S13주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

S13주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 유일성 답안을 함께 만들기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 예제마다 하나씩 빠진다.

예제 2.1 — 얼굴 1: 일차방정식 해의 유일성#

명제. 실수 \(a \neq 0\)과 실수 \(b\)에 대해, \(ax + b = 0\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다.

판정. 신호는 “정확히 하나”이므로 두 파트가 필요하다(§1.5 첫째 줄). 유일 파트의 조건 \(P(x)\)는 등식 \(ax + b = 0\)이므로 얼굴 판정법 첫째 줄, 곧 얼굴 1이다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 것. 두 파트가 각각 다른 출발점과 도착점을 갖는다. 파트마다 번역표를 따로 만든다.

파트

출발점 (손에 있는 것)

도착점 (만들 것)

(존재)

\(a \neq 0\)

조건을 만족하는 실수 \(x_0\)을 하나 제시하고 \(ax_0 + b = 0\)을 검증한다

(유일)

\(ax_1 + b = 0\), \(ax_2 + b = 0\), 그리고 \(a \neq 0\)

\(\underline{\quad(?)\quad}\)

확인 7. 유일 파트의 도착점 칸을 채워 보자. 그리고 그 칸에 “\(x_1 \neq x_2\)와 모순”을 적지 않는 이유를 한 문장으로 적어 보자.

답

도착점은 “\(x_1 = x_2\)”다. 정의 13.2의 얼굴 1은 상등에 도착하는 것으로 끝나고,

모순은 얼굴 2의 도착점이다. 여기서는 조건이 등식이라 결합만으로 상등이 나오므로

다름을 얹을 이유가 없고, 얹지 않았으므로 모순 상대도 없다.

두 파트의 출발점이 서로 겹치지 않는다는 것도 표에서 보인다 — 존재 파트는

\(a \neq 0\)을 나눗셈에 쓰고, 유일 파트는 같은 \(a \neq 0\)을 소거에 쓴다.

1단계 — 존재 파트부터 처리한다. 답안의 첫 일은 계산이 아니라 어느 파트를 쓰는지 밝히는 것이다. S5주차 구성법의 세 걸음(연습장에서 후보 찾기 \(\to\) 답안에서 제시 \(\to\) 자격\(\cdot\)사건 전수 검증)이 그대로 존재 파트다.

확인 8. 존재 파트의 증인을 연습장에서 역산으로 찾아 보자: \(ax_0 + b = 0\)을 \(x_0\)에 대해 풀면 \(x_0 = \underline{\qquad}\). 그리고 이 값이 실수라는 자격은 무엇이 보장하는가.

답

\(x_0 = -\dfrac ba\). 자격을 보장하는 것은 \(a \neq 0\)이다 — 분모가 0이 아니어야

이 표현이 실수를 가리킨다. 역산은 연습장의 작업이고, 답안에는 찾은 값을

제시하는 문장부터 적는다(S5주차 공급로 ①).

확인 9. 존재 파트의 검증 문장을 완성해 보자: “\(ax_0 + b = a\left(-\dfrac ba\right) + b = \underline{\qquad} = 0\)이므로 \(x_0\)은 조건을 만족한다.”

답

\(a\left(-\dfrac ba\right) + b = -b + b\). 검증은 조건식에 실제로 넣어 계산하는

것이지 “당연히 만족한다”로 대신할 수 없다 — S5주차의 전수 검증 규칙이다.

2단계 — 유일 파트를 개시한다. 얼굴 1이므로 조건을 만족하는 둘을 잡되 다르다고는 하지 않는다.

확인 10. 유일 파트의 첫 문장을 완성해 보자: “(유일) \(ax_1 + b = \underline{\quad}\)이고 \(ax_2 + b = \underline{\quad}\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자.”

답

두 빈칸 모두 \(0\)이다. 두 해를 서로 등치해 “\(ax_1 + b = ax_2 + b\)”라고 적는 답안이

자주 나오는데, 조건은 각각이 0과 같다는 것이지 서로 같다는 것이 아니다.

결과적으로 같은 식이 나오더라도 논리의 출발점이 다르며, 이 차이가 실제로

답을 가르는 사례가 예제 2.3의 답안 2다.

3단계 — 두 조건을 결합한다. 등식 두 개를 확보했으므로 결합은 뺄셈이다.

확인 11. 셋째 문장을 완성해 보자: “두 식을 변끼리 빼면 \(ax_1 - ax_2 = 0\), 곧 \(a(\underline{\qquad}) = 0\)이다.”

답

\(a(x_1 - x_2) = 0\). 양변에서 \(b\)가 소거되고 남은 것을 \(a\)로 묶었다 —

근거 ③(등식의 성질)이다. 곱이 0인 등식이 나온 것이 다음 걸음의 재료다.

4단계 — 상등에 도착한다. 곱이 0이면 인수 중 하나가 0이고, 그중 하나는 0이 아님이 가정에 있다.

확인 12. 넷째 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)이므로 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다.” 그리고 이 줄에서 소비되는 가정이 무엇인지 적어 보자.

답

“\(a \neq 0\)이고 곱 \(a(x_1 - x_2)\)가 0이므로” — 영인수 성질(근거 ④)에 \(a \neq 0\)을

결합했다. 소비되는 가정은 \(a \neq 0\)이다. 명제에서 이 조건을 지우면 \(a = 0\),

\(b = 0\)일 때 모든 실수가 해가 되어 유일성이 즉시 무너진다. 곧 \(a \neq 0\)은

존재 파트에서는 나눗셈을 가능하게 하고 유일 파트에서는 소거를 가능하게 하는,

두 번 쓰이는 조건이다.

5단계 — 두 파트를 합쳐 닫는다.

확인 13. 마지막 문장을 완성해 보자: “존재와 유일이 모두 보였으므로 \(ax + b = 0\)인 실수 \(x\)는 \(\underline{\qquad}\) 존재한다. \(\blacksquare\)”

답

“정확히 하나”. 정의 13.1의 분해를 역방향으로 쓴 문장이고, 이 한 줄이 없으면

두 파트가 각각 증명되었을 뿐 원명제의 진술까지 오지 않는다.

완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

(존재) \(x_0 = -\dfrac ba\)로 두자. \(a \neq 0\)이므로 이 값은 실수이다.

구성법의 걸음 ②(제시)와 자격 검증. 증인은 연습장의 역산으로 찾았고 답안에는 결과만 적는다(S5주차).

\(ax_0 + b = a\left(-\dfrac ba\right) + b = -b + b = 0\)이므로 \(x_0\)은 조건을 만족한다.

구성법의 걸음 ③(사건 검증). 조건식에 실제로 넣어 계산한다 — 근거 ③.

(유일) \(ax_1 + b = 0\)이고 \(ax_2 + b = 0\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자.

얼굴 1의 걸음 ①. 자격은 “조건을 만족”뿐이고 서로 다르다고 가정하지 않는다(정의 13.2).

두 식을 변끼리 빼면 \(a(x_1 - x_2) = 0\)이다.

얼굴 1의 걸음 ②. 조건이 등식이므로 결합은 뺄셈이다 — 근거 ③.

\(a \neq 0\)이므로 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다.

영인수 성질(근거 ④)에 가정 \(a \neq 0\)을 결합한다. 유일성이 성립하는 근본 이유가 이 한 줄이다.

존재와 유일이 모두 보였으므로 해는 정확히 하나 존재한다. \(\blacksquare\)

정의 13.1의 분해를 역방향으로 적어 원명제의 진술로 돌아온다.

두 파트를 분리해 적는 실익. 위 답안에서 \(a \neq 0\)은 두 번 쓰이는데 쓰이는 방식이 다르다 — 존재에서는 분모로, 유일에서는 소거의 근거로 쓰인다. 두 파트를 섞어 한 문단으로 적으면 이 조건이 어느 쪽에서 무슨 일을 했는지 흐려지고, 조건 하나를 빼는 실험(확인 12)을 할 수 없게 된다.

예제 2.2 — 얼굴 2를 시도했다가 얼굴 1로 정리하기#

명제. 집합 \(S \subseteq \mathbb{R}\)가 최소원소를 가지면 그 최소원소는 유일하다. (최소원소 \(m\)이란 \(m \in S\)이고 모든 \(x \in S\)에 대해 \(m \le x\)인 것이다.)

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다.

확인 14. 판정부터 해 보자. 이 명제에 필요한 파트는 무엇인가. 그리고 얼굴 판정법의 몇째 줄에 걸리는가.

답

유일 파트만 필요하다 — 명제의 가정이 이미 “최소원소를 가지면”이므로 존재는

주어져 있고, 존재 파트를 따로 쓰면 가정을 다시 증명하는 헛일이 된다.

얼굴 판정법 둘째 줄에 걸린다 — 조건이 순서 관계이고, 각각을 상대에게 적용하면

두 부등식이 나와 반대칭성으로 닫힌다.

확인 15. 번역표를 채워 보자. 출발점: \(m_1, m_2\)가 모두 최소원소라는 것에서 특수화로 얻는 두 사실은 \(\underline{\qquad}\)과 \(\underline{\qquad}\)이다. 도착점: \(\underline{\qquad}\). 도착에 쓰이는 근거는 무엇인가.

답

출발점의 두 사실은 \(m_1 \le m_2\)와 \(m_2 \le m_1\)이다. 각각 어떻게 나오는지가

중요하다 — “모든 \(x \in S\)에 대해 \(m_1 \le x\)”라는 전칭 사실에 \(x = m_2\)를

특수화하면 앞의 것이 나오고, 자격 검증은 “\(m_2 \in S\)”다(S7주차의 세 걸음).

뒤의 것은 \(m_1\)과 \(m_2\)의 역할을 바꾼 같은 절차다.

도착점은 \(m_1 = m_2\)이고, 근거는 반대칭성(근거 ④)이다. S7주차 문제 16이 이

논증을 이름 없이 한 문단으로 풀어 적었고, 이번 주부터는 §1.6이 이름을 붙여

두었으므로 한 줄로 인용한다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(m_1\)과 \(m_2\)가 모두 \(S\)의 최소원소라 하자.

얼굴 1의 걸음 ①. 다름은 가정하지 않는다 — 판정법 둘째 줄이 얼굴 1을 지시했다.

\(m_1\)이 최소이고 \(m_2 \in S\)이므로 \(m_1 \le m_2\)이다.

전칭 사실에 \(x = m_2\)를 특수화한다. 자격은 \(m_2 \in S\)이고, 이것은 \(m_2\)가 최소원소라는 조건의 앞부분에서 나온다.

\(m_2\)가 최소이고 \(m_1 \in S\)이므로 \(m_2 \le m_1\)이다.

같은 특수화를 역할만 바꿔 한 번 더 한다 — 조건의 이중 발동(얼굴 1의 걸음 ②).

반대칭성에 의해 \(m_1 = m_2\)이다.

두 부등식의 결합. 근거 ④ — §1.6이 이번 주부터 이 이름으로 채택한 사실이다.

따라서 \(S\)의 최소원소는 많아야 하나다. \(\blacksquare\)

얼굴 1의 걸음 ③. 도착점이 상등이므로 모순 선언은 없다.

얼굴 2로 쓰면 어떻게 되는가. 이 명제를 얼굴 2로 적으면 첫 줄에 “\(m_1 \neq m_2\)라 가정하자”가 붙고 마지막에 “이는 가정과 모순이다 [산지 ②]”가 붙는다. 늘어난 두 줄은 계산에 한 번도 쓰이지 않는다 — 두 부등식을 얻는 데도, 반대칭성을 쓰는 데도 다름은 필요하지 않았다. §1.3의 삭제 실험 1이 검사한 답안이 정확히 그것이고, 판정법 다섯째 줄이 얼굴 1로 정리하라고 지시하는 자리다. 순서 관계가 걸린 명제에서 두 얼굴이 자주 호환되는 이유는 반대칭성이 상등을 직접 주기 때문이다.

예제 2.3 — 진단: 두 책임의 누락과 개시문의 오류#

이번에는 설계부터 스스로 한 뒤, 표 없이 산문으로 적는다. 아래 두 답안을 먼저 읽는다.

답안 1

명제: \(x^2 = 9\)인 양의 실수는 정확히 하나다.

“\(x = 3\)이 조건을 만족한다(\(3^2 = 9\)이고 \(3 > 0\)). 따라서 정확히 하나다.”

답안 2

명제: \(x^3 = x\)인 실수는 정확히 하나다.

“(유일) \(x_1^3 = x_2^3\)이면 세제곱은 단사이므로 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 정확히 하나다.”

확인 16. 두 답안을 각각 진단해 보자. 답안 1에서 빠진 파트는 무엇이고, 답안 2에서는 파트 누락 말고 무엇이 더 틀렸는가. 답안 2의 명제 자체는 참인가.

답

답안 1: 유일 파트가 통째로 빠졌다. 존재 파트는 증인 제시와 자격\(\cdot\)사건 검증까지

흠이 없다. 빠진 것은 “다른 양의 해가 없다”는 주장이고, 그 주장은 조건을 만족하는

둘을 잡는 것에서 시작해야 한다.

답안 2: 존재 파트가 빠졌고, 유일 파트의 개시문도 틀렸다. 조건은 “\(x_1^3 = x_1\)”과

“\(x_2^3 = x_2\)”인데 답안은 “\(x_1^3 = x_2^3\)”에서 출발했다 — 두 해가 각각 조건을

만족한다는 사실 대신 두 해의 세제곱을 서로 등치한 것이고, 그 등식은 어디에서도

주어지지 않았다(확인 10에서 경고한 그 자리다). 그리고 명제 자체가 거짓이다 —

\(x^3 = x\)의 실수 해는 \(0, 1, -1\) 셋이다.

답안 1의 수리. 존재 파트는 그대로 두고 유일 파트를 붙인다. 조건 \(P(x)\)는 “\(x^2 = 9\)이고 \(x > 0\)”이므로 얼굴 판정법 첫째 줄에 따라 얼굴 1로 간다.

(유일) \(x_1^2 = 9\)이고 \(x_2^2 = 9\)인 양의 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자. 두 식을 빼면 \(x_1^2 - x_2^2 = 0\)이고, 인수분해하면

\[ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0 \]

이다. \(x_1 > 0\)이고 \(x_2 > 0\)이므로 \(x_1 + x_2 > 0\)이고(1권 16주차 (W4), 근거 ②), 따라서 \(x_1 + x_2 \neq 0\)이다. 곱이 0이므로 영인수 성질에 의해 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다. 존재와 유일이 모두 보였으므로 조건을 만족하는 양의 실수는 정확히 하나다. \(\blacksquare\)

무대가 유일성을 만든다. 위 수리에서 결정적인 줄은 \(x_1 + x_2 \neq 0\)이고, 그것을 보장한 것은 명제의 “양의”라는 자격이다. 자격을 “실수”로 넓히면 \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\)에서 \(x_1 + x_2 = 0\)이 되어 그 줄이 무너지고, 실제로 \(x^2 = 9\)인 실수는 둘이다. 조건의 한 조각이 유일성 전체를 떠받치는 사례다.

답안 2의 처리. 명제가 거짓이므로 수리할 답안이 없다. 대신 두 가지를 기록한다. 첫째, 유일성을 주장하기 전에 해를 실제로 몇 개 찾아보는 정찰이 필요하다 — \(x^3 - x = x(x-1)(x+1)\)로 인수분해하면 해 셋이 즉시 보인다. 둘째, 그 정찰과 별개로 답안의 개시문은 여전히 규격 위반이다. 얼굴 1의 걸음 ①은 두 대상이 각각 조건을 만족한다고 적는 것이지 두 대상의 함숫값을 등치하는 것이 아니다. 개시문이 틀리면 이후 모든 줄이 다른 명제에 대한 논증이 된다.

관찰 — 같은 뼈대#

예제 2.1\(\cdot\)2.2\(\cdot\)2.3은 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음

예제 2.1

예제 2.2

예제 2.3(수리본)

신호와 요구되는 파트

“정확히 하나” — 두 파트

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

“정확히 하나” — 두 파트

얼굴 판정의 근거

판정법 첫째 줄

판정법 둘째 줄

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

유일 파트의 개시문

\(ax_1 + b = 0\), \(ax_2 + b = 0\)

\(m_1, m_2\)가 모두 최소원소

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

결합의 방법

두 등식을 뺀다

각각을 상대에게 특수화한다

두 등식을 빼고 인수분해한다

상등을 닫는 근거

영인수 성질과 \(a \neq 0\)

반대칭성

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 17. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 세 예제에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자.

답

(1) “유일하다” — 존재가 가정에 있으므로 유일 파트만

(2) 판정법 첫째 줄 — 조건이 등식 \(x^2 = 9\)이다

(3) \(x_1^2 = 9\), \(x_2^2 = 9\)인 양의 실수 \(x_1, x_2\)

(4) 영인수 성질과, 양수성에서 얻은 \(x_1 + x_2 \neq 0\)

공통 순서: ① 신호를 읽어 필요한 파트를 정하고 얼굴을 판정한다 \(\to\) ② 조건을

두 번 발동해 문장 두 개를 확보한다 \(\to\) ③ 그 둘을 결합해 상등에 닿고, 얼굴 2였다면

모순을 지목해 닫는다.

방금 확인한 뼈대가 정의 13.1과 정의 13.2다. 세 예제에서 달라진 것은 결합의 방법과 상등을 닫는 근거뿐이고, 걸음의 순서는 같았다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸#

명제. 실수 \(b\)에 대해, \(x + b = 5\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다.

판정. 신호는 “정확히 하나”이므로 파트는 \(\underline{\quad(1)\quad}\)개이고, 조건이 등식이므로 얼굴 판정법 첫째 줄에 따라 얼굴 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이다.

증명.

(존재) \(x_0 = \underline{\quad(3)\quad}\)으로 두자. 이 값은 실수이고 \(x_0 + b = \underline{\quad(4)\quad}\)이므로 조건을 만족한다.

(유일) \(x_1 + b = 5\)이고 \(x_2 + b = 5\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자. 두 식을 변끼리 빼면 \(\underline{\quad(5)\quad} = 0\)이고, 따라서 \(x_1 = x_2\)이다.

존재와 유일이 모두 보였으므로 해는 정확히 하나 존재한다. \(\blacksquare\)

점검. 이 증명에서 유일성이 성립한 근본 이유는 양변에서 \(b\)를 빼는 연산이 \(\underline{\quad(6)\quad}\)이기 때문이고, 그래서 \(b\)가 무엇이든 유일성은 영향을 받지 않는다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 근거 이름과 산지 번호도 빈칸이다. 아래는 얼굴 2로 적은 답안이다.

명제. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x \cdot e = x\)를 만족하는 실수 \(e\)는 많아야 하나다.

증명. \(e_1\)과 \(e_2\)가 모두 조건을 만족하고 \(e_1 \neq e_2\)라 가정하자 [얼굴 \(\underline{\quad(1)\quad}\)의 걸음 ①]. “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x \cdot e_1 = x\)”에 \(x = \underline{\quad(2)\quad}\)을 특수화하면 \(e_2 e_1 = e_2\)를 얻는다. 마찬가지로 “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x \cdot e_2 = x\)”에 \(x = e_1\)을 특수화하면 \(\underline{\quad(3)\quad}\)을 얻는다. 곱셈의 교환법칙에 의해 두 좌변이 같으므로

\[ e_1 = e_1 e_2 = e_2 e_1 = e_2 \]

이다. 그런데 이것은 가정 \(e_1 \neq e_2\)와 모순이다 [산지 \(\underline{\quad(4)\quad}\)]. 따라서 조건을 만족하는 실수는 많아야 하나다. \(\blacksquare\)

무늬만 귀류 점검. 위 답안에서 가정 \(e_1 \neq e_2\)가 실제로 소비된 줄은 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이다. 그러므로 판정법 \(\underline{\quad(6)\quad}\)째 줄에 따라 이 답안은 얼굴 \(\underline{\quad(7)\quad}\)로 정리하는 것이 옳고, 정리하면 \(\underline{\quad(8)\quad}\)개의 줄이 사라진다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 판정부터 스스로 한다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다.

명제. 실수 \(a\)에 대해, \(a + x = 0\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다.

  • ① 신호 판독과 필요한 파트 (§1.5 표의 몇째 줄인가): \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 얼굴 판정과 그 근거 (판정법 표의 몇째 줄인가): \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 존재 파트 — 증인 제시와 전수 검증까지 완전한 문장으로: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ④ 유일 파트 — 개시문부터 상등 도착까지 완전한 문장으로: \(\underline{\quad(4)\quad}\)

  • ⑤ 마무리 선언과 그 근거: \(\underline{\quad(5)\quad}\)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 유일성 답안의 제출 규격은 네 가지다: ① 필요한 파트를 신호에서 판독해 “(존재)”와 “(유일)”로 문단을 분리 ② 유일 파트의 개시문 옆에 얼굴 번호 표기 ③ 각 줄에 붙은 근거 번호 ④ 얼굴 2라면 충돌한 두 문장의 지목. 존재 파트만 있는 답안은 “하나 이상”까지, 유일 파트만 있는 답안은 “많아야 하나”까지만 증명한 것으로 읽힌다. 얼굴 2로 적었다면 제출 전에 다름 가정이 몸통에서 소비되었는지 한 번 세어 본다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] “정확히 하나”의 분해, 두 얼굴의 서식, 유일성 신호, “유일성은 존재를 전제하지 않는다”를 쓰시오.

힌트

정의 13.1\(\cdot\)13.2, §1.4의 판정법 표, §1.5의 신호 표가 그대로 답이다. 통째로

외우기보다 “결합만으로 상등이 나오면 얼굴 1, 다름이 재료가 되어 주면 얼굴 2”라는

한 문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.

2. 다음이 “정확히 하나”인지 “많아야 하나”인지 “적어도 하나”인지 판정하시오 (증명 불요). (a) 모든 실수는 유일한 덧셈 역원을 갖는다. (b) \(x^2 = 2\)의 실수 해가 존재한다. (c) \(x^2 + 1 = 0\)의 실수 해는 많아야 하나다. (d) 짝수인 소수는 정확히 하나다.

힌트

§1.5의 신호 표를 위에서부터 훑는다. “유일한”과 “정확히 하나”는 두 파트를,

“많아야 하나”는 유일 파트만을, “존재한다”는 존재 파트만을 부른다.

명제가 참인지는 묻지 않았다 — 무엇을 증명해야 하는지만 판정한다.

3. 예제 2.1을 백지 재현하시오 — (존재)/(유일) 분리와 각 파트가 \(a \neq 0\)을 어떻게 쓰는지 표기.

힌트

완성본 표의 여섯 줄이 목표다. 확인 12의 관찰 — 같은 조건이 한 번은 분모로,

한 번은 소거의 근거로 쓰인다 — 을 각 파트 옆에 한 줄로 붙이면 재현이 끝난다.

4. 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 2에서 계산은 이미 다 되어 있다. 마지막 점검 칸이 진짜 문제이고,

답을 얻는 방법은 개시문의 다름 가정이 쓰인 줄을 손가락으로 세는 것뿐이다.

5. 예제 2.3의 두 답안을 재현하고 각각의 병명(책임 누락 / 개시문 오류)을 쓰시오.

힌트

답안 2는 병명이 셋이다. 존재 파트, 개시문, 그리고 명제 자체 — 셋을 따로 적는다.

6. “유일성 파트는 실제로 0개여도 공허하게 참”임을 명제 “\(x^2 = -1\)인 실수 해는 많아야 하나다”로 설명하시오 (해가 없어도 이 명제는 참 — 왜?).

힌트

“많아야 하나”를 조건문으로 펴 적는 것에서 시작한다. 그 조건문의 가정이

성립하는 경우가 하나라도 있는가. 1권 26주차 확인 7이 이 문제였다.

표준 ●●○#

7. 명제 “실수 \(a \neq 0\), \(b\), \(c\)에 대해, \(ax + b = c\)의 실수 해는 정확히 하나다”를 증명하시오 (예제 2.1의 일반화 — (존재)/(유일) 분리).

힌트

예제 2.1에서 우변만 0에서 \(c\)로 바뀌었다. 유일 파트에서 두 식을 뺄 때

우변끼리도 상쇄되는지 확인하면 계산이 예제와 같아진다.

8. 명제 “집합 \(S\)가 최대원소를 가지면 유일하다”를 증명하시오 — 예제 2.2를 max로 옮겨 얼굴 1로(다름 가정 없이 반대칭으로 직행) 쓰시오. 이어서 §1.3 삭제 실험 1의 얼굴 2 답안(min)과 비교해 “왜 얼굴 1이 더 깔끔한가” 한 줄.

힌트

부등호 방향만 뒤집으면 예제 2.2의 완성본이 그대로 옮겨진다. 비교 한 줄의

축은 판정법 다섯째 줄이다 — 소비되지 않는 가정은 답안에서 뺀다.

9. 덧셈 항등원의 유일성: “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x + e = x\)인 실수 \(e\)는 유일하다”를 증명하시오. (얼굴 1: \(e_1, e_2\)가 둘 다 항등원 \(\to\) 각각을 상대에게 투입 — \(e_1 = e_1 + e_2 = e_2\))

힌트

전칭 사실이 둘 있고 특수화할 값도 둘이다. \(e_1\)의 조건에는 \(x = e_2\)를,

\(e_2\)의 조건에는 \(x = e_1\)을 넣는다. 같은 식 \(e_1 + e_2\)가 두 번 나오면

그 식이 두 값을 잇는 다리가 된다.

10. 다음 답안을 진단\(\cdot\)수리하시오.

“명제: \(2x + 6 = 0\)의 실수 해는 정확히 하나다. 증명: 유일성만 보이면 된다. \(2x_1 + 6 = 2x_2 + 6\)이면 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 정확히 하나다.”

힌트

지적할 곳이 둘이다. “유일성만 보이면 된다”는 판단이 무엇을 삭제했는지가 하나이고,

개시문의 등식이 어디서 왔는지가 다른 하나다(확인 10).

11. 명제 “양의 실수 \(a\)에 대해, \(x^2 = a\)인 양의 실수 \(x\)는 정확히 하나다”를 증명하시오. (존재는 기성품 인용 — \(\sqrt a\)의 존재. 유일: 얼굴 1 — \(x_1^2 = x_2^2 = a\) \(\to\) \((x_1-x_2)(x_1+x_2)=0\) \(\to\) 양수성으로 \(x_1 + x_2 > 0\) \(\to\) \(x_1 = x_2\))

힌트

유일 파트는 예제 2.3의 수리본에서 9를 \(a\)로 바꾼 것이다. 존재 파트에서

인용하는 기성품의 이름을 정확히 적는 것이 이 문제의 절반이다.

12. well-defined 맛보기: 유리수 \(q\)를 \(q = \frac ab\) (기약, \(b > 0\))로 쓸 때, 이 기약 표현이 유일함을 증명하시오. (“기약 표현으로 정의된 함수가 well-defined인 근거”가 이 유일성임을 한 줄로)

이 문제가 빌려 쓰는 사실 — 서로소 형 유클리드 보조정리

정수 \(m, n, k\)에 대해 \(\gcd(m, n) = 1\)이고 \(m \mid nk\)이면 \(m \mid k\)이다.

S11주차가 소수판(소수 \(p\)가 곱을 나누면 인수 하나를 나눈다)을 인정하고 쓰기로

했고, 여기서 필요한 것은 그것의 서로소판이다. 이번 주에도 증명 없이 인정하고

쓴다 — 완전 증명은 C15주차의 베주 항등식과 함께 나온다(S15주차 문제 10이

소수판의 소거법 증명을 먼저 다룬다).

힌트

두 기약 표현이 같다는 등식에서 분모를 없애면 정수 등식 하나가 나온다.

그 등식을 나누어떨어짐으로 읽으면 위 상자의 사실을 두 번 — 한 번은 그대로,

한 번은 역할을 바꿔 — 쓸 자리가 보인다. 두 분모가 서로를 나누고 둘 다 양수라는

데까지 가면 끝난다.

13. 극한의 유일성 (1권 45주차 문제 11의 재증명): “수열 \((a_n)\)이 \(L\)로도 \(L'\)로도 수렴하면 \(L = L'\)이다”를 증명하시오. (얼굴 2 — 이번에는 개시문\(\cdot\)산지 표기를 갖춘 답안으로)

이 문제가 다시 여는 정의 — 수렴 (1권 45주차 정의 45.1)

수열 \((a_n)\)이 \(L\)로 수렴한다는 것은, 임의의 양의 실수 \(\varepsilon\)에 대해

어떤 양의 정수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)인 모든 \(n\)에서 \(a_n\)과 \(L\)의 거리가

\(\varepsilon\)보다 작다는 뜻이다. 함께 쓰는 부품은 삼각부등식(1권 17주차 문제 12)이다.

힌트

확인 1이 이 문제의 설계였다. 특수화할 \(\varepsilon\)을 두 극한 사이 거리의

절반으로 잡고, 자격(“양수”)이 개시문의 어느 가정에서 나오는지 명시한다.

두 문턱을 동시에 넘기려면 큰 쪽을 택해야 하고, 마지막에 삼각부등식으로

두 극한 사이 거리를 두 근방 반지름의 합으로 위에서 누른다.

14. 명제 “연속함수 \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\)가 \(f(0) < 0 < f(1)\)이면 \(f(c) = 0\)인 \(c\)가 적어도 하나 존재한다 — 그러나 유일하지는 않을 수 있다”에서: (a) 존재는 어떤 정리인가(이름만). (b) 유일하지 않은 반례 함수를 하나 제시하시오(구간에서 0을 여러 번 지나는 \(f\) — 구체적으로).

이 문제가 빌려 쓰는 정리 — 중간값 정리

닫힌구간에서 연속인 함수가 양 끝에서 서로 다른 부호를 가지면 그 사이에서

0이 되는 점이 존재한다. 이 과정에서는 증명 없이 인정하고 쓰며, 인용 서식은

S5주차 문제 18에서 익혔다 — 연속성, 양 끝 값의 부호, 정리 적용, 결론의 순서다.

힌트

(b)에서 필요한 것은 근이 여럿인 함수다. 근을 먼저 정하고 그 근들로 인수분해된

다항식을 쓴 다음, 양 끝 부호가 조건과 맞는지 계산해 확인한다. 근이 하나뿐인

함수를 제시하면 반례가 되지 않는다.

도전 ●●●#

15. 나눗셈 정리의 유일성: “정수 \(a\)와 양의 정수 \(b\)에 대해, \(a = bq + r\)이고 \(0 \le r < b\)인 정수 \(q, r\)은 유일하다”를 증명하시오 (존재는 이미 안다고 가정 — 1권 33주차 예제 2.2).

힌트

두 표현을 빼면 한쪽은 \(b\)의 배수이고 다른 쪽은 나머지들의 차다. 나머지 둘이

모두 \(0\) 이상 \(b\) 미만이면 그 차의 절댓값이 얼마 미만인지를 먼저 확정한다.

“\(b\)의 배수인데 절댓값이 \(b\)보다 작은 정수”가 무엇인지가 결정타다.

16. 항등식 계수의 유일성: “모든 실수 \(x\)에 대해 \(ax + b = cx + d\)이면 \(a = c\)이고 \(b = d\)이다”를 증명하시오.

힌트

가정은 전칭 문장이므로 특수화할 권리가 있다(S7주차). 한 번의 특수화로

미지수 하나만 남게 하려면 어떤 값을 넣어야 하는가. 그 값을 넣어 하나를 얻은 뒤,

두 번째 값으로 나머지를 뽑는다.

17. 유일성으로 값 결정: 함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 모든 \(x, y\)에 대해 \(f(x + y) = f(x) + f(y)\)이고 \(f(1) = 3\)이라 하자. (a) \(f(0)\)이 유일하게 결정됨을 보이고 그 값을 구하시오 (S7주차 문제 9(a)). (b) 모든 정수 \(n\)에 대해 \(f(n) = 3n\)이 강제됨을 보이시오.

힌트

(a)는 산출 등식에 \(f(0)\)만 남게 하는 값을 넣는다. (b)는 양의 정수에서

특수화 사슬(S7주차 문제 19)이나 귀납으로 올라가고, 음의 정수는 S7주차

문제 9(b)의 결과를 부품으로 쓴다. 0은 (a)가 이미 처리했다.

18. (얼굴 선택 종합) 명제 “실수 \(a, b\)에 대해, \(\max\{a, b\}\)는 유일하다” — 즉 “\(a\)와 \(b\) 중 크지 않은 쪽이 아닌 것”이 하나로 정해짐을 논하시오. (\(a = b\)일 때 “둘 다 max”인 상황이 유일성을 해치지 않는 이유까지)

이 문제가 쓰는 정의 — 두 원소 집합의 최대원소

실수 \(a, b\)에 대해 \(M\)이 \(\{a, b\}\)의 최대원소라는 것은, \(M \in \{a, b\}\)이고

\(M \ge a\)이며 \(M \ge b\)라는 뜻이다. 예제 2.2의 최소원소 정의에서 집합을

두 원소로 좁히고 부등호를 뒤집은 것이다.

힌트

증명 자체는 문제 8의 두 원소판이다. 진짜 물음은 뒤쪽이다 — \(a = b\)일 때

최대원소의 자격을 갖는 “대상”이 몇 개이고 그것들의 “값”이 몇 개인지를

나누어 세어 본다. 유일성이 어느 쪽에 대한 주장인지가 답이다.

19. (설계) “정확히 하나”의 완전 증명: 명제 “임의의 실수 \(a\)에 대해, \(x^3 = a\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다”를 존재\(\cdot\)유일 2부로 완성하시오. (S5주차 문제 7에서 예고한 완성형)

힌트

존재는 문제 14의 상자에 적힌 정리를 인용한다 — 인용 서식 네 걸음을 그대로 따른다.

유일은 얼굴 1이고, 세제곱의 차를 인수분해하면 둘째 인수가 남는다. 그 인수가

0 이상이라는 것과 0이 되는 경우가 언제인지는 S3주차 문제 18에서 이미 확인했다.

20. (서술) (a) “존재와 유일은 독립된 두 책임”을 문제 14(존재하나 유일 아님)와 문제 6(유일하나 존재 안 함)의 대비로 세 문장 이내 논하시오. (b) 두 얼굴의 선택 기준을 예제 2.1\(\cdot\)2.2와 문제 13으로 뒷받침하고, “얼굴 2가 실제로 다름 가정을 안 쓰면 얼굴 1로 정리하라”는 S11주차 점검이 여기 어떻게 적용되는지 두 문장으로.

힌트

(a)의 축은 두 반례가 서로 반대 방향이라는 것이다 — 한쪽은 존재만, 다른 쪽은

유일만 성립한다. 두 방향이 다 있으면 어느 쪽도 다른 쪽을 함의하지 않는다.

(b)는 판정법 표의 첫째\(\cdot\)넷째\(\cdot\)다섯째 줄을 예제와 문제에 하나씩 배정하면 된다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

요일

할 일

1일차

원서 Solow 11장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)

2일차

교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다

3일차

원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 11장의 연습문제 몇 개를 직접 시도

4일차

교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항

5일차

백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 11장은 유일성 방법을 직접형과 간접형으로 나누어 짧게 제시하고 지나가므로, 교안 §1.4의 판정법 표를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서의 각 예제가 어느 얼굴이며 왜 그 얼굴이 선택되었는지를 매번 짚을 수 있다. 원서 예제 중 간접형으로 적힌 것에 판정법 다섯째 줄을 걸어 보는 것도 3일차의 과제로 삼을 만하다.

1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 정의 13.1, 정의 13.2, 판정법 표(§1.4). 그 상태에서 예제 2.1을 판정부터 마무리 선언까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • “정확히 하나”를 존재와 유일 두 책임으로 분해해 쓰고, 두 파트가 각각 빠졌을 때 남는 진술(“하나 이상” / “많아야 하나”)을 적었다.

  • 유일 파트가 존재를 전제하지 않는 이유를 조건문의 공허 참으로 설명했다.

  • 두 얼굴의 서식을 걸음 번호와 함께 쓰고, 얼굴 2의 걸음 ③을 빼면 무엇이 무너지는지 §1.3 삭제 실험 1로 설명했다.

  • 얼굴 판정법 다섯 줄을 재현하고, 확인 5의 세 명제를 표만 보고 다시 판정했다.

  • 예제 2.1을 (존재)/(유일) 분리로 처음부터 끝까지 재현하고, \(a \neq 0\)이 두 파트에서 각각 무슨 일을 하는지 짚었다.

  • 예제 2.3의 두 답안을 진단하고 답안 1을 수리했다 — “양의”라는 자격이 어느 줄을 떠받치는지 포함.

  • 문제 13(극한의 유일성)을 얼굴 2 서식으로 완주하고, 다름 가정이 소비된 줄을 지목했다.

  • 유일성 신호 여섯 줄을 쓰고, 정관사가 유일성 증명을 요구하는 이유를 한 문장으로 말했다.

  • 원서 11장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

무엇을 증명해야 하는지 모르겠다

§1.5 신호 표 — 명제의 낱말을 먼저 읽어 필요한 파트를 정한다

어느 얼굴로 시작할지 모르겠다

§1.4 판정법 표를 위에서부터 훑는다. 걸리는 줄이 없으면 얼굴 1로 시작해 보고, 막히는 지점에서 무엇이 필요한지 확인한다

유일 파트의 첫 문장이 안 나온다

예제 2.1의 2단계 — 첫 문장은 창작이 아니라 정의 13.2의 걸음 ①이다

두 조건을 확보했는데 결합이 안 된다

예제 2.2 확인 15 — 조건이 전칭이면 상대의 값을 특수화해 넣는 것이 결합이다

개시문에 다름을 얹었는데 끝맺음이 안 된다

§1.3 삭제 실험 1 — 얼굴 2는 충돌 두 당사자를 지목해야 닫힌다. 지목할 상대가 없으면 애초에 얼굴 1이었다

얼굴 2로 썼는데 군더더기 같다

§1.4 다섯째 줄 — 다름 가정이 쓰인 줄을 세어 0이면 얼굴 1로 정리한다

존재 파트에서 증인이 안 떠오른다

예제 2.1 확인 8 — 연습장에서 조건식을 역산한다(S5주차 공급로 ①). 역산이 안 되면 기성 존재 정리를 찾는다(공급로 ③)

유일하다고 증명했는데 뭔가 이상하다

예제 2.3 답안 2 — 유일성을 주장하기 전에 해를 실제로 몇 개 찾아보는 정찰을 먼저 한다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) 두 (2) 1 (3) \(5 - b\) (4) \((5 - b) + b = 5\) (5) \(x_1 - x_2\) (6) 가역(양변에서 \(b\)를 더하거나 빼는 조작을 되돌릴 수 있다 — 곧 소거법칙)

※ (5)의 유도: \(x_1 + b = 5\)와 \(x_2 + b = 5\)를 변끼리 빼면 좌변은 \((x_1 + b) - (x_2 + b) = x_1 - x_2\)이고 우변은 \(5 - 5 = 0\)이다. \(b\)가 상쇄되는 것이 이 유일성의 전부이며, 그래서 (6)의 답이 \(b\)의 값과 무관한 성질이 된다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 2 (2) \(e_2\) (3) \(e_1 e_2 = e_1\) (4) ② (5) 없다 (6) 다섯 (7) 1 (8) 두

※ (4)가 산지 ②인 이유: 충돌한 두 문장이 “유도된 \(e_1 = e_2\)”와 “개시문의 \(e_1 \neq e_2\)”이고 둘 다 개시 가정 쪽에서 나왔다(S11주차 §1.5). 개시문 밖의 이미 아는 참과 부딪힌 것이 아니므로 ③이 아니다. ※ (5)~(8)이 이 훈련의 요점이다. 특수화 두 번과 교환법칙만으로 상등이 나왔으므로 다름 가정은 한 줄도 쓰이지 않았다. 얼굴 1로 정리하면 개시문의 “그리고 \(e_1 \neq e_2\)라 가정하자” 부분과 모순 선언 줄이 사라지고, 마지막은 “따라서 \(e_1 = e_2\)이고 조건을 만족하는 실수는 많아야 하나다”가 된다. ※ 문제 9(덧셈 항등원)와 비교해 두면 좋다. 두 문제 모두 “각각을 상대에게 특수화한다”는 같은 절차이고, 달라지는 것은 연산 기호뿐이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) §1.5 표의 첫째 줄 — “정확히 하나”이므로 존재와 유일 두 파트가 모두 필요하다. (2) 얼굴 1. 근거는 판정법 첫째 줄이다 — 조건 \(a + x = 0\)이 등식이므로 두 등식을 빼면 곧바로 상등이 나오고, 다름 가정을 얹을 이유가 없다. (3) “(존재) \(x_0 = -a\)로 두자. \(a\)가 실수이므로 \(-a\)도 실수이고, \(a + x_0 = a + (-a) = 0\)이므로 \(x_0\)은 조건을 만족한다.” (4) “(유일) \(a + x_1 = 0\)이고 \(a + x_2 = 0\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자. 두 식을 변끼리 빼면 \(x_1 - x_2 = 0\)이고, 따라서 \(x_1 = x_2\)이다.” (5) “존재와 유일이 모두 보였으므로 \(a + x = 0\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다. \(\blacksquare\) 마무리의 근거는 정의 13.1(두 파트를 합치면 ‘정확히 하나’)이다.”

※ 이 훈련의 요점은 계산이 아니라 파트 판독이 얼굴 판정보다 먼저라는 순서다. 파트를 잘못 읽으면 옳은 얼굴로 옳은 계산을 하고도 절반짜리 답안이 된다. ※ 이 명제가 문제 2(a)의 “덧셈 역원의 유일성”이다. 문제 2에서는 판정만 했고 여기서 증명이 완성되었다.

문제 1#

접근. 네 상자를 재생하는 문제이므로, 외운 문장을 그대로 옮기기보다 각 상자가 무엇을 막아 주는지 한 줄씩 덧붙이며 적는 쪽이 재현률이 높다. 분해는 무엇을 증명해야 하는지를, 두 얼굴은 유일 파트를 어떻게 시작하는지를, 신호 표는 명제를 읽는 법을, 공허 참은 두 책임이 독립인 이유를 관리한다.

풀이. 분해. “\(P\)를 만족하는 \(x\)가 정확히 하나 존재한다”는 두 주장의 곱이다. (존재) \(P(x)\)인 \(x\)가 적어도 하나 있다 — 증인을 제시하고 조건을 전수 검증한다. (유일) \(P(x)\)인 \(x\)는 많아야 하나다 — 둘을 잡아 같음을 보인다. 두 파트는 독립된 증명 책임이고 답안에서 문단을 분리해 적는다. 존재만 쓰면 “하나 이상”까지, 유일만 쓰면 “많아야 하나”까지가 증명된 것이다.

얼굴 1(직접 유일성). ① “\(P(x_1)\)이고 \(P(x_2)\)라 하자” — 자격은 “\(P\)를 만족”뿐이고 서로 다르다고 가정하지 않는다. ② 두 조건을 결합해 \(x_1 = x_2\)를 유도한다. ③ “따라서 많아야 하나다”로 닫는다.

얼굴 2(간접 유일성). ① “\(P(x_1)\), \(P(x_2)\), 그리고 \(x_1 \neq x_2\)라 가정하자.” ② 전진해 모순을 만든다. ③ 충돌한 두 문장을 둘 다 지목하고 닫는다. 걸음 ③이 없으면 개시 가정이 회수되지 않아 증명이 닫히지 않는다.

신호. “정확히 하나”\(\cdot\)”유일한”\(\cdot\)”하나뿐인”은 두 파트를, “많아야 하나”와 “그런 \(x\)는 …일 수밖에 없다”는 유일 파트만을, “적어도 하나”\(\cdot\)”존재한다”는 존재 파트만을 부른다. 정관사(“그 극한”, “그 항등원”)는 그 표기가 정당한지를 유일성이 떠받친다는 신호이고, well-defined는 표현을 바꿔도 값이 하나로 정해진다는 뜻의 유일성이다.

유일성은 존재를 전제하지 않는다. 유일 파트가 증명하는 문장은 “\(x_1\)과 \(x_2\)가 둘 다 \(P\)를 만족하면 \(x_1 = x_2\)”라는 조건문이다. \(P\)를 만족하는 것이 없으면 가정이 결코 성립하지 않아 조건문은 공허하게 참이 된다. 그래서 유일 파트는 존재 파트와 순서도 무관하게 독립으로 증명할 수 있다.

복기. 이 다섯 덩어리는 서로 독립이 아니다. 분해가 두 파트를 만들고, 신호가 어느 파트를 쓸지 정하고, 두 얼굴이 유일 파트의 시작 문장을 정하고, 공허 참이 왜 두 파트를 따로 써야 하는지를 정당화한다. 하나를 잊었을 때 나머지에서 복구하는 길이 이 연결이다.

문제 2#

접근. 명제가 참인지는 묻지 않았다 — 무엇을 증명해야 하는지만 판정한다. §1.5 신호 표를 위에서부터 훑으며 문장 안의 낱말 하나를 찾는다.

풀이. (a) 정확히 하나. “유일한 덧셈 역원을 갖는다”는 그런 역원이 있다는 것과 그것이 하나뿐이라는 것을 함께 주장한다 — 신호 표 첫째 줄. 실제로 훈련 3에서 두 파트를 모두 증명했다. (b) 적어도 하나. “존재한다”만 있으므로 존재 파트만 요구된다 — 신호 표 셋째 줄. 개수는 말하지 않았고, 실제로 해는 \(\sqrt2\)와 \(-\sqrt2\) 둘이다. (c) 많아야 하나. 신호 표 둘째 줄. 유일 파트만 요구되고, 존재는 요구되지 않는다. 실제로 실수 해는 0개이며 그래도 이 명제는 공허하게 참이다(문제 6). (d) 정확히 하나. 신호 표 첫째 줄. 존재는 2를 증인으로 제시하면 되고, 유일은 “\(p\)가 소수이고 짝수이면 \(p = 2\)”의 증명이다 — S11주차 문제 11이 그 증명이다.

복기. 네 문항의 판정은 전부 낱말 하나에서 나왔다: “유일한”, “존재한다”, “많아야 하나”, “정확히 하나”. 명제를 읽을 때 이 낱말들을 먼저 표시해 두면 증명 책임의 목록이 첫 줄에서 정해진다.

문제 3#

접근. 예제 2.1의 완성본 여섯 줄이 목표다. 재현의 성패는 계산이 아니라 두 파트를 분리했는지와 각 줄에 근거를 붙였는지에서 갈린다. 확인 12의 관찰을 각 파트 옆에 한 줄로 붙이면 재현이 끝난다.

풀이. (존재) \(x_0 = -\dfrac ba\)로 두자. \(a \neq 0\)이므로 이 값은 실수이다 [자격 검증 — 여기서 \(a \neq 0\)은 분모로 쓰인다]. 조건식에 넣으면 \(ax_0 + b = a\left(-\dfrac ba\right) + b = -b + b = 0\)이므로 \(x_0\)은 조건을 만족한다 [사건 검증, 근거 ③]. (유일, 얼굴 1) \(ax_1 + b = 0\)이고 \(ax_2 + b = 0\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자 [걸음 ① — 다름은 가정하지 않는다]. 두 식을 변끼리 빼면 \(b\)가 상쇄되어 \(a(x_1 - x_2) = 0\)이다 [근거 ③]. \(a \neq 0\)이므로 영인수 성질에 의해 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다 [근거 ④ — 여기서 \(a \neq 0\)은 소거의 근거로 쓰인다]. 존재와 유일이 모두 보였으므로 해는 정확히 하나 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 한 조건이 두 파트에서 다른 일을 한다는 관찰은 이 명제만의 특징이 아니다. 문제 11의 “양의”도, 문제 15의 “\(0 \le r < b\)”도 존재 파트와 유일 파트에서 각각 다른 역할을 맡는다. 조건을 하나 지웠을 때 어느 파트가 먼저 무너지는지를 물어보는 것이 답안을 검사하는 빠른 방법이다.

검산. \(a = 2\), \(b = 6\)이면 \(x_0 = -3\)이고 \(2(-3) + 6 = 0\) ✓. 유일 파트는 \(2x_1 + 6 = 0 = 2x_2 + 6\)에서 \(2(x_1 - x_2) = 0\), \(2 \neq 0\)이므로 \(x_1 = x_2\) ✓.

문제 4#

접근. 훈련 1은 예제 2.1의 소재만 바꾼 것이고, 훈련 2는 계산이 이미 다 되어 있어 마지막 점검 칸이 진짜 문제다. 훈련 3은 판정부터 스스로 해야 하므로 파트 판독 \(\to\) 얼굴 판정 \(\to\) 서식의 순서를 지킨다.

풀이. 위의 “빈칸 사다리 — 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3” 항목이 답이다. 자가 채점의 기준은 세 가지다. 훈련 1은 (6)에서 “가역”이나 “소거”라는 낱말이 나왔는가 — 나오지 않았다면 왜 \(b\)의 값이 유일성에 영향을 주지 않는지를 설명하지 못한 것이다. 훈련 2는 (5)에 “없다”라고 적었는가 — 여기서 다른 답이 나왔다면 다름 가정이 쓰였다고 착각한 줄이 어디인지 찾아 그 줄을 다시 읽는다. 훈련 3은 ③과 ④가 각각 완전한 문장으로 적혔는가 — 증인 제시만 하고 검증을 빼거나 개시문만 적고 상등 도착을 빼면 절반짜리다.

복기. 세 훈련의 지지대가 빠지는 순서는 수식 \(\to\) 근거 \(\to\) 판정이다. 백지에서 가장 먼저 무너지는 것은 대개 마지막에 배운 것, 곧 판정이다. 훈련 3에서 막혔다면 계산을 다시 보는 대신 §1.5와 §1.4의 두 표를 다시 읽는다.

문제 5#

접근. 두 답안의 병명이 다르다. 답안 1은 파트 하나가 통째로 빠진 것이고, 답안 2는 파트 누락에 더해 개시문 자체가 규격 위반이며 명제까지 거짓이다. 병명을 몇 개 적었는지가 이 문제의 채점 기준이다.

풀이. 답안 1 — 유일 파트 누락. 명제는 “정확히 하나”이므로 두 파트가 필요한데 존재 파트만 있다. 증명된 것은 “\(x^2 = 9\)인 양의 실수가 적어도 하나 있다”까지다. 존재 파트 자체는 흠이 없다 — 증인 3을 제시하고 \(3^2 = 9\)와 \(3 > 0\)을 모두 검증했다. 수리는 예제 2.3의 수리본대로 얼굴 1의 유일 파트를 붙이는 것이다.

답안 2 — 병명 셋. 첫째, 존재 파트가 없다. 둘째, 유일 파트의 개시문이 틀렸다 — 조건은 “\(x_1^3 = x_1\)”과 “\(x_2^3 = x_2\)”인데 답안은 주어지지 않은 등식 “\(x_1^3 = x_2^3\)”에서 출발했다. 셋째, 명제 자체가 거짓이다: \(x^3 - x = x(x-1)(x+1)\) 이므로 해는 \(0\), \(1\), \(-1\) 셋이다. 셋째 병명이 있으므로 수리할 답안이 없고, 할 일은 명제를 “\(x^3 = x\)인 실수 해는 셋이다”로 고쳐 적는 것이다.

복기. 답안 2의 개시문 오류는 결과가 우연히 맞는 경우가 많아 지나치기 쉽다. 예제 2.1에서 두 해가 각각 0과 같다는 조건에서 출발했을 때와 서로 등치했을 때 같은 식이 나온 것이 그 예다. 우연히 같아지는 경우가 있다는 것이 규격을 어겨도 된다는 뜻은 아니고, 여기서처럼 조건이 \(x\)를 포함하면 즉시 갈라진다.

문제 6#

접근. “많아야 하나”를 조건문으로 펴 적는 것에서 시작한다. 조건문은 가정이 거짓이면 참이므로(1권 8주차 진리표), 가정이 성립하는 경우가 하나도 없는지를 확인하면 끝난다. 1권 26주차 확인 7이 이 문제였다.

풀이. “\(x^2 = -1\)인 실수 해는 많아야 하나다”가 주장하는 것은 “\(x_1^2 = -1\)이고 \(x_2^2 = -1\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있으면 \(x_1 = x_2\)이다”라는 조건문이다. 그런데 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이고(1권 16주차 (W1)) \(-1 < 0\)이므로, \(x^2 = -1\)인 실수는 존재하지 않는다. 따라서 어떤 실수 \(x_1, x_2\)를 가져와도 “둘 다 해이다”라는 가정은 거짓이고, 가정이 거짓인 조건문은 참이다. 곧 이 명제는 참이다. \(\blacksquare\)

한편 “\(x^2 = -1\)인 실수가 존재한다”는 같은 이유로 거짓이다. 두 명제의 진위가 갈린다는 것이 존재와 유일이 서로를 함의하지 않는다는 사실의 절반이다 (나머지 절반은 문제 14가 준다).

복기. 유일성 증명이 실제로 무엇을 증명하는지 헷갈릴 때 이 문제로 돌아온다. 유일 파트는 대상을 세는 일이 아니라 조건문 하나를 증명하는 일이고, 조건문이므로 전건이 비어 있으면 공허하게 참이 된다. 이 성질 덕분에 유일 파트를 존재 파트보다 먼저 써도 되고, 존재가 아직 확보되지 않은 상태에서도 쓸 수 있다.

문제 7#

접근. 예제 2.1에서 우변만 0에서 \(c\)로 바뀌었다. 존재 파트는 조건식을 \(x\)에 대해 역산하고, 유일 파트는 두 식을 뺄 때 우변끼리도 상쇄되는지 확인하면 예제와 같은 계산이 된다.

풀이. (존재) \(x_0 = \dfrac{c - b}a\)로 두자. \(a \neq 0\)이므로 이 값은 실수이다 [자격 검증]. 조건식에 넣으면

\[ a x_0 + b = a \cdot \frac{c-b}a + b = (c - b) + b = c \]

이므로 \(x_0\)은 조건을 만족한다 [사건 검증, 근거 ③]. (유일, 얼굴 1) \(ax_1 + b = c\)이고 \(ax_2 + b = c\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자 [걸음 ① — 조건이 등식이므로 판정법 첫째 줄, 다름은 가정하지 않는다]. 두 식을 변끼리 빼면 좌변은 \(a(x_1 - x_2)\)이고 우변은 \(c - c = 0\)이므로 \(a(x_1 - x_2) = 0\)이다 [근거 ③]. \(a \neq 0\)이므로 영인수 성질에 의해 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다 [근거 ④]. 존재와 유일이 모두 보였으므로 해는 정확히 하나 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 일반화가 증명을 어렵게 만들지 않은 사례다. 상수 하나가 문자로 바뀌었을 뿐이고 유일 파트는 글자까지 같다 — 우변이 무엇이든 두 식을 빼면 사라지기 때문이다. 유일성을 실제로 떠받치는 것은 우변이 아니라 \(a \neq 0\)이라는 것이 이 비교에서 확인된다.

검산. \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 7\)이면 \(x_0 = 2\)이고 \(3 \cdot 2 + 1 = 7\) ✓.

문제 8#

접근. 예제 2.2의 부등호 방향만 뒤집으면 된다. 예제와 마찬가지로 얼굴 1이므로 개시문에 다름을 얹지 않고, 두 최대성을 각각 상대에게 특수화해 반대칭성으로 직행한다. 비교 한 줄의 축은 판정법 다섯째 줄이다.

풀이. 증명 (얼굴 1). \(M_1\)과 \(M_2\)가 모두 \(S\)의 최대원소라 하자 [걸음 ① — 판정법 둘째 줄에 따라 얼굴 1, 다름은 가정하지 않는다]. \(M_1\)이 최대이므로 “모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M_1\)”이고, 여기에 \(x = M_2\)를 특수화한다. 자격은 \(M_2 \in S\)이며 이것은 \(M_2\)가 최대원소라는 조건의 앞부분에서 나온다. 따라서 \(M_2 \le M_1\)이다. \(M_2\)가 최대이므로 “모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M_2\)”이고, 여기에 \(x = M_1\)을 특수화한다. 자격은 \(M_1 \in S\)이며 이것은 \(M_1\)이 최대원소라는 조건의 앞부분에서 나온다. 따라서 \(M_1 \le M_2\)이다 [걸음 ② — 조건의 이중 발동]. 두 부등식과 반대칭성(근거 ④)에 의해 \(M_1 = M_2\)이다. 따라서 \(S\)의 최대원소는 많아야 하나다. \(\blacksquare\)

얼굴 1이 더 깔끔한 이유 한 줄. 이 명제를 얼굴 2로 적으면 개시문의 “\(M_1 \neq M_2\)라 가정하자”와 마지막의 모순 선언이 늘어나는데 그 두 줄이 몸통의 계산에 한 번도 쓰이지 않으므로, 판정법 다섯째 줄(무늬만 귀류 점검)에 따라 소비되지 않는 가정을 제거한 얼굴 1이 정확한 형태다. §1.3 삭제 실험 1이 검사한 min판 답안이 정확히 그 얼굴 2 형태였고, 거기서도 다름 가정이 쓰인 줄은 없었다.

복기. 최대와 최소는 부등호 방향만 다르므로 증명이 대칭이다. 이런 쌍에서는 한쪽을 완전히 적고 다른 쪽은 “부등호를 뒤집어 같은 절차”라고 적고 싶어지는데, 답안에서는 그 축약을 쓰지 않고 두 특수화를 각각 적는다 — 자격 검증이 어느 조건에서 나오는지가 방향마다 다르게 읽히기 때문이다.

문제 9#

접근. 조건이 전칭 문장이므로 판정법 셋째 줄, 곧 얼굴 1이다. 특수화할 값이 둘 있다는 것이 이 문제의 핵심이다 — \(e_1\)의 조건에는 \(x = e_2\)를, \(e_2\)의 조건에는 \(x = e_1\)을 넣는다. 같은 식 \(e_1 + e_2\)가 두 번 나오면 그 식이 두 값을 잇는다.

풀이. 증명 (얼굴 1). \(e_1\)과 \(e_2\)가 모두 조건을 만족한다고 하자. 곧 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x + e_1 = x\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x + e_2 = x\)이다 [걸음 ① — 다름은 가정하지 않는다].

첫 전칭 사실에 \(x = e_2\)를 특수화한다. 자격은 “\(e_2\)가 실수”이고 이는 가정에서 주어졌다. 얻는 사실은

\[ e_2 + e_1 = e_2 \]

이다. 둘째 전칭 사실에 \(x = e_1\)을 특수화하면 같은 방식으로

\[ e_1 + e_2 = e_1 \]

을 얻는다 [걸음 ② — 조건의 이중 발동, S7주차 세 걸음]. 덧셈의 교환법칙에 의해 \(e_2 + e_1 = e_1 + e_2\)이므로, 두 등식의 좌변이 같다. 따라서

\[ e_1 = e_1 + e_2 = e_2 + e_1 = e_2 \]

이고 \(e_1 = e_2\)이다 [근거 ③ — 등식의 추이성]. 따라서 덧셈 항등원은 많아야 하나다. \(\blacksquare\)

복기. 이 논법의 이름은 “두 항등원을 서로 만나게 한다”이다. 각자가 상대를 자기로 만드는 성질을 갖고 있으므로, 둘을 한 식 \(e_1 + e_2\) 안에 넣으면 그 식이 \(e_1\)이기도 하고 \(e_2\)이기도 하게 된다. 연산 기호를 바꿔도 그대로 작동하며 (훈련 2가 곱셈판이다), 결합법칙만 있으면 역원의 유일성으로도 확장된다 — C18주차에서 군 공리 위의 첫 정리가 되는 것이 이 구조다. S19주차 문제 16(b)은 이 유일성이 공리가 아니라 정리임을 논하는 문제이고, 그 근거가 여기 있다.

검산. 실수에서 항등원은 0뿐이다. 위 논법에 \(e_1 = 0\)을 넣으면 \(e_2 = 0 + e_2 = 0\)이 되어 결론과 맞는다 ✓.

문제 10#

접근. 지적할 곳이 둘이다. “유일성만 보이면 된다”는 판단이 존재 파트를 삭제했다는 것이 하나이고, 개시문의 등식이 어디서 왔는지가 다른 하나다. 후자는 확인 10에서 경고한 자리다.

풀이. 병명 1 — 존재 파트 방기. 명제는 “정확히 하나”이므로 정의 13.1에 따라 두 파트가 필요하다. 유일 파트만으로 증명되는 것은 “많아야 하나”까지이고, 해가 0개일 가능성이 배제되지 않는다. “유일성만 보이면 된다”는 판단 자체가 틀렸다.

병명 2 — 개시문의 등식이 주어지지 않았다. 조건은 “\(2x_1 + 6 = 0\)”과 “\(2x_2 + 6 = 0\)”인데 답안은 “\(2x_1 + 6 = 2x_2 + 6\)”에서 출발했다. 이 등식은 두 조건에서 따라 나오는 결과이지 가정이 아니므로, 답안에는 두 조건을 먼저 적고 그로부터 이 등식을 유도하는 줄이 있어야 한다.

수리. (존재) \(x_0 = -3\)으로 두자. \(-3\)은 실수이고 \(2(-3) + 6 = -6 + 6 = 0\) 이므로 조건을 만족한다 [사건 검증, 근거 ③]. (유일, 얼굴 1) \(2x_1 + 6 = 0\)이고 \(2x_2 + 6 = 0\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자. 두 식을 변끼리 빼면 \(2(x_1 - x_2) = 0\)이고, \(2 \neq 0\)이므로 영인수 성질에 의해 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다 [근거 ④]. 존재와 유일이 모두 보였으므로 해는 정확히 하나 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 이 답안이 그럴듯한 이유는 병명 2가 결과에 영향을 주지 않았기 때문이다 — 두 조건에서 유도되는 등식과 답안이 가정한 등식이 우연히 같다. 그러나 예제 2.3 답안 2에서는 같은 위반이 곧바로 거짓 결론으로 이어졌다. 규격을 지키는 이유는 결과가 달라질 때를 대비하는 것이고, 달라지는지 여부는 미리 알 수 없다.

문제 11#

접근. 존재 파트는 기성 존재 정리를 인용하는 자리이고(S5주차 공급로 ③), 인용하는 정리의 이름을 정확히 적는 것이 절반이다. 유일 파트는 예제 2.3의 수리본에서 9를 \(a\)로 바꾼 것이다.

풀이. (존재) \(a > 0\)이므로 1권 16주차의 “인정하고 쓰는 사실 — 제곱근” 상자에 의해 \(x^2 = a\)인 양의 실수가 존재한다. 그 값을 \(\sqrt a\)로 적는다 [근거 ④; 기성 존재 사실의 인용 서식은 S5주차 문제 18에서 익혔다]. 그 상자는 유일성까지 함께 인정했지만, 이번 주는 존재만 빌려 쓰고 유일 파트는 아래에서 다시 증명한다 — 인용 범위를 밝히는 이 한 줄이 답안의 몫이다. (유일, 얼굴 1) \(x_1^2 = a\)이고 \(x_2^2 = a\)인 양의 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자 [걸음 ① — 조건이 등식이므로 판정법 첫째 줄]. 두 식을 변끼리 빼면 \(x_1^2 - x_2^2 = 0\)이고, 인수분해하면

\[ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0 \]

이다 [근거 ③]. \(x_1 > 0\)이고 \(x_2 > 0\)이므로 \(x_1 + x_2 > 0\)이고 (1권 16주차 (W4), 근거 ②), 따라서 \(x_1 + x_2 \neq 0\)이다. 곱이 0이므로 영인수 성질에 의해 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다 [근거 ④]. 존재와 유일이 모두 보였으므로 조건을 만족하는 양의 실수는 정확히 하나다. \(\blacksquare\)

복기. 유일성을 떠받친 줄은 \(x_1 + x_2 \neq 0\)이고, 그것을 보장한 것은 “양의”라는 자격이다. 자격을 “실수”로 넓히면 \(x_1 = -x_2\)인 경우가 살아나 유일성이 무너지고 실제로 해는 둘이 된다. 조건의 한 조각이 유일 파트의 특정 한 줄과 짝을 이루는 구조는 문제 15의 “\(0 \le r < b\)”에서 다시 나타난다. ※ S17주차 문제 18이 이 명제를 종합 시험 문항으로 다시 낸다.

검산. \(a = 25\)이면 양의 해는 5뿐이고 \(-5\)는 자격 밖이다 ✓.

문제 12#

접근. 두 기약 표현이 같다는 등식에서 분모를 없애면 정수 등식 하나가 나온다. 그 등식을 나누어떨어짐으로 읽으면 상자의 사실(서로소 형 유클리드 보조정리)을 두 번 — 한 번은 그대로, 한 번은 역할을 바꿔 — 쓸 자리가 보인다. 두 분모가 서로를 나누고 둘 다 양수라는 데까지 가면 끝난다. 얼굴은 1이다(조건이 등식).

풀이. 증명 (얼굴 1). 유리수 \(q\)가 두 기약 표현 \(q = \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}\)를 갖는다고 하자. 여기서 \(a_i, b_i\)는 정수이고 \(b_1, b_2 > 0\)이며 \(\gcd(a_1, b_1) = \gcd(a_2, b_2) = 1\)이다 [걸음 ① — 다름은 가정하지 않는다].

양변에 \(b_1 b_2\)를 곱하면 [근거 ③]

\[ a_1 b_2 = a_2 b_1 \]

을 얻는다. 이 등식을 오른쪽에서 읽으면 \(b_1\)은 \(a_1 b_2\)를 나눈다. 그런데 \(\gcd(a_1, b_1) = 1\)이므로 상자의 사실에 의해 \(b_1 \mid b_2\)이다 [근거 ④]. 왼쪽에서 읽으면 \(b_2\)는 \(a_2 b_1\)을 나누고 \(\gcd(a_2, b_2) = 1\)이므로 같은 사실에 의해 \(b_2 \mid b_1\)이다 [근거 ④ — 역할을 바꿔 한 번 더].

\(b_1\)과 \(b_2\)가 서로를 나누고 둘 다 양수이므로 \(b_1 \le b_2\)이고 \(b_2 \le b_1\)이다 [근거 ④ — 나누어떨어짐의 크기 비교: 양의 정수 \(m, n\)에 대해 \(m \mid n\)이면 \(n = mk\)인 정수 \(k\)가 있고 \(n > 0\), \(m > 0\)이므로 \(k \ge 1\), 따라서 \(n \ge m\)이다. 양수 조건이 반드시 필요하다 — \(3 \mid 0\)이지만 \(3 \le 0\)은 거짓이다]. 반대칭성에 의해 \(b_1 = b_2\)이다 [근거 ④]. 이것을 \(a_1 b_2 = a_2 b_1\)에 넣으면 \(a_1 b_1 = a_2 b_1\)이고 \(b_1 > 0\)이라 \(b_1 \neq 0\)이므로 양변을 \(b_1\)로 나누어 \(a_1 = a_2\)를 얻는다 [근거 ③]. 따라서 두 표현은 같고, 조건을 만족하는 기약 표현은 많아야 하나다. \(\blacksquare\)

well-defined와의 관계 한 줄. 유리수를 입력으로 받아 “기약 표현의 분자”를 출력하는 규칙이 함수가 되려면 같은 유리수에 두 개의 출력이 붙는 일이 없어야 하는데, 방금 증명한 유일성이 정확히 그것을 보장한다 — 유일성이 정의를 떠받치는 첫 사례다.

복기. 이 증명에서 상자의 사실이 두 번 쓰였고 두 번 다 “서로소이므로 상대에게 넘어간다”는 같은 모양이었다. 정수론의 유일성 증명이 대칭적으로 두 번 같은 부품을 쓰는 이 형태는 C15주차의 산술의 기본정리에서 다시 나타난다. S15주차 문제 10이 소수판의 소거법 증명을 다루고, 서로소판의 완전 증명은 C15주차의 베주 항등식과 함께 나온다.

검산. \(q = \frac{6}{4}\)은 기약이 아니고, 기약 표현은 \(\frac32\) 하나다. \(\frac{-3}{-2}\)는 분모가 양수라는 조건에 걸려 자격 밖이다 ✓ — 조건 “\(b > 0\)”이 없으면 부호를 뒤집은 표현이 살아나 유일성이 무너진다.

문제 13#

접근. 확인 1이 이 문제의 설계였다. 얼굴 2를 고르는 이유는 판정법 넷째 줄이다 — 두 극한 사이 거리의 절반을 \(\varepsilon\)으로 삼으려면 그 값이 양수라는 자격이 필요하고, 그 자격이 두 극한이 다르다는 개시 가정에서 곧바로 나온다. 문제가 “얼굴 2로”라고 지정한 것도 그래서다. 두 문턱을 동시에 넘기려면 큰 쪽을 택하고, 마지막에 삼각부등식으로 두 극한 사이 거리를 두 근방 반지름의 합으로 위에서 누른다.

풀이. 증명 (얼굴 2). \((a_n)\)이 \(L\)로 수렴하고 \(L'\)로도 수렴하며 \(L \neq L'\)이라 가정하자 [걸음 ① — 개시 선언, 판정법 넷째 줄].

\(\varepsilon = \dfrac{|L - L'|}{2}\)로 두자. 개시 가정 \(L \neq L'\)에 의해 \(|L - L'| > 0\)이므로 \(\varepsilon > 0\)이다 [특수화의 자격 검증 — 개시 가정이 여기서 소비된다].

수렴의 정의(1권 45주차 정의 45.1)를 \(L\) 쪽에 이 \(\varepsilon\)으로 발동하면, \(n > N_1\)인 모든 \(n\)에서 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이 되는 양의 정수 \(N_1\)을 얻는다. \(L'\) 쪽에 같은 \(\varepsilon\)으로 발동하면 \(n > N_2\)인 모든 \(n\)에서 \(|a_n - L'| < \varepsilon\)이 되는 \(N_2\)를 얻는다 [걸음 ② — 특수화 두 번, 근거 ①]. \(N = \max\{N_1, N_2\}\)로 두고 \(n = N + 1\)을 택하면 이 \(n\)은 두 문턱을 모두 넘으므로 두 부등식이 동시에 성립한다.

첫 부등식은 \(|L - a_n| = |-(a_n - L)| = |a_n - L|\)이므로(절댓값의 대칭성 — 1권 17주차 문제 4, 근거 ④) \(|L - a_n| < \varepsilon\)으로 고쳐 적을 수 있다. 이제 삼각부등식(1권 17주차 문제 12, 근거 ④)에 의해

\[ |L - L'| \le |L - a_n| + |a_n - L'| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = |L - L'| \]

이다. 곧 \(|L - L'| < |L - L'|\)이 되어, 유도된 이 부등식이 순서의 비반사성 (“어떤 실수도 자기 자신보다 작지 않다”)과 충돌한다 [걸음 ③ — 모순 명시, 산지 ③]. 따라서 \(L = L'\)이고, 극한은 많아야 하나다. \(\blacksquare\)

복기. 개시 가정이 소비된 줄은 \(\varepsilon > 0\)을 확인하는 한 줄뿐이다. 그 한 줄이 없으면 이 \(\varepsilon\)의 특수화가 시작되지 않으므로, 다름 가정이 실제로 소비되었고 이 답안은 판정법 다섯째 줄의 점검을 통과하는 얼굴 2다. (§1.4가 적어 둔 대로 이 명제 자체는 얼굴 1로도 닫히지만, 그 길은 S7주차 문제 17을 한 번 더 부르고 줄이 늘어난다.) 다름 가정이 한 줄도 쓰이지 않아 얼굴 1로 정리했던 예제 2.2\(\cdot\)훈련 2와 정확히 반대 사례이며, 두 얼굴이 언제 갈라지는지를 한 쌍으로 보여 준다. ※ 1권 45주차 문제 11이 이 명제를 이미 증명했고, 여기서 달라진 것은 개시문과 산지 표기를 갖춘 서식이다. 이 유일성이 확보되었기에 1권 46주차가 “그 극한”이라는 정관사 표기를 쓸 수 있다 — §1.5 넷째 줄이 말한 정당화가 이것이다.

검산. \(\varepsilon\)을 거리의 절반보다 크게 잡으면 두 근방이 겹쳐 충돌이 일어나지 않는다. 절반이 최대라는 것은 \(2\varepsilon = |L - L'|\)이라는 마지막 등호에서 확인된다 ✓.

문제 14#

접근. (a)는 이름만 묻는다. (b)에서 필요한 것은 근이 여럿인 함수이므로, 근을 먼저 정하고 그 근들로 인수분해된 다항식을 쓴 다음 양 끝 부호가 조건과 맞는지 계산으로 확인한다. 근이 하나뿐인 함수는 반례가 되지 않는다.

풀이. (a) 중간값 정리다. 이 정리가 보장하는 것은 0이 되는 점의 존재뿐이고 개수에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.

(b) 반례로

\[ f(x) = 8\left(x - \tfrac14\right)\left(x - \tfrac12\right)\left(x - \tfrac34\right) \]

을 택한다. 이 함수는 다항함수이므로 \([0, 1]\)에서 연속이다. 근은 \(\tfrac14, \tfrac12, \tfrac34\) 셋이고 모두 \([0,1]\) 안에 있으므로 \(f(c) = 0\)인 \(c\)가 유일하지 않다. 양 끝 부호를 계산해 가정을 확인한다.

\[ f(0) = 8 \cdot \left(-\tfrac14\right)\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac34\right) = 8 \cdot \left(-\tfrac{3}{32}\right) = -\tfrac34 < 0 \]
\[ f(1) = 8 \cdot \tfrac34 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac14 = 8 \cdot \tfrac{3}{32} = \tfrac34 > 0 \]

이므로 \(f(0) < 0 < f(1)\)이 성립한다. 곧 이 \(f\)는 가정을 만족하면서 결론의 유일성을 만족하지 않으므로, 존재는 보장되어도 유일성은 보장되지 않는다. \(\blacksquare\)

복기. 이 문제와 문제 6이 한 쌍이다. 문제 6은 유일하되 존재하지 않는 예를, 이 문제는 존재하되 유일하지 않은 예를 준다. 두 방향의 반례가 모두 있으므로 어느 쪽 증명도 다른 쪽을 함의하지 않는다 — 문제 20(a)이 이 대비를 문장으로 만드는 문제다. 유일성을 얻으려면 단조성 같은 조건이 추가로 필요하다.

검산. \(f\left(\tfrac12\right) = 0\)이고 \(f\left(\tfrac14\right) = 0\)이므로 근이 둘 이상임이 직접 확인된다 ✓. 근이 하나뿐인 함수(예를 들어 \(f(x) = 2x - 1\))를 제시했다면 반례가 되지 않는다는 점에 주의한다.

문제 15#

접근. 얼굴 2로 간다. 두 표현을 빼면 한쪽은 \(b\)의 배수이고 다른 쪽은 나머지들의 차다. 나머지 둘이 모두 \(0\) 이상 \(b\) 미만이면 그 차의 절댓값이 \(b\)보다 작다는 것을 먼저 확정하고, “\(b\)의 배수인데 절댓값이 \(b\)보다 작은 정수는 0뿐”이라는 사실로 닫는다.

풀이. 증명 (얼굴 2). \(a = bq_1 + r_1 = bq_2 + r_2\)이고 \(0 \le r_1 < b\), \(0 \le r_2 < b\)이며 \((q_1, r_1) \neq (q_2, r_2)\)라 가정하자 [걸음 ① — 개시 선언].

두 표현을 빼면 \(b q_1 + r_1 - b q_2 - r_2 = 0\)이므로

\[ b(q_1 - q_2) = r_2 - r_1 \]

이다 [근거 ③]. 좌변이 \(b\)의 배수이므로 \(b \mid (r_2 - r_1)\)이다.

한편 \(0 \le r_1 < b\)이고 \(0 \le r_2 < b\)이므로 \(r_2 - r_1 < b - 0 = b\)이고 \(r_2 - r_1 > 0 - b = -b\)이다. 곧 나머지들의 차는 \(-b\)와 \(b\) 사이에 있으므로 그 절댓값이 \(b\)보다 작다 [근거 ③, 1권 16주차 (W2)].

\(b\)의 배수이면서 절댓값이 \(b\)보다 작은 정수는 0뿐이다. 실제로 \(r_2 - r_1 = bk\)인 정수 \(k\)가 \(k \neq 0\)이면 \(|k| \ge 1\)이므로 절댓값이 \(b\) 이상이 되어 방금 확인한 범위와 어긋난다. 따라서 \(r_2 - r_1 = 0\), 곧 \(r_1 = r_2\)이다 [걸음 ②].

이것을 위 등식에 넣으면 \(b(q_1 - q_2) = 0\)이고 \(b > 0\)이므로 영인수 성질에 의해 \(q_1 = q_2\)이다. 그러면 \((q_1, r_1) = (q_2, r_2)\)인데 이것은 개시 가정 \((q_1, r_1) \neq (q_2, r_2)\)와 모순이다 [걸음 ③ — 모순 명시, 산지 ②]. 따라서 몫과 나머지의 쌍은 유일하다. \(\blacksquare\)

복기. 이 답안도 다름 가정이 몸통에서 소비되지 않았다 — 결합만으로 \(r_1 = r_2\)와 \(q_1 = q_2\)가 나왔다. 판정법 다섯째 줄에 따라 얼굴 1로 정리하면 개시문에서 “\((q_1, r_1) \neq (q_2, r_2)\)라 가정하자”를 빼고 마지막을 “따라서 두 쌍은 같다”로 닫으면 되며, 두 줄이 줄어든다. 이 명제가 얼굴 2로 자주 적히는 것은 관습이지 필요가 아니다. 이식 가능한 부품은 “\(b\)의 배수인데 절댓값이 \(b\)보다 작으면 0”이다. 범위를 좁혀 놓고 배수 조건과 충돌시키는 이 논법은 C15주차 정수론에서 반복해 쓰인다. 존재 파트는 1권 33주차 예제 2.2에서 최소원리로 증명했고(집합 \(\{a - nq : q \in \mathbb{Z},\ a - nq \ge 0\}\)의 최소원소를 나머지로 삼는 증명이다), 그 주차의 문제 10이 이 유일성이었다 — 여기서 달라진 것은 얼굴 판정과 산지 표기를 갖췄다는 점이다.

검산. \(a = 17\), \(b = 5\)이면 \(17 = 5 \cdot 3 + 2\)이고 \(0 \le 2 < 5\) ✓. 다른 쌍을 시도하면 \(17 = 5 \cdot 2 + 7\)인데 \(7 \ge 5\)라 자격 밖이다 ✓ — 범위 조건이 유일성을 떠받치는 조각임이 보인다.

문제 16#

접근. 가정이 전칭 문장이므로 특수화할 권리가 있다(S7주차). 한 번의 특수화로 미지수 하나만 남게 하려면 \(x\)에 무엇을 넣어야 하는지를 먼저 정한다. \(x = 0\)을 넣으면 \(x\)가 붙은 항이 사라져 상수항만 남는다. 그다음 값으로 나머지를 뽑는다.

풀이. 증명. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(ax + b = cx + d\)라 하자.

\(x = 0\)을 특수화한다. 자격은 “0이 실수”이고 이는 성립한다. 얻는 사실은 \(a \cdot 0 + b = c \cdot 0 + d\), 곧

\[ b = d \]

이다 [특수화 1, 근거 ③].

\(x = 1\)을 특수화한다. 자격은 “1이 실수”이고 이는 성립한다. 얻는 사실은 \(a \cdot 1 + b = c \cdot 1 + d\), 곧

\[ a + b = c + d \]

이다 [특수화 2]. 여기에 방금 얻은 \(b = d\)를 대입하면 \(a + b = c + b\)이고, 양변에서 \(b\)를 빼면 \(a = c\)이다 [근거 ③].

따라서 \(a = c\)이고 \(b = d\)이다. \(\blacksquare\)

유일성과의 관계. 이 명제는 겉보기에 유일성 명제가 아니지만 내용은 유일성이다 — “같은 일차함수를 나타내는 계수 쌍은 많아야 하나”라는 주장이고, 두 표현 \((a, b)\)와 \((c, d)\)를 잡아 같음을 보이는 얼굴 1의 구조를 그대로 갖는다. 문제 12(기약 표현의 유일성)와 같은 유형이다 — 대상의 표현이 유일하다는 주장.

복기. 전칭 가정에서 특수화할 값을 고르는 기준은 “무엇을 남기고 싶은가”이다. \(x = 0\)은 일차항을 지우고, \(x = 1\)은 계수를 그대로 더한다. 두 번의 투입으로 미지수 두 개를 차례로 뽑아내는 이 방식은 S7주차 문제 9의 다중 특수화와 같은 기술이고, 다항식의 계수를 비교하는 모든 논증의 최소 사례다.

검산. \(a = 2, b = 3, c = 2, d = 3\)이면 두 식이 항등적으로 같고 결론도 성립한다 ✓. 반대로 \(a = 2, b = 3, c = 3, d = 3\)이면 \(x = 1\)에서 \(5 \neq 6\)이 되어 가정이 성립하지 않는다 ✓.

문제 17#

접근. (a)는 산출 등식에 \(f(0)\)만 남게 하는 값을 넣는다. (b)는 양의 정수에서 특수화 사슬이나 귀납으로 올라가고, 음의 정수는 S7주차 문제 9(b)의 결과를 부품으로 쓴다. 0은 (a)가 처리했다.

풀이. (a) 가정 “모든 \(x, y\)에 대해 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)”에 \(x = 0\), \(y = 0\)을 특수화한다. 자격은 “0이 실수”이고 성립한다. 얻는 사실은 \(f(0 + 0) = f(0) + f(0)\), 곧

\[ f(0) = 2f(0) \]

이다. 양변에서 \(f(0)\)을 빼면 \(0 = f(0)\)이다 [근거 ③]. 곧 \(f(0)\)의 값은 \(0\)으로 강제된다 — 가정을 만족하는 어떤 \(f\)를 가져와도 \(f(0)\)은 0이므로, \(f(0)\)의 값은 유일하게 결정된다. 이것이 유일성 명제인 이유는 “가정을 만족하고 \(f(0) = v\)인 값 \(v\)는 많아야 하나”라는 주장과 같기 때문이다. \(f(0) = 0\)이다.

(b) 먼저 양의 정수에서 보인다. \(n = 1\)일 때 \(f(1) = 3 = 3 \cdot 1\)이므로 성립한다. \(f(n) = 3n\)이라 하자. 가정에 \(x = n\), \(y = 1\)을 특수화하면

\[ f(n + 1) = f(n) + f(1) = 3n + 3 = 3(n+1) \]

이므로 \(n+1\)에서도 성립한다. 귀납법에 의해 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 \(f(n) = 3n\)이다. (S7주차 문제 19의 특수화 사슬로 적어도 같은 결과가 나오며, 그 사슬을 한 번에 처리하는 원리가 귀납법이다.)

\(n = 0\)일 때는 (a)에서 \(f(0) = 0 = 3 \cdot 0\)이다.

음의 정수는 S7주차 문제 9(b)의 결과 “모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(-x) = -f(x)\)”를 부품으로 쓴다 [근거 ④]. 양의 정수 \(m\)에 대해 \(n = -m\)이면

\[ f(n) = f(-m) = -f(m) = -3m = 3(-m) = 3n \]

이다. 세 경우가 모든 정수를 빠짐없이 덮으므로, 모든 정수 \(n\)에 대해 \(f(n) = 3n\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 함수방정식 하나와 값 하나가 정수 전체에서의 값을 유일하게 못 박는다. “유일하게 결정된다”는 이런 형태의 유일성 — 후보를 둘 잡아 같음을 보이는 대신, 조건이 값을 한 곳으로 몰아넣는 형태 — 는 얼굴 1의 변형이다. 두 후보 \(v_1, v_2\)가 모두 조건을 만족하면 둘 다 같은 계산 결과와 같아지므로 서로 같다. 실수 전체로 넓히려면 연속성 같은 조건이 더 필요하며, 그 경계를 다루는 것이 S18주차 문제 12이고 완결은 C17주차의 몫이다.

검산. \(f(x) = 3x\)가 가정을 만족한다: \(3(x+y) = 3x + 3y\) ✓, \(f(1) = 3\) ✓. \(f(2) = f(1) + f(1) = 6 = 3 \cdot 2\) ✓, \(f(-1) = -f(1) = -3 = 3 \cdot (-1)\) ✓.

문제 18#

접근. 증명 자체는 문제 8의 두 원소판이다. 진짜 물음은 뒤쪽이다 — \(a = b\)일 때 최대원소의 자격을 갖는 “대상”이 몇 개이고 그것들의 “값”이 몇 개인지를 나누어 세어 본다. 유일성이 어느 쪽에 대한 주장인지가 답이다.

풀이. 증명 (얼굴 1). \(M_1\)과 \(M_2\)가 모두 \(\{a, b\}\)의 최대원소라 하자. 곧 \(M_1 \in \{a, b\}\)이고 \(M_1 \ge a\)이며 \(M_1 \ge b\)이고, 또한 \(M_2 \in \{a, b\}\)이고 \(M_2 \ge a\)이며 \(M_2 \ge b\)이다 [걸음 ① — 조건이 순서 관계이므로 판정법 둘째 줄, 얼굴 1. 다름은 가정하지 않는다].

\(M_2 \in \{a, b\}\)이므로 \(M_2\)는 \(a\)이거나 \(b\)이다. \(M_2 = a\)이면 \(M_1 \ge a = M_2\)이고, \(M_2 = b\)이면 \(M_1 \ge b = M_2\)이므로, 어느 경우든 \(M_1 \ge M_2\)이다. \(M_1 \in \{a, b\}\)이므로 \(M_1\)도 \(a\)이거나 \(b\)이다. \(M_1 = a\)이면 \(M_2 \ge a = M_1\)이고, \(M_1 = b\)이면 \(M_2 \ge b = M_1\)이므로, 어느 경우든 \(M_2 \ge M_1\)이다 [걸음 ② — 조건의 이중 발동]. 반대칭성에 의해 \(M_1 = M_2\)이다 [근거 ④]. 따라서 \(\max\{a,b\}\)는 유일하다. \(\blacksquare\)

\(a = b\)일 때의 논의. \(a = b\)이면 \(a\)도 \(b\)도 위 조건을 모두 만족하므로, 최대원소의 자격을 갖는 이름은 둘이다. 그러나 위 증명이 결론짓는 것은 \(M_1 = M_2\), 곧 두 이름이 가리키는 값이 같다는 것이다. 유일성 주장은 “조건을 만족하는 값이 하나뿐”이라는 뜻이므로, 이름이 둘이라는 사정은 유일성을 해치지 않는다. 실제로 \(a = b = 5\)이면 \(\max\{5, 5\} = 5\) 하나이고, 그 값을 “\(a\)”라 부르든 “\(b\)”라 부르든 같은 실수다.

복기. 유일성이 무엇에 대한 주장인지 — 대상의 이름인가 값인가 — 를 가르는 것이 이 문제의 몫이다. 답은 언제나 값이며, 그래서 유일 파트의 도착점이 “\(x_1 = x_2\)”라는 등식이다. 서로 다른 이름이 같은 값을 가리키는 상황은 정상이고, 이 구분이 결정적으로 쓰이는 곳이 well-defined 논의다(문제 12, C11주차의 동치류와 잉여류).

검산. \(a = 3\), \(b = 7\)이면 최대원소는 7 하나이고 이름도 하나(\(b\))다 ✓. \(a = b = 3\)이면 값은 3 하나이고 이름은 둘이지만 두 이름이 같은 값을 가리킨다 ✓.

문제 19#

접근. 두 파트가 서로 다른 도구를 쓴다. 존재는 문제 14의 상자에 적힌 중간값 정리를 인용 서식대로 적고, 유일은 얼굴 1이다. 세제곱의 차를 인수분해하면 둘째 인수가 남는데, 그 인수가 0 이상이라는 것과 0이 되는 경우가 언제인지는 S3주차 문제 18에서 확인했다.

풀이. (존재) \(g(y) = y^3 - a\)로 두자. \(g\)는 다항함수이므로 모든 닫힌구간에서 연속이다. \(M\)을 \(|a| + 1\)보다 큰 양의 실수로 잡으면 \(g(-M) < 0\)이고 \(g(M) > 0\)이므로 양 끝의 부호가 다르다. 중간값 정리 [근거 ④]에 의해 \(-M\)과 \(M\) 사이에 \(g(y) = 0\)인 실수 \(y\)가 존재하고, 그 \(y\)가 \(y^3 = a\)를 만족한다.

(유일, 얼굴 1) \(x_1^3 = a\)이고 \(x_2^3 = a\)인 실수 \(x_1, x_2\)가 있다고 하자 [걸음 ① — 조건이 등식이므로 판정법 첫째 줄]. 두 식을 빼고 인수분해하면

\[ 0 = x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2\right) \]

이다 [근거 ③]. 둘째 인수는 S3주차 문제 18에서 확인한 대로 완전제곱의 합

\[ x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = \left(x_1 + \frac{x_2}{2}\right)^2 + \frac{3 x_2^2}{4} \]

이므로 0 이상이고, 0이 되는 것은 두 항이 동시에 0일 때, 곧 \(x_2 = 0\)이고 \(x_1 = 0\)일 때뿐이다 [근거 ④].

경우를 나눈다. 둘째 인수가 0이면 방금 확인한 대로 \(x_1 = x_2 = 0\)이므로 \(x_1 = x_2\)이다. 둘째 인수가 0이 아니면 곱이 0이므로 영인수 성질에 의해 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다. 두 경우가 전체를 덮으므로 어느 경우든 \(x_1 = x_2\)이다 [걸음 ②\(\cdot\)③].

존재와 유일이 모두 보였으므로 \(x^3 = a\)인 실수는 정확히 하나 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 유일 파트가 경우 나누기를 부른 것은 둘째 인수가 0일 수 있기 때문이다. \(x^2 = a\)의 경우(문제 11)에는 “양의”라는 자격이 \(x_1 + x_2 > 0\)을 보장해 경우가 생기지 않았는데, 여기서는 무대가 실수 전체이므로 인수가 0이 되는 경우를 따로 처리해야 한다. 인수분해로 유일성을 얻을 때는 남는 인수가 0이 될 수 있는지를 반드시 확인한다 — 이것이 이식 가능한 점검이다. S5주차 문제 7이 이 명제의 존재\(\cdot\)유일 분리를 예고했고, C12주차 문제 7이 세제곱 함수의 단사성을 여기서 인용한다.

검산. \(a = 8\)이면 \(x = 2\)가 유일한 실수 해다. \(x = -2\)는 \((-2)^3 = -8 \neq 8\) 이므로 해가 아니다 ✓. \(a = -8\)이면 \(x = -2\)가 유일한 해다 ✓ — 제곱과 달리 세제곱은 음수도 덮으므로 무대를 양수로 제한할 필요가 없었다.

문제 20#

접근. (a)의 축은 두 반례가 서로 반대 방향이라는 것이다 — 한쪽은 존재만, 다른 쪽은 유일만 성립한다. 두 방향이 다 있으면 어느 쪽도 다른 쪽을 함의하지 않는다. (b)는 판정법 표의 첫째\(\cdot\)넷째\(\cdot\)다섯째 줄을 예제와 문제에 하나씩 배정한다.

풀이. (예시 답안)

(a) 문제 14의 함수는 \([0,1]\)에서 0이 되는 점을 갖지만 그런 점이 셋이므로 존재는 성립하고 유일성은 성립하지 않는다. 반대로 문제 6의 명제는 \(x^2 = -1\)인 실수가 하나도 없으므로 유일성(“많아야 하나”)은 공허하게 성립하고 존재는 성립하지 않는다. 한 방향의 반례만 있으면 다른 쪽 함의가 살아 있을 여지가 남지만 양쪽 반례가 모두 있으므로, 두 책임 중 어느 것도 다른 것을 함의하지 않고 “정확히 하나”는 두 파트를 각각 증명해야만 한다.

(b) 조건 \(P\)가 등식이면 두 등식을 빼거나 대입하는 것만으로 상등이 나오므로 얼굴 1이 자연스럽다 — 예제 2.1의 \(ax + b = 0\)이 그 경우이고, 판정법 첫째 줄이다. 반면 결론의 부정이 몸통의 재료가 되어 주면 얼굴 2가 짧다 — 문제 13에서 \(\varepsilon\)을 두 극한 사이 거리의 절반으로 잡을 때 그 값이 양수라는 자격이 \(L \neq L'\)에서 곧바로 나오고, 이것이 판정법 넷째 줄이다. 넷째 줄은 얼굴 1을 금지하지 않는다는 것도 함께 적어 둔다(§1.4). S11주차의 점검은 다섯째 줄로 들어온다. 얼굴 2로 적은 답안에서 다름 가정이 몸통의 어느 줄에서도 소비되지 않았다면 그것은 무늬만 귀류이므로, 예제 2.2와 훈련 2와 문제 15처럼 개시문과 모순 선언 두 줄을 지우고 얼굴 1로 정리하는 것이 정확한 형태다.

복기. 이 주차 전체를 한 줄로 요약하면 “유일성은 두 번째 책임이고, 그 책임을 어떻게 시작하느냐가 두 얼굴이다”가 된다. (a)는 책임이 둘이라는 것을, (b)는 시작이 둘이라는 것을 각각 정당화한다. 두 문장을 백지에서 쓸 수 있으면 이번 주의 목표가 달성된 것이다.

다음 주 예고 (S14주차): 유일성 다음은 귀납법이다. 1권 31~35주차에서 서식으로 익힌 귀납이 여기서 다시 해부되는데, 초점은 귀납 단계 안이다 — “\(P(n)\)이면 \(P(n+1)\)”은 그 자체로 하나의 조건문 증명이므로, 그 안에서 후진 과정으로 도착점을 정하고 전진 과정으로 가정 \(P(n)\)을 소비하는 일이 그대로 일어난다. 이번 주 문제 17(b)에서 정수 전체를 한 번에 처리하려고 귀납을 부른 그 자리가, 다음 주에는 절차의 이름과 걸음 번호를 얻는다. S7주차 문제 19에서 본 특수화 사슬의 무한 자동화가 정식 기법이 되는 주이기도 하다. 원서 Solow 12장을 통독하고 오자.