S11주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

S11주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 거래를 열고 충돌까지 밀기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 산문으로 읽는다.

예제 2.1 — 부정형 결론: \(2^x = 3\)의 해는 무리수#

명제. \(2^x = 3\)을 만족하는 양의 실수 \(x\)는 유리수가 아니다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 세 가지. 귀류의 설계는 번역표 한 장이다. 가정이 주는 것(출발점), 결론을 부정해 얻는 것(추가 출발점), 그리고 도착점을 적는다.

말

번역

가정 \(A\)

\(x\)는 양의 실수이고 \(2^x = 3\)

그대로 둔다 — 지수 등식 하나

결론 \(B\)

\(x\)는 유리수가 아니다

부정형 — 후진면이 비어 있다

\(\neg B\) (개시문)

\(x\)는 유리수다

\(x = \underline{\quad(?)\quad}\)

도착점

아무 모순

충돌 후보를 §1.5의 세 산지에서 찾는다

확인 9. 번역표의 빈칸을 채워 보자. “\(x\)는 유리수다”를 1권 정의 15.1로 풀면 어떤 등식이 나오는가.

답

\(x = \frac ab\)인 정수 \(a\)와 0이 아닌 정수 \(b\)가 존재한다.

결론이 부정형일 때 후진면이 비었던 자리에, 부정 한 번으로 등식 하나가 들어왔다.

이 등식이 있어야 \(2^x = 3\)에 대입할 수 있다.

1단계 — 개시 선언과 정규화. 개시문은 \(\neg B\)를 그대로 옮겨 적으면 되지만, 그 자리에서 표현을 다듬어 두면 뒤가 편해진다. 지금 \(b\)는 0만 아니면 되므로 음수일 수도 있는데, 음수 지수가 섞이면 계산이 번거로워진다.

확인 10. \(x > 0\)이라는 가정을 쓰면 \(a\)와 \(b\)를 둘 다 양의 정수로 잡을 수 있다. 그 이유를 두 걸음으로 적어 보자.

답

첫 걸음: \(b < 0\)이면 \(\frac ab = \frac{-a}{-b}\)이므로 \(a\)와 \(b\)를 각각 \(-a\), \(-b\)로

바꿔 잡으면 분모가 양수가 된다. 곧 \(b > 0\)인 표현을 언제나 고를 수 있다.

둘째 걸음: \(b > 0\)이고 \(x = \frac ab > 0\)이므로 \(a = xb > 0\)이다.

따라서 \(a\)와 \(b\)를 둘 다 양의 정수로 잡아도 일반성을 잃지 않는다. 이것이 §1.8

확인 8에서 말한 정규화이고, 이번 예제에서는 기약성이 아니라 부호를 정규화한다.

2단계 — 유리 지수를 지운다. 손에 있는 것은 \(2^{a/b} = 3\)이다. 분수 지수인 채로는 정수의 성질을 쓸 수 없으므로 정수 지수로 내린다.

확인 11. \(2^{a/b} = 3\)의 양변에 어떤 조작을 하면 지수가 정수만 남는가. 결과 등식을 적어 보자.

답

양변을 \(b\)제곱한다. 좌변은 \(\big(2^{a/b}\big)^b = 2^{(a/b) \cdot b} = 2^a\)이고

우변은 \(3^b\)이므로

\[ 2^a = 3^b \]

이다. 이 한 줄로 실수의 세계에서 정수의 세계로 내려왔다. 정수 세계에는 홀짝과

소인수라는 판정 도구가 있으므로, 충돌 후보를 여기서 찾는다.

3단계 — 충돌 후보 두 문장을 만든다. \(2^a\)과 \(3^b\)을 각각 판정한다.

확인 12. \(a \ge 1\)과 \(b \ge 1\)을 쓰면 \(2^a\)과 \(3^b\)의 홀짝은 각각 무엇인가. 각각의 근거도 적어 보자.

답

\(a \ge 1\)이므로 \(2^a = 2 \cdot 2^{a-1}\)이고 \(2^{a-1}\)은 정수이므로 \(2^a\)은 짝수다

(짝수의 정의, 근거 ①).

\(b \ge 1\)이고 3은 홀수이므로, “홀수의 곱은 홀수”(1권 1주차 문제 8)를 \(b-1\)번

적용하면 \(3^b\)은 홀수다(근거 ④). \(b = 1\)이면 적용 횟수가 0이고 \(3^1 = 3\)이

그대로 홀수다. 반복 적용을 한 줄의 정리로 굳히는 것은

1권 31주차 귀납법의 몫이고, 여기서는 인용으로 충분하다.

4단계 — 모순 명시. 두 문장이 준비되었으니 충돌시킨다.

확인 13. 위 두 사실과 \(2^a = 3^b\)을 이으면 어떤 문장이 나오는가. 충돌하는 두 당사자를 지목하고 산지 번호를 붙여 보자.

답

\(2^a = 3^b\)이므로 같은 하나의 정수가 짝수이면서 홀수다. 두 당사자는

“\(2^a\)은 짝수다”와 “\(3^b\)은 홀수다”이고, 둘을 잇는 다리가 등식 \(2^a = 3^b\)이다.

어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(1권 22주차 문제 5) 모순이다.

산지 ③ — 이미 아는 참과의 충돌이다.

5단계 — 결론 선언. \(B\)의 원문으로 돌아온다.

확인 14. 마지막 문장을 완성해 보자: “따라서 \(2^x = 3\)을 만족하는 양의 실수 \(x\)는 \(\underline{\qquad}\). \(\blacksquare\)”

답

“따라서 \(2^x = 3\)을 만족하는 양의 실수 \(x\)는 유리수가 아니다. \(\blacksquare\)”

결론 선언은 개시문의 부정을 되돌리는 문장이므로, 개시문과 짝을 이루는지 확인하면

걸음 ①의 전개가 옳았는지도 함께 검사된다.

완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄의 “왜”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

결론을 부정하여, \(2^x = 3\)이고 \(x\)가 유리수인 양의 실수 \(x\)가 있다고 가정하자.

① 개시 선언. 결론이 부정형이므로 N1로 긍정문 “유리수다”가 되고, 전개할 수 있는 가정이 하나 늘어난다.

정의에 의해 \(x = \frac ab\)인 정수 \(a\)와 0이 아닌 정수 \(b\)가 존재한다. \(x > 0\)이므로 \(a, b\)를 둘 다 양의 정수로 잡을 수 있다.

② 전진. 정의 풀어쓰기(근거 ①)에 부호 정규화를 얹는다. 뒤의 \(a \ge 1\), \(b \ge 1\)이 이 줄에서 확보된다.

그러면 \(2^{a/b} = 3\)이고, 양변을 \(b\)제곱하면 \(2^a = 3^b\)이다.

전진. 유리 지수를 지워 정수의 세계로 내린다(근거 ③). 충돌 후보를 찾을 수 있는 무대는 정수 쪽이다.

\(a \ge 1\)이므로 \(2^a = 2 \cdot 2^{a-1}\)은 짝수다.

전진. 충돌 후보 첫째 문장을 만든다(근거 ①).

\(b \ge 1\)이고 3은 홀수이므로, 홀수의 곱은 홀수라는 사실을 \(b-1\)번 적용하면 \(3^b\)은 홀수다.

전진. 충돌 후보 둘째 문장을 만든다(근거 ④, 1권 1주차 문제 8).

그런데 \(2^a = 3^b\)이므로 같은 정수가 짝수이면서 홀수가 되어, 홀짝의 배타성과 모순이다 [산지 ③, 당사자: “\(2^a\)은 짝수”와 “\(3^b\)은 홀수”].

③ 모순 명시. 두 당사자를 문장으로 지목한다. 이 줄이 없으면 §1.4의 삭제 실험이 재연된다.

따라서 \(2^x = 3\)을 만족하는 양의 실수 \(x\)는 유리수가 아니다. \(\blacksquare\)

④ 결론 선언. 개시문의 부정을 되돌려 원문으로 복귀한다.

덧붙임. 이 명제는 “\(\log_2 3\)은 무리수이다”와 같은 내용을 로그 없이 쓴 것이다. 로그를 도입하기 전에도 진술하고 증명할 수 있도록 다시 포장했을 뿐, 증명은 그대로다.

예제 2.2 — 부재 증명: 정수 해가 없다#

명제. \(x^2 - 4y = 2\)를 만족하는 정수 \(x, y\)는 존재하지 않는다.

준비 운동의 과제이자 §1.1에서 막혔던 그 명제다. 이번에는 설계만 함께 하고 본문은 완성본으로 본다.

확인 15. 번역표를 채워 보자.

결론 \(B\): 정수 해가 존재하지 않는다 \(\to\) \(\neg B\): \(\underline{\qquad}\)

\(\neg B\)가 쥐여 주는 것: \(\underline{\qquad}\)

충돌 후보를 어느 산지에서 찾을 것인가: \(\underline{\qquad}\)

답

\(\neg B\): \(x^2 - 4y = 2\)인 정수 \(x, y\)가 존재한다.

쥐여 주는 것: 구체적인 정수 쌍 하나. “그런 \(x, y\)를 잡자”로 받아 대입에 쓴다.

산지: 가정 \(A\)가 “\(x, y\)는 정수”라는 자격뿐이라 산지 ①은 쓸 상대가 없고,

\(\neg B\)가 등식 하나뿐이라 산지 ②도 조각이 부족하다. 남는 것은 산지 ③ —

정수 세계의 이미 아는 참(홀짝의 배타성)과 부딪히게 만드는 길이다.

이 판단이 전진의 방향을 정한다: 등식을 홀짝이 보이는 꼴로 계속 정리한다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

결론을 부정하여, \(x^2 - 4y = 2\)인 정수 \(x, y\)가 존재한다고 가정하고 그런 \(x, y\)를 잡자.

① 개시 선언과 존재 진술의 수령. “없다”의 부정이 구체적인 정수 쌍을 준다.

\(x^2 = 4y + 2 = 2(2y + 1)\)이고 \(2y + 1\)은 정수이므로 \(x^2\)은 짝수다.

② 전진. 등식을 짝수의 정의 꼴로 정리한다(근거 ①\(\cdot\)②).

\(x^2\)이 짝수이므로 \(x\)도 짝수다. 따라서 \(x = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다.

전진. 1권 19주차 예제 2.1을 근거 ④로 인용한다. 제곱 안의 정보를 밖으로 꺼내는 유일한 통로다.

대입하면 \(4k^2 = 4y + 2\)이고, 양변을 2로 나누면 \(2k^2 = 2y + 1\)이다.

전진. 충돌 직전 — 좌변과 우변의 홀짝이 갈린다(근거 ③).

좌변 \(2k^2\)은 짝수이고 우변 \(2y + 1\)은 홀수이므로, 같은 정수가 짝수이면서 홀수가 되어 모순이다 [산지 ③, 당사자: “\(2k^2\)은 짝수”와 “\(2y+1\)은 홀수”].

③ 모순 명시. 두 당사자를 지목한다.

따라서 \(x^2 - 4y = 2\)를 만족하는 정수 \(x, y\)는 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

④ 결론 선언.

확인 16. 위 증명에서 “\(x^2\)이 짝수이므로 \(x\)도 짝수다”를 빼고 \(x^2 = 4y+2\)에서 곧바로 결론으로 가려 하면 왜 막히는가.

답

\(x^2\)의 홀짝만으로는 등식의 좌변과 우변이 같은 홀짝이라는 사실밖에 나오지 않아

충돌이 생기지 않는다. 충돌은 \(x\) 자신을 \(2k\)로 놓고 다시 대입한 뒤에야

나타난다 — 4로 묶인 좌변과 4로 묶이지 않는 우변이 갈리는 것이 이 증명의 핵심이다.

제곱 안의 정보를 밖으로 꺼내는 줄이 이 증명에서 가장 값비싼 줄이고, 그 줄의

근거가 1권 19주차 예제 2.1이다.

검산 감각. 정수 \(x\)에 대해 \(x^2\)을 4로 나눈 나머지는 0 또는 1뿐이다(1권 17주차 문제 9). 그런데 \(4y + 2\)를 4로 나눈 나머지는 2이므로 처음부터 만날 수 없다. 같은 증명을 합동의 언어(1권 20주차)로 압축하면 두 줄이 된다.

예제 2.3 — 진단 2건: 무늬만 귀류와 조기 정지#

이번에는 설계부터 스스로 한다. 아래 두 답안은 계산에 오류가 없다. 그런데도 둘 다 이번 주의 규격을 통과하지 못한다.

답안 1. “명제: 연속한 두 정수의 합은 홀수다. 증명: 합이 짝수라고 가정하자. 그런데 \(n + (n+1) = 2n + 1\)은 홀수의 정의 꼴이다. 이는 가정과 모순이므로 명제가 성립한다.”

확인 17. 답안 1에서 가정 “합이 짝수다”가 실제로 쓰인 줄은 몇 번째인가. 그 줄을 지운 뒤에도 남는 것을 적어 보자.

답

쓰인 줄이 없다. 둘째 문장은 \(n + (n+1) = 2n+1\)이라는 계산과 홀수의 정의만으로

이루어져 있고, 가정은 마지막에 충돌 상대로 한 번 등장할 뿐이다.

개시문과 마지막 문장을 지우면 “연속한 두 정수를 \(n\), \(n+1\)이라 하자.

\(n + (n+1) = 2n+1\)이고 \(n\)은 정수이므로 합은 홀수다. \(\blacksquare\)”가 남는다 —

완결된 직접 증명이다.

진단 — 무늬만 귀류. 이 답안은 틀리지 않았다. 논리적으로는 정당하다. 문제는 거래를 하지 않아도 되는 게임에서 거래의 절차만 치렀다는 것이다. §1.6의 신호 표에 “합이 홀수다”는 없다 — 결론이 긍정형이고 정의를 풀면 도착점이 그대로 나온다. 수리 규칙: \(\neg B\)가 유도 사슬에서 한 번도 소비되지 않은 귀류는 직접 증명으로 다시 쓴다. 1권 15주차의 가정 소비처 점검을 귀류에 적용한 것이고, 1권 22주차 문제 18이 같은 진단을 다룬다.

답안 2. “명제: \(\sqrt2 + \sqrt3 \neq 3\). 증명: \(\sqrt2 + \sqrt3 = 3\)이라 가정하자. 양변을 제곱하면 \(5 + 2\sqrt6 = 9\), 즉 \(\sqrt6 = 2\)이다. 뭔가 이상하므로 모순이다.”

확인 18. 답안 2의 설계를 복원해 보자. \(\neg B\)는 무엇이고, 어느 산지를 노리고 있으며, 충돌 상대가 될 이미 아는 참은 무엇인가.

답

\(\neg B\)는 “\(\sqrt2 + \sqrt3 = 3\)”이다. 가정 \(A\)가 따로 없으므로 산지 ①은 쓸 수

없고, \(\neg B\)가 한 조각뿐이라 산지 ②도 쓸 수 없다 — 노릴 수 있는 것은 산지 ③뿐이다.

충돌 상대가 될 이미 아는 참의 후보는 두 가지다. 하나는 “\(6 \neq 4\)”이고

(제곱을 한 번 더 하면 도달한다), 다른 하나는 “\(\sqrt6\)은 무리수다”(1권 21주차

문제 15)이다. 어느 쪽을 골라도 되지만, 고른 뒤에는 그 문장을 답안에 적어야 한다.

진단 — 조기 정지. “\(\sqrt6 = 2\)”는 모순이 아니라 모순 후보다. 낯설다는 느낌과 \(P \wedge \neg P\)는 다른 것이고, 걸음 ③은 두 당사자를 문장으로 지목할 때까지 끝나지 않는다. 수리는 한 줄이면 된다: 양변을 제곱하면 \(6 = 4\)이고, \(6 \neq 4\)는 이미 아는 참이므로 “\(6 = 4\)”와 “\(6 \neq 4\)”가 충돌한다 [산지 ③]. 수리 규칙: 모순 명시는 \(P\)와 \(\neg P\)의 두 당사자를 문장으로 지목할 때 끝난다.

두 진단을 한 줄로 묶으면 이렇다. 답안 1은 거래를 열고 쓰지 않았고, 답안 2는 거래를 열고 닫지 않았다.

관찰 — 같은 뼈대#

예제 2.1, 2.2, 그리고 수리한 예제 2.3 답안 2는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음

예제 2.1

예제 2.2

예제 2.3 답안 2(수리 후)

결론 \(B\)의 모양

부정형(유리수가 아니다)

부재형(해가 없다)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(\neg B\)가 쥐여 준 것

등식 \(x = \frac ab\)

정수 해 \((x, y)\)

등식 \(\sqrt2 + \sqrt3 = 3\)

이미 아는 세계로 내리는 조작

양변 \(b\)제곱

대입 후 2로 나누기

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

충돌한 두 문장

“\(2^a\)은 짝수” / “\(3^b\)은 홀수”

“\(2k^2\)은 짝수” / “\(2y+1\)은 홀수”

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

산지

③

③

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 19. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 세 증명에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자.

답

(1) 부정형(\(\neq\)) (2) 양변을 한 번 더 제곱 (3) “\(6 = 4\)”와 “\(6 \neq 4\)” (4) ③.

공통 순서: ① 결론을 부정해 등식이나 대상 하나를 손에 넣는다 \(\to\) ② 그 등식을

판정 도구가 있는 세계(정수의 홀짝, 수의 크기)로 내린다 \(\to\) ③ 그 세계의 배타적인

두 성질을 한 대상에 동시에 붙여 충돌시킨다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

충돌 조준 3걸음

① 확보 — \(\neg B\)를 전개해 등식 또는 구체적 대상을 손에 넣는다.

② 하강 — 그것을 판정 도구가 있는 세계로 내린다(정수의 홀짝\(\cdot\)소인수, 순서, 정의).

③ 충돌 — 그 세계의 배타적인 두 성질을 한 대상에 동시에 붙이고, 두 당사자를 지목한다.

4단 서식이 답안의 겉모양이라면, 충돌 조준 3걸음은 걸음 ②의 안쪽에서 실제로 무엇을 할지 정하는 절차다. 서식만 외우고 이 세 걸음이 없으면 개시문 뒤에서 손이 멈춘다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸#

명제. 가장 큰 정수는 존재하지 않는다.

신호 판독. 결론이 “\(\underline{\quad(1)\quad}\)” 꼴이므로, 부정하면 최대 정수 하나와 \(\forall\) 사실 하나가 손에 들어온다. 거래를 개시한다.

증명. ① 결론을 부정하여, 모든 정수 \(n\)에 대해 \(n \le N\)인 정수 \(N\)이 \(\underline{\quad(2)\quad}\)고 가정하고, 그런 \(N\)을 잡자.

② \(M = \underline{\quad(3)\quad}\)으로 두자. 정수의 합은 정수이므로 \(M\)은 정수다. \(\neg B\)가 준 \(\forall\) 사실을 \(M\)에 \(\underline{\quad(4)\quad}\)하면 — 자격: \(M\)은 정수 ✓ — \(M \le N\)을 얻는다.

③ 그런데 \(M = N + 1 > N\)이므로 \(M \le N\)과 \(M > N\)이 동시에 성립한다. \(\underline{\quad(5)\quad}\)의 배타성(순서의 기본 성질)과 모순이다.

④ 따라서 가장 큰 정수는 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

산지 분류. 이 모순은 산지 \(\underline{\quad(6)\quad}\)이다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 걸음 이름과 근거 문장도 빈칸이다. 1권 21주차 예제 2.2의 증명을 이번 주의 서식과 산지 표기로 다시 적는 훈련이다.

명제. \(\sqrt2\)는 무리수이다.

증명. ① 결론을 부정하여 \(\sqrt2\)가 유리수라 가정하자. 정의에 의해 \(\sqrt2 = \frac ab\)인 양의 정수 \(a, b\)가 존재하고, 이 표현을 \(\underline{\quad(1)\quad}\)인 것으로 잡을 수 있다 [근거 ④ — \(\underline{\quad(2)\quad}\)].

② 양변을 제곱하면 \(2 = \frac{a^2}{b^2}\), 곧

\[ a^2 = 2b^2 \]

이다. 우변이 \(2 \times (\text{정수})\) 꼴이므로 \(a^2\)은 짝수이고, 따라서 \(a\)도 짝수다 [근거 ④ — \(\underline{\quad(3)\quad}\)]. 그러므로 \(a = 2c\)인 정수 \(c\)가 존재한다.

대입하면 \(4c^2 = 2b^2\)이고 양변을 2로 나누면 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이다. 같은 이유로 \(b^2\)이 짝수이므로 \(b\)도 짝수다.

③ 그러면 2는 \(a\)와 \(b\)의 공약수이므로 \(\frac ab\)는 기약이 아니다. 이는 개시문에서 얹은 \(\underline{\quad(5)\quad}\)와 모순이다 [산지 \(\underline{\quad(6)\quad}\)].

④ 따라서 \(\sqrt2\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)

한 줄 점검. 이 증명에서 정규화를 얹지 않았다면 마지막 충돌의 상대가 \(\underline{\quad(7)\quad}\).

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 신호 판독부터 스스로 한다.

명제. \(S = \{x \in \mathbb{R} : x > 2\}\)에 최솟값은 존재하지 않는다.

(최솟값의 정의는 최댓값의 정의에서 부등호만 뒤집은 것이다: 실수 \(m\)이 \(S\)의 최솟값이라 함은 ① \(m \in S\)이고 ② 모든 \(x \in S\)에 대해 \(m \le x\)인 것이다.)

증명의 뼈대. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다.

  • ① 신호 판독과 개시 선언: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② \(\neg B\)의 두 조각을 각각 적기: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 충돌 상대를 만들 대상의 구성과 자격 검증: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ④ 특수화와 모순 명시(두 당사자 지목 + 산지 번호): \(\underline{\quad(4)\quad}\)

  • ⑤ 결론 선언: \(\underline{\quad(5)\quad}\)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 제출 규격은 네 가지다: ① 개시문에

\(\neg B\)의 전개 결과가 적혀 있을 것 ② 걸음 ①~④의 라벨이 붙어 있을 것

③ 모순 선언에 두 당사자가 문장으로 지목되어 있을 것 ④ 산지 번호가

표기되어 있을 것. 계산이 옳아도 ③이 없으면 어디서 멈춰도 되는 글이 되므로

증명으로 읽히지 않는다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 귀류의 거래(얻는 것/잃는 것), 모순의 3대 산지, 귀류 신호 목록, 4단 서식을 쓰시오.

힌트

네 상자는 §1.3, §1.5, §1.6, §1.4에 있다. 통째로 외워 적는 것보다 각 상자가

무엇을 막아 주는지 한 줄씩 덧붙이며 적는 편이 재현률이 높다.

2. 다음 결론들의 귀류 개시문(\(\lnot\)B의 정확한 전개 포함)을 쓰시오 — 증명은 하지 말 것. (a) \(\sqrt5\)는 무리수이다. (b) \(x^3 + x = 5\)의 유리수 해는 없다. (c) 소수는 무한히 많다. (d) \(A \cap A^c = \emptyset\).

힌트

네 문항 모두 S10주차의 기계를 한 번 돌린 뒤 “…라 가정하자”에 넣으면 된다.

(d)는 \(\emptyset\)의 뜻(“원소가 하나도 없다”)을 먼저 풀어야 부정할 대상이 보인다.

3. 예제 2.1을 백지 재현하시오 (4단 라벨 + 산지 표기).

힌트

막히는 자리는 대개 둘 중 하나다. 부호 정규화의 이유(확인 10)와, 유리 지수를

지우는 조작(확인 11)이다. 이 둘을 먼저 적고 나머지를 채운다.

4. 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 1은 \(M = N + 1\)의 자격 검증이, 훈련 2는 정규화의 근거가, 훈련 3은

증인 구성이 각각의 급소다.

5. 예제 2.3의 두 답안을 재현하고 각각의 병명과 수리 규칙을 쓰시오.

힌트

병명은 두 낱말이다. 수리 규칙은 “무엇을 하지 않았는가”를 뒤집으면 나온다 —

하나는 가정을 쓰지 않았고, 하나는 당사자를 지목하지 않았다.

6. “귀류에는 후진이 없다”를 두 문장으로 설명하고, 그 부분적 대체물(모순의 3대 산지 = 충돌 후보 목록)을 쓰시오.

힌트

후진 과정이 무엇을 하는 절차였는지 먼저 적는다(S2주차). 그 절차가 요구하는

것이 귀류의 도착점에는 없다는 것을 짚으면 두 문장이 나온다.

표준 ●●○#

7. 유리수 \(r\)과 무리수 \(t\)에 대해, \(r + t\)는 무리수임을 증명하시오. S10주차 문제 18에서 다룬 \(\sqrt2 + \frac12\)의 무리성이 이 명제의 한 사례이고, 이 명제는 이후 주차에서 정리로 인용한다.

힌트

\(r + t\)가 유리수라 가정하고 그 값을 \(s\)라 이름 붙이면, \(t\)를 \(s\)와 \(r\)로 표현할

수 있다. 그 표현이 유리수임을 말해 주는 근거는 1권 15주차에 있다.

8. 0이 아닌 유리수 \(r\)과 무리수 \(t\)에 대해, \(rt\)는 무리수임을 증명하시오. 조건 “0이 아닌”이 증명의 어느 줄에서 소비되는지 명시하시오. 이 명제는 문제 7과 함께 무리수 산술 2정리를 이룬다.

힌트

문제 7과 뼈대가 같고 연산만 바뀐다. \(rt\)가 유리수라 가정하고 그 값에 이름을

붙이면 \(t\)를 되풀어 낼 수 있는데, 그 되풀기가 나눗셈이라는 것이 차이다.

나눗셈이 허용되는 근거를 한 줄로 적는 자리가 조건의 소비처다.

9. \(x^2 = 4y + 3\)을 만족하는 정수 \(x, y\)가 존재하지 않음을 증명하시오. 귀류 안쪽에서 경우 나누기(1권 17주차)를 쓰는 연습이다.

힌트

\(x\)의 홀짝은 사실 홀수로 결정된다 — \(4y + 3\)은 홀수이고, “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은

홀수”를 1권 19주차 문제 4가 확보했다. 그러나 그 보조정리를 쓰지 않고 두 경우를

각각 계산해도 같은 결론에 도달하므로, 여기서는 경우 나누기 연습을 위해 무대를

쪼개(1권 17주차) 두 경우에서 각각 모순을 만든다.

10. 가장 작은 양의 유리수는 존재하지 않음을 증명하시오. 빈칸 사다리 훈련 1의 유리수판이고, S8주차 문제 7과 뼈대가 같다.

힌트

훈련 1에서는 \(N\)보다 큰 정수를 만들었다. 여기서는 \(q\)보다 작은 양의 유리수를

만든다. 만든 뒤 반드시 두 가지를 검증한다 — 유리수인가, 양수인가.

11. 짝수인 소수는 2뿐임을 — 정확히는 “\(p\)가 소수이고 짝수이면 \(p = 2\)”임을 — 귀류로 증명하시오. 산지 번호와, 그 번호로 판정한 근거도 함께 쓰시오.

힌트

\(p\)가 2가 아닌 짝수 소수라면 \(p\)의 크기부터 좁혀진다. 그다음 2가 \(p\)의 약수라는

사실을 소수의 정의(1권 정의 15.2)와 나란히 놓는다. 산지 판정은 §1.5의

“정의와의 충돌은 ①인가 ③인가” 규칙으로 한다.

12. 다음 답안을 진단하시오 (병명 + 수리).

“명제: 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이다. 증명: 어떤 \(x\)에 대해 \(x^2 < 0\)이라 가정하자. 그런데 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로(W1) 모순이다. 따라서 명제가 성립한다.”

힌트

검사할 질문은 둘이다. 인용된 (W1)은 어디에서 증명된 것인가. 그리고 부정 가정

“\(x^2 < 0\)”이 유도 사슬에서 실제로 소비되었는가. 두 질문의 답이 병명을 정한다.

13. \(\sqrt2 + \sqrt3\)이 무리수임을 증명하시오. 예제 2.3 답안 2가 “이상하다”에서 멈췄던 자리를 다른 충돌 상대로 완성하는 문제다.

힌트

제곱한 뒤 \(\sqrt6\)만 한쪽에 남기고 나머지를 반대쪽으로 옮긴다. 옮긴 쪽이

유리수임을 말하는 근거를 한 줄로 적으면 충돌 상대가 준비된다.

새로 쓰는 사실 — 유클리드 보조정리

다음 문제에서 처음 필요하다. 소수 \(p\)가 두 정수의 곱 \(mn\)을 나누면

\(p \mid m\)이거나 \(p \mid n\)이다. 이 과정에서는 증명 없이 인정하고 쓰고,

C15주차(Chartrand 12장)에서 증명한다. 인용할 때는 \(p\)가 소수라는 조건을

먼저 확인한다 — 소수가 아니면 거짓이다(\(4 \mid 2 \cdot 6\)이지만 \(4 \nmid 2\),

\(4 \nmid 6\)).

14. 서로 다른 소수 \(p, q\)에 대해 \(\sqrt{pq}\)가 무리수임을 증명하시오. 조건 “서로 다른”이 증명의 어느 줄에서 소비되는지 명시하시오. 문제 13이 부품으로 인용한 \(\sqrt6\)의 무리성(1권 21주차 문제 15)이 이 명제의 한 사례다.

힌트

훈련 2의 \(\sqrt2\) 증명에서 2가 하던 일을 \(p\)가 그대로 맡는다. 달라지는 곳은

한 군데다 — \(p \mid q b^2\)에서 \(p \mid b^2\)로 넘어가려면 \(p \nmid q\)를 먼저

말해야 하고, 그 근거가 “\(p\)와 \(q\)가 서로 다른 소수”라는 조건이다.

도전 ●●●#

15. 소수가 무한히 많음을 증명하시오. 1권 21주차 예제 2.3의 재구성이되, 이번에는 4단 서식\(\cdot\)산지 표기\(\cdot\)모순 당사자 지목을 모두 갖춘 답안으로 적으시오.

힌트

충돌은 “\(N\)이 소수다”가 아니라 “\(N\)의 소인수가 목록 안에 있으면서 동시에

\(1\)을 나눠야 한다”에서 일어난다. \(p_i \mid N\)과 \(p_i \mid p_1 \cdots p_k\)를

나란히 놓고 차를 취하면 그 자리에 도달한다(1권 2주차 문제 7).

16. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 3의 배수이면 \(n\)도 3의 배수임을 귀류로 증명하시오. 1권 19주차 예제 2.2는 같은 명제를 대우로 증명했다. 두 증명을 나란히 놓고 귀류판의 전개가 대우판과 어디서부터 겹치는지 지목한 뒤, 귀류판이 대우판에 무엇을 더한 것인지 한 문장으로 쓰시오. S12주차가 이 관찰에서 출발한다.

힌트

결론이 조건문이므로 개시문은 N5와 N4를 차례로 통과한 결과이고, 가정이 두 개

들어온다. 그다음 전개는 \(3 \nmid n\)에서 나눗셈 정리로 나머지를 갈라 계산하는

것인데, 그 계산은 1권 19주차의 대우판이 이미 한 계산이다.

17. 임의의 실수 \(x_1, \ldots, x_5\)에 대해, 그 평균을 \(m\)이라 할 때 \(x_i \ge m\)인 \(i\)가 적어도 하나 존재함을 증명하시오. 1권 22주차 문제 13이 항의 개수가 일반인 \(n\)일 때의 같은 명제를 다뤘다.

힌트

부정을 정확히 전개하는 것이 이 문제의 전부다. “적어도 하나가 \(m\) 이상”의

부정은 “전원이 \(m\) 미만”이고, 전원에 대한 사실이므로 다섯 개를 한꺼번에

더할 수 있다. 평균의 정의를 등식으로 펴 두면 충돌 상대가 준비된다.

18. \(S = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}\)에 최댓값이 없음을 4단 서식과 산지 표기로 증명하고, 증인 \(c = \frac{M+1}2\)의 자격 검증을 전수 수행하시오. S4주차 문제 18(b)에서 구간 \((-2, 2)\)판을 증명했다.

힌트

자격 검증은 두 부등식이다: \(c < 1\)과 \(c > 0\). 각각 \(M < 1\)과 \(M > 0\)에서

나오고, 두 사실 모두 \(M \in S\)에서 온다. \(c > M\)은 별도로 한 줄 더 계산한다.

19. (설계) \(\log_{10} 7\)이 무리수라는 것을, 예제 2.1의 방법을 이식해 “\(10^x = 7\)인 양의 실수 \(x\)는 유리수가 아니다”로 진술하고 증명하시오. 충돌 산지가 둘이므로 두 경로를 모두 제시하고, 두 경로가 공유하는 엔진이 무엇인지 한 문장으로 쓰시오.

힌트

예제 2.1에서 2와 3이 하던 자리에 10과 7이 들어간다. 다른 점은 10이

소수가 아니라는 것뿐이고, 홀짝으로 충돌시킬 때는 그것이 문제가 되지 않는다.

5로 충돌시키는 둘째 길에서는 유클리드 보조정리가 필요하다.

20. (서술) (a) “정보가 적은 결론일수록 귀류가 유리하다”를 이번 주 문제 중 두 사례(부재\(\cdot\)무한 등)로 논증하시오 (세 문장 이내). (b) 귀류의 위험 — 무늬만 귀류(예제 2.3)와 순환 충돌(문제 12 해설) — 을 피하는 자가 점검 질문 두 개를 만드시오 (예: “부정 가정을 실제로 소비했는가?”, “충돌 상대로 인용한 문장이 이미 확보된 사실인가?”).

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

요일

할 일

1일차

원서 Solow 9장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)

2일차

교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다

3일차

원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 9장의 연습문제 몇 개를 직접 시도

4일차

교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항

5일차

백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

3일차의 재독이 이번 주에 특히 중요하다. 원서 9장은 귀류의 정당화와 예제를 제시하지만 “모순을 어디서 찾는가”를 목록으로 정리하지는 않으므로, §1.5의 3대 산지를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서 예제의 마지막 줄이 어느 산지의 충돌인지 매번 짚을 수 있다. 9장의 예제마다 산지 번호를 여백에 적어 두는 것이 이번 주 재독의 과제다.

1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 4단 서식 (§1.4), 모순의 3대 산지(§1.5), 충돌 조준 3걸음(§2 관찰). 그 상태에서 예제 2.1을 설계부터 결론까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 귀류의 거래에서 얻는 것과 잃는 것을 각각 한 문장으로 썼다.

  • 4단 서식의 걸음 ①~④와, 걸음마다 그것을 빼면 무엇이 무너지는지 썼다.

  • 모순의 3대 산지를 표로 쓰고, 각 산지의 예를 하나씩 붙였다.

  • 귀류 신호 목록 다섯 줄을 쓰고, 공통 원리를 한 문장으로 적었다.

  • 예제 2.1(무리수)과 2.2(부재)를 4단 라벨과 산지 표기로 재현했다.

  • 무늬만 귀류와 조기 정지를 진단하고, 두 수리 규칙을 문장으로 말했다.

  • 무리수 산술 2정리(문제 7\(\cdot\)8)를 진술과 증명으로 보관했다.

  • 원서 9장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

개시문의 첫 문장이 나오지 않는다

S10주차의 기계 6칙 — 개시문은 창작이 아니라 전개의 결과다

개시문은 썼는데 다음 줄이 나오지 않는다

§2 관찰의 충돌 조준 3걸음 — 확보 다음은 하강이다

계산은 하는데 어디서 멈춰야 할지 모른다

§1.5 3대 산지 — 가진 사실 중 부딪힐 두 문장을 스캔한다

모순 같은데 확신이 없다

§1.4 걸음 삭제 실험 — \(P\)와 \(\neg P\)의 두 문장이 답안에 적혀 있는지 본다

부정 가정을 어디에도 쓰지 않았다

예제 2.3 답안 1 — 직접 증명으로 다시 쓴다

결론이 부정형인데 귀류가 안 통한다

S10주차 3처방 — 처방 ①(긍정형 재표현)이나 ②(대우, S12주차)를 검토한다

기약이나 최소 같은 조건을 얹어도 되는지 모르겠다

§1.8 확인 8 — 정규화는 근거 ④의 인용이다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) 존재하지 않는다 (부재형) (2) 존재한다 (3) \(N + 1\) (4) 특수화 (5) \(\le\)와 \(>\) (6) ②

※ (6)이 ②인 이유: 충돌한 두 문장 “\(M \le N\)”과 “\(M > N\)”이 둘 다 \(\neg B\)에서 나왔다. 앞엣것은 \(\neg B\)의 \(\forall\) 조각을 \(M\)에 특수화해 얻었고, 뒤엣것은 \(\neg B\)가 준 \(N\)으로 만든 \(M\)을 직접 계산해 얻었다. 가정 \(A\)가 따로 없으므로 산지 ①은 애초에 쓸 수 없고, 순서의 배타성은 충돌을 판정해 준 이미 아는 참이지 충돌의 한쪽 당사자가 아니다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 기약 (2) 모든 양의 유리수는 기약분수로 나타낼 수 있다 (1권 33주차 예제 2.3) (3) \(a^2\)이 짝수이면 \(a\)도 짝수다 (1권 19주차 예제 2.1) (4) \(2c^2 = b^2\) (5) 기약이라는 조건 (6) ② (7) 없다 — 2가 공약수라는 사실이 아무것과도 부딪히지 않는다

※ (7)이 이 증명의 급소다. 정규화를 얹지 않으면 “\(a\)도 짝수, \(b\)도 짝수”라는 결론이 그냥 참인 사실로 남고 답안이 끝나지 않는다. 산지 ②를 쓰겠다고 정한 순간, 개시문에서 충돌 상대를 미리 얹어 두는 것이 의무가 된다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 결론이 “최솟값이 존재하지 않는다”는 부재형이므로 귀류 신호다. 개시 선언: “결론을 부정하여 \(S\)의 최솟값 \(m\)이 존재한다고 가정하고, 그런 \(m\)을 잡자.” (2) 최솟값의 정의에 의해 두 조각을 얻는다. 조각 ①: \(m \in S\), 곧 \(m > 2\). 조각 ②: 모든 \(x \in S\)에 대해 \(m \le x\). (3) \(c = \dfrac{m + 2}{2}\)로 두자. 자격 검증: \(m > 2\)이므로 \(c > \frac{2+2}{2} = 2\)이고, 따라서 \(c \in S\) ✓. 또한 \(c - m = \dfrac{2 - m}{2} < 0\)이므로 \(c < m\)이다. (4) 조각 ②를 \(c\)에 특수화하면 [자격: \(c \in S\) ✓] \(m \le c\)를 얻는다. 그런데 (3)에서 \(c < m\)을 얻었으므로 “\(m \le c\)”와 “\(c < m\)”이 동시에 성립한다. 순서의 배타성과 모순이다 [산지 ②, 당사자: 특수화로 얻은 “\(m \le c\)”와 직접 계산으로 얻은 “\(c < m\)”]. (5) 따라서 \(S\)에 최솟값은 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

※ 증인 \(\frac{m+2}{2}\)는 \(m\)과 2의 중점이다. 두 수 사이의 원소가 필요할 때 중점을 쓰는 것은 1권 15주차 문제 17에서 굳힌 표준 증인이고, 이번 주 문제 18에서 한 번 더 쓴다.

문제 1#

접근. 네 상자를 그대로 재생하는 문제다. 외운 문장을 나열하는 것보다, 각 상자가 답안의 어느 사고를 막아 주는지 한 줄씩 붙이며 적는 편이 재현률이 높다. 거래 상자는 “왜 귀류를 쓰는가”에, 산지 표는 “전진을 어디로 미는가”에, 신호 목록은 “언제 쓰는가”에, 4단 서식은 “무엇을 적는가”에 각각 답한다. 이 네 질문의 순서로 적으면 빠뜨리지 않는다.

풀이. 거래: 원게임은 가정 \(A\)와 도착점 \(B\), 귀류 게임은 가정 \(A \wedge \neg B\)와 도착점 “아무 모순”. 얻는 것은 가정 하나가 늘어나는 것이고(특히 \(B\)가 부정형이면 \(\neg B\)는 긍정문이 되어 전개할 수 있다), 잃는 것은 도착점의 구체성이며 그 결과 후진 과정이 사라진다. 3대 산지: ① \(\neg B\)에서 유도한 것과 가정 \(A\)의 충돌 ② \(\neg B\)에서 유도한 것과 \(\neg B\)의 다른 조각의 충돌 ③ 유도한 것과 이미 아는 참(홀짝 배타성, 순서의 비반사성, 정의)의 충돌. 신호: 부정형 결론, “존재하지 않는다”, “무한히 많다”, “최대\(\cdot\)최소가 없다”, 유일성. 공통 원리는 \(B\)보다 \(\neg B\)가 더 많은 정보를 줄 때 거래한다는 것. 4단 서식: ① 개시 선언(전개 결과를 적는다) ② 전진 ③ 모순 명시(두 당사자 지목) ④ 결론 선언(\(B\)의 원문 복귀). 채점은 §1.3~§1.6과 대조해 스스로 한다. 빠진 항목이 있으면 그 절만 다시 적는다.

문제 2#

접근. 개시문 작성은 두 동작이다. 첫째, 결론을 S10주차의 기계로 전개한다. 둘째, 전개 결과가 존재 진술이면 곧바로 “그런 …를 잡자”를 이어 붙여 대상에 이름을 준다. 이름을 붙이지 않으면 다음 줄에서 쓸 문자가 없다. 증명은 요구되지 않으므로 전개의 정확성만 검사한다.

풀이. (a) “결론을 부정하여, \(\sqrt5\)가 유리수라 가정하자. 정의에 의해 \(\sqrt5 = \frac ab\)인 양의 정수 \(a, b\)가 존재하고, 이 표현을 기약인 것으로 잡자.” — 부정형 결론이므로 N1로 긍정문이 된다. 기약 정규화는 산지 ②를 쓰기 위한 준비이고, 근거는 1권 33주차 예제 2.3이다. (b) “결론을 부정하여, \(x^3 + x = 5\)인 유리수 \(x\)가 존재한다고 가정하고, 그런 \(x\)를 잡자.” — “해가 없다”는 \(\neg \exists\)이므로 부정은 \(\exists\)다. 대상에 이름을 붙이는 절이 반드시 따라와야 한다. (c) “결론을 부정하여, 소수가 유한 개라고 가정하고, 소수 전체의 목록 \(p_1, p_2, \dots, p_k\)를 잡자.” — “무한히 많다”의 부정은 “유한 개다”이고, 유한 개라는 말은 전체를 나열할 수 있다는 뜻이다. 이 나열이 문제 15에서 곱해진다. (d) “결론을 부정하여, \(A \cap A^c \neq \emptyset\), 곧 \(x \in A \cap A^c\)인 원소 \(x\)가 존재한다고 가정하고, 그런 \(x\)를 잡자.” — \(\emptyset\)은 원소가 없다는 뜻이므로 그 부정은 원소의 존재다. 교집합의 정의를 풀면 \(x \in A\)이고 \(x \notin A\)가 되어 개시 직후에 산지 ③ 충돌이 완성된다.

복기. 네 문항이 §1.6 신호 표의 세 줄에 대응한다 — (a)는 첫째 줄(부정형), (b)와 (d)는 둘째 줄(부재형\(\cdot\)공집합), (c)는 셋째 줄(무한)이다. 개시문을 쓸 때 어느 신호에 해당하는지 먼저 판정하면, 부정 결과가 등식인지 대상인지 목록인지가 미리 정해진다.

문제 3#

접근. 재현에서 막히는 자리는 대개 계산이 아니라 두 개의 정당화다. 부호 정규화의 근거와, 유리 지수를 지우는 조작의 근거다. 이 둘을 먼저 적고 나머지 계산을 채우면 백지에서도 순서가 흐트러지지 않는다.

풀이. ① 결론을 부정하여, \(2^x = 3\)이고 \(x\)가 유리수인 양의 실수 \(x\)가 있다고 가정하자. ② 정의에 의해 \(x = \frac ab\)인 정수 \(a\)와 0이 아닌 정수 \(b\)가 존재한다. \(b < 0\)이면 분자와 분모의 부호를 함께 뒤집어 \(b > 0\)인 표현을 고를 수 있고, \(x > 0\)이므로 \(a = xb > 0\)이다. 곧 \(a, b\)를 둘 다 양의 정수로 잡는다. 그러면 \(2^{a/b} = 3\)이고, 양변을 \(b\)제곱하면

\[ 2^a = 3^b \]

이다. \(a \ge 1\)이므로 \(2^a = 2 \cdot 2^{a-1}\)은 짝수다. \(b \ge 1\)이고 3은 홀수이므로, 홀수의 곱은 홀수라는 사실(1권 1주차 문제 8)을 \(b-1\)번 적용하면 \(3^b\)은 홀수다. ③ 그런데 \(2^a = 3^b\)이므로 같은 정수가 짝수이면서 홀수가 되어, 홀짝의 배타성 (1권 22주차 문제 5)과 모순이다 [산지 ③, 당사자: “\(2^a\)은 짝수”와 “\(3^b\)은 홀수”]. ④ 따라서 \(2^x = 3\)을 만족하는 양의 실수 \(x\)는 유리수가 아니다. \(\blacksquare\)

검산. \(a = 2, b = 1\)을 넣어 보면 \(2^2 = 4\)와 \(3^1 = 3\)으로 실제로 같아지지 않는다. 어떤 \(a, b\)를 넣어도 좌변은 짝수, 우변은 홀수이므로 등식이 성립할 여지가 없다는 것이 증명의 내용이다.

문제 4#

접근. 세 훈련의 급소가 각각 다르다. 훈련 1은 만든 대상의 자격 검증, 훈련 2는 정규화의 근거, 훈련 3은 증인 구성이다. 급소부터 적고 서식을 채우면 백지에서도 막히지 않는다.

풀이. 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3의 답은 위의 “빈칸 사다리” 해설 셋과 대조한다. 백지 재현에서 특히 확인할 것은 세 가지다. ① 훈련 1에서 “\(M\)은 정수다”라는 한 줄을 적었는가 — 이 줄이 없으면 \(\forall\) 사실에 \(M\)을 넣을 자격이 확인되지 않는다. ② 훈련 2에서 기약 정규화의 근거를 1권 33주차 예제 2.3으로 밝혔는가 — 근거 없이 얹으면 그 조건이 어디서 왔는지가 답안에 없다. ③ 훈련 3에서 \(c \in S\)와 \(c < m\)을 각각 계산했는가 — 자격 검증과 사건 검증은 다른 두 줄이다.

복기. 세 훈련이 모두 산지 ②지만 하위 유형이 둘이다. 훈련 1\(\cdot\)3은 \(\neg B\)가 \(\forall\) 조각을 포함하고, 그 조각에 넣을 대상을 직접 만들어 특수화한 뒤, 만들면서 얻은 부등식과 특수화로 얻은 부등식을 충돌시키는 형이다 — 문제 10과 18이 같은 구조다. 훈련 2는 \(\forall\) 조각도 특수화도 부등식도 없이, 개시문에서 얹은 정규화 조건(기약)과 전진의 유도 결과(2가 공약수)를 충돌시키는 형이다 — 문제 14가 같은 구조다. 산지 ②라는 한 이름 아래 이 두 갈래가 있다는 것을 함께 적는다.

문제 5#

접근. 두 답안의 병명은 걸음 ②와 걸음 ③에 각각 대응한다. 답안 1은 걸음 ②에서 \(\neg B\)를 소비하지 않았고, 답안 2는 걸음 ③을 완료하지 않았다. 진단을 적을 때는 “무엇을 하지 않았는가”를 먼저 쓰고 그것을 뒤집어 수리 규칙을 만든다.

풀이. 답안 1(연속한 두 정수의 합은 홀수): 병명은 무늬만 귀류다. 가정 “합이 짝수다”는 유도 사슬 어디에도 쓰이지 않았고 마지막 문장에서 충돌 상대로만 등장한다. 개시문과 마지막 문장을 지우면 “연속한 두 정수를 \(n\), \(n+1\)이라 하자. \(n + (n+1) = 2n+1\)이고 \(n\)은 정수이므로 합은 홀수다. \(\blacksquare\)”라는 완결된 직접 증명이 남는다. 수리 규칙: \(\neg B\)가 한 번도 소비되지 않은 귀류는 직접 증명으로 다시 쓴다. 답안 2(\(\sqrt2 + \sqrt3 \neq 3\)): 병명은 조기 정지다. “\(\sqrt6 = 2\)”는 모순이 아니라 모순 후보이고, 그것을 부정하는 문장이 답안에 없다. 수리: 양변을 다시 제곱하면 \(6 = 4\)이고, \(6 \neq 4\)는 이미 아는 참이므로 두 당사자가 지목된다 [산지 ③]. 수리 규칙: 모순 명시는 \(P\)와 \(\neg P\)의 두 당사자를 문장으로 지목할 때 끝난다.

복기. 두 병은 반대 방향의 결함이다. 하나는 거래를 열고 쓰지 않은 것이고, 하나는 거래를 열고 닫지 않은 것이다. 자기 답안을 검사할 때 이 두 질문을 순서대로 던지면 대부분의 귀류 사고가 걸러진다.

문제 6#

접근. 후진 과정이 무엇을 하는 절차였는지부터 적어야 “없다”는 말의 뜻이 정해진다. S2주차의 후진 과정은 도착점에게 핵심 질문을 던지고 그 답으로 도착점을 갈아 끼우는 절차다. 그 질문에 답을 댈 수 있으려면 도착점이 정의를 가진 구체적 명제여야 한다.

풀이. (예시 답안) 후진 과정은 “\(B\)가 참임을 보이려면 무엇을 하면 되는가”라는 핵심 질문을 던져 도착점 \(B\)를 더 다루기 쉬운 명제로 갈아 끼우는 절차인데, 귀류의 도착점은 “아무 모순”이어서 이 질문에 댈 표준 답이 없다 — 모순은 정의를 가진 특정 명제가 아니라 \(P\)와 \(\neg P\)를 동시에 얻은 상태이기 때문이다. 그래서 귀류의 설계는 도착점에서 거슬러 오는 길 없이 전진 한 방향만 남는다. 부분적 대체물: 모순의 3대 산지를 충돌 후보 목록으로 걸어 둔다. ① 가정 \(A\)와의 충돌 ② \(\neg B\)의 다른 조각과의 충돌 ③ 이미 아는 참과의 충돌. 전진해서 새 사실을 얻을 때마다 이 세 목록을 훑어 “지금 부딪힐 것 같은 두 문장”을 찾는다. 도착점이 하나의 명제에서 세 항목짜리 목록으로 바뀐 것이지 완전히 사라진 것은 아니다.

복기. 이 관찰이 S12주차의 출발점이다. 대우법은 충돌 상대를 처음부터 \(A\)로 지정하는 특수한 귀류이고, 상대가 지정되면 도착점이 \(\neg A\)라는 구체적 명제가 되어 후진 과정이 되살아난다. 문제 16에서 그 사례를 하나 직접 만든다.

문제 7#

접근. 결론이 “무리수다”라는 부정형이므로 §1.6의 첫 신호에 해당한다. 부정하면 \(r + t\)가 유리수라는 등식이 들어오고, 가정 \(A\)에 “\(t\)는 무리수”가 있으므로 충돌 상대가 처음부터 정해져 있다 — 산지 ①이다. 그러면 전진의 목표도 정해진다: \(t\)를 유리수들로 표현하는 것.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 \(r + t\)가 유리수라 가정하고, \(s = r + t\)로 두자. ② \(t = s - r\)이고 \(s\)와 \(r\)가 모두 유리수이므로, 유리수의 차는 유리수라는 사실 (1권 15주차 문제 9, 근거 ②)에 의해 \(t\)는 유리수다. ③ 그런데 가정에 의해 \(t\)는 무리수, 곧 유리수가 아니다. “\(t\)는 유리수”와 “\(t\)는 유리수가 아니다”가 동시에 성립하므로 모순이다 [산지 ①, 당사자: 유도로 얻은 “\(t\)는 유리수”와 가정 \(A\)의 “\(t\)는 무리수”]. ④ 따라서 \(r + t\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 증명의 이식 가능한 부분은 “\(t\)를 결론의 식에서 되풀어 낸다”는 한 수다. \(s = r + t\)를 \(t = s - r\)로 옮기는 순간, 무리수인 \(t\)가 유리수들만으로 표현되어 충돌이 완성된다. 결론에 등장하는 식에서 가정의 대상을 되풀어 내는 이 조작은 문제 8, 13에서 그대로 반복된다.

검산. \(r = \frac12\), \(t = \sqrt2\)로 놓으면 \(t = (r + t) - r\)이라는 항등식이 실제로 성립하는지 눈으로 확인할 수 있다. 이 증명은 S10주차 문제 18의 특수 사례 (\(r = \frac12\), \(t = \sqrt2\))를 일반화한 것이고, 이제 “무리수 산술 정리”로 보관해 이후 주차에서 한 줄로 인용한다.

문제 8#

접근. 문제 7과 뼈대가 같고 연산만 바뀐다. 차이는 나눗셈에 조건이 붙는다는 것이다. \(t = \frac{rt}{r}\)로 되풀려면 \(r \neq 0\)이어야 하고, 문제의 가정에 그 조건이 들어 있는 이유가 정확히 이것이다. 답안에 그 소비처를 명시하는 것이 이 문제의 채점 지점이다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 \(rt\)가 유리수라 가정하고, \(u = rt\)로 두자. ② 가정에 의해 \(r \neq 0\)이므로 \(t = \dfrac{u}{r}\)로 쓸 수 있다. 이 나눗셈이 허용되는 근거가 “\(r \neq 0\)”이고, 가정의 그 조각은 여기서 소비된다. \(u\)와 \(r\)가 유리수이고 \(r \neq 0\)이므로, 유리수를 0이 아닌 유리수로 나눈 몫은 유리수라는 사실(1권 15주차 문제 15, 근거 ②)에 의해 \(t\)는 유리수다. ③ 그런데 가정에 의해 \(t\)는 무리수다. 모순이다 [산지 ①, 당사자: 유도로 얻은 “\(t\)는 유리수”와 가정의 “\(t\)는 무리수”]. ④ 따라서 \(rt\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)

복기. \(r = 0\)이면 명제가 실제로 거짓이다: \(0 \cdot \sqrt2 = 0\)은 유리수다. 가정의 조각을 지웠을 때 반례가 나오는지 확인하는 것이 그 조각의 필요성을 검사하는 표준 방법이고, 1권 1주차의 조각 삭제 실험과 같은 동작이다. 문제 7과 함께 두 정리를 묶어 무리수 산술 2정리로 보관한다 — 유리수를 더해도 0이 아닌 유리수를 곱해도 무리수는 무리수로 남는다.

문제 9#

접근. 예제 2.2와 같은 유형이고, 다른 것은 우변의 상수뿐이다. 예제 2.2에서는 \(x^2 = 2(2y+1)\)에서 \(x^2\)이 짝수라는 정보가 나온 뒤 “\(x^2\)이 짝수이면 \(x\)도 짝수” (1권 19주차 예제 2.1)로 \(x\) 자신을 붙잡았다. 여기서도 같은 길이 열려 있다 — \(x^2 = 4y + 3\)은 홀수이므로 1권 19주차 문제 4에 의해 \(x\)는 홀수로 정해진다. 그 보조정리를 쓰지 않고 계산만으로 처리하려면 무대를 쪼갠다(1권 17주차) — \(x\)의 홀짝 두 경우에서 각각 모순을 만든다. 아래 풀이는 뒤쪽 길을 택해 경우 나누기를 연습하고, 앞쪽의 짧은 길은 대안 풀이로 붙인다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 \(x^2 = 4y + 3\)인 정수 \(x, y\)가 존재한다고 가정하고, 그런 \(x, y\)를 잡자. ② 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로(1권 17주차) 두 경우로 나눈다. 경우 1: \(x\)가 짝수. \(x = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하므로 \(x^2 = 4k^2\)이고, \(4k^2 = 4y + 3\)에서 \(3 = 4(k^2 - y)\)를 얻는다. \(k^2 - y\)는 정수이므로 3이 4의 배수라는 뜻인데, \(0 < 3 < 4\)이므로 3은 4의 배수가 아니다. 모순이다 [산지 ③, 당사자: “\(3 = 4(k^2-y)\)”와 “3은 4의 배수가 아니다”]. 경우 2: \(x\)가 홀수. \(x = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재하므로 \(x^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1\)이고, \(4(k^2+k) + 1 = 4y + 3\)에서 \(4(k^2 + k - y) = 2\)를 얻는다. \(k^2 + k - y\)는 정수이므로 2가 4의 배수라는 뜻인데, \(0 < 2 < 4\)이므로 2는 4의 배수가 아니다. 모순이다 [산지 ③]. ③ 두 경우가 전체를 덮고 어느 경우에서도 모순이 나왔다. ④ 따라서 \(x^2 = 4y + 3\)을 만족하는 정수 \(x, y\)는 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

대안 풀이 — 경우 나누기 없이. 걸음 ②를 보조정리 하나로 줄일 수 있다. \(x^2 = 4y + 3 = 2(2y + 1) + 1\)이고 \(2y + 1\)은 정수이므로 \(x^2\)은 홀수다. “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수”(1권 19주차 문제 4)에 의해 \(x\)는 홀수이고, \(x = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 이후는 위의 경우 2와 한 줄도 다르지 않다 — \(4(k^2 + k - y) = 2\)에서 2가 4의 배수가 되어 모순이다 [산지 ③]. 곧 위 풀이의 경우 1은 사실 공허한 경우이고(\(x\)가 짝수인 해는 애초에 없다), 이 보조정리가 그것을 미리 배제해 준다. 공허한 경우에서 모순을 유도한 것도 물론 옳다 — 전제가 성립할 수 없는 경우이므로 무엇이든 유도된다.

복기. 경우 나누기가 귀류 안쪽에 들어와 있다는 것이 이 문제의 구조다. 귀류의 걸음 ②가 한 덩어리로 진행되지 않을 때 그 안에서 다시 무대를 쪼개는 것은 합법이고, 이때 채점 기준 둘이 그대로 적용된다 — 경우들이 전체를 덮는가, 각 경우가 각각 완결되는가. 이번 문제에서는 두 경우 모두 모순으로 끝나야 하고, 한 경우라도 모순이 안 나오면 증명이 되지 않는다.

검산. 합동의 언어(1권 20주차)로 압축하면 한 줄이다. 정수 \(x\)에 대해 \(x^2 \equiv 0\) 또는 \(1 \pmod 4\)인데(1권 17주차 문제 9) 우변은 \(\equiv 3 \pmod 4\)이다. 같은 명제를 1권 21주차 문제 19가 합동으로 다뤘다.

문제 10#

접근. “가장 작은 …이 없다”는 §1.6의 넷째 신호다. 부정하면 최소 원소 하나와 “모든 양의 유리수가 그 이상”이라는 \(\forall\) 사실이 함께 들어온다. 훈련 1에서는 \(N\)보다 큰 정수를 만들었고, 여기서는 \(q\)보다 작은 양의 유리수를 만든다. 만든 뒤 자격 검증이 두 건이라는 점이 훈련 1보다 무겁다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 가장 작은 양의 유리수 \(q\)가 존재한다고 가정하고, 그런 \(q\)를 잡자. \(\neg B\)의 전개는 세 조각이다: \(q\)는 유리수, \(q > 0\), 그리고 모든 양의 유리수 \(p\)에 대해 \(q \le p\). ② \(c = \dfrac{q}{2}\)로 두자. 자격 검증 두 건: \(q\)가 유리수이고 2도 유리수이며 \(2 \neq 0\)이므로 \(c\)는 유리수다(1권 15주차 문제 15, 근거 ②); \(q > 0\)이므로 \(c = \frac q2 > 0\)이다. 곧 \(c\)는 양의 유리수다 ✓. 셋째 조각을 \(c\)에 특수화하면 [자격 ✓] \(q \le \dfrac q2\)를 얻는다. 양변에 2를 곱하면 \(2q \le q\)이고, 양변에서 \(q\)를 빼면 \(q \le 0\)이다. ③ 그런데 \(\neg B\)의 둘째 조각은 \(q > 0\)이었다. “\(q \le 0\)”과 “\(q > 0\)”이 동시에 성립하므로 모순이다 [산지 ②, 당사자: 특수화로 얻은 “\(q \le 0\)”과 \(\neg B\)의 조각 “\(q > 0\)”]. ④ 따라서 가장 작은 양의 유리수는 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

복기. 뼈대가 S8주차 문제 7(“모든 양의 실수 \(x\)에 대해, \(y < x\)인 양의 실수 \(y\)가 존재한다”)과 같다. 그 문제는 구성법으로 증인을 만들었고 이 문제는 귀류로 만들었지만, 만든 증인(\(\frac q2\))과 검증 목록(유리수인가, 양수인가)은 동일하다. 1권 21주차 문제 9가 같은 명제를 다뤘다 — 이번에는 서식과 산지 표기를 붙여 다시 적었다.

검산. \(q\)가 무엇이든 \(\frac q2\)가 더 작다는 것이 논증의 전부이므로, \(q = 0.001\) 같은 구체적 값으로 시험해 보면 \(0.0005\)가 반례가 되는 것이 보인다.

문제 11#

접근. 결론이 등식 “\(p = 2\)”이므로 부정하면 “\(p \neq 2\)”라는 부등식이 들어온다. \(p\)가 짝수이고 2가 아니라면 \(p\)는 4 이상의 짝수이고, 그러면 2가 \(p\)의 약수이면서 1도 \(p\)도 아니게 된다 — 소수의 정의(1권 정의 15.2)와 정면으로 부딪힌다. 여기서 그 정의는 가정 \(A\)의 대상 \(p\)에 붙은 것이므로, §1.5의 판별 규칙에 따라 이 충돌은 산지 ③이 아니라 산지 ①로 센다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여, \(p\)가 소수이고 짝수이면서 \(p \neq 2\)라고 가정하자. ② \(p\)가 짝수이므로 \(p = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. \(p\)는 소수이므로 \(p \ge 2\)이고, \(p \neq 2\)이므로 \(p \ge 3\)이다. 그런데 \(p\)는 짝수이므로 \(p = 3\)일 수 없고, 따라서 \(p \ge 4\)다. 곧 \(k = \frac p2 \ge 2\)다. \(p = 2k\)이므로 2는 \(p\)의 약수다. 그런데 \(2 \neq 1\)이고, \(p \ge 4 > 2\)이므로 \(2 \neq p\)이다. 곧 2는 \(p\)의 약수이면서 1도 아니고 \(p\) 자신도 아니다. ③ 소수의 정의(1권 정의 15.2)는 \(p\)의 양의 약수가 1과 \(p\)뿐이라는 것이다. “2는 \(p\)의 약수이고 \(2 \neq 1\), \(2 \neq p\)”와 “\(p\)의 양의 약수는 1과 \(p\)뿐”이 동시에 성립하므로 모순이다 [산지 ①, 당사자: 유도로 얻은 “2는 \(p\)의 약수이면서 1도 \(p\)도 아니다”와, 가정 \(A\)의 조각 “\(p\)는 소수”를 정의로 푼 “\(p\)의 양의 약수는 1과 \(p\)뿐”]. ④ 따라서 \(p\)가 소수이고 짝수이면 \(p = 2\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 충돌 상대가 “이미 증명한 명제”가 아니라 정의 자체인 유형이다. 정의는 언제나 참인 문장이므로 충돌 상대로 쓸 수 있고, “정의를 위반하는 대상을 만들어 보인다”는 것이 이 유형의 표준 전개다. 다만 그 정의가 가정 \(A\)의 대상에 붙어 있으므로 산지는 ③이 아니라 ①이고, 그렇다면 문제 16의 판별법대로 대우로 다시 쓸 수 있어야 한다. 실제로 1권 22주차 문제 8이 같은 명제를 대우 방향(”\(p\)가 소수이고 \(p > 2\)이면 홀수”)으로 다뤘으므로 두 판정이 어긋나지 않는다.

문제 12#

접근. 답안의 계산에는 오류가 없다. 검사할 곳은 둘이다. 첫째, 충돌 상대로 인용한 (W1)이 근거 ④로 쓸 자격이 있는가 — 곧 이미 증명된 사실인가. 둘째, 부정 가정 “\(x^2 < 0\)”이 유도 사슬에서 실제로 소비되었는가. 이 두 질문의 답이 병명을 정한다.

풀이. 먼저 인용 자격을 확인한다. (W1) “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)”은 이미 증명된 정리다 — 1권 16주차 §1.4가 삼분법과 (W4)로 유도해 두었고, S7주차 문제 18의 해설도 그것을 확보된 사실로 인용한다. 그러므로 이 답안은 미확보 명제를 근거로 쓴 것이 아니다. “\(x^2 < 0\)을 가정했는데 (W1)에 의해 \(x^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 < 0\)과 \(x^2 \ge 0\)이 충돌한다”는 논리적으로 완전히 타당한 귀류이고, 결론도 옳게 나온다. 순환이 아니다.

병명은 하나다 — 무늬만 귀류(처방 과잉)다. §1.6의 신호 표에 “\(x^2 \ge 0\)”에 해당하는 줄이 없다. 결론이 긍정형이고, 인용 가능한 정리 하나로 도착점이 곧바로 나온다. 실제로 부정 가정 “\(x^2 < 0\)”은 유도 사슬에서 한 번도 소비되지 않고 마지막에 충돌 상대로만 한 번 등장하므로, 예제 2.3 답안 1과 같은 진단이 그대로 적용된다. 거래가 필요 없는 게임에서 개시문과 모순 선언이라는 서식만 치른 것이다.

수리는 서식을 걷어내는 것이다. “실수 \(x\)를 임의로 잡자. (W1)에 의해 \(x^2 \ge 0\)이다. \(x\)가 임의였으므로 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이다. \(\blacksquare\)” 수리 규칙은 예제 2.3 답안 1과 같다 — \(\neg B\)가 한 번도 소비되지 않은 귀류는 직접 증명으로 다시 쓴다.

(W1) 자체를 증명하라는 맥락이라면. 그때는 (W1)이 아직 확보되지 않은 문장이므로 근거로 쓸 수 없고, 위 답안은 순환이 된다. 이 맥락에서의 올바른 증명은 1권 16주차의 유도를 그대로 적는 것이다: \(x > 0\)이면 (W4)에 의해 \(x \cdot x > 0\), \(x < 0\)이면 \(-x > 0\)이므로 \((-x)(-x) = x^2 > 0\), \(x = 0\)이면 \(x^2 = 0\) — 세 경우가 전체를 덮고 어느 경우에도 \(x^2 \ge 0\)이다. 곧 같은 답안이라도 (W1)이 사실 목록에 있느냐 없느냐에 따라 진단이 갈린다.

한 걸음 더 — 진짜 순환 충돌은 어떤 모양인가. 순환이 되려면 충돌 상대로 인용한 문장이 결론과 같으면서 아직 확보되지 않은 것이어야 한다. 다음이 그 예다.

“명제: 서로 다른 소수 \(p, q\)에 대해 \(\sqrt{pq}\)는 무리수이다. 증명: \(\sqrt{pq}\)가

유리수라 가정하자. 그런데 서로 다른 두 소수의 곱의 제곱근은 무리수이므로 모순이다.

따라서 \(\sqrt{pq}\)는 무리수이다.”

인용한 “서로 다른 두 소수의 곱의 제곱근은 무리수”는 증명 대상 그 자체이고, 이번 주 문제 14 이전에는 어디에서도 증명된 적이 없다(\(\sqrt6\)의 무리성을 1권 21주차 문제 15가 확보했지만 그것은 \(p = 2\), \(q = 3\)인 한 사례일 뿐이다). 충돌의 한쪽 당사자가 증명 대상 \(B\) 자신이므로 이 충돌은 아무것도 확립하지 못한다 — 포장을 벗기면 “\(B\)가 참이다, 왜냐하면 \(B\)가 참이므로”다. 이것이 순환 충돌이고, S7주차 문제 18이 지적한 반칙(증명하려는 명제를 증명 안에서 근거로 쓰는 것, 곧 결론 등록)이 귀류의 서식을 입은 형태다. 수리는 인용을 지우고 문제 14처럼 정규화\(\cdot\)대입\(\cdot\)기약 충돌을 직접 밟는 것이다.

복기. 두 답안의 대조가 자가 점검 질문 두 개를 만들어 준다. 하나는 “부정 가정을 실제로 소비했는가”이고(이 문제의 답안이 걸린다), 다른 하나는 “충돌 상대로 인용한 문장이 이미 확보된 사실인가, 아니면 결론과 동치인 미확보 명제인가”다(위의 순환 답안이 걸린다). 두 질문은 다른 것을 본다 — 앞엣것은 걸음 ②를, 뒤엣것은 걸음 ③의 근거 인용을 본다. 산지 ③을 쓸 때마다 인용한 “이미 아는 참”의 출처를 주차 번호까지 댈 수 있는지 확인하는 습관이 뒤엣것을 막는다. 문제 20(b)의 답이 여기서 나온다.

문제 13#

접근. 결론이 부정형(무리수)이므로 거래를 연다. \(s = \sqrt2 + \sqrt3\)이 유리수라 가정하면, 제곱해서 교차항 \(2\sqrt6\)을 노출시킨 뒤 \(\sqrt6\)만 한쪽에 남긴다. 그러면 \(\sqrt6\)이 유리수들의 식으로 표현되고, 충돌 상대는 “\(\sqrt6\)은 무리수”라는 이미 증명된 명제다. 제곱해서 교차항을 노출하는 것이 이 유형의 표준 첫수다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 \(s = \sqrt2 + \sqrt3\)이 유리수라 가정하자. ② 양변을 제곱하면

\[ s^2 = (\sqrt2)^2 + 2\sqrt2\sqrt3 + (\sqrt3)^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6 \]

이므로 \(\sqrt6 = \dfrac{s^2 - 5}{2}\)이다. \(s\)가 유리수이므로 \(s^2\)은 유리수이고 (유리수의 곱, 1권 15주차 훈련 1), \(s^2 - 5\)도 유리수이며(유리수의 차, 1권 15주차 문제 9), \(2 \neq 0\)인 유리수로 나눈 몫도 유리수다(1권 15주차 문제 15). 곧 \(\sqrt6\)은 유리수다. ③ 그런데 \(\sqrt6\)은 무리수다(1권 21주차 문제 15). “\(\sqrt6\)은 유리수”와 “\(\sqrt6\)은 무리수”가 동시에 성립하므로 모순이다 [산지 ③, 당사자: 유도로 얻은 “\(\sqrt6 = \frac{s^2-5}{2}\)은 유리수”와 인용한 정리 “\(\sqrt6\)은 무리수”]. ④ 따라서 \(\sqrt2 + \sqrt3\)은 무리수이다. \(\blacksquare\)

복기. 예제 2.3 답안 2가 “\(\sqrt6 = 2\)”에서 멈췄던 그 자리를, 이번에는 다른 충돌 상대로 완성했다. 두 길 모두 유효하다 — 답안 2의 길은 한 번 더 제곱해 \(6 = 4\)로 가는 것이고, 이 문제의 길은 이미 증명된 \(\sqrt6\)의 무리성을 충돌 상대로 쓰는 것이다. 후자가 일반화되는 길이며, 문제 14가 그 일반화다.

검산. \(\sqrt2 + \sqrt3 \approx 1.4142 + 1.7321 = 3.1463\)이고 \(s^2 \approx 9.8990 = 5 + 2 \times 2.4495\)로 \(\sqrt6 \approx 2.4495\)가 맞아떨어진다. 수치 확인은 증명이 아니지만 계산 오류 탐지기로는 유용하다.

문제 14#

접근. 훈련 2의 \(\sqrt2\) 증명에서 2가 하던 자리를 \(p\)가 그대로 맡는다. 다만 \(\sqrt2\) 증명에서는 “\(a^2\)이 짝수이면 \(a\)도 짝수”라는 기성 정리를 썼는데, 여기서는 그 자리에 유클리드 보조정리가 들어간다. 그리고 \(p\)와 \(q\)가 서로 다른 소수라는 조건이 어디서 소비되는지가 이 문제의 채점 지점이다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 \(\sqrt{pq}\)가 유리수라 가정하자. 정의에 의해 \(\sqrt{pq} = \frac ab\)인 양의 정수 \(a, b\)가 존재하고, 이 표현을 기약인 것으로 잡자 [정규화 — 1권 33주차 예제 2.3]. ② 양변을 제곱하면 \(pq = \dfrac{a^2}{b^2}\)이므로

\[ a^2 = pq\,b^2 \]

이다. 우변이 \(p\)의 배수이므로 \(p \mid a^2 = a \cdot a\)이고, \(p\)는 소수이므로 유클리드 보조정리에 의해 \(p \mid a\)다. 그런 정수 \(m\)을 잡아 \(a = pm\)으로 쓰자. 대입하면 \(p^2 m^2 = pq\,b^2\)이고, 양변을 \(p\)로 나누면

\[ p\,m^2 = q\,b^2 \]

이다. 좌변이 \(p\)의 배수이므로 \(p \mid q\,b^2\)이고, \(p\)는 소수이므로 유클리드 보조정리에 의해 \(p \mid q\)이거나 \(p \mid b^2\)이다. 그런데 \(q\)는 소수이므로 그 양의 약수는 1과 \(q\)뿐인데 \(p \neq 1\)이고 \(p \neq q\)이므로 \(p \nmid q\)다 — 서로 다른 소수라는 조건이 여기서 소비된다. 따라서 \(p \mid b^2 = b \cdot b\)이고, 다시 보조정리로 \(p \mid b\)다. ③ 그러면 \(p\)는 \(a\)와 \(b\)의 공약수이고 \(p \ge 2 > 1\)이므로 \(\frac ab\)는 기약이 아니다. 이는 개시문에서 얹은 기약 조건과 모순이다 [산지 ②, 당사자: 유도로 얻은 “\(p\)는 \(a, b\)의 1보다 큰 공약수”와 정규화 조건 “\(\frac ab\)는 기약”]. ④ 따라서 \(\sqrt{pq}\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)

복기. \(p = 2\), \(q = 3\)을 넣으면 \(\sqrt6\)의 무리성이 나온다 — 문제 13이 인용한 부품이 여기서 일반화된 형태로 다시 증명된 것이다. 훈련 2와 나란히 놓고 보면 차이가 한 줄뿐임이 보인다: “\(a^2\) 짝수 \(\Rightarrow\) \(a\) 짝수” 자리에 유클리드 보조정리가 들어갔을 뿐, 개시\(\cdot\)정규화\(\cdot\)대입\(\cdot\)기약 충돌의 배치는 완전히 같다.

검산. 조건 “서로 다른”을 지우면 어떻게 되는지 보면 그 조각의 필요성이 확인된다. \(p = q = 2\)이면 \(\sqrt{pq} = \sqrt4 = 2\)로 유리수이고 명제가 거짓이 된다. 실제로 위 증명에서 \(p = q\)이면 \(p \nmid q\)가 성립하지 않아 논증이 그 줄에서 끊긴다.

문제 15#

접근. “무한히 많다”는 §1.6의 셋째 신호다. 부정하면 소수 전체의 유한 목록이 들어오고, 목록은 곱할 수 있으며 “모든 소수는 이 목록 안에 있다”는 \(\forall\) 사실이 딸려 온다. 충돌은 그 \(\forall\) 사실을 새로 만든 수의 소인수에 특수화할 때 일어난다. 새로 만드는 수는 목록의 곱에 1을 더한 것이다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 소수가 유한 개라고 가정하고, 소수 전체의 목록 \(p_1, p_2, \dots, p_k\)를 잡자. 2가 소수이므로 \(k \ge 1\)이고 목록은 비어 있지 않다. ② \(N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1\)로 두자. 각 \(p_i \ge 2\)이므로 \(N \ge 2 + 1 = 3 \ge 2\)이고, 따라서 \(N\)은 소수인 약수를 가진다(1권 33주차 예제 2.1의 따름정리, 근거 ④). 그런 소수 하나를 \(r\)이라 하자. \(r\)는 소수이고 목록이 소수 전체이므로, \(r = p_i\)인 \(i\)가 존재한다 [\(\neg B\)의 \(\forall\) 조각을 \(r\)에 특수화 — 자격: \(r\)는 소수 ✓]. 그러면 \(p_i \mid N\)이다. 한편 \(p_i\)는 곱 \(p_1 p_2 \cdots p_k\)의 인수이므로 \(p_i \mid p_1 p_2 \cdots p_k\)이기도 하다. 두 배수의 차도 그 수의 배수이므로 (1권 2주차 문제 7)

\[ p_i \mid \big(N - p_1 p_2 \cdots p_k\big) = 1 \]

이다. ③ 그런데 \(p_i\)는 소수이므로 \(p_i \ge 2\)이고, 2 이상의 정수가 1을 나눌 수는 없다 (1을 나누는 양의 정수는 1뿐이다). “\(p_i \mid 1\)”과 “\(p_i \ge 2\)”가 동시에 성립하므로 모순이다 [산지 ③, 당사자: 유도로 얻은 “\(p_i \mid 1\)”과 소수의 정의가 주는 “\(p_i \ge 2\)”]. ④ 따라서 소수는 무한히 많다. \(\blacksquare\)

복기. 자주 나오는 오해 하나를 짚어 둔다 — 이 증명은 \(N\) 자신이 소수라고 말하지 않는다. 쓴 것은 \(N\)의 소인수가 목록 밖에 있을 수밖에 없다는 것뿐이다. 실제로 \(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509\)로 \(N\)이 합성수인 경우가 있다. 1권 21주차 예제 2.3과 같은 증명이지만, 이번에는 소인수의 존재를 근거 ④로 명시 인용하고 모순의 두 당사자를 지목한 형태로 적었다.

검산. \(k = 1\), 목록이 \(\{2\}\)뿐이라고 해 보면 \(N = 3\)이고 \(N\)의 소인수 3이 목록 밖이다. 목록이 \(\{2, 3\}\)이면 \(N = 7\)로 역시 목록 밖이다. 증명이 하는 일이 이 관찰의 일반화임이 보인다.

문제 16#

접근. 결론이 “\(3 \mid n\)”이므로 부정하면 “\(3 \nmid n\)”이 들어온다. 그러면 \(n\)을 3으로 나눈 나머지가 1 또는 2이고, 두 경우에서 \(n^2\)의 나머지를 계산해 가정 “\(3 \mid n^2\)”과 부딪히게 한다. 충돌 상대가 처음부터 가정 \(A\)로 정해져 있다는 것이 이 문제의 관찰 지점이다 — 산지 ①이다.

풀이. 귀류판 증명. ① 결론을 부정하여, \(3 \mid n^2\)이면서 \(3 \nmid n\)인 정수 \(n\)이 있다고 가정하자 [N5로 \(\exists n\)을 만들고 N4로 본체를 \(\wedge\)로 푼다 — N5, N4]. ② \(3 \nmid n\)이므로 \(n\)을 3으로 나눈 나머지는 1 또는 2이고, 곧 \(n = 3k + 1\) 또는 \(n = 3k + 2\)인 정수 \(k\)가 존재한다(나눗셈 정리, 1권 33주차 예제 2.2). 경우 1: \(n = 3k + 1\). \(n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1\)이고 \(3k^2 + 2k\)는 정수이므로 \(n^2\)을 3으로 나눈 나머지는 1이다. 곧 \(3 \nmid n^2\)이다. 경우 2: \(n = 3k + 2\). \(n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1\)이고 괄호 안은 정수이므로 나머지는 역시 1이다. 곧 \(3 \nmid n^2\)이다. 두 경우가 전체를 덮으므로 어느 쪽이든 \(3 \nmid n^2\)이다. ③ 그런데 가정은 \(3 \mid n^2\)이었다. 모순이다 [산지 ①, 당사자: 유도로 얻은 “\(3 \nmid n^2\)”과 가정 \(A\)의 “\(3 \mid n^2\)”]. ④ 따라서 \(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\)이다. \(\blacksquare\)

두 증명의 대조. 1권 19주차 예제 2.2의 대우판은 “\(3 \nmid n \Rightarrow 3 \nmid n^2\)”을 같은 두 경우 계산으로 직접 증명했다. 겹치는 부분은 개시 이후의 전 계산이다 — \(n = 3k+1\)과 \(n = 3k+2\)를 각각 제곱해 나머지 1을 얻는 부분이 한 줄도 다르지 않다. 귀류판이 추가로 한 일은 가정 “\(3 \mid n^2\)”을 옆에 세워 두었다가 마지막에 충돌을 선언한 것뿐이다. 관찰: 모순 상대가 처음부터 \(A\)로 정해져 있는 귀류는 대우에 잉여 서식을 더한 것이다. 이럴 때는 대우로 쓰는 편이 경제적이고, 무엇보다 도착점이 \(\neg A\)라는 구체적 명제가 되어 후진 과정이 되살아난다. 이것이 S12주차의 출발점이다.

복기. 산지 ①로 끝나는 귀류를 만나면 항상 이 대조를 해 본다. 산지 ①이라는 말은 충돌 상대가 \(A\)라는 뜻이고, 그 말은 곧 대우로 다시 쓸 수 있다는 뜻이다. 문제 11도 같은 판정에 걸리고, 실제로 1권 22주차 문제 8이 그 대우판이다. 산지 ②나 ③으로 끝나는 귀류는 이 변환이 되지 않는다 — 문제 10, 14, 15가 그 예다.

문제 17#

접근. 이 문제의 전부는 부정의 정확한 전개다. 결론 “\(x_i \ge m\)인 \(i\)가 적어도 하나 존재한다”는 \(\exists\) 문장이므로, N6에 의해 부정은 “모든 \(i\)에 대해 \(x_i < m\)”이라는 \(\forall\) 문장이 된다. 전원에 대한 사실이므로 다섯 부등식을 한꺼번에 더할 수 있고, 더한 결과가 평균의 정의와 부딪힌다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하자. “\(x_i \ge m\)인 \(i\)가 존재한다”의 부정은 N6와 본체 반전에 의해 “모든 \(i \in \{1,2,3,4,5\}\)에 대해 \(x_i < m\)”이다. 이를 가정하자. ② 다섯 개의 부등식 \(x_1 < m\), \(x_2 < m\), \(x_3 < m\), \(x_4 < m\), \(x_5 < m\)을 변변 더한다. 변변 덧셈의 규격은 S7주차 문제 12에서 썼고, 엄격 부등식판의 근거는 1권 16주차 §1.4의 (W2)와 (W6)을 잇는 것이다 — \(x_1 < m\)의 양변에 \(x_2\)를 더하면 (W2)로 \(x_1 + x_2 < m + x_2\)이고, \(x_2 < m\)의 양변에 \(m\)을 더하면 (W2)로 \(m + x_2 < 2m\)이므로, (W6)으로 이으면 \(x_1 + x_2 < 2m\)이다. 남은 세 부등식에 같은 걸음을 세 번 더 반복하면

\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 < 5m \]

이다. 한편 \(m\)은 다섯 수의 평균이므로 정의에 의해 \(m = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5}\)이고, 양변에 5를 곱하면 \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5m\)이다. 두 사실을 이으면 \(5m < 5m\)이다. ③ 그런데 어떤 실수도 자기 자신보다 작을 수 없다(순서의 비반사성). “\(5m < 5m\)”과 “\(5m\)은 \(5m\)보다 작지 않다”가 동시에 성립하므로 모순이다 [산지 ③, 당사자: 합산으로 얻은 “\(5m < 5m\)”과 순서의 비반사성]. ④ 따라서 \(x_i \ge m\)인 \(i\)가 적어도 하나 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 이 증명이 성립하는 구조적 이유는 부정이 \(\exists\)를 \(\forall\)로 바꿔 주었다는 것이다. 원래 결론은 “어느 하나”에 대한 주장이라 어느 것인지 지정할 방법이 없는데, 부정하면 다섯 개 전부에 대한 부등식이 손에 들어와 합산이라는 조작이 가능해진다. 정보가 적은 결론일수록 그 부정이 정보를 많이 준다는 §1.6의 원리가 가장 뚜렷하게 드러나는 사례이고, 문제 20(a)의 답으로 쓸 수 있다.

검산. 1권 22주차 문제 13이 항의 개수가 일반인 \(n\)일 때의 같은 명제를 다뤘다. 이번 문제는 \(n = 5\)인 특수 사례를 4단 서식과 산지 표기로 다시 적은 것이고, 논증에서 5라는 수가 하는 일은 없다 — 어떤 개수에서도 같은 계산이 통한다. 같은 과의 논증으로 1권 26주차 문제 19의 비둘기집 논증이 있다.

문제 18#

접근. “최댓값이 없다”는 §1.6의 넷째 신호다. 부정하면 최댓값 \(M\)이 들어오고, 최댓값의 정의(S4주차 문제 18)가 두 조각으로 갈라진다: \(M \in S\)와 “모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M\)”. 앞 조각이 \(M\)의 범위를 주고, 그 범위로 \(M\)보다 큰 \(S\)의 원소를 만들어 뒤 조각에 특수화하면 충돌한다. 증인은 \(M\)과 1의 중점이다.

풀이. 증명. ① 결론을 부정하여 \(S = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}\)의 최댓값 \(M\)이 존재한다고 가정하고, 그런 \(M\)을 잡자. 정의에 의해 두 조각을 얻는다. 조각 ①: \(M \in S\), 곧 \(0 < M < 1\). 조각 ②: 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M\). ② \(c = \dfrac{M + 1}{2}\)로 두자. 자격 검증 두 건. \(M < 1\)이므로 \(c = \dfrac{M+1}{2} < \dfrac{1+1}{2} = 1\)이다 ✓. \(M > 0\)이므로 \(c = \dfrac{M+1}{2} > \dfrac{0+1}{2} = \dfrac12 > 0\)이다 ✓. 곧 \(0 < c < 1\)이므로 \(c \in S\)다. 사건 검증. \(c - M = \dfrac{M+1}{2} - M = \dfrac{1 - M}{2}\)이고 \(M < 1\)이므로 \(1 - M > 0\)이며, 따라서 \(c - M > 0\), 곧 \(c > M\)이다. 조각 ②를 \(c\)에 특수화하면 [자격: \(c \in S\) ✓] \(c \le M\)을 얻는다. ③ “\(c > M\)”과 “\(c \le M\)”이 동시에 성립하므로 모순이다 [산지 ②, 당사자: 직접 계산으로 얻은 “\(c > M\)”과 조각 ②의 특수화로 얻은 “\(c \le M\)”]. ④ 따라서 \(S\)에 최댓값은 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

복기. S4주차 문제 18(b)의 구간 \((-2, 2)\)판과 논증이 같다. 이식할 때 바뀌는 것은 중점의 상대편 끝점 하나뿐이다 — \((-2,2)\)에서는 \(\frac{M+2}{2}\)였고 \((0,1)\)에서는 \(\frac{M+1}{2}\)이다. 훈련 3의 \(\{x : x > 2\}\)에서는 방향이 뒤집혀 \(\frac{m+2}{2}\)가 최솟값보다 작은 원소가 되었다. 세 경우 모두 “열린 끝점 쪽으로 중점을 잡는다”는 한 문장으로 요약된다.

검산. \(M = 0.9\)로 잡아 보면 \(c = 0.95\)이고 실제로 \(0 < 0.95 < 1\)이며 \(0.95 > 0.9\)다. 어떤 \(M\)을 잡아도 더 큰 원소가 만들어진다는 것이 논증의 내용이다.

문제 19#

접근. 예제 2.1의 방법을 그대로 이식한다. 2와 3이 있던 자리에 10과 7이 들어가고, 개시\(\cdot\)정규화\(\cdot\)양변 \(b\)제곱\(\cdot\)홀짝 판정의 배치는 바뀌지 않는다. 다른 점은 10이 소수가 아니라는 것인데, 홀짝으로 충돌시킬 때는 그것이 문제가 되지 않는다. 두 번째 충돌 경로(5의 배수)에서는 유클리드 보조정리가 필요하다.

풀이. 명제. \(10^x = 7\)을 만족하는 양의 실수 \(x\)는 유리수가 아니다. 증명. ① 결론을 부정하여, \(10^x = 7\)이고 \(x\)가 유리수인 양의 실수 \(x\)가 있다고 가정하자. ② 정의에 의해 \(x = \frac ab\)인 정수 \(a\)와 0이 아닌 정수 \(b\)가 존재하고, 예제 2.1과 같은 부호 정규화로 \(a, b\)를 둘 다 양의 정수로 잡을 수 있다(\(x > 0\)이므로). 양변을 \(b\)제곱하면

\[ 10^a = 7^b \]

이다. 충돌 경로 1 (홀짝). \(a \ge 1\)이므로 \(10^a = 2 \cdot (5 \cdot 10^{a-1})\)은 짝수다. \(b \ge 1\)이고 7은 홀수이므로, 홀수의 곱은 홀수라는 사실(1권 1주차 문제 8)을 \(b-1\)번 적용하면 \(7^b\)은 홀수다. ③ 그런데 \(10^a = 7^b\)이므로 같은 정수가 짝수이면서 홀수가 되어, 홀짝의 배타성 (1권 22주차 문제 5)과 모순이다 [산지 ③, 당사자: “\(10^a\)은 짝수”와 “\(7^b\)은 홀수”]. ④ 따라서 \(10^x = 7\)을 만족하는 양의 실수 \(x\)는 유리수가 아니다. \(\blacksquare\)

충돌 경로 2 (5의 배수). 같은 등식에서 다른 충돌을 만들 수도 있다. \(a \ge 1\)이므로 \(10^a = 5 \cdot (2 \cdot 10^{a-1})\)은 5의 배수다. 한편 \(5 \mid 7^b\)이라면, 5가 소수이므로 유클리드 보조정리를 \(b-1\)번 적용해 \(5 \mid 7\)을 얻는데 이는 거짓이다. 곧 \(7^b\)은 5의 배수가 아니다. “\(10^a\)은 5의 배수”와 “\(7^b\)은 5의 배수가 아니다”가 등식 \(10^a = 7^b\)을 통해 충돌한다 [산지 ③].

복기. 이 유형의 공통 엔진은 양변의 소인수 구성이 다르다는 것이다. 지수 방정식을 \(b\)제곱으로 정수의 세계에 내린 뒤, 한쪽에만 있는 소인수 하나를 골라 “있다 / 없다”로 충돌시킨다. 예제 2.1에서는 그 소인수가 2였고, 여기서는 2 또는 5다. 이 직관을 완전한 정리로 정당화하는 것이 산술의 기본정리이며 C15주차에서 증명한다.

검산. \(a = 1, b = 1\)이면 \(10 \neq 7\), \(a = 2, b = 2\)면 \(100 \neq 49\)다. 어떤 \(a, b\)에서도 좌변은 0으로 끝나고 우변은 그렇지 않다는 관찰이 경로 2의 요약이다.

문제 20#

접근. (a)는 §1.6의 원리를 이번 주 문제로 실증하는 서술이다. 결론이 무엇을 주지 않는지와 그 부정이 무엇을 주는지를 짝지어 적으면 세 문장 안에 들어간다. (b)는 예제 2.3과 문제 12의 두 병명을 질문 형태로 뒤집는 작업이다. 진단이 “무엇을 하지 않았는가”였으므로, 점검 질문은 “그것을 했는가”가 된다.

풀이. (예시 답안) (a) 예제 2.2의 “정수 해가 존재하지 않는다”는 결론 자체로는 잡을 것이 하나도 없지만, 부정하면 대입하고 계산할 수 있는 정수 쌍 \((x, y)\)가 손에 들어온다. 문제 15의 “소수는 무한히 많다”는 한 걸음 더 나아간다 — 결론은 어떤 소수도 지목해 주지 않는데, 부정하면 곱하고 1을 더할 수 있는 유한 목록이 통째로 들어온다. 결론이 주는 정보가 적을수록 그 부정이 주는 정보가 많고, 귀류는 그 차이를 이용하는 거래다. (b) 점검 질문 두 개. ① “부정 가정 \(\neg B\)가 유도 사슬에서 실제로 한 번 이상 소비되었는가.” 소비되지 않았다면 무늬만 귀류이므로 직접 증명으로 다시 쓴다(예제 2.3 답안 1). ② “충돌 상대로 인용한 ‘이미 아는 참’이 정말로 이미 확보된 사실인가 — 증명 대상 \(B\) 자신(또는 그와 동치인 미확보 명제)은 아닌가.” 미확보 명제라면 순환 충돌이다 (문제 12 해설의 순환 답안). 인용의 출처를 주차 번호까지 댈 수 있으면 이 질문은 통과한 것이다. 보조 질문으로 하나 더 둘 수 있다. ③ “충돌한 두 문장을 답안에 각각 적었는가.” 적지 않았다면 조기 정지다(예제 2.3 답안 2).

복기. 세 질문이 각각 걸음 ②, 걸음 ③의 근거 인용, 걸음 ③의 완결성에 대응한다. 답안을 제출하기 전에 이 세 질문을 순서대로 던지는 것이 이번 주의 자가 채점 절차이고, §5 체크리스트의 여섯째 항목이 그것이다.

다음 주 예고 (S12): 문제 16에서 채집한 관찰 — 모순 상대가 처음부터 \(A\)로 정해져 있는 귀류에는 더 경제적인 서식이 있다 — 를 정면으로 다룬다. 대우법이다. \(\neg B\)를 가정 자리에 놓고 \(\neg A\)를 도착점으로 삼으면, 이번 주에 잃었던 후진 과정이 되살아난다. 도착점이 다시 구체적 명제가 되기 때문이다. 대우와 귀류의 정확한 관계, 둘 중 어느 쪽을 고를지의 판정법, 그리고 S10주차의 기계가 \(\neg A\)와 \(\neg B\)를 만드는 공용 부품이라는 것을 다룬다. 루틴 1일차에 Solow 10장을 통독한다.