# 19주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 대우 증명을 함께 만들기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 대우 제작부터 회수까지 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 1주차에 남겨 둔 명제 **명제.** 정수 $n$에 대해, $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 대우 증명에서도 먼저 정할 것은 출발점과 도착점이다. 다만 그 둘이 원명제가 아니라 **대우**에서 나온다는 점이 다르다. | | **말** | **번역** | |---|---|---| | 원명제 | $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다 | $P$: $n^2$이 짝수 / $Q$: $n$이 짝수 | | 대우의 가정 — 출발점 | $\neg Q$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 대우의 결론 — 도착점 | $\neg P$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 8.** 번역표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 그리고 (1)이 §1.1의 막힘을 어떻게 없애는지 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) "$n$은 홀수이다" — 곧 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. (2) "$n^2$은 홀수이다" — 곧 $n^2 = 2 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴을 만들어야 한다. (1)의 가정은 좌변이 $n$인 등식을 즉시 준다. §1.1에서 없던 "$n$에 대한 등식"이 출발점으로 확보되었으므로 계산이 시작된다. ::: **1단계 — 기법을 선언하고 대우를 적는다.** 증명의 첫 문장은 아래 문장들의 신분을 밝히는 문장이다. 이 줄이 없으면 둘째 문장의 "홀수라 가정하자"가 원명제의 가정으로 읽힌다. :::{container} quotebox **확인 9.** 첫 문장을 완성해 보자: "대우로 증명한다. 대우는 '$\underline{\qquad}$이면 $\underline{\qquad}$이다'이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "대우로 증명한다. 대우는 '$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다'이다." 부정 두 번(짝수 $\to$ 홀수)과 자리 바꾸기 한 번이 이 줄에 들어 있다. 자리를 바꾸지 않고 "$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다"라고 적으면 이(inverse)가 되고, 그것으로는 원명제가 증명되지 않는다(문제 19). ::: **2단계 — 대우의 가정을 세우고 정의를 푼다.** 여기서부터는 직접 증명과 한 줄도 다르지 않다. 4부의 3단계 틀이 그대로 들어온다. :::{container} quotebox **확인 10.** 둘째 문장을 완성해 보자: "$n$이 $\underline{\quad}$라 가정하자. 정의에 의해 $n = \underline{\qquad}$인 정수 $k$가 존재한다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$n$이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다." 홀수가 가정에 있으므로 정의 1.2에서 정수 $k$를 받아 온다 — 1주차 §1.3의 방향 표 그대로다. ::: **3단계 — 도착점의 꼴로 계산한다.** 도착점은 $n^2 = 2 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴이다. 재료 $2k+1$을 제곱해 그 꼴로 정리한다. :::{container} quotebox **확인 11.** 셋째 문장을 완성해 보자: "그러면 $n^2 = (2k+1)^2 = \underline{\qquad} = 2(\,\underline{\qquad}\,) + 1$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. 전개한 뒤 $+1$만 남기고 앞의 두 항에서 2를 묶었다(근거 ③). 1주차 문제 8에서 익힌 리듬 — 전개 $\to$ $+1$ 남기기 $\to$ 2로 묶기 — 그대로다. ::: **4단계 — 괄호 안이 정수인지 확인하고 도착점을 선언한다.** 대우의 결론에 정확히 도달했음을 문장으로 적는다. :::{container} quotebox **확인 12.** 넷째 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$이므로 $2k^2 + 2k$는 정수이고, 따라서 $n^2$은 $\underline{\quad}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "정수의 곱과 합은 정수이므로"(근거 ②) $2k^2 + 2k$는 정수이고, 따라서 $n^2$은 **홀수**이다. 이 줄이 대우의 결론 $\neg P$에 도달한 지점이다. 여기서 증명을 끝내면 대우만 증명하고 원명제는 손대지 않은 답안이 된다. ::: **5단계 — 원명제를 회수한다.** 대우 증명에만 있는 마지막 줄이다. :::{container} quotebox **확인 13.** 마지막 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$되었으므로, $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다. $\blacksquare$" 이 줄이 인용하는 근거는 몇 번인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "대우가 증명되었으므로, $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다. $\blacksquare$" 인용하는 근거는 ④ — 9주차 예제 2.1에서 진리표로 증명한 동치 $P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P$다. 이 줄이 없으면 답안은 원명제와 동치인 명제까지만 증명한 채 그 동치를 인용하지 않은 상태로 남고, 원명제는 선언되지 않는다. ::: **완성본.** 방금 만든 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다"이다. | 기법 선언 + 제작물 명시. 짝수의 부정이 홀수인 근거는 정수의 짝/홀 분할(17주차)이다. | | $n$이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. | 대우의 가정을 세우고 정의를 푼다(근거 ①). §1.1에서 없던 "$n$에 대한 등식"이 여기서 손에 들어온다. | | 그러면 $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$이다. | 도착점 $2 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴로 변형(근거 ③). 대우의 몸통은 평범한 직접 증명이다. | | $2k^2 + 2k$는 정수이므로 $n^2$은 홀수이다. | 괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 대우의 결론 $\neg P$를 선언한다. | | 대우가 증명되었으므로, $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다. $\blacksquare$ | 동치(근거 ④)로 원명제를 회수한다. 대우 증명에만 있는 줄이다. | **대입해 읽어 보기.** $k = 3$을 넣으면 $n = 7$이고 $n^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$로 홀수다. $k = -2$를 넣으면 $n = -3$, $n^2 = 9 = 2 \times 4 + 1$로 역시 홀수다. 어느 정수를 넣어도 다섯 줄이 그대로 성립한다 — 증명의 어느 줄도 $k$가 특정 정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문이다. **[주의] 자주 하는 실수: 부정만 하고 자리를 바꾸지 않는 것.** "$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다"라고 적는 경우가 많다. 부정 두 번은 정확하게 수행되었고, 게다가 이 명제는 참이라서 몸통도 끝까지 완주된다. 빠진 것은 자리 바꾸기 하나이며, 그 하나가 대우와 이를 가른다. (문제 19에서 이 답안을 해부한다.) ### 예제 2.2 — 대우와 경우 나누기의 조합 **명제.** 정수 $n$에 대해, $3 \mid n^2$이면 $3 \mid n$이다. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다. :::{container} quotebox **확인 14.** 번역표를 채워 보자. $P$: $\underline{\qquad}$ / $Q$: $\underline{\qquad}$ 대우: "$\underline{\qquad}$이면 $\underline{\qquad}$이다" 그리고 대우의 가정에서 $n$을 어떤 꼴로 쓸 수 있는지 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $P$는 "$3 \mid n^2$", $Q$는 "$3 \mid n$"이므로 대우는 "$3 \nmid n$이면 $3 \nmid n^2$이다". 대우의 가정에서 $n$은 나눗셈 정리에 의해 $n = 3q$, $n = 3q+1$, $n = 3q+2$ 중 정확히 하나의 꼴인데, $3 \nmid n$이므로 첫째 꼴은 제외된다 — 남는 것은 $n = 3q+1$과 $n = 3q+2$의 두 경우다. 신호로 보면 원명제의 가정 $3 \mid n^2$이 합성식 $n^2$의 성질이라 $n$을 꺼낼 수 없다 — §1.5의 첫째 신호다. 몸통에서 경우 나누기가 필요할 뿐이다. ::: :::{container} quotebox **확인 15.** 위의 두 경우가 대우의 가정 전체를 빠짐없이 덮는다는 근거는 무엇인가. 그 근거는 증명 안에서 어느 문장이 담당하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 근거는 나눗셈 정리다 — 정수 $n$과 자연수 3에 대해 $n = 3q + r$, $0 \le r < 3$인 정수 $q, r$이 유일하게 존재한다(17주차에서 인정하고 쓰기로 했다. 33주차 최소원리에서 증명한다). 유일성이 "정확히 한 경우"를 보장하고, $3 \nmid n$이 $r = 0$을 배제한다. 증명 안에서는 "나눗셈 정리에 의해 … 나머지 0은 제외"라는 문장이 이 근거를 담당한다. 이 문장이 빠지면 아래 두 경우는 임의로 고른 두 상황일 뿐이고, 17주차 경우 나누기의 채점 기준 ①이 비게 된다. ::: **증명.** 대우로 증명한다. 대우는 "$3 \nmid n$이면 $3 \nmid n^2$이다"이다. $3 \nmid n$이라 가정하자. 나눗셈 정리에 의해 $n = 3q + r$, $0 \le r < 3$인 정수 $q, r$이 유일하게 존재하는데, $3 \nmid n$이므로 $r \ne 0$이다. 따라서 $n = 3q+1$ 또는 $n = 3q+2$이다. **경우 1: $n = 3q+1$.** 그러면 $$ n^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 $$ 이고 $3q^2 + 2q$는 정수이므로, $n^2$을 3으로 나눈 나머지는 1이다. 나머지가 유일하므로 나머지가 0인 경우는 있을 수 없고, 따라서 $3 \nmid n^2$이다. **경우 2: $n = 3q+2$.** 그러면 $$ n^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 $$ 이고 $3q^2 + 4q + 1$은 정수이므로, 이 경우에도 나머지는 1이고 $3 \nmid n^2$이다. 두 경우가 대우의 가정 전체를 덮고 어느 경우에도 $3 \nmid n^2$이므로 대우가 증명되었다. 따라서 $3 \mid n^2$이면 $3 \mid n$이다. $\blacksquare$ **구조 읽기.** 17주차 문제 8(제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0 또는 1)의 계산이 그대로 몸통으로 들어왔다. 대우가 명제의 방향을 바꾸고, 경우 나누기가 그 안에서 계산을 수행한다 — 기법은 겹쳐 쓰는 것이다. 이 명제는 21주차에서 "$\sqrt{3}$은 무리수"의 부품이 된다. (검산: $n = 5$이면 $n^2 = 25 = 3 \times 8 + 1$로 나머지 1 ✓. $n = 7$이면 $n^2 = 49 = 3 \times 16 + 1$ ✓. 검산은 증명이 아니지만 계산 오류는 잘 잡아낸다.) ### 예제 2.3 — 결론이 "또는"인 명제 **명제.** 실수 $x, y$에 대해, $x + y > 10$이면 $x > 5$ 또는 $y > 5$이다. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 16.** 번역표: $P$: $\underline{\qquad}$ / $Q$: $\underline{\qquad}$ / $\neg Q = \underline{\qquad}$ / $\neg P = \underline{\qquad}$ / 대우 $= \underline{\qquad}$. 그리고 원명제를 직접 증명하려 할 때 무엇이 막히는지 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $P$는 "$x + y > 10$", $Q$는 "$x > 5$ 또는 $y > 5$"이다. 드모르간 2에 의해 $\neg Q$는 "$x \le 5$이고 $y \le 5$"이고, $\neg P$는 "$x + y \le 10$"이다. 대우는 "$x \le 5$이고 $y \le 5$이면 $x + y \le 10$이다". 직접 증명이 막히는 이유: 결론이 "또는"이므로 어느 쪽이 참인지 지목해야 하는데, 가정 $x + y > 10$만으로는 지목할 수 없다($x = 100$일 수도 $y = 100$일 수도 있다). 대우에서는 그 "또는"이 가정의 "그리고"가 되어 부등식 두 개를 손에 쥐고 시작한다. ::: **증명.** 대우로 증명한다. 결론 "$x > 5$ 또는 $y > 5$"의 부정은 드모르간 2에 의해 "$x \le 5$이고 $y \le 5$"이므로, 대우는 "$x \le 5$이고 $y \le 5$이면 $x + y \le 10$이다"이다. $x \le 5$이고 $y \le 5$라 가정하자. $x \le 5$의 양변에 $y$를 더하면 (W2)에 의해 $x + y \le 5 + y$이고, $y \le 5$의 양변에 5를 더하면 (W2)에 의해 $5 + y \le 10$이다. 두 부등식을 추이성 (W6)으로 이으면 $x + y \le 10$이다(두 부등호가 모두 $\le$인 자리다 — 등호가 성립하면 $x + y = 5 + y \le 10$이고, 아니면 $x + y < 5 + y \le 10$이므로 16주차 (W6)의 "부등호 하나가 $\le$" 판본이 그대로 적용된다). 대우가 증명되었으므로, $x + y > 10$이면 $x > 5$ 또는 $y > 5$이다. $\blacksquare$ 이번 증명은 표 없이 **산문**으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 부등식 두 개를 변끼리 더하는 조작이 (W2) 두 번과 (W6) 한 번으로 분해된다는 것도 그대로 유지했다 — 16주차 문제 2(c)와 같은 분해다. ### 관찰 — 세 증명의 같은 뼈대 예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재도 다르고 몸통의 도구도 다르다(전개 / 경우 나누기 / 부등식). 그런데 앞뒤는 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. :::{container} quotebox **확인 17.** 예제 2.3의 산문에서 각 단계에 해당하는 문장을 찾아 보자. ① 선언과 대우 명시: $\underline{\qquad}$ ② $\neg Q$ 가정: $\underline{\qquad}$ ③ 몸통(직접 증명): $\underline{\qquad}$ ④ $\neg P$ 도착과 회수: $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① "대우로 증명한다. 결론의 부정은 드모르간 2에 의해 … 대우는 '…'이다." ② "$x \le 5$이고 $y \le 5$라 가정하자." ③ "(W2)에 의해 $x + y \le 5 + y$이고 … (W6)으로 이으면 $x + y \le 10$이다." ④ "대우가 증명되었으므로, $x + y > 10$이면 $x > 5$ 또는 $y > 5$이다." 예제 2.1과 2.2도 정확히 이 네 걸음이다. ③에 들어가는 도구만 명제마다 다르다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **테두리 두 줄과 몸통** 대우 증명은 **테두리 두 줄**(앞의 선언$\cdot$대우 명시 + 뒤의 회수)과 그 사이의 **몸통**으로 되어 있다. 몸통은 4부에서 배운 직접 증명 그대로이므로, 이번 주에 새로 익힐 것은 테두리 두 줄과 대우 제작뿐이다. ::: 이 관찰이 이번 주 학습량의 실제 크기다. 대우 증명이 어렵게 느껴지는 지점은 몸통이 아니라 대우 제작 — 곧 11주차 부정 규칙의 정확한 적용 — 에 몰려 있다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 **명제.** 정수 $n$에 대해, $5n + 3$이 짝수이면 $n$은 홀수이다. **증명.** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 $\underline{\quad(1)\quad}$이면 $5n + 3$은 $\underline{\quad(2)\quad}$이다"이다. $n$이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ 5n + 3 = 10k + 3 = 2\big(\underline{\quad(3)\quad}\big) + 1 $$ 이고 괄호 안은 정수이므로 $5n + 3$은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. $\blacksquare$ ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** 정수 $n$에 대해, $7n - 2$가 홀수이면 $n$은 홀수이다. **증명.** $\underline{\quad(1)\quad}$로 증명한다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $7n - 2$는 $\underline{\quad(2)\quad}$이다"이다. $n$이 짝수라 가정하자. $\underline{\quad(3)\quad}$에 의해 $n = 2a$인 정수 $a$가 존재한다. 그러면 $$ 7n - 2 = \underline{\quad(4)\quad} = 2(\underline{\quad(5)\quad}) $$ 이고, $\underline{\quad(6)\quad}$이므로 괄호 안은 정수이다. 따라서 $7n - 2$는 짝수이다. $\underline{\quad(7)\quad}$되었으므로 원명제가 성립한다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 대우 제작에 드모르간이 끼고, 몸통에 경우 나누기가 필요하다. 네 칸을 통째로 채운다. **명제.** 실수 $x, y$에 대해, $xy \ne 0$이면 $x \ne 0$이고 $y \ne 0$이다. **증명의 뼈대.** - ① 선언과 대우 명시: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② $\neg Q$ 가정: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 몸통(경우 나누기): $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ $\neg P$ 도착과 회수: $\underline{\quad(4)\quad}$ (결론이 "그리고"이므로 그 부정은 드모르간 1로 "또는"이 된다. 가정이 "또는"이면 경우 나누기 — 17주차의 채점 기준 두 가지를 그대로 지킨다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 대우 증명 문제는 반드시 "대우로 증명한다 + 대우 명시" 서식을 지킨다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. 대우의 몸통이 아무리 정확해도 테두리 두 줄(선언$\cdot$대우 명시 / 회수)이 없으면 원명제는 증명되지 않은 채로 남는다. "$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수임을 보였다"로 끝난 답안은 원명제와 동치인 명제까지만 증명하고 그 동치를 인용하지 않은 것이며, 원명제는 아직 선언되지 않았다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** 다음 명제의 대우를 쓰시오 (증명 불필요; 부정을 정확히). (a) $n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다. (b) $x \ge 2$이면 $x^2 \ge 4$이다. (c) $a \mid bc$이면 $a \mid b$ 또는 $a \mid c$이다. (d) $n$이 소수이면 $n = 2$이거나 $n$은 홀수이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 걸음을 순서대로 밟는다 — $P$와 $Q$를 식별하고, §1.4의 표로 각각을 부정하고, 자리를 바꾼다. (c)(d)는 결론에 "또는"이 있으므로 드모르간 2가 한 번 더 들어간다. ::: **2.** 다음 명제들에 대해 "직접 / 대우" 중 유리해 보이는 기법과 그 이유(신호)를 한 줄씩 쓰시오 (증명 불필요). (a) $n$이 홀수이면 $n^3$이 홀수이다. (b) $n^3$이 짝수이면 $n$이 짝수이다. (c) $x^2 + 5x < 0$이면 $x < 0$이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.5의 신호 표와 한 줄씩 대조한다. 물을 것은 두 가지다 — 가정을 정의로 즉시 풀 수 있는가, 그리고 부정형이나 "또는"이 어디에 있는가. ::: **3.** [백지] 대우 증명의 서식(선언 $\to$ $\neg Q$ 가정 $\to$ … $\to$ $\neg P$ $\to$ 회수)을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.2의 서식 상자 다섯 줄이 그대로 답이다. 각 줄이 §1.3 해부 표의 어느 임무를 맡는지도 함께 적으면 백지 재현(§5)의 준비가 된다. ::: **4.** 정수 $n$에 대해, $n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수임을 대우로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다"이다 — 1주차 문제 9가 그 몸통이다. 예제 2.1과 짝수$\cdot$홀수가 서로 뒤바뀐 명제라는 점을 확인하고 시작한다. ::: **5.** 정수 $n$에 대해, $n + 7$이 짝수이면 $n$은 홀수임을 대우로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 대우의 가정은 "$n$이 짝수"다. $n = 2k$를 대입하면 $2k + 7$이 되는데, 목표 꼴은 $2(\text{정수}) + 1$이다. 7에서 1을 떼어 놓으면 묶을 수 있다. ::: **6.** 예제 2.1을 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다섯 줄이다 — 선언과 대우 명시 / 가정과 정의 풀기 / 전개와 묶기 / 정수 확인과 $\neg P$ 선언 / 회수. 다 쓴 뒤 예제 2.1의 완성본 표와 줄 단위로 대조한다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 정수 $n$에 대해, $n^2 - 6n + 5$가 짝수이면 $n$은 홀수임을 대우로 증명하시오. (힌트: 대우의 몸통은 15주차 문제 7) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2 - 6n + 5$는 홀수이다"이고, 이는 15주차 문제 7의 명제와 글자 그대로 같다. 이미 증명한 명제를 인용해도 되지만(근거 ④), 이번에는 $n = 2a$를 대입해 유도 전체를 다시 적어 본다. ::: **8.** 정수 $n$에 대해, $n^3$이 짝수이면 $n$은 짝수임을 대우로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 대우 "$n$이 홀수이면 $n^3$은 홀수이다"는 1주차 문제 13에서 증명했다. $(2a+1)^3$의 전개가 부담스러우면 $n^3 = n^2 \cdot n$으로 쪼개 1주차 문제 11과 문제 8을 부품으로 쓰는 길도 있다. ::: :::{admonition} 부등식 명제에 대우를 쓸 때 :class: quotebox 문제 9와 문제 12는 부등식이 대우와 처음 만나는 자리다. 두 가지를 확인해 두고 시작한다. ① 부등호의 부정은 반대 방향 부등호가 아니라 "성립하지 않는 경우 전부"다 — $<$의 부정은 $\ge$, $\ge$의 부정은 $<$이다(11주차 §1.3). ② 몸통에서 쓸 수 있는 부등식 근거는 16주차의 (W1)~(W6)뿐이다. 특히 (W1) $x^2 \ge 0$, (W3) 양수를 곱해도 방향이 유지됨, (W4) 0 이상끼리의 합과 곱은 0 이상, (W6) 추이성을 각각 어느 줄에서 쓰는지 이름을 대며 적는다. ::: **9.** 실수 $x$에 대해, $x^2 + 5x < 0$이면 $x < 0$임을 대우로 증명하시오. (대우의 가정에서 $x^2 \ge 0$과 (W4)를 활용) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 대우는 "$x \ge 0$이면 $x^2 + 5x \ge 0$이다"이다. 두 항을 따로 처리한다 — $x^2$의 부호는 (W1)이 바로 주고, $5x$의 부호는 $x \ge 0$의 양변에 5를 곱해(W3) 얻는다. 마지막에 둘을 (W4)로 합친다. ::: **10.** 정수 $x, y$에 대해, $xy$가 홀수이면 $x$와 $y$가 모두 홀수임을 대우로 증명하시오. (결론의 부정 = "$x$가 짝수 **또는** $y$가 짝수" $\to$ 케이스 또는 WLOG — 17주차 예제 2.3이 그대로 몸통) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 대우 제작은 확인 4에서 이미 했다. 몸통은 17주차 예제 2.3과 같은 명제이므로 WLOG 한 줄로 경우 하나를 줄일 수 있다 — 다만 "이름을 맞바꾸면 같은 논증"이라는 정당화 문장을 반드시 남긴다. ::: **11.** 정수 $n$에 대해, $3 \mid n^2$이면 $3 \mid n$ — 예제 2.2를 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 채점 항목은 네 가지다 — 선언과 대우 명시, 나눗셈 정리로 두 경우를 만들고 나머지 0을 제외한 근거, 각 경우의 완결된 계산, 회수 문장. ::: **12.** 실수 $x$에 대해, $x^3 + 2x \ge 0$이면 $x \ge 0$임을 대우로 증명하시오. (대우: $x < 0 \Rightarrow x^3 + 2x < 0$; $x^3 < 0$과 $2x < 0$의 합) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $x^3$의 부호부터 정한다. $x^3 = x \cdot x^2$이고 $x < 0$, $x^2 > 0$이므로 (W3)으로 방향을 읽을 수 있다. $2x < 0$도 (W3)이다. 두 음수를 더하는 마지막 걸음은 (W2)와 (W6)으로 분해해 적는다. ::: **13.** 정수 $m, n$에 대해, $m + n$이 홀수이면 $m$과 $n$의 홀짝이 서로 다름을 대우로 증명하시오. (결론의 부정: "홀짝이 같다" = 둘 다 짝수 **또는** 둘 다 홀수 — 케이스 2개) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "홀짝이 서로 다르다"의 부정이 "홀짝이 같다"이고, 그것이 두 경우로 갈린다. 각 경우의 몸통은 1주차 예제 2.1(짝+짝)과 예제 2.3(홀+홀)이다. 두 경우가 "홀짝이 같다"를 빠짐없이 덮는다는 문장을 잊지 않는다. ::: **14.** 정수 $n$에 대해, $3 \nmid n^2$이면 $3 \nmid n$임을 증명하시오. (힌트: 이 명제의 대우는 아주 짧다 — 2주차 빈칸 훈련($a \mid b \Rightarrow a \mid bc$) 한 줄) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $P$가 "$3 \nmid n^2$", $Q$가 "$3 \nmid n$"이다. 두 부정을 각각 뒤집어 자리를 바꾸면 긍정형 두 개짜리 명제가 나온다 — 어느 쪽이 가정이 되는지 방향을 정확히 확인한다. ::: ### 도전 ●●● **15.** 정수 $n$에 대해, $5 \mid n^2$이면 $5 \mid n$임을 대우 + 케이스로 증명하시오. (18주차 문제 13의 나머지 표를 재활용: $r = 1, 2, 3, 4$ 네 경우) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.2의 3을 5로 바꾼 구조다. $n = 5q + r$에서 $n^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2$이므로, 확인할 것은 $r^2$을 5로 나눈 나머지뿐이다. $r = 1, 2, 3, 4$ 네 값에 대해 $r^2 = 1, 4, 9, 16$의 나머지를 각각 적는다. ::: **16.** 실수 $x, y$에 대해, $x + y$가 무리수이면 $x$가 무리수이거나 $y$가 무리수임을 대우로 증명하시오. (대우의 몸통은 15주차 예제 2.2 한 줄 인용) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 결론이 "또는"이므로 드모르간 2로 부정하면 "$x$와 $y$가 모두 유리수"라는 가정이 나온다. 가정 "$x+y$가 무리수"의 부정은 "$x+y$가 유리수"다 — 부정형 개념이 정의를 가진 긍정형 개념으로 바뀌는 자리다. ::: **17.** 실수 $x, y \ge 0$에 대해, $x \neq y$이면 $x^2 \neq y^2$임을 대우로 증명하시오. 그리고 이 명제가 $x, y$의 부호 제한 없이는 거짓임을 반례로 보이시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 대우는 확인 5에서 만들었다. 몸통은 $x^2 = y^2$에서 시작해 이항하고 인수분해한다: $(x-y)(x+y) = 0$. 여기서 두 경우가 나오고, 무대 조건 $x, y \ge 0$이 둘째 경우를 처리한다. 반례는 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수다. ::: :::{admonition} 결론이 "~인 것은 아니다" 꼴일 때 :class: quotebox 문제 18의 결론은 "$a$와 $b$가 모두 홀수인 것은 아니다"이다. 이런 부정형 결론은 직접 증명에서 만들 목표 꼴이 없다 — $\neg Q$를 목표로 삼을 수는 없기 때문이다. 그런데 대우를 취하면 그 부정이 **가정**이 되고, 이중부정 (9주차)에 의해 "$a$와 $b$가 모두 홀수"라는 깨끗한 긍정형 가정이 손에 들어온다. 부정형 결론은 대우가 가장 잘 처리하는 꼴이다. 몸통에서는 17주차 문제 15("홀수의 제곱을 8로 나눈 나머지는 1")를 근거 ④로 인용한다 — 이미 증명한 명제이므로 다시 증명하지 않고 이름만 대면 된다. ::: **18.** 정수 $a, b$에 대해, $4 \mid (a^2 + b^2)$이면 $a$와 $b$가 모두 홀수인 것은 아님을 증명하시오. (즉 "적어도 하나는 짝수". 대우: $a, b$ 모두 홀수 $\Rightarrow 4 \nmid (a^2 + b^2)$. 힌트: 17주차 문제 15 — 홀수 제곱은 $8m + 1$ 꼴, 따라서 $a^2 + b^2 = 8(m + m') + 2$) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $a^2 = 8m+1$, $b^2 = 8m'+1$을 더하면 $8(m+m') + 2$가 된다. 이것을 4로 나눈 나머지 꼴 $4(\text{정수}) + 2$로 다시 묶고, 나눗셈 정리의 유일성으로 "나머지가 0인 표현은 있을 수 없다"를 결론짓는다. ::: **19.** 다음 '대우 증명'의 오류를 지적하시오. :::{container} quotebox "명제: $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다. 증명: 대우로 증명한다. 대우는 '$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다'이다. $n^2$이 홀수라 가정하자. …" (질문: 이 학생이 쓴 것은 대우인가? 무엇을 만들었고, 그것으로 원명제가 증명되는가?) ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 원명제의 $P$와 $Q$를 먼저 적고, 답안의 문장이 $\neg Q \Rightarrow \neg P$인지 $\neg P \Rightarrow \neg Q$인지 대조한다. 9주차 §1.7의 세 이름 중 어느 것인지가 답의 절반이고, 나머지 절반은 그것이 원명제와 동치인지 여부다. ::: **20.** (서술) (a) 대우 증명이 "새로운 증명법이 아니라 직접 증명 + 논리적 동치"인 이유를 두 문장 이내로 쓰시오. (b) 이번 주 문제들에서 대우로 갈아탄 신호 3가지를 자기 언어로 정리하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 §2 관찰의 "테두리 두 줄과 몸통"을 자기 문장으로 옮기면 된다. (b)는 §1.5의 신호 표를 외워 적는 것이 아니라, 이번 주에 푼 문제들을 신호별로 분류해 각 칸에 문제 번호를 붙여 본다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 대우 증명의 서식(§1.2)과 근거 목록(§1.6)만 펴 놓고, 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] 대우 증명의 서식 다섯 줄을 선언과 회수까지 포함해 썼다. - [ ] 대우 제작의 세 걸음(식별 $\to$ 각각 부정 $\to$ 자리 바꾸기)을 말할 수 있다. - [ ] 갈아타기 신호 세 가지(합성식 가정 / 부정형 / "또는"$\cdot$"그리고" 결론)를 예와 함께 설명했다. - [ ] 예제 2.1과 2.2를 백지에 처음부터 끝까지 재현했다. - [ ] "또는" 결론의 부정이 드모르간으로 "그리고" 가정이 되는 과정을 적었다. - [ ] 역$\cdot$이$\cdot$대우 중 원명제와 동치인 것이 대우뿐임을 근거와 함께 말했다 (9주차). - [ ] 무대 조건이 대우에서 부정되지 않는 이유를 한 문장으로 설명했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 대우를 만들다 자리 바꾸기를 빠뜨린다 | §1.4의 세 걸음과 예제 2.1의 자주 하는 실수 — 이와 대우의 갈림길 | | 부정이 정확히 나오지 않는다 | §1.4의 부정 표와 11주차 §1.3 총목록 — 규칙 이름을 대며 한 층씩 | | "또는"이 낀 명제에서 멈춘다 | 예제 2.3(드모르간 2 $\to$ "그리고" 가정 두 개)과 확인 4$\cdot$훈련 3(드모르간 1 $\to$ "또는" 가정 $\to$ 경우 나누기) | | 대우는 증명했는데 답안이 끝나지 않는 느낌이다 | §1.3 해부 표의 마지막 줄 — 회수 문장이 빠졌다 | | 몸통에서 계산이 막힌다 | 대우 문제가 아니라 직접 증명 문제다 — 1$\cdot$15$\cdot$17주차의 해당 부품으로 | | 직접과 대우 중 무엇을 쓸지 못 정한다 | §1.5 신호 표 — 가정을 정의로 풀 수 있는지부터 묻는다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) 짝수 (2) 홀수 (3) $5k + 1$ ※ (3)에서 $10k + 3$을 $10k + 2 + 1 = 2(5k+1) + 1$로 재편하는 것이 핵심 변형이다. 상수 3을 "짝수 부분 $+\ 1$"로 쪼개는 리듬은 1주차 문제 7에서 익힌 것과 같다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 대우 (2) 짝수 (3) 정의(짝수의 정의, 근거 ①) (4) $14a - 2$ (5) $7a - 1$ (6) 정수의 곱과 차는 정수 (근거 ②) (7) 대우가 증명 ※ 목표 꼴이 $2 \times (\text{정수})$이므로 $-2$도 괄호 안으로 들어간다. 음수가 남아 있어도 정수이기만 하면 정의가 만족된다는 것이 (6)의 내용이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 대우로 증명한다. 결론 "$x \ne 0$이고 $y \ne 0$"의 부정은 드모르간 1에 의해 "$x = 0$ 또는 $y = 0$"이고 가정 "$xy \ne 0$"의 부정은 "$xy = 0$"이므로, 대우는 "$x = 0$ 또는 $y = 0$이면 $xy = 0$이다"이다. (2) $x = 0$ 또는 $y = 0$이라 가정하자. (3) **경우 1: $x = 0$.** 그러면 $xy = 0 \cdot y = 0$이다. **경우 2: $y = 0$.** 그러면 $xy = x \cdot 0 = 0$이다. 가정이 "또는"으로 주어졌으므로 두 경우가 가정 전체를 빠짐없이 덮는다. (4) 두 경우 모두 $xy = 0$이므로 대우가 증명되었고, 따라서 $xy \ne 0$이면 $x \ne 0$이고 $y \ne 0$이다. $\blacksquare$ ※ 결론의 "그리고"가 대우에서 가정의 "또는"이 되고, "또는" 가정은 경우 나누기가 처리한다. 두 경우가 대칭이므로 WLOG로 줄여도 되지만, 그때는 "이름을 맞바꾸면 같은 논증"이라는 정당화 문장을 남긴다(17주차 예제 2.3). ### 문제 1 **접근.** 세 걸음을 순서대로 밟는다 — $P$와 $Q$를 식별하고, §1.4의 표로 각각을 부정하고, 자리를 바꾼다. (c)(d)는 결론이 "또는"이므로 드모르간 2가 한 번 더 들어가고, 그 결과 대우의 가정이 "그리고" 두 개가 된다. **풀이.** (a) $P$는 "$n^2$이 홀수", $Q$는 "$n$이 홀수"다. 각각의 부정은 짝/홀 분할에 의해 "$n^2$이 짝수", "$n$이 짝수"이므로 대우는 **"$n$이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다"**. (b) $P$는 "$x \ge 2$", $Q$는 "$x^2 \ge 4$"다. $\ge$의 부정은 $<$이므로 대우는 **"$x^2 < 4$이면 $x < 2$이다"**. 부등호를 $\le$로 적으면 부정이 아니다. (c) $Q$는 "$a \mid b$ 또는 $a \mid c$"이므로 드모르간 2에 의해 $\neg Q$는 "$a \nmid b$이고 $a \nmid c$"다. $\neg P$는 "$a \nmid bc$"이므로 대우는 **"$a \nmid b$이고 $a \nmid c$이면 $a \nmid bc$이다"**. (d) $Q$는 "$n = 2$이거나 $n$은 홀수"이므로 드모르간 2에 의해 $\neg Q$는 "$n \ne 2$이고 $n$은 짝수"다. $\neg P$는 "$n$은 소수가 아니다"이므로 대우는 **"$n \ne 2$이고 $n$이 짝수이면, $n$은 소수가 아니다"**. **복기.** 결론에 "또는"이 있으면 대우의 가정이 "그리고"가 되어 가정이 둘로 늘어난다 — §1.5의 셋째 신호가 (c)(d)에서 그대로 확인된다. (참고: (c)의 원명제 자체는 거짓이다 — 2주차 문제 15의 반례 $a=6$, $b=4$, $c=9$. 대우를 만드는 일과 그 명제가 참인지는 별개의 물음이다.) ### 문제 2 **접근.** §1.5의 신호 표와 한 줄씩 대조한다. 물을 것은 두 가지다 — 가정을 정의로 즉시 풀 수 있는가, 그리고 부정형이나 "또는"이 어디에 있는가. **풀이.** (a) **직접.** 가정 "$n$이 홀수"는 $n = 2k+1$로 즉시 전개되고, 결론 "$n^3$이 홀수"는 그 재료를 세제곱해 만들 수 있다. 신호가 하나도 없다 (1주차 문제 13에서 이미 이 방식으로 증명했다). (b) **대우.** 가정 "$n^3$이 짝수"는 합성식의 성질이라 $n$을 꺼낼 수 없다 — 세제곱근을 취하는 조작은 근거 목록에 없다. §1.5의 첫째 신호이며, 대우의 가정 "$n$이 홀수"는 즉시 전개된다. (c) **대우.** 가정 $x^2 + 5x < 0$에서 $x$의 부호를 직접 읽으려면 인수분해와 부호 판정이 필요해 여러 경우로 갈라진다. 대우의 가정 "$x \ge 0$"은 (W1)과 (W3)으로 $x^2 \ge 0$, $5x \ge 0$을 즉시 준다. 역시 첫째 신호다. **복기.** 신호 판정의 첫 질문은 언제나 같다 — "가정을 정의(또는 기본 성질)로 한 줄 만에 풀 수 있는가". 풀 수 없으면 대우 쪽 가정으로 같은 질문을 던진다. ### 문제 3 **접근.** §1.2의 서식 상자 다섯 줄이 그대로 답이다. 각 줄이 §1.3 해부 표의 어느 임무를 맡는지를 함께 적으면, 줄을 하나 잊었을 때 임무에서 복구할 수 있다. **풀이.** 명제 "$P$이면 $Q$이다"에 대해: ① "대우로 증명한다. 대우는 '$\neg Q$이면 $\neg P$이다'이다." — 기법 선언과 제작물 명시. ② "$\neg Q$라 가정하자." — 출발점 확보. ③ 직접 증명의 몸통 — 정의 풀어쓰기, 대수 변형, 필요하면 경우 나누기. 근거는 ①~④만 쓴다. ④ "따라서 $\neg P$이다." — 대우의 결론에 도달했음을 선언. ⑤ "대우가 증명되었으므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$" — 동치(근거 ④)로 원명제를 회수. **복기.** ①과 ⑤가 테두리, ②~④가 몸통이다. 몸통은 4부에서 이미 익힌 것이므로, 이번 주에 새로 외울 것은 ①과 ⑤ 두 줄과 대우 제작 절차뿐이다. ### 문제 4 **접근.** $P$는 "$n^2$이 홀수", $Q$는 "$n$이 홀수"이므로 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다"이다. 이 명제는 1주차 문제 9와 같지만, 이번에는 인용으로 끝내지 않고 유도 전체를 적는다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다"이다. $n$이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고, 정수의 곱은 정수이므로(근거 ②) $2k^2$은 정수이다. 따라서 $n^2$은 짝수이다. 대우가 증명되었으므로, $n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** 예제 2.1과 이 문제는 짝수$\cdot$홀수가 서로 맞바뀐 쌍이다. 두 문제의 대우가 각각 1주차 문제 11과 문제 9라는 것도 대칭이다 — 1주차에서 증명해 둔 두 명제가 이번 주에 각각 한 번씩 회수된다. (검산: $n = 6$이면 $n^2 = 36 = 2 \times 18$로 짝수 ✓) ### 문제 5 **접근.** $P$는 "$n + 7$이 짝수", $Q$는 "$n$이 홀수"이므로 대우는 "$n$이 짝수이면 $n + 7$은 홀수이다"이다. 가정이 $n$의 성질이 되어 정의가 즉시 풀린다. 목표 꼴은 $2(\text{정수}) + 1$이므로 7에서 1을 떼어 놓는다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $n + 7$은 홀수이다"이다. $n$이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n + 7 = 2k + 7 = 2k + 6 + 1 = 2(k + 3) + 1$이고, 정수의 합은 정수이므로 $k + 3$은 정수이다(근거 ②). 따라서 $n + 7$은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로, $n + 7$이 짝수이면 $n$은 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** 상수를 "짝수 부분 $+\ 1$"로 쪼개는 조작($7 = 6 + 1$)은 목표 꼴을 맞추기 위한 것이다. 이 리듬은 훈련 1의 (3), 문제 7, 15주차 문제 7에서 반복해서 쓰인다. (검산: $n = 4$이면 $n + 7 = 11 = 2 \times 5 + 1$로 홀수 ✓) ### 문제 6 **접근.** 재현할 것은 다섯 줄이고, 그중 첫 줄과 마지막 줄이 대우 증명 고유의 테두리다. 몸통 세 줄은 1주차 문제 11의 증명과 같으므로, 채점의 초점은 테두리와 "짝수의 부정이 홀수"라는 근거에 있다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다"이다 (짝수의 부정이 홀수인 근거는 정수의 짝/홀 분할, 17주차). $n$이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 $$ 이고, 정수의 곱과 합은 정수이므로 $2k^2 + 2k$는 정수이다. 따라서 $n^2$은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로, $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다. $\blacksquare$ **자가 채점.** 다음 네 항목을 각각 확인한다. ① 첫 문장에 "대우로 증명한다"가 있는가 ② 대우를 문장으로 적었는가 ③ $2k^2 + 2k$가 정수라는 확인이 있는가 ④ 마지막에 회수 문장이 있는가. ①②④ 중 하나라도 빠지면 원명제가 선언되지 않은 답안이 된다. ### 문제 7 **접근.** $P$는 "$n^2 - 6n + 5$가 짝수", $Q$는 "$n$이 홀수"이므로 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2 - 6n + 5$는 홀수이다"이다. 이는 15주차 문제 7과 글자 그대로 같은 명제이므로 근거 ④로 인용해도 되지만, 유도 전체를 적어 둔다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 짝수이면 $n^2 - 6n + 5$는 홀수이다"이다. $n$이 짝수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2a$인 정수 $a$가 존재하고, $n^2 - 6n + 5 = 4a^2 - 12a + 5 = 4a^2 - 12a + 4 + 1 = 2(2a^2 - 6a + 2) + 1$이다. 정수의 곱$\cdot$차$\cdot$합은 정수이므로 $2a^2 - 6a + 2$는 정수이고, 따라서 $n^2 - 6n + 5$는 홀수이다. 대우가 증명되었으므로, $n^2 - 6n + 5$가 짝수이면 $n$은 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** 이미 증명해 둔 정리가 어떤 명제의 대우와 일치하는 경우가 있다. 그러면 그 명제는 인용 한 줄로 끝난다 — 증명을 쌓아 두면 나중에 방향을 바꿔서도 쓸 수 있다는 뜻이다. (검산: $n = 2$이면 $4 - 12 + 5 = -3 = 2 \times (-2) + 1$로 홀수 ✓) ### 문제 8 **접근.** $P$는 "$n^3$이 짝수", $Q$는 "$n$이 짝수"이므로 대우는 "$n$이 홀수이면 $n^3$은 홀수이다"이다. 가정 "$n^3$이 짝수"에서 $n$을 꺼내려면 세제곱근이 필요한데 근거 목록에 없다 — §1.5의 첫째 신호다. **풀이 1 (직접 전개).** 대우로 증명한다. 대우는 "$n$이 홀수이면 $n^3$은 홀수이다"이다. $n$이 홀수라 가정하자. 정의에 의해 $n = 2a+1$인 정수 $a$가 존재하고, $n^3 = (2a+1)^3 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1 = 2(4a^3 + 6a^2 + 3a) + 1$이다. $4a^3 + 6a^2 + 3a$는 정수이므로 $n^3$은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. $\blacksquare$ **풀이 2 (부품 재사용).** 대우의 몸통을 이렇게 써도 된다. $n$이 홀수이면 1주차 문제 11에 의해 $n^2$이 홀수이고, 홀수 $n^2$과 홀수 $n$의 곱 $n^3 = n^2 \cdot n$은 1주차 문제 8에 의해 홀수이다. 두 인용 모두 근거 ④다. **복기.** 같은 대우를 두 가지 몸통으로 채울 수 있다. 테두리 두 줄은 어느 쪽이든 같다 — 몸통의 자유도와 서식의 고정성이 분리되어 있다는 것이 이번 주의 구조다. 이 명제는 21주차 문제 17($\sqrt[3]{2}$의 무리수 증명)의 부품이 된다. ### 문제 9 **접근.** $P$는 "$x^2 + 5x < 0$", $Q$는 "$x < 0$"이므로 대우는 "$x \ge 0$이면 $x^2 + 5x \ge 0$이다"이다. 두 항의 부호를 따로 정한 뒤 합친다 — 근거는 16주차의 (W1)(W3)(W4)뿐이다. **풀이.** 대우로 증명한다. $<$의 부정은 $\ge$이므로 대우는 "$x \ge 0$이면 $x^2 + 5x \ge 0$이다"이다. $x \ge 0$이라 가정하자. (W1)에 의해 $x^2 \ge 0$이다. 또 $x \ge 0$의 양변에 $5 > 0$을 곱하면 (W3)에 의해 $5x \ge 0$이다. 0 이상인 두 수의 합은 0 이상이므로((W4)의 뒷 절반) $x^2 + 5x \ge 0$이다. 대우가 증명되었으므로, $x^2 + 5x < 0$이면 $x < 0$이다. $\blacksquare$ **복기.** 부등식 명제에서 대우의 몸통은 "부호를 따로 정하고 합치기"의 두 걸음이 되는 경우가 많다. 줄마다 (W1)(W3)(W4) 중 어느 것인지 이름을 대는 것이 채점 대상이다. (검산: $x = 3$이면 $9 + 15 = 24 \ge 0$ ✓. $x = -2$이면 $4 - 10 = -6 < 0$이고 실제로 $x < 0$이다 ✓) ### 문제 10 **접근.** 결론 "$x$와 $y$가 모두 홀수"의 부정은 드모르간 1에 의해 "$x$가 짝수이거나 $y$가 짝수"다(확인 4). 대우의 가정이 "또는"이므로 몸통은 경우 나누기이고, 두 경우가 대칭이라 WLOG로 줄일 수 있다. **풀이.** 대우로 증명한다. 결론의 부정은 드모르간 1에 의해 "$x$가 짝수이거나 $y$가 짝수"이고 가정의 부정은 "$xy$가 짝수"이므로, 대우는 "$x$가 짝수이거나 $y$가 짝수이면 $xy$는 짝수이다"이다. $x$가 짝수이거나 $y$가 짝수라 가정하자. 두 경우는 $x$와 $y$의 이름을 맞바꾸면 서로 같은 논증이 되므로, 일반성을 잃지 않고 $x$가 짝수라 하자. 정의에 의해 $x = 2a$인 정수 $a$가 존재하고 $xy = (2a)y = 2(ay)$이며, $ay$는 정수이므로 $xy$는 짝수이다. 대우가 증명되었으므로, $xy$가 홀수이면 $x$와 $y$는 모두 홀수이다. $\blacksquare$ **복기.** WLOG를 쓸 때 반드시 남겨야 하는 것은 "이름을 맞바꾸면 같은 논증"이라는 문장이다. 그 문장이 없으면 경우 하나를 정당하게 줄인 것인지 그냥 빠뜨린 것인지 구별되지 않는다(17주차 예제 2.3). ### 문제 11 **접근.** 재현할 것은 네 부분이다 — 선언과 대우 명시, 나눗셈 정리로 두 경우를 만들고 나머지 0을 제외한 근거, 각 경우의 완결된 계산, 회수 문장. 가장 자주 비는 칸은 "빠짐없음"의 근거 문장이다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$3 \nmid n$이면 $3 \nmid n^2$이다"이다. $3 \nmid n$이라 가정하자. 나눗셈 정리에 의해 $n = 3q + r$, $0 \le r < 3$인 정수 $q, r$이 유일하게 존재하고, $3 \nmid n$이므로 $r \ne 0$이다. 따라서 $n = 3q+1$ 또는 $n = 3q+2$이다. **경우 1: $n = 3q+1$.** $n^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$이고 $3q^2 + 2q$는 정수이므로 나머지는 1이다. 나머지가 유일하므로 $3 \nmid n^2$이다. **경우 2: $n = 3q+2$.** $n^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$이고 $3q^2 + 4q + 1$은 정수이므로 나머지는 1이고, 역시 $3 \nmid n^2$이다. 두 경우가 대우의 가정 전체를 덮으므로 대우가 증명되었고, 따라서 $3 \mid n^2$이면 $3 \mid n$이다. $\blacksquare$ **자가 채점.** ① 선언과 대우 명시 ② "나눗셈 정리에 의해 … $r \ne 0$" 한 줄 ③ 두 경우 각각의 완결된 계산 ④ 회수 문장. ②가 빠지면 17주차 채점 기준 ①(빠짐없음)이 비고, 두 경우는 임의로 고른 두 상황이 된다. ### 문제 12 **접근.** $P$는 "$x^3 + 2x \ge 0$", $Q$는 "$x \ge 0$"이므로 대우는 "$x < 0$이면 $x^3 + 2x < 0$이다"이다. $x^3$의 부호를 $x \cdot x^2$로 분해해 정한 뒤 $2x$와 합친다. **풀이.** 대우로 증명한다. $\ge$의 부정은 $<$이므로 대우는 "$x < 0$이면 $x^3 + 2x < 0$이다"이다. $x < 0$이라 가정하자. $x \ne 0$이므로 (W1)에 의해 $x^2 > 0$이다. 부등식 $x < 0$의 양변에 양수 $x^2$을 곱하면 (W3)에 의해 $x \cdot x^2 < 0 \cdot x^2$, 곧 $x^3 < 0$이다. 또 $x < 0$의 양변에 양수 2를 곱하면 (W3)에 의해 $2x < 0$이다. 이제 $x^3 < 0$의 양변에 $2x$를 더하면 (W2)에 의해 $x^3 + 2x < 2x$이고, $2x < 0$이므로 추이성 (W6)에 의해 $x^3 + 2x < 0$이다. 대우가 증명되었으므로, $x^3 + 2x \ge 0$이면 $x \ge 0$이다. $\blacksquare$ **복기.** "음수 더하기 음수는 음수"를 한 줄로 쓰지 않고 (W2)와 (W6)으로 분해해 적었다. 부등식 증명에서 근거로 인용할 수 있는 것은 (W1)~(W6)뿐이므로, 직관적으로 명백한 조작도 그 여섯 개로 환원해 두는 습관이 필요하다. (검산: $x = -1$이면 $-1 - 2 = -3 < 0$ ✓) ### 문제 13 **접근.** 결론 "$m$과 $n$의 홀짝이 서로 다르다"의 부정은 "홀짝이 같다"이고, 이는 "둘 다 짝수" 또는 "둘 다 홀수"의 두 경우로 갈린다. 각 경우의 몸통은 1주차 예제 2.1과 예제 2.3이다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$m$과 $n$의 홀짝이 같으면 $m + n$은 짝수이다"이다. $m$과 $n$의 홀짝이 같다고 가정하자. 정수는 짝수이거나 홀수이므로(17주차의 짝/홀 분할), "홀짝이 같다"는 다음 두 경우로 갈린다. **경우 1: 둘 다 짝수.** 정의에 의해 $m = 2a$, $n = 2b$인 정수 $a, b$가 존재하고 $m + n = 2a + 2b = 2(a+b)$이다. $a + b$는 정수이므로 $m + n$은 짝수이다. **경우 2: 둘 다 홀수.** 정의에 의해 $m = 2a+1$, $n = 2b+1$인 정수 $a, b$가 존재하고 $m + n = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1)$이다. $a + b + 1$은 정수이므로 $m + n$은 짝수이다. 두 경우가 "홀짝이 같다"를 빠짐없이 덮고 어느 경우에도 $m + n$이 짝수이므로 대우가 증명되었다. 따라서 $m + n$이 홀수이면 $m$과 $n$의 홀짝은 서로 다르다. $\blacksquare$ **복기.** "홀짝이 같다"처럼 관계를 서술하는 조건은 그 자체로 정의를 풀 수 없다 — 먼저 두 경우로 펼쳐야 각 경우에서 정의가 풀린다. 조건을 경우로 펼치는 것도 정의 풀어쓰기의 한 형태다. (검산: $m = 3$, $n = 5$이면 홀짝이 같고 $m + n = 8$로 짝수 ✓) ### 문제 14 **접근.** $P$는 "$3 \nmid n^2$", $Q$는 "$3 \nmid n$"이다. 두 부정을 각각 뒤집고 자리를 바꾸면 대우는 "$3 \mid n$이면 $3 \mid n^2$이다"가 된다. 원명제가 "부정형 $\Rightarrow$ 부정형"이었으므로 대우는 긍정형 두 개가 되어 오히려 짧아진다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$3 \mid n$이면 $3 \mid n^2$이다"이다. $3 \mid n$이라 가정하자. 정의에 의해 $n = 3k$인 정수 $k$가 존재하고 $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$이다. $3k^2$은 정수이므로 $3 \mid n^2$이다. 대우가 증명되었으므로, $3 \nmid n^2$이면 $3 \nmid n$이다. $\blacksquare$ **복기.** 예제 2.2($3 \mid n^2 \Rightarrow 3 \mid n$)와 이 문제 ($3 \nmid n^2 \Rightarrow 3 \nmid n$)는 서로 다른 명제다. 이 문제의 대우 "$3 \mid n \Rightarrow 3 \mid n^2$"은 2주차 훈련 1($a \mid b \Rightarrow a \mid bc$)에 $b = c = n$을 넣은 것과 같으므로, 그 결과를 근거 ④로 인용해 한 줄로 끝낼 수도 있다. 방향을 확인하지 않고 예제 2.2를 인용하면 다른 명제를 인용한 것이 되므로 주의한다. ### 문제 15 **접근.** 대우는 "$5 \nmid n$이면 $5 \nmid n^2$이다"이다. 예제 2.2의 3을 5로 바꾼 구조이고, 경우가 네 개로 늘어난다. $n = 5q + r$에서 $n^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2$이므로, 확인할 것은 $r^2$을 5로 나눈 나머지뿐이다. **풀이.** 대우로 증명한다. 대우는 "$5 \nmid n$이면 $5 \nmid n^2$이다"이다. $5 \nmid n$이라 가정하자. 나눗셈 정리에 의해 $n = 5q + r$, $0 \le r < 5$인 정수 $q, r$이 유일하게 존재하고, $5 \nmid n$이므로 $r \ne 0$, 곧 $r \in \{1, 2, 3, 4\}$이다. 그러면 $n^2 = (5q + r)^2 = 25q^2 + 10qr + r^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2$이므로, $n^2$을 5로 나눈 나머지는 $r^2$을 5로 나눈 나머지와 같다. 네 경우를 각각 확인한다. **경우 1: $r = 1$.** $r^2 = 1 = 5 \times 0 + 1$ — 나머지 1. **경우 2: $r = 2$.** $r^2 = 4 = 5 \times 0 + 4$ — 나머지 4. **경우 3: $r = 3$.** $r^2 = 9 = 5 \times 1 + 4$ — 나머지 4. **경우 4: $r = 4$.** $r^2 = 16 = 5 \times 3 + 1$ — 나머지 1. 네 경우 모두 나머지가 1 또는 4이고 0이 아니다. 나머지는 유일하므로 $n^2$을 $5 \times (\text{정수})$로 쓰는 표현은 없고, 따라서 $5 \nmid n^2$이다. 대우가 증명되었으므로, $5 \mid n^2$이면 $5 \mid n$이다. $\blacksquare$ **복기.** 18주차 문제 13에서 "제곱수를 5로 나눈 나머지는 0, 1, 4"를 증명할 때 중요했던 것은 나온 값이 아니라 **나오지 않은 값**(2와 3)이었다. 이번에는 나머지 0이 나오지 않는다는 사실이 그대로 결론이 된다. 이 명제는 24주차 문제 14($\sqrt{5}$의 무리수 증명)의 부품이다. (검산: $n = 7$이면 $n^2 = 49 = 5 \times 9 + 4$로 나머지 4 ✓) ### 문제 16 **접근.** 결론 "$x$가 무리수이거나 $y$가 무리수"의 부정은 드모르간 2에 의해 "$x$와 $y$가 모두 유리수"이고, 가정 "$x+y$가 무리수"의 부정은 "$x+y$가 유리수"다. 대우는 15주차 예제 2.2와 같은 명제가 된다. **풀이.** 대우로 증명한다. 결론의 부정은 드모르간 2에 의해 "$x$와 $y$가 모두 유리수"이므로, 대우는 "$x$와 $y$가 모두 유리수이면 $x + y$는 유리수이다"이다. $x$와 $y$를 유리수라 가정하자. 정의에 의해 $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{c}{d}$인 정수 $a, b, c, d$ ($b \ne 0$, $d \ne 0$)가 존재하고, $x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$이다. $ad + bc$와 $bd$는 정수이다(근거 ②). 또 $b \ne 0$이고 $d \ne 0$이므로 $bd \ne 0$이다(2주차 문제 20에서 인정하고 쓰기로 한 사실 — 정수의 곱이 0이면 인수 중 하나가 0이다. 25주차 문제 13에서 영인수 성질이라는 이름으로 다시 만난다). 따라서 $x + y$는 유리수의 정의를 만족한다. 대우가 증명되었으므로, $x + y$가 무리수이면 $x$가 무리수이거나 $y$가 무리수이다. $\blacksquare$ **복기.** "무리수"는 "유리수가 아니다"라는 부정형 개념이라 풀어 쓸 정의 꼴이 없다. 대우로 뒤집으면 정의를 가진 "유리수"의 명제가 되고, 15주차에서 이미 증명해 둔 닫힘성이 그대로 몸통이 된다 — §1.5의 둘째 신호의 전형이다. (23주차 문제 18에서 이 대우를 잘못 만든 답안, 곧 "유리수이거나"로 적은 답안을 다시 해부한다.) ### 문제 17 **접근.** 무대 조건 "$x, y \ge 0$"은 부정되지 않고 그대로 남는다(확인 5). $P$는 "$x \ne y$", $Q$는 "$x^2 \ne y^2$"이므로 대우는 "$x^2 = y^2$이면 $x = y$이다"이다. 몸통은 이항과 인수분해로 시작한다. **풀이.** 대우로 증명한다. $x, y \ge 0$인 실수에 대해, 대우는 "$x^2 = y^2$이면 $x = y$이다"이다. $x^2 = y^2$이라 가정하자. 양변에서 $y^2$을 빼면 $x^2 - y^2 = 0$이고, 인수분해하면 $(x - y)(x + y) = 0$이다. 실수의 곱이 0이면 인수 중 적어도 하나가 0이므로(2주차 문제 20에서 정수 판본을 인정하고 쓰기로 한 성질이며, 실수에서도 같은 형태로 인정하고 쓴다), $x - y = 0$ 또는 $x + y = 0$이다. **경우 1: $x - y = 0$.** 그러면 $x = y$이다. **경우 2: $x + y = 0$.** 그러면 $x = -y$이다. 무대 조건에서 $y \ge 0$이므로 $-y \le 0$, 곧 $x \le 0$이다. 한편 무대 조건에서 $x \ge 0$이므로 $x = 0$이고, 따라서 $y = -x = 0 = x$이다. 두 경우 모두 $x = y$이므로 대우가 증명되었다. 따라서 $x, y \ge 0$일 때 $x \ne y$이면 $x^2 \ne y^2$이다. $\blacksquare$ **부호 제한이 없으면 거짓임을 보이는 반례.** $x = 1$, $y = -1$을 잡으면 가정 $x \ne y$는 참이지만($1 \ne -1$) 결론은 거짓이다($x^2 = 1 = y^2$). 따라서 무대에서 $x, y \ge 0$을 지운 명제는 거짓이다. **복기.** 무대 조건은 대우에서 부정되지 않지만, 몸통에서는 반드시 소비된다 — 이 증명에서는 경우 2를 닫는 데 두 번 쓰였다. 가정이 한 번도 쓰이지 않은 증명은 그 가정이 필요 없는 더 강한 명제를 증명했거나 어딘가에서 몰래 썼거나 둘 중 하나다(18주차 §1의 점검 항목 ⑤). ### 문제 18 **접근.** 결론 "$a$와 $b$가 모두 홀수인 것은 아니다"는 부정형이라 만들 목표 꼴이 없다. 대우를 취하면 이중부정에 의해 "$a$와 $b$가 모두 홀수"라는 깨끗한 긍정형 가정이 되고, 몸통은 17주차 문제 15의 인용으로 시작한다. **풀이.** 대우로 증명한다. 결론의 부정은 이중부정에 의해 "$a$와 $b$가 모두 홀수"이고 가정의 부정은 "$4 \nmid (a^2 + b^2)$"이므로, 대우는 "$a$와 $b$가 모두 홀수이면 $4 \nmid (a^2 + b^2)$이다"이다. $a$와 $b$가 홀수라 가정하자. 17주차 문제 15에 의해 홀수의 제곱을 8로 나눈 나머지는 1이므로, $a^2 = 8m + 1$, $b^2 = 8m' + 1$인 정수 $m, m'$이 존재하고, $a^2 + b^2 = 8(m + m') + 2 = 4\big(2(m + m')\big) + 2$이다. $2(m+m')$은 정수이므로 $a^2 + b^2$을 4로 나눈 나머지는 2이다. 나눗셈 정리에서 나머지는 유일하므로 나머지가 0인 표현은 존재할 수 없고, 따라서 $4 \nmid (a^2 + b^2)$이다. 대우가 증명되었으므로, $4 \mid (a^2 + b^2)$이면 $a$와 $b$가 모두 홀수인 것은 아니다. $\blacksquare$ **복기.** 부정형 결론("~인 것은 아니다", "적어도 하나는 ~이다")은 대우가 가장 잘 처리하는 꼴이다. 부정을 가정 쪽으로 옮기면 이중부정이 풀려 긍정형이 되기 때문이다. 이 결과는 20주차에서 합동의 언어로 다시 얻는다. (검산: $a = 3$, $b = 5$이면 $a^2 + b^2 = 34 = 4 \times 8 + 2$로 나머지 2 ✓) ### 문제 19 **접근.** 원명제의 $P$와 $Q$를 먼저 적고, 답안의 문장이 $\neg Q \Rightarrow \neg P$인지 $\neg P \Rightarrow \neg Q$인지 대조한다. 9주차 §1.7의 세 이름 중 어느 것인지가 답의 절반이고, 나머지 절반은 그것이 원명제와 동치인지 여부다. **풀이.** 원명제에서 $P$는 "$n^2$이 짝수", $Q$는 "$n$이 짝수"이므로 $\neg P$는 "$n^2$이 홀수", $\neg Q$는 "$n$이 홀수"이고, 올바른 대우는 $\neg Q \Rightarrow \neg P$, 곧 **"$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다"**이다. 답안이 적은 "$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다"는 $\neg P \Rightarrow \neg Q$이므로 대우가 아니라 **이(inverse)**다. 부정 두 번은 정확히 수행되었지만 자리를 바꾸지 않았다. 이는 원명제와 동치가 아니므로(9주차 문제 13에서 반례 행으로 확인), 그것을 증명해도 원명제는 증명되지 않는다. **이 오류가 드러나지 않는 이유.** 이 경우의 이 "$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다"는 마침 참인 명제다(문제 4). 그래서 답안은 끝까지 완주되고 계산에도 오류가 없다 — 드러나지 않는 것은 계산이 아니라 **증명 대상이 바뀌었다는 사실**이다. 서식의 둘째 줄("대우는 …이다")을 적고 원명제와 대조하는 절차가 이 오류를 답안 안에서 잡는 유일한 장치다(§1.3의 삭제 실험). **복기.** 대우를 만든 직후 항상 두 가지를 확인한다 — ① 부정을 두 번 했는가 ② 자리를 바꾸었는가. ②만 빠지면 이가 되고, ①만 빠지면 역이 된다. 셋 중 원명제와 동치인 것은 대우뿐이다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 §2 관찰의 "테두리 두 줄과 몸통"을 자기 문장으로 옮긴다. (b)는 §1.5의 신호 표를 외워 적는 것이 아니라, 이번 주에 푼 문제들을 신호별로 분류해 각 칸에 문제 번호를 붙인다. **풀이.** (예시 답안) (a) 대우 증명의 몸통은 $\neg Q$에서 출발해 $\neg P$에 도달하는 평범한 직접 증명이고, 그 결과가 원명제의 증명으로 인정되는 근거는 진리표로 확인된 동치 $P \Rightarrow Q \equiv \neg Q \Rightarrow \neg P$(9주차 예제 2.1) 하나뿐이다. 곧 새로운 추론 규칙이 추가된 것이 아니라, 동치인 두 명제 중 어느 쪽을 직접 증명할지 고르는 선택이 하나 생긴 것이다. (b) ① **가정이 합성식일 때.** 가정이 $n^2$, $n^3$, $5n+3$처럼 변수를 가공한 식의 성질이면 그 식에서 변수를 되꺼낼 수단이 없다. 대우에서는 변수 자체의 성질이 가정이 되어 정의가 즉시 풀린다 (문제 4, 7, 8, 훈련 1, 훈련 2). 문제 5의 $n + 7$처럼 계수가 1이면 뺄셈만으로 변수를 되꺼낼 수 있어 직접 증명도 되지만, 대우 쪽이 더 짧다. ② **부정형이 끼어 있을 때.** $\nmid$, $\ne$, 무리수처럼 "아니다"로 서술되는 개념에는 풀어 쓸 정의 꼴이 없다. 대우에서는 그 자리가 긍정형 개념으로 바뀌어 정의를 가진 대상이 된다 (문제 14, 16, 17, 18). ③ **결론이 "또는" 또는 "그리고"일 때.** "또는" 결론은 어느 쪽이 참인지 지목할 수 없어 목표 꼴을 정할 수 없고, "그리고" 결론은 두 주장을 한꺼번에 만들어야 한다. 대우에서는 "또는" 결론이 드모르간 2로 "그리고" 가정 두 개가 되고(예제 2.3, 문제 16), "그리고" 결론이 드모르간 1로 "또는" 가정이 되어 경우 나누기로 처리된다 (문제 10, 훈련 3). 문제 13의 결론 "홀짝이 서로 다르다"도 부정하면 "둘 다 짝수 또는 둘 다 홀수"라는 "또는" 가정이 되어 같은 경로를 탄다. **복기.** 세 신호는 서로 배타적이지 않다. 문제 16은 ②와 ③이 함께 걸려 있고, 예제 2.2는 ①이 걸린 자리에서 몸통이 경우 나누기로 채워졌다. 신호가 여럿이면 대우가 유리하다는 판단은 더 강해진다. --- **다음 주 예고:** 대우와 직접 증명이 함께 쓰일 연습장으로 정수의 **합동** $a \equiv b \pmod n$을 배운다. "나머지가 같다"를 $n \mid (a - b)$로 정의하고, 2주차의 나누어떨어짐 정리들로 그 성질을 쌓아 올린다. 이번 주 예제 2.2와 문제 15에서 나머지를 손으로 계산한 자리들이 기호 하나로 정리되고, 9의 배수 판정법 같은 규칙이 그 언어로 증명된다. 수학적 글쓰기 규칙도 함께 정리한다.