차근히 시작하는 증명법

차근히 시작하는 증명법#

답지를 외우는 수학에서, 스스로 증명하는 수학으로.

중학교 수준의 아주 쉬운 소재(짝수·홀수)에서 출발해, 90주에 걸쳐 대학 수학의 증명(\(\varepsilon\)-\(\delta\)·무한집합·정수론·군론)까지 도달하고, 마침내 영어 수학 원서를 사전 없이 읽고 그 연습문제를 스스로 푸는 상태에 이르는 교재입니다. 혼자서도 끝까지 갈 수 있게 만들었습니다.

90주는 세 단계로 나뉩니다. 사이드바의 세 묶음이 그 세 단계입니다.

세 단계는 각각 다시 주차로 나뉘고, 한 주차는 다시 독학 페이지와 강의 페이지 두 장으로 나뉩니다. 이 둘은 권을 나누는 구분이 아닙니다(→ 「이 사이트를 읽는 법」).

세 단계와 각각의 목표#

원서는 세 권이지만 교안은 두 권입니다 — 제1권(Hammack 50주)과 제2권(Solow 20주 + Chartrand 20주, 합쳐 40주). 아래 표의 세 줄은 세 권이 아니라, 제2권을 학기로 쪼갠 세 단계입니다. 그래서 단계 이름이 “제2권 1학기 / 제2권 2학기”입니다.

단계

주차

원서

이 단계의 목표

제1권 · Book of Proof

50주 (1~50주차)

Richard Hammack, Book of Proof

증명의 기법을 처음 만든다 — 직접·대우·귀류·귀납

제2권 1학기 · Solow

20주 (S1~S20)

Daniel Solow, How to Read and Do Proofs

증명의 사고 과정을 갖춘다 — 막힌 순간 다음 줄을 찾는 절차

제2권 2학기 · Chartrand

20주 (C1~C20)

Chartrand·Polimeni·Zhang, Mathematical Proofs

분야별 실전 — 정수론·조합론·해석학·군론에서 운용한다

제1권 · 50주 — 기법을 만드는 단계#

“\(34 = 2 \times 17\)”을 쓰는 1주차에서 출발해, 칸토어 대각선 논법을 백지에 재현하는 50주차로 끝납니다. 순서는 도구 → 기법 → 대상입니다. 먼저 명제를 읽을 수 있어야 하므로 집합(3~6주차)·논리(7~11주차)·세기(12~14주차)가 앞에 오고, 그다음 직접·대우·귀류·귀납(15~35주차)을 세우고, 마지막에 관계·함수·해석학·무한(36~49주차)이라는 대상을 그 기법으로 다룹니다. 24주차에서 한 번 성격이 바뀝니다 — 여기까지가 4대 기법(직접·케이스·대우·귀류)을 갖추는 구간이고, 남은 기법은 35주차까지 이어집니다. 36주차부터는 대상이 앞에 오고 기법은 그 대상을 다루는 도구가 됩니다.

이 단계를 마치면 정의를 토씨 하나까지 백지에 수식으로 쓰고, 명제의 모양만 보고 기법을 스스로 고르고, 참·거짓이 표시되지 않은 명제 앞에서 증명하거나 반례로 반증할 수 있습니다.

제2권 1학기 · Solow 20주 — 사고 과정을 갖추는 단계#

제1권이 “어떤 기법이 있는가”였다면, 이 단계는 “막힌 그 순간 다음 줄을 어떻게 찾는가”입니다. 새로운 수학 내용은 거의 없습니다. 소재는 제1권 수준(\(\sqrt2\), AM–GM, \(\varepsilon\)-\(N\))으로 고정한 채, 전진-후진 과정(S2~S3), 양화사 4기법(S5~S8), 부정 3부작(S10~S12)을 거쳐 S17에서 하나의 기법 선택 결정 나무로 접습니다.

제1권에서 관행으로 쓰던 문장들이 여기서 이름과 절차를 얻습니다. 예를 들어 “\(x \in A\)를 임의로 잡자”는 S6에서 ‘선택법’이라는 이름과 반칙 목록을 얻고, \(\varepsilon\)-\(N\) 증명은 서식 암기가 아니라 양화사 4분면의 3연속 적용으로 다시 유도됩니다.

제2권 2학기 · Chartrand 20주 — 실전과 졸업#

제1권과 1학기에서 만든 기법을 실제 수학 분야에서 운용합니다. 전반부(C1~C8)에서 집합·논리·기법을 두 번째 저자의 언어로 다시 세우고, C9에서 종합 시험을 치른 뒤, 후반부에서 동치관계·함수·기수(C11~C14)를 거쳐 정수론(C15)·조합론(C16)·해석학(C17)·군론(C18~C19)으로 들어갑니다.

이 단계에만 있는 것이 둘 있습니다. 하나는 증명 평가 — 남의 증명을 5단계로 채점하는 훈련이고, 이것이 곧 자기 증명을 검증하는 능력입니다. 다른 하나는 빚 청산 — 앞 단계에서 “지금은 인정하고 쓴다”로 미뤄 둔 사실(유클리드 보조정리, 산술의 기본정리 유일성, 미분가능성)을 정식으로 갚습니다.

왜 셋으로 나뉘는가#

같은 “증명 공부”를 셋으로 나눈 데에는 이유가 둘 있습니다. 세 단계의 순서에 하나, 제1권과 제2권의 성격 차이에 하나입니다.

첫째, 기법 → 사고 과정 → 실전의 순서. 기법을 하나도 모르는 상태에서 “어느 기법을 고를지”를 배울 수는 없습니다. 그래서 제1권이 먼저 도구를 전부 만들고, 1학기가 그 도구를 언제 왜 드는지의 규율을 붙이고, 2학기가 그것을 실제 분야로 내보냅니다. 1학기와 2학기를 다시 가른 것은, 절차를 익히는 훈련과 그 절차를 낯선 분야에 적용하는 훈련이 같은 주차에 섞이면 둘 다 흐려지기 때문입니다. 같은 소재가 세 번 다르게 다뤄지는 것도 반복이 아니라 이 순서의 결과입니다. \(\sqrt2\)의 무리성은 제1권 21주차에서 귀류법이라는 기법으로 처음 증명되고, S11에서 “결론이 부정형이라는 신호가 귀류를 부른 것”으로 재해석되며, C15의 정수론에서는 유클리드 보조정리를 정식으로 증명한 뒤 \(\sqrt3\)·\(\sqrt{12}\)까지 일반화되는 실전 도구가 됩니다.

둘째, 제1권과 제2권이 원서를 쓰는 방식이 다른 이유. 제1권은 원서 없이 이 교재 하나만으로 읽히도록 만들어졌습니다. 원서 언급은 길잡이의 한 줄뿐이고, 인용은 전부 “1주차 문제 16”, “§1.3” 같은 내부 참조입니다. 반면 제2권 40주는 원서 읽기 동반 가이드입니다. 교안이 원서의 번역이나 요약이 아니라, 원서를 곁에 두고 함께 읽는 안내서입니다.

이 과정의 최종 목표 중 하나가 영어 수학 원서를 스스로 읽는 능력이고, 제1권에서 용어를 한국어(영어) 병기로 익혀 두었기에 제2권부터 원서를 직접 펼칠 수 있습니다.

이 사이트를 읽는 법#

사이드바 — 세 묶음#

왼쪽 사이드바는 위에서부터 제1권 · Book of Proof(1~50주차), 제2권 1학기 · Solow(S1~S20), 제2권 2학기 · Chartrand(C1~C20) 세 묶음입니다. 순서대로 밟습니다.

주차마다 두 페이지 — 독학과 강의#

각 주차는 독학과 강의 두 페이지로 나뉩니다. 사이드바에서 주차 제목 아래에 들여쓰여 붙는 것이 강의 페이지입니다.

독학/강의는 권 구분이 아니다

독학/강의는 권을 나누는 구분이 아닙니다. 종이책의 한 주(週)를 온라인판에서 두 페이지로 자른 것이고, 세 단계 전부에 똑같이 있습니다. 제1권의 1주차에도, 1학기 S1에도, 2학기 C1에도 독학 페이지와 강의 페이지가 있습니다. (시험만으로 이루어진 5개 주차는 예외로 한 페이지입니다 — 아래 「평가 주간과 수료 기준」에서 설명합니다.)

독학 — 혼자 읽는 부분

목표 · 준비 운동 · 개념과 정의.

수업 전에 혼자 읽고, 정의를 백지에 수식으로 옮겨 써 보는 예습 파트입니다. “애매하면 정의로 돌아간다”는 이 과정의 핵심 습관을 여기서 만듭니다.

강의 — 함께 푸는 부분

예제 필사 · 빈칸 채우기 · 연습문제 20문항 · 백지 재현 · 해설.

수업에서 한 줄씩 “왜 이 줄을 쓰는가?”를 물으며 함께 증명을 완성하고, 스스로 풀이를 시도하는 실전 파트입니다.

팁

추천 순서: ① 수업 전 독학 페이지로 개념·정의를 예습 → ② 수업에서 강의 페이지의 예제를 함께 필사 → ③ 수업 후 강의 페이지의 연습문제와 해설로 복습.

주간 루틴 — 제1권과 제2권의 차이#

권장 분량은 주 5일 × 60~90분으로 같지만, 1일차와 3일차가 다릅니다.

요일

제1권 (원서 없이)

제2권 (원서와 함께)

1일차

개념 + 예제 필사

원서 해당 장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)

2일차

정의 백지 테스트 + 빈칸 증명

교안 개념 + 예제 필사

3일차

연습문제 기본·표준

원서 재독 — 1일차 표시 문장 해결 + 원서 연습문제 시도

4일차

연습문제 도전 + 오답 정리

교안 연습문제 20문항

5일차

백지 재현 + 체크리스트

백지 재현 + 체크리스트

시간이 부족하면 3~4일차를 합치되, 1일차와 5일차는 생략하지 마세요.

이것은 권에 따른 원서 사용법의 차이이고, 독학/강의 페이지 구분과는 상관이 없습니다 — 두 페이지는 어느 권에서나 똑같이 있습니다.

접힘 상자를 여는 시점#

본문의 답 상자와 문제 아래의 힌트 상자는 웹에서 접혀 있습니다. 먼저 연필로 답을 쓴 뒤에 열어 대조하세요. 열어서 이해한 감각과 백지에서 다시 쓸 수 있는 상태는 다릅니다.

평가 주간과 수료 기준#

제1권에는 평가 주간이 10회(6·11·14·18·24·30·35·39·44·50주차), 제2권에는 5회(S9·S17·S20·C9·C20) 있습니다. 제2권의 평가 주간은 1부 백지 복원과 2부 종합시험으로 이루어지고(S20만 수료 시험 하나), 제1권의 평가 주간은 교재를 덮고 푸는 20문항 총정리 시험 하나로 치릅니다. 어느 쪽이든 통과하기 전에는 다음 주차로 넘어가지 않습니다. 틀린 문항은 점수가 아니라 어느 주차로 돌아갈지 알려 주는 좌표이고, 각 시험 끝에 그 대응표가 붙어 있습니다.

이 평가 주간 중 개념 절 없이 시험만으로 이루어진 5개 주차(24·30·50주차, S9, S20)는 독학/강의로 나눌 것이 없어 온라인판에서 한 페이지입니다. 나머지 85개 주차가 두 페이지입니다.

세 단계의 수료 기준은 하나로 같습니다 — 아무것도 보지 않고 백지에 재현할 수 있는가. 목표는 기억이 아니라 재구성입니다.

본문에서 쓰는 표기#

표기

읽는 법과 뜻

§

“절”이라고 읽습니다. 본문의 §1.3·§5는 종이책의 절 번호입니다. 온라인판 제목에는 번호가 붙지 않으니 절 제목으로 찾으세요 — §0은 준비 운동, §1은 개념, §2는 예제, §3은 빈칸 사다리, §4는 연습문제, §5는 백지 재현, §6은 해설입니다. “2주차 §1.3”처럼 앞에 주차가 붙으면 다른 주차를 가리킵니다.

●○○ · ●●○ · ●●●

단계 표시입니다. 연습문제(총정리 시험 주차 제외)에서는 난이도(기본 1–6번 · 표준 7–14번 · 도전 15–20번)를, 빈칸 사다리에서는 지지대가 줄어드는 정도(훈련 1 → 3)를 나타냅니다.

확인 · 답 · 힌트 상자

확인은 연필로 먼저 답하는 자리입니다. 바로 아래의 답과 문제 아래의 힌트는 웹에서 접혀 있으니, 스스로 답한 뒤에 열어 대조하세요.

[백지 암기 대상]

아무것도 보지 않고 재현할 수 있어야 하는 정의·틀입니다. 각 주차 백지 재현 절(§5)에서 점검합니다.

대상과 준비#

  • 수능 수학까지는 “공식 적용 → 답 계산”으로만 공부해 온 사람

  • “증명하라”는 문제 앞에서 답지를 읽고 외우는 것 외에 방법을 몰랐던 사람

  • 대학 수학(이산수학·선형대수·해석학·현대대수)에 진입하려는 사람

선행 지식은 중학교 수학 계산 능력이면 충분합니다. 고등학교 내용(집합과 명제·함수)은 제1권 안에서 필요한 만큼 다시 만듭니다.

참고

제1권 『Book of Proof』(Hammack)는 저자 홈페이지에서 무료로 받을 수 있습니다. 제2권 원서(Solow, Chartrand)는 곁에 두고 함께 읽습니다 — 제1권 50주 동안에는 필요하지 않습니다.

왼쪽 사이드바에서 1주차부터 시작하세요.