42주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

42주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 계산에서 보존 정리까지#

세 예제에서 지지대를 하나씩 뺀다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 한 뒤 완성본을 보며, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한 뒤 산문과 대조한다.

예제 2.1 — 계산과 교환 불가#

\(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 1\), \(g(x) = x^2\)이라 하자. \(g \circ f\)와 \(f \circ g\)를 구하고 비교하시오.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 정한다.

말

수식 번역

가정 (주어진 것)

\(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x+1\), \(g(x) = x^2\)

규칙 두 개와 무대. 연결 조건: \(f\)의 공역 \(\mathbb{R}\) = \(g\)의 정의역 \(\mathbb{R}\) ✓ (순서를 바꾼 쪽도 ✓)

목표 (만들 것)

두 합성을 구하고 같은지 비교

정의 42.1로 규칙식 두 개를 계산하고, 다름을 보이려면 \(\underline{\quad(?)\quad}\)

확인 10. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 두 함수가 같지 않음을 보이려면 무엇을 제시해야 하는가. 40주차 함수 상등의 세 기준을 부정해 보자.

답

값이 갈리는 입력 하나를 제시하면 된다. 정의역이 둘 다 \(\mathbb{R}\)이고

공역도 둘 다 \(\mathbb{R}\)이므로 첫 두 기준에서는 갈리지 않는다. 남은 것은

셋째 기준 “모든 입력에서 값이 같다”의 부정이고, 그 부정은 “값이 다른 입력이

존재한다”이다. 규칙식 두 개가 달라 보인다는 관찰만으로는 부족하다 —

40주차 문제 9에서 \(|x|\)와 \(\sqrt{x^2}\)이 생김새가 달라도 같은 함수였다.

확인 11. \(g \circ f\)의 정의역과 공역은 각각 무엇인가. 규칙식을 계산하기 전에 정해 보자.

답

정의 42.1의 선언 \(g \circ f : A \to C\)에서 \(A\)는 \(f\)의 정의역, \(C\)는 \(g\)의

공역이므로 둘 다 \(\mathbb{R}\)이다. \(f \circ g\)도 마찬가지로

\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)이다. 무대가 먼저 정해지고 규칙은 그다음이다.

확인 12. 첫 변형을 적어 보자. 정의 42.1만 사용한다: “\((g \circ f)(x) = \underline{\quad} = g(\underline{\quad})\)”.

답

\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1)\)이다. 첫 등호가 정의 42.1이고, 둘째

등호는 \(f\)의 규칙을 대입한 것이다. 아직 \(g\)의 규칙은 쓰지 않았다 — 정의 42.1은

합성을 두 단계로 푸는 데까지만 쓰인다.

확인 13. \(g\)의 규칙으로 계산을 끝내 보자: “\(g(2x+1) = \underline{\quad} = \underline{\quad}\)”.

답

\(g(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\)이다. \(g\)의 규칙은 “입력을 제곱한다”이므로

입력 자리에 \(2x+1\)을 통째로 넣는다. 괄호를 빠뜨려 \(2x + 1^2\)으로 적으면

전혀 다른 함수가 된다.

확인 14. 순서를 바꾼 쪽을 같은 절차로 계산해 보자: “\((f \circ g)(x) = f(\underline{\quad}) = \underline{\quad}\)”.

답

\((f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1\)이다. \(f\)의 규칙은 “입력을 2배 하고 1을

더한다”이므로 입력 자리에 \(x^2\)을 넣는다. 이번에는 제곱이 먼저 일어나고

일차식이 나중에 적용된다.

확인 15. \(x = 1\)에서 두 값을 구하고, 이것으로 무엇이 확정되는가. \(x = 0\)을 골랐다면 어땠는가.

답

\((g \circ f)(1) = 4 + 4 + 1 = 9\)이고 \((f \circ g)(1) = 2 + 1 = 3\)이다.

하나의 입력에서 값이 갈렸으므로 함수 상등의 셋째 기준이 깨지고,

\(g \circ f \neq f \circ g\)가 확정된다. 반증에 필요한 입력은 하나면 충분하다.

\(x = 0\)을 골랐다면 양쪽 다 \(1\)이 나와 아무것도 확정되지 않는다 — §1.2의

표에서 \(n = 0\)이 우연히 같았던 것과 같은 사정이다. 반례를 고를 때는 값이

실제로 갈리는지 확인하고 제시한다.

완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

연결 조건이 양쪽 순서 모두에서 성립하므로 \(g \circ f\)와 \(f \circ g\)는 모두 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)인 함수다.

정의 42.1의 첫째\(\cdot\)둘째 조각. 합성을 쓰기 전에 검문하고, 새 함수의 무대를 선언한다.

\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\)

정의 42.1로 두 단계로 푼 뒤 \(g\)의 규칙에 \(2x+1\)을 통째로 대입하고 전개한다(근거 ③).

\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1\)

같은 절차를 순서만 바꿔 적용한다. \(f\)의 규칙의 입력 자리에 \(x^2\)을 넣는다.

\(x = 1\)에서 \((g \circ f)(1) = 9\)이고 \((f \circ g)(1) = 3\)이며 \(9 \neq 3\)이다.

값이 갈리는 입력 하나의 제시 — 함수 상등 셋째 기준의 부정(40주차).

따라서 \(g \circ f \neq f \circ g\)이다. 합성에는 교환법칙이 없다. \(\blacksquare\)

결론 선언. 특정한 \(f, g\) 한 벌에서 어긋났으므로 “모든 \(f, g\)에 대해 \(g \circ f = f \circ g\)”는 거짓이다.

넷째 줄을 빼고 “규칙식이 \(4x^2+4x+1\)과 \(2x^2+1\)로 다르므로 두 함수가 다르다”로 끝내는 경우가 많다. 결론은 옳지만 근거가 목록 밖이다 — 식의 생김새는 함수 상등의 세 기준에 들어 있지 않기 때문이다(40주차 문제 9). 값이 갈리는 입력을 하나 제시하는 줄이 그 자리를 대신한다.

예제 2.2 — 보존 정리 (i): 단사의 합성#

명제. \(f : A \to B\), \(g : B \to C\)가 모두 단사이면 \(g \circ f\)도 단사이다.

이번에는 설계만 함께 하고, 완성본은 표로 본다. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 예제 2.1과 같은 번역표로 먼저 정리한다.

말

수식 번역

가정 1 (주어진 것)

\(f\)가 단사

모든 \(a, a' \in A\)에 대해 \(f(a) = f(a')\)이면 \(\underline{\quad(1)\quad}\)

가정 2 (주어진 것)

\(g\)가 단사

모든 \(b, b' \in B\)에 대해 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이면 \(b = b'\)

목표 (만들 것)

\(g \circ f\)가 단사

서식의 첫 문장은 “\(\underline{\quad(3)\quad}\)이라 하자”이고, 도착점은 “\(\underline{\quad(4)\quad}\)”이다

확인 16. 위 번역표의 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자.

답

(1) \(a = a'\) (2) \(g(b) = g(b')\) (3) \((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)

(4) \(a = a'\).

서식은 41주차 단사 증명의 것 그대로이며, 대상이 합성일 뿐이다.

새로 필요한 것은 첫 문장을 정의 42.1로 푸는 한 줄이다.

확인 17. 첫 문장을 정의 42.1로 풀면 \(g(f(a)) = g(f(a'))\)이다. 여기서 \(f\)의 단사성과 \(g\)의 단사성 중 어느 것을 먼저 쓸 수 있는가.

답

\(g\)의 단사성이다. 지금 손에 있는 등식은 “\(g\)의 값 두 개가 같다”이므로,

정의 41.1의 가정부 “\(g(b) = g(b')\)”에 정확히 들어맞는다(\(b = f(a)\),

\(b' = f(a')\)). \(f\)의 단사성은 가정부가 “\(f(a) = f(a')\)”인데 그 등식은 아직

손에 없다 — \(g\)를 벗겨 낸 다음에야 생긴다. 바깥부터 벗기는 순서는 취향이

아니라 손에 있는 등식이 정한다.

완성본.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이라 하자.

단사 증명 서식의 첫 문장(41주차). 대상이 합성일 뿐 서식은 그대로다.

정의 42.1에 의해 \(g\big(f(a)\big) = g\big(f(a')\big)\)이다.

합성을 두 단계로 푼다 — 정의 42.1을 좌변에서 우변으로 읽은 것(근거 ①).

\(g\)가 단사이므로 \(f(a) = f(a')\)이다.

손에 있는 등식이 \(g\)의 값 두 개의 상등이므로 정의 41.1의 가정부에 맞는다 — 바깥 껍질을 벗긴다.

\(f\)가 단사이므로 \(a = a'\)이다.

이번에는 \(f\)의 값 두 개가 같아졌으므로 정의 41.1을 다시 적용한다 — 안쪽 껍질.

따라서 \(g \circ f\)는 단사이다. \(\blacksquare\)

도착점 \(a = a'\)에 이르렀으므로 결론을 선언한다.

보존 정리 (ii)의 전사 버전은 방향이 반대다. 목표가 “\(C\)의 임의의 원소에 대한 증인 제작”이므로, \(c \in C\)에서 출발해 \(g\)의 전사성으로 \(b \in B\)를 얻고 \(f\)의 전사성으로 \(a \in A\)를 얻은 뒤, 정의 42.1을 우변에서 좌변으로 읽어 \(g(f(a))\)를 \((g \circ f)(a)\)로 묶는다. 문제 8이 그 답안을 쓰는 자리다.

예제 2.3 — 역추적 (iv)와 반쪽 반례#

명제. \(g \circ f\)가 단사이면 \(f\)는 단사이다. 그러나 \(g\)는 단사가 아닐 수 있다.

이번에는 설계부터 혼자 한다. 명제가 두 부분이므로 할 일도 두 개다 — 앞부분은 증명이고 뒷부분은 반례다. 각각의 첫 문장이 무엇인지 먼저 적은 뒤 아래 산문과 대조한다.

증명. (전반부) \(f(a) = f(a')\)이라 하자. 같은 대상에 같은 함수를 적용하면 값이 같으므로(40주차 정의 40.1의 유일성) \(g\big(f(a)\big) = g\big(f(a')\big)\)이다. 정의 42.1을 우변에서 좌변으로 읽으면 이는 \((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이고, \(g \circ f\)가 단사이므로 \(a = a'\)이다. 따라서 \(f\)는 단사이다. \(\blacksquare\)

반례. (후반부) \(A = \{1\}\), \(B = \{1, 2\}\), \(C = \{1\}\)로 잡고 \(f : A \to B\)를 \(f(1) = 1\), \(g : B \to C\)를 \(g(1) = g(2) = 1\)로 정의하자. 두 검증을 각각 확인한다.

① \(g \circ f : \{1\} \to \{1\}\)은 단사인가. \(a, a' \in A\)이면 \(A\)의 원소가 \(1\) 하나뿐이므로 언제나 \(a = a' = 1\)이다. 따라서 “\((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이면 \(a = a'\)”은 언제나 성립한다 — 단사이다 ✓.

② \(g\)는 단사가 아닌가. \(1 \neq 2\)이고 \(g(1) = g(2) = 1\)이다. 쌍의 상이함과 값의 동일함이라는 두 검증이 모두 끝났으므로 \(g\)는 단사가 아니다 ✗.

따라서 “\(g \circ f\)가 단사이면 \(g\)도 단사이다”는 거짓이다.

어디서 어긋났는가. \(g\)가 같은 값으로 보내는 두 원소는 \(1\)과 \(2\)인데, \(f\)의 치역은 \(f(A) = \{1\}\)이므로 \(2\)는 합성 과정에 아예 등장하지 않는다. 합성은 \(g\)가 \(f\)의 치역 위에서 하는 일만 겪는다 — \(g\)의 겹침이 \(f(A)\) 밖에서 일어나면 합성에는 흔적이 남지 않는다. 이것이 (iv)의 나머지 절반이 돌아오지 않는 정확한 이유다. 문제 10이 같은 세 집합을 전사 쪽에서 다시 검사하고, §3의 훈련 2는 “\(f\)가 전사”라는 조건을 더해 이 빈틈을 정확히 메운다.

관찰 — 같은 뼈대#

세 증명의 뼈대가 어떻게 대응하는지 표로 맞춰 본다.

단계

예제 2.2 (단사 보존)

예제 2.3 전반부 (역추적 (iv))

문제 8 (전사 보존)

① 목표를 정의로 번역

\(g \circ f\)가 단사

\(f\)가 단사

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

② 서식이 정한 첫 문장

“\((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이라 하자”

“\(f(a) = f(a')\)이라 하자”

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

③ 정의 42.1을 읽는 방향

좌 \(\to\) 우 (벗기기)

우 \(\to\) 좌 (씌우기)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

④ 마무리 선언

“따라서 \(g \circ f\)는 단사이다”

“따라서 \(f\)는 단사이다”

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 18. 위 대응표의 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자.

답

(1) \(g \circ f\)가 전사임을 보이는 것 — 임의의 \(c \in C\)에 대한 증인 제작이다.

(2) “\(c \in C\)라 하자.”

(3) 우 \(\to\) 좌 (씌우기). \(g\)의 전사성과 \(f\)의 전사성으로 증인 \(b\)와 \(a\)를 차례로

얻은 뒤, \(g(f(a))\)를 \((g \circ f)(a)\)로 묶어야 결론이 합성에 관한 문장이 된다.

(4) “따라서 \(g \circ f\)는 전사이다.”

세 증명이 밟는 네 단계는 같다. 달라지는 것은 서식(41주차의 넷 중 무엇인가)과

정의 42.1을 읽는 방향뿐이다.

백지 암기 대상

합성 증명의 통로

합성에 관한 증명은 전부 정의 42.1의 등식 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)를 지나간다.

방향은 둘뿐이다.

벗기기(좌 \(\to\) 우): \(g \circ f\)에 관한 정보를 손에 쥐고 있을 때 두 단계로 푼다

— 예제 2.2, 문제 9.

씌우기(우 \(\to\) 좌): \(f\)와 \(g\) 각각의 정보를 이어 붙여 \(g \circ f\)에 관한

정보로 묶는다 — 예제 2.3 전반부, 문제 8.

어느 방향인지는 손에 있는 등식이 정한다. 첫 문장을 쓴 뒤 “지금 손에 있는

등식이 \(g \circ f\)의 것인가, \(f\)와 \(g\) 각각의 것인가”를 물으면 방향이 정해진다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

\(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = n + 2\)와 \(g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(g(n) = 3n\)에 대해 다음을 채운다.

  • \((g \circ f)(n) = g(n + 2) = \underline{\quad(1)\quad}\)

  • \((f \circ g)(n) = f(3n) = \underline{\quad(2)\quad}\)

  • 두 함수가 다름을 보이는 입력 하나: \(n = \underline{\quad(3)\quad}\)에서

\((g \circ f)(n) = \underline{\quad(4)\quad}\), \((f \circ g)(n) = \underline{\quad(5)\quad}\)

  • \((f \circ \mathrm{id}_{\mathbb{Z}})(n) = f(n) = \underline{\quad(6)\quad}\) — 항등함수는

합성에서 \(\underline{\quad(7)\quad}\)의 역할을 한다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

명제. \(f : A \to B\), \(g : B \to C\)에 대해 \(g \circ f\)가 단사이고 \(f\)가 전사이면 \(g\)는 단사이다.

증명. \(g(b) = g(b')\)이라 \(\underline{\quad(1)\quad}\). \(f\)가 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이므로 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)와 \(f(a') = b'\)인 \(a' \in A\)가 존재한다. 그러면

\[ (g \circ f)(a) = g\big(f(a)\big) = g(b) = g(b') = g\big(f(a')\big) = \underline{\quad(3)\quad} \]

이다. 첫 등호와 마지막 등호의 근거는 \(\underline{\quad(4)\quad}\)이고, 가운데 등호는 처음의 가정이다. \(g \circ f\)가 단사이므로 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이고, 따라서

\[ b = f(a) = f(a') = \underline{\quad(6)\quad} \]

이다. 따라서 \(g\)는 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 각 칸을 통째로 채운다.

명제. \(f : A \to B\), \(g : B \to C\)에 대해 \(g \circ f\)가 전사이고 \(g\)가 단사이면 \(f\)는 전사이다.

증명의 뼈대.

  • ① 전사 증명 서식의 첫 문장과, 증인을 얻기 위해 \(g \circ f\)의 전사성을 어느

원소에 적용하는가: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 정의 42.1을 어느 방향으로 읽어 무엇을 얻는가: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ \(g\)의 단사성을 쓰는 자리와 두 검증, 그리고 결론 선언: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

(훈련 2와 훈련 3은 예제 2.3과 문제 10의 반례가 뚫어 놓은 두 구멍을 조건 하나씩으로 메운다. 어느 조건이 어느 구멍을 메우는지도 한 줄로 적어 본다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다. 증명 문제는 반드시 목표를 정의로 번역하는 설계부터 시작한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “\(g \circ f \neq f \circ g\)이다”는 0점이고,

“\(x = 1\)에서 \((g \circ f)(1) = 9 \neq 3 = (f \circ g)(1)\)이므로 함수 상등의

셋째 기준이 깨진다”가 만점이다. 합성이 등장하는 줄에서는 정의 42.1을 어느

방향으로 읽었는지가 보여야 한다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 합성의 정의(연결 조건 포함), 보존 정리 (i)(ii), 역추적 정리 (iv)(v)를 진술하시오.

힌트

정의 42.1 상자와 §1.6, §1.7의 정리 상자 셋이다. 정의에서는 연결 조건과

새 함수의 정의역\(\cdot\)공역이 빠지기 쉽고, 역추적에서는 괄호 안의 단서가 빠지기 쉽다.

2. \(f(x) = x - 3\), \(g(x) = x^2 + 1\) (\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\))일 때 \((g \circ f)(x)\)와 \((f \circ g)(x)\)를 구하고, 같지 않음을 입력 하나로 보이시오.

힌트

오른쪽부터 실행한다. \(g\)의 규칙 “입력을 제곱하고 1을 더한다”의 입력 자리에

\(x - 3\)을 통째로 넣는다. 마지막 줄에서는 값이 실제로 갈리는 입력을 골랐는지

확인한다.

3. \(A = \{1,2,3\}\), \(f = \{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), \(g = \{(1,1),(2,3),(3,3)\}\) (\(A \to A\))일 때 \(g \circ f\)와 \(f \circ g\)를 순서쌍 집합으로 구하시오.

힌트

각 입력을 두 단계로 추적한다. \(g \circ f\)에서는 \(f\)의 순서쌍을 먼저 보고,

나온 값을 \(g\)의 순서쌍에서 다시 찾는다. 결과의 순서쌍 개수가 3개인지 확인하면

빠뜨린 입력이 없는지 검산된다.

4. 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 1의 네 항목이다. 셋째 항목에서는 두 규칙식이 어떤 \(n\)에서 갈리는지 먼저

비교하고, 넷째 항목에서는 항등함수의 정의 \(\mathrm{id}(n) = n\)을 그대로 대입한다.

5. 예제 2.2(단사 보존)를 백지에 재현하시오.

힌트

첫 문장은 41주차 단사 증명 서식이 정한다. 그다음 줄이 정의 42.1이고,

껍질은 바깥(\(g\))부터 벗긴다 — 확인 17에서 그 순서의 이유를 확인했다.

6. \(h(x) = (2x + 5)^3\)을 두 함수의 합성 \(g \circ f\)로 분해하시오 (두 가지 이상의 분해 제시).

힌트

“마지막에 한 일”을 바깥 함수 \(g\)로 놓는다. 세제곱이 마지막이면 \(g(x) = x^3\)이고

\(f\)는 나머지다. 다른 자리에서 끊으면 다른 분해가 나온다 — 분해는 유일하지 않다.

표준 ●●○#

7. 결합법칙 \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)를 증명하시오. (함수 상등의 세 기준(40주차) — 정의역\(\cdot\)공역 일치 확인 + 임의의 \(x\)에서 값 일치)

힌트

세 함수의 무대를 \(f : A \to B\), \(g : B \to C\), \(h : C \to D\)로 먼저 적는다.

그러면 양변이 모두 \(A \to D\)임이 보인다. 값 비교에서는 정의 42.1을 양쪽에서

두 번씩 펼치기만 하면 된다.

8. 보존 정리 (ii): \(f, g\)가 전사이면 \(g \circ f\)도 전사임을 증명하시오 (증인 릴레이 — 각 단계의 증인이 어디서 오는지 명시).

9. 역추적 (v): \(g \circ f\)가 전사이면 \(g\)는 전사임을 증명하시오.

힌트

목표는 “임의의 \(c \in C\)에 대해 \(g(b) = c\)인 \(b \in B\)의 제작”이다. 손에 있는

것은 \(g \circ f\)의 전사성뿐이므로 거기서 \(a\)를 먼저 얻는다. 그러면 \(b\)의

후보가 \(a\)로부터 만들어진다.

10. 역추적의 나머지 반쪽 반례: \(g \circ f\)는 전사인데 \(f\)는 전사가 아닌 예를 구성하시오 (예제 2.3의 세 집합을 재활용해도 좋다 — 검증 포함).

힌트

예제 2.3의 \(A = \{1\}\), \(B = \{1,2\}\), \(C = \{1\}\)을 그대로 놓고 두 검증만

새로 한다. \(g \circ f\)의 공역은 \(C\)이고 \(f\)의 공역은 \(B\)이므로, 각각 무엇을

덮어야 하는지가 다르다.

11. \(f, g : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4\)를 \(f([a]) = [a] + [1]\), \(g([a]) = [3][a]\)로 정의하자. \((g \circ f)([a])\)의 값 4개를 전수 계산하고 전단사인지 판정하시오.

증가함수의 정의 (문제 12에서 쓴다)

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 증가함수라는 것은 모든 실수 \(x < y\)에

대해 \(f(x) < f(y)\)라는 뜻이다(41주차 문제 13). 이 정의는 부등식 하나를

다음 부등식으로 넘기는 꼴이므로, 합성에서는 부등식을 두 번 연달아 넘기면 된다.

12. \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 모두 증가함수이면 \(g \circ f\)도 증가함수임을 증명하시오 (41주차 문제 13과 결합하면: 증가함수의 합성은 단사).

힌트

증가함수 증명의 첫 문장은 “\(x < y\)라 하자”이다. \(f\)의 가정을 한 번 쓰면

\(f(x) < f(y)\)가 나오고, 이 부등식의 두 변을 \(g\)의 가정의 입력으로 쓴다.

13. \(f : A \to B\)에 대해 \(f \circ \mathrm{id}_A = f\)와 \(\mathrm{id}_B \circ f = f\)를 증명하시오.

14. \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) (\(\mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}\))일 때 \((f \circ f)(x)\)를 구하시오. \(f \circ f = \mathrm{id}\)가 되는 함수를 하나 더 제시하시오 (“자기 자신이 역함수” — 43주차 예고).

힌트

\((f \circ f)(x)\)는 \(f(f(x))\)이므로 \(f\)의 규칙에 \(\frac{1}{x}\)를 넣어 계산한다.

두 번째 예는 부호를 뒤집는 함수나 어떤 수에서 빼는 함수처럼, 두 번 하면

상쇄되는 조작을 찾으면 된다.

대합 (문제 14에서 이름을 붙인다)

\(f \circ f = \mathrm{id}\)를 만족하는 함수를 대합(involution)이라 한다.

두 번 적용하면 원래 자리로 돌아오는 함수이며, 5주차 문제 5의

\((A^c)^c = A\)와 36주차 문제 18의 역관계도 같은 꼴이다. 43주차에서

“자기 자신이 역함수인 함수”로 다시 등장한다. 문제 14를 푸는 데 이 이름이

필요하지는 않다 — 두 예를 만든 뒤에 붙는 이름이다.

도전 ●●●#

이 절이 쓰는 반례의 규칙

반례 하나가 여러 명제를 동시에 반증할 수 있다. 반증하려는 명제가 두 개이면,

같은 \(f, g\) 한 벌에 대해 두 검증을 각각 따로 수행하면 된다 — 명제마다

가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임을 확인한다. 문제 16이 그 경우이고,

예제 2.3과 문제 10의 반례가 실은 같은 한 벌이라는 점을 검사하는 것이 그

문제의 후반부다.

15. 전단사의 합성이 전단사임(따름 (iii))을 (i)(ii)를 인용해 두 줄로 증명하고, 이것이 48주차에서 “크기 같음의 추이성”으로 쓰일 것임을 감안해 \(\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \{\)짝수\(\}\) 같은 구체적 릴레이 사례를 하나 구성하시오.

16. \(g \circ f\)가 전단사이면 \(f\)는 단사이고 \(g\)는 전사임을 증명하시오 ((iv)(v) 결합). 그리고 \(f\)가 전사가 아니고 \(g\)가 단사가 아니어도 되는 한 개의 반례로 두 실패를 동시에 보이시오 (예제 2.3의 예가 그것인지 검사).

힌트

앞부분은 정의 41.3을 풀어 (iv)와 (v)를 각각 적용하면 두 줄이다. 뒷부분은

예제 2.3의 세 집합에서 \(g \circ f\)가 전단사인지부터 확인한다 — 정의역과

공역이 모두 원소 하나짜리라는 점이 판정을 짧게 만든다.

17. \(f : A \to B\), \(g : B \to A\)가 \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)를 만족하면, \(f\)는 단사이고 \(g\)는 전사임을 증명하시오. (힌트: \(\mathrm{id}_A\)는 전단사 — 문제 16 적용. 43주차 역함수 정리의 반쪽)

힌트

확인 6에서 \(\mathrm{id}_A\)가 전단사임을 이미 확인했다. 가정이 “\(g \circ f\)가

어떤 전단사와 같다”이므로 \(g \circ f\) 자체가 전단사이고, 문제 16이 그대로

적용된다. 두 함수를 직접 다루는 증명도 따로 써 보면 구조가 더 잘 보인다.

18. (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오.

“명제: \(f, g\)가 단사이면 \(g \circ f\)가 단사이다. 증명: \(a \neq a'\)이라 하자. \(f\)가 단사이므로 \(f(a) \neq f(a')\)이다. \(g\)가 단사이므로 \(g(f(a)) \neq g(f(a'))\)이다. \(\blacksquare\)”

(논리는 유효한가? 이 서술 방식(\(\neq\) 사슬)과 예제 2.2의 등식 서식을 비교하고, 어느 쪽이 왜 표준인지 논하시오. 이 증명 자체는 옳다 — 그러면 지적할 결함은 무엇인가: 단사의 어느 표현을 썼는지 명시했는가?)

19. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)과 \(g : [0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(g(x) = \sqrt{x}\)에 대해, 합성 \(g \circ f\)가 정의되기 위한 연결 조건을 점검하시오 — \(f\)의 공역을 어떻게 조정하면 되는가? 조정 후 \((g \circ f)(x)\)는 어떤 익숙한 함수가 되는가 (40주차 문제 9)?

힌트

연결 조건은 “\(f\)의 공역 = \(g\)의 정의역”이다. 두 집합을 나란히 적어 어긋나는

곳을 짚은 뒤, \(f\)의 치역이 무엇인지 계산한다. 조정 후의 규칙식은

\(\sqrt{x^2}\)이고, 이 식을 \(x \geq 0\)과 \(x < 0\)에서 각각 계산해 본다.

20. (서술) (a) “단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임”을 예제 2.3과 문제 10의 반례로 뒷받침하며 서술하시오. (b) 결합법칙은 성립하는데 교환법칙은 성립하지 않는 연산의 다른 예를 이 과정에서 하나 찾아 비교하시오 (6주차의 연산 중에서 찾아도 좋고, 아직 배우지 않은 행렬 곱셈을 언급해도 좋다).

힌트

(a)는 두 반례가 각각 어느 방향의 역추적을 막는지 구분해 적는다.

(b)는 후보를 하나 정한 뒤 결합법칙과 교환법칙을 각각 실제로 확인한다 —

성립하지 않는 쪽은 반례를 제시한다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. §1.5의 대수 상자, §1.6\(\cdot\)§1.7의 정리 상자, 근거 목록(§1.8)만 펴 놓고 예제 2.2를 처음부터 끝까지 적는다. 정의 상자와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 정의 42.1을 연결 조건과 새 함수의 정의역\(\cdot\)공역까지 포함해 조각 그대로 썼다.

  • 합성의 대수 세 항목(결합법칙, 교환 불가, 항등함수)을 진술했다.

  • 보존 정리 (i)(ii)(iii)과 역추적 정리 (iv)(v)를 괄호 안 단서까지 진술했다.

  • 예제 2.2(단사 보존)와 문제 8(전사 보존)을 처음부터 끝까지 재현했다.

  • 예제 2.3의 반례와 문제 10의 반례를 각각 두 검증까지 적었다.

  • 각 증명에서 정의 42.1을 어느 방향으로 읽었는지(벗기기인가 씌우기인가) 짚을 수 있다.

  • \(\mathrm{id}\)의 성질과 대합의 예 두 개를 기억한다 (43주차 준비).

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

합성의 계산 순서가 헷갈린다

§1.4 — 괄호 안쪽이 먼저다. 확인 4의 두 계산을 다시 한다

합성을 쓸 수 있는지 판단이 안 선다

§1.3 해부 표의 첫째 조각과 삭제 실험 — 연결 조건을 먼저 검문한다

증명의 첫 문장이 떠오르지 않는다

41주차 서식 4종 — 목표가 단사인지 전사인지가 첫 문장을 정한다

첫 문장 다음 줄이 막힌다

§2의 관찰 상자 — 손에 있는 등식이 \(g \circ f\)의 것인지 \(f, g\)의 것인지로 방향을 정한다

두 함수의 성질을 쓰는 순서가 헷갈린다

확인 17 — 지금 손에 있는 등식의 가정부에 맞는 쪽을 먼저 쓴다

반례를 제시했는데 채점에서 깎인다

확인 8 — 가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임, 두 검증이 모두 필요하다

두 함수가 다름을 어떻게 적을지 모르겠다

예제 2.1 확인 10과 확인 15 — 값이 갈리는 입력 하나를 제시한다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(3(n+2) = 3n + 6\) (2) \(f(3n) = 3n + 2\) (3) 아무 정수나 가능하다. 예를 들어 \(n = 0\) (4) \(6\) (5) \(2\) (6) \(n + 2\) (7) 항등원

※ (3)에서 아무 입력이나 되는 이유는 두 규칙식 \(3n+6\)과 \(3n+2\)가 어떤 \(n\)에서도 같아지지 않기 때문이다(\(6 \neq 2\)). 예제 2.1의 \(f, g\)에서는 \(x = 0\)이 반례가 되지 못했다 — 두 상황의 차이를 확인해 두면 반례를 고르는 눈이 생긴다. (6)은 \(\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}(n) = n\)을 \(f\)의 입력 자리에 넣은 것이다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 하자 (2) 전사 (3) \((g \circ f)(a')\) (4) 정의 42.1 (근거 ①) (5) \(a = a'\) (6) \(b'\) (7) 단사

완성된 증명. \(g(b) = g(b')\)이라 하자. \(f\)가 전사이므로 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)와 \(f(a') = b'\)인 \(a' \in A\)가 존재한다. 그러면 정의 42.1에 의해 \((g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(b)\)이고 \((g \circ f)(a') = g(f(a')) = g(b')\)이며, 가정에서 \(g(b) = g(b')\)이므로 \((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이다. \(g \circ f\)가 단사이므로 \(a = a'\)이고, 따라서 \(b = f(a) = f(a') = b'\)이다. 그러므로 \(g\)는 단사이다. \(\blacksquare\)

※ 이 명제는 예제 2.3이 남긴 구멍을 정확히 메운다. 예제 2.3의 반례에서 \(g\)가 단사가 아니었던 이유는 겹침이 \(f\)의 치역 밖(\(2\))에서 일어났기 때문인데, “\(f\)가 전사”라는 조건은 \(f\)의 치역이 \(B\) 전체가 되게 하여 그 밖을 없앤다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) “\(b \in B\)라 하자.” 증인을 얻으려면 \(C\)의 원소가 필요하므로 \(g(b) \in C\)를 만들고, 여기에 \(g \circ f\)의 전사성을 적용한다 — \((g \circ f)(a) = g(b)\)인 \(a \in A\)가 존재한다. (2) 정의 42.1을 좌 \(\to\) 우(벗기기)로 읽어 \(g(f(a)) = g(b)\)를 얻는다. (3) \(g\)가 단사이므로 정의 41.1에 의해 \(f(a) = b\)이다. 두 검증은 \(a \in A\) (전사성이 준 증인이므로 정의역에 속한다)와 \(f(a) = b\)이며, 둘 다 끝났으므로 임의의 \(b \in B\)가 \(f\)의 출력이다. 따라서 \(f\)는 전사이다. \(\blacksquare\)

※ 훈련 2는 “\(g\)가 단사가 아닐 수 있다”(예제 2.3)는 구멍을 \(f\)의 전사성으로 메우고, 훈련 3은 “\(f\)가 전사가 아닐 수 있다”(문제 10)는 구멍을 \(g\)의 단사성으로 메운다. 두 정리가 43주차에서 “양쪽 항등식이 모두 있어야 역함수”라는 결론의 재료가 된다.

문제 1#

접근. 정의 42.1 상자와 §1.6, §1.7의 정리 상자 셋을 그대로 복원한다. 정의에서는 연결 조건과 새 함수의 무대가, 정리에서는 괄호 안의 단서가 빠지기 쉽다.

풀이. (정의 42.1) \(f : A \to B\), \(g : B \to C\)일 때 — 곧 \(f\)의 공역과 \(g\)의 정의역이 같을 때 — 합성 \(g \circ f : A \to C\)는 모든 \(x \in A\)에 대해 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)로 정해지는 함수이다. 정의역은 \(f\)의 것, 공역은 \(g\)의 것을 물려받는다.

(보존 정리) (i) \(f\)와 \(g\)가 모두 단사이면 \(g \circ f\)도 단사이다. (ii) \(f\)와 \(g\)가 모두 전사이면 \(g \circ f\)도 전사이다.

(역추적 정리) (iv) \(g \circ f\)가 단사이면 \(f\)는 단사이다. 다만 \(g\)는 단사가 아닐 수 있다. (v) \(g \circ f\)가 전사이면 \(g\)는 전사이다. 다만 \(f\)는 전사가 아닐 수 있다.

복기. 진술을 외울 때는 가정과 결론의 방향을 함께 외운다. 보존은 \(f, g \to g \circ f\)이고 역추적은 \(g \circ f \to f\) 또는 \(g\)다. 방향을 뒤집어 “\(f\)가 단사이면 \(g \circ f\)가 단사”처럼 적으면 거짓 명제가 된다 — \(g\)가 뭉개면 합성도 뭉갤 수 있기 때문이다.

문제 2#

접근. 오른쪽부터 실행한다. \(g\)의 규칙 “입력을 제곱하고 1을 더한다”의 입력 자리에 \(x - 3\)을 통째로 넣고, 반대 순서에서는 \(f\)의 규칙 “입력에서 3을 뺀다”에 \(x^2 + 1\)을 넣는다. 마지막에 값이 실제로 갈리는 입력을 하나 제시한다.

풀이. 두 합성 모두 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)인 함수다(연결 조건이 양쪽에서 성립한다). 정의 42.1에 의해

\[ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(x - 3) = (x-3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10 \]
\[ (f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = f(x^2 + 1) = (x^2 + 1) - 3 = x^2 - 2 \]

이다. \(x = 0\)에서 \((g \circ f)(0) = 10\)이고 \((f \circ g)(0) = -2\)이며 \(10 \neq -2\)이다. 값이 갈리는 입력이 하나 존재하므로 함수 상등의 셋째 기준이 깨지고, \(g \circ f \neq f \circ g\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(x = 3\)에서도 확인해 보면 \((g \circ f)(3) = g(0) = 1\)이고 \((f \circ g)(3) = f(10) = 7\)로 역시 다르다. 규칙식에 넣어도 \(9 - 18 + 10 = 1\), \(9 - 2 = 7\)로 일치한다.

복기. 전개는 검산용이고 판정용이 아니다. 판정에 쓰이는 줄은 값이 갈리는 입력을 제시하는 줄 하나다.

문제 3#

접근. 유한집합에서는 각 입력을 두 단계로 추적하는 것이 가장 확실하다. \(g \circ f\)에서는 \(f\)의 순서쌍을 먼저 보고, 나온 값을 \(g\)의 순서쌍에서 다시 찾는다.

풀이. \(f = \{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)이므로 \(f(1) = 2\), \(f(2) = 3\), \(f(3) = 1\)이고, \(g = \{(1,1),(2,3),(3,3)\}\)이므로 \(g(1) = 1\), \(g(2) = 3\), \(g(3) = 3\)이다.

\(g \circ f\): \(1 \mapsto f(1) = 2 \mapsto g(2) = 3\), \(2 \mapsto f(2) = 3 \mapsto g(3) = 3\), \(3 \mapsto f(3) = 1 \mapsto g(1) = 1\). 따라서 \(g \circ f = \{(1,3),(2,3),(3,1)\}\)이다.

\(f \circ g\): \(1 \mapsto g(1) = 1 \mapsto f(1) = 2\), \(2 \mapsto g(2) = 3 \mapsto f(3) = 1\), \(3 \mapsto g(3) = 3 \mapsto f(3) = 1\). 따라서 \(f \circ g = \{(1,2),(2,1),(3,1)\}\)이다.

두 집합이 다르므로 \(g \circ f \neq f \circ g\)이다. 예를 들어 입력 \(1\)에서 값이 \(3\)과 \(2\)로 갈린다.

검산. 두 결과 모두 순서쌍이 정확히 3개이고 첫 성분이 \(1, 2, 3\)을 한 번씩 차지한다 — 정의역의 각 원소에 출력이 정확히 하나라는 함수의 조건이 지켜졌다.

복기. \(g \circ f\)는 \(1\)과 \(2\)를 모두 \(3\)으로 보내므로 단사가 아니다. \(g\)의 겹침(\(g(2) = g(3)\))이 \(f\)의 치역 \(\{1,2,3\}\) 안에서 일어났기 때문에 이번에는 합성까지 전달됐다 — 예제 2.3에서 전달되지 않았던 경우와 대조된다.

문제 4#

접근. 훈련 1을 다시 푼다. 셋째 항목에서는 두 규칙식을 먼저 비교해 어떤 입력에서 갈리는지 확인하고, 넷째 항목에서는 항등함수의 정의를 그대로 대입한다.

풀이. \((g \circ f)(n) = g(n+2) = 3(n+2) = 3n + 6\)이고 \((f \circ g)(n) = f(3n) = 3n + 2\)이다. 두 규칙식은 \(6 \neq 2\)이므로 어떤 정수 \(n\)에서도 같아지지 않는다. 예를 들어 \(n = 0\)에서 \((g \circ f)(0) = 6\)이고 \((f \circ g)(0) = 2\)이다. 또 \((f \circ \mathrm{id}_{\mathbb{Z}})(n) = f(\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}(n)) = f(n) = n + 2\)이므로 \(f \circ \mathrm{id}_{\mathbb{Z}} = f\)이고, 항등함수는 합성에서 항등원의 역할을 한다.

검산. \(n = 5\)에서 \((g \circ f)(5) = g(7) = 21\)이고 규칙식으로도 \(3 \cdot 5 + 6 = 21\)이며, \((f \circ g)(5) = f(15) = 17 = 3 \cdot 5 + 2\)이다.

복기. 값 계산과 규칙식 계산이 서로의 검산이 된다. 규칙식은 모든 입력에 대한 답을 한 번에 주고, 값 계산은 그 규칙식이 맞는지 표본으로 확인한다.

문제 5#

접근. 서식이 첫 문장을 정하고, 정의 42.1이 둘째 문장을 정한다. 껍질은 바깥(\(g\))부터 벗긴다 — 손에 있는 등식이 \(g\)의 값 두 개의 상등이기 때문이다.

풀이. \(f : A \to B\)와 \(g : B \to C\)가 모두 단사라 하자. \((g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')\)이라 하자. 정의 42.1에 의해 \(g\big(f(a)\big) = g\big(f(a')\big)\)이다. \(g\)가 단사이므로, 정의 41.1을 \(b = f(a)\)와 \(b' = f(a')\)에 적용하면 \(f(a) = f(a')\)이다. 이번에는 \(f\)가 단사이므로 같은 정의를 다시 적용해 \(a = a'\)이다. 따라서 \(g \circ f\)는 단사이다. \(\blacksquare\)

복기. 재현이 막히는 지점은 대개 둘째 문장이다. 첫 문장에는 합성 기호가 있고 가정에는 \(f\)와 \(g\)가 따로 있으므로, 둘을 잇는 유일한 통로인 정의 42.1을 반드시 한 번 지나야 한다. 이 구조는 문제 9에서 전사 쪽으로 그대로 반복된다.

문제 6#

접근. “마지막에 한 일”을 바깥 함수 \(g\)로 놓는다. \(h(x) = (2x+5)^3\)에서 마지막에 한 일이 세제곱이면 \(g(x) = x^3\)이고 나머지가 \(f\)다. 다른 자리에서 끊으면 다른 분해가 나온다.

풀이. 세 가지를 제시한다. 모두 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)로 두면 연결 조건은 자동으로 성립한다.

① \(f(x) = 2x + 5\), \(g(x) = x^3\): \((g \circ f)(x) = g(2x+5) = (2x+5)^3 = h(x)\) ✓ ② \(f(x) = 2x\), \(g(x) = (x+5)^3\): \((g \circ f)(x) = g(2x) = (2x+5)^3 = h(x)\) ✓ ③ \(f = h\), \(g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\): \((g \circ f)(x) = h(x)\) ✓ — 다만 어떤 함수에나 통하는 분해이므로 정보를 주지 않는다.

검산. \(x = 1\)에서 \(h(1) = 7^3 = 343\)이고, ①은 \(g(7) = 343\), ②는 \(g(2) = 7^3 = 343\)으로 모두 일치한다.

복기. 분해는 유일하지 않다. 유용한 분해는 바깥 함수가 이미 성질을 아는 함수가 되도록 끊는 분해다 — ①에서 \(f\)의 단사성은 \(2a + 5 = 2a' + 5\)의 양변에서 \(5\)를 빼고 \(2\)로 나누면 \(a = a'\)이라 한 줄이고, \(g\)의 단사성은 41주차 문제 8이 이미 증명해 두었다. 두 사실을 보존 정리 (i)에 넣으면 \(h\)가 단사임이 두 줄로 나온다.

문제 7#

접근. 함수 상등은 세 기준이므로 확인도 세 번이다. 세 함수의 무대를 \(f : A \to B\), \(g : B \to C\), \(h : C \to D\)로 먼저 적으면 양변의 정의역과 공역이 바로 보인다. 값 비교는 정의 42.1을 양쪽에서 두 번씩 펼치기만 하면 된다.

풀이. \(f : A \to B\), \(g : B \to C\), \(h : C \to D\)라 하자.

(정의역\(\cdot\)공역) \(g \circ f : A \to C\)이므로 \(h \circ (g \circ f) : A \to D\)이고, \(h \circ g : B \to D\)이므로 \((h \circ g) \circ f : A \to D\)이다. 양변의 정의역은 모두 \(A\), 공역은 모두 \(D\)로 일치한다.

(값) 임의의 \(x \in A\)에 대해 정의 42.1을 두 번 적용하면

\[ \big(h \circ (g \circ f)\big)(x) = h\big((g \circ f)(x)\big) = h\big(g(f(x))\big) \]
\[ \big((h \circ g) \circ f\big)(x) = (h \circ g)\big(f(x)\big) = h\big(g(f(x))\big) \]

이다. 모든 입력에서 값이 일치한다.

세 기준이 모두 성립하므로 함수 상등(40주차)에 의해 \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 결합법칙 덕분에 괄호를 생략하고 \(h \circ g \circ f\)로 쓸 수 있다. 43주차 문제 13에서 \(g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2\)처럼 괄호를 옮기는 계산이 이 정리를 근거로 쓰인다. 첫 등호의 근거는 이번 주 문제 13 (\(\mathrm{id}\)와의 합성), 셋째 등호의 근거가 이번 문제의 결합법칙이다 — 항등함수 단계를 빼면 사슬의 첫 등호에 근거가 없어진다.

문제 8#

접근. 목표는 “임의의 \(c \in C\)에 대해 \((g \circ f)(a) = c\)인 \(a \in A\)의 제작”이다. \(c\)에서 거꾸로 내려간다 — \(g\)의 전사성이 중계 증인 \(b\)를 주고, \(f\)의 전사성이 최종 증인 \(a\)를 준다. 마지막에 정의 42.1을 씌우기 방향으로 읽어 결론을 합성의 문장으로 만든다.

풀이. \(f\)와 \(g\)가 전사라 하자. \(c \in C\)라 하자. \(g\)가 전사이므로 \(g(b) = c\)인 \(b \in B\)가 존재한다(정의 41.2를 \(c\)에 적용). 이 \(b\)에 대해 \(f\)가 전사이므로 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)가 존재한다(정의 41.2를 \(b\)에 적용). 그러면 \(a \in A\)이고

\[ c = g(b) = g\big(f(a)\big) = (g \circ f)(a) \]

이다. 첫 등호는 \(g(b) = c\), 둘째 등호는 \(f(a) = b\)의 대입이고, 셋째 등호가 정의 42.1을 우변에서 좌변으로 읽은 것 — 씌우기다. 두 검증(증인이 정의역에 속함, 대입하면 목표값이 나옴)이 모두 끝났으므로 \(g \circ f\)는 전사이다. \(\blacksquare\)

복기. 증인을 얻는 순서와 등식을 적는 방향을 함께 관리한다. 증인은 \(c \to b \to a\)로 거슬러 얻고, 마무리 등식은 그 길을 되짚어 \(c\)를 \((g \circ f)(a)\)로 묶는다 — 새로 얻는 문장이 \(g \circ f\)에 관한 것이므로 씌우기 방향이다. 전사 증명에서 이 순서를 놓치면 “\(b\)가 어디서 왔는지”를 적지 못한다.

문제 9#

접근. 목표는 “임의의 \(c \in C\)에 대해 \(g(b) = c\)인 \(b \in B\)의 제작”이다. 손에 있는 것은 \(g \circ f\)의 전사성뿐이므로 거기서 \(a\)를 먼저 얻고, \(b\)의 후보를 \(f(a)\)로 만든다. 정의 42.1은 벗기기 방향으로 읽는다.

풀이. \(g \circ f\)가 전사라 하자. \(c \in C\)라 하자. \(g \circ f\)가 전사이므로 \((g \circ f)(a) = c\)인 \(a \in A\)가 존재한다. 여기서 \(b = f(a)\)로 두면 \(b \in B\)이다(\(f\)의 공역이 \(B\)이므로). 그러면 정의 42.1에 의해

\[ g(b) = g\big(f(a)\big) = (g \circ f)(a) = c \]

이다. 두 검증이 끝났으므로 \(c\)는 \(g\)의 출력이고, \(c\)가 임의였으므로 \(g\)는 전사이다. \(\blacksquare\)

복기. 증인 \(b\)를 “\(f(a)\)로 둔다”는 한 줄이 이 증명의 전부다. 합성의 증인 \(a\)가 있으면 중간 지점의 증인은 \(f(a)\)로 자동으로 얻어진다 — \(f\)의 성질은 전혀 쓰이지 않는다. 그래서 (v)에서 \(f\)에 관한 결론은 나오지 않고, 문제 10의 반례가 가능해진다.

문제 10#

접근. 예제 2.3의 세 집합을 그대로 재활용하고 두 검증만 새로 한다. \(g \circ f\)의 공역은 \(C\)이고 \(f\)의 공역은 \(B\)이므로, 각각 무엇을 덮어야 하는지가 다르다는 점이 핵심이다.

풀이. \(A = \{1\}\), \(B = \{1,2\}\), \(C = \{1\}\)로 두고 \(f : A \to B\)를 \(f(1) = 1\), \(g : B \to C\)를 \(g(1) = g(2) = 1\)로 정의하자.

① \(g \circ f : A \to C\)는 전사인가. 공역 \(C = \{1\}\)의 원소는 \(1\)뿐이고, \((g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1\)이므로 증인 \(a = 1 \in A\)이 존재한다. 따라서 전사이다 ✓.

② \(f : A \to B\)는 전사인가. 공역 \(B = \{1,2\}\)의 원소 \(2\)에 대해 \(f(a) = 2\)인 \(a \in A\)가 필요한데, \(A\)의 원소는 \(1\)뿐이고 \(f(1) = 1 \neq 2\)이다. 그런 \(a\)가 없으므로 전사가 아니다 ✗.

두 검증이 끝났으므로 “\(g \circ f\)가 전사이면 \(f\)도 전사이다”는 거짓이다. \(\blacksquare\)

복기. 같은 한 벌이 (iv) 쪽에서는 “\(g\)가 단사가 아님”(예제 2.3)을, (v) 쪽에서는 “\(f\)가 전사가 아님”을 보인다 — 문제 16의 후반부가 이 사실을 확인하는 자리다. \(f\)가 도달하지 못한 \(2\)를 \(g\)가 어차피 \(1\)로 보내 버리므로, 합성의 전사성은 그 결손을 겪지 않는다.

문제 11#

접근. 두 규칙을 차례로 적용해 규칙식을 먼저 만든 뒤, 정의역이 원소 4개짜리 유한집합이므로 값을 전수 나열해 판정한다. 나열된 출력에 중복이 없으면 단사이고, 공역의 네 원소를 모두 덮으면 전사다.

풀이. 두 규칙 모두 잘 정의된 함수다 — \([a] = [a']\)이면 20주차 문제 9(a) (덧셈 보존)에 의해 \([a+1] = [a'+1]\)이고, 20주차 문제 9(b)(곱셈 보존)에 의해 \([3a] = [3a']\)이므로 대표원 선택과 무관하다. 정의 42.1에 의해

\[ (g \circ f)([a]) = g\big(f([a])\big) = g([a+1]) = [3][a+1] = [3(a+1)] = [3a+3] \]

이다. 값을 전수 계산하면 \((g \circ f)([0]) = [3]\), \((g \circ f)([1]) = [6] = [2]\), \((g \circ f)([2]) = [9] = [1]\), \((g \circ f)([3]) = [12] = [0]\)이다. 출력 목록 \([3], [2], [1], [0]\)에는 중복이 없으므로 단사이고, 공역 \(\mathbb{Z}_4\)의 네 원소를 모두 포함하므로 전사다. 따라서 \(g \circ f\)는 전단사이다.

검산. 보존 정리 (iii)으로도 같은 결론이 나온다. \(f([a]) = [a+1]\)은 값이 \([1], [2], [3], [0]\)으로 중복 없이 공역을 덮으므로 전단사이고, \(g([a]) = [3a]\)는 41주차 예제 2.3에서 전단사임을 증명했다. 전단사 둘의 합성이므로 전단사다 — 전수 계산과 정리가 서로의 검산이 된다.

복기. 유한집합에서는 전수 나열이 가장 확실한 판정이고, 정리는 그 결과를 계산 없이 예측한다. 두 경로가 일치하면 계산 실수를 걸러낼 수 있다.

문제 12#

접근. 증가함수 증명의 첫 문장은 정의가 정한다 — “\(x < y\)라 하자”. 가정을 한 번 쓰면 \(f(x) < f(y)\)가 나오고, 이 부등식의 두 변을 \(g\)의 가정의 입력으로 쓴다. 부등식을 두 번 연달아 넘기는 구조다.

풀이. \(f\)와 \(g\)가 모두 증가함수라 하자. \(x < y\)인 실수 \(x, y\)를 잡자. \(f\)가 증가함수이므로 \(f(x) < f(y)\)이다. 이제 \(f(x)\)와 \(f(y)\)를 두 실수로 보고 \(g\)의 가정을 적용하면 \(g\big(f(x)\big) < g\big(f(y)\big)\)이다. 정의 42.1에 의해 이는 \((g \circ f)(x) < (g \circ f)(y)\)이다. 임의의 \(x < y\)에 대해 성립하므로 \(g \circ f\)는 증가함수이다. \(\blacksquare\)

복기. 41주차 문제 13에서 “증가함수는 단사”를 증명해 두었으므로, 이 결과와 결합하면 증가함수를 아무리 여러 개 이어 붙여도 합성이 단사임이 계산 없이 나온다. 예를 들어 \(x \mapsto 2x+1\)과 \(x \mapsto x^3\)이 각각 증가함수이므로 \((2x+1)^3\)은 증가함수이고 따라서 단사다 — 41주차의 도구만 있었다면 \((2a+1)^3 = (2a'+1)^3\)을 전개해 인수분해까지 갔을 계산이 두 줄이 된다. (§1.1의 막힘, 곧 지그재그와 \(m \mapsto 2m\)의 합성은 확인 7과 문제 15가 보존 정리 (iii)으로 푼다 — 이쪽과는 다른 자리다.)

문제 13#

접근. 함수 상등의 세 기준을 두 번 밟는다. 두 등식은 항등함수가 붙는 자리가 다르므로 확인해야 할 정의역\(\cdot\)공역도 다르다 — 하나로 묶지 말고 각각 쓴다.

풀이. \(f : A \to B\)라 하자.

(첫째 등식) \(\mathrm{id}_A : A \to A\)이고 \(f : A \to B\)이므로 연결 조건이 성립하고 \(f \circ \mathrm{id}_A : A \to B\)이며, 정의역과 공역이 \(f\)의 것과 각각 일치한다. 임의의 \(x \in A\)에 대해 정의 42.1과 \(\mathrm{id}_A\)의 정의로

\[ (f \circ \mathrm{id}_A)(x) = f\big(\mathrm{id}_A(x)\big) = f(x) \]

이므로 모든 입력에서 값이 일치한다. 세 기준이 모두 성립하므로 \(f \circ \mathrm{id}_A = f\)이다.

(둘째 등식) \(f : A \to B\)이고 \(\mathrm{id}_B : B \to B\)이므로 연결 조건이 성립하고 \(\mathrm{id}_B \circ f : A \to B\)이며, 정의역과 공역이 \(f\)의 것과 각각 일치한다. 임의의 \(x \in A\)에 대해

\[ (\mathrm{id}_B \circ f)(x) = \mathrm{id}_B\big(f(x)\big) = f(x) \]

이다. 둘째 등호에서 \(\mathrm{id}_B\)의 입력이 \(f(x) \in B\)이므로 정의가 그대로 적용된다. 세 기준이 성립하므로 \(\mathrm{id}_B \circ f = f\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 두 등식에서 항등함수의 아래 첨자가 다르다는 점이 중요하다. \(f \circ \mathrm{id}_B\)나 \(\mathrm{id}_A \circ f\)는 연결 조건부터 성립하지 않으므로 아예 만들어지지 않는다(\(A \neq B\)일 때). 43주차 문제 13이 이 두 등식을 괄호 옮기기와 함께 쓴다.

문제 14#

접근. \((f \circ f)(x)\)는 \(f(f(x))\)이므로 \(f\)의 규칙에 \(\frac{1}{x}\)를 넣어 계산한다. 두 번째 예는 두 번 하면 상쇄되는 조작을 찾으면 된다.

풀이. \(x \in \mathbb{R} - \{0\}\)이면 \(f(x) = \frac{1}{x} \neq 0\)이므로 \(f(x)\)는 다시 정의역에 속하고, 연결 조건이 성립해 \(f \circ f\)가 만들어진다. 정의 42.1에 의해

\[ (f \circ f)(x) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1/x} = x \]

이다. 모든 \(x\)에서 값이 \(x\)이고 정의역\(\cdot\)공역도 \(\mathbb{R} - \{0\}\)로 일치하므로 \(f \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}-\{0\}}\)이다. 다른 예로 \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = -x\)를 잡으면 \((g \circ g)(x) = g(-x) = -(-x) = x\)이므로 \(g \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\)이다. \(h(x) = 1 - x\)도 같다: \((h \circ h)(x) = h(1-x) = 1 - (1-x) = x\).

검산. \(f\)에서 \(x = 2\)이면 \(f(2) = \frac12\)이고 \(f(\frac12) = 2\)로 제자리다. \(g\)에서 \(x = 3\)이면 \(g(3) = -3\)이고 \(g(-3) = 3\)이다.

복기. 이런 함수를 대합이라 한다. 5주차 문제 5의 \((A^c)^c = A\)와 36주차 문제 18의 역관계도 두 번 적용하면 제자리로 오는 조작이다. 43주차에서 “\(f^{-1} = f\)인 함수”로 다시 등장한다.

문제 15#

접근. 앞부분은 정의 41.3을 풀어 (i)과 (ii)를 각각 적용하면 두 줄이다. 뒷부분은 41주차 문제 16의 지그재그와 \(m \mapsto 2m\)을 이어 붙인다 — §1.1에서 막혔던 바로 그 물음이다.

풀이. (따름 (iii)) \(f\)와 \(g\)가 전단사라 하자. 정의 41.3에 의해 둘 다 단사이므로 보존 정리 (i)에 의해 \(g \circ f\)는 단사이다. 또 둘 다 전사이므로 (ii)에 의해 \(g \circ f\)는 전사이다. 단사이고 전사이므로 \(g \circ f\)는 전단사이다. \(\blacksquare\)

(릴레이 사례) \(E\)를 짝수 정수 전체의 집합이라 하자. \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\)를 41주차 문제 16의 지그재그(\(n\)이 짝수면 \(\frac{n}{2}\), 홀수면 \(-\frac{n-1}{2}\))로 두면 \(f\)는 전단사다. \(g : \mathbb{Z} \to E\)를 \(g(m) = 2m\)으로 두면 \(g\)도 전단사다 — (단사) \(2m = 2m'\)이면 양변을 2로 나누어 \(m = m'\)이다. (전사) \(c \in E\)이면 \(c = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하고, 그 \(k\)가 증인이다: \(k \in \mathbb{Z}\)이고 \(g(k) = 2k = c\)이다. 따라서 (iii)에 의해 \(g \circ f : \mathbb{N} \to E\)는 전단사이다. 규칙식을 펼치면 \(n\)이 짝수일 때 \((g \circ f)(n) = 2 \cdot \frac{n}{2} = n\)이고, 홀수일 때 \((g \circ f)(n) = 2 \cdot \left(-\frac{n-1}{2}\right) = -(n-1)\)이다.

검산. \(n = 1, \dots, 6\)에서 값은 \(0, 2, -2, 4, -4, 6\)이다. 서로 다르고, 짝수 정수를 절댓값이 작은 순서로 훑는다.

복기. §1.1의 여섯 갈래 경우 나누기가 사라졌다. 새로 한 계산은 \(g\)가 전단사임을 확인하는 세 줄뿐이고 나머지는 인용이다. 48주차에서 이 릴레이가 “크기 같음의 추이성”으로 승격된다.

문제 16#

접근. 앞부분은 전단사의 정의를 풀어 (iv)와 (v)를 각각 적용한다. 뒷부분은 예제 2.3의 세 집합에서 \(g \circ f\)가 전단사인지부터 확인한 뒤, 두 실패를 각각 검증한다.

풀이. (앞부분) \(g \circ f\)가 전단사라 하자. 정의 41.3에 의해 \(g \circ f\)는 단사이므로, 역추적 정리 (iv)에 의해 \(f\)는 단사이다. 또 \(g \circ f\)는 전사이므로 (v)에 의해 \(g\)는 전사이다. \(\blacksquare\)

(뒷부분 — 반례) 예제 2.3의 \(A = \{1\}\), \(B = \{1,2\}\), \(C = \{1\}\), \(f(1) = 1\), \(g(1) = g(2) = 1\)을 검사한다.

① \(g \circ f : \{1\} \to \{1\}\)은 전단사인가. 단사: \(A\)의 원소가 하나뿐이므로 \(a = a' = 1\)이 언제나 성립한다 ✓. 전사: \(C\)의 유일한 원소 \(1\)에 대해 증인 \(a = 1\)이 있고 \((g \circ f)(1) = 1\)이다 ✓. ② \(f\)는 전사가 아닌가. 공역 \(B\)의 원소 \(2\)가 도달되지 않는다 — \(f(1) = 1 \neq 2\)이고 \(A\)에 다른 원소가 없다 ✓. ③ \(g\)는 단사가 아닌가. \(1 \neq 2\)이고 \(g(1) = g(2) = 1\)이다 ✓.

하나의 반례가 두 실패를 동시에 보인다. 따라서 앞부분의 결론에서 “\(f\)가 전사”, “\(g\)가 단사”까지 얻을 수는 없다.

복기. 문제 10과 예제 2.3의 반례가 같은 한 벌이었다는 점이 여기서 확인된다. \(g \circ f\)가 전단사여도 \(f\)의 전사성과 \(g\)의 단사성은 회수되지 않으므로, 43주차에서 역함수를 정의할 때 항등식을 양쪽 모두 요구하게 된다.

문제 17#

접근. 확인 6에서 \(\mathrm{id}_A\)가 전단사임을 확인했다. 가정이 “\(g \circ f\)가 그 전단사와 같다”이므로 \(g \circ f\) 자체가 전단사이고, 문제 16이 그대로 적용된다. 두 함수를 직접 다루는 증명도 함께 쓰면 구조가 더 잘 보인다.

풀이. (정리 인용) \(\mathrm{id}_A\)는 전단사다 — 단사는 \(\mathrm{id}_A(a) = \mathrm{id}_A(a')\)이 곧 \(a = a'\)이기 때문이고, 전사는 임의의 \(b \in A\)에 대해 증인 \(b\) 자신이 \(\mathrm{id}_A(b) = b\)를 만족하기 때문이다. 가정에서 \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이므로 \(g \circ f\)는 전단사이고, 문제 16에 의해 \(f\)는 단사이고 \(g\)는 전사이다. \(\blacksquare\)

(직접 증명) 같은 결론을 정의만으로 얻을 수도 있다. (\(f\)가 단사) \(f(a) = f(a')\)이라 하자. 양변에 \(g\)를 적용하면 \(g(f(a)) = g(f(a'))\)이고, 정의 42.1과 가정에 의해 \(\mathrm{id}_A(a) = \mathrm{id}_A(a')\), 곧 \(a = a'\)이다. (\(g\)가 전사) \(a \in A\)라 하자. \(b = f(a) \in B\)로 두면 \(g(b) = g(f(a)) = (g \circ f)(a) = \mathrm{id}_A(a) = a\)이다. 증인 \(b\)가 존재하므로 \(g\)는 전사이다. \(\blacksquare\)

복기. 항등식 한쪽만으로는 \(f\)의 전사성도 \(g\)의 단사성도 나오지 않는다 — 문제 16의 반례가 그 한계를 보인다. 43주차 문제 17이 정확히 이 한계를 다루고, 43주차의 핵심 정리는 양쪽 항등식을 모두 요구해 전단사를 완성한다.

문제 18#

접근. \(\neq\) 사슬 논증이 유효한지부터 판정한다. 단사의 대우 표현 (”\(a \neq a'\)이면 \(f(a) \neq f(a')\)”, 정의 41.1의 둘째 문장)을 쓴 것이라면 논리적으로 유효하다. 그러면 지적할 것은 논리가 아니라 근거의 명시 여부다.

풀이. 이 증명은 논리적으로 옳다. 첫 단계는 \(f\)의 단사성의 대우 표현이고, 둘째 단계는 \(g\)의 단사성의 대우 표현이며, 결론 \(g(f(a)) \neq g(f(a'))\)는 정의 42.1에 의해 \((g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(a')\)와 같은 문장이다. “\(a \neq a'\)이면 \((g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(a')\)”는 곧 \(g \circ f\)가 단사라는 뜻이다.

지적할 결함은 두 가지다. ① 각 단계에서 사용한 것이 정의 41.1의 대우 표현임을 명시하지 않았다. 표준 정의는 “\(f(a) = f(a')\)이면 \(a = a'\)”이므로, 명시가 없으면 그 정의에서 \(\neq\) 사슬로 넘어가는 지점이 비약으로 보인다. ② 마지막 줄이 \(g(f(a)) \neq g(f(a'))\)에서 끝나고, 정의 42.1로 \((g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(a')\)로 묶는 씌우기 한 줄이 없다.

두 서식의 비교. 등식 서식이 표준인 이유는 계산 가능성이다 — 대부분의 함수에서 “\(f(a) = f(a')\)”는 풀 수 있는 방정식이지만 “\(f(a) \neq f(a')\)”에서는 계산을 시작할 수 없다. 다만 이번 주처럼 규칙식이 없는 추상적 함수에서는 두 서식의 계산 부담이 같으므로 \(\neq\) 사슬도 자연스럽다. 서식은 편의를 위한 선택이다.

복기. 옳은 증명에도 지적할 것이 있을 수 있다. 채점 기준은 결론의 참\(\cdot\)거짓이 아니라 각 줄의 근거가 목록 안에 있고 명시되었는지다.

문제 19#

접근. 연결 조건은 “\(f\)의 공역 = \(g\)의 정의역”이다. 두 집합을 나란히 적어 어긋나는 곳을 짚고, \(f\)의 치역을 계산해 공역 재선언으로 해결되는지 확인한다. 조정 후의 규칙식은 \(x\)의 부호로 나누어 계산한다.

풀이. (점검) \(f\)의 공역은 \(\mathbb{R}\)이고 \(g\)의 정의역은 \([0, \infty)\)이므로 두 집합이 다르다 — 연결 조건이 성립하지 않아 \(g \circ f\)를 그대로 만들 수 없다.

(조정) \(f\)의 치역은 \(f(\mathbb{R}) = \{x^2 : x \in \mathbb{R}\} = [0, \infty)\)이다 (모든 실수의 제곱은 음이 아니고, 음이 아닌 \(y\)에 대해 \(x = \sqrt{y}\)가 증인이다). 치역이 이미 \(g\)의 정의역과 같으므로, 공역만 \([0, \infty)\)로 다시 선언한 \(\tilde{f} : \mathbb{R} \to [0, \infty)\), \(\tilde{f}(x) = x^2\)을 쓰면 연결 조건이 성립한다. 순서쌍 집합은 그대로이므로 규칙은 변하지 않는다.

(합성) 정의 42.1에 의해 \((g \circ \tilde{f})(x) = g(x^2) = \sqrt{x^2}\)이고, \(x \geq 0\)이면 \(\sqrt{x^2} = x\), \(x < 0\)이면 \(\sqrt{x^2} = -x\)이다. 곧

\[ (g \circ \tilde{f})(x) = |x| \]

이다 — 40주차 문제 9에서 \(|x|\)와 \(\sqrt{x^2}\)이 같은 함수임을 증명했던 그 함수다. 절댓값의 정체가 “제곱한 뒤 제곱근을 취하는” 합성이었다.

검산. \(x = -3\)에서 \(\tilde{f}(-3) = 9\)이고 \(g(9) = 3 = |-3|\)이며, \(x = 3\)에서도 \(9 \mapsto 3 = |3|\)이다.

복기. 연결 조건이 어긋날 때 손볼 곳은 두 군데다. 치역이 이미 \(g\)의 정의역 안에 들어 있으면 공역 재선언만으로 충분하고(이 문제), 그렇지 않으면 정의역을 좁힌 뒤 그때의 치역을 공역으로 다시 선언해야 한다(§1.3의 삭제 실험 — \(f(x) = x-5\)에서 정의역만 \([5, \infty)\)로 좁히고 공역을 \(\mathbb{R}\)로 두면 연결 조건은 그대로 어긋난 채다). 어느 경우든 마지막에 서는 것은 공역이다.

문제 20#

접근. (a)는 두 반례가 각각 어느 방향의 역추적을 막는지 구분해 적는다. (b)는 후보를 하나 정한 뒤 결합법칙과 교환법칙을 각각 실제로 확인하고, 성립하지 않는 쪽은 반례를 제시한다.

풀이. (a) 합성에서 성질이 전달되는 방향은 실행 순서를 따른다.

입력 두 개가 같은 값으로 합쳐지는 사건은 먼저 실행되는 \(f\)에서 일어나면 회복되지 않는다 — \(f(a) = f(a')\)이면 뒤에 무엇을 적용해도 값이 같기 때문이고, 그래서 \(g \circ f\)가 단사이면 \(f\)도 단사여야 한다. 반대로 \(g\)에서 일어나는 합침은 그 자리가 \(f\)의 치역 밖이면 합성이 겪지 않는다 — 예제 2.3에서 \(g\)는 \(1\)과 \(2\)를 합쳤지만 \(f\)의 치역이 \(\{1\}\)이라 \(2\)가 등장하지 않았다.

공역을 덮지 못하는 사건은 마지막에 실행되는 \(g\)의 출력 범위가 정한다 — \(g \circ f\)의 출력은 전부 \(g\)의 출력이므로 합성이 \(C\)를 덮으면 \(g\)도 덮는다. 반대로 \(f\)가 \(B\)의 일부에 도달하지 못해도 \(g\)가 다른 입력으로 같은 값을 내면 합성의 전사성은 유지된다 — 문제 10에서 \(f\)는 \(2\)에 도달하지 못했지만 \(g\)가 \(1\)과 \(2\)를 모두 \(1\)로 보내므로 합성은 \(C = \{1\}\)을 덮었다. 두 반례가 같은 한 벌이라는 점(문제 16)이 이 대칭을 한눈에 보여 준다.

(b) 데카르트 곱(6주차)이 한 예다. \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\)이면 \(A \times B = \{(1,2)\}\)이고 \(B \times A = \{(2,1)\}\)이며 \((1,2) \neq (2,1)\)이므로 교환법칙은 성립하지 않는다. 결합에 대해서는 \((A \times B) \times C\)의 원소가 \(((a,b),c)\) 꼴이고 \(A \times (B \times C)\)의 원소가 \((a,(b,c))\) 꼴이어서 집합으로서 엄밀히 같지는 않으나, 두 집합 사이에 자연스러운 전단사가 있어 같은 것으로 취급하는 관행이 있다 — 이 단서는 명시해 두어야 한다.

행렬 곱셈은 더 정확한 예다. 결합법칙은 성립하고 교환법칙은 성립하지 않으며, 그 이유 자체가 이번 주의 정리다 — 행렬은 함수이고 행렬 곱은 그 함수들의 합성이므로, 결합법칙은 문제 7이고 교환 불가는 예제 2.1이다. (행렬은 이 과정에서 다루지 않는다. 지금은 예로만 인용한다.)

복기. 두 법칙은 서로 독립이다. 새 연산을 만나면 결합과 교환을 각각 따로 검사하는 습관이 여기서 나온다.

다음 주 예고. 43주차의 소재는 역함수다. 36주차 문제 18의 역관계 \(f^{-1} = \{(y,x) : (x,y) \in f\}\)가 함수가 될 조건이 정확히 전단사임을 증명한다 — 40주차 정의 40.1이 요구하는 두 조건(전체성과 유일성)이 각각 전사와 단사에 대응한다. 그리고 이번 주 문제 17에서 절반만 얻은 항등식 \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)가 양쪽으로 갖춰질 때 역함수가 특징지어진다. 고등학교에서 배운 “\(y = f(x)\)를 \(x\)에 대해 풀기”가 그 구조의 계산 절차였음이 드러난다.