# S7주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 넣는 값을 함께 고르기

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 한 예제마다 하나씩 빠진다.

### 예제 2.1 — 가정의 전칭과 결론의 전칭이 한 증명에

**명제.** $A \subseteq B$이면 $C \cap A \subseteq C \cap B$이다.

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것 (도착점)을 먼저 수식으로 옮긴다. 이번 주에는 출발점 칸에 "그 전칭 문장을 무엇에 넣을 것인가"까지 적는다.

|  | **말** | **수식 번역** |
|---|---|---|
| 가정 (출발점) | $A \subseteq B$ | $\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]$ — 넣을 값은 아직 미정 |
| 목표 (도착점) | $C \cap A \subseteq C \cap B$ | $\underline{\quad(?)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 8.** 도착점 칸을 채워 보자. 목표의 포함관계를 정의로 펴면 어떤 전칭

문장이 되는가. 그리고 그 전칭은 네 칸 표의 어느 칸인가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$\forall x\,[\,x \in C \cap A \Rightarrow x \in C \cap B\,]$이며, **결론의 $\forall$** —

선택법의 칸이다.

한 명제 안에 전칭이 두 개 있고 칸이 서로 다르다. 가정의 전칭은 재료이고

결론의 전칭은 의무다. 처리법이 정반대이므로, 어느 쪽을 다루고 있는지 매 줄

의식하는 것이 이 예제의 목적이다.
:::

**1단계 — 결론의 전칭부터 연다.** 증명의 첫 문장은 결론 쪽이 정한다. 결론이 전칭이므로 선택법의 걸음 ①이 먼저 온다.

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**확인 9.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$를 임의로 잡자."
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"$x \in C \cap A$를 임의로 잡자." 자격은 "$C \cap A$에 속하는 원소"이고, 그

자격을 그대로 옮겨 적은 것이 첫 문장이다.

이 문장을 쓰는 순간 무대에 $x$가 올라온다. 특수화에 넣을 값은 무대에 있는

것으로만 조립해야 하므로, 순서가 반대일 수 없다.
:::

**2단계 — 가진 것을 정의로 편다.** 새로 얻은 사실 $x \in C \cap A$를 전진 방향으로 전개한다.

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**확인 10.** 둘째 문장을 완성해 보자: "교집합의 정의에 의해 $\underline{\qquad}$이다."
:::

:::{admonition} 답
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"$x \in C$이고 $x \in A$이다." 근거 ① 정의.

이 줄에서 얻은 $x \in A$가 다음 걸음의 자격 검증 재료가 된다. 정의를 펴는

줄과 특수화 줄의 순서가 바뀌면 자격을 검증할 문장이 아직 없다.
:::

**3단계 — 가정의 전칭에 값을 넣는다.** 이번 주의 걸음이다. 세 걸음을 각각 적는다.

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**확인 11.** 셋째 문장을 세 걸음으로 나누어 완성해 보자.

① 값 지정: $A \subseteq B$의 전칭 변수 $y$에 $\underline{\quad}$를 넣는다.

② 자격 검증: $\underline{\qquad}$ — 근거는 $\underline{\qquad}$.

③ 사실 수령: $\underline{\qquad}$.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

① $y$에 $x$를 넣는다. 무대에 있는 문자는 $x$뿐이고, 도착점이 요구하는 것이

$x \in B$이므로 역산하면 넣을 값은 $x$ 하나로 정해진다.

② 자격은 "$x \in A$"이고, 근거는 직전 줄(2단계에서 정의를 편 결과)이다.

③ $x \in B$.

답안에 적을 때는 한 문장으로 이어 쓴다: "$x \in A$이므로, $A \subseteq B$를

$x$에 적용하면 $x \in B$이다."
:::

**4단계 — 도착점의 꼴로 조립한다.** 결론이 요구하는 것은 $C \cap B$ 소속이다.

:::{container} quotebox
**확인 12.** 넷째 문장을 완성해 보자:

"$\underline{\quad}$이고 $\underline{\quad}$이므로, 교집합의 정의에 의해 $x \in C \cap B$이다."
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"$x \in C$이고 $x \in B$이므로". 앞의 것은 2단계에서, 뒤의 것은 3단계에서 얻었다.

특수화가 한 일은 정확히 하나 — 조립에 필요한 두 부품 중 없던 쪽을 만들어 준

것이다.
:::

**5단계 — 선택법의 걸음 ④로 닫는다.**

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**확인 13.** 마지막 문장을 완성해 보자: "$x$가 $\underline{\qquad}$이었으므로 $\underline{\qquad}$이다. $\blacksquare$"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"$x$가 임의였으므로 $C \cap A \subseteq C \cap B$이다. $\blacksquare$"

이 줄이 없으면 증명한 것은 특정 원소 하나에 대한 문장뿐이다 — S6주차 걸음 ④의

역할이 여기서도 그대로다.
:::

**완성본.** 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $A \subseteq B$라 하자. | 조건문의 가정을 사실 목록에 올린다. 이 문장은 전칭이므로 아직 그대로는 쓰이지 못한다. |
| $x \in C \cap A$를 임의로 잡자. | **결론의 $\forall$ — 선택법 걸음 ①.** 결론의 포함관계가 숨기고 있는 전칭을 연다. 이 줄에서 $x$가 무대에 올라온다. |
| 교집합의 정의에 의해 $x \in C$이고 $x \in A$이다. | 새로 얻은 사실을 정의로 편다(근거 ①). 여기서 나온 $x \in A$가 다음 줄의 자격이 된다. |
| $x \in A$이므로, $A \subseteq B$를 $x$에 적용하면 $x \in B$이다. | **가정의 $\forall$ — 특수화.** ① 값 지정: 도착점이 $x \in B$이므로 넣을 값은 $x$ ② 자격 검증: $x \in A$ ✓ (직전 줄) ③ 사실 수령: $x \in B$. |
| $x \in C$이고 $x \in B$이므로, 교집합의 정의에 의해 $x \in C \cap B$이다. | 도착점의 꼴로 조립한다(근거 ①). 두 부품 중 하나가 방금 특수화로 만들어졌다. |
| $x$가 임의였으므로 $C \cap A \subseteq C \cap B$이다. $\blacksquare$ | **선택법 걸음 ④.** 개별 원소에 대한 결론을 전칭으로 승격한다. |

**한 증명 안의 두 전칭.** 둘째 줄과 넷째 줄은 둘 다 $\forall$를 다루지만 동사가 정반대다 — 하나는 "임의로 잡자"이고 하나는 "적용하면"이다. 잡는 쪽은 값을 고를 권리가 없고, 적용하는 쪽은 값을 고를 의무가 없다. 네 칸 표에서 "내가 고르는" 두 줄과 "남이 고르는" 두 줄을 갈라 놓았던 대비가, 증명 한 편 안에서 드러난 모습이다. 1권 27주차에서 원소 하나를 따라가며 감각으로 하던 일의 해부도이기도 하다.

### 예제 2.2 — 다중 특수화: 같은 사실을 세 번

**명제.** 양의 실수 $a, b, c$에 대해 $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$이다.

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. 쓸 전칭 사실은 §1.2의 (G)다.

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**확인 14.** 번역표를 채워 보자.

가정 (출발점): $a, b, c$는 양의 실수 $\to$ 자격 검증에 쓸 사실 $\underline{\qquad}$.

목표 (도착점): $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$ $\to$ 좌변이 세 인수의 곱이므로, 인수마다

$\underline{\qquad}$ 꼴의 부등식을 하나씩 만든 뒤 $\underline{\qquad}$.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

출발점: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$. 이 셋이 (G)의 자격 $u \ge 0$, $v \ge 0$을

만족시키는 근거가 된다.

도착점: 인수마다 "(그 인수) $\ge$ (제곱근 꼴)" 부등식을 하나씩 만든 뒤 **세

부등식을 변변 곱한다**.
:::

:::{container} quotebox
**확인 15.** (G)에 넣을 값을 정해 보자. 좌변의 세 인수가 $a+b$, $b+c$, $c+a$

이므로, $(u, v)$에 무엇을 넣어야 하는가. 세 쌍을 모두 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$(u, v) = (a, b)$, $(b, c)$, $(c, a)$.

고른 방법은 역산이다. 도착점의 좌변에 $a + b$가 있고, (G)의 산출 문장 좌변은

$u + v$이므로, $u + v$가 $a + b$가 되도록 값을 정하면 순서를 무시하고 $(a, b)$로

결정된다 — $(b, a)$를 넣어도 (G)가 $u$와 $v$에 대칭이므로 같은 부등식이 나온다.

나머지 두 쌍도 같은 방식이다. 넣는 값을 고르는 기술은 결론을 보고 거꾸로

읽는 것이고, 이것이 §1.5에서 확인한 "내가 고르는 칸"의 공통 기술이다.
:::

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| 양의 실수 $a, b, c$를 임의로 잡자. | **결론의 $\forall$ — 선택법 걸음 ①.** 자격은 "양의 실수" 셋이다. |
| (G)를 $(u, v) = (a, b)$에 적용한다. 자격: $a > 0$이므로 $a \ge 0$ ✓, $b > 0$이므로 $b \ge 0$ ✓. 수령: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$. | **특수화 1.** 세 걸음을 모두 적었다. 자격이 가정에서 한 줄로 나오더라도 생략하지 않는다. |
| 같은 방식으로 $(u, v) = (b, c)$와 $(c, a)$에 적용하면 $b + c \ge 2\sqrt{bc}$, $c + a \ge 2\sqrt{ca}$를 얻는다. | **특수화 2, 3.** 전칭 사실은 소모되지 않으므로 같은 (G)를 다시 쓴다. 넣는 값만 바뀐다. |
| 세 부등식은 양변이 모두 양수이므로 변변 곱하면 $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}$이다. | 양변이 양수인 부등식끼리는 곱해도 방향이 유지된다(1권 16주차 (W3)의 연쇄). 양수임을 확인하는 줄이 곱셈의 조건이다. |
| $a, b, c > 0$이므로 $\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca} = \sqrt{a^2b^2c^2} = abc$이다. | 우변을 도착점의 꼴로 정리한다. 근호를 합치는 등식도 음이 아닌 수에서만 성립하므로 조건을 적는다. |
| 따라서 $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$이다. $x$가 아니라 $a, b, c$가 임의였으므로 전칭이 성립한다. $\blacksquare$ | 선택법 걸음 ④로 닫는다. |

**세 번 쓴 것은 하나의 사실이다.** (G)는 한 번 쓰면 사라지는 것이 아니라, 자격을 만족하는 값이면 몇 번이든 넣을 수 있는 문장이다. 어느 쌍에 넣을지를 정한 것은 도착점의 좌변 구조였다 — 걸음 ①을 역산 없이 넘겨 아무 쌍에나 넣으면 곱했을 때 우변이 $8abc$로 정리되지 않는다.

### 예제 2.3 — 설계부터 혼자: 자격이 통과하지 않는 경우

**명제(시도 대상).** 실수 $x$에 대해, $x > 4$이면 $(x - 5) + \dfrac{1}{x-5} \ge 2$이다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 쓸 전칭 사실은 §1.3의 (T)다.

:::{container} quotebox
**확인 16.** 설계를 적어 보자.

① 값 지정: (T)의 $t$에 무엇을 넣으면 도착점이 나오는가.

② 자격 검증: 그 값이 (T)의 자격 $t > 0$을 만족하는가. 가정 $x > 4$에서 실제로

따라 나오는지 확인해 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

① $t = x - 5$. 도착점의 좌변이 $(x-5) + \frac{1}{x-5}$이고 (T)의 산출 좌변이

$t + \frac1t$이므로, 역산하면 넣을 값이 하나로 정해진다.

② **따라 나오지 않는다.** 가정 $x > 4$에서 나오는 것은 $x - 5 > -1$뿐이고,

이것은 $x - 5 > 0$을 보장하지 않는다. 걸음 ②가 통과하지 못하므로 특수화를

실행할 수 없다.

여기서 멈추는 것이 옳은 판단이다. 자격이 통과하지 않을 때 할 일은 걸음 ②를

생략하는 것이 아니라, 명제 자체를 의심하는 것이다.
:::

**진단.** 걸음 ②가 통과하지 않는다는 신호를 따라가면 명제 자체가 거짓임이 드러난다. $x = 4.5$를 잡으면 가정 $x > 4$는 성립하지만 $t = x - 5 = -0.5$이고, 이때 $(x-5) + \frac{1}{x-5} = -0.5 - 2 = -2.5$이므로 결론 $\ge 2$가 거짓이다. 따라서 $x = 4.5$는 명제의 반례이고, 명제는 거짓이다. 덧붙여 $x = 5$는 가정 $x > 4$를 만족하지만, 이때 $\frac{1}{x-5}$의 분모가 0이 되어 결론 문장 자체가 뜻을 잃는다 — 명제가 거짓인 것에 더해, 진술 자체가 성립하지 않는 값까지 가정이 통과시키고 있었다. 걸음 ②를 생략한 답안은 거짓 명제에 증명을 붙일 뻔했다. 자격 검증은 요식이 아니라 참$\cdot$거짓을 가르는 관문이라는 §1.3의 판정이 여기서 사례로 확인된다.

**고친 명제와 그 증명.** 가정을 $x > 5$로 바꾸면 자격 $t > 0$이 통과하고, 동시에 $x - 5 \neq 0$이 보장되어 좌변이 가정을 만족하는 모든 $x$에서 정의된다.

**명제.** 실수 $x$에 대해, $x > 5$이면 $(x - 5) + \dfrac{1}{x-5} \ge 2$이다.

**증명.** 실수 $x$를 임의로 잡고 $x > 5$라 하자. $t = x - 5$로 두면 양변에서 5를 빼는 이항에 의해 $t > 0$이다. (T)를 이 $t$에 적용하면 — 자격 $t > 0$이 방금 확인되었으므로 — $t + \frac1t \ge 2$, 곧 $(x-5) + \frac{1}{x-5} \ge 2$를 얻는다. $x$가 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$

이번 증명은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 산문에서도 세 걸음은 그대로 남아 있다 — "$t = x-5$로 두면"이 걸음 ①, "$t > 0$이다"가 걸음 ②, "$t + \frac1t \ge 2$를 얻는다"가 걸음 ③이다.

### 관찰 — 같은 뼈대

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재가 전혀 다르지만 특수화가 들어가는 자리는 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

|  | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3(고친 버전)** |
|---|---|---|---|
| 쓴 전칭 사실 | $A \subseteq B$ | (G) | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| 넣는 값을 정한 근거 | 도착점이 $x \in B$ | 도착점 좌변의 세 인수 | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| 자격 | $x \in A$ | $a, b, c \ge 0$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ |
| 자격의 출처 | 교집합 정의를 편 직전 줄 | 선택 문장의 자격 | $\underline{\quad(4)\quad}$ |
| 특수화 횟수 | 1 | $\underline{\quad(5)\quad}$ | 1 |

:::{container} quotebox
**확인 17.** 표의 빈칸 (1)~(5)를 채우고, 세 예제에서 공통으로 반복된 순서를

세 걸음으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) (T)  (2) 도착점 좌변이 $(x-5) + \frac{1}{x-5}$  (3) $x - 5 > 0$

(4) 가정 $x > 5$의 이항  (5) 3

공통 순서는 이렇다. **① 도착점을 보고 넣을 값을 정한다 $\to$ ② 그 값의 자격을

무대에 이미 있는 사실로 검증한다 $\to$ ③ 산출 문장을 사실 목록에 넣고 조립을

계속한다.** 자격의 출처가 매번 다르다는 점만 유의한다 — 직전 줄일 수도,

선택 문장의 자격일 수도, 가정의 변형일 수도 있다.
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
:class: keybox

**특수화가 들어간 증명의 뼈대**

결론의 $\forall$가 있으면 먼저 선택법으로 대상을 무대에 올린다 $\to$ 가진 사실을 정의로 편다 $\to$ 도착점을 보고 넣을 값을 정해 가정의 전칭에 특수화한다(자격 검증 포함) $\to$ 산출 문장으로 도착점을 조립한다 $\to$ 선택법 걸음 ④로 닫는다.
:::

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸

**명제 ($\subseteq$의 추이성).** $A \subseteq B$이고 $B \subseteq C$이면 $A \subseteq C$이다.

**출발점.** 전칭 사실 두 개. ①: $\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]$ ②: $\forall y\,[\,y \in \underline{\quad(1)\quad} \Rightarrow y \in \underline{\quad(2)\quad}\,]$

**도착점.** $A \subseteq C$를 펴면 $\forall x\,[\,x \in A \Rightarrow x \in C\,]$ — 결론의 $\forall$.

- **걸음 ①(선택법).** "$x \in \underline{\quad(3)\quad}$를 임의로 잡자." (기법 이름: $\underline{\quad(4)\quad}$)
- **특수화 1.** ①에 $y = x$를 넣는다. 자격 검증: $\underline{\quad(5)\quad}$ ✓ — 출처는 선택 문장. 수령: $x \in B$.
- **특수화 2.** ②에 $y = x$를 넣는다. 자격 검증: $\underline{\quad(6)\quad}$ ✓ — 출처는 $\underline{\quad(7)\quad}$. 수령: $\underline{\quad(8)\quad}$.
- **걸음 ④.** $x$가 임의였으므로 $A \subseteq C$이다. $\blacksquare$

**한 줄 논평.** 이 증명의 구조는 특수화 두 번을 이어 붙인 것이고, 첫 특수화의 산출 문장이 둘째 특수화의 $\underline{\quad(9)\quad}$이 된다.

### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께

이번에는 근거 문장도 빈칸이다. 쓸 전칭 사실은 (T)다.

**명제.** 모든 실수 $x$에 대해 $(x^2 + 1) + \dfrac{1}{x^2+1} \ge 2$이다.

**증명.** $\underline{\quad(1)\quad}$ $x$를 임의로 잡자 [걸음 ① — 자격: 실수]. $t = x^2 + 1$로 두자 [특수화 걸음 ① — 이 값을 고른 이유: 도착점의 좌변이 $\underline{\quad(2)\quad}$ 꼴이기 때문이다]. 그러면

$$
x^2 \ge 0 \quad\text{[근거: } \underline{\quad(3)\quad}\text{]}
$$

이고 양변에 1을 더하면 $t = x^2 + 1 \ge 1 > 0$이므로 $t > 0$이다 [특수화 걸음 $\underline{\quad(4)\quad}$ — 자격 검증 완료]. 따라서 (T)를 이 $t$에 적용하면 $\underline{\quad(5)\quad}$를 얻는다 [특수화 걸음 ③]. $t$를 되돌려 쓰면 $(x^2+1) + \frac{1}{x^2+1} \ge 2$이다. $x$가 $\underline{\quad(6)\quad}$이었으므로 모든 실수 $x$에 대해 성립한다. $\blacksquare$

**검산.** $x = 0$을 넣으면 좌변은 $1 + 1 = 2$이고 $2 \ge 2$ ✓. $x = 1$을 넣으면 좌변은 $2 + \frac12 = 2.5$이고 $2.5 \ge 2$ ✓.

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

이번에는 칸을 통째로 채운다. 가정에 전칭이 **두 개** 있고 결론에도 전칭이 있는 사례다.

**명제.** $A \subseteq B$이고 $C \subseteq D$이면 $A \cap C \subseteq B \cap D$이다.

- **출발점 분해.** 가정의 두 전칭 문장을 펴서 적으면: $\underline{\quad(1)\quad}$
- **도착점 분해.** $A \cap C \subseteq B \cap D$를 펴면: $\underline{\quad(2)\quad}$
- **걸음 ①(선택법).** $\underline{\quad(3)\quad}$
- **전개.** $\underline{\quad(4)\quad}$
- **특수화 1과 2.** 넣는 값$\cdot$자격$\cdot$수령을 각각 적으면: $\underline{\quad(5)\quad}$
- **조립과 걸음 ④.** $\underline{\quad(6)\quad}$
- **한 줄 논평.** 이 증명에서 특수화는 $\underline{\quad(7)\quad}$번 나오고, 두 자격의 출처는 모두 $\underline{\quad(8)\quad}$이다.

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 **세 걸음**이 점수다. 특수화가 나오는 자리마다 ① 무엇을 넣었는가

② 그 값이 자격을 만족하는 근거는 무엇인가 ③ 무엇을 얻었는가가 답안에 적혀

있어야 한다. "정리에 의해"만 적힌 줄은 근거가 하나도 적히지 않은 줄이다.

힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] 특수화의 세 걸음 ①②③과 네 칸 표(양화사의 자리 $\cdot$ 기법 $\cdot$ 첫 문장 $\cdot$ 값을 고르는 쪽)를 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§1.3의 절차 상자와 §1.5의 표다. 걸음은 "정한다 $\cdot$ 검증한다 $\cdot$ 받는다"의 세 동사로,

표는 "결론의 $\forall$ $\cdot$ 결론의 $\exists$ $\cdot$ 가정의 $\exists$ $\cdot$ 가정의 $\forall$"의

네 줄 순서로 기억한다.
:::

:::{admonition} 이 문제가 쓰는 정의 — 수열의 수렴 (문제 2(d)에서 처음 필요하고, 문제 11에서 본격적으로 쓴다)
:class: quotebox

$a_n \to L$은 "모든 양수 $\varepsilon$에 대해, $n > N$인 모든 $n$에서

$|a_n - L| < \varepsilon$이 되는 양의 정수 $N$이 존재한다"의 줄임말이다

(1권 45주차 정의 45.1). 바깥이 $\forall \varepsilon$이므로 이 가정은 전칭

사실이고, 넣는 값은 우리가 고른다. 산출 문장 안에 $\exists N$이 들어 있으므로

수령한 뒤에는 "그런 $N$을 잡자"라는 가정의 $\exists$ 처리가 한 번 더 필요하다.
:::

**2.** 다음 가정들에서 숨은 전칭을 노출하고, "넣는 것 / 나오는 것"을 한 줄씩 쓰시오. (a) $S \subseteq T$ (b) "$M$은 $S$의 상계이다" (c) 모든 실수 $x, y$에 대해 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ (d) $a_n \to 3$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§1.4의 표가 그대로 답의 틀이다. (a)(b)는 자격이 소속 조건이고, (c)는 전칭이

두 겹이며, (d)는 산출 문장 안에 또 다른 양화사가 들어 있다는 점에 주의한다.
:::

**3.** 전칭 사실 "모든 실수 $u, v$에 대해, $u \ge 0$이고 $v \ge 0$이면 $\sqrt{uv} \le \dfrac{u+v}{2}$이다"를 $(u, v) = (4, 9)$에 특수화하시오 — 자격 검증과 산출 계산까지 세 걸음을 모두 적으시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

걸음 ②에서 확인할 것은 두 개다(값이 두 개이므로). 걸음 ③의 산출 문장은

계산해 놓은 수까지 적는다 — $\sqrt{36}$과 $\frac{13}{2}$을 각각 수로 바꾼다.
:::

**4.** §3 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

훈련 1은 특수화의 직렬 연결, 훈련 2는 넣는 값을 식으로 조립하는 연습,

훈련 3은 특수화 두 번이 병렬로 놓이는 구조다. 세 훈련의 차이를 먼저 한 줄씩

적어 두면 어느 칸에서 막히는지가 분명해진다.
:::

**5.** 예제 2.1을 백지에 재현하고, 두 전칭의 처리법이 정반대인 두 줄에 밑줄을 그으시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

밑줄이 그어질 줄은 "임의로 잡자"가 들어간 줄과 "적용하면"이 들어간 줄이다.

재현이 막히면 완성본이 아니라 확인 8의 번역표부터 다시 적는다.
:::

**6.** 예제 2.3을 재현하고, 가정을 $x > 5$로 고친 버전의 완전한 증명을 쓰시오 (자격 검증 포함).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

재현할 것은 두 부분이다 — 자격이 통과하지 않는다는 판정과, 그 판정을 뒷받침하는

반례 $x = 4.5$의 계산. 고친 버전에서 자격 검증은 "$x > 5$이므로 $x - 5 > 0$"

한 줄이며, 그 한 줄이 이 문제의 채점 대상이다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** 명제 "$A \subseteq B$이면 $A \cup C \subseteq B \cup C$이다"를 예제 2.1의 서식으로 증명하시오 — 경우 나누기($x \in A$인 경우와 $x \in C$인 경우)에서 특수화가 한쪽 경우에서만 필요함을 관찰해 한 줄로 적으시오.

**8.** 가정 "$M$은 $S$의 상계이다"와 "$7 \in S$"에서 $7 \le M$을 도출하시오 (세 걸음 명시). 이어서 "$M$은 $S$의 상계이고 $M < 7$이며 $7 \in S$"라는 세 문장이 동시에 성립할 수 없음을 한 줄로 보이시오.

**9.** 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 모든 실수 $x, y$에 대해 $f(x+y) = f(x) + f(y)$를 만족한다고 하자. (a) $f(0) = 0$을 증명하시오. (b) 모든 실수 $x$에 대해 $f(-x) = -f(x)$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 넣는 값을 역산으로 정한다 — 산출 등식에 $f(0)$만 나오게 하려면 $x$와 $y$에

무엇을 넣어야 하는가.

(b)는 결론에 "모든"이 있으므로 선택법이 먼저다. 그다음 산출 등식에 $f(-x)$와

$f(x)$가 함께 나오도록 값을 정하고, 좌변이 $f(0)$이 되면 (a)를 근거 ④로 인용한다.
:::

**10.** 다음 답안을 진단하시오.

:::{container} quotebox
"전칭 사실: 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 \ge n$이다(S6주차 문제 2(d)). 이를 $n = \frac32$에 적용하면 $\frac94 \ge \frac32$이다."
:::

산출된 부등식 자체는 참이다. 그럼에도 이 논증이 무효인 이유를 "산출이 참"과 "논증이 유효"의 구분으로 설명하시오.

**11.** $a_n \to L$이라 하자. 수열의 꼬리가 유계임을 증명하시오 — 수렴의 정의에 $\varepsilon = 1$을 넣어 문턱 $N$을 얻고, $n > N$인 모든 $n$에서 $L - 1 < a_n < L + 1$임을 보이시오. "$\varepsilon$ 자리에 아무 양수나 넣을 권리"가 어디서 나오는지도 한 줄로 적으시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

자격 검증은 "$1 > 0$"이라는 한 줄이다. 짧다고 생략하지 않는다.

절댓값을 푸는 데에는 1권 17주차 문제 11의 보조정리를 쓴다. 그 보조정리가

진술하는 것은 $b \ge 0$일 때 $|a| \le b$와 $-b \le a \le b$가 같다는 것이고,

부등호를 $<$로 바꿔도 같은 논증이 그대로 작동함은 1권 18주차 문제 11의

복기에서 확인했다. 그 엄격 부등호판을 $a = a_n - L$, $b = 1$에 쓴다.
:::

**12.** 명제 "모든 실수 $x, y, z$에 대해 $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$이다"를 증명하시오 — 전칭 사실 "모든 실수 $u, v$에 대해 $u^2 + v^2 \ge 2uv$"(S6주차 문제 12에서 증명한 부등식의 양변에 2를 곱한 꼴)를 세 쌍에 특수화한 뒤 변변 더하시오.

**13.** S6주차 문제 7의 방식 2(S3주차 문제 18을 인용하는 길)를 이번 주의 서식으로 다시 쓰시오 — 무엇을 어디에 특수화했고, 자격은 무엇이었으며, 등호 조건을 쓰는 데에도 특수화가 필요했음을 명시하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

S3주차 문제 18이 확보한 것은 두 문장이다 — 부등식 $a^2 + ab + b^2 \ge 0$과

등호 조건 "등호는 $a = b = 0$일 때 그리고 그때뿐". 둘 다 전칭 문장이므로 같은

값을 두 번 넣어야 한다. 넣고 나서 등호 조건이 이 판에서 일어날 수 있는지

확인하면 $\ge$가 $>$로 강화된다.
:::

**14.** 이중 전칭의 부분 특수화. 사실 $\forall x \forall y\,[\,f(x+y) = f(x) + f(y)\,]$에서 $y$ 자리에만 $x$를 넣으면 무엇이 남는지 쓰고, 그 결과가 여전히 전칭 사실임을 확인하시오. 이어서 그것을 $x = 3$에 특수화해 $f(6) = 2f(3)$을 얻으시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

안쪽 전칭 $\forall y$만 소비하고 바깥 전칭 $\forall x$는 살려 두는 것이다.

바깥을 살려 두는 방법은 선택법으로 열었다가 걸음 ④로 다시 닫는 것이다 —

특수화는 개별 문장만 산출하므로 그 자체로는 전칭을 남기지 못한다. 남은 문장을

소리 내어 읽어 "모든 $x$에 대해"가 아직 앞에 붙어 있는지 확인하면 판정이 끝난다.
:::

### 도전 ●●●

**15.** 문제 9의 함수에 대해 모든 실수 $x$에서 $f(2x) = 2f(x)$와 $f(3x) = 3f(x)$를 증명하고, 이를 이용해 $f\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{f(x)}{2}$까지 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

앞의 둘은 넣는 값이 곧바로 보인다. 마지막이 관문이다 — 산출 등식의 **좌변**에

$f(x)$가 나타나도록 값을 역산한다. $x$를 두 개의 같은 조각으로 쪼개면 무엇이

되는가.
:::

**16.** 함수 $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 ① 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) \le g(x)$ ② 모든 실수 $x$에 대해 $g(x) \le f(x)$를 만족하면 $f = g$임을 증명하시오. (함수 상등의 기준은 1권 40주차)

:::{admonition} 이 문제가 빌려 쓰는 도구 — 귀류법 (문제 17)
:class: quotebox

결론이 $a \le b$처럼 부등식 하나일 때, 그것을 직접 만들 재료가 없으면 결론을

부정해 $a > b$를 사실 목록에 올리고 모순을 만든다(1권 21주차). 이번 주에는

그 부정문이 **넣는 값을 만들어 준다**는 점이 새롭다 — $a > b$가 사실이 되는

순간 $a - b$가 양수가 되고, 양수는 자격 $\varepsilon > 0$을 통과하는 값이 된다.
:::

**17.** 실수 $a, b$가 "모든 양의 실수 $\varepsilon$에 대해 $a \le b + \varepsilon$"을 만족하면 $a \le b$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

넣을 값을 역산한다. 모순을 만들려면 산출 문장 $a \le b + \varepsilon$이 $a$보다

작은 상한을 주어야 하므로 $b + \varepsilon < a$가 필요하고, 이것은

$\varepsilon < a - b$와 같다. 자격 $\varepsilon > 0$도 함께 만족하는 값을

$a - b$에서 만들어 낸다.
:::

**18.** 다음 답안의 반칙을 정확히 식별하고, 올바른 증명을 쓰시오.

:::{container} quotebox
"명제: 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$이다. 증명: 이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로, $x = 5$에 적용하면 $25 \ge 0$으로 참이다. 따라서 명제가 증명되었다."
:::

"적용한다"가 합법이 되는 조건도 함께 적으시오.

**19.** 사실 ① $P(1)$이 참 ② 모든 양의 정수 $n$에 대해 "$P(n)$이면 $P(n+1)$". 이때 $P(4)$가 참임을 특수화만으로 도출하시오 (②를 $n = 1, 2, 3$에 차례로 특수화하고 전건 긍정을 세 번 — 각 단계의 자격과 수령을 명시). 이어서 "$P(1000)$도 같은 방식으로 되지만 999단계가 필요하다 — 이 사슬을 한 번에 처리하는 원리가 무엇인가"에 한 문장으로 답하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

각 단계는 두 동작으로 이루어진다: ②에 값을 넣어 조건문 하나를 수령하고,

그 조건문의 앞부분이 이미 사실 목록에 있음을 확인해 뒷부분을 얻는다.

세 단계를 표로 그리면 자격과 수령이 어긋나지 않는다.
:::

**20.** (서술) (a) "정리를 인용한다"와 "특수화한다"가 같은 동작임을, 1권에서 무심코 한 인용 사례 하나(예: 1권 16주차의 (W3)을 "양변에 양수를 곱해도 부등호가 유지된다"로 쓴 순간)를 들어 세 문장 이내로 설명하시오. (b) 네 칸 표에서 "내가 고른다"에 해당하는 두 칸(결론의 $\exists$에서 세우는 증인, 가정의 $\forall$에 넣는 값)이 공유하는 기술적 공통점을 두 문장으로 쓰시오.

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

**이번 주의 5일 루틴.** 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

| **요일** | **할 일** |
|---|---|
| 1일차 | 원서 Solow 6장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) |
| 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 |
| 3일차 | 원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 6장 연습문제 몇 개를 직접 시도 |
| 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항 |
| 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 |

3일차 재독에는 이번 주 특유의 요령이 있다. 원서 6장은 특수화를 "specialization"의 서식으로 제시하고 자격 검증을 반복해 강조하므로, 교안의 세 걸음 상자를 손에 쥐고 원서의 각 예제를 읽으면 원서의 어느 문장이 어느 걸음인지 대응시킬 수 있다. 특히 원서가 자격 검증을 한 구절로 압축해 넣은 자리를 찾아 표시해 두면, 압축된 증명에서 무엇이 지워지는지를 다시 확인하게 된다.

**1차 시도 — 틀 카드 허용.** 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 특수화의 세 걸음, 네 칸 표, 반칙 목록 4종. 그 상태에서 예제 2.1의 설계표와 완성본을 처음부터 끝까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

**2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 특수화의 세 걸음과 반칙 목록 4종을 백지에 썼다.
- [ ] 가정 속의 전칭 감지 표(다섯 줄)를 재현했다.
- [ ] 네 칸 표를 네 줄 모두 그렸다 — 값을 고르는 쪽까지.
- [ ] 예제 2.1$\cdot$2.2$\cdot$2.3을 처음부터 끝까지 재현했다 — 2.3은 표 없이 산문으로.
- [ ] 자격 미검증(예제 2.3)과 결론 등록(문제 18)을 서로 다른 반칙으로 갈라 진단했다.
- [ ] $\varepsilon = 1$, $\frac{\varepsilon}{2}$, $\frac{a-b}{2}$처럼 값을 역산해 고른 사례 셋을 들고, 각각 무엇을 보고 역산했는지 설명했다.
- [ ] 원서 6장을 완독했고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 가정을 어떻게 써야 할지 모르겠다 | §1.4의 감지 표 — 먼저 그 가정을 $\forall$ 문장으로 펴 적는다 |
| 무엇을 넣어야 할지 정해지지 않는다 | 예제 2.2 확인 15 — 도착점의 식과 산출 문장의 식을 나란히 놓고 역산한다 |
| 자격 검증에 무엇을 적어야 할지 모르겠다 | §1.3 절차 해부 표의 둘째 줄 — 전칭 문장의 조건부 앞부분을 그대로 옮겨 적는 일이다 |
| 자격이 통과하지 않아 막힌다 | 예제 2.3 — 통과하지 않으면 명제 자체를 의심하고 반례를 찾는다 |
| 결론의 $\forall$와 가정의 $\forall$가 헷갈린다 | §1.5의 네 칸 표 — 그 $\forall$가 사실 목록에 있는지 교체된 결론에 있는지 먼저 판정한다 |
| 같은 사실을 여러 번 써도 되는지 모르겠다 | §1.6과 예제 2.2 — 전칭 사실은 소모되지 않는다 |
| 특수화는 했는데 조립이 안 된다 | 예제 2.1의 4단계 — 산출 문장이 도착점의 어느 부품인지 먼저 지목한다 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $B$  (2) $C$  (3) $A$  (4) 선택법  (5) $x \in A$  (6) $x \in B$ (7) 직전 특수화의 산출 문장  (8) $x \in C$  (9) 자격

**완성 산문.** $A \subseteq B$이고 $B \subseteq C$라 하자. $x \in A$를 임의로 잡자. $A \subseteq B$를 $x$에 적용하면 — 자격 $x \in A$는 선택 문장이 준다 — $x \in B$이다. 이어서 $B \subseteq C$를 $x$에 적용하면 — 자격 $x \in B$는 방금 얻은 문장이다 — $x \in C$이다. $x$가 임의였으므로 $A \subseteq C$이다. $\blacksquare$

※ 이 구조를 **직렬 연결**이라 부를 수 있다. 첫 특수화의 산출이 둘째 특수화의 자격이 되므로 순서를 바꿀 수 없다. S6주차 §3 훈련 3에서 "가정 쪽의 전칭을 쓰는 걸음"이라고만 적어 두었던 칸이 이번 주의 이름을 얻은 자리다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) 실수  (2) $t + \frac1t$  (3) 1권 16주차 (W1)  (4) ②  (5) $t + \frac1t \ge 2$ (6) 임의

**완성 산문.** 실수 $x$를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ① — 자격: 실수]. $t = x^2 + 1$로 두자 [특수화 걸음 ① — 도착점의 좌변이 $t + \frac1t$ 꼴이 되도록 역산해 고른 값이다]. 1권 16주차 (W1)에 의해 $x^2 \ge 0$이고, 양변에 1을 더하면 $t = x^2 + 1 \ge 1 > 0$ 이므로 $t > 0$이다 [걸음 ② — 자격 검증]. 따라서 (T)를 이 $t$에 적용하면 $t + \frac1t \ge 2$를 얻는다 [걸음 ③]. $t$를 되돌려 쓰면 $(x^2+1) + \frac{1}{x^2+1} \ge 2$이다. $x$가 임의였으므로 모든 실수 $x$에 대해 성립한다. $\blacksquare$

※ 이 훈련의 관문은 (2)다. 넣는 값 $t = x^2+1$은 도착점의 좌변을 (T)의 산출 좌변과 글자 대 글자로 맞춰 본 결과이지, 짐작으로 고른 것이 아니다. (3)의 (W1)이 없으면 $t > 0$을 말할 근거가 없고, 근거가 없으면 걸음 ②가 통과하지 못한다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) $\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]$와 $\forall y\,[\,y \in C \Rightarrow y \in D\,]$ (2) $\forall x\,[\,x \in A \cap C \Rightarrow x \in B \cap D\,]$ (3) "$x \in A \cap C$를 임의로 잡자." (4) "교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in C$이다." (5) 특수화 1 — $A \subseteq B$에 $y = x$를 넣는다. 자격: $x \in A$ ✓(직전 줄). 수령: $x \in B$. 특수화 2 — $C \subseteq D$에 $y = x$를 넣는다. 자격: $x \in C$ ✓(직전 줄). 수령: $x \in D$. (6) "$x \in B$이고 $x \in D$이므로 교집합의 정의에 의해 $x \in B \cap D$이다. $x$가 임의였으므로 $A \cap C \subseteq B \cap D$이다. $\blacksquare$" (7) 2  (8) 교집합의 정의를 편 전개 줄

**완성 산문.** $A \subseteq B$이고 $C \subseteq D$라 하자. $x \in A \cap C$를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ①]. 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in C$이다. $A \subseteq B$를 $x$에 적용하면 — 자격 $x \in A$는 직전 줄이 준다 — $x \in B$이다. 이어서 $C \subseteq D$를 같은 $x$에 적용하면 — 자격 $x \in C$도 직전 줄이 준다 — $x \in D$이다. $x \in B$이고 $x \in D$이므로 교집합의 정의에 의해 $x \in B \cap D$이다. $x$가 임의였으므로 $A \cap C \subseteq B \cap D$이다. $\blacksquare$

※ 훈련 1과 3의 차이를 한 줄로 정리해 둔다. 훈련 1은 **직렬** — 첫 산출이 둘째 자격이 된다. 훈련 3은 **병렬** — 두 자격이 모두 같은 전개 줄에서 나오므로 두 특수화의 순서를 바꿔도 된다. 구조가 다르면 검사할 곳도 다르다.

### 문제 1

**접근.** 백지 암기 대상 두 상자를 그대로 복원하는 문제다. 세 걸음은 §1.3의 절차 상자, 네 칸 표는 §1.5에 있다. 외운 문장을 통째로 옮기는 것이 목적이 아니라, 각 칸이 왜 그 내용인지 말할 수 있는지를 스스로 점검하는 것이 목적이다.

**풀이.** 세 걸음: ① 값 지정 — 결론을 보고 넣을 값 $t_0$를 정하되 무대에 있는 문자와 상수로만 조립한다. ② 자격 검증 — 자격$(t_0)$이 성립함을 증명한다. ③ 사실 수령 — 사건$(t_0)$을 사실 목록에 추가한다.

네 칸 표는 다음과 같다. 결론의 $\forall$ — 선택법 — "임의로 잡자" — 상대가 고른 셈. 결론의 $\exists$ — 구성법 — "…로 두자" — 내가 고름. 가정의 $\exists$ — 전진 한 걸음 — "그런 …를 잡자" — 이미 정해져 있음. 가정의 $\forall$ — 특수화 — "…에 적용하면" — 내가 고름.

**복기.** 자가 채점의 기준은 표의 넷째 열이다. 넷째 열을 말로 설명할 수 있으면 나머지 세 열은 재구성된다 — 값을 내가 고르면 고르는 기술(역산)이 필요하고, 상대가 고르면 어느 값이 와도 통하는 논증이 필요하기 때문이다.

### 문제 2

**접근.** 각 가정을 $\forall$ 문장으로 편 뒤, 그 문장의 조건부 앞부분을 "넣는 것에 요구되는 자격"으로, 뒷부분을 "나오는 것"으로 읽는다. 표의 형식은 §1.4와 같다. (d)는 산출 문장 안에 존재 양화사가 남아 있다는 점이 나머지와 다르다.

**풀이.** (a) $\forall y\,[\,y \in S \Rightarrow y \in T\,]$. 넣는 것: $S$에 속함이 확인된 원소. 나오는 것: 그 원소가 $T$에 속한다는 문장. (b) $\forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]$. 넣는 것: $S$에 속함이 확인된 원소. 나오는 것: 그 원소가 $M$ 이하라는 부등식. (c) $\forall x \forall y\,[\,f(x+y) = f(x) + f(y)\,]$ — 전칭이 두 겹이고 자격은 "실수" 뿐이다. 넣는 것: 실수 두 개 $(x_0, y_0)$. 나오는 것: 등식 $f(x_0 + y_0) = f(x_0) + f(y_0)$. (d) $\forall \varepsilon\,[\,\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists N\,(\,n > N$인 모든 $n$에서 $|a_n - 3| < \varepsilon\,)\,]$. 넣는 것: 양수 $\varepsilon$. 나오는 것: 그 $\varepsilon$에 맞는 문턱 $N$이 **존재한다**는 문장.

**복기.** (d)에서 수령한 것은 아직 $N$이 아니라 "$N$이 존재한다"이다. $N$이라는 이름을 실제로 쓰려면 가정의 $\exists$ 처리("그런 $N$을 잡자")가 한 번 더 필요하다. 특수화 한 번으로 겹이 한 겹만 벗겨진다는 것이 이 문제의 관찰이고, 문제 11과 문제 14가 같은 관찰의 연장이다.

### 문제 3

**접근.** 값이 두 개인 전칭 사실이므로 자격도 두 개다. 걸음 ③에서는 산출 문장을 적는 데 그치지 않고 실제 수로 계산해 둔다 — 계산해 두어야 그 문장을 다음 줄의 근거로 바로 쓸 수 있다.

**풀이.** ① 값 지정: $(u, v) = (4, 9)$. ② 자격 검증: $4 \ge 0$ ✓, $9 \ge 0$ ✓. ③ 사실 수령: $\sqrt{4 \cdot 9} \le \frac{4+9}{2}$, 곧 $\sqrt{36} \le \frac{13}{2}$이고 계산하면 $6 \le 6.5$이다. 참인 개별 문장 하나를 얻었다.

**검산.** $6^2 = 36 = 4 \cdot 9$이므로 $\sqrt{36} = 6$이 맞고, $\frac{13}{2} = 6.5$이므로 $6 \le 6.5$ ✓.

**복기.** 자격이 눈으로 봐도 명백할 때조차 걸음 ②를 적는 이유는, 그 습관이 자격이 명백하지 않은 자리(예제 2.3, 문제 10)에서 거짓을 걸러 내는 유일한 줄이 되기 때문이다.

### 문제 4

**접근.** 훈련 1은 직렬 구조, 훈련 2는 넣는 값을 식으로 조립하는 구조, 훈련 3은 병렬 구조다. 백지에서 막히면 빈칸을 채우려 하지 말고, 먼저 도착점을 $\forall$ 문장으로 펴 적는 데서 다시 시작한다.

**풀이.** 세 훈련의 빈칸 답과 완성 산문은 §6의 "빈칸 사다리 — 훈련 1", "빈칸 사다리 — 훈련 2", "빈칸 사다리 — 훈련 3" 세 항목에 각각 적어 두었다. 백지에서 쓴 것을 그 세 산문과 줄 단위로 대조한다. 자가 채점의 기준은 빈칸의 글자가 아니라 세 걸음이 각 훈련에서 몇 번, 어떤 순서로 나왔는지다 — 훈련 1은 특수화 2회(직렬: 첫 산출 $x \in B$가 둘째 자격이 된다), 훈련 2는 1회(넣는 값이 $t = x^2+1$이라는 식이고, 자격 $t > 0$을 (W1)로 만들어야 한다), 훈련 3은 2회(병렬: 두 자격이 모두 같은 전개 줄에서 나온다)다.

**복기.** 세 훈련이 같은 절차의 세 배치라는 점을 확인하면, 처음 보는 명제에서도 "특수화가 몇 번 필요하고 그 자격들이 어디서 오는가"를 먼저 세는 습관이 생긴다. 그 셈이 끝나면 증명의 뼈대가 이미 결정되어 있다.

### 문제 5

**접근.** 예제 2.1의 여섯 줄을 순서대로 복원한다. 밑줄을 그을 두 줄은 미리 정해져 있다 — 결론의 $\forall$를 여는 줄과 가정의 $\forall$를 소비하는 줄이다.

**풀이.** 재현한 증명은 다음과 같다.

**증명.** $A \subseteq B$라 하자. $x \in C \cap A$를 임의로 잡자. 교집합의 정의에 의해 $x \in C$이고 $x \in A$이다. $x \in A$이므로, $A \subseteq B$를 $x$에 적용하면 $x \in B$이다. $x \in C$이고 $x \in B$이므로, 교집합의 정의에 의해 $x \in C \cap B$이다. $x$가 임의였으므로 $C \cap A \subseteq C \cap B$이다. $\blacksquare$

밑줄이 그어지는 곳은 둘째 줄 "$x \in C \cap A$를 임의로 잡자"와 넷째 줄 "$x \in A$이므로, $A \subseteq B$를 $x$에 적용하면 $x \in B$이다"이다. 두 줄의 대비를 한 문장으로 적으면 이렇다 — 앞 줄은 값을 고를 권리 없이 대상을 받는 줄이고, 뒤 줄은 값을 골라 넣는 줄이다.

**복기.** 재현이 막히는 지점은 대개 넷째 줄이다. 넷째 줄이 나오려면 셋째 줄에서 $x \in A$가 이미 확보되어 있어야 하므로, 순서를 바꿔 적으면 자격을 검증할 문장이 없어진다. 줄 순서 자체가 논리적 의존 관계다.

### 문제 6

**접근.** 두 부분으로 나뉜다. 앞부분은 자격이 통과하지 않는다는 판정과 반례 계산이고, 뒷부분은 가정을 강화했을 때 자격이 통과함을 보이는 한 줄이다. 뒷부분의 채점 대상은 사실상 그 한 줄이다.

**풀이.** 앞부분(재현). $t = x - 5$로 두면 도착점의 좌변과 (T)의 산출 좌변이 일치하므로 넣을 값은 이것으로 정해진다. 그러나 가정 $x > 4$에서 따라 나오는 것은 $x - 5 > -1$뿐이고 $x - 5 > 0$은 보장되지 않는다. 실제로 $x = 4.5$는 $x > 4$를 만족하지만 $t = -0.5$이고 $t + \frac1t = -0.5 + (-2) = -2.5 < 2$이므로 원래 명제의 반례다. 명제 자체가 거짓이었다.

뒷부분(고친 버전). **증명.** 실수 $x$를 임의로 잡고 $x > 5$라 하자. $t = x - 5$로 두면, 양변에서 5를 빼는 이항에 의해 $t > 0$이다 [걸음 ② — 자격 검증]. (T)를 이 $t$에 적용하면 $t + \frac1t \ge 2$이고, $t$를 되돌려 쓰면 $(x-5) + \frac{1}{x-5} \ge 2$이다. $x$가 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$

**검산.** $x = 6$이면 좌변은 $1 + 1 = 2$이고 $2 \ge 2$ ✓. $x = 7$이면 $2 + \frac12 = 2.5 \ge 2$ ✓.

**복기.** 자격이 통과하지 않을 때의 표준 행동은 두 가지다 — 가정을 강화해 자격을 확보하거나, 명제가 거짓임을 반례로 확정하거나. 두 행동 모두 걸음 ②에서 나오는 정보를 읽어야 시작된다.

### 문제 7

**접근.** 예제 2.1과 같은 뼈대이되 전개가 교집합이 아니라 합집합이므로, 정의를 편 결과가 "그리고"가 아니라 "또는"이 된다. "또는"이 나오면 경우 나누기(1권 17주차)로 갈라야 하고, 그때 각 경우에서 특수화가 필요한지 따로 판정한다.

**풀이.** **증명.** $A \subseteq B$라 하자. $x \in A \cup C$를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ①]. 합집합의 정의에 의해 $x \in A$이거나 $x \in C$이다.

경우 1: $x \in A$인 경우. $A \subseteq B$를 $x$에 적용한다 — 자격 $x \in A$는 이 경우의 가정이다 ✓ — 그러면 $x \in B$이다. 합집합의 정의에 의해 $x \in B \cup C$이다.

경우 2: $x \in C$인 경우. 합집합의 정의에 의해 곧바로 $x \in B \cup C$이다.

두 경우가 전체를 덮으므로 어느 경우든 $x \in B \cup C$이고, $x$가 임의였으므로 $A \cup C \subseteq B \cup C$이다. $\blacksquare$

**한 줄 관찰.** 특수화는 경우 1에서만 나온다. 가정으로 받은 전칭 사실이 증명의 모든 갈래에서 쓰여야 하는 것은 아니며, 소비처 점검의 기준은 "증명 전체에서 한 번 이상 쓰였는가"다.

**복기.** 경우 나누기와 특수화가 만나면 자격의 출처가 경우의 가정이 된다. 경우 1의 자격 $x \in A$는 전체 증명의 사실이 아니라 그 경우 안에서만 유효한 사실이므로, 경우 밖에서 $x \in B$를 쓰면 반칙이 된다.

### 문제 8

**접근.** 상계의 정의를 $\forall$ 문장으로 펴는 것이 첫 일이다. 그러면 자격이 "$S$에 속함"임이 드러나고, 둘째 가정 $7 \in S$가 정확히 그 자격을 채운다는 구조가 보인다. 뒤이은 모순 부분은 얻은 부등식과 추가 가정을 나란히 놓기만 하면 된다.

**풀이.** 상계의 정의를 펴면 가정은 $\forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]$이다. ① 값 지정: $x$에 7을 넣는다 — 결론이 $7 \le M$이므로 역산하면 이 값 하나다. ② 자격 검증: $7 \in S$ ✓ — 둘째 가정이 그대로 자격이다. ③ 사실 수령: $7 \le M$.

이어서 $M < 7$이 추가로 주어졌다고 하자. 방금 얻은 $7 \le M$과 함께 놓으면 $7 \le M < 7$이므로 추이성(1권 16주차 (W6))에 의해 $7 < 7$이 된다. 그런데 1권 16주차 정의 16.1에 따르면 $7 < 7$은 차 $7 - 7 = 0$이 양수라는 뜻이고, 이것은 같은 주차의 삼분법(0은 양수가 아니다 — 인정하고 쓰는 사실)에 어긋난다. 곧 어떤 수도 자기 자신보다 작지 않다. 따라서 세 문장은 동시에 성립할 수 없다. $\blacksquare$

**복기.** 상계 가정과 소속 가정을 충돌시켜 모순을 만드는 이 두 줄짜리 구조는, 최대$\cdot$최소를 다루는 증명에서 반복해 나온다. 필요한 것은 언제나 같다 — 상계 문장을 전칭으로 펴고, 소속이 확인된 원소를 하나 넣는 것.

### 문제 9

**접근.** (a)는 결론에 양화사가 없으므로 특수화 한 번으로 끝난다. 넣는 값은 역산으로 정한다 — 산출 등식에 $f(0)$ 이외의 것이 나타나지 않게 하려면 $x$와 $y$ 모두 0이어야 한다. (b)는 결론에 "모든"이 있으므로 선택법이 먼저 오고, 그다음 산출 등식에 $f(-x)$와 $f(x)$가 함께 나타나도록 값을 정한다.

**풀이.** (a) **증명.** 가정의 이중 전칭에 $(x, y) = (0, 0)$을 넣는다 — 자격은 "실수"이고 0은 실수이므로 ✓. 수령하면 $f(0 + 0) = f(0) + f(0)$이고, 좌변이 $f(0)$이므로 $f(0) = 2f(0)$이다. 양변에서 $f(0)$을 빼면 $0 = f(0)$, 곧 $f(0) = 0$이다. $\blacksquare$

(b) **증명.** 실수 $x$를 임의로 잡자 [결론의 $\forall$ — 선택법]. 가정의 이중 전칭에 $(x, -x)$를 넣는다 — 자격은 $x$와 $-x$가 실수라는 것이고, 실수의 부호를 바꾼 것도 실수이므로 ✓. 수령하면 $f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)$, 곧 $f(0) = f(x) + f(-x)$이다. (a)에 의해 좌변은 0이므로 $0 = f(x) + f(-x)$이고, 양변에서 $f(x)$를 빼면 $f(-x) = -f(x)$이다. $x$가 임의였으므로 모든 실수 $x$에 대해 성립한다. $\blacksquare$

**검산.** $f(x) = 3x$는 가정을 만족한다. 실제로 $f(0) = 0$ ✓이고 $f(-x) = -3x = -f(x)$ ✓.

**복기.** 두 넣는 값 $(0,0)$과 $(x, -x)$는 모두 역산으로 나왔다. 도착점에 나타날 항($f(0)$, $f(-x)$)이 산출 등식에 등장하도록 값을 맞춘 것이고, 이것이 §1.5에서 확인한 "내가 고르는 칸"의 기술이다. 문제 15가 같은 기술의 심화다.

### 문제 10

**접근.** 산출 문장의 참$\cdot$거짓과 논증의 유효성은 서로 다른 물음이다. 이 답안에서 검사할 것은 산출 문장이 아니라 걸음 ②다 — 넣은 값이 자격을 만족하는가.

**풀이.** 전칭 사실의 자격은 "$n$은 정수"이다. 그런데 넣은 값 $\frac32$는 정수가 아니므로 걸음 ②가 통과하지 못한다. 따라서 산출 문장 $\frac94 \ge \frac32$는 **이 전칭 사실로부터는** 아무 보증도 받지 못한다. 그 부등식이 참인 것은 별개의 사실이고, 참임을 주장하려면 별도의 근거가 필요하다.

"산출이 참"과 "논증이 유효"의 구분은 이렇게 정리된다. 논증의 유효성은 전제에서 결론으로 가는 연결에 대한 판정이고, 문장의 참은 그 문장 하나에 대한 판정이다. 연결이 끊어져 있어도 끝에 놓인 문장이 우연히 참일 수 있다 — S1주차 예제 2.2에서 확인한 대로, 가정이 거짓인 조건문이 참이 되는 것과 같은 종류의 어긋남이다. 채점은 문장이 아니라 연결에 대해 이루어진다.

**복기.** 자격 위반을 발견하는 방법은 언제나 같다. 전칭 사실의 조건부 앞부분을 소리 내어 읽고, 넣은 값을 그 자리에 대입해 참인지 확인한다. 이 답안에서는 "$\frac32$는 정수이다"가 거짓이므로 그 자리에서 판정이 끝난다.

### 문제 11

**접근.** 수렴 가정은 $\forall \varepsilon$으로 시작하는 전칭 사실이므로 넣는 값은 우리가 고른다. 도착점이 "유계"이고 유계는 상수 두 개면 충분하므로, 편한 양수를 넣으면 된다 — $\varepsilon = 1$이 그 선택이다. 수령한 문장 안에 $\exists N$이 있으므로 "그런 $N$을 잡자"가 한 줄 더 필요하다.

**풀이.** **증명.** $a_n \to L$이라 하자. 수렴의 정의에 $\varepsilon = 1$을 넣는다 — 자격은 $\varepsilon > 0$이고 $1 > 0$이므로 ✓. 수령하면 "$n > N$인 모든 $n$에서 $|a_n - L| < 1$"인 양의 정수 $N$이 존재한다. 그런 $N$을 하나 잡자 [가정의 $\exists$ 처리].

이제 $n > N$인 $n$을 임의로 잡자. 그러면 $|a_n - L| < 1$이다. 1권 17주차 문제 11의 보조정리(원 진술은 $b \ge 0$일 때 $|a| \le b \iff -b \le a \le b$이고, 부등호를 $<$로 바꾼 엄격 부등호판이 같은 논증으로 성립함은 1권 18주차 문제 11의 복기에서 확인했다)를 $a = a_n - L$, $b = 1$에 적용하면 — 자격 $1 \ge 0$ ✓ — 이 부등식은 $-1 < a_n - L < 1$과 같고, 각 변에 $L$을 더하면 $L - 1 < a_n < L + 1$이다. $n$이 임의였으므로, $n > N$인 모든 $n$에서 $a_n$은 $L - 1$과 $L + 1$ 사이에 있다. 곧 꼬리 $\{a_n : n > N\}$은 위아래로 유계다. $\blacksquare$

**권리의 출처.** $\varepsilon$ 자리에 아무 양수나 넣을 수 있는 이유는, 수렴 가정이 가정 쪽에 있는 전칭 문장이기 때문이다. 가정의 $\forall$는 의무가 아니라 권리이므로 값을 고르는 쪽이 우리이고, 자격 $\varepsilon > 0$만 통과하면 어떤 양수든 넣을 수 있다.

**복기.** 여기서 1을 고른 것도 역산이다. 도착점이 "어떤 상수 두 개 사이에 갇힌다"이므로 $\varepsilon$이 무엇이든 상관없고, 계산이 가장 짧아지는 값을 골랐다. 반대로 1권 46주차에서 두 수렴을 합칠 때 $\frac{\varepsilon}{2}$를 고른 것은 도착점이 정확히 $\varepsilon$이었기 때문이다. 같은 절차에서 도착점이 바뀌면 넣는 값이 바뀐다. 전체 수열이 유계라는 더 강한 결론은 앞부분 $a_1, \dots, a_N$의 최댓값을 함께 취해 얻으며, 그 완성형이 1권 46주차 문제 15다.

### 문제 12

**접근.** 도착점의 양변을 비교하면 좌변은 제곱 세 개, 우변은 곱 세 개다. 전칭 사실 $u^2 + v^2 \ge 2uv$의 산출 문장도 좌변이 제곱 둘, 우변이 곱 하나이므로, 세 곱 $xy$, $yz$, $zx$가 각각 하나씩 나오도록 세 쌍을 고르면 된다. 조립은 곱이 아니라 합이다.

**풀이.** **증명.** 실수 $x, y, z$를 임의로 잡자 [선택법]. 전칭 사실을 세 쌍에 적용한다 — 자격은 "실수"뿐이고 $x, y, z$가 모두 실수이므로 세 번 모두 ✓.

$(u, v) = (x, y)$: $x^2 + y^2 \ge 2xy$. $(u, v) = (y, z)$: $y^2 + z^2 \ge 2yz$. $(u, v) = (z, x)$: $z^2 + x^2 \ge 2zx$.

세 부등식을 변변 더하면

$$
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge 2xy + 2yz + 2zx
$$

이고, 양변을 2로 나누면(2는 양수이므로 방향이 유지된다 — 1권 16주차 (W3)) $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$이다. $x, y, z$가 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$

**검산.** $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$이면 좌변 $1 + 4 + 9 = 14$, 우변 $2 + 6 + 3 = 11$이고 $14 \ge 11$ ✓.

**복기.** 예제 2.2와 이 문제는 다중 특수화라는 점에서 같고 조립 방법에서 다르다. 부등식의 합은 조건 없이 방향이 보존되지만, 곱은 양변이 양수여야 한다. 그래서 예제 2.2에는 양수 확인 줄이 있고 이 문제에는 없다. 조립 방법이 정해지면 어떤 확인 줄이 필요한지도 함께 정해진다.

### 문제 13

**접근.** S3주차 문제 18이 확보한 것은 두 문장이다 — 부등식과 등호 조건. 둘 다 $a, b$에 대한 전칭 문장이므로, 같은 값을 두 문장 각각에 넣어야 한다. 등호 조건을 넣고 나면 그 조건이 이 판에서 일어날 수 있는지 판정할 수 있고, 일어날 수 없으면 $\ge$가 $>$로 강화된다.

**풀이.** 확보한 전칭 사실 두 개는 다음과 같다. (P1) 모든 실수 $a, b$에 대해 $a^2 + ab + b^2 \ge 0$이다. (P2) 모든 실수 $a, b$에 대해, (P1)의 등호가 성립하는 것은 $a = b = 0$일 때 그리고 그때뿐이다.

실수 $x$를 임의로 잡자 [선택법]. (P1)에 $(a, b) = (x, 1)$을 넣는다 — 자격은 "실수"이고 $x$와 1이 모두 실수이므로 ✓. 수령하면 $x^2 + x \cdot 1 + 1^2 \ge 0$, 곧 $x^2 + x + 1 \ge 0$이다.

이어서 (P2)에 같은 값 $(a, b) = (x, 1)$을 넣는다 — 자격은 동일하게 ✓. 수령하면 "이 판에서 등호가 성립하는 것은 $x = 0$이고 $1 = 0$일 때뿐"이다. 그런데 $1 = 0$은 거짓이므로 등호는 성립할 수 없다. 따라서 $x^2 + x + 1 > 0$이다. $x$가 임의였으므로 모든 실수 $x$에 대해 성립한다. $\blacksquare$

**검산.** $x = -\frac12$에서 좌변은 $\frac14 - \frac12 + 1 = \frac34 > 0$ ✓. 이 값이 최솟값이므로 다른 곳에서도 양수다.

**복기.** 등호 조건 문장 자체가 전칭 문장이라는 점이 이 문제의 관찰이다. 정리를 인용할 때 부등식만 가져오고 등호 조건을 두고 오면, 정확히 그 조건이 필요한 자리에서 다시 막힌다. 정리의 "전부"를 같은 값으로 함께 특수화해 두는 것이 근거 ④를 제대로 쓰는 방식이다.

### 문제 14

**접근.** 전칭이 두 겹이면 특수화는 한 겹씩 벗긴다. 바깥 겹을 살려 둔 채 안쪽만 쓰려면 바깥을 선택법으로 열고, 안쪽만 특수화한 뒤, 선택법 걸음 ④로 다시 닫는다. 특수화는 개별 문장만 산출하므로 전칭 문장을 만들어 내지 못하며, 남은 전칭을 되살리는 일은 걸음 ④의 몫이다. 판정 방법은 마지막에 남은 문장을 읽어 "모든 $x$에 대해"가 앞에 붙어 있는지 보는 것이다.

**풀이.** 실수 $x$를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ① — 바깥 $\forall x$를 소비한다]. 남은 것은 이 $x$에 대한 문장 $\forall y\,[\,f(x+y) = f(x) + f(y)\,]$이다. 여기에 $y = x$를 넣는다 [특수화 걸음 ① — 값 지정]. 자격은 "$y$는 실수"이고 방금 잡은 $x$는 실수이므로 ✓ [걸음 ②]. 수령하면 $f(x + x) = f(x) + f(x)$, 곧 $f(2x) = 2f(x)$이다 [걸음 ③]. $x$가 임의였으므로 [선택법 걸음 ④]

$$
\forall x\,[\,f(2x) = 2f(x)\,]
$$

가 사실 목록에 들어간다. 이것은 여전히 전칭 사실이다. 개별 등식이 아니라 사실 목록에 새로 추가된 전칭 문장이므로, 다시 특수화할 수 있다.

이 문장에 $x = 3$을 넣는다 — 자격은 "실수"이고 3은 실수이므로 ✓. 수령하면 $f(2 \cdot 3) = 2f(3)$, 곧 $f(6) = 2f(3)$이다. 이번에는 전칭이 남지 않았으므로 개별 등식이다. $\blacksquare$

**검산.** $f(x) = 3x$로 확인하면 $f(6) = 18$이고 $2f(3) = 2 \cdot 9 = 18$ ✓.

**복기.** 특수화 한 번이 벗기는 것은 한 겹이다. 단, 바깥 겹을 유지한 채 안쪽만 쓰려면 선택법으로 열고 걸음 ④로 닫아야 한다 — 특수화만으로는 전칭 문장이 결코 산출되지 않기 때문이다. 겹이 몇 개인지 세어 두면 특수화를 몇 번 해야 개별 문장에 도달하는지가 미리 정해진다. 문제 2(d)의 수렴 가정처럼 겹 사이에 $\exists$가 끼어 있으면, 벗기는 도중에 기법이 특수화에서 존재 수령으로 바뀐다. 이 교대 규칙이 S8주차의 주제다.

### 문제 15

**접근.** 앞의 두 등식은 넣는 값이 곧바로 보인다 — $f(2x)$를 만들려면 두 조각의 합이 $2x$가 되어야 하고, $f(3x)$는 앞 결과를 부품으로 쓰면 조각이 $2x$와 $x$로 정해진다. 마지막이 관문이다. 도착점 $f(\frac{x}{2}) = \frac{f(x)}{2}$에는 $f(x)$가 있으므로, 산출 등식의 **좌변**이 $f(x)$가 되도록 값을 역산한다.

**풀이.** **증명.** 실수 $x$를 임의로 잡자 [선택법].

$f(2x)$에 대하여. 가정에 $(x, x)$를 넣는다 — 자격: $x$는 실수 ✓. 수령하면 $f(x + x) = f(x) + f(x)$, 곧 $f(2x) = 2f(x)$이다.

$f(3x)$에 대하여. 가정에 $(2x, x)$를 넣는다 — 자격: $2x$와 $x$가 모두 실수 ✓. 수령하면 $f(2x + x) = f(2x) + f(x)$, 곧 $f(3x) = f(2x) + f(x)$이다. 방금 얻은 $f(2x) = 2f(x)$를 대입하면 $f(3x) = 2f(x) + f(x) = 3f(x)$이다.

$f(\frac{x}{2})$에 대하여. 가정에 $\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2}\right)$를 넣는다 — 자격: $\frac{x}{2}$는 실수 ✓. 수령하면 $f\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x}{2}\right)$ 이고, 좌변의 괄호 안은 $x$이므로 $f(x) = 2f\left(\frac{x}{2}\right)$이다. 양변을 2로 나누면 $f\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{f(x)}{2}$이다.

$x$가 임의였으므로 세 등식이 모든 실수 $x$에서 성립한다. $\blacksquare$

**검산.** $f(x) = 3x$로 확인하면 $f(2x) = 6x = 2f(x)$ ✓, $f(3x) = 9x = 3f(x)$ ✓, $f(\frac{x}{2}) = \frac{3x}{2} = \frac{f(x)}{2}$ ✓.

**복기.** 마지막 넣는 값은 앞의 둘과 방향이 반대다. 앞의 둘은 산출 등식의 **우변**에 도착점의 재료가 나오게 했고, 마지막은 **좌변**에 도착점의 재료 ($f(x)$)가 나오게 했다. 값을 고를 때 보는 곳은 도착점의 어느 쪽에 부품이 부족한가이며, 그 자리에 맞춰 역산한다. 이 사슬을 계속 이으면 모든 유리수 $q$에 대해 $f(qx) = q f(x)$가 나온다.

### 문제 16

**접근.** 결론 $f = g$를 정의로 펴는 것이 첫 일이다. 1권 40주차의 기준에 따르면 정의역과 공역이 같을 때 함수의 상등은 "모든 입력에서 값이 일치한다"이므로, 결론은 전칭 문장이고 선택법이 먼저 온다. 그다음 같은 점에 전칭 사실 두 개를 각각 특수화한다.

**풀이.** **증명.** 두 함수의 정의역과 공역이 모두 $\mathbb{R}$로 같으므로, 함수 상등의 기준에 따라 모든 실수 $x$에서 $f(x) = g(x)$임을 보이면 된다.

실수 $x$를 임의로 잡자 [결론의 $\forall$ — 선택법]. 가정 ①에 이 $x$를 넣는다 — 자격: $x$는 실수 ✓ — 수령하면 $f(x) \le g(x)$이다. 가정 ②에 같은 $x$를 넣는다 — 자격: 동일하게 ✓ — 수령하면 $g(x) \le f(x)$이다.

두 부등식 $f(x) \le g(x)$와 $g(x) \le f(x)$가 동시에 성립한다. 1권 16주차 정의 16.1로 읽으면 앞의 것은 차 $g(x) - f(x)$가 양수이거나 0이라는 뜻이고 뒤의 것은 $f(x) - g(x)$가 양수이거나 0이라는 뜻인데, 두 차는 부호가 반대이므로 삼분법에 의해 둘 다 양수일 수는 없다. 남는 경우는 $g(x) - f(x) = 0$뿐이고, 곧 $f(x) = g(x)$이다. 이 한 문단이 $\le$의 반대칭성이며, 근거 목록의 이름이 아직 없으므로 이렇게 정의 16.1과 삼분법으로 풀어 적는다. $x$가 임의였으므로 모든 실수에서 값이 일치하고, 따라서 $f = g$이다. $\blacksquare$

**복기.** "양쪽 $\le$를 각각 보이고 합쳐 상등을 얻는다"는 구조는 1권 27주차의 집합 상등(양방향 포함)과 같은 정신이다. 이번 문제에서 새로운 것은 그 구조를 **같은 점에 두 전칭 사실을 특수화하는 일**로 실행했다는 점이다. 두 특수화는 병렬이며, 자격의 출처가 둘 다 선택 문장이므로 순서를 바꿔도 된다.

### 문제 17

**접근.** 결론 $a \le b$를 직접 만들 재료가 없다 — 가정이 주는 것은 $\varepsilon$이 들어간 부등식뿐이다. 그래서 결론을 부정해 $a > b$를 사실 목록에 올린다(1권 21주차). 이 순간 $a - b$가 양수가 되고, 양수는 자격 $\varepsilon > 0$을 통과하는 값이 된다. 부정문 자체가 넣는 값의 재료가 되는 구조다.

**풀이.** **증명.** 결론을 부정해 $a > b$라 가정하자 [귀류법 개시]. 그러면 $a - b > 0$이므로 $\varepsilon_0 = \dfrac{a-b}{2}$로 두면 $\varepsilon_0 > 0$이다 [걸음 ② — 자격 검증: 양수를 양수로 나눈 값은 양수].

가정의 전칭 사실을 $\varepsilon = \varepsilon_0$에 적용한다 [걸음 ①과 ③]. 수령하면

$$
a \le b + \frac{a-b}{2} = \frac{2b + a - b}{2} = \frac{a+b}{2}
$$

이다. 한편 $a > b$이므로 양변에 $a$를 더하면 $2a > a + b$이고, 2로 나누면 $\frac{a+b}{2} < a$이다. 두 결과를 이으면 $a \le \frac{a+b}{2} < a$, 곧 $a < a$가 된다. 1권 16주차 정의 16.1로 읽으면 이것은 차 $a - a = 0$이 양수라는 뜻이므로 같은 주차의 삼분법에 어긋난다(문제 8에서 쓴 것과 같은 줄이다). 모순이므로 부정한 가정이 거짓이고, 따라서 $a \le b$이다. $\blacksquare$

**검산.** 결론이 옳게 작동하는지 사례로 확인한다. $a = 3$, $b = 3$이면 모든 양수 $\varepsilon$에 대해 $3 \le 3 + \varepsilon$이 성립하고 결론 $3 \le 3$도 참이다 ✓. $a = 4$, $b = 3$이면 $\varepsilon = 0.5$에서 가정이 깨지므로 전제 자체가 성립하지 않는다 ✓.

**복기.** 넣는 값 $\frac{a-b}{2}$를 고른 과정을 역산으로 다시 읽어 둔다. 모순을 만들려면 산출 문장 $a \le b + \varepsilon$이 $a$보다 작은 상한을 주어야 하므로 $b + \varepsilon < a$, 곧 $\varepsilon < a - b$가 필요하다. 동시에 자격 $\varepsilon > 0$도 지켜야 하므로 0과 $a - b$ 사이의 값이면 되고, 그중 가장 적기 쉬운 것이 절반이다. 이 명제는 "임의의 여유로 성립하면 여유 없이도 성립한다"는 꼴로 해석학에서 반복해 쓰이므로, 이름을 붙여 근거 ④ 목록에 넣어 둔다.

### 문제 18

**접근.** 이 답안에서 검사할 것은 계산이 아니라 사실 목록이다. "이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로"라는 구절이 무엇을 사실 목록에 올렸는지 지목하면 반칙이 곧바로 드러난다.

**풀이.** 반칙은 두 가지다.

첫째, **결론 등록**이다. "이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로"라는 문장은 지금 증명하려는 결론 자체를 사실 목록에 올린 것이다. 아직 확보되지 않은 문장을 근거로 쓰는 것이므로 순환이며, 이 한 줄로 답안 전체가 무효가 된다.

둘째, **칸 착각**이다. 설령 그 순환을 걷어 내더라도, $x = 5$에서 참임을 보인 것은 개별 사례 하나의 확인일 뿐 전칭 결론의 증명이 아니다. 결론의 $\forall$는 선택법의 의무이지 특수화의 권리가 아니다.

"적용한다"가 합법이 되는 조건은 하나다 — **그 전칭 문장이 공리이거나 이미 증명된 정리로서 사실 목록에 이미 있을 때**뿐이다. 증명하려는 문장에는 쓸 수 없다.

**올바른 증명.** 실수 $x$를 임의로 잡자 [선택법 걸음 ①]. 실수의 제곱이 음이 아니라는 것은 1권 16주차 (W1)이 확보한 사실이므로 $x^2 \ge 0$이다. $x$가 임의였으므로 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** 자격 미검증(예제 2.3)과 결론 등록(이 문제)은 둘 다 특수화의 반칙이지만 무너지는 곳이 다르다. 앞의 것은 넣는 값이 잘못된 경우이고, 뒤의 것은 넣을 문장 자체가 사실 목록에 없는 경우다. 자기 답안을 검열할 때는 두 물음을 따로 던진다 — "이 문장은 이미 확보되어 있는가", "이 값은 자격을 통과하는가".

### 문제 19

**접근.** 사실 ②가 전칭 문장이므로 값을 넣을 때마다 조건문이 하나씩 나온다. 조건문을 얻은 다음에는 그 앞부분이 이미 사실 목록에 있는지 확인해 뒷부분을 꺼내야 한다 — 특수화와 전건 긍정이 번갈아 나오는 구조다.

**풀이.** 1단계. ②에 $n = 1$을 넣는다 — 자격: 1은 양의 정수 ✓. 수령: "$P(1)$이면 $P(2)$". 사실 ①이 $P(1)$을 주므로 전건 긍정에 의해 $P(2)$를 얻는다.

2단계. ②에 $n = 2$를 넣는다 — 자격: 2는 양의 정수 ✓. 수령: "$P(2)$이면 $P(3)$". 1단계에서 얻은 $P(2)$와 전건 긍정에 의해 $P(3)$을 얻는다.

3단계. ②에 $n = 3$을 넣는다 — 자격: 3은 양의 정수 ✓. 수령: "$P(3)$이면 $P(4)$". 2단계에서 얻은 $P(3)$과 전건 긍정에 의해 $P(4)$를 얻는다. $\blacksquare$

한 문장 답. 이 유한 사슬을 "모든 양의 정수 $n$"에 대해 한 번에 처리하는 것이 **수학적 귀납법의 원리**이며(1권 31주차), 그 원리는 사실 ①과 ②만으로 모든 $P(n)$을 결론짓게 해 주므로 999단계를 손으로 잇는 일을 대신한다.

**복기.** 귀납법이 무엇을 대신하는지가 이 문제의 관찰이다. 특수화 사슬은 목표 번호가 정해져 있을 때만 유한 번에 끝나고, 목표가 "모든 $n$"이면 끝나지 않는다. 귀납법의 원리는 그 무한 사슬을 두 개의 유한한 증명(기저와 한 칸 전달)으로 바꾸는 규칙이다. S14주차에서 이 구조를 다시 해부한다.

### 문제 20

**접근.** (a)는 §1.4 마지막 줄의 주장을 자기 경험으로 뒷받침하는 문제다. 인용 장면 하나를 골라 그 순간의 전칭 변수와 넣은 값, 확인한 자격을 구체적으로 적는다. (b)는 §1.5 확인 5의 답을 두 문장으로 압축한다.

**풀이.** (예시 답안)

(a) 1권 16주차에서 "양변에 양수 $c$를 곱해도 부등호가 유지된다((W3))"라고 적을 때마다, 우리는 전칭 정리 $\forall a, b, c\,[\,a \le b$이고 $c > 0$이면 $ac \le bc\,]$의 $a, b, c$ 자리에 그 순간의 구체적인 세 값을 넣고 있었다. 그때 습관적으로 확인하던 "곱하는 것이 양수인가"가 바로 걸음 ②의 자격 검증이었고, 얻은 부등식을 다음 줄의 근거로 적은 것이 걸음 ③이었다. 그러므로 정리를 인용한다는 것은 이름이 붙은 전칭 사실을 특수화하는 일과 같은 동작이며, 이번 주가 한 일은 그 동작에 걸음 번호를 붙인 것뿐이다.

(b) 두 칸 모두 값을 **도착점에서 거꾸로 읽어** 정한다 — 구성법의 증인은 결론의 등식이 성립하도록 역산해 세우고, 특수화의 넣는 값은 산출 문장에 도착점의 재료가 나타나도록 역산해 고른다. 그리고 두 경우 모두 고른 값은 지금 무대에 이미 있는 문자와 상수로만 조립해야 하며, 무대 밖에서 문자를 들여오면 그 값이 무엇인지 정해지지 않아 산출 문장이 뜻을 잃는다.

**복기.** 이 두 물음의 답을 한 줄로 합치면 이번 주의 요약이 된다 — 가정의 $\forall$는 이미 확보된 사실이고, 그 사실을 쓰는 기술의 전부는 결론을 보고 넣을 값을 고르는 일이다.

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**다음 주 예고 (S8주차):** 양화사 4부작의 완결이다. $\forall \varepsilon\,\exists N\,\forall n$ 처럼 겹이 여러 개인 명제를 **바깥부터 한 겹씩** 벗기며, 겹마다 네 칸 표를 다시 적용한다. 새 기법은 하나도 추가되지 않는다 — 이번 주까지의 네 칸이 전부이고, 달라지는 것은 그 칸을 적용하는 **순서**뿐이다. 1권 45주차에서 서식으로 외웠던 $\varepsilon$-$N$ 증명의 첫 세 줄이 왜 그 순서여야 하는지가 여기서 유도된다. S9주차 종합시험 직전의 마지막 신기술이므로, 원서 7장을 통독하고 온다.