S9주차 — 전반 종합 백지시험: 명제의 겉모양이 기법을 정한다

S9주차 — 전반 종합 백지시험: 명제의 겉모양이 기법을 정한다#

이 주의 길잡이

핵심 문장: S1주차부터 S8주차까지 쌓은 것은 여덟 개의 기법이 아니라 하나의 절차다 — 명제의 겉모양을 읽어 기법을 지목하고, 후진과 전진으로 판을 좁히는 한 벌의 절차이며, 이번 주는 그것이 백지에서 되살아나는지를 검사한다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S9주차. 새 진도가 없는 평가 주간이다. 1권 24주차가 1~23주차에 대해 한 일을 S1주차~S8주차에 대해 하고, 1권 23주차의 기법 선택 훈련이 여기서 시험 형식을 얻는다. 다음 주부터는 결론이 부정문일 때의 기법이 시작되므로, 그 전에 지금까지의 절차를 고정해 둔다.

원서 대응: Solow 1~7장 전체. 새로 읽을 장은 없다. 시험 전날 각 장의 요약 절만 훑고 오는 것으로 충분하다.

이번 주 목표#

  1. S1주차~S8주차의 절차(증명 과제 세팅 \(\to\) 후진\(\cdot\)전진 \(\to\) 정의의 두 면 \(\to\) 네 칸 표 \(\to\) 중첩)를 백지에서 통째로 복원한다.

  2. 낯선 명제를 받았을 때 구조 판독 \(\to\) 기법 지목을 즉답 수준으로 만든다.

  3. 모의시험 20문항으로 실전 검증하고, 오답을 주차별 재학습 지도로 되돌린다.

시험 규칙#

  • 1부 (백지 복원, 30분): 아무것도 보지 않고 아래 10개 항목을 백지에 쓴다. 항목당 1점, 9점 이상 통과.

  • 2부 (모의시험, 120분): 20문항. 기본 6문항 \(\times\) 1점 + 표준 8문항 \(\times\) 2점 + 도전 6문항 \(\times\) 3점 = 40점 만점, 32점 이상 통과.

  • 교재\(\cdot\)원서\(\cdot\)노트 참조 금지. 해설은 채점이 끝난 뒤에만 연다.

  • 부분 점수: 표준\(\cdot\)도전에서 분석표(설계)가 옳으면 절반 인정한다. 설계와 산문은 별개의 능력이므로 둘 다 채점한다.

  • 한 항목이라도 기준에 미치지 못하면 아래 재학습 지도의 해당 주차를 복습하고 일주일 뒤 재시험을 본다. 통과 전에는 S10주차로 넘어가지 않는다 (1권 24주차와 같은 규칙).

  • 이하 해설에서 (W1)~(W6)은 1권 16주차의 부등식 기본 성질을 가리킨다.

1부 — 백지 복원 시험 (10항목)#

#

복원할 것

출처

1

증명 과제의 세 요소 + 진리표 4행이 증명자에게 주는 지시

S1주차

2

후진 한 걸음의 절차 3단 + 좋은 핵심 질문의 두 요건 + 방향 검사 규칙

S2주차

3

전진의 조준 규칙 + “만남”의 정의

S3주차

4

압축본에서 지워지는 것 5가지 + “뜬금없는 첫수 = 후진 사슬의 종착” 규칙

S3주차

5

정의가 iff인 이유 + 두 면(전진면\(\cdot\)후진면)이 하는 일 + 핵심 질문의 표준 답안지 ①②③

S4주차

6

구성법 서식(제시 \(\to\) 검증 전수) + 증인의 세 공급로 + 순환 금지

S5주차

7

선택법 서식 + 치환 검사 한 문장 + 반칙 4종

S6주차

8

특수화 서식 3단 (조준 \(\cdot\) 자격 검증 \(\cdot\) 수령)

S7주차

9

네 칸 표 전체 (결론/가정 \(\times\) \(\forall\)/\(\exists\) — 기법\(\cdot\)첫 문장\(\cdot\)값을 고르는 쪽)

S5주차~S7주차

10

중첩 처리 규칙 + 의존성의 문법(맞춤 증인\(\cdot\)만능 증인) + 한 방향 교환 정리의 진술

S8주차

채점: 각 항목을 해당 주차의 [백지 암기 대상] 상자와 대조한다. 표현이 달라도 내용이 완전하면 1점이다.

2부 — 모의시험 (20문항)#

기본 ●○○ (각 1점)#

1. (구조 판독 5연발 — 증명하지 말 것) 각 명제에 대해 ① A/B 분해(숨은 가설\(\cdot\)숨은 양화사 노출) ② 첫수의 기법 이름만 답하시오. (a) 모든 홀수 \(n\)에 대해 \(n^2 + 2n\)은 홀수이다. (b) \(x^2 - 2x = 15\)인 실수 \(x\)가 존재한다. (c) \(S \subseteq T\)이고 \(x_0 \in S\)이면 \(x_0 \in T\)이다. (d) 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해, \(\frac1{2^n} < \varepsilon\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. (e) 92는 두 소수의 합이다.

2. 진리표를 그리고 4행 각각이 증명자에게 주는 지시를 적은 뒤, “증명자는 A가 참인 세계만 검토한다”가 어느 행들 때문인지로 설명하시오.

3. 정의 “\(m \equiv n \pmod 5\)라 함은 \(5 \mid (m - n)\)인 것”의 전진면과 후진면을 각각 한 문장으로 쓰시오 (\(\mid\)의 정의까지 이어서 전개).

4. 네 칸 표를 그리고, 각 칸에 해당하는 실전 문장(“임의로 잡자” / “…로 두자” / “그런 …를 잡자” / “…에 적용하자”)을 채우시오.

5. 명제 “\(x^5 = 32\)이면 \(x = 2\)” (\(x\) 실수)에 대해 — 후진 첫 질문(추상형), 그 답 후보 두 가지, 그리고 각 후보의 방향 검사 결과만 쓰시오 (증명은 하지 않아도 된다).

6. 압축된 증명에서 지워지는 것 5가지를 쓰고, 다음 상황의 대처를 한 문장으로 쓰시오: “교과서 증명의 첫 문장이 왜 나왔는지 전혀 모르겠다.”

표준 ●●○ (각 2점)#

7. (분석표 + 산문) 실수 \(x, y\)에 대해, \(x^3 + 3x = y^3 + 3y\)이면 \(x = y\)임을 증명하시오. (후진\(\cdot\)전진 2열 분석표 \(\to\) 만남 표시 \(\to\) 압축 산문. 부품: 세제곱 차 인수분해, \(x^2 + xy + y^2 \ge 0\) (S3주차 문제 18), 영인수 성질)

8. (구성) 0이 아닌 임의의 유리수 \(r\)에 대해, \(rq = 2\)인 유리수 \(q\)가 존재함을 증명하시오. (역산 \(\to\) 제시 \(\to\) 자격\(\cdot\)사건 검증 전수 — 잘 정의됨 확인 포함)

9. (선택) 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^4 - 4x^2 + 5 > 0\)임을 증명하시오.

10. (선택 + 조건문) \(f(x) = 4 - 3x\)로 정의된 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 단사임을 증명하고, 같은 증명을 대우 꼴(\(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\))로 하면 가정과 과녁이 어떻게 달라지는지 한 줄로 비교하시오.

11. (특수화) 기성 정리 “모든 양의 실수 \(u, v\)에 대해 \(\sqrt{uv} \le \frac{u+v}2\)” (AM–GM)를 사용해, 모든 양의 실수 \(a\)에 대해 \(a + \dfrac1{4a} \ge 1\)임을 증명하시오. (투입값 선택 — 조준 설명, 자격 검증, 산출물 정리까지)

12. (중첩 — \(\varepsilon\)-N) \(\dfrac{2n - 1}{n + 1} \to 2\)임을 증명하시오. (연습장 역산 \(\to\) 3겹 라벨 답안)

13. (순서 판정) 두 명제 ① “모든 실수 \(x\)에 대해 \(y^3 = x\)인 실수 \(y\)가 존재한다” ② “어떤 실수 \(y\)가 존재하여 모든 실수 \(x\)에 대해 \(y^3 = x\)이다” — ①이 참인 이유(사용할 기성 정리 이름 포함)와 ②가 거짓인 증명(두 번 특수화 충돌)을 쓰시오.

14. (진단 3연발) 각 답안의 반칙 이름과 수리 방향을 한 줄씩 쓰시오. (a) “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(n^2 + n + 17\)은 소수다. 증명: \(n = 1, 2, 3\)에서 19, 23, 29로 모두 소수다. 따라서 성립한다.” (b) “\(a < b\)이면 \(a < \frac{a+b}2\)임을 증명하자. \(a < \frac{a+b}2\)라 하자. 양변에 2를 곱하면 \(2a < a + b\), 즉 \(a < b\) — 가정과 일치하므로 증명 완료.” (c) “기성 정리 AM–GM을 \((u, v) = (x, x - 4)\)에 적용하면 \(\sqrt{x(x-4)} \le \frac{2x - 4}2 = x - 2\)이다.” (\(x\)에 대한 정보가 전혀 없는 상태에서)

도전 ●●● (각 3점)#

15. (케이스 + 제곱 비교) 모든 실수 \(a, b\)에 대해 \(\dfrac{a + b}2 \le \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}2}\)임을 증명하시오. (주의: 좌변은 음수일 수 있다 — 제곱 비교의 자격(양변이 음이 아님)을 케이스로 확보하는 것이 채점 포인트다. 등호 조건까지)

16. (특수화 + 귀류 반 발) 실수 \(a\)가 “모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(|a| \le \varepsilon\)”을 만족하면 \(a = 0\)임을 증명하시오. (S7주차 문제 17의 변주 — 투입값의 역산 근거를 명시할 것)

17. (구성 + 케이스 + 부품) 모든 정수 \(n\)에 대해 \(6 \mid n(n+1)(2n+1)\)임을 증명하시오. (2의 배수: 연속 곱 부품(S5주차 문제 3(a)). 3의 배수: \(n\)을 3으로 나눈 나머지 3케이스 — 각 케이스에서 세 인수 중 누가 3의 배수인지 지목. 마지막에 “2와 3이 둘 다 나눈다 \(\Rightarrow\) 6이 나눈다”의 근거(나눗셈 정리 — 1권 17주차, 또는 1권 20주차 문제 13을 기성 정리로 인용)까지)

18. (압축 해부) 다음 증명을 읽고 (a) 각 줄의 출신(전진/후진 화석/만남) (b) 지워진 핵심 질문들 (c) 사용된 기법을 네 칸 표의 언어로 전부 명시하시오.

명제. \(f(x) = x^3 + x\)는 증가함수이다.

증명. \(x_1 < x_2\)인 실수를 잡자. \(f(x_2) - f(x_1) = (x_2^3 - x_1^3) + (x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2 x_1 + x_1^2 + 1)\)이다. 둘째 인수는 \(x_2^2 + x_2 x_1 + x_1^2 \ge 0\)에 의해 1 이상이고, 첫째 인수는 가정에 의해 양수이므로 \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), 즉 \(f(x_1) < f(x_2)\)이다. \(\blacksquare\)

19. (종합 설계) 모든 양의 실수 \(a, b\)에 대해 \(a^3 + b^3 \ge a^2 b + a b^2\)임을 증명하고 등호 조건을 밝히시오. (후진: 차의 인수분해 — \((a - b)\)가 두 번 나오는 구조를 발견하는 것이 관문이다. 어느 가정이 어디서 소비되는지 전부 라벨)

20. (서술 — 기법 선택 지도) “낯선 명제를 받으면 나는 무엇을 순서대로 보는가”를 다섯 문장 이내로 서술하시오 — 반드시 포함할 것: 판 세팅(A/B 분해), 숨은 양화사\(\cdot\)숨은 정의 노출, 결론 쪽 겉모양이 정하는 기법(네 칸 표), 막혔을 때의 두 귀환처(정의의 두 면), 그리고 아직 배우지 않은 신호(결론이 부정문일 때)가 다음 주부터 채워질 자리라는 인지.

재학습 지도 (오답 → 복습 주차)#

틀린 문항

복습할 주차

1, 2, 6

S1주차 (증명 과제\(\cdot\)진리표), S3주차 (압축본)

5, 7

S2주차\(\cdot\)S3주차 (후진-전진\(\cdot\)분석표)

3, 8

S4주차 (정의의 두 면), S5주차 (구성)

4

S5주차~S7주차 (네 칸 표)

9, 10

S6주차 (선택법)

11, 14(c)

S7주차 (특수화\(\cdot\)자격 검증)

12, 13, 16

S8주차 (중첩\(\cdot\)순서), S7주차 (조준과 투입)

14(a)

S6주차 반칙 목록

14(b)

S1주차 예제 2.3 (A와 B의 분해 오류) + S5주차 문제 12 (순환)

15, 17, 19

1권 16주차\(\cdot\)17주차 + S2주차~S3주차 (설계 종합)

18

S3주차 (압축본 해부), S6주차 (선택법)

20

S1주차~S8주차 전체 목차 재독

해설#

채점이 끝나기 전에는 열지 않는다. 1부의 답은 각 주차의 [백지 암기 대상] 상자가 정답지이며, 어느 주차인지는 위 표의 출처 열에 있다.

문제 1#

접근. 이 문항은 증명을 요구하지 않는다. 요구하는 것은 두 가지다. 하나는 명제를 A(가정)와 B(결론)로 분해하면서 문면에 드러나지 않은 가설과 양화사를 전부 드러내는 것이고(S1주차의 세팅), 다른 하나는 드러난 B의 겉모양이 지목하는 첫 기법의 이름을 대는 것이다(S5주차~S7주차의 네 칸 표). 겉모양이 기법을 정한다는 이번 학기의 요지를 다섯 번 반복 적용하는 자리다.

풀이. (a) A는 “\(n\)은 정수이고 홀수”, B는 “\(n^2 + 2n\)은 홀수”다. 명제 전체 앞에 \(\forall n\)이 숨어 있고, B 안에는 홀수의 정의가 접혀 있어 “\(n^2 + 2n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다”라는 \(\exists\)가 한 겹 더 있다. 결론의 \(\forall\)이므로 첫수는 선택법이다 — “홀수 \(n\)을 임의로 잡자”. 그 뒤 가정 쪽 “홀수”의 전진면으로 \(n = 2j+1\)을 꺼낸다. (b) 가정이 비어 있고 결론에 \(\exists\)가 드러나 있다. 첫수는 구성법이다. 연습장에서 역산해 \(x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3) = 0\)을 풀고, 답안에는 “\(x = 5\)로 두자”만 남긴 뒤 자격(\(x\)는 실수 ✓)과 사건(\(25 - 10 = 15\) ✓)을 검증한다. 증인의 공급로는 ① 역산이다. (c) A는 “\(S \subseteq T\)이고 \(x_0 \in S\)”, B는 “\(x_0 \in T\)”다. 포함관계가 가정 쪽의 숨은 \(\forall\), 곧 \(\forall y\,[y \in S \Rightarrow y \in T]\) 이다. 첫수는 특수화다 — 그 전칭 가정에 \(y = x_0\)을 조준하고, 자격 \(x_0 \in S\)가 이미 사실 목록에 있음을 확인한 뒤 \(x_0 \in T\)를 수령한다. (d) 결론이 두 겹이다. 바깥이 \(\forall \varepsilon > 0\), 안쪽이 \(\exists n\)이다. 중첩 처리 규칙(S8주차)에 따라 바깥부터 처리하므로 선택법으로 \(\varepsilon\)을 잡고, 남은 한 겹에 구성법으로 \(n\)을 둔다. 증인 \(n\)이 \(\varepsilon\)의 식이어도 되는 것은 \(\varepsilon\)이 먼저 확정되었기 때문이다(맞춤 증인). (e) “92는 두 소수의 합이다”에는 숨은 \(\exists\)가 둘 있다 — “\(92 = p + q\)인 소수 \(p, q\)가 존재한다”. 첫수는 구성법이며, 증인 쌍을 제시하고 자격(둘 다 소수)과 사건(합이 92)을 모두 검증한다. \(p = 3\), \(q = 89\)로 두면 3과 89가 소수이고 \(3 + 89 = 92\)다. \(13 + 79\), \(19 + 73\)도 같은 검증을 통과한다.

복기. 다섯 문항 모두에서 판단의 근거는 하나뿐이다 — 양화사가 결론에 있는가 가정에 있는가, 그리고 \(\forall\)인가 \(\exists\)인가. 계산은 한 줄도 하지 않았는데 첫 문장이 전부 정해졌다.

문제 2#

접근. S1주차의 진리표와 그 넷째 열이 정답지다. 표를 옮겨 적는 것으로 끝나지 않고, “왜 증명이 ‘A라 가정하자’로 시작하는가”라는 물음의 답을 그 표에서 읽어 내야 점수가 완성된다.

풀이. 표는 다음과 같다.

\(A\)

\(B\)

\(A \Rightarrow B\)

증명자에게 주는 지시

T

T

T

증명이 도달할 칸

T

F

F

명제가 거짓이 되는 유일한 칸 — 이 칸이 불가능함을 보이는 것이 증명이다

F

T

T

검토 대상 아님 — A가 거짓이면 보증할 일이 없다

F

F

T

검토 대상 아님 — 셋째 행과 같다

셋째\(\cdot\)넷째 행은 A가 거짓인 행이고, 조건문은 그때 진리표에 의해 자동으로 참이다(1권 8주차의 공허한 참). 증명자가 손댈 것이 없다. 남는 것은 A가 참인 첫째\(\cdot\)둘째 행이고, 그중 명제를 거짓으로 만드는 칸은 둘째 행 하나뿐이다. 따라서 증명이 할 일은 “A가 참인데 B가 거짓”이 일어나지 않음을 보이는 것 하나로 줄어든다. 그 축소를 선언하는 문장이 “A라 가정하자”이며, 그 이후의 모든 논의는 A가 참인 세계 안에서만 이루어진다.

복기. 이 한 표가 조건문 증명의 첫 문장을 고정한다. 첫 문장을 무엇으로 쓸지 망설이는 일은, 표의 셋째\(\cdot\)넷째 행이 이미 처리되어 있다는 사실을 잊었을 때 생긴다.

문제 3#

접근. S4주차의 정의의 두 면을 묻는다. 이 문항의 함정은 한 겹에서 멈추는 것이다. “\(m \equiv n \pmod 5\)”를 풀면 “\(5 \mid (m - n)\)”이 나오는데 이것 역시 이름이므로, 정의를 한 번 더 풀어 \(\exists\)가 드러날 때까지 내려가야 답이 완성된다.

풀이. 전진면. 사실 목록에 “\(m \equiv n \pmod 5\)”가 들어오면, 합동의 정의에 의해 \(5 \mid (m - n)\)을 얻고(근거 ①), 나누어떨어짐의 정의를 한 번 더 풀어 “\(m - n = 5k\)인 정수 \(k\)가 존재한다”를 얻는다. 이것은 가정 쪽의 \(\exists\)이므로 그 정수에 이름을 붙여 받는다 — “\(m - n = 5k\)인 정수 \(k\)를 잡자”. 이후의 계산에 실제로 쓰이는 재료는 등식 \(m - n = 5k\)다. 후진면. 과녁이 “\(m \equiv n \pmod 5\)”이면 핵심 질문의 답은 “\(5 \mid (m - n)\)을 보이면 된다”이고, 한 겹 더 내려가면 “\(m - n\)을 \(5 \times (\text{정수})\) 꼴로 만들면 된다”가 된다. 이것은 결론 쪽의 \(\exists\)이므로 여기서부터는 구성법이며, 그 정수를 실제로 제시하고 정수임을 검증해야 한다.

복기. 전진면은 이름을 등식으로 바꿔 재료를 만들고, 후진면은 이름을 만들어야 할 꼴로 바꿔 과녁을 갈아 끼운다. 두 면 모두 \(\exists\)가 노출될 때까지 푸는 것이 요령이며, 그 지점에서 가정 쪽이면 “잡자”, 결론 쪽이면 “두자”로 갈린다.

문제 4#

접근. S5주차~S7주차를 한 장에 모은 네 칸 표를 재현하는 문항이다. 표의 축은 두 개다 — 양화사가 결론에 있는가 가정에 있는가, 그리고 그것이 \(\forall\)인가 \(\exists\)인가. 이 두 물음의 답이 정해지면 첫 문장이 자동으로 결정된다.

풀이.

양화사가 있는 곳

기법

첫 문장

값을 고르는 쪽

결론의 \(\forall\)

선택법 (S6주차)

“자격을 갖춘 …를 임의로 잡자”

상대가 고른 셈으로 친다

결론의 \(\exists\)

구성법 (S5주차)

“…로 두자”

내가 고른다

가정의 \(\exists\)

전진 한 걸음

“그런 …를 잡자”

이미 정해져 있고 이름만 받는다

가정의 \(\forall\)

특수화 (S7주차)

“…에 적용하자”

내가 고른다

대각선의 대칭까지 적으면 답이 완성된다. 결론의 \(\forall\)와 가정의 \(\exists\)는 값을 내가 정할 수 없는 칸이고(상대가 고른 셈으로 치거나, 이미 정해진 것을 이름만 받는다), 결론의 \(\exists\)와 가정의 \(\forall\)는 내가 고르는 칸이다. 무엇을 고르느냐가 실력이 되는 자리는 뒤의 두 칸뿐이다.

복기. 반칙의 상당수는 칸 착각이다. 결론의 \(\forall\)를 결론의 \(\exists\)처럼 다뤄 값 하나를 정해 버리면 곧바로 특정값 대입이 되고, 가정의 \(\exists\)를 내가 고르는 칸으로 착각하면 “그런 …를 잡자”가 아니라 임의의 값을 지정하는 반칙이 된다.

문제 5#

접근. S2주차의 후진 한 걸음만 요구한다. 요구되는 세 가지는 추상형 핵심 질문, 그 질문의 답 후보, 그리고 각 후보가 실제로 쓸 수 있는 걸음인지 판정하는 방향 검사다. 증명 전체를 쓰면 오히려 요구를 벗어난다.

풀이. 핵심 질문(추상형)은 “두 실수가 같음을 어떻게 보이는가”다. 답 후보 ①: 차가 0임을 보인다. 이 문제의 기호로 옮기면 새 과녁 \(B_1\)은 “\(x - 2 = 0\)”이다. 방향 검사는 \(B_1 \Rightarrow B\)를 확인하는 것이므로, \(x - 2 = 0\)의 양변에 2를 더해 \(x = 2\)를 얻으면 검사 통과다 ✓. 답 후보 ②: 인수분해로 강제한다. 가정 \(x^5 = 32\)에서 \(x^5 - 32 = 0\), 곧 \((x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) = 0\)이다. 방향 검사에서는 영인수 성질에 의해 두 인수 중 적어도 하나가 0이므로, “둘째 인수는 0이 아니다”를 확보하면 \(x - 2 = 0\), 곧 \(x = 2\)가 따라온다 ✓. 다만 새 과녁이 하나 늘었으므로 조건부로 유효한 걸음이다. 검토가 필요한 후보: “양변에 5제곱근을 취한다”. 실수에서 홀수 거듭제곱은 단사이므로 결과적으로는 옳지만, 그 단사성 자체가 증명해야 할 부품이다. 방향 검사에서 “이 걸음의 근거가 무엇인가”에 답하지 못하면 그 걸음은 아직 쓸 수 없다.

복기. 방향 검사가 확인하는 것은 \(B_1 \Rightarrow B\)이지 \(B \Rightarrow B_1\)이 아니다. 이 방향을 뒤집는 것이 문제 14(b)의 반칙과 같은 오류다. 후보 ②처럼 새 과녁을 낳는 걸음은 무효가 아니라 미완이므로, 늘어난 과녁을 처리할 수단이 있는지까지 함께 본다.

문제 6#

접근. S3주차의 압축본 표를 그대로 재현하고, 그 표의 실전 용도인 복원 절차를 한 문장으로 잇는 문항이다. 다섯 항목을 나열하는 데서 그치면 절반이다.

풀이. 지워지는 것 다섯 가지는 다음과 같다. ① 핵심 질문들 — 질문의 답만 남고, 그것도 종종 생략된다. ② 전진이었는지 후진이었는지의 방향 표시 — 전부 “따라서\(\cdot\)그러므로”의 전진 방향 산문으로 통일된다. ③ 갈림길에서 버린 가지 — 채택된 한 갈래만 남는다. ④ 시행착오와 막힘과 수정 — 매끈한 일직선만 남는다. ⑤ 걸음마다의 근거 일부 — 독자가 알 것으로 간주된 것은 언급 없이 지나간다. 대처는 다음 한 문장이다. 첫 문장이 왜 나왔는지 모르겠다면 그것은 대개 ①이 지워진 자리이므로, 뜬금없는 첫수는 후진 사슬의 마지막 조각이라고 보고 결론에서 거꾸로 두세 번 핵심 질문을 던져 그 첫수가 답으로 나오는지 확인한다.

복기. 압축 해제에서 복원할 항목은 셋이다 — 그 줄의 출신, 지워진 질문, 생략된 근거. 1권의 필사 규칙이 훈련한 것은 셋째 항목뿐이었고, 첫째와 둘째가 이번 학기에 추가된 것이다.

문제 7#

접근. 결론이 등식이므로 후진의 첫 답은 “차가 0임을 보인다”이고, 가정도 등식이므로 전진은 이항해 차를 만드는 방향으로 조준된다. 양쪽이 같은 대상인 \(x - y\)를 향하고 있다는 것이 이 문제의 설계 전부이며, 남는 일은 인수분해 뒤에 나오는 둘째 인수가 0이 아님을 확보하는 것이다.

풀이. 분석표의 후진 열: B는 \(x = y\)이고, 여기에 “차가 0” 답안을 적용하면 \(B_1\)은 \(x - y = 0\)이다. 영인수 성질을 쓰려면 \(B_2\)로 “둘째 인수가 0이 아니다”가 새 과녁으로 추가된다. 분석표의 전진 열: A에서 \(x^3 - y^3 + 3x - 3y = 0\), 세제곱 차를 인수분해하면 \((x - y)(x^2 + xy + y^2) + 3(x - y) = 0\), 공통인수로 묶으면 \((x - y)(x^2 + xy + y^2 + 3) = 0\)이다. 만남: 전진의 마지막 식과 후진의 \(B_1\)이 영인수 성질로 이어지려면 \(B_2\)만 남는데, \(x^2 + xy + y^2 \ge 0\) (S3주차 문제 18)이므로 둘째 인수는 3 이상이고 특히 0이 아니다. 산문. \(x^3 + 3x = y^3 + 3y\)라 하자. 이항하면 \((x^3 - y^3) + 3(x - y) = 0\)이고, 세제곱 차를 인수분해해 공통인수 \(x - y\)로 묶으면 \((x - y)(x^2 + xy + y^2 + 3) = 0\)이다. 그런데 \(x^2 + xy + y^2 = \left(x + \frac y2\right)^2 + \frac{3y^2}4 \ge 0\)이므로 둘째 인수는 3 이상이고, 특히 0이 아니다. 영인수 성질에 의해 \(x - y = 0\), 즉 \(x = y\)다. \(\blacksquare\)

복기. 채점은 분석표 1점, 산문 1점이다. “둘째 인수가 0이 아니다”의 근거가 빠지면 산문에서 0.5점을 감한다 — 영인수 성질은 “둘 중 하나가 0”만 주므로, 어느 쪽인지를 정하는 일은 별도의 논증이다.

문제 8#

접근. 결론이 존재 진술이므로 구성법이다. 증인은 사건 \(rq = 2\)를 \(q\)에 대한 방정식으로 보고 역산해서 얻는다(공급로 ①). 이 문제의 채점 포인트는 증인 식이 잘 정의되는지, 곧 \(r \neq 0\)을 어디서 쓰는지와, 그 증인이 유리수라는 자격을 어디서 받는지를 명시하는 데 있다.

풀이. 증명. \(r\)이 0이 아닌 유리수라 하자. \(q = \dfrac2r\)로 두자. 이 식은 \(r \neq 0\)이라는 가정에 의해 잘 정의된다. 자격 검증: 2는 유리수이고 \(r\)은 0이 아닌 유리수이므로, 유리수는 0이 아닌 유리수로 나누는 연산에 닫혀 있다는 사실(1권 15주차 문제 15)에 의해 \(q\)는 유리수다 ✓. 사건 검증: \(rq = r \cdot \dfrac2r = 2\) ✓. 따라서 \(rq = 2\)인 유리수 \(q\)가 존재한다. \(\blacksquare\)

복기. 구성법의 제출물은 언제나 셋이다 — 증인의 제시, 자격 검증, 사건 검증. 역산 과정은 연습장에 남고 답안에는 “두자” 한 줄만 남는다. 자격 검증에서 닫힘성을 인용할 때는 그것이 어느 연산에 대한 닫힘성인지까지 적어야 근거가 성립한다.

문제 9#

접근. 결론이 “모든 실수 \(x\)에 대해”이므로 선택법으로 판을 교체하고, 남은 과녁은 부등식이다. 과녁의 겉모양이 “어떤 식이 양수”이므로 조준 방향은 1권 16주차의 차–제곱 전략, 곧 좌변을 제곱과 상수의 합으로 정리하는 것이다. \(x^4 - 4x^2\)을 \(x^2\)에 대한 이차식으로 보면 완전제곱이 보인다.

풀이. 증명. 실수 \(x\)를 임의로 잡자. \(t = x^2\)으로 보면 \(t^2 - 4t + 5 = (t - 2)^2 + 1\)이므로

\[ x^4 - 4x^2 + 5 = (x^2 - 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1 > 0 \]

이다. 부등호는 1권 16주차 (W1)에 의해 \((x^2 - 2)^2 \ge 0\)이라는 데서 나오고, 여기에 1을 더하는 걸음이 (W2), \(\ge 1\)과 \(1 > 0\)을 잇는 마지막 접합이 (W6)이다. \(x\)가 임의였으므로 모든 실수에서 성립한다. \(\blacksquare\)

복기. 검산은 전개로 한다 — \((x^2 - 2)^2 + 1 = x^4 - 4x^2 + 4 + 1 = x^4 - 4x^2 + 5\) ✓. 사차식이라도 짝수 차수 항만 있으면 \(x^2\)을 하나의 문자로 보아 이차식의 완전제곱으로 되돌릴 수 있다. 이 치환은 연습장의 도구이고, 답안에는 정리된 항등식 한 줄만 남긴다.

문제 10#

접근. 단사의 정의는 “\(f(x_1) = f(x_2)\)이면 \(x_1 = x_2\)”라는 조건문이 두 겹의 \(\forall\) 안에 들어 있는 꼴이다. 따라서 선택법을 두 번 적용해 \(x_1, x_2\)를 잡고, 교체된 결론이 조건문이므로 그 가정을 사실 목록에 넣는다. 그 뒤에는 일차식이라 계산만 남는다.

풀이. 증명. 실수 \(x_1, x_2\)를 임의로 잡고, \(f(x_1) = f(x_2)\)라 가정하자. \(f\)의 정의에 의해 \(4 - 3x_1 = 4 - 3x_2\)다(근거 ①). 양변에서 4를 빼면 \(-3x_1 = -3x_2\)이고, 양변을 \(-3\)으로 나누면 \(x_1 = x_2\)다. \(x_1, x_2\)가 임의였으므로 \(f\)는 단사다. \(\blacksquare\) 비교: 대우 꼴로 하면 가정이 “\(x_1 \neq x_2\)”, 과녁이 “\(4 - 3x_1 \neq 4 - 3x_2\)”가 되어 둘 다 부정문이 되고, 대수 전개 대신 “\(\neq\)가 보존된다”는 논증, 곧 \(x_1 \neq x_2\)이면 0이 아닌 수를 곱한 \(-3x_1\)과 \(-3x_2\)도 다르다는 걸음이 필요해진다. 등식 가정이 부등식 가정보다 다루기 쉽다는 것이 원래 꼴을 표준으로 삼는 이유다(S6주차 문제 17(b)).

복기. 두 꼴은 동치이므로 어느 쪽을 증명해도 합법이지만, 사실 목록과 과녁의 모양이 달라진다. 어느 꼴로 갈지는 “어느 쪽 가정에서 계산이 나오는가”로 정한다. 부정문 가정을 정면으로 다루는 기법은 S10주차 이후에 온다.

문제 11#

접근. 특수화의 전부는 조준이다. 과녁의 좌변 \(a + \frac1{4a}\)가 기성 정리의 우변 \(\frac{u + v}2\)의 분자와 같아지도록 \((u, v) = \left(a, \frac1{4a}\right)\)를 고르면, 좌변 \(\sqrt{uv}\)가 \(a\)와 무관한 상수 \(\frac12\)가 되어 과녁의 우변 1이 바로 나온다. 무엇을 넣을지는 산출물이 어떤 모양이어야 하는지를 보고 역산한다.

풀이. 증명. 양의 실수 \(a\)를 임의로 잡자. 기성 정리를 \(u = a\), \(v = \dfrac1{4a}\)에 적용한다. 자격 검증: \(a > 0\) ✓이고, (W3)에 의해 \(4a > 0\)이므로 (W5)에 의해 \(\dfrac1{4a} > 0\) ✓. 두 값 모두 양의 실수이므로 투입 자격을 갖췄다. 수령: \(\sqrt{a \cdot \dfrac1{4a}} \le \dfrac{a + \frac1{4a}}2\)이고, 좌변은 \(\sqrt{\dfrac14} = \dfrac12\)다. 정리: 양변에 2를 곱하면 \(1 \le a + \dfrac1{4a}\), 곧 \(a + \dfrac1{4a} \ge 1\)이다. \(a\)가 임의였으므로 모든 양의 실수에서 성립한다. \(\blacksquare\)

복기. 등호 조건까지 적으면 가점이다. AM–GM의 등호는 \(u = v\)일 때이므로 \(a = \dfrac1{4a}\), 곧 \(a^2 = \dfrac14\)이고 \(a > 0\)이므로 \(a = \dfrac12\)이다. 자격 검증을 생략하면 문제 14(c)와 같은 오류가 되므로, 두 값이 양수라는 확인은 답안에 반드시 남긴다.

문제 12#

접근. 수렴의 정의는 \(\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N\)의 3겹이다. 바깥부터 벗기면 선택 \(\to\) 구성 \(\to\) 선택의 순서가 되고, 가운데의 \(N\)은 앞서 확정된 \(\varepsilon\)의 식이어도 된다(맞춤 증인). 연습장에서 할 일은 목표 부등식을 \(n\)에 대해 풀어 문턱을 역산하는 것뿐이다.

풀이. 연습장: \(\dfrac{2n-1}{n+1} - 2 = \dfrac{2n - 1 - 2(n+1)}{n+1} = \dfrac{-3}{n+1}\)이므로 그 절댓값은 \(\dfrac3{n+1}\)이다. \(\dfrac3{n+1} < \varepsilon\)은 \(n + 1 > \dfrac3\varepsilon\)과 같으므로, 문턱을 \(\dfrac3\varepsilon\) 언저리로 잡으면 된다. 답안. \(\varepsilon > 0\)을 임의로 잡자 [선택]. \(N = \left\lceil \dfrac3\varepsilon \right\rceil\)로 두자 [구성 — \(\varepsilon\)의 식이고, \(\dfrac3\varepsilon > 0\)이므로 양의 정수다 ✓]. \(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자 [선택]. 그러면 \(n + 1 > N + 1 > N \ge \dfrac3\varepsilon > 0\)이므로, 양변의 역수를 취해 3을 곱하면 \(\dfrac3{n+1} < \varepsilon\)이다. 따라서 절댓값 \(\left|\dfrac{2n-1}{n+1} - 2\right| = \dfrac3{n+1} < \varepsilon\)이다. \(n\)이 임의였고 \(\varepsilon\)이 임의였으므로, 수렴의 정의에 의해 \(\dfrac{2n-1}{n+1} \to 2\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 라벨 세 개를 답안에 남겼는가, 그리고 겹을 연 순서의 역순으로 닫았는가 — 이 둘이 이 문항의 채점 포인트다. 안쪽 \(\forall n\)의 마무리 선언을 빠뜨린 채 \(\forall \varepsilon\)만 닫으면 절반만 인정한다(S8주차 예제 2.2의 마지막 줄이 표준 어법이다). \(N\)이 \(\varepsilon\)에 의존해도 되는 이유는 \(\varepsilon\)이 먼저 잡혔기 때문이며, 순서를 바꾸면 문제 13 ②와 같은 만능 증인 요구가 되어 명제 자체가 달라진다.

문제 13#

접근. 두 명제는 기호가 같고 순서만 다르다. ①은 \(\forall x \exists y\)이므로 \(x\)마다 다른 \(y\)를 만들어도 되는 맞춤 증인 요구이고, ②는 \(\exists y \forall x\)이므로 하나의 \(y\)가 모든 \(x\)를 감당해야 하는 만능 증인 요구다. 후자를 무너뜨리는 표준 기술은 만능 증인을 가정한 뒤 서로 다른 두 값에 특수화해 충돌을 만드는 것이다.

풀이. ① 증명. 실수 \(x\)를 임의로 잡자 [선택]. \(g(y) = y^3 - x\)는 다항함수이므로 연속이다. \(M = |x| + 1\)로 두면 \(M \ge 1\)이므로 \(M^3 \ge M\)이고, 따라서 \(g(M) = M^3 - x \ge M - x = |x| + 1 - x > 0\)이며, 같은 이유로 \(g(-M) = -M^3 - x \le -M - x < 0\)이다. 중간값 정리(기성 존재 정리 — 공급로 ③, S5주차 문제 18과 같은 인용 방식)에 의해 \(-M\)과 \(M\) 사이에 \(g(y) = 0\)인 실수 \(y\)가 존재하고, 그 \(y\)가 \(y^3 = x\)를 만족한다. \(x\)가 임의였으므로 ①은 참이다. \(\blacksquare\) ② 반증. ②가 참이라고, 곧 실수 \(y_0\)가 존재하여 모든 실수 \(x\)에 대해 \(y_0^3 = x\)가 성립한다고 가정하자 [귀류 개시]. 이 \(y_0\)는 만능이므로 아무 \(x\)에나 적용할 수 있다. \(x = 0\)에 특수화하면 \(y_0^3 = 0\)이므로 \(y_0 = 0\)이다. 같은 \(y_0\)를 \(x = 1\)에 특수화하면 \(y_0^3 = 1\)이므로 \(0 = 1\)이 되어 모순이다. 따라서 ②는 거짓이다. \(\blacksquare\)

복기. ②의 반증은 새로운 기법이 아니라 특수화를 두 번 쓴 것이다(S8주차 예제 2.1(b)의 충돌 기술). 만능 증인은 그 자체가 강한 주장이므로, 서로 양립할 수 없는 두 값을 골라 넣기만 하면 무너진다. 넣을 두 값을 고르는 안목이 곧 특수화의 조준이다.

문제 14#

접근. 세 답안은 각각 다른 반칙에 해당한다. (a)는 결론의 \(\forall\)를 유한 검사로 대신한 경우, (b)는 결론을 사실 목록에 넣어 방향을 뒤집은 경우, (c)는 전칭 가정에 자격 검증 없이 값을 넣은 경우다. 진단은 반칙의 이름을 대는 데서 끝나지 않고 무엇이 무너지는지를 짚어야 한다.

풀이. (a) 특정값 대입이다(S6주차 반칙 목록). 확보된 것이 유한 개뿐이므로 임의성에 근거한 마무리 선언을 할 수 없다. 게다가 이 명제는 실제로 거짓이다 — \(n = 16\)에서 \(16^2 + 16 + 17 = 289 = 17^2\)이므로 소수가 아니고, \(n = 17\)에서도 \(17^2 + 17 + 17 = 17 \cdot 19\)다. 수리 방향은 증명 시도를 접고 반례 하나를 제시해 반증하는 것이다. (b) 결론 가정, 곧 순환이다(S5주차 문제 12와 같은 오류). “\(a < \frac{a+b}2\)라 하자”가 증명해야 할 B를 사실 목록에 넣었고, 이후의 계산이 보인 것은 \(B \Rightarrow A\)라는 역방향이다. 수리 방향은 사슬을 뒤집는 것이다 — 가정 \(a < b\)의 양변에 \(a\)를 더해 \(2a < a + b\)를 얻고 (W2), 양변을 2로 나눠 \(a < \frac{a+b}2\)를 얻는다 (W3). (c) 자격 미검증 특수화다(S7주차 서식의 걸음 ②). 기성 정리의 자격은 \(u, v\)가 모두 양수라는 것인데 \(x - 4\)의 부호를 알 수 없다. \(x = 1\)이면 \(x - 4 < 0\)이라 자격을 어길 뿐 아니라 \(\sqrt{x(x-4)}\) 자체가 정의되지 않는다. 수리 방향은 “\(x > 4\)”를 가정에 추가하거나, 결론을 그 가정 아래의 명제로 제한하는 것이다.

복기. 세 반칙은 각각 네 칸 표의 다른 자리에서 일어난다 — (a)는 결론의 \(\forall\), (b)는 후진 방향의 전도, (c)는 가정의 \(\forall\)다. 자기 답안을 검열할 때도 같은 순서로 훑으면 된다.

문제 15#

접근. 과녁이 \(A \le B\) 꼴이고 우변이 제곱근이므로 양변을 제곱해 비교하고 싶어진다. 그런데 제곱 비교의 원리(1권 16주차 문제 11 — \(0 \le a < b\)이면 \(a^2 < b^2\)이며, 여기서는 대우 방향으로 쓴다)는 양변이 음이 아닐 때만 쓸 수 있고, 여기서 좌변 \(\frac{a+b}2\)는 음수일 수 있다. 자격을 확보하는 표준 수단이 경우 나누기이며, 이 문항의 채점은 그 케이스 구분에 집중된다.

풀이. 증명. 실수 \(a, b\)를 임의로 잡자. 우변은 제곱근이므로 언제나 0 이상이다. 케이스 1: \(\dfrac{a+b}2 \le 0\)인 경우. 그러면 좌변 \(\le 0 \le\) 우변이므로 부등식이 그대로 성립한다. 케이스 2: \(\dfrac{a+b}2 > 0\)인 경우. 양변이 모두 0 이상이므로 제곱해서 비교해도 된다 — 근거는 1권 16주차 문제 11의 대우(\(u, v \ge 0\)이고 \(u^2 \le v^2\)이면 \(u \le v\))이며, 1권 16주차 문제 17에서 같은 방식으로 쓴 원리다. 다음 동치 사슬을 보자.

\[ \left(\frac{a+b}2\right)^2 \le \frac{a^2+b^2}2 \iff \frac{a^2 + 2ab + b^2}4 \le \frac{2a^2 + 2b^2}4 \iff 0 \le a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \]

마지막 부등식은 (W1)에 의해 참이므로 사슬을 되짚으면 케이스 2에서도 성립한다. 두 케이스가 실수 전체를 덮으므로 증명이 끝난다. \(\blacksquare\) 등호 조건: 케이스 2에서는 \((a-b)^2 = 0\), 곧 \(a = b\)일 때이고 이때 \(a = b > 0\)이다. 케이스 1에서는 좌변이 음수면 우변보다 확실히 작고, \(a + b = 0\)일 때 우변이 0이 되려면 \(a^2 + b^2 = 0\)이어야 하므로 \(a = b = 0\)이다. 종합하면 등호는 \(a = b \ge 0\)일 때에만 성립한다.

복기. 케이스 1을 빠뜨리면 1점을 감한다. \(a = -3\), \(b = 1\)을 넣으면 좌변은 \(-1\), 우변은 \(\sqrt5\)인데 좌변을 제곱하면 \(1 \le 5\)가 되어 마치 성립하는 것처럼 보인다. 제곱 비교는 음수 변에 적용할 수 없으므로, 그 계산은 결론이 맞더라도 근거가 되지 못한다.

문제 16#

접근. 가정이 \(\varepsilon\)에 대한 전칭이므로 값을 내가 고를 수 있는 칸이다. 결론 \(a = 0\)을 직접 만들 손잡이가 없으므로 \(a \neq 0\)을 가정해 모순을 만든다 — 부정 가정에서 모순을 끌어내는 이 형태는 1권 21~22주차에서 이미 다뤘고, Solow 서식으로 정식화하는 것은 S11주차다. 조준의 역산은 이렇다 — 산출물이 \(|a| \le \varepsilon_0\)인데 이것이 \(|a| > 0\)과 충돌하려면 \(\varepsilon_0\)이 \(|a|\)보다 작아야 하므로, 여유분의 절반인 \(\varepsilon_0 = \frac{|a|}2\)로 두면 된다.

풀이. 증명. \(a \neq 0\)이라 가정하자 [귀류 개시]. 그러면 절댓값의 성질에 의해 \(|a| > 0\)이다. \(\varepsilon_0 = \dfrac{|a|}2\)로 두면 (W5)에 의해 \(\varepsilon_0 > 0\)이므로 투입 자격을 갖췄다 ✓. 전칭 가정을 \(\varepsilon = \varepsilon_0\)에 특수화하면 \(|a| \le \dfrac{|a|}2\)를 수령한다. 양변에서 \(\dfrac{|a|}2\)를 빼면 \(\dfrac{|a|}2 \le 0\)이고, 양변에 2를 곱하면 \(|a| \le 0\)이다. 이것은 \(|a| > 0\)과 모순이다. 따라서 \(a \neq 0\)이라는 가정이 틀렸고, \(a = 0\)이다. \(\blacksquare\)

복기. S7주차 문제 17을 \((a, b) = (|a|, 0)\)에 특수화하면 \(|a| \le 0\)이 곧바로 나오고, 여기에 절댓값이 0 이상이라는 사실을 더하면 \(|a| = 0\), 곧 \(a = 0\)이 된다. 기성 정리를 인용해 두 줄로 줄이는 이 처리도 만점이며, 인용할 때 그 정리의 가정이 충족됨을 확인하는 줄은 그대로 남겨야 한다.

문제 17#

접근. 6으로 나누어떨어짐을 한 번에 보이려 하면 손잡이가 없다. 6을 2와 3으로 쪼개 각각 따로 확보한 뒤 다시 합치는 것이 설계다. 2의 배수는 연속한 두 정수의 곱이라는 부품에서 바로 나오고, 3의 배수는 \(n\)을 3으로 나눈 나머지로 경우를 나누면 각 경우마다 세 인수 중 하나가 지목된다.

풀이. 증명. 정수 \(n\)을 임의로 잡자. (2의 배수) \(n(n+1)\)은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수다(S5주차 문제 3(a)). 짝수에 정수 \(2n+1\)을 곱해도 짝수이므로 \(n(n+1)(2n+1)\)은 짝수다. (3의 배수) 나눗셈 정리(1권 17주차)에 의해 \(n\)은 \(3k\), \(3k+1\), \(3k+2\) 중 정확히 하나의 꼴이다(단 \(k\)는 정수). 이 분할이 전체를 덮는다.

  • \(n = 3k\)인 경우: 첫째 인수 \(n\)이 3의 배수다.

  • \(n = 3k+1\)인 경우: \(2n + 1 = 6k + 3 = 3(2k+1)\)이므로 셋째 인수가 3의 배수다.

  • \(n = 3k+2\)인 경우: \(n + 1 = 3k + 3 = 3(k+1)\)이므로 둘째 인수가 3의 배수다.

어느 경우든 세 인수 중 하나가 3의 배수이므로 곱 전체가 3의 배수다. (결합) 곱을 \(m\)이라 하자. 나눗셈 정리로 \(m = 6q + r\), \(0 \le r \le 5\)인 정수 \(q, r\)을 잡는다. \(6q\)는 짝수이고 \(m\)도 짝수이므로 \(r = m - 6q\)는 짝수이며, 따라서 \(r\)은 0, 2, 4 중 하나다. 또 \(3 \mid 6q\)이고 \(3 \mid m\)이므로 \(3 \mid r\)이며, 따라서 \(r\)은 0 또는 3이다. 두 조건을 동시에 만족하는 것은 \(r = 0\)뿐이므로 \(m = 6q\), 곧 \(6 \mid m\)이다. \(n\)이 임의였으므로 모든 정수에서 성립한다. \(\blacksquare\)

복기. 검산은 \(n = 4\)로 한다 — \(4 \cdot 5 \cdot 9 = 180 = 6 \cdot 30\) ✓. 이 곱이 6의 배수라는 사실은 \(1^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6\)의 우변이 언제나 정수인 이유이기도 하다(1권 31주차의 등식이며, 1권 17주차 문제 14가 그 절반인 짝수 부분을 다룬다). 이 결합 단계는 1권 20주차 문제 13(\(2 \mid x\)이고 \(3 \mid x\)이면 \(6 \mid x\))을 그대로 인용해 한 줄로 끝낼 수도 있다 — S5주차 §1.7 근거 목록 ④에 등재된 부품이다. 여기서는 나눗셈 정리만으로 재유도하는 길을 보였다.

문제 18#

접근. 압축본 해부는 줄마다 세 가지를 복원하는 작업이다 — 이 줄이 전진의 산물인지 지워진 후진의 흔적인지, 어떤 핵심 질문의 답으로 이 줄이 선택되었는지, 어떤 근거가 생략되었는지. 그리고 마지막에 사용된 기법을 네 칸 표의 언어로 정리한다.

풀이. (a) 각 줄의 출신.

  • “\(x_1 < x_2\)인 실수를 잡자” — 후진의 화석이다. 정의의 후진면이 내려 준 첫수를 선택법 2회와 조건문 개시로 한 줄에 압축했다.

  • “\(f(x_2) - f(x_1) = \cdots = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2 + 1)\)” — 계산 자체는 전진이지만 묶는 방향은 후진의 화석이다.

  • “둘째 인수는 \(x_2^2 + x_2x_1 + x_1^2 \ge 0\)에 의해 1 이상” — 전진이다. 기성 정리(S3주차 문제 18)를 \((x_2, x_1)\)에 특수화해 얻은 산출물이며, 자격은 두 값이 실수라는 것뿐이라 문맥에서 이미 충족되어 있다.

  • “첫째 인수는 가정에 의해 양수” — 전진이다. 조건문의 가정이 소비되는 자리다.

  • “따라서 곱이 양수, 즉 \(f(x_1) < f(x_2)\)” — 만남이다. 전진이 올린 두 부호 판정이 후진이 내려 둔 과녁과 여기서 맞물린다.

(b) 지워진 핵심 질문 — 그리고 함께 지워진 근거.

  • 첫째 줄에서 지워진 질문은 “증가함수임을 보이려면 무엇을 하면 되는가”이고, 그 답인 정의의 후진면이 \(\forall x_1 \forall x_2[x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)]\)라는 구조를 노출시켰다.

  • 둘째 줄에서 지워진 질문은 “차가 양수임을 보이려면 무엇을 하면 되는가”이고, 그 답인 “양수인 인수들의 곱으로 만든다”가 인수분해를 조준했다.

  • 셋째 줄에서 생략된 근거는 (W2), 곧 0 이상인 값에 1을 더하면 1 이상이라는 걸음이다.

  • 넷째 줄에서는 \(x_1 < x_2\)에서 \(x_2 - x_1 > 0\)을 얻는 이항 (W2)이 생략되어 있다.

  • 다섯째 줄에서는 양수와 양수의 곱이 양수라는 (W4)와 마지막 이항 (W2)이 생략되어 있다.

(c) 사용된 기법을 네 칸 표의 언어로 정리하면 다음과 같다. 결론의 \(\forall\)가 두 겹이므로 선택법 2회, 그 안의 사건이 조건문이므로 가정을 사실 목록에 넣고 판을 한 번 더 교체, 가정 쪽의 \(\forall\)인 기성 정리에 대해 특수화 1회다. 본체는 후진이 과녁을 내리고 전진이 계산을 밀어 올려 만나는 구조다.

복기. 압축본에서 가장 먼저 찾을 것은 “왜 하필 이 조작인가”에 답하지 못하는 줄이다. 그 줄은 거의 언제나 지워진 후진 질문의 답이며, 결론에서 거꾸로 물어보면 복원된다.

문제 19#

접근. 과녁이 \(A \ge B\) 꼴이므로 후진의 첫 답은 “차가 0 이상임을 보인다”다. 차 \(a^3 + b^3 - a^2b - ab^2\)을 두 항씩 묶으면 \(a^2(a-b)\)와 \(-b^2(a-b)\)가 되어 \((a - b)\)가 공통으로 나오고, 남은 \(a^2 - b^2\)에서 \((a-b)\)가 한 번 더 나온다. 이 구조를 찾는 것이 관문이며, 찾고 나면 부호 판정은 (W1)과 (W4)뿐이다.

풀이. 증명. 양의 실수 \(a, b\)를 임의로 잡자 [선택법 2회].

\[ a^3 + b^3 - a^2 b - a b^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)(a^2 - b^2) = (a - b)^2 (a + b) \]

이 묶음은 후진의 과녁 “차를 제곱과 양수의 곱으로 만든다”가 조준한 것이다 [전진]. 여기서 \((a - b)^2 \ge 0\)이고 [(W1)], \(a > 0\)과 \(b > 0\)이라는 가정을 소비하면 \(a + b > 0\)이다 [(W4), 가정의 첫째 소비처]. 0 이상인 수와 양수의 곱은 0 이상이므로 [(W4)] 차가 0 이상이고, 이항하면 \(a^3 + b^3 \ge a^2 b + a b^2\)이다. \(a, b\)가 임의였으므로 모든 양의 실수에서 성립한다. \(\blacksquare\) 등호 조건: 등호는 \((a-b)^2(a+b) = 0\)일 때다. \(a + b > 0\)이므로 둘째 인수는 0이 될 수 없고 [가정의 둘째 소비처], 따라서 \((a-b)^2 = 0\), 곧 \(a = b\)일 때에만 등호가 성립한다.

복기. 채점은 인수분해 발견에 1.5점, 부호 논증과 등호 조건에 1.5점이다. 가정 “\(a, b > 0\)”이 두 번 쓰인다는 점에 주의한다 — 한 번은 곱의 부호를 정할 때, 또 한 번은 등호 조건에서 둘째 인수를 배제할 때다. 가정이 어디서 소비되는지 라벨을 붙이는 습관이 이 두 번째 소비처를 놓치지 않게 한다.

문제 20#

접근. S1주차~S8주차의 절차를 자기 언어로 압축하는 문항이다. 채점은 문장의 매끄러움이 아니라 다섯 요소 — 판 세팅, 숨은 구조 노출, 네 칸 표에 의한 기법 지목, 막혔을 때의 두 귀환처, 아직 비어 있는 자리의 인지 — 가 모두 들어 있는지로 한다.

풀이. 예시 답안은 다음과 같다. 명제를 받으면 먼저 A와 B로 분해해 판을 세우고, 숨은 가설과 숨은 양화사, 그리고 정의 속에 접혀 있는 구조(\(\subseteq\), 짝수, 수렴 등)를 전부 드러낸다. 그다음 결론 쪽의 겉모양을 본다 — \(\exists\)면 구성법, \(\forall\)면 선택법, 겹이면 바깥부터이고, 가정 쪽의 \(\forall\)는 특수화로, \(\exists\)는 이름을 받는 걸음으로 소비 계획을 세운다. 본체는 후진으로 핵심 질문을 던져 과녁을 끌어내리고, 전진으로 사실 목록을 조준해 밀어 올려 만남을 만든다. 막히면 두 귀환처로 돌아간다 — 과녁에 붙은 이름의 후진면, 사실 목록에 있는 이름의 전진면이다. 결론이 부정문이라 후진할 손잡이가 없을 때의 처방은 아직 비어 있으며, 그 자리는 S10주차부터 S12주차까지가 채운다.

복기. 다섯 요소 중 마지막 것이 이 문항의 진짜 목적이다. 지금까지의 절차가 다루는 범위와 다루지 못하는 범위를 스스로 구분할 수 있으면, 다음에 오는 기법들이 어디에 끼워지는지를 미리 알고 배우게 된다.

다음 주 예고 (S10주차): 시험을 통과했다면 이제 절차의 빈칸을 채운다. 결론이나 가정에 부정이 박혀 있을 때 — 무리수, \(\notin\), \(\neq\), “수렴하지 않는다” — 그것을 다룰 수 있는 긍정형으로 밀어 넣는 절차(드모르간 법칙, 양화사 반전, 조건문의 부정)를 갖춘다. 1권 11주차에서 연습한 부정 만들기가 여기서 기법을 고르는 신호로 승격되며, 그것이 귀류법(S11주차)과 대우법(S12주차)의 필수 부품이 된다. Solow 8장을 통독하고 온다.