x\)를 임의로 잡자 [걸음 ① — 자격: 실수]. \(t = x^2 + 1\)로 두자 [특수화 걸음 ① — 이 값을 고른 이유: 도착점의 좌변이 \(\underline{\quad(2)\quad}\) 꼴이기 때문이다]. 그러면

\[ x^2 \ge 0 \quad\text{[근거: } \underline{\quad(3)\quad}\text{]} \]

이고 양변에 1을 더하면 \(t = x^2 + 1 \ge 1 > 0\)이므로 \(t > 0\)이다 [특수화 걸음 \(\underline{\quad(4)\quad}\) — 자격 검증 완료]. 따라서 (T)를 이 \(t\)에 적용하면 \(\underline{\quad(5)\quad}\)를 얻는다 [특수화 걸음 ③]. \(t\)를 되돌려 쓰면 \((x^2+1) + \frac{1}{x^2+1} \ge 2\)이다. \(x\)가 \(\underline{\quad(6)\quad}\)이었으므로 모든 실수 \(x\)에 대해 성립한다. \(\blacksquare\)

검산. \(x = 0\)을 넣으면 좌변은 \(1 + 1 = 2\)이고 \(2 \ge 2\) ✓. \(x = 1\)을 넣으면 좌변은 \(2 + \frac12 = 2.5\)이고 \(2.5 \ge 2\) ✓.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 칸을 통째로 채운다. 가정에 전칭이 두 개 있고 결론에도 전칭이 있는 사례다.

명제. \(A \subseteq B\)이고 \(C \subseteq D\)이면 \(A \cap C \subseteq B \cap D\)이다.

  • 출발점 분해. 가정의 두 전칭 문장을 펴서 적으면: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • 도착점 분해. \(A \cap C \subseteq B \cap D\)를 펴면: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • 걸음 ①(선택법). \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • 전개. \(\underline{\quad(4)\quad}\)

  • 특수화 1과 2. 넣는 값\(\cdot\)자격\(\cdot\)수령을 각각 적으면: \(\underline{\quad(5)\quad}\)

  • 조립과 걸음 ④. \(\underline{\quad(6)\quad}\)

  • 한 줄 논평. 이 증명에서 특수화는 \(\underline{\quad(7)\quad}\)번 나오고, 두 자격의 출처는 모두 \(\underline{\quad(8)\quad}\)이다.

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 세 걸음이 점수다. 특수화가 나오는 자리마다 ① 무엇을 넣었는가

② 그 값이 자격을 만족하는 근거는 무엇인가 ③ 무엇을 얻었는가가 답안에 적혀

있어야 한다. “정리에 의해”만 적힌 줄은 근거가 하나도 적히지 않은 줄이다.

힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 특수화의 세 걸음 ①②③과 네 칸 표(양화사의 자리 \(\cdot\) 기법 \(\cdot\) 첫 문장 \(\cdot\) 값을 고르는 쪽)를 쓰시오.

힌트

§1.3의 절차 상자와 §1.5의 표다. 걸음은 “정한다 \(\cdot\) 검증한다 \(\cdot\) 받는다”의 세 동사로,

표는 “결론의 \(\forall\) \(\cdot\) 결론의 \(\exists\) \(\cdot\) 가정의 \(\exists\) \(\cdot\) 가정의 \(\forall\)”의

네 줄 순서로 기억한다.

이 문제가 쓰는 정의 — 수열의 수렴 (문제 2(d)에서 처음 필요하고, 문제 11에서 본격적으로 쓴다)

\(a_n \to L\)은 “모든 양수 \(\varepsilon\)에 대해, \(n > N\)인 모든 \(n\)에서

\(|a_n - L| < \varepsilon\)이 되는 양의 정수 \(N\)이 존재한다”의 줄임말이다

(1권 45주차 정의 45.1). 바깥이 \(\forall \varepsilon\)이므로 이 가정은 전칭

사실이고, 넣는 값은 우리가 고른다. 산출 문장 안에 \(\exists N\)이 들어 있으므로

수령한 뒤에는 “그런 \(N\)을 잡자”라는 가정의 \(\exists\) 처리가 한 번 더 필요하다.

2. 다음 가정들에서 숨은 전칭을 노출하고, “넣는 것 / 나오는 것”을 한 줄씩 쓰시오. (a) \(S \subseteq T\) (b) “\(M\)은 \(S\)의 상계이다” (c) 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) (d) \(a_n \to 3\)

힌트

§1.4의 표가 그대로 답의 틀이다. (a)(b)는 자격이 소속 조건이고, (c)는 전칭이

두 겹이며, (d)는 산출 문장 안에 또 다른 양화사가 들어 있다는 점에 주의한다.

3. 전칭 사실 “모든 실수 \(u, v\)에 대해, \(u \ge 0\)이고 \(v \ge 0\)이면 \(\sqrt{uv} \le \dfrac{u+v}{2}\)이다”를 \((u, v) = (4, 9)\)에 특수화하시오 — 자격 검증과 산출 계산까지 세 걸음을 모두 적으시오.

힌트

걸음 ②에서 확인할 것은 두 개다(값이 두 개이므로). 걸음 ③의 산출 문장은

계산해 놓은 수까지 적는다 — \(\sqrt{36}\)과 \(\frac{13}{2}\)을 각각 수로 바꾼다.

4. §3 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 1은 특수화의 직렬 연결, 훈련 2는 넣는 값을 식으로 조립하는 연습,

훈련 3은 특수화 두 번이 병렬로 놓이는 구조다. 세 훈련의 차이를 먼저 한 줄씩

적어 두면 어느 칸에서 막히는지가 분명해진다.

5. 예제 2.1을 백지에 재현하고, 두 전칭의 처리법이 정반대인 두 줄에 밑줄을 그으시오.

힌트

밑줄이 그어질 줄은 “임의로 잡자”가 들어간 줄과 “적용하면”이 들어간 줄이다.

재현이 막히면 완성본이 아니라 확인 8의 번역표부터 다시 적는다.

6. 예제 2.3을 재현하고, 가정을 \(x > 5\)로 고친 버전의 완전한 증명을 쓰시오 (자격 검증 포함).

힌트

재현할 것은 두 부분이다 — 자격이 통과하지 않는다는 판정과, 그 판정을 뒷받침하는

반례 \(x = 4.5\)의 계산. 고친 버전에서 자격 검증은 “\(x > 5\)이므로 \(x - 5 > 0\)”

한 줄이며, 그 한 줄이 이 문제의 채점 대상이다.

표준 ●●○#

7. 명제 “\(A \subseteq B\)이면 \(A \cup C \subseteq B \cup C\)이다”를 예제 2.1의 서식으로 증명하시오 — 경우 나누기(\(x \in A\)인 경우와 \(x \in C\)인 경우)에서 특수화가 한쪽 경우에서만 필요함을 관찰해 한 줄로 적으시오.

8. 가정 “\(M\)은 \(S\)의 상계이다”와 “\(7 \in S\)”에서 \(7 \le M\)을 도출하시오 (세 걸음 명시). 이어서 “\(M\)은 \(S\)의 상계이고 \(M < 7\)이며 \(7 \in S\)”라는 세 문장이 동시에 성립할 수 없음을 한 줄로 보이시오.

9. 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)를 만족한다고 하자. (a) \(f(0) = 0\)을 증명하시오. (b) 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(-x) = -f(x)\)임을 증명하시오.

힌트

(a)는 넣는 값을 역산으로 정한다 — 산출 등식에 \(f(0)\)만 나오게 하려면 \(x\)와 \(y\)에

무엇을 넣어야 하는가.

(b)는 결론에 “모든”이 있으므로 선택법이 먼저다. 그다음 산출 등식에 \(f(-x)\)와

\(f(x)\)가 함께 나오도록 값을 정하고, 좌변이 \(f(0)\)이 되면 (a)를 근거 ④로 인용한다.

10. 다음 답안을 진단하시오.

“전칭 사실: 모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 \ge n\)이다(S6주차 문제 2(d)). 이를 \(n = \frac32\)에 적용하면 \(\frac94 \ge \frac32\)이다.”

산출된 부등식 자체는 참이다. 그럼에도 이 논증이 무효인 이유를 “산출이 참”과 “논증이 유효”의 구분으로 설명하시오.

11. \(a_n \to L\)이라 하자. 수열의 꼬리가 유계임을 증명하시오 — 수렴의 정의에 \(\varepsilon = 1\)을 넣어 문턱 \(N\)을 얻고, \(n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(L - 1 < a_n < L + 1\)임을 보이시오. “\(\varepsilon\) 자리에 아무 양수나 넣을 권리”가 어디서 나오는지도 한 줄로 적으시오.

힌트

자격 검증은 “\(1 > 0\)”이라는 한 줄이다. 짧다고 생략하지 않는다.

절댓값을 푸는 데에는 1권 17주차 문제 11의 보조정리를 쓴다. 그 보조정리가

진술하는 것은 \(b \ge 0\)일 때 \(|a| \le b\)와 \(-b \le a \le b\)가 같다는 것이고,

부등호를 \(<\)로 바꿔도 같은 논증이 그대로 작동함은 1권 18주차 문제 11의

복기에서 확인했다. 그 엄격 부등호판을 \(a = a_n - L\), \(b = 1\)에 쓴다.

12. 명제 “모든 실수 \(x, y, z\)에 대해 \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\)이다”를 증명하시오 — 전칭 사실 “모든 실수 \(u, v\)에 대해 \(u^2 + v^2 \ge 2uv\)”(S6주차 문제 12에서 증명한 부등식의 양변에 2를 곱한 꼴)를 세 쌍에 특수화한 뒤 변변 더하시오.

13. S6주차 문제 7의 방식 2(S3주차 문제 18을 인용하는 길)를 이번 주의 서식으로 다시 쓰시오 — 무엇을 어디에 특수화했고, 자격은 무엇이었으며, 등호 조건을 쓰는 데에도 특수화가 필요했음을 명시하시오.

힌트

S3주차 문제 18이 확보한 것은 두 문장이다 — 부등식 \(a^2 + ab + b^2 \ge 0\)과

등호 조건 “등호는 \(a = b = 0\)일 때 그리고 그때뿐”. 둘 다 전칭 문장이므로 같은

값을 두 번 넣어야 한다. 넣고 나서 등호 조건이 이 판에서 일어날 수 있는지

확인하면 \(\ge\)가 \(>\)로 강화된다.

14. 이중 전칭의 부분 특수화. 사실 \(\forall x \forall y\,[\,f(x+y) = f(x) + f(y)\,]\)에서 \(y\) 자리에만 \(x\)를 넣으면 무엇이 남는지 쓰고, 그 결과가 여전히 전칭 사실임을 확인하시오. 이어서 그것을 \(x = 3\)에 특수화해 \(f(6) = 2f(3)\)을 얻으시오.

힌트

안쪽 전칭 \(\forall y\)만 소비하고 바깥 전칭 \(\forall x\)는 살려 두는 것이다.

바깥을 살려 두는 방법은 선택법으로 열었다가 걸음 ④로 다시 닫는 것이다 —

특수화는 개별 문장만 산출하므로 그 자체로는 전칭을 남기지 못한다. 남은 문장을

소리 내어 읽어 “모든 \(x\)에 대해”가 아직 앞에 붙어 있는지 확인하면 판정이 끝난다.

도전 ●●●#

15. 문제 9의 함수에 대해 모든 실수 \(x\)에서 \(f(2x) = 2f(x)\)와 \(f(3x) = 3f(x)\)를 증명하고, 이를 이용해 \(f\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{f(x)}{2}\)까지 증명하시오.

힌트

앞의 둘은 넣는 값이 곧바로 보인다. 마지막이 관문이다 — 산출 등식의 좌변에

\(f(x)\)가 나타나도록 값을 역산한다. \(x\)를 두 개의 같은 조각으로 쪼개면 무엇이

되는가.

16. 함수 \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 ① 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x) \le g(x)\) ② 모든 실수 \(x\)에 대해 \(g(x) \le f(x)\)를 만족하면 \(f = g\)임을 증명하시오. (함수 상등의 기준은 1권 40주차)

이 문제가 빌려 쓰는 도구 — 귀류법 (문제 17)

결론이 \(a \le b\)처럼 부등식 하나일 때, 그것을 직접 만들 재료가 없으면 결론을

부정해 \(a > b\)를 사실 목록에 올리고 모순을 만든다(1권 21주차). 이번 주에는

그 부정문이 넣는 값을 만들어 준다는 점이 새롭다 — \(a > b\)가 사실이 되는

순간 \(a - b\)가 양수가 되고, 양수는 자격 \(\varepsilon > 0\)을 통과하는 값이 된다.

17. 실수 \(a, b\)가 “모든 양의 실수 \(\varepsilon\)에 대해 \(a \le b + \varepsilon\)”을 만족하면 \(a \le b\)임을 증명하시오.

힌트

넣을 값을 역산한다. 모순을 만들려면 산출 문장 \(a \le b + \varepsilon\)이 \(a\)보다

작은 상한을 주어야 하므로 \(b + \varepsilon < a\)가 필요하고, 이것은

\(\varepsilon < a - b\)와 같다. 자격 \(\varepsilon > 0\)도 함께 만족하는 값을

\(a - b\)에서 만들어 낸다.

18. 다음 답안의 반칙을 정확히 식별하고, 올바른 증명을 쓰시오.

“명제: 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이다. 증명: 이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로, \(x = 5\)에 적용하면 \(25 \ge 0\)으로 참이다. 따라서 명제가 증명되었다.”

“적용한다”가 합법이 되는 조건도 함께 적으시오.

19. 사실 ① \(P(1)\)이 참 ② 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 “\(P(n)\)이면 \(P(n+1)\)”. 이때 \(P(4)\)가 참임을 특수화만으로 도출하시오 (②를 \(n = 1, 2, 3\)에 차례로 특수화하고 전건 긍정을 세 번 — 각 단계의 자격과 수령을 명시). 이어서 “\(P(1000)\)도 같은 방식으로 되지만 999단계가 필요하다 — 이 사슬을 한 번에 처리하는 원리가 무엇인가”에 한 문장으로 답하시오.

힌트

각 단계는 두 동작으로 이루어진다: ②에 값을 넣어 조건문 하나를 수령하고,

그 조건문의 앞부분이 이미 사실 목록에 있음을 확인해 뒷부분을 얻는다.

세 단계를 표로 그리면 자격과 수령이 어긋나지 않는다.

20. (서술) (a) “정리를 인용한다”와 “특수화한다”가 같은 동작임을, 1권에서 무심코 한 인용 사례 하나(예: 1권 16주차의 (W3)을 “양변에 양수를 곱해도 부등호가 유지된다”로 쓴 순간)를 들어 세 문장 이내로 설명하시오. (b) 네 칸 표에서 “내가 고른다”에 해당하는 두 칸(결론의 \(\exists\)에서 세우는 증인, 가정의 \(\forall\)에 넣는 값)이 공유하는 기술적 공통점을 두 문장으로 쓰시오.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

요일

할 일

1일차

원서 Solow 6장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)

2일차

교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다

3일차

원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 6장 연습문제 몇 개를 직접 시도

4일차

교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항

5일차

백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

3일차 재독에는 이번 주 특유의 요령이 있다. 원서 6장은 특수화를 “specialization”의 서식으로 제시하고 자격 검증을 반복해 강조하므로, 교안의 세 걸음 상자를 손에 쥐고 원서의 각 예제를 읽으면 원서의 어느 문장이 어느 걸음인지 대응시킬 수 있다. 특히 원서가 자격 검증을 한 구절로 압축해 넣은 자리를 찾아 표시해 두면, 압축된 증명에서 무엇이 지워지는지를 다시 확인하게 된다.

1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 특수화의 세 걸음, 네 칸 표, 반칙 목록 4종. 그 상태에서 예제 2.1의 설계표와 완성본을 처음부터 끝까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 특수화의 세 걸음과 반칙 목록 4종을 백지에 썼다.

  • 가정 속의 전칭 감지 표(다섯 줄)를 재현했다.

  • 네 칸 표를 네 줄 모두 그렸다 — 값을 고르는 쪽까지.

  • 예제 2.1\(\cdot\)2.2\(\cdot\)2.3을 처음부터 끝까지 재현했다 — 2.3은 표 없이 산문으로.

  • 자격 미검증(예제 2.3)과 결론 등록(문제 18)을 서로 다른 반칙으로 갈라 진단했다.

  • \(\varepsilon = 1\), \(\frac{\varepsilon}{2}\), \(\frac{a-b}{2}\)처럼 값을 역산해 고른 사례 셋을 들고, 각각 무엇을 보고 역산했는지 설명했다.

  • 원서 6장을 완독했고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

가정을 어떻게 써야 할지 모르겠다

§1.4의 감지 표 — 먼저 그 가정을 \(\forall\) 문장으로 펴 적는다

무엇을 넣어야 할지 정해지지 않는다

예제 2.2 확인 15 — 도착점의 식과 산출 문장의 식을 나란히 놓고 역산한다

자격 검증에 무엇을 적어야 할지 모르겠다

§1.3 절차 해부 표의 둘째 줄 — 전칭 문장의 조건부 앞부분을 그대로 옮겨 적는 일이다

자격이 통과하지 않아 막힌다

예제 2.3 — 통과하지 않으면 명제 자체를 의심하고 반례를 찾는다

결론의 \(\forall\)와 가정의 \(\forall\)가 헷갈린다

§1.5의 네 칸 표 — 그 \(\forall\)가 사실 목록에 있는지 교체된 결론에 있는지 먼저 판정한다

같은 사실을 여러 번 써도 되는지 모르겠다

§1.6과 예제 2.2 — 전칭 사실은 소모되지 않는다

특수화는 했는데 조립이 안 된다

예제 2.1의 4단계 — 산출 문장이 도착점의 어느 부품인지 먼저 지목한다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(B\) (2) \(C\) (3) \(A\) (4) 선택법 (5) \(x \in A\) (6) \(x \in B\) (7) 직전 특수화의 산출 문장 (8) \(x \in C\) (9) 자격

완성 산문. \(A \subseteq B\)이고 \(B \subseteq C\)라 하자. \(x \in A\)를 임의로 잡자. \(A \subseteq B\)를 \(x\)에 적용하면 — 자격 \(x \in A\)는 선택 문장이 준다 — \(x \in B\)이다. 이어서 \(B \subseteq C\)를 \(x\)에 적용하면 — 자격 \(x \in B\)는 방금 얻은 문장이다 — \(x \in C\)이다. \(x\)가 임의였으므로 \(A \subseteq C\)이다. \(\blacksquare\)

※ 이 구조를 직렬 연결이라 부를 수 있다. 첫 특수화의 산출이 둘째 특수화의 자격이 되므로 순서를 바꿀 수 없다. S6주차 §3 훈련 3에서 “가정 쪽의 전칭을 쓰는 걸음”이라고만 적어 두었던 칸이 이번 주의 이름을 얻은 자리다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 실수 (2) \(t + \frac1t\) (3) 1권 16주차 (W1) (4) ② (5) \(t + \frac1t \ge 2\) (6) 임의

완성 산문. 실수 \(x\)를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ① — 자격: 실수]. \(t = x^2 + 1\)로 두자 [특수화 걸음 ① — 도착점의 좌변이 \(t + \frac1t\) 꼴이 되도록 역산해 고른 값이다]. 1권 16주차 (W1)에 의해 \(x^2 \ge 0\)이고, 양변에 1을 더하면 \(t = x^2 + 1 \ge 1 > 0\) 이므로 \(t > 0\)이다 [걸음 ② — 자격 검증]. 따라서 (T)를 이 \(t\)에 적용하면 \(t + \frac1t \ge 2\)를 얻는다 [걸음 ③]. \(t\)를 되돌려 쓰면 \((x^2+1) + \frac{1}{x^2+1} \ge 2\)이다. \(x\)가 임의였으므로 모든 실수 \(x\)에 대해 성립한다. \(\blacksquare\)

※ 이 훈련의 관문은 (2)다. 넣는 값 \(t = x^2+1\)은 도착점의 좌변을 (T)의 산출 좌변과 글자 대 글자로 맞춰 본 결과이지, 짐작으로 고른 것이 아니다. (3)의 (W1)이 없으면 \(t > 0\)을 말할 근거가 없고, 근거가 없으면 걸음 ②가 통과하지 못한다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) \(\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]\)와 \(\forall y\,[\,y \in C \Rightarrow y \in D\,]\) (2) \(\forall x\,[\,x \in A \cap C \Rightarrow x \in B \cap D\,]\) (3) “\(x \in A \cap C\)를 임의로 잡자.” (4) “교집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in C\)이다.” (5) 특수화 1 — \(A \subseteq B\)에 \(y = x\)를 넣는다. 자격: \(x \in A\) ✓(직전 줄). 수령: \(x \in B\). 특수화 2 — \(C \subseteq D\)에 \(y = x\)를 넣는다. 자격: \(x \in C\) ✓(직전 줄). 수령: \(x \in D\). (6) “\(x \in B\)이고 \(x \in D\)이므로 교집합의 정의에 의해 \(x \in B \cap D\)이다. \(x\)가 임의였으므로 \(A \cap C \subseteq B \cap D\)이다. \(\blacksquare\)” (7) 2 (8) 교집합의 정의를 편 전개 줄

완성 산문. \(A \subseteq B\)이고 \(C \subseteq D\)라 하자. \(x \in A \cap C\)를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ①]. 교집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in C\)이다. \(A \subseteq B\)를 \(x\)에 적용하면 — 자격 \(x \in A\)는 직전 줄이 준다 — \(x \in B\)이다. 이어서 \(C \subseteq D\)를 같은 \(x\)에 적용하면 — 자격 \(x \in C\)도 직전 줄이 준다 — \(x \in D\)이다. \(x \in B\)이고 \(x \in D\)이므로 교집합의 정의에 의해 \(x \in B \cap D\)이다. \(x\)가 임의였으므로 \(A \cap C \subseteq B \cap D\)이다. \(\blacksquare\)

※ 훈련 1과 3의 차이를 한 줄로 정리해 둔다. 훈련 1은 직렬 — 첫 산출이 둘째 자격이 된다. 훈련 3은 병렬 — 두 자격이 모두 같은 전개 줄에서 나오므로 두 특수화의 순서를 바꿔도 된다. 구조가 다르면 검사할 곳도 다르다.

문제 1#

접근. 백지 암기 대상 두 상자를 그대로 복원하는 문제다. 세 걸음은 §1.3의 절차 상자, 네 칸 표는 §1.5에 있다. 외운 문장을 통째로 옮기는 것이 목적이 아니라, 각 칸이 왜 그 내용인지 말할 수 있는지를 스스로 점검하는 것이 목적이다.

풀이. 세 걸음: ① 값 지정 — 결론을 보고 넣을 값 \(t_0\)를 정하되 무대에 있는 문자와 상수로만 조립한다. ② 자격 검증 — 자격\((t_0)\)이 성립함을 증명한다. ③ 사실 수령 — 사건\((t_0)\)을 사실 목록에 추가한다.

네 칸 표는 다음과 같다. 결론의 \(\forall\) — 선택법 — “임의로 잡자” — 상대가 고른 셈. 결론의 \(\exists\) — 구성법 — “…로 두자” — 내가 고름. 가정의 \(\exists\) — 전진 한 걸음 — “그런 …를 잡자” — 이미 정해져 있음. 가정의 \(\forall\) — 특수화 — “…에 적용하면” — 내가 고름.

복기. 자가 채점의 기준은 표의 넷째 열이다. 넷째 열을 말로 설명할 수 있으면 나머지 세 열은 재구성된다 — 값을 내가 고르면 고르는 기술(역산)이 필요하고, 상대가 고르면 어느 값이 와도 통하는 논증이 필요하기 때문이다.

문제 2#

접근. 각 가정을 \(\forall\) 문장으로 편 뒤, 그 문장의 조건부 앞부분을 “넣는 것에 요구되는 자격”으로, 뒷부분을 “나오는 것”으로 읽는다. 표의 형식은 §1.4와 같다. (d)는 산출 문장 안에 존재 양화사가 남아 있다는 점이 나머지와 다르다.

풀이. (a) \(\forall y\,[\,y \in S \Rightarrow y \in T\,]\). 넣는 것: \(S\)에 속함이 확인된 원소. 나오는 것: 그 원소가 \(T\)에 속한다는 문장. (b) \(\forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]\). 넣는 것: \(S\)에 속함이 확인된 원소. 나오는 것: 그 원소가 \(M\) 이하라는 부등식. (c) \(\forall x \forall y\,[\,f(x+y) = f(x) + f(y)\,]\) — 전칭이 두 겹이고 자격은 “실수” 뿐이다. 넣는 것: 실수 두 개 \((x_0, y_0)\). 나오는 것: 등식 \(f(x_0 + y_0) = f(x_0) + f(y_0)\). (d) \(\forall \varepsilon\,[\,\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists N\,(\,n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(|a_n - 3| < \varepsilon\,)\,]\). 넣는 것: 양수 \(\varepsilon\). 나오는 것: 그 \(\varepsilon\)에 맞는 문턱 \(N\)이 존재한다는 문장.

복기. (d)에서 수령한 것은 아직 \(N\)이 아니라 “\(N\)이 존재한다”이다. \(N\)이라는 이름을 실제로 쓰려면 가정의 \(\exists\) 처리(“그런 \(N\)을 잡자”)가 한 번 더 필요하다. 특수화 한 번으로 겹이 한 겹만 벗겨진다는 것이 이 문제의 관찰이고, 문제 11과 문제 14가 같은 관찰의 연장이다.

문제 3#

접근. 값이 두 개인 전칭 사실이므로 자격도 두 개다. 걸음 ③에서는 산출 문장을 적는 데 그치지 않고 실제 수로 계산해 둔다 — 계산해 두어야 그 문장을 다음 줄의 근거로 바로 쓸 수 있다.

풀이. ① 값 지정: \((u, v) = (4, 9)\). ② 자격 검증: \(4 \ge 0\) ✓, \(9 \ge 0\) ✓. ③ 사실 수령: \(\sqrt{4 \cdot 9} \le \frac{4+9}{2}\), 곧 \(\sqrt{36} \le \frac{13}{2}\)이고 계산하면 \(6 \le 6.5\)이다. 참인 개별 문장 하나를 얻었다.

검산. \(6^2 = 36 = 4 \cdot 9\)이므로 \(\sqrt{36} = 6\)이 맞고, \(\frac{13}{2} = 6.5\)이므로 \(6 \le 6.5\) ✓.

복기. 자격이 눈으로 봐도 명백할 때조차 걸음 ②를 적는 이유는, 그 습관이 자격이 명백하지 않은 자리(예제 2.3, 문제 10)에서 거짓을 걸러 내는 유일한 줄이 되기 때문이다.

문제 4#

접근. 훈련 1은 직렬 구조, 훈련 2는 넣는 값을 식으로 조립하는 구조, 훈련 3은 병렬 구조다. 백지에서 막히면 빈칸을 채우려 하지 말고, 먼저 도착점을 \(\forall\) 문장으로 펴 적는 데서 다시 시작한다.

풀이. 세 훈련의 빈칸 답과 완성 산문은 §6의 “빈칸 사다리 — 훈련 1”, “빈칸 사다리 — 훈련 2”, “빈칸 사다리 — 훈련 3” 세 항목에 각각 적어 두었다. 백지에서 쓴 것을 그 세 산문과 줄 단위로 대조한다. 자가 채점의 기준은 빈칸의 글자가 아니라 세 걸음이 각 훈련에서 몇 번, 어떤 순서로 나왔는지다 — 훈련 1은 특수화 2회(직렬: 첫 산출 \(x \in B\)가 둘째 자격이 된다), 훈련 2는 1회(넣는 값이 \(t = x^2+1\)이라는 식이고, 자격 \(t > 0\)을 (W1)로 만들어야 한다), 훈련 3은 2회(병렬: 두 자격이 모두 같은 전개 줄에서 나온다)다.

복기. 세 훈련이 같은 절차의 세 배치라는 점을 확인하면, 처음 보는 명제에서도 “특수화가 몇 번 필요하고 그 자격들이 어디서 오는가”를 먼저 세는 습관이 생긴다. 그 셈이 끝나면 증명의 뼈대가 이미 결정되어 있다.

문제 5#

접근. 예제 2.1의 여섯 줄을 순서대로 복원한다. 밑줄을 그을 두 줄은 미리 정해져 있다 — 결론의 \(\forall\)를 여는 줄과 가정의 \(\forall\)를 소비하는 줄이다.

풀이. 재현한 증명은 다음과 같다.

증명. \(A \subseteq B\)라 하자. \(x \in C \cap A\)를 임의로 잡자. 교집합의 정의에 의해 \(x \in C\)이고 \(x \in A\)이다. \(x \in A\)이므로, \(A \subseteq B\)를 \(x\)에 적용하면 \(x \in B\)이다. \(x \in C\)이고 \(x \in B\)이므로, 교집합의 정의에 의해 \(x \in C \cap B\)이다. \(x\)가 임의였으므로 \(C \cap A \subseteq C \cap B\)이다. \(\blacksquare\)

밑줄이 그어지는 곳은 둘째 줄 “\(x \in C \cap A\)를 임의로 잡자”와 넷째 줄 “\(x \in A\)이므로, \(A \subseteq B\)를 \(x\)에 적용하면 \(x \in B\)이다”이다. 두 줄의 대비를 한 문장으로 적으면 이렇다 — 앞 줄은 값을 고를 권리 없이 대상을 받는 줄이고, 뒤 줄은 값을 골라 넣는 줄이다.

복기. 재현이 막히는 지점은 대개 넷째 줄이다. 넷째 줄이 나오려면 셋째 줄에서 \(x \in A\)가 이미 확보되어 있어야 하므로, 순서를 바꿔 적으면 자격을 검증할 문장이 없어진다. 줄 순서 자체가 논리적 의존 관계다.

문제 6#

접근. 두 부분으로 나뉜다. 앞부분은 자격이 통과하지 않는다는 판정과 반례 계산이고, 뒷부분은 가정을 강화했을 때 자격이 통과함을 보이는 한 줄이다. 뒷부분의 채점 대상은 사실상 그 한 줄이다.

풀이. 앞부분(재현). \(t = x - 5\)로 두면 도착점의 좌변과 (T)의 산출 좌변이 일치하므로 넣을 값은 이것으로 정해진다. 그러나 가정 \(x > 4\)에서 따라 나오는 것은 \(x - 5 > -1\)뿐이고 \(x - 5 > 0\)은 보장되지 않는다. 실제로 \(x = 4.5\)는 \(x > 4\)를 만족하지만 \(t = -0.5\)이고 \(t + \frac1t = -0.5 + (-2) = -2.5 < 2\)이므로 원래 명제의 반례다. 명제 자체가 거짓이었다.

뒷부분(고친 버전). 증명. 실수 \(x\)를 임의로 잡고 \(x > 5\)라 하자. \(t = x - 5\)로 두면, 양변에서 5를 빼는 이항에 의해 \(t > 0\)이다 [걸음 ② — 자격 검증]. (T)를 이 \(t\)에 적용하면 \(t + \frac1t \ge 2\)이고, \(t\)를 되돌려 쓰면 \((x-5) + \frac{1}{x-5} \ge 2\)이다. \(x\)가 임의였으므로 명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

검산. \(x = 6\)이면 좌변은 \(1 + 1 = 2\)이고 \(2 \ge 2\) ✓. \(x = 7\)이면 \(2 + \frac12 = 2.5 \ge 2\) ✓.

복기. 자격이 통과하지 않을 때의 표준 행동은 두 가지다 — 가정을 강화해 자격을 확보하거나, 명제가 거짓임을 반례로 확정하거나. 두 행동 모두 걸음 ②에서 나오는 정보를 읽어야 시작된다.

문제 7#

접근. 예제 2.1과 같은 뼈대이되 전개가 교집합이 아니라 합집합이므로, 정의를 편 결과가 “그리고”가 아니라 “또는”이 된다. “또는”이 나오면 경우 나누기(1권 17주차)로 갈라야 하고, 그때 각 경우에서 특수화가 필요한지 따로 판정한다.

풀이. 증명. \(A \subseteq B\)라 하자. \(x \in A \cup C\)를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ①]. 합집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이거나 \(x \in C\)이다.

경우 1: \(x \in A\)인 경우. \(A \subseteq B\)를 \(x\)에 적용한다 — 자격 \(x \in A\)는 이 경우의 가정이다 ✓ — 그러면 \(x \in B\)이다. 합집합의 정의에 의해 \(x \in B \cup C\)이다.

경우 2: \(x \in C\)인 경우. 합집합의 정의에 의해 곧바로 \(x \in B \cup C\)이다.

두 경우가 전체를 덮으므로 어느 경우든 \(x \in B \cup C\)이고, \(x\)가 임의였으므로 \(A \cup C \subseteq B \cup C\)이다. \(\blacksquare\)

한 줄 관찰. 특수화는 경우 1에서만 나온다. 가정으로 받은 전칭 사실이 증명의 모든 갈래에서 쓰여야 하는 것은 아니며, 소비처 점검의 기준은 “증명 전체에서 한 번 이상 쓰였는가”다.

복기. 경우 나누기와 특수화가 만나면 자격의 출처가 경우의 가정이 된다. 경우 1의 자격 \(x \in A\)는 전체 증명의 사실이 아니라 그 경우 안에서만 유효한 사실이므로, 경우 밖에서 \(x \in B\)를 쓰면 반칙이 된다.

문제 8#

접근. 상계의 정의를 \(\forall\) 문장으로 펴는 것이 첫 일이다. 그러면 자격이 “\(S\)에 속함”임이 드러나고, 둘째 가정 \(7 \in S\)가 정확히 그 자격을 채운다는 구조가 보인다. 뒤이은 모순 부분은 얻은 부등식과 추가 가정을 나란히 놓기만 하면 된다.

풀이. 상계의 정의를 펴면 가정은 \(\forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]\)이다. ① 값 지정: \(x\)에 7을 넣는다 — 결론이 \(7 \le M\)이므로 역산하면 이 값 하나다. ② 자격 검증: \(7 \in S\) ✓ — 둘째 가정이 그대로 자격이다. ③ 사실 수령: \(7 \le M\).

이어서 \(M < 7\)이 추가로 주어졌다고 하자. 방금 얻은 \(7 \le M\)과 함께 놓으면 \(7 \le M < 7\)이므로 추이성(1권 16주차 (W6))에 의해 \(7 < 7\)이 된다. 그런데 1권 16주차 정의 16.1에 따르면 \(7 < 7\)은 차 \(7 - 7 = 0\)이 양수라는 뜻이고, 이것은 같은 주차의 삼분법(0은 양수가 아니다 — 인정하고 쓰는 사실)에 어긋난다. 곧 어떤 수도 자기 자신보다 작지 않다. 따라서 세 문장은 동시에 성립할 수 없다. \(\blacksquare\)

복기. 상계 가정과 소속 가정을 충돌시켜 모순을 만드는 이 두 줄짜리 구조는, 최대\(\cdot\)최소를 다루는 증명에서 반복해 나온다. 필요한 것은 언제나 같다 — 상계 문장을 전칭으로 펴고, 소속이 확인된 원소를 하나 넣는 것.

문제 9#

접근. (a)는 결론에 양화사가 없으므로 특수화 한 번으로 끝난다. 넣는 값은 역산으로 정한다 — 산출 등식에 \(f(0)\) 이외의 것이 나타나지 않게 하려면 \(x\)와 \(y\) 모두 0이어야 한다. (b)는 결론에 “모든”이 있으므로 선택법이 먼저 오고, 그다음 산출 등식에 \(f(-x)\)와 \(f(x)\)가 함께 나타나도록 값을 정한다.

풀이. (a) 증명. 가정의 이중 전칭에 \((x, y) = (0, 0)\)을 넣는다 — 자격은 “실수”이고 0은 실수이므로 ✓. 수령하면 \(f(0 + 0) = f(0) + f(0)\)이고, 좌변이 \(f(0)\)이므로 \(f(0) = 2f(0)\)이다. 양변에서 \(f(0)\)을 빼면 \(0 = f(0)\), 곧 \(f(0) = 0\)이다. \(\blacksquare\)

(b) 증명. 실수 \(x\)를 임의로 잡자 [결론의 \(\forall\) — 선택법]. 가정의 이중 전칭에 \((x, -x)\)를 넣는다 — 자격은 \(x\)와 \(-x\)가 실수라는 것이고, 실수의 부호를 바꾼 것도 실수이므로 ✓. 수령하면 \(f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)\), 곧 \(f(0) = f(x) + f(-x)\)이다. (a)에 의해 좌변은 0이므로 \(0 = f(x) + f(-x)\)이고, 양변에서 \(f(x)\)를 빼면 \(f(-x) = -f(x)\)이다. \(x\)가 임의였으므로 모든 실수 \(x\)에 대해 성립한다. \(\blacksquare\)

검산. \(f(x) = 3x\)는 가정을 만족한다. 실제로 \(f(0) = 0\) ✓이고 \(f(-x) = -3x = -f(x)\) ✓.

복기. 두 넣는 값 \((0,0)\)과 \((x, -x)\)는 모두 역산으로 나왔다. 도착점에 나타날 항(\(f(0)\), \(f(-x)\))이 산출 등식에 등장하도록 값을 맞춘 것이고, 이것이 §1.5에서 확인한 “내가 고르는 칸”의 기술이다. 문제 15가 같은 기술의 심화다.

문제 10#

접근. 산출 문장의 참\(\cdot\)거짓과 논증의 유효성은 서로 다른 물음이다. 이 답안에서 검사할 것은 산출 문장이 아니라 걸음 ②다 — 넣은 값이 자격을 만족하는가.

풀이. 전칭 사실의 자격은 “\(n\)은 정수”이다. 그런데 넣은 값 \(\frac32\)는 정수가 아니므로 걸음 ②가 통과하지 못한다. 따라서 산출 문장 \(\frac94 \ge \frac32\)는 이 전칭 사실로부터는 아무 보증도 받지 못한다. 그 부등식이 참인 것은 별개의 사실이고, 참임을 주장하려면 별도의 근거가 필요하다.

“산출이 참”과 “논증이 유효”의 구분은 이렇게 정리된다. 논증의 유효성은 전제에서 결론으로 가는 연결에 대한 판정이고, 문장의 참은 그 문장 하나에 대한 판정이다. 연결이 끊어져 있어도 끝에 놓인 문장이 우연히 참일 수 있다 — S1주차 예제 2.2에서 확인한 대로, 가정이 거짓인 조건문이 참이 되는 것과 같은 종류의 어긋남이다. 채점은 문장이 아니라 연결에 대해 이루어진다.

복기. 자격 위반을 발견하는 방법은 언제나 같다. 전칭 사실의 조건부 앞부분을 소리 내어 읽고, 넣은 값을 그 자리에 대입해 참인지 확인한다. 이 답안에서는 “\(\frac32\)는 정수이다”가 거짓이므로 그 자리에서 판정이 끝난다.

문제 11#

접근. 수렴 가정은 \(\forall \varepsilon\)으로 시작하는 전칭 사실이므로 넣는 값은 우리가 고른다. 도착점이 “유계”이고 유계는 상수 두 개면 충분하므로, 편한 양수를 넣으면 된다 — \(\varepsilon = 1\)이 그 선택이다. 수령한 문장 안에 \(\exists N\)이 있으므로 “그런 \(N\)을 잡자”가 한 줄 더 필요하다.

풀이. 증명. \(a_n \to L\)이라 하자. 수렴의 정의에 \(\varepsilon = 1\)을 넣는다 — 자격은 \(\varepsilon > 0\)이고 \(1 > 0\)이므로 ✓. 수령하면 “\(n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(|a_n - L| < 1\)”인 양의 정수 \(N\)이 존재한다. 그런 \(N\)을 하나 잡자 [가정의 \(\exists\) 처리].

이제 \(n > N\)인 \(n\)을 임의로 잡자. 그러면 \(|a_n - L| < 1\)이다. 1권 17주차 문제 11의 보조정리(원 진술은 \(b \ge 0\)일 때 \(|a| \le b \iff -b \le a \le b\)이고, 부등호를 \(<\)로 바꾼 엄격 부등호판이 같은 논증으로 성립함은 1권 18주차 문제 11의 복기에서 확인했다)를 \(a = a_n - L\), \(b = 1\)에 적용하면 — 자격 \(1 \ge 0\) ✓ — 이 부등식은 \(-1 < a_n - L < 1\)과 같고, 각 변에 \(L\)을 더하면 \(L - 1 < a_n < L + 1\)이다. \(n\)이 임의였으므로, \(n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(a_n\)은 \(L - 1\)과 \(L + 1\) 사이에 있다. 곧 꼬리 \(\{a_n : n > N\}\)은 위아래로 유계다. \(\blacksquare\)

권리의 출처. \(\varepsilon\) 자리에 아무 양수나 넣을 수 있는 이유는, 수렴 가정이 가정 쪽에 있는 전칭 문장이기 때문이다. 가정의 \(\forall\)는 의무가 아니라 권리이므로 값을 고르는 쪽이 우리이고, 자격 \(\varepsilon > 0\)만 통과하면 어떤 양수든 넣을 수 있다.

복기. 여기서 1을 고른 것도 역산이다. 도착점이 “어떤 상수 두 개 사이에 갇힌다”이므로 \(\varepsilon\)이 무엇이든 상관없고, 계산이 가장 짧아지는 값을 골랐다. 반대로 1권 46주차에서 두 수렴을 합칠 때 \(\frac{\varepsilon}{2}\)를 고른 것은 도착점이 정확히 \(\varepsilon\)이었기 때문이다. 같은 절차에서 도착점이 바뀌면 넣는 값이 바뀐다. 전체 수열이 유계라는 더 강한 결론은 앞부분 \(a_1, \dots, a_N\)의 최댓값을 함께 취해 얻으며, 그 완성형이 1권 46주차 문제 15다.

문제 12#

접근. 도착점의 양변을 비교하면 좌변은 제곱 세 개, 우변은 곱 세 개다. 전칭 사실 \(u^2 + v^2 \ge 2uv\)의 산출 문장도 좌변이 제곱 둘, 우변이 곱 하나이므로, 세 곱 \(xy\), \(yz\), \(zx\)가 각각 하나씩 나오도록 세 쌍을 고르면 된다. 조립은 곱이 아니라 합이다.

풀이. 증명. 실수 \(x, y, z\)를 임의로 잡자 [선택법]. 전칭 사실을 세 쌍에 적용한다 — 자격은 “실수”뿐이고 \(x, y, z\)가 모두 실수이므로 세 번 모두 ✓.

\((u, v) = (x, y)\): \(x^2 + y^2 \ge 2xy\). \((u, v) = (y, z)\): \(y^2 + z^2 \ge 2yz\). \((u, v) = (z, x)\): \(z^2 + x^2 \ge 2zx\).

세 부등식을 변변 더하면

\[ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge 2xy + 2yz + 2zx \]

이고, 양변을 2로 나누면(2는 양수이므로 방향이 유지된다 — 1권 16주차 (W3)) \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\)이다. \(x, y, z\)가 임의였으므로 명제가 성립한다. \(\blacksquare\)

검산. \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\)이면 좌변 \(1 + 4 + 9 = 14\), 우변 \(2 + 6 + 3 = 11\)이고 \(14 \ge 11\) ✓.

복기. 예제 2.2와 이 문제는 다중 특수화라는 점에서 같고 조립 방법에서 다르다. 부등식의 합은 조건 없이 방향이 보존되지만, 곱은 양변이 양수여야 한다. 그래서 예제 2.2에는 양수 확인 줄이 있고 이 문제에는 없다. 조립 방법이 정해지면 어떤 확인 줄이 필요한지도 함께 정해진다.

문제 13#

접근. S3주차 문제 18이 확보한 것은 두 문장이다 — 부등식과 등호 조건. 둘 다 \(a, b\)에 대한 전칭 문장이므로, 같은 값을 두 문장 각각에 넣어야 한다. 등호 조건을 넣고 나면 그 조건이 이 판에서 일어날 수 있는지 판정할 수 있고, 일어날 수 없으면 \(\ge\)가 \(>\)로 강화된다.

풀이. 확보한 전칭 사실 두 개는 다음과 같다. (P1) 모든 실수 \(a, b\)에 대해 \(a^2 + ab + b^2 \ge 0\)이다. (P2) 모든 실수 \(a, b\)에 대해, (P1)의 등호가 성립하는 것은 \(a = b = 0\)일 때 그리고 그때뿐이다.

실수 \(x\)를 임의로 잡자 [선택법]. (P1)에 \((a, b) = (x, 1)\)을 넣는다 — 자격은 “실수”이고 \(x\)와 1이 모두 실수이므로 ✓. 수령하면 \(x^2 + x \cdot 1 + 1^2 \ge 0\), 곧 \(x^2 + x + 1 \ge 0\)이다.

이어서 (P2)에 같은 값 \((a, b) = (x, 1)\)을 넣는다 — 자격은 동일하게 ✓. 수령하면 “이 판에서 등호가 성립하는 것은 \(x = 0\)이고 \(1 = 0\)일 때뿐”이다. 그런데 \(1 = 0\)은 거짓이므로 등호는 성립할 수 없다. 따라서 \(x^2 + x + 1 > 0\)이다. \(x\)가 임의였으므로 모든 실수 \(x\)에 대해 성립한다. \(\blacksquare\)

검산. \(x = -\frac12\)에서 좌변은 \(\frac14 - \frac12 + 1 = \frac34 > 0\) ✓. 이 값이 최솟값이므로 다른 곳에서도 양수다.

복기. 등호 조건 문장 자체가 전칭 문장이라는 점이 이 문제의 관찰이다. 정리를 인용할 때 부등식만 가져오고 등호 조건을 두고 오면, 정확히 그 조건이 필요한 자리에서 다시 막힌다. 정리의 “전부”를 같은 값으로 함께 특수화해 두는 것이 근거 ④를 제대로 쓰는 방식이다.

문제 14#

접근. 전칭이 두 겹이면 특수화는 한 겹씩 벗긴다. 바깥 겹을 살려 둔 채 안쪽만 쓰려면 바깥을 선택법으로 열고, 안쪽만 특수화한 뒤, 선택법 걸음 ④로 다시 닫는다. 특수화는 개별 문장만 산출하므로 전칭 문장을 만들어 내지 못하며, 남은 전칭을 되살리는 일은 걸음 ④의 몫이다. 판정 방법은 마지막에 남은 문장을 읽어 “모든 \(x\)에 대해”가 앞에 붙어 있는지 보는 것이다.

풀이. 실수 \(x\)를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ① — 바깥 \(\forall x\)를 소비한다]. 남은 것은 이 \(x\)에 대한 문장 \(\forall y\,[\,f(x+y) = f(x) + f(y)\,]\)이다. 여기에 \(y = x\)를 넣는다 [특수화 걸음 ① — 값 지정]. 자격은 “\(y\)는 실수”이고 방금 잡은 \(x\)는 실수이므로 ✓ [걸음 ②]. 수령하면 \(f(x + x) = f(x) + f(x)\), 곧 \(f(2x) = 2f(x)\)이다 [걸음 ③]. \(x\)가 임의였으므로 [선택법 걸음 ④]

\[ \forall x\,[\,f(2x) = 2f(x)\,] \]

가 사실 목록에 들어간다. 이것은 여전히 전칭 사실이다. 개별 등식이 아니라 사실 목록에 새로 추가된 전칭 문장이므로, 다시 특수화할 수 있다.

이 문장에 \(x = 3\)을 넣는다 — 자격은 “실수”이고 3은 실수이므로 ✓. 수령하면 \(f(2 \cdot 3) = 2f(3)\), 곧 \(f(6) = 2f(3)\)이다. 이번에는 전칭이 남지 않았으므로 개별 등식이다. \(\blacksquare\)

검산. \(f(x) = 3x\)로 확인하면 \(f(6) = 18\)이고 \(2f(3) = 2 \cdot 9 = 18\) ✓.

복기. 특수화 한 번이 벗기는 것은 한 겹이다. 단, 바깥 겹을 유지한 채 안쪽만 쓰려면 선택법으로 열고 걸음 ④로 닫아야 한다 — 특수화만으로는 전칭 문장이 결코 산출되지 않기 때문이다. 겹이 몇 개인지 세어 두면 특수화를 몇 번 해야 개별 문장에 도달하는지가 미리 정해진다. 문제 2(d)의 수렴 가정처럼 겹 사이에 \(\exists\)가 끼어 있으면, 벗기는 도중에 기법이 특수화에서 존재 수령으로 바뀐다. 이 교대 규칙이 S8주차의 주제다.

문제 15#

접근. 앞의 두 등식은 넣는 값이 곧바로 보인다 — \(f(2x)\)를 만들려면 두 조각의 합이 \(2x\)가 되어야 하고, \(f(3x)\)는 앞 결과를 부품으로 쓰면 조각이 \(2x\)와 \(x\)로 정해진다. 마지막이 관문이다. 도착점 \(f(\frac{x}{2}) = \frac{f(x)}{2}\)에는 \(f(x)\)가 있으므로, 산출 등식의 좌변이 \(f(x)\)가 되도록 값을 역산한다.

풀이. 증명. 실수 \(x\)를 임의로 잡자 [선택법].

\(f(2x)\)에 대하여. 가정에 \((x, x)\)를 넣는다 — 자격: \(x\)는 실수 ✓. 수령하면 \(f(x + x) = f(x) + f(x)\), 곧 \(f(2x) = 2f(x)\)이다.

\(f(3x)\)에 대하여. 가정에 \((2x, x)\)를 넣는다 — 자격: \(2x\)와 \(x\)가 모두 실수 ✓. 수령하면 \(f(2x + x) = f(2x) + f(x)\), 곧 \(f(3x) = f(2x) + f(x)\)이다. 방금 얻은 \(f(2x) = 2f(x)\)를 대입하면 \(f(3x) = 2f(x) + f(x) = 3f(x)\)이다.

\(f(\frac{x}{2})\)에 대하여. 가정에 \(\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2}\right)\)를 넣는다 — 자격: \(\frac{x}{2}\)는 실수 ✓. 수령하면 \(f\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x}{2}\right)\) 이고, 좌변의 괄호 안은 \(x\)이므로 \(f(x) = 2f\left(\frac{x}{2}\right)\)이다. 양변을 2로 나누면 \(f\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{f(x)}{2}\)이다.

\(x\)가 임의였으므로 세 등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립한다. \(\blacksquare\)

검산. \(f(x) = 3x\)로 확인하면 \(f(2x) = 6x = 2f(x)\) ✓, \(f(3x) = 9x = 3f(x)\) ✓, \(f(\frac{x}{2}) = \frac{3x}{2} = \frac{f(x)}{2}\) ✓.

복기. 마지막 넣는 값은 앞의 둘과 방향이 반대다. 앞의 둘은 산출 등식의 우변에 도착점의 재료가 나오게 했고, 마지막은 좌변에 도착점의 재료 (\(f(x)\))가 나오게 했다. 값을 고를 때 보는 곳은 도착점의 어느 쪽에 부품이 부족한가이며, 그 자리에 맞춰 역산한다. 이 사슬을 계속 이으면 모든 유리수 \(q\)에 대해 \(f(qx) = q f(x)\)가 나온다.

문제 16#

접근. 결론 \(f = g\)를 정의로 펴는 것이 첫 일이다. 1권 40주차의 기준에 따르면 정의역과 공역이 같을 때 함수의 상등은 “모든 입력에서 값이 일치한다”이므로, 결론은 전칭 문장이고 선택법이 먼저 온다. 그다음 같은 점에 전칭 사실 두 개를 각각 특수화한다.

풀이. 증명. 두 함수의 정의역과 공역이 모두 \(\mathbb{R}\)로 같으므로, 함수 상등의 기준에 따라 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) = g(x)\)임을 보이면 된다.

실수 \(x\)를 임의로 잡자 [결론의 \(\forall\) — 선택법]. 가정 ①에 이 \(x\)를 넣는다 — 자격: \(x\)는 실수 ✓ — 수령하면 \(f(x) \le g(x)\)이다. 가정 ②에 같은 \(x\)를 넣는다 — 자격: 동일하게 ✓ — 수령하면 \(g(x) \le f(x)\)이다.

두 부등식 \(f(x) \le g(x)\)와 \(g(x) \le f(x)\)가 동시에 성립한다. 1권 16주차 정의 16.1로 읽으면 앞의 것은 차 \(g(x) - f(x)\)가 양수이거나 0이라는 뜻이고 뒤의 것은 \(f(x) - g(x)\)가 양수이거나 0이라는 뜻인데, 두 차는 부호가 반대이므로 삼분법에 의해 둘 다 양수일 수는 없다. 남는 경우는 \(g(x) - f(x) = 0\)뿐이고, 곧 \(f(x) = g(x)\)이다. 이 한 문단이 \(\le\)의 반대칭성이며, 근거 목록의 이름이 아직 없으므로 이렇게 정의 16.1과 삼분법으로 풀어 적는다. \(x\)가 임의였으므로 모든 실수에서 값이 일치하고, 따라서 \(f = g\)이다. \(\blacksquare\)

복기. “양쪽 \(\le\)를 각각 보이고 합쳐 상등을 얻는다”는 구조는 1권 27주차의 집합 상등(양방향 포함)과 같은 정신이다. 이번 문제에서 새로운 것은 그 구조를 같은 점에 두 전칭 사실을 특수화하는 일로 실행했다는 점이다. 두 특수화는 병렬이며, 자격의 출처가 둘 다 선택 문장이므로 순서를 바꿔도 된다.

문제 17#

접근. 결론 \(a \le b\)를 직접 만들 재료가 없다 — 가정이 주는 것은 \(\varepsilon\)이 들어간 부등식뿐이다. 그래서 결론을 부정해 \(a > b\)를 사실 목록에 올린다(1권 21주차). 이 순간 \(a - b\)가 양수가 되고, 양수는 자격 \(\varepsilon > 0\)을 통과하는 값이 된다. 부정문 자체가 넣는 값의 재료가 되는 구조다.

풀이. 증명. 결론을 부정해 \(a > b\)라 가정하자 [귀류법 개시]. 그러면 \(a - b > 0\)이므로 \(\varepsilon_0 = \dfrac{a-b}{2}\)로 두면 \(\varepsilon_0 > 0\)이다 [걸음 ② — 자격 검증: 양수를 양수로 나눈 값은 양수].

가정의 전칭 사실을 \(\varepsilon = \varepsilon_0\)에 적용한다 [걸음 ①과 ③]. 수령하면

\[ a \le b + \frac{a-b}{2} = \frac{2b + a - b}{2} = \frac{a+b}{2} \]

이다. 한편 \(a > b\)이므로 양변에 \(a\)를 더하면 \(2a > a + b\)이고, 2로 나누면 \(\frac{a+b}{2} < a\)이다. 두 결과를 이으면 \(a \le \frac{a+b}{2} < a\), 곧 \(a < a\)가 된다. 1권 16주차 정의 16.1로 읽으면 이것은 차 \(a - a = 0\)이 양수라는 뜻이므로 같은 주차의 삼분법에 어긋난다(문제 8에서 쓴 것과 같은 줄이다). 모순이므로 부정한 가정이 거짓이고, 따라서 \(a \le b\)이다. \(\blacksquare\)

검산. 결론이 옳게 작동하는지 사례로 확인한다. \(a = 3\), \(b = 3\)이면 모든 양수 \(\varepsilon\)에 대해 \(3 \le 3 + \varepsilon\)이 성립하고 결론 \(3 \le 3\)도 참이다 ✓. \(a = 4\), \(b = 3\)이면 \(\varepsilon = 0.5\)에서 가정이 깨지므로 전제 자체가 성립하지 않는다 ✓.

복기. 넣는 값 \(\frac{a-b}{2}\)를 고른 과정을 역산으로 다시 읽어 둔다. 모순을 만들려면 산출 문장 \(a \le b + \varepsilon\)이 \(a\)보다 작은 상한을 주어야 하므로 \(b + \varepsilon < a\), 곧 \(\varepsilon < a - b\)가 필요하다. 동시에 자격 \(\varepsilon > 0\)도 지켜야 하므로 0과 \(a - b\) 사이의 값이면 되고, 그중 가장 적기 쉬운 것이 절반이다. 이 명제는 “임의의 여유로 성립하면 여유 없이도 성립한다”는 꼴로 해석학에서 반복해 쓰이므로, 이름을 붙여 근거 ④ 목록에 넣어 둔다.

문제 18#

접근. 이 답안에서 검사할 것은 계산이 아니라 사실 목록이다. “이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로”라는 구절이 무엇을 사실 목록에 올렸는지 지목하면 반칙이 곧바로 드러난다.

풀이. 반칙은 두 가지다.

첫째, 결론 등록이다. “이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로”라는 문장은 지금 증명하려는 결론 자체를 사실 목록에 올린 것이다. 아직 확보되지 않은 문장을 근거로 쓰는 것이므로 순환이며, 이 한 줄로 답안 전체가 무효가 된다.

둘째, 칸 착각이다. 설령 그 순환을 걷어 내더라도, \(x = 5\)에서 참임을 보인 것은 개별 사례 하나의 확인일 뿐 전칭 결론의 증명이 아니다. 결론의 \(\forall\)는 선택법의 의무이지 특수화의 권리가 아니다.

“적용한다”가 합법이 되는 조건은 하나다 — 그 전칭 문장이 공리이거나 이미 증명된 정리로서 사실 목록에 이미 있을 때뿐이다. 증명하려는 문장에는 쓸 수 없다.

올바른 증명. 실수 \(x\)를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ①]. 실수의 제곱이 음이 아니라는 것은 1권 16주차 (W1)이 확보한 사실이므로 \(x^2 \ge 0\)이다. \(x\)가 임의였으므로 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 자격 미검증(예제 2.3)과 결론 등록(이 문제)은 둘 다 특수화의 반칙이지만 무너지는 곳이 다르다. 앞의 것은 넣는 값이 잘못된 경우이고, 뒤의 것은 넣을 문장 자체가 사실 목록에 없는 경우다. 자기 답안을 검열할 때는 두 물음을 따로 던진다 — “이 문장은 이미 확보되어 있는가”, “이 값은 자격을 통과하는가”.

문제 19#

접근. 사실 ②가 전칭 문장이므로 값을 넣을 때마다 조건문이 하나씩 나온다. 조건문을 얻은 다음에는 그 앞부분이 이미 사실 목록에 있는지 확인해 뒷부분을 꺼내야 한다 — 특수화와 전건 긍정이 번갈아 나오는 구조다.

풀이. 1단계. ②에 \(n = 1\)을 넣는다 — 자격: 1은 양의 정수 ✓. 수령: “\(P(1)\)이면 \(P(2)\)”. 사실 ①이 \(P(1)\)을 주므로 전건 긍정에 의해 \(P(2)\)를 얻는다.

2단계. ②에 \(n = 2\)를 넣는다 — 자격: 2는 양의 정수 ✓. 수령: “\(P(2)\)이면 \(P(3)\)”. 1단계에서 얻은 \(P(2)\)와 전건 긍정에 의해 \(P(3)\)을 얻는다.

3단계. ②에 \(n = 3\)을 넣는다 — 자격: 3은 양의 정수 ✓. 수령: “\(P(3)\)이면 \(P(4)\)”. 2단계에서 얻은 \(P(3)\)과 전건 긍정에 의해 \(P(4)\)를 얻는다. \(\blacksquare\)

한 문장 답. 이 유한 사슬을 “모든 양의 정수 \(n\)”에 대해 한 번에 처리하는 것이 수학적 귀납법의 원리이며(1권 31주차), 그 원리는 사실 ①과 ②만으로 모든 \(P(n)\)을 결론짓게 해 주므로 999단계를 손으로 잇는 일을 대신한다.

복기. 귀납법이 무엇을 대신하는지가 이 문제의 관찰이다. 특수화 사슬은 목표 번호가 정해져 있을 때만 유한 번에 끝나고, 목표가 “모든 \(n\)”이면 끝나지 않는다. 귀납법의 원리는 그 무한 사슬을 두 개의 유한한 증명(기저와 한 칸 전달)으로 바꾸는 규칙이다. S14주차에서 이 구조를 다시 해부한다.

문제 20#

접근. (a)는 §1.4 마지막 줄의 주장을 자기 경험으로 뒷받침하는 문제다. 인용 장면 하나를 골라 그 순간의 전칭 변수와 넣은 값, 확인한 자격을 구체적으로 적는다. (b)는 §1.5 확인 5의 답을 두 문장으로 압축한다.

풀이. (예시 답안)

(a) 1권 16주차에서 “양변에 양수 \(c\)를 곱해도 부등호가 유지된다((W3))”라고 적을 때마다, 우리는 전칭 정리 \(\forall a, b, c\,[\,a \le b\)이고 \(c > 0\)이면 \(ac \le bc\,]\)의 \(a, b, c\) 자리에 그 순간의 구체적인 세 값을 넣고 있었다. 그때 습관적으로 확인하던 “곱하는 것이 양수인가”가 바로 걸음 ②의 자격 검증이었고, 얻은 부등식을 다음 줄의 근거로 적은 것이 걸음 ③이었다. 그러므로 정리를 인용한다는 것은 이름이 붙은 전칭 사실을 특수화하는 일과 같은 동작이며, 이번 주가 한 일은 그 동작에 걸음 번호를 붙인 것뿐이다.

(b) 두 칸 모두 값을 도착점에서 거꾸로 읽어 정한다 — 구성법의 증인은 결론의 등식이 성립하도록 역산해 세우고, 특수화의 넣는 값은 산출 문장에 도착점의 재료가 나타나도록 역산해 고른다. 그리고 두 경우 모두 고른 값은 지금 무대에 이미 있는 문자와 상수로만 조립해야 하며, 무대 밖에서 문자를 들여오면 그 값이 무엇인지 정해지지 않아 산출 문장이 뜻을 잃는다.

복기. 이 두 물음의 답을 한 줄로 합치면 이번 주의 요약이 된다 — 가정의 \(\forall\)는 이미 확보된 사실이고, 그 사실을 쓰는 기술의 전부는 결론을 보고 넣을 값을 고르는 일이다.

다음 주 예고 (S8주차): 양화사 4부작의 완결이다. \(\forall \varepsilon\,\exists N\,\forall n\) 처럼 겹이 여러 개인 명제를 바깥부터 한 겹씩 벗기며, 겹마다 네 칸 표를 다시 적용한다. 새 기법은 하나도 추가되지 않는다 — 이번 주까지의 네 칸이 전부이고, 달라지는 것은 그 칸을 적용하는 순서뿐이다. 1권 45주차에서 서식으로 외웠던 \(\varepsilon\)-\(N\) 증명의 첫 세 줄이 왜 그 순서여야 하는지가 여기서 유도된다. S9주차 종합시험 직전의 마지막 신기술이므로, 원서 7장을 통독하고 온다.