19주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
예제 — 대우 증명을 함께 만들기#
완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 대우 제작부터 회수까지 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.
예제 2.1 — 1주차에 남겨 둔 명제#
명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다.
설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 대우 증명에서도 먼저 정할 것은 출발점과 도착점이다. 다만 그 둘이 원명제가 아니라 대우에서 나온다는 점이 다르다.
말 |
번역 |
|
|---|---|---|
원명제 |
\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다 |
\(P\): \(n^2\)이 짝수 / \(Q\): \(n\)이 짝수 |
대우의 가정 — 출발점 |
\(\neg Q\) |
\(\underline{\quad(1)\quad}\) |
대우의 결론 — 도착점 |
\(\neg P\) |
\(\underline{\quad(2)\quad}\) |
확인 8. 번역표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 그리고 (1)이 §1.1의 막힘을
어떻게 없애는지 한 문장으로 적어 보자.
답
(1) “\(n\)은 홀수이다” — 곧 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다.
(2) “\(n^2\)은 홀수이다” — 곧 \(n^2 = 2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴을 만들어야 한다.
(1)의 가정은 좌변이 \(n\)인 등식을 즉시 준다. §1.1에서 없던 “\(n\)에 대한 등식”이 출발점으로 확보되었으므로 계산이 시작된다.
1단계 — 기법을 선언하고 대우를 적는다. 증명의 첫 문장은 아래 문장들의 신분을 밝히는 문장이다. 이 줄이 없으면 둘째 문장의 “홀수라 가정하자”가 원명제의 가정으로 읽힌다.
확인 9. 첫 문장을 완성해 보자:
“대우로 증명한다. 대우는 ‘\(\underline{\qquad}\)이면 \(\underline{\qquad}\)이다’이다.”
답
“대우로 증명한다. 대우는 ‘\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다’이다.” 부정 두 번(짝수 \(\to\) 홀수)과 자리 바꾸기 한 번이 이 줄에 들어 있다. 자리를 바꾸지 않고
“\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다”라고 적으면 이(inverse)가 되고, 그것으로는 원명제가 증명되지 않는다(문제 19).
2단계 — 대우의 가정을 세우고 정의를 푼다. 여기서부터는 직접 증명과 한 줄도 다르지 않다. 4부의 3단계 틀이 그대로 들어온다.
확인 10. 둘째 문장을 완성해 보자:
“\(n\)이 \(\underline{\quad}\)라 가정하자. 정의에 의해 \(n = \underline{\qquad}\)인
정수 \(k\)가 존재한다.”
답
“\(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다.” 홀수가 가정에 있으므로 정의 1.2에서 정수 \(k\)를 받아 온다 — 1주차
§1.3의 방향 표 그대로다.
3단계 — 도착점의 꼴로 계산한다. 도착점은 \(n^2 = 2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴이다. 재료 \(2k+1\)을 제곱해 그 꼴로 정리한다.
확인 11. 셋째 문장을 완성해 보자:
“그러면 \(n^2 = (2k+1)^2 = \underline{\qquad} = 2(\,\underline{\qquad}\,) + 1\)이다.”
답
\(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\). 전개한 뒤 \(+1\)만 남기고 앞의 두 항에서 2를 묶었다(근거 ③).
1주차 문제 8에서 익힌 리듬 — 전개 \(\to\) \(+1\) 남기기 \(\to\) 2로 묶기 — 그대로다.
4단계 — 괄호 안이 정수인지 확인하고 도착점을 선언한다. 대우의 결론에 정확히 도달했음을 문장으로 적는다.
확인 12. 넷째 문장을 완성해 보자:
“\(\underline{\qquad}\)이므로 \(2k^2 + 2k\)는 정수이고, 따라서 \(n^2\)은
\(\underline{\quad}\)이다.”
답
“정수의 곱과 합은 정수이므로”(근거 ②) \(2k^2 + 2k\)는 정수이고, 따라서 \(n^2\)은 홀수이다. 이 줄이 대우의 결론 \(\neg P\)에 도달한
지점이다. 여기서 증명을 끝내면 대우만 증명하고 원명제는 손대지 않은 답안이 된다.
5단계 — 원명제를 회수한다. 대우 증명에만 있는 마지막 줄이다.
확인 13. 마지막 문장을 완성해 보자:
“\(\underline{\qquad}\)되었으므로, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)”
이 줄이 인용하는 근거는 몇 번인가.
답
“대우가 증명되었으므로, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)” 인용하는 근거는 ④ — 9주차 예제 2.1에서 진리표로 증명한 동치
\(P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P\)다. 이 줄이 없으면 답안은 원명제와 동치인 명제까지만 증명한 채 그 동치를 인용하지 않은 상태로 남고, 원명제는 선언되지 않는다.
완성본. 방금 만든 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.
증명의 한 줄 |
왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”이다. |
기법 선언 + 제작물 명시. 짝수의 부정이 홀수인 근거는 정수의 짝/홀 분할(17주차)이다. |
\(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. |
대우의 가정을 세우고 정의를 푼다(근거 ①). §1.1에서 없던 “\(n\)에 대한 등식”이 여기서 손에 들어온다. |
그러면 \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\)이다. |
도착점 \(2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴로 변형(근거 ③). 대우의 몸통은 평범한 직접 증명이다. |
\(2k^2 + 2k\)는 정수이므로 \(n^2\)은 홀수이다. |
괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 대우의 결론 \(\neg P\)를 선언한다. |
대우가 증명되었으므로, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\) |
동치(근거 ④)로 원명제를 회수한다. 대우 증명에만 있는 줄이다. |
대입해 읽어 보기. \(k = 3\)을 넣으면 \(n = 7\)이고 \(n^2 = 49 = 2 \times 24 + 1\)로 홀수다. \(k = -2\)를 넣으면 \(n = -3\), \(n^2 = 9 = 2 \times 4 + 1\)로 역시 홀수다. 어느 정수를 넣어도 다섯 줄이 그대로 성립한다 — 증명의 어느 줄도 \(k\)가 특정 정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문이다.
[주의] 자주 하는 실수: 부정만 하고 자리를 바꾸지 않는 것. “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다”라고 적는 경우가 많다. 부정 두 번은 정확하게 수행되었고, 게다가 이 명제는 참이라서 몸통도 끝까지 완주된다. 빠진 것은 자리 바꾸기 하나이며, 그 하나가 대우와 이를 가른다. (문제 19에서 이 답안을 해부한다.)
예제 2.2 — 대우와 경우 나누기의 조합#
명제. 정수 \(n\)에 대해, \(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\)이다.
이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.
확인 14. 번역표를 채워 보자.
\(P\): \(\underline{\qquad}\) / \(Q\): \(\underline{\qquad}\)
대우: “\(\underline{\qquad}\)이면 \(\underline{\qquad}\)이다”
그리고 대우의 가정에서 \(n\)을 어떤 꼴로 쓸 수 있는지 적어 보자.
답
\(P\)는 “\(3 \mid n^2\)”, \(Q\)는 “\(3 \mid n\)”이므로 대우는 “\(3 \nmid n\)이면 \(3 \nmid n^2\)이다”. 대우의 가정에서 \(n\)은
나눗셈 정리에 의해 \(n = 3q\), \(n = 3q+1\), \(n = 3q+2\) 중 정확히 하나의 꼴인데, \(3 \nmid n\)이므로 첫째 꼴은 제외된다 — 남는 것은
\(n = 3q+1\)과 \(n = 3q+2\)의 두 경우다. 신호로 보면 원명제의 가정 \(3 \mid n^2\)이 합성식 \(n^2\)의 성질이라 \(n\)을 꺼낼 수 없다 — §1.5의
첫째 신호다. 몸통에서 경우 나누기가 필요할 뿐이다.
확인 15. 위의 두 경우가 대우의 가정 전체를 빠짐없이 덮는다는 근거는
무엇인가. 그 근거는 증명 안에서 어느 문장이 담당하는가.
답
근거는 나눗셈 정리다 — 정수 \(n\)과 자연수 3에 대해 \(n = 3q + r\), \(0 \le r < 3\)인 정수 \(q, r\)이 유일하게 존재한다(17주차에서 인정하고
쓰기로 했다. 33주차 최소원리에서 증명한다). 유일성이 “정확히 한 경우”를 보장하고, \(3 \nmid n\)이 \(r = 0\)을 배제한다. 증명 안에서는 “나눗셈 정리에
의해 … 나머지 0은 제외”라는 문장이 이 근거를 담당한다. 이 문장이 빠지면 아래 두 경우는 임의로 고른 두 상황일 뿐이고,
17주차 경우 나누기의 채점 기준 ①이 비게 된다.
증명. 대우로 증명한다. 대우는 “\(3 \nmid n\)이면 \(3 \nmid n^2\)이다”이다. \(3 \nmid n\)이라 가정하자. 나눗셈 정리에 의해 \(n = 3q + r\), \(0 \le r < 3\)인 정수 \(q, r\)이 유일하게 존재하는데, \(3 \nmid n\)이므로 \(r \ne 0\)이다. 따라서 \(n = 3q+1\) 또는 \(n = 3q+2\)이다.
경우 1: \(n = 3q+1\). 그러면
이고 \(3q^2 + 2q\)는 정수이므로, \(n^2\)을 3으로 나눈 나머지는 1이다. 나머지가 유일하므로 나머지가 0인 경우는 있을 수 없고, 따라서 \(3 \nmid n^2\)이다.
경우 2: \(n = 3q+2\). 그러면
이고 \(3q^2 + 4q + 1\)은 정수이므로, 이 경우에도 나머지는 1이고 \(3 \nmid n^2\)이다.
두 경우가 대우의 가정 전체를 덮고 어느 경우에도 \(3 \nmid n^2\)이므로 대우가 증명되었다. 따라서 \(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\)이다. \(\blacksquare\)
구조 읽기. 17주차 문제 8(제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0 또는 1)의 계산이 그대로 몸통으로 들어왔다. 대우가 명제의 방향을 바꾸고, 경우 나누기가 그 안에서 계산을 수행한다 — 기법은 겹쳐 쓰는 것이다. 이 명제는 21주차에서 “\(\sqrt{3}\)은 무리수”의 부품이 된다.
(검산: \(n = 5\)이면 \(n^2 = 25 = 3 \times 8 + 1\)로 나머지 1 ✓. \(n = 7\)이면 \(n^2 = 49 = 3 \times 16 + 1\) ✓. 검산은 증명이 아니지만 계산 오류는 잘 잡아낸다.)
예제 2.3 — 결론이 “또는”인 명제#
명제. 실수 \(x, y\)에 대해, \(x + y > 10\)이면 \(x > 5\) 또는 \(y > 5\)이다.
이번에는 설계부터 스스로 해 보자.
확인 16. 번역표: \(P\): \(\underline{\qquad}\) / \(Q\): \(\underline{\qquad}\) /
\(\neg Q = \underline{\qquad}\) / \(\neg P = \underline{\qquad}\) /
대우 \(= \underline{\qquad}\). 그리고 원명제를 직접 증명하려 할 때 무엇이
막히는지 한 문장으로 적어 보자.
답
\(P\)는 “\(x + y > 10\)”, \(Q\)는 “\(x > 5\) 또는 \(y > 5\)”이다. 드모르간 2에 의해 \(\neg Q\)는 “\(x \le 5\)이고
\(y \le 5\)”이고, \(\neg P\)는 “\(x + y \le 10\)”이다. 대우는 “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)이면 \(x + y \le 10\)이다”. 직접
증명이 막히는 이유: 결론이 “또는”이므로 어느 쪽이 참인지 지목해야 하는데, 가정 \(x + y > 10\)만으로는 지목할 수 없다(\(x = 100\)일 수도
\(y = 100\)일 수도 있다). 대우에서는 그 “또는”이 가정의 “그리고”가 되어 부등식 두 개를 손에 쥐고 시작한다.
증명. 대우로 증명한다. 결론 “\(x > 5\) 또는 \(y > 5\)”의 부정은 드모르간 2에 의해 “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)”이므로, 대우는 “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)이면 \(x + y \le 10\)이다”이다. \(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)라 가정하자. \(x \le 5\)의 양변에 \(y\)를 더하면 (W2)에 의해 \(x + y \le 5 + y\)이고, \(y \le 5\)의 양변에 5를 더하면 (W2)에 의해 \(5 + y \le 10\)이다. 두 부등식을 추이성 (W6)으로 이으면 \(x + y \le 10\)이다(두 부등호가 모두 \(\le\)인 자리다 — 등호가 성립하면 \(x + y = 5 + y \le 10\)이고, 아니면 \(x + y < 5 + y \le 10\)이므로 16주차 (W6)의 “부등호 하나가 \(\le\)” 판본이 그대로 적용된다). 대우가 증명되었으므로, \(x + y > 10\)이면 \(x > 5\) 또는 \(y > 5\)이다. \(\blacksquare\)
이번 증명은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 부등식 두 개를 변끼리 더하는 조작이 (W2) 두 번과 (W6) 한 번으로 분해된다는 것도 그대로 유지했다 — 16주차 문제 2(c)와 같은 분해다.
관찰 — 세 증명의 같은 뼈대#
예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재도 다르고 몸통의 도구도 다르다(전개 / 경우 나누기 / 부등식). 그런데 앞뒤는 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.
확인 17. 예제 2.3의 산문에서 각 단계에 해당하는 문장을 찾아 보자.
① 선언과 대우 명시: \(\underline{\qquad}\)
② \(\neg Q\) 가정: \(\underline{\qquad}\)
③ 몸통(직접 증명): \(\underline{\qquad}\)
④ \(\neg P\) 도착과 회수: \(\underline{\qquad}\)
답
① “대우로 증명한다. 결론의 부정은 드모르간 2에 의해 … 대우는 ‘…’이다.”
② “\(x \le 5\)이고 \(y \le 5\)라 가정하자.”
③ “(W2)에 의해 \(x + y \le 5 + y\)이고 … (W6)으로 이으면 \(x + y \le 10\)이다.”
④ “대우가 증명되었으므로, \(x + y > 10\)이면 \(x > 5\) 또는 \(y > 5\)이다.” 예제 2.1과 2.2도 정확히 이 네 걸음이다. ③에 들어가는 도구만
명제마다 다르다.
방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.
백지 암기 대상
테두리 두 줄과 몸통
대우 증명은 테두리 두 줄(앞의 선언\(\cdot\)대우 명시 + 뒤의 회수)과 그 사이의
몸통으로 되어 있다. 몸통은 4부에서 배운 직접 증명 그대로이므로,
이번 주에 새로 익힐 것은 테두리 두 줄과 대우 제작뿐이다.
이 관찰이 이번 주 학습량의 실제 크기다. 대우 증명이 어렵게 느껴지는 지점은 몸통이 아니라 대우 제작 — 곧 11주차 부정 규칙의 정확한 적용 — 에 몰려 있다.
빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#
필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.
훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#
명제. 정수 \(n\)에 대해, \(5n + 3\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다.
증명. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 \(\underline{\quad(1)\quad}\)이면 \(5n + 3\)은 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이다”이다. \(n\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면
이고 괄호 안은 정수이므로 \(5n + 3\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)
훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#
이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.
명제. 정수 \(n\)에 대해, \(7n - 2\)가 홀수이면 \(n\)은 홀수이다.
증명. \(\underline{\quad(1)\quad}\)로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(7n - 2\)는 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이다”이다. \(n\)이 짝수라 가정하자. \(\underline{\quad(3)\quad}\)에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재한다. 그러면
이고, \(\underline{\quad(6)\quad}\)이므로 괄호 안은 정수이다. 따라서 \(7n - 2\)는 짝수이다. \(\underline{\quad(7)\quad}\)되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)
훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#
이번에는 대우 제작에 드모르간이 끼고, 몸통에 경우 나누기가 필요하다. 네 칸을 통째로 채운다.
명제. 실수 \(x, y\)에 대해, \(xy \ne 0\)이면 \(x \ne 0\)이고 \(y \ne 0\)이다.
증명의 뼈대.
① 선언과 대우 명시: \(\underline{\quad(1)\quad}\)
② \(\neg Q\) 가정: \(\underline{\quad(2)\quad}\)
③ 몸통(경우 나누기): \(\underline{\quad(3)\quad}\)
④ \(\neg P\) 도착과 회수: \(\underline{\quad(4)\quad}\)
(결론이 “그리고”이므로 그 부정은 드모르간 1로 “또는”이 된다. 가정이 “또는”이면 경우 나누기 — 17주차의 채점 기준 두 가지를 그대로 지킨다.)
연습문제 (20문항)#
해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 대우 증명 문제는 반드시 “대우로 증명한다 + 대우 명시” 서식을 지킨다.
이번 주의 채점 기준
답이 아니라 근거가 점수다. 대우의 몸통이 아무리 정확해도
테두리 두 줄(선언\(\cdot\)대우 명시 / 회수)이 없으면 원명제는 증명되지 않은 채로
남는다. “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수임을 보였다”로 끝난 답안은 원명제와 동치인
명제까지만 증명하고 그 동치를 인용하지 않은 것이며, 원명제는 아직 선언되지 않았다.
난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
기본 ●○○#
1. 다음 명제의 대우를 쓰시오 (증명 불필요; 부정을 정확히). (a) \(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다. (b) \(x \ge 2\)이면 \(x^2 \ge 4\)이다. (c) \(a \mid bc\)이면 \(a \mid b\) 또는 \(a \mid c\)이다. (d) \(n\)이 소수이면 \(n = 2\)이거나 \(n\)은 홀수이다.
힌트
세 걸음을 순서대로 밟는다 — \(P\)와 \(Q\)를 식별하고, §1.4의 표로 각각을 부정하고, 자리를 바꾼다. (c)(d)는 결론에 “또는”이 있으므로 드모르간 2가 한
번 더 들어간다.
2. 다음 명제들에 대해 “직접 / 대우” 중 유리해 보이는 기법과 그 이유(신호)를 한 줄씩 쓰시오 (증명 불필요). (a) \(n\)이 홀수이면 \(n^3\)이 홀수이다. (b) \(n^3\)이 짝수이면 \(n\)이 짝수이다. (c) \(x^2 + 5x < 0\)이면 \(x < 0\)이다.
힌트
§1.5의 신호 표와 한 줄씩 대조한다. 물을 것은 두 가지다 — 가정을 정의로 즉시 풀 수 있는가, 그리고 부정형이나 “또는”이 어디에 있는가.
3. [백지] 대우 증명의 서식(선언 \(\to\) \(\neg Q\) 가정 \(\to\) … \(\to\) \(\neg P\) \(\to\) 회수)을 쓰시오.
힌트
§1.2의 서식 상자 다섯 줄이 그대로 답이다. 각 줄이 §1.3 해부 표의 어느 임무를 맡는지도 함께 적으면 백지 재현(§5)의 준비가 된다.
4. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수임을 대우로 증명하시오.
힌트
대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 짝수이다”이다 — 1주차 문제 9가 그 몸통이다. 예제 2.1과 짝수\(\cdot\)홀수가 서로 뒤바뀐 명제라는 점을 확인하고 시작한다.
5. 정수 \(n\)에 대해, \(n + 7\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수임을 대우로 증명하시오.
힌트
대우의 가정은 “\(n\)이 짝수”다. \(n = 2k\)를 대입하면 \(2k + 7\)이 되는데, 목표 꼴은 \(2(\text{정수}) + 1\)이다. 7에서 1을 떼어 놓으면 묶을
수 있다.
6. 예제 2.1을 백지에 재현하시오.
힌트
다섯 줄이다 — 선언과 대우 명시 / 가정과 정의 풀기 / 전개와 묶기 / 정수 확인과 \(\neg P\) 선언 / 회수. 다 쓴 뒤 예제 2.1의 완성본 표와 줄 단위로
대조한다.
표준 ●●○#
7. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 - 6n + 5\)가 짝수이면 \(n\)은 홀수임을 대우로 증명하시오. (힌트: 대우의 몸통은 15주차 문제 7)
힌트
대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 - 6n + 5\)는 홀수이다”이고, 이는 15주차 문제 7의 명제와 글자 그대로 같다. 이미 증명한 명제를 인용해도 되지만(근거
④), 이번에는 \(n = 2a\)를 대입해 유도 전체를 다시 적어 본다.
8. 정수 \(n\)에 대해, \(n^3\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수임을 대우로 증명하시오.
힌트
대우 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3\)은 홀수이다”는 1주차 문제 13에서 증명했다. \((2a+1)^3\)의 전개가 부담스러우면 \(n^3 = n^2 \cdot n\)으로 쪼개
1주차 문제 11과 문제 8을 부품으로 쓰는 길도 있다.
부등식 명제에 대우를 쓸 때
문제 9와 문제 12는 부등식이 대우와 처음 만나는 자리다. 두 가지를 확인해
두고 시작한다. ① 부등호의 부정은 반대 방향 부등호가 아니라 “성립하지 않는
경우 전부”다 — \(<\)의 부정은 \(\ge\), \(\ge\)의 부정은 \(<\)이다(11주차 §1.3).
② 몸통에서 쓸 수 있는 부등식 근거는 16주차의 (W1)~(W6)뿐이다. 특히
(W1) \(x^2 \ge 0\), (W3) 양수를 곱해도 방향이 유지됨, (W4) 0 이상끼리의 합과
곱은 0 이상, (W6) 추이성을 각각 어느 줄에서 쓰는지 이름을 대며 적는다.
9. 실수 \(x\)에 대해, \(x^2 + 5x < 0\)이면 \(x < 0\)임을 대우로 증명하시오. (대우의 가정에서 \(x^2 \ge 0\)과 (W4)를 활용)
힌트
대우는 “\(x \ge 0\)이면 \(x^2 + 5x \ge 0\)이다”이다. 두 항을 따로 처리한다 — \(x^2\)의 부호는 (W1)이 바로 주고, \(5x\)의 부호는
\(x \ge 0\)의 양변에 5를 곱해(W3) 얻는다. 마지막에 둘을 (W4)로 합친다.
10. 정수 \(x, y\)에 대해, \(xy\)가 홀수이면 \(x\)와 \(y\)가 모두 홀수임을 대우로 증명하시오. (결론의 부정 = “\(x\)가 짝수 또는 \(y\)가 짝수” \(\to\) 케이스 또는 WLOG — 17주차 예제 2.3이 그대로 몸통)
힌트
대우 제작은 확인 4에서 이미 했다. 몸통은 17주차 예제 2.3과 같은 명제이므로 WLOG 한 줄로 경우 하나를 줄일 수 있다 — 다만
“이름을 맞바꾸면 같은 논증”이라는 정당화 문장을 반드시 남긴다.
11. 정수 \(n\)에 대해, \(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\) — 예제 2.2를 백지에 재현하시오.
힌트
채점 항목은 네 가지다 — 선언과 대우 명시, 나눗셈 정리로 두 경우를 만들고 나머지 0을 제외한 근거, 각 경우의 완결된 계산, 회수 문장.
12. 실수 \(x\)에 대해, \(x^3 + 2x \ge 0\)이면 \(x \ge 0\)임을 대우로 증명하시오. (대우: \(x < 0 \Rightarrow x^3 + 2x < 0\); \(x^3 < 0\)과 \(2x < 0\)의 합)
힌트
\(x^3\)의 부호부터 정한다. \(x^3 = x \cdot x^2\)이고 \(x < 0\), \(x^2 > 0\)이므로
(W3)으로 방향을 읽을 수 있다. \(2x < 0\)도 (W3)이다. 두 음수를 더하는 마지막 걸음은 (W2)와 (W6)으로 분해해 적는다.
13. 정수 \(m, n\)에 대해, \(m + n\)이 홀수이면 \(m\)과 \(n\)의 홀짝이 서로 다름을 대우로 증명하시오. (결론의 부정: “홀짝이 같다” = 둘 다 짝수 또는 둘 다 홀수 — 케이스 2개)
힌트
“홀짝이 서로 다르다”의 부정이 “홀짝이 같다”이고, 그것이 두 경우로 갈린다. 각 경우의 몸통은 1주차 예제 2.1(짝+짝)과 예제 2.3(홀+홀)이다. 두 경우가
“홀짝이 같다”를 빠짐없이 덮는다는 문장을 잊지 않는다.
14. 정수 \(n\)에 대해, \(3 \nmid n^2\)이면 \(3 \nmid n\)임을 증명하시오. (힌트: 이 명제의 대우는 아주 짧다 — 2주차 빈칸 훈련(\(a \mid b \Rightarrow a \mid bc\)) 한 줄)
힌트
\(P\)가 “\(3 \nmid n^2\)”, \(Q\)가 “\(3 \nmid n\)”이다. 두 부정을 각각 뒤집어 자리를 바꾸면 긍정형 두 개짜리 명제가 나온다 — 어느 쪽이 가정이
되는지 방향을 정확히 확인한다.
도전 ●●●#
15. 정수 \(n\)에 대해, \(5 \mid n^2\)이면 \(5 \mid n\)임을 대우 + 케이스로 증명하시오. (18주차 문제 13의 나머지 표를 재활용: \(r = 1, 2, 3, 4\) 네 경우)
힌트
예제 2.2의 3을 5로 바꾼 구조다. \(n = 5q + r\)에서 \(n^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2\)이므로, 확인할 것은 \(r^2\)을 5로 나눈
나머지뿐이다. \(r = 1, 2, 3, 4\) 네 값에 대해 \(r^2 = 1, 4, 9, 16\)의 나머지를 각각 적는다.
16. 실수 \(x, y\)에 대해, \(x + y\)가 무리수이면 \(x\)가 무리수이거나 \(y\)가 무리수임을 대우로 증명하시오. (대우의 몸통은 15주차 예제 2.2 한 줄 인용)
힌트
결론이 “또는”이므로 드모르간 2로 부정하면 “\(x\)와 \(y\)가 모두 유리수”라는 가정이 나온다. 가정 “\(x+y\)가 무리수”의 부정은 “\(x+y\)가 유리수”다 —
부정형 개념이 정의를 가진 긍정형 개념으로 바뀌는 자리다.
17. 실수 \(x, y \ge 0\)에 대해, \(x \neq y\)이면 \(x^2 \neq y^2\)임을 대우로 증명하시오. 그리고 이 명제가 \(x, y\)의 부호 제한 없이는 거짓임을 반례로 보이시오.
힌트
대우는 확인 5에서 만들었다. 몸통은 \(x^2 = y^2\)에서 시작해 이항하고 인수분해한다: \((x-y)(x+y) = 0\). 여기서 두 경우가 나오고, 무대 조건
\(x, y \ge 0\)이 둘째 경우를 처리한다. 반례는 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수다.
결론이 “~인 것은 아니다” 꼴일 때
문제 18의 결론은 “\(a\)와 \(b\)가 모두 홀수인 것은 아니다”이다. 이런 부정형
결론은 직접 증명에서 만들 목표 꼴이 없다 — \(\neg Q\)를 목표로 삼을 수는
없기 때문이다. 그런데 대우를 취하면 그 부정이 가정이 되고, 이중부정
(9주차)에 의해 “\(a\)와 \(b\)가 모두 홀수”라는 깨끗한 긍정형 가정이 손에
들어온다. 부정형 결론은 대우가 가장 잘 처리하는 꼴이다.
몸통에서는 17주차 문제 15(“홀수의 제곱을 8로 나눈 나머지는 1”)를 근거 ④로
인용한다 — 이미 증명한 명제이므로 다시 증명하지 않고 이름만 대면 된다.
18. 정수 \(a, b\)에 대해, \(4 \mid (a^2 + b^2)\)이면 \(a\)와 \(b\)가 모두 홀수인 것은 아님을 증명하시오. (즉 “적어도 하나는 짝수”. 대우: \(a, b\) 모두 홀수 \(\Rightarrow 4 \nmid (a^2 + b^2)\). 힌트: 17주차 문제 15 — 홀수 제곱은 \(8m + 1\) 꼴, 따라서 \(a^2 + b^2 = 8(m + m') + 2\))
힌트
\(a^2 = 8m+1\), \(b^2 = 8m'+1\)을 더하면 \(8(m+m') + 2\)가 된다. 이것을 4로 나눈 나머지 꼴 \(4(\text{정수}) + 2\)로 다시 묶고,
나눗셈 정리의 유일성으로 “나머지가 0인 표현은 있을 수 없다”를 결론짓는다.
19. 다음 ‘대우 증명’의 오류를 지적하시오.
“명제: \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. 증명: 대우로 증명한다. 대우는 ‘\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다’이다. \(n^2\)이 홀수라 가정하자. …”
(질문: 이 학생이 쓴 것은 대우인가? 무엇을 만들었고, 그것으로 원명제가 증명되는가?)
힌트
원명제의 \(P\)와 \(Q\)를 먼저 적고, 답안의 문장이 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)인지 \(\neg P \Rightarrow \neg Q\)인지
대조한다. 9주차 §1.7의 세 이름 중 어느 것인지가 답의 절반이고, 나머지 절반은 그것이 원명제와 동치인지 여부다.
20. (서술) (a) 대우 증명이 “새로운 증명법이 아니라 직접 증명 + 논리적 동치”인 이유를 두 문장 이내로 쓰시오. (b) 이번 주 문제들에서 대우로 갈아탄 신호 3가지를 자기 언어로 정리하시오.
힌트
(a)는 §2 관찰의 “테두리 두 줄과 몸통”을 자기 문장으로 옮기면 된다.
(b)는 §1.5의 신호 표를 외워 적는 것이 아니라, 이번 주에 푼 문제들을 신호별로 분류해 각 칸에 문제 번호를 붙여 본다.
백지 재현 — 복습 프로토콜#
권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.
1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 대우 증명의 서식(§1.2)과 근거 목록(§1.6)만 펴 놓고, 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.
2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:
대우 증명의 서식 다섯 줄을 선언과 회수까지 포함해 썼다.
대우 제작의 세 걸음(식별 \(\to\) 각각 부정 \(\to\) 자리 바꾸기)을 말할 수 있다.
갈아타기 신호 세 가지(합성식 가정 / 부정형 / “또는”\(\cdot\)”그리고” 결론)를 예와 함께 설명했다.
예제 2.1과 2.2를 백지에 처음부터 끝까지 재현했다.
“또는” 결론의 부정이 드모르간으로 “그리고” 가정이 되는 과정을 적었다.
역\(\cdot\)이\(\cdot\)대우 중 원명제와 동치인 것이 대우뿐임을 근거와 함께 말했다 (9주차).
무대 조건이 대우에서 부정되지 않는 이유를 한 문장으로 설명했다.
막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.
막힌 지점 |
처방 |
|---|---|
대우를 만들다 자리 바꾸기를 빠뜨린다 |
§1.4의 세 걸음과 예제 2.1의 자주 하는 실수 — 이와 대우의 갈림길 |
부정이 정확히 나오지 않는다 |
§1.4의 부정 표와 11주차 §1.3 총목록 — 규칙 이름을 대며 한 층씩 |
“또는”이 낀 명제에서 멈춘다 |
예제 2.3(드모르간 2 \(\to\) “그리고” 가정 두 개)과 확인 4\(\cdot\)훈련 3(드모르간 1 \(\to\) “또는” 가정 \(\to\) 경우 나누기) |
대우는 증명했는데 답안이 끝나지 않는 느낌이다 |
§1.3 해부 표의 마지막 줄 — 회수 문장이 빠졌다 |
몸통에서 계산이 막힌다 |
대우 문제가 아니라 직접 증명 문제다 — 1\(\cdot\)15\(\cdot\)17주차의 해당 부품으로 |
직접과 대우 중 무엇을 쓸지 못 정한다 |
§1.5 신호 표 — 가정을 정의로 풀 수 있는지부터 묻는다 |
하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.
해설#
각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.
빈칸 사다리 — 훈련 1#
(1) 짝수 (2) 홀수 (3) \(5k + 1\)
※ (3)에서 \(10k + 3\)을 \(10k + 2 + 1 = 2(5k+1) + 1\)로 재편하는 것이 핵심 변형이다. 상수 3을 “짝수 부분 \(+\ 1\)”로 쪼개는 리듬은 1주차 문제 7에서 익힌 것과 같다.
빈칸 사다리 — 훈련 2#
(1) 대우 (2) 짝수 (3) 정의(짝수의 정의, 근거 ①) (4) \(14a - 2\) (5) \(7a - 1\) (6) 정수의 곱과 차는 정수 (근거 ②) (7) 대우가 증명
※ 목표 꼴이 \(2 \times (\text{정수})\)이므로 \(-2\)도 괄호 안으로 들어간다. 음수가 남아 있어도 정수이기만 하면 정의가 만족된다는 것이 (6)의 내용이다.
빈칸 사다리 — 훈련 3#
(1) 대우로 증명한다. 결론 “\(x \ne 0\)이고 \(y \ne 0\)”의 부정은 드모르간 1에 의해 “\(x = 0\) 또는 \(y = 0\)”이고 가정 “\(xy \ne 0\)”의 부정은 “\(xy = 0\)”이므로, 대우는 “\(x = 0\) 또는 \(y = 0\)이면 \(xy = 0\)이다”이다. (2) \(x = 0\) 또는 \(y = 0\)이라 가정하자. (3) 경우 1: \(x = 0\). 그러면 \(xy = 0 \cdot y = 0\)이다. 경우 2: \(y = 0\). 그러면 \(xy = x \cdot 0 = 0\)이다. 가정이 “또는”으로 주어졌으므로 두 경우가 가정 전체를 빠짐없이 덮는다. (4) 두 경우 모두 \(xy = 0\)이므로 대우가 증명되었고, 따라서 \(xy \ne 0\)이면 \(x \ne 0\)이고 \(y \ne 0\)이다. \(\blacksquare\)
※ 결론의 “그리고”가 대우에서 가정의 “또는”이 되고, “또는” 가정은 경우 나누기가 처리한다. 두 경우가 대칭이므로 WLOG로 줄여도 되지만, 그때는 “이름을 맞바꾸면 같은 논증”이라는 정당화 문장을 남긴다(17주차 예제 2.3).
문제 1#
접근. 세 걸음을 순서대로 밟는다 — \(P\)와 \(Q\)를 식별하고, §1.4의 표로 각각을 부정하고, 자리를 바꾼다. (c)(d)는 결론이 “또는”이므로 드모르간 2가 한 번 더 들어가고, 그 결과 대우의 가정이 “그리고” 두 개가 된다.
풀이. (a) \(P\)는 “\(n^2\)이 홀수”, \(Q\)는 “\(n\)이 홀수”다. 각각의 부정은 짝/홀 분할에 의해 “\(n^2\)이 짝수”, “\(n\)이 짝수”이므로 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 짝수이다”. (b) \(P\)는 “\(x \ge 2\)”, \(Q\)는 “\(x^2 \ge 4\)”다. \(\ge\)의 부정은 \(<\)이므로 대우는 “\(x^2 < 4\)이면 \(x < 2\)이다”. 부등호를 \(\le\)로 적으면 부정이 아니다. (c) \(Q\)는 “\(a \mid b\) 또는 \(a \mid c\)”이므로 드모르간 2에 의해 \(\neg Q\)는 “\(a \nmid b\)이고 \(a \nmid c\)”다. \(\neg P\)는 “\(a \nmid bc\)”이므로 대우는 “\(a \nmid b\)이고 \(a \nmid c\)이면 \(a \nmid bc\)이다”. (d) \(Q\)는 “\(n = 2\)이거나 \(n\)은 홀수”이므로 드모르간 2에 의해 \(\neg Q\)는 “\(n \ne 2\)이고 \(n\)은 짝수”다. \(\neg P\)는 “\(n\)은 소수가 아니다”이므로 대우는 “\(n \ne 2\)이고 \(n\)이 짝수이면, \(n\)은 소수가 아니다”.
복기. 결론에 “또는”이 있으면 대우의 가정이 “그리고”가 되어 가정이 둘로 늘어난다 — §1.5의 셋째 신호가 (c)(d)에서 그대로 확인된다. (참고: (c)의 원명제 자체는 거짓이다 — 2주차 문제 15의 반례 \(a=6\), \(b=4\), \(c=9\). 대우를 만드는 일과 그 명제가 참인지는 별개의 물음이다.)
문제 2#
접근. §1.5의 신호 표와 한 줄씩 대조한다. 물을 것은 두 가지다 — 가정을 정의로 즉시 풀 수 있는가, 그리고 부정형이나 “또는”이 어디에 있는가.
풀이. (a) 직접. 가정 “\(n\)이 홀수”는 \(n = 2k+1\)로 즉시 전개되고, 결론 “\(n^3\)이 홀수”는 그 재료를 세제곱해 만들 수 있다. 신호가 하나도 없다 (1주차 문제 13에서 이미 이 방식으로 증명했다). (b) 대우. 가정 “\(n^3\)이 짝수”는 합성식의 성질이라 \(n\)을 꺼낼 수 없다 — 세제곱근을 취하는 조작은 근거 목록에 없다. §1.5의 첫째 신호이며, 대우의 가정 “\(n\)이 홀수”는 즉시 전개된다. (c) 대우. 가정 \(x^2 + 5x < 0\)에서 \(x\)의 부호를 직접 읽으려면 인수분해와 부호 판정이 필요해 여러 경우로 갈라진다. 대우의 가정 “\(x \ge 0\)”은 (W1)과 (W3)으로 \(x^2 \ge 0\), \(5x \ge 0\)을 즉시 준다. 역시 첫째 신호다.
복기. 신호 판정의 첫 질문은 언제나 같다 — “가정을 정의(또는 기본 성질)로 한 줄 만에 풀 수 있는가”. 풀 수 없으면 대우 쪽 가정으로 같은 질문을 던진다.
문제 3#
접근. §1.2의 서식 상자 다섯 줄이 그대로 답이다. 각 줄이 §1.3 해부 표의 어느 임무를 맡는지를 함께 적으면, 줄을 하나 잊었을 때 임무에서 복구할 수 있다.
풀이. 명제 “\(P\)이면 \(Q\)이다”에 대해: ① “대우로 증명한다. 대우는 ‘\(\neg Q\)이면 \(\neg P\)이다’이다.” — 기법 선언과 제작물 명시. ② “\(\neg Q\)라 가정하자.” — 출발점 확보. ③ 직접 증명의 몸통 — 정의 풀어쓰기, 대수 변형, 필요하면 경우 나누기. 근거는 ①~④만 쓴다. ④ “따라서 \(\neg P\)이다.” — 대우의 결론에 도달했음을 선언. ⑤ “대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. \(\blacksquare\)” — 동치(근거 ④)로 원명제를 회수.
복기. ①과 ⑤가 테두리, ②~④가 몸통이다. 몸통은 4부에서 이미 익힌 것이므로, 이번 주에 새로 외울 것은 ①과 ⑤ 두 줄과 대우 제작 절차뿐이다.
문제 4#
접근. \(P\)는 “\(n^2\)이 홀수”, \(Q\)는 “\(n\)이 홀수”이므로 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 짝수이다”이다. 이 명제는 1주차 문제 9와 같지만, 이번에는 인용으로 끝내지 않고 유도 전체를 적는다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 짝수이다”이다. \(n\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면 \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\)이고, 정수의 곱은 정수이므로(근거 ②) \(2k^2\)은 정수이다. 따라서 \(n^2\)은 짝수이다. 대우가 증명되었으므로, \(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)
복기. 예제 2.1과 이 문제는 짝수\(\cdot\)홀수가 서로 맞바뀐 쌍이다. 두 문제의 대우가 각각 1주차 문제 11과 문제 9라는 것도 대칭이다 — 1주차에서 증명해 둔 두 명제가 이번 주에 각각 한 번씩 회수된다. (검산: \(n = 6\)이면 \(n^2 = 36 = 2 \times 18\)로 짝수 ✓)
문제 5#
접근. \(P\)는 “\(n + 7\)이 짝수”, \(Q\)는 “\(n\)이 홀수”이므로 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n + 7\)은 홀수이다”이다. 가정이 \(n\)의 성질이 되어 정의가 즉시 풀린다. 목표 꼴은 \(2(\text{정수}) + 1\)이므로 7에서 1을 떼어 놓는다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n + 7\)은 홀수이다”이다. \(n\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면 \(n + 7 = 2k + 7 = 2k + 6 + 1 = 2(k + 3) + 1\)이고, 정수의 합은 정수이므로 \(k + 3\)은 정수이다(근거 ②). 따라서 \(n + 7\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로, \(n + 7\)이 짝수이면 \(n\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)
복기. 상수를 “짝수 부분 \(+\ 1\)”로 쪼개는 조작(\(7 = 6 + 1\))은 목표 꼴을 맞추기 위한 것이다. 이 리듬은 훈련 1의 (3), 문제 7, 15주차 문제 7에서 반복해서 쓰인다. (검산: \(n = 4\)이면 \(n + 7 = 11 = 2 \times 5 + 1\)로 홀수 ✓)
문제 6#
접근. 재현할 것은 다섯 줄이고, 그중 첫 줄과 마지막 줄이 대우 증명 고유의 테두리다. 몸통 세 줄은 1주차 문제 11의 증명과 같으므로, 채점의 초점은 테두리와 “짝수의 부정이 홀수”라는 근거에 있다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”이다 (짝수의 부정이 홀수인 근거는 정수의 짝/홀 분할, 17주차). \(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그러면
이고, 정수의 곱과 합은 정수이므로 \(2k^2 + 2k\)는 정수이다. 따라서 \(n^2\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)
자가 채점. 다음 네 항목을 각각 확인한다. ① 첫 문장에 “대우로 증명한다”가 있는가 ② 대우를 문장으로 적었는가 ③ \(2k^2 + 2k\)가 정수라는 확인이 있는가 ④ 마지막에 회수 문장이 있는가. ①②④ 중 하나라도 빠지면 원명제가 선언되지 않은 답안이 된다.
문제 7#
접근. \(P\)는 “\(n^2 - 6n + 5\)가 짝수”, \(Q\)는 “\(n\)이 홀수”이므로 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 - 6n + 5\)는 홀수이다”이다. 이는 15주차 문제 7과 글자 그대로 같은 명제이므로 근거 ④로 인용해도 되지만, 유도 전체를 적어 둔다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 짝수이면 \(n^2 - 6n + 5\)는 홀수이다”이다. \(n\)이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재하고, \(n^2 - 6n + 5 = 4a^2 - 12a + 5 = 4a^2 - 12a + 4 + 1 = 2(2a^2 - 6a + 2) + 1\)이다. 정수의 곱\(\cdot\)차\(\cdot\)합은 정수이므로 \(2a^2 - 6a + 2\)는 정수이고, 따라서 \(n^2 - 6n + 5\)는 홀수이다. 대우가 증명되었으므로, \(n^2 - 6n + 5\)가 짝수이면 \(n\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)
복기. 이미 증명해 둔 정리가 어떤 명제의 대우와 일치하는 경우가 있다. 그러면 그 명제는 인용 한 줄로 끝난다 — 증명을 쌓아 두면 나중에 방향을 바꿔서도 쓸 수 있다는 뜻이다. (검산: \(n = 2\)이면 \(4 - 12 + 5 = -3 = 2 \times (-2) + 1\)로 홀수 ✓)
문제 8#
접근. \(P\)는 “\(n^3\)이 짝수”, \(Q\)는 “\(n\)이 짝수”이므로 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3\)은 홀수이다”이다. 가정 “\(n^3\)이 짝수”에서 \(n\)을 꺼내려면 세제곱근이 필요한데 근거 목록에 없다 — §1.5의 첫째 신호다.
풀이 1 (직접 전개). 대우로 증명한다. 대우는 “\(n\)이 홀수이면 \(n^3\)은 홀수이다”이다. \(n\)이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 2a+1\)인 정수 \(a\)가 존재하고, \(n^3 = (2a+1)^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1 = 2(4a^3 + 6a^2 + 3a) + 1\)이다. \(4a^3 + 6a^2 + 3a\)는 정수이므로 \(n^3\)은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. \(\blacksquare\)
풀이 2 (부품 재사용). 대우의 몸통을 이렇게 써도 된다. \(n\)이 홀수이면 1주차 문제 11에 의해 \(n^2\)이 홀수이고, 홀수 \(n^2\)과 홀수 \(n\)의 곱 \(n^3 = n^2 \cdot n\)은 1주차 문제 8에 의해 홀수이다. 두 인용 모두 근거 ④다.
복기. 같은 대우를 두 가지 몸통으로 채울 수 있다. 테두리 두 줄은 어느 쪽이든 같다 — 몸통의 자유도와 서식의 고정성이 분리되어 있다는 것이 이번 주의 구조다. 이 명제는 21주차 문제 17(\(\sqrt[3]{2}\)의 무리수 증명)의 부품이 된다.
문제 9#
접근. \(P\)는 “\(x^2 + 5x < 0\)”, \(Q\)는 “\(x < 0\)”이므로 대우는 “\(x \ge 0\)이면 \(x^2 + 5x \ge 0\)이다”이다. 두 항의 부호를 따로 정한 뒤 합친다 — 근거는 16주차의 (W1)(W3)(W4)뿐이다.
풀이. 대우로 증명한다. \(<\)의 부정은 \(\ge\)이므로 대우는 “\(x \ge 0\)이면 \(x^2 + 5x \ge 0\)이다”이다. \(x \ge 0\)이라 가정하자. (W1)에 의해 \(x^2 \ge 0\)이다. 또 \(x \ge 0\)의 양변에 \(5 > 0\)을 곱하면 (W3)에 의해 \(5x \ge 0\)이다. 0 이상인 두 수의 합은 0 이상이므로((W4)의 뒷 절반) \(x^2 + 5x \ge 0\)이다. 대우가 증명되었으므로, \(x^2 + 5x < 0\)이면 \(x < 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 부등식 명제에서 대우의 몸통은 “부호를 따로 정하고 합치기”의 두 걸음이 되는 경우가 많다. 줄마다 (W1)(W3)(W4) 중 어느 것인지 이름을 대는 것이 채점 대상이다. (검산: \(x = 3\)이면 \(9 + 15 = 24 \ge 0\) ✓. \(x = -2\)이면 \(4 - 10 = -6 < 0\)이고 실제로 \(x < 0\)이다 ✓)
문제 10#
접근. 결론 “\(x\)와 \(y\)가 모두 홀수”의 부정은 드모르간 1에 의해 “\(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수”다(확인 4). 대우의 가정이 “또는”이므로 몸통은 경우 나누기이고, 두 경우가 대칭이라 WLOG로 줄일 수 있다.
풀이. 대우로 증명한다. 결론의 부정은 드모르간 1에 의해 “\(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수”이고 가정의 부정은 “\(xy\)가 짝수”이므로, 대우는 “\(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수이면 \(xy\)는 짝수이다”이다. \(x\)가 짝수이거나 \(y\)가 짝수라 가정하자. 두 경우는 \(x\)와 \(y\)의 이름을 맞바꾸면 서로 같은 논증이 되므로, 일반성을 잃지 않고 \(x\)가 짝수라 하자. 정의에 의해 \(x = 2a\)인 정수 \(a\)가 존재하고 \(xy = (2a)y = 2(ay)\)이며, \(ay\)는 정수이므로 \(xy\)는 짝수이다. 대우가 증명되었으므로, \(xy\)가 홀수이면 \(x\)와 \(y\)는 모두 홀수이다. \(\blacksquare\)
복기. WLOG를 쓸 때 반드시 남겨야 하는 것은 “이름을 맞바꾸면 같은 논증”이라는 문장이다. 그 문장이 없으면 경우 하나를 정당하게 줄인 것인지 그냥 빠뜨린 것인지 구별되지 않는다(17주차 예제 2.3).
문제 11#
접근. 재현할 것은 네 부분이다 — 선언과 대우 명시, 나눗셈 정리로 두 경우를 만들고 나머지 0을 제외한 근거, 각 경우의 완결된 계산, 회수 문장. 가장 자주 비는 칸은 “빠짐없음”의 근거 문장이다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(3 \nmid n\)이면 \(3 \nmid n^2\)이다”이다. \(3 \nmid n\)이라 가정하자. 나눗셈 정리에 의해 \(n = 3q + r\), \(0 \le r < 3\)인 정수 \(q, r\)이 유일하게 존재하고, \(3 \nmid n\)이므로 \(r \ne 0\)이다. 따라서 \(n = 3q+1\) 또는 \(n = 3q+2\)이다.
경우 1: \(n = 3q+1\). \(n^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1\)이고 \(3q^2 + 2q\)는 정수이므로 나머지는 1이다. 나머지가 유일하므로 \(3 \nmid n^2\)이다. 경우 2: \(n = 3q+2\). \(n^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1\)이고 \(3q^2 + 4q + 1\)은 정수이므로 나머지는 1이고, 역시 \(3 \nmid n^2\)이다.
두 경우가 대우의 가정 전체를 덮으므로 대우가 증명되었고, 따라서 \(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\)이다. \(\blacksquare\)
자가 채점. ① 선언과 대우 명시 ② “나눗셈 정리에 의해 … \(r \ne 0\)” 한 줄 ③ 두 경우 각각의 완결된 계산 ④ 회수 문장. ②가 빠지면 17주차 채점 기준 ①(빠짐없음)이 비고, 두 경우는 임의로 고른 두 상황이 된다.
문제 12#
접근. \(P\)는 “\(x^3 + 2x \ge 0\)”, \(Q\)는 “\(x \ge 0\)”이므로 대우는 “\(x < 0\)이면 \(x^3 + 2x < 0\)이다”이다. \(x^3\)의 부호를 \(x \cdot x^2\)로 분해해 정한 뒤 \(2x\)와 합친다.
풀이. 대우로 증명한다. \(\ge\)의 부정은 \(<\)이므로 대우는 “\(x < 0\)이면 \(x^3 + 2x < 0\)이다”이다. \(x < 0\)이라 가정하자. \(x \ne 0\)이므로 (W1)에 의해 \(x^2 > 0\)이다. 부등식 \(x < 0\)의 양변에 양수 \(x^2\)을 곱하면 (W3)에 의해 \(x \cdot x^2 < 0 \cdot x^2\), 곧 \(x^3 < 0\)이다. 또 \(x < 0\)의 양변에 양수 2를 곱하면 (W3)에 의해 \(2x < 0\)이다. 이제 \(x^3 < 0\)의 양변에 \(2x\)를 더하면 (W2)에 의해 \(x^3 + 2x < 2x\)이고, \(2x < 0\)이므로 추이성 (W6)에 의해 \(x^3 + 2x < 0\)이다. 대우가 증명되었으므로, \(x^3 + 2x \ge 0\)이면 \(x \ge 0\)이다. \(\blacksquare\)
복기. “음수 더하기 음수는 음수”를 한 줄로 쓰지 않고 (W2)와 (W6)으로 분해해 적었다. 부등식 증명에서 근거로 인용할 수 있는 것은 (W1)~(W6)뿐이므로, 직관적으로 명백한 조작도 그 여섯 개로 환원해 두는 습관이 필요하다. (검산: \(x = -1\)이면 \(-1 - 2 = -3 < 0\) ✓)
문제 13#
접근. 결론 “\(m\)과 \(n\)의 홀짝이 서로 다르다”의 부정은 “홀짝이 같다”이고, 이는 “둘 다 짝수” 또는 “둘 다 홀수”의 두 경우로 갈린다. 각 경우의 몸통은 1주차 예제 2.1과 예제 2.3이다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(m\)과 \(n\)의 홀짝이 같으면 \(m + n\)은 짝수이다”이다. \(m\)과 \(n\)의 홀짝이 같다고 가정하자. 정수는 짝수이거나 홀수이므로(17주차의 짝/홀 분할), “홀짝이 같다”는 다음 두 경우로 갈린다.
경우 1: 둘 다 짝수. 정의에 의해 \(m = 2a\), \(n = 2b\)인 정수 \(a, b\)가 존재하고 \(m + n = 2a + 2b = 2(a+b)\)이다. \(a + b\)는 정수이므로 \(m + n\)은 짝수이다. 경우 2: 둘 다 홀수. 정의에 의해 \(m = 2a+1\), \(n = 2b+1\)인 정수 \(a, b\)가 존재하고 \(m + n = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1)\)이다. \(a + b + 1\)은 정수이므로 \(m + n\)은 짝수이다.
두 경우가 “홀짝이 같다”를 빠짐없이 덮고 어느 경우에도 \(m + n\)이 짝수이므로 대우가 증명되었다. 따라서 \(m + n\)이 홀수이면 \(m\)과 \(n\)의 홀짝은 서로 다르다. \(\blacksquare\)
복기. “홀짝이 같다”처럼 관계를 서술하는 조건은 그 자체로 정의를 풀 수 없다 — 먼저 두 경우로 펼쳐야 각 경우에서 정의가 풀린다. 조건을 경우로 펼치는 것도 정의 풀어쓰기의 한 형태다. (검산: \(m = 3\), \(n = 5\)이면 홀짝이 같고 \(m + n = 8\)로 짝수 ✓)
문제 14#
접근. \(P\)는 “\(3 \nmid n^2\)”, \(Q\)는 “\(3 \nmid n\)”이다. 두 부정을 각각 뒤집고 자리를 바꾸면 대우는 “\(3 \mid n\)이면 \(3 \mid n^2\)이다”가 된다. 원명제가 “부정형 \(\Rightarrow\) 부정형”이었으므로 대우는 긍정형 두 개가 되어 오히려 짧아진다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(3 \mid n\)이면 \(3 \mid n^2\)이다”이다. \(3 \mid n\)이라 가정하자. 정의에 의해 \(n = 3k\)인 정수 \(k\)가 존재하고 \(n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)\)이다. \(3k^2\)은 정수이므로 \(3 \mid n^2\)이다. 대우가 증명되었으므로, \(3 \nmid n^2\)이면 \(3 \nmid n\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 예제 2.2(\(3 \mid n^2 \Rightarrow 3 \mid n\))와 이 문제 (\(3 \nmid n^2 \Rightarrow 3 \nmid n\))는 서로 다른 명제다. 이 문제의 대우 “\(3 \mid n \Rightarrow 3 \mid n^2\)”은 2주차 훈련 1(\(a \mid b \Rightarrow a \mid bc\))에 \(b = c = n\)을 넣은 것과 같으므로, 그 결과를 근거 ④로 인용해 한 줄로 끝낼 수도 있다. 방향을 확인하지 않고 예제 2.2를 인용하면 다른 명제를 인용한 것이 되므로 주의한다.
문제 15#
접근. 대우는 “\(5 \nmid n\)이면 \(5 \nmid n^2\)이다”이다. 예제 2.2의 3을 5로 바꾼 구조이고, 경우가 네 개로 늘어난다. \(n = 5q + r\)에서 \(n^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2\)이므로, 확인할 것은 \(r^2\)을 5로 나눈 나머지뿐이다.
풀이. 대우로 증명한다. 대우는 “\(5 \nmid n\)이면 \(5 \nmid n^2\)이다”이다. \(5 \nmid n\)이라 가정하자. 나눗셈 정리에 의해 \(n = 5q + r\), \(0 \le r < 5\)인 정수 \(q, r\)이 유일하게 존재하고, \(5 \nmid n\)이므로 \(r \ne 0\), 곧 \(r \in \{1, 2, 3, 4\}\)이다. 그러면 \(n^2 = (5q + r)^2 = 25q^2 + 10qr + r^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2\)이므로, \(n^2\)을 5로 나눈 나머지는 \(r^2\)을 5로 나눈 나머지와 같다. 네 경우를 각각 확인한다.
경우 1: \(r = 1\). \(r^2 = 1 = 5 \times 0 + 1\) — 나머지 1. 경우 2: \(r = 2\). \(r^2 = 4 = 5 \times 0 + 4\) — 나머지 4. 경우 3: \(r = 3\). \(r^2 = 9 = 5 \times 1 + 4\) — 나머지 4. 경우 4: \(r = 4\). \(r^2 = 16 = 5 \times 3 + 1\) — 나머지 1.
네 경우 모두 나머지가 1 또는 4이고 0이 아니다. 나머지는 유일하므로 \(n^2\)을 \(5 \times (\text{정수})\)로 쓰는 표현은 없고, 따라서 \(5 \nmid n^2\)이다. 대우가 증명되었으므로, \(5 \mid n^2\)이면 \(5 \mid n\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 18주차 문제 13에서 “제곱수를 5로 나눈 나머지는 0, 1, 4”를 증명할 때 중요했던 것은 나온 값이 아니라 나오지 않은 값(2와 3)이었다. 이번에는 나머지 0이 나오지 않는다는 사실이 그대로 결론이 된다. 이 명제는 24주차 문제 14(\(\sqrt{5}\)의 무리수 증명)의 부품이다. (검산: \(n = 7\)이면 \(n^2 = 49 = 5 \times 9 + 4\)로 나머지 4 ✓)
문제 16#
접근. 결론 “\(x\)가 무리수이거나 \(y\)가 무리수”의 부정은 드모르간 2에 의해 “\(x\)와 \(y\)가 모두 유리수”이고, 가정 “\(x+y\)가 무리수”의 부정은 “\(x+y\)가 유리수”다. 대우는 15주차 예제 2.2와 같은 명제가 된다.
풀이. 대우로 증명한다. 결론의 부정은 드모르간 2에 의해 “\(x\)와 \(y\)가 모두 유리수”이므로, 대우는 “\(x\)와 \(y\)가 모두 유리수이면 \(x + y\)는 유리수이다”이다. \(x\)와 \(y\)를 유리수라 가정하자. 정의에 의해 \(x = \frac{a}{b}\), \(y = \frac{c}{d}\)인 정수 \(a, b, c, d\) (\(b \ne 0\), \(d \ne 0\))가 존재하고, \(x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\)이다. \(ad + bc\)와 \(bd\)는 정수이다(근거 ②). 또 \(b \ne 0\)이고 \(d \ne 0\)이므로 \(bd \ne 0\)이다(2주차 문제 20에서 인정하고 쓰기로 한 사실 — 정수의 곱이 0이면 인수 중 하나가 0이다. 25주차 문제 13에서 영인수 성질이라는 이름으로 다시 만난다). 따라서 \(x + y\)는 유리수의 정의를 만족한다. 대우가 증명되었으므로, \(x + y\)가 무리수이면 \(x\)가 무리수이거나 \(y\)가 무리수이다. \(\blacksquare\)
복기. “무리수”는 “유리수가 아니다”라는 부정형 개념이라 풀어 쓸 정의 꼴이 없다. 대우로 뒤집으면 정의를 가진 “유리수”의 명제가 되고, 15주차에서 이미 증명해 둔 닫힘성이 그대로 몸통이 된다 — §1.5의 둘째 신호의 전형이다. (23주차 문제 18에서 이 대우를 잘못 만든 답안, 곧 “유리수이거나”로 적은 답안을 다시 해부한다.)
문제 17#
접근. 무대 조건 “\(x, y \ge 0\)”은 부정되지 않고 그대로 남는다(확인 5). \(P\)는 “\(x \ne y\)”, \(Q\)는 “\(x^2 \ne y^2\)”이므로 대우는 “\(x^2 = y^2\)이면 \(x = y\)이다”이다. 몸통은 이항과 인수분해로 시작한다.
풀이. 대우로 증명한다. \(x, y \ge 0\)인 실수에 대해, 대우는 “\(x^2 = y^2\)이면 \(x = y\)이다”이다. \(x^2 = y^2\)이라 가정하자. 양변에서 \(y^2\)을 빼면 \(x^2 - y^2 = 0\)이고, 인수분해하면 \((x - y)(x + y) = 0\)이다. 실수의 곱이 0이면 인수 중 적어도 하나가 0이므로(2주차 문제 20에서 정수 판본을 인정하고 쓰기로 한 성질이며, 실수에서도 같은 형태로 인정하고 쓴다), \(x - y = 0\) 또는 \(x + y = 0\)이다. 경우 1: \(x - y = 0\). 그러면 \(x = y\)이다. 경우 2: \(x + y = 0\). 그러면 \(x = -y\)이다. 무대 조건에서 \(y \ge 0\)이므로 \(-y \le 0\), 곧 \(x \le 0\)이다. 한편 무대 조건에서 \(x \ge 0\)이므로 \(x = 0\)이고, 따라서 \(y = -x = 0 = x\)이다. 두 경우 모두 \(x = y\)이므로 대우가 증명되었다. 따라서 \(x, y \ge 0\)일 때 \(x \ne y\)이면 \(x^2 \ne y^2\)이다. \(\blacksquare\)
부호 제한이 없으면 거짓임을 보이는 반례. \(x = 1\), \(y = -1\)을 잡으면 가정 \(x \ne y\)는 참이지만(\(1 \ne -1\)) 결론은 거짓이다(\(x^2 = 1 = y^2\)). 따라서 무대에서 \(x, y \ge 0\)을 지운 명제는 거짓이다.
복기. 무대 조건은 대우에서 부정되지 않지만, 몸통에서는 반드시 소비된다 — 이 증명에서는 경우 2를 닫는 데 두 번 쓰였다. 가정이 한 번도 쓰이지 않은 증명은 그 가정이 필요 없는 더 강한 명제를 증명했거나 어딘가에서 몰래 썼거나 둘 중 하나다(18주차 §1의 점검 항목 ⑤).
문제 18#
접근. 결론 “\(a\)와 \(b\)가 모두 홀수인 것은 아니다”는 부정형이라 만들 목표 꼴이 없다. 대우를 취하면 이중부정에 의해 “\(a\)와 \(b\)가 모두 홀수”라는 깨끗한 긍정형 가정이 되고, 몸통은 17주차 문제 15의 인용으로 시작한다.
풀이. 대우로 증명한다. 결론의 부정은 이중부정에 의해 “\(a\)와 \(b\)가 모두 홀수”이고 가정의 부정은 “\(4 \nmid (a^2 + b^2)\)”이므로, 대우는 “\(a\)와 \(b\)가 모두 홀수이면 \(4 \nmid (a^2 + b^2)\)이다”이다. \(a\)와 \(b\)가 홀수라 가정하자. 17주차 문제 15에 의해 홀수의 제곱을 8로 나눈 나머지는 1이므로, \(a^2 = 8m + 1\), \(b^2 = 8m' + 1\)인 정수 \(m, m'\)이 존재하고, \(a^2 + b^2 = 8(m + m') + 2 = 4\big(2(m + m')\big) + 2\)이다. \(2(m+m')\)은 정수이므로 \(a^2 + b^2\)을 4로 나눈 나머지는 2이다. 나눗셈 정리에서 나머지는 유일하므로 나머지가 0인 표현은 존재할 수 없고, 따라서 \(4 \nmid (a^2 + b^2)\)이다. 대우가 증명되었으므로, \(4 \mid (a^2 + b^2)\)이면 \(a\)와 \(b\)가 모두 홀수인 것은 아니다. \(\blacksquare\)
복기. 부정형 결론(“~인 것은 아니다”, “적어도 하나는 ~이다”)은 대우가 가장 잘 처리하는 꼴이다. 부정을 가정 쪽으로 옮기면 이중부정이 풀려 긍정형이 되기 때문이다. 이 결과는 20주차에서 합동의 언어로 다시 얻는다. (검산: \(a = 3\), \(b = 5\)이면 \(a^2 + b^2 = 34 = 4 \times 8 + 2\)로 나머지 2 ✓)
문제 19#
접근. 원명제의 \(P\)와 \(Q\)를 먼저 적고, 답안의 문장이 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)인지 \(\neg P \Rightarrow \neg Q\)인지 대조한다. 9주차 §1.7의 세 이름 중 어느 것인지가 답의 절반이고, 나머지 절반은 그것이 원명제와 동치인지 여부다.
풀이. 원명제에서 \(P\)는 “\(n^2\)이 짝수”, \(Q\)는 “\(n\)이 짝수”이므로 \(\neg P\)는 “\(n^2\)이 홀수”, \(\neg Q\)는 “\(n\)이 홀수”이고, 올바른 대우는 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\), 곧 **”\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”**이다. 답안이 적은 “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다”는 \(\neg P \Rightarrow \neg Q\)이므로 대우가 아니라 **이(inverse)**다. 부정 두 번은 정확히 수행되었지만 자리를 바꾸지 않았다. 이는 원명제와 동치가 아니므로(9주차 문제 13에서 반례 행으로 확인), 그것을 증명해도 원명제는 증명되지 않는다.
이 오류가 드러나지 않는 이유. 이 경우의 이 “\(n^2\)이 홀수이면 \(n\)은 홀수이다”는 마침 참인 명제다(문제 4). 그래서 답안은 끝까지 완주되고 계산에도 오류가 없다 — 드러나지 않는 것은 계산이 아니라 증명 대상이 바뀌었다는 사실이다. 서식의 둘째 줄(“대우는 …이다”)을 적고 원명제와 대조하는 절차가 이 오류를 답안 안에서 잡는 유일한 장치다(§1.3의 삭제 실험).
복기. 대우를 만든 직후 항상 두 가지를 확인한다 — ① 부정을 두 번 했는가 ② 자리를 바꾸었는가. ②만 빠지면 이가 되고, ①만 빠지면 역이 된다. 셋 중 원명제와 동치인 것은 대우뿐이다.
문제 20#
접근. (a)는 §2 관찰의 “테두리 두 줄과 몸통”을 자기 문장으로 옮긴다. (b)는 §1.5의 신호 표를 외워 적는 것이 아니라, 이번 주에 푼 문제들을 신호별로 분류해 각 칸에 문제 번호를 붙인다.
풀이. (예시 답안)
(a) 대우 증명의 몸통은 \(\neg Q\)에서 출발해 \(\neg P\)에 도달하는 평범한 직접 증명이고, 그 결과가 원명제의 증명으로 인정되는 근거는 진리표로 확인된 동치 \(P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P\)(9주차 예제 2.1) 하나뿐이다. 곧 새로운 추론 규칙이 추가된 것이 아니라, 동치인 두 명제 중 어느 쪽을 직접 증명할지 고르는 선택이 하나 생긴 것이다.
(b) ① 가정이 합성식일 때. 가정이 \(n^2\), \(n^3\), \(5n+3\)처럼 변수를 가공한 식의 성질이면 그 식에서 변수를 되꺼낼 수단이 없다. 대우에서는 변수 자체의 성질이 가정이 되어 정의가 즉시 풀린다 (문제 4, 7, 8, 훈련 1, 훈련 2). 문제 5의 \(n + 7\)처럼 계수가 1이면 뺄셈만으로 변수를 되꺼낼 수 있어 직접 증명도 되지만, 대우 쪽이 더 짧다. ② 부정형이 끼어 있을 때. \(\nmid\), \(\ne\), 무리수처럼 “아니다”로 서술되는 개념에는 풀어 쓸 정의 꼴이 없다. 대우에서는 그 자리가 긍정형 개념으로 바뀌어 정의를 가진 대상이 된다 (문제 14, 16, 17, 18). ③ 결론이 “또는” 또는 “그리고”일 때. “또는” 결론은 어느 쪽이 참인지 지목할 수 없어 목표 꼴을 정할 수 없고, “그리고” 결론은 두 주장을 한꺼번에 만들어야 한다. 대우에서는 “또는” 결론이 드모르간 2로 “그리고” 가정 두 개가 되고(예제 2.3, 문제 16), “그리고” 결론이 드모르간 1로 “또는” 가정이 되어 경우 나누기로 처리된다 (문제 10, 훈련 3). 문제 13의 결론 “홀짝이 서로 다르다”도 부정하면 “둘 다 짝수 또는 둘 다 홀수”라는 “또는” 가정이 되어 같은 경로를 탄다.
복기. 세 신호는 서로 배타적이지 않다. 문제 16은 ②와 ③이 함께 걸려 있고, 예제 2.2는 ①이 걸린 자리에서 몸통이 경우 나누기로 채워졌다. 신호가 여럿이면 대우가 유리하다는 판단은 더 강해진다.
다음 주 예고: 대우와 직접 증명이 함께 쓰일 연습장으로 정수의 합동 \(a \equiv b \pmod n\)을 배운다. “나머지가 같다”를 \(n \mid (a - b)\)로 정의하고, 2주차의 나누어떨어짐 정리들로 그 성질을 쌓아 올린다. 이번 주 예제 2.2와 문제 15에서 나머지를 손으로 계산한 자리들이 기호 하나로 정리되고, 9의 배수 판정법 같은 규칙이 그 언어로 증명된다. 수학적 글쓰기 규칙도 함께 정리한다.