# 42주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 계산에서 보존 정리까지 세 예제에서 지지대를 하나씩 뺀다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 한 뒤 완성본을 보며, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한 뒤 산문과 대조한다. ### 예제 2.1 — 계산과 교환 불가 $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$, $g(x) = x^2$이라 하자. $g \circ f$와 $f \circ g$를 구하고 비교하시오. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 정한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (주어진 것) | $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x+1$, $g(x) = x^2$ | 규칙 두 개와 무대. 연결 조건: $f$의 공역 $\mathbb{R}$ = $g$의 정의역 $\mathbb{R}$ ✓ (순서를 바꾼 쪽도 ✓) | | 목표 (만들 것) | 두 합성을 구하고 같은지 비교 | 정의 42.1로 규칙식 두 개를 계산하고, 다름을 보이려면 $\underline{\quad(?)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 10.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 두 함수가 **같지 않음**을 보이려면 무엇을 제시해야 하는가. 40주차 함수 상등의 세 기준을 부정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 값이 갈리는 입력 **하나**를 제시하면 된다. 정의역이 둘 다 $\mathbb{R}$이고 공역도 둘 다 $\mathbb{R}$이므로 첫 두 기준에서는 갈리지 않는다. 남은 것은 셋째 기준 "모든 입력에서 값이 같다"의 부정이고, 그 부정은 "값이 다른 입력이 존재한다"이다. 규칙식 두 개가 달라 **보인다**는 관찰만으로는 부족하다 — 40주차 문제 9에서 $|x|$와 $\sqrt{x^2}$이 생김새가 달라도 같은 함수였다. ::: :::{container} quotebox **확인 11.** $g \circ f$의 정의역과 공역은 각각 무엇인가. 규칙식을 계산하기 전에 정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 정의 42.1의 선언 $g \circ f : A \to C$에서 $A$는 $f$의 정의역, $C$는 $g$의 공역이므로 둘 다 $\mathbb{R}$이다. $f \circ g$도 마찬가지로 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$이다. 무대가 먼저 정해지고 규칙은 그다음이다. ::: :::{container} quotebox **확인 12.** 첫 변형을 적어 보자. 정의 42.1만 사용한다: "$(g \circ f)(x) = \underline{\quad} = g(\underline{\quad})$". ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1)$이다. 첫 등호가 정의 42.1이고, 둘째 등호는 $f$의 규칙을 대입한 것이다. 아직 $g$의 규칙은 쓰지 않았다 — 정의 42.1은 합성을 두 단계로 푸는 데까지만 쓰인다. ::: :::{container} quotebox **확인 13.** $g$의 규칙으로 계산을 끝내 보자: "$g(2x+1) = \underline{\quad} = \underline{\quad}$". ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $g(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$이다. $g$의 규칙은 "입력을 제곱한다"이므로 입력 자리에 $2x+1$을 **통째로** 넣는다. 괄호를 빠뜨려 $2x + 1^2$으로 적으면 전혀 다른 함수가 된다. ::: :::{container} quotebox **확인 14.** 순서를 바꾼 쪽을 같은 절차로 계산해 보자: "$(f \circ g)(x) = f(\underline{\quad}) = \underline{\quad}$". ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$이다. $f$의 규칙은 "입력을 2배 하고 1을 더한다"이므로 입력 자리에 $x^2$을 넣는다. 이번에는 제곱이 먼저 일어나고 일차식이 나중에 적용된다. ::: :::{container} quotebox **확인 15.** $x = 1$에서 두 값을 구하고, 이것으로 무엇이 확정되는가. $x = 0$을 골랐다면 어땠는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(g \circ f)(1) = 4 + 4 + 1 = 9$이고 $(f \circ g)(1) = 2 + 1 = 3$이다. 하나의 입력에서 값이 갈렸으므로 함수 상등의 셋째 기준이 깨지고, $g \circ f \neq f \circ g$가 확정된다. 반증에 필요한 입력은 하나면 충분하다. $x = 0$을 골랐다면 양쪽 다 $1$이 나와 아무것도 확정되지 않는다 — §1.2의 표에서 $n = 0$이 우연히 같았던 것과 같은 사정이다. 반례를 고를 때는 값이 실제로 갈리는지 확인하고 제시한다. ::: **완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | 연결 조건이 양쪽 순서 모두에서 성립하므로 $g \circ f$와 $f \circ g$는 모두 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$인 함수다. | 정의 42.1의 첫째$\cdot$둘째 조각. 합성을 쓰기 전에 검문하고, 새 함수의 무대를 선언한다. | | $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ | 정의 42.1로 두 단계로 푼 뒤 $g$의 규칙에 $2x+1$을 통째로 대입하고 전개한다(근거 ③). | | $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$ | 같은 절차를 순서만 바꿔 적용한다. $f$의 규칙의 입력 자리에 $x^2$을 넣는다. | | $x = 1$에서 $(g \circ f)(1) = 9$이고 $(f \circ g)(1) = 3$이며 $9 \neq 3$이다. | 값이 갈리는 입력 하나의 제시 — 함수 상등 셋째 기준의 부정(40주차). | | 따라서 $g \circ f \neq f \circ g$이다. 합성에는 교환법칙이 없다. $\blacksquare$ | 결론 선언. 특정한 $f, g$ 한 벌에서 어긋났으므로 "모든 $f, g$에 대해 $g \circ f = f \circ g$"는 거짓이다. | 넷째 줄을 빼고 "규칙식이 $4x^2+4x+1$과 $2x^2+1$로 다르므로 두 함수가 다르다"로 끝내는 경우가 많다. 결론은 옳지만 근거가 목록 밖이다 — 식의 생김새는 함수 상등의 세 기준에 들어 있지 않기 때문이다(40주차 문제 9). 값이 갈리는 입력을 하나 제시하는 줄이 그 자리를 대신한다. ### 예제 2.2 — 보존 정리 (i): 단사의 합성 **명제.** $f : A \to B$, $g : B \to C$가 모두 단사이면 $g \circ f$도 단사이다. 이번에는 설계만 함께 하고, 완성본은 표로 본다. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 예제 2.1과 같은 번역표로 먼저 정리한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 1 (주어진 것) | $f$가 단사 | 모든 $a, a' \in A$에 대해 $f(a) = f(a')$이면 $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 가정 2 (주어진 것) | $g$가 단사 | 모든 $b, b' \in B$에 대해 $\underline{\quad(2)\quad}$이면 $b = b'$ | | 목표 (만들 것) | $g \circ f$가 단사 | 서식의 첫 문장은 "$\underline{\quad(3)\quad}$이라 하자"이고, 도착점은 "$\underline{\quad(4)\quad}$"이다 | :::{container} quotebox **확인 16.** 위 번역표의 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $a = a'$ (2) $g(b) = g(b')$ (3) $(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$ (4) $a = a'$. 서식은 41주차 단사 증명의 것 그대로이며, 대상이 합성일 뿐이다. 새로 필요한 것은 첫 문장을 정의 42.1로 푸는 한 줄이다. ::: :::{container} quotebox **확인 17.** 첫 문장을 정의 42.1로 풀면 $g(f(a)) = g(f(a'))$이다. 여기서 $f$의 단사성과 $g$의 단사성 중 어느 것을 먼저 쓸 수 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $g$의 단사성이다. 지금 손에 있는 등식은 "$g$의 값 두 개가 같다"이므로, 정의 41.1의 가정부 "$g(b) = g(b')$"에 정확히 들어맞는다($b = f(a)$, $b' = f(a')$). $f$의 단사성은 가정부가 "$f(a) = f(a')$"인데 그 등식은 아직 손에 없다 — $g$를 벗겨 낸 다음에야 생긴다. 바깥부터 벗기는 순서는 취향이 아니라 손에 있는 등식이 정한다. ::: **완성본.** | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이라 하자. | 단사 증명 서식의 첫 문장(41주차). 대상이 합성일 뿐 서식은 그대로다. | | 정의 42.1에 의해 $g\big(f(a)\big) = g\big(f(a')\big)$이다. | 합성을 두 단계로 푼다 — 정의 42.1을 좌변에서 우변으로 읽은 것(근거 ①). | | $g$가 단사이므로 $f(a) = f(a')$이다. | 손에 있는 등식이 $g$의 값 두 개의 상등이므로 정의 41.1의 가정부에 맞는다 — 바깥 껍질을 벗긴다. | | $f$가 단사이므로 $a = a'$이다. | 이번에는 $f$의 값 두 개가 같아졌으므로 정의 41.1을 다시 적용한다 — 안쪽 껍질. | | 따라서 $g \circ f$는 단사이다. $\blacksquare$ | 도착점 $a = a'$에 이르렀으므로 결론을 선언한다. | 보존 정리 (ii)의 전사 버전은 방향이 반대다. 목표가 "$C$의 임의의 원소에 대한 증인 제작"이므로, $c \in C$에서 출발해 $g$의 전사성으로 $b \in B$를 얻고 $f$의 전사성으로 $a \in A$를 얻은 뒤, 정의 42.1을 우변에서 좌변으로 읽어 $g(f(a))$를 $(g \circ f)(a)$로 묶는다. 문제 8이 그 답안을 쓰는 자리다. ### 예제 2.3 — 역추적 (iv)와 반쪽 반례 **명제.** $g \circ f$가 단사이면 $f$는 단사이다. 그러나 $g$는 단사가 아닐 수 있다. 이번에는 설계부터 혼자 한다. 명제가 두 부분이므로 할 일도 두 개다 — 앞부분은 증명이고 뒷부분은 반례다. 각각의 첫 문장이 무엇인지 먼저 적은 뒤 아래 산문과 대조한다. **증명.** (전반부) $f(a) = f(a')$이라 하자. 같은 대상에 같은 함수를 적용하면 값이 같으므로(40주차 정의 40.1의 유일성) $g\big(f(a)\big) = g\big(f(a')\big)$이다. 정의 42.1을 우변에서 좌변으로 읽으면 이는 $(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이고, $g \circ f$가 단사이므로 $a = a'$이다. 따라서 $f$는 단사이다. $\blacksquare$ **반례.** (후반부) $A = \{1\}$, $B = \{1, 2\}$, $C = \{1\}$로 잡고 $f : A \to B$를 $f(1) = 1$, $g : B \to C$를 $g(1) = g(2) = 1$로 정의하자. 두 검증을 각각 확인한다. ① $g \circ f : \{1\} \to \{1\}$은 단사인가. $a, a' \in A$이면 $A$의 원소가 $1$ 하나뿐이므로 언제나 $a = a' = 1$이다. 따라서 "$(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이면 $a = a'$"은 언제나 성립한다 — 단사이다 ✓. ② $g$는 단사가 아닌가. $1 \neq 2$이고 $g(1) = g(2) = 1$이다. 쌍의 상이함과 값의 동일함이라는 두 검증이 모두 끝났으므로 $g$는 단사가 아니다 ✗. 따라서 "$g \circ f$가 단사이면 $g$도 단사이다"는 거짓이다. **어디서 어긋났는가.** $g$가 같은 값으로 보내는 두 원소는 $1$과 $2$인데, $f$의 치역은 $f(A) = \{1\}$이므로 $2$는 합성 과정에 아예 등장하지 않는다. 합성은 $g$가 $f$의 치역 위에서 하는 일만 겪는다 — $g$의 겹침이 $f(A)$ 밖에서 일어나면 합성에는 흔적이 남지 않는다. 이것이 (iv)의 나머지 절반이 돌아오지 않는 정확한 이유다. 문제 10이 같은 세 집합을 전사 쪽에서 다시 검사하고, §3의 훈련 2는 "$f$가 전사"라는 조건을 더해 이 빈틈을 정확히 메운다. ### 관찰 — 같은 뼈대 세 증명의 뼈대가 어떻게 대응하는지 표로 맞춰 본다. | **단계** | **예제 2.2 (단사 보존)** | **예제 2.3 전반부 (역추적 (iv))** | **문제 8 (전사 보존)** | |---|---|---|---| | ① 목표를 정의로 번역 | $g \circ f$가 단사 | $f$가 단사 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | ② 서식이 정한 첫 문장 | "$(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이라 하자" | "$f(a) = f(a')$이라 하자" | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | ③ 정의 42.1을 읽는 방향 | 좌 $\to$ 우 (벗기기) | 우 $\to$ 좌 (씌우기) | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | ④ 마무리 선언 | "따라서 $g \circ f$는 단사이다" | "따라서 $f$는 단사이다" | $\underline{\quad(4)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 18.** 위 대응표의 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $g \circ f$가 전사임을 보이는 것 — 임의의 $c \in C$에 대한 증인 제작이다. (2) "$c \in C$라 하자." (3) 우 $\to$ 좌 (씌우기). $g$의 전사성과 $f$의 전사성으로 증인 $b$와 $a$를 차례로 얻은 뒤, $g(f(a))$를 $(g \circ f)(a)$로 묶어야 결론이 합성에 관한 문장이 된다. (4) "따라서 $g \circ f$는 전사이다." 세 증명이 밟는 네 단계는 같다. 달라지는 것은 서식(41주차의 넷 중 무엇인가)과 정의 42.1을 읽는 방향뿐이다. ::: :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **합성 증명의 통로** 합성에 관한 증명은 전부 정의 42.1의 등식 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$를 지나간다. 방향은 둘뿐이다. **벗기기**(좌 $\to$ 우): $g \circ f$에 관한 정보를 손에 쥐고 있을 때 두 단계로 푼다 — 예제 2.2, 문제 9. **씌우기**(우 $\to$ 좌): $f$와 $g$ 각각의 정보를 이어 붙여 $g \circ f$에 관한 정보로 묶는다 — 예제 2.3 전반부, 문제 8. 어느 방향인지는 손에 있는 등식이 정한다. 첫 문장을 쓴 뒤 "지금 손에 있는 등식이 $g \circ f$의 것인가, $f$와 $g$ 각각의 것인가"를 물으면 방향이 정해진다. ::: ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = n + 2$와 $g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $g(n) = 3n$에 대해 다음을 채운다. - $(g \circ f)(n) = g(n + 2) = \underline{\quad(1)\quad}$ - $(f \circ g)(n) = f(3n) = \underline{\quad(2)\quad}$ - 두 함수가 다름을 보이는 입력 하나: $n = \underline{\quad(3)\quad}$에서 $(g \circ f)(n) = \underline{\quad(4)\quad}$, $(f \circ g)(n) = \underline{\quad(5)\quad}$ - $(f \circ \mathrm{id}_{\mathbb{Z}})(n) = f(n) = \underline{\quad(6)\quad}$ — 항등함수는 합성에서 $\underline{\quad(7)\quad}$의 역할을 한다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** $f : A \to B$, $g : B \to C$에 대해 $g \circ f$가 단사이고 $f$가 전사이면 $g$는 단사이다. **증명.** $g(b) = g(b')$이라 $\underline{\quad(1)\quad}$. $f$가 $\underline{\quad(2)\quad}$이므로 $f(a) = b$인 $a \in A$와 $f(a') = b'$인 $a' \in A$가 존재한다. 그러면 $$ (g \circ f)(a) = g\big(f(a)\big) = g(b) = g(b') = g\big(f(a')\big) = \underline{\quad(3)\quad} $$ 이다. 첫 등호와 마지막 등호의 근거는 $\underline{\quad(4)\quad}$이고, 가운데 등호는 처음의 가정이다. $g \circ f$가 단사이므로 $\underline{\quad(5)\quad}$이고, 따라서 $$ b = f(a) = f(a') = \underline{\quad(6)\quad} $$ 이다. 따라서 $g$는 $\underline{\quad(7)\quad}$이다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 각 칸을 통째로 채운다. **명제.** $f : A \to B$, $g : B \to C$에 대해 $g \circ f$가 전사이고 $g$가 단사이면 $f$는 전사이다. **증명의 뼈대.** - ① 전사 증명 서식의 첫 문장과, 증인을 얻기 위해 $g \circ f$의 전사성을 어느 원소에 적용하는가: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 정의 42.1을 어느 방향으로 읽어 무엇을 얻는가: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ $g$의 단사성을 쓰는 자리와 두 검증, 그리고 결론 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$ (훈련 2와 훈련 3은 예제 2.3과 문제 10의 반례가 뚫어 놓은 두 구멍을 조건 하나씩으로 메운다. 어느 조건이 어느 구멍을 메우는지도 한 줄로 적어 본다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다. 증명 문제는 반드시 목표를 정의로 번역하는 설계부터 시작한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "$g \circ f \neq f \circ g$이다"는 0점이고, "$x = 1$에서 $(g \circ f)(1) = 9 \neq 3 = (f \circ g)(1)$이므로 함수 상등의 셋째 기준이 깨진다"가 만점이다. 합성이 등장하는 줄에서는 정의 42.1을 어느 방향으로 읽었는지가 보여야 한다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] 합성의 정의(연결 조건 포함), 보존 정리 (i)(ii), 역추적 정리 (iv)(v)를 진술하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의 42.1 상자와 §1.6, §1.7의 정리 상자 셋이다. 정의에서는 연결 조건과 새 함수의 정의역$\cdot$공역이 빠지기 쉽고, 역추적에서는 괄호 안의 단서가 빠지기 쉽다. ::: **2.** $f(x) = x - 3$, $g(x) = x^2 + 1$ ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)일 때 $(g \circ f)(x)$와 $(f \circ g)(x)$를 구하고, 같지 않음을 입력 하나로 보이시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 오른쪽부터 실행한다. $g$의 규칙 "입력을 제곱하고 1을 더한다"의 입력 자리에 $x - 3$을 통째로 넣는다. 마지막 줄에서는 값이 실제로 갈리는 입력을 골랐는지 확인한다. ::: **3.** $A = \{1,2,3\}$, $f = \{(1,2),(2,3),(3,1)\}$, $g = \{(1,1),(2,3),(3,3)\}$ ($A \to A$)일 때 $g \circ f$와 $f \circ g$를 순서쌍 집합으로 구하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 입력을 두 단계로 추적한다. $g \circ f$에서는 $f$의 순서쌍을 먼저 보고, 나온 값을 $g$의 순서쌍에서 다시 찾는다. 결과의 순서쌍 개수가 3개인지 확인하면 빠뜨린 입력이 없는지 검산된다. ::: **4.** 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 1의 네 항목이다. 셋째 항목에서는 두 규칙식이 어떤 $n$에서 갈리는지 먼저 비교하고, 넷째 항목에서는 항등함수의 정의 $\mathrm{id}(n) = n$을 그대로 대입한다. ::: **5.** 예제 2.2(단사 보존)를 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 첫 문장은 41주차 단사 증명 서식이 정한다. 그다음 줄이 정의 42.1이고, 껍질은 바깥($g$)부터 벗긴다 — 확인 17에서 그 순서의 이유를 확인했다. ::: **6.** $h(x) = (2x + 5)^3$을 두 함수의 합성 $g \circ f$로 분해하시오 (두 가지 이상의 분해 제시). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "마지막에 한 일"을 바깥 함수 $g$로 놓는다. 세제곱이 마지막이면 $g(x) = x^3$이고 $f$는 나머지다. 다른 자리에서 끊으면 다른 분해가 나온다 — 분해는 유일하지 않다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 결합법칙 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$를 증명하시오. (함수 상등의 세 기준(40주차) — 정의역$\cdot$공역 일치 확인 + 임의의 $x$에서 값 일치) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 함수의 무대를 $f : A \to B$, $g : B \to C$, $h : C \to D$로 먼저 적는다. 그러면 양변이 모두 $A \to D$임이 보인다. 값 비교에서는 정의 42.1을 양쪽에서 두 번씩 펼치기만 하면 된다. ::: **8.** 보존 정리 (ii): $f, g$가 전사이면 $g \circ f$도 전사임을 증명하시오 (증인 릴레이 — 각 단계의 증인이 어디서 오는지 명시). **9.** 역추적 (v): $g \circ f$가 전사이면 $g$는 전사임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 목표는 "임의의 $c \in C$에 대해 $g(b) = c$인 $b \in B$의 제작"이다. 손에 있는 것은 $g \circ f$의 전사성뿐이므로 거기서 $a$를 먼저 얻는다. 그러면 $b$의 후보가 $a$로부터 만들어진다. ::: **10.** 역추적의 나머지 반쪽 반례: $g \circ f$는 전사인데 $f$는 전사가 아닌 예를 구성하시오 (예제 2.3의 세 집합을 재활용해도 좋다 — 검증 포함). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.3의 $A = \{1\}$, $B = \{1,2\}$, $C = \{1\}$을 그대로 놓고 두 검증만 새로 한다. $g \circ f$의 공역은 $C$이고 $f$의 공역은 $B$이므로, 각각 무엇을 덮어야 하는지가 다르다. ::: **11.** $f, g : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4$를 $f([a]) = [a] + [1]$, $g([a]) = [3][a]$로 정의하자. $(g \circ f)([a])$의 값 4개를 전수 계산하고 전단사인지 판정하시오. :::{admonition} 증가함수의 정의 (문제 12에서 쓴다) :class: quotebox $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 **증가함수**라는 것은 모든 실수 $x < y$에 대해 $f(x) < f(y)$라는 뜻이다(41주차 문제 13). 이 정의는 부등식 하나를 다음 부등식으로 넘기는 꼴이므로, 합성에서는 부등식을 두 번 연달아 넘기면 된다. ::: **12.** $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 모두 증가함수이면 $g \circ f$도 증가함수임을 증명하시오 (41주차 문제 13과 결합하면: 증가함수의 합성은 단사). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 증가함수 증명의 첫 문장은 "$x < y$라 하자"이다. $f$의 가정을 한 번 쓰면 $f(x) < f(y)$가 나오고, 이 부등식의 두 변을 $g$의 가정의 입력으로 쓴다. ::: **13.** $f : A \to B$에 대해 $f \circ \mathrm{id}_A = f$와 $\mathrm{id}_B \circ f = f$를 증명하시오. **14.** $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ($\mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}$)일 때 $(f \circ f)(x)$를 구하시오. $f \circ f = \mathrm{id}$가 되는 함수를 하나 더 제시하시오 ("자기 자신이 역함수" — 43주차 예고). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $(f \circ f)(x)$는 $f(f(x))$이므로 $f$의 규칙에 $\frac{1}{x}$를 넣어 계산한다. 두 번째 예는 부호를 뒤집는 함수나 어떤 수에서 빼는 함수처럼, 두 번 하면 상쇄되는 조작을 찾으면 된다. ::: :::{admonition} 대합 (문제 14에서 이름을 붙인다) :class: quotebox $f \circ f = \mathrm{id}$를 만족하는 함수를 **대합**(involution)이라 한다. 두 번 적용하면 원래 자리로 돌아오는 함수이며, 5주차 문제 5의 $(A^c)^c = A$와 36주차 문제 18의 역관계도 같은 꼴이다. 43주차에서 "자기 자신이 역함수인 함수"로 다시 등장한다. 문제 14를 푸는 데 이 이름이 필요하지는 않다 — 두 예를 만든 뒤에 붙는 이름이다. ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} 이 절이 쓰는 반례의 규칙 :class: quotebox 반례 하나가 여러 명제를 동시에 반증할 수 있다. 반증하려는 명제가 두 개이면, 같은 $f, g$ 한 벌에 대해 두 검증을 각각 따로 수행하면 된다 — 명제마다 가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임을 확인한다. 문제 16이 그 경우이고, 예제 2.3과 문제 10의 반례가 실은 같은 한 벌이라는 점을 검사하는 것이 그 문제의 후반부다. ::: **15.** 전단사의 합성이 전단사임(따름 (iii))을 (i)(ii)를 인용해 두 줄로 증명하고, 이것이 48주차에서 "크기 같음의 추이성"으로 쓰일 것임을 감안해 $\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \{$짝수$\}$ 같은 구체적 릴레이 사례를 하나 구성하시오. **16.** $g \circ f$가 전단사이면 $f$는 단사이고 $g$는 전사임을 증명하시오 ((iv)(v) 결합). 그리고 $f$가 전사가 아니고 $g$가 단사가 아니어도 되는 **한 개의 반례**로 두 실패를 동시에 보이시오 (예제 2.3의 예가 그것인지 검사). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 앞부분은 정의 41.3을 풀어 (iv)와 (v)를 각각 적용하면 두 줄이다. 뒷부분은 예제 2.3의 세 집합에서 $g \circ f$가 전단사인지부터 확인한다 — 정의역과 공역이 모두 원소 하나짜리라는 점이 판정을 짧게 만든다. ::: **17.** $f : A \to B$, $g : B \to A$가 $g \circ f = \mathrm{id}_A$를 만족하면, $f$는 단사이고 $g$는 전사임을 증명하시오. (힌트: $\mathrm{id}_A$는 전단사 — 문제 16 적용. 43주차 역함수 정리의 반쪽) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 확인 6에서 $\mathrm{id}_A$가 전단사임을 이미 확인했다. 가정이 "$g \circ f$가 어떤 전단사와 같다"이므로 $g \circ f$ 자체가 전단사이고, 문제 16이 그대로 적용된다. 두 함수를 직접 다루는 증명도 따로 써 보면 구조가 더 잘 보인다. ::: **18.** (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오. :::{container} quotebox "명제: $f, g$가 단사이면 $g \circ f$가 단사이다. 증명: $a \neq a'$이라 하자. $f$가 단사이므로 $f(a) \neq f(a')$이다. $g$가 단사이므로 $g(f(a)) \neq g(f(a'))$이다. $\blacksquare$" (논리는 유효한가? 이 서술 방식($\neq$ 사슬)과 예제 2.2의 등식 서식을 비교하고, 어느 쪽이 왜 표준인지 논하시오. 이 증명 자체는 옳다 — 그러면 지적할 결함은 무엇인가: 단사의 어느 표현을 썼는지 명시했는가?) ::: **19.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$과 $g : [0, \infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \sqrt{x}$에 대해, 합성 $g \circ f$가 정의되기 위한 연결 조건을 점검하시오 — $f$의 공역을 어떻게 조정하면 되는가? 조정 후 $(g \circ f)(x)$는 어떤 익숙한 함수가 되는가 (40주차 문제 9)? :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 연결 조건은 "$f$의 공역 = $g$의 정의역"이다. 두 집합을 나란히 적어 어긋나는 곳을 짚은 뒤, $f$의 치역이 무엇인지 계산한다. 조정 후의 규칙식은 $\sqrt{x^2}$이고, 이 식을 $x \geq 0$과 $x < 0$에서 각각 계산해 본다. ::: **20.** (서술) (a) "단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임"을 예제 2.3과 문제 10의 반례로 뒷받침하며 서술하시오. (b) 결합법칙은 성립하는데 교환법칙은 성립하지 않는 연산의 다른 예를 이 과정에서 하나 찾아 비교하시오 (6주차의 연산 중에서 찾아도 좋고, 아직 배우지 않은 행렬 곱셈을 언급해도 좋다). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 두 반례가 각각 어느 방향의 역추적을 막는지 구분해 적는다. (b)는 후보를 하나 정한 뒤 결합법칙과 교환법칙을 각각 실제로 확인한다 — 성립하지 않는 쪽은 반례를 제시한다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** §1.5의 대수 상자, §1.6$\cdot$§1.7의 정리 상자, 근거 목록(§1.8)만 펴 놓고 예제 2.2를 처음부터 끝까지 적는다. 정의 상자와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 정의 42.1을 연결 조건과 새 함수의 정의역$\cdot$공역까지 포함해 조각 그대로 썼다. - [ ] 합성의 대수 세 항목(결합법칙, 교환 불가, 항등함수)을 진술했다. - [ ] 보존 정리 (i)(ii)(iii)과 역추적 정리 (iv)(v)를 괄호 안 단서까지 진술했다. - [ ] 예제 2.2(단사 보존)와 문제 8(전사 보존)을 처음부터 끝까지 재현했다. - [ ] 예제 2.3의 반례와 문제 10의 반례를 각각 두 검증까지 적었다. - [ ] 각 증명에서 정의 42.1을 어느 방향으로 읽었는지(벗기기인가 씌우기인가) 짚을 수 있다. - [ ] $\mathrm{id}$의 성질과 대합의 예 두 개를 기억한다 (43주차 준비). **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 합성의 계산 순서가 헷갈린다 | §1.4 — 괄호 안쪽이 먼저다. 확인 4의 두 계산을 다시 한다 | | 합성을 쓸 수 있는지 판단이 안 선다 | §1.3 해부 표의 첫째 조각과 삭제 실험 — 연결 조건을 먼저 검문한다 | | 증명의 첫 문장이 떠오르지 않는다 | 41주차 서식 4종 — 목표가 단사인지 전사인지가 첫 문장을 정한다 | | 첫 문장 다음 줄이 막힌다 | §2의 관찰 상자 — 손에 있는 등식이 $g \circ f$의 것인지 $f, g$의 것인지로 방향을 정한다 | | 두 함수의 성질을 쓰는 순서가 헷갈린다 | 확인 17 — 지금 손에 있는 등식의 가정부에 맞는 쪽을 먼저 쓴다 | | 반례를 제시했는데 채점에서 깎인다 | 확인 8 — 가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임, 두 검증이 모두 필요하다 | | 두 함수가 다름을 어떻게 적을지 모르겠다 | 예제 2.1 확인 10과 확인 15 — 값이 갈리는 입력 하나를 제시한다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $3(n+2) = 3n + 6$ (2) $f(3n) = 3n + 2$ (3) 아무 정수나 가능하다. 예를 들어 $n = 0$ (4) $6$ (5) $2$ (6) $n + 2$ (7) 항등원 ※ (3)에서 아무 입력이나 되는 이유는 두 규칙식 $3n+6$과 $3n+2$가 어떤 $n$에서도 같아지지 않기 때문이다($6 \neq 2$). 예제 2.1의 $f, g$에서는 $x = 0$이 반례가 되지 못했다 — 두 상황의 차이를 확인해 두면 반례를 고르는 눈이 생긴다. (6)은 $\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}(n) = n$을 $f$의 입력 자리에 넣은 것이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 하자 (2) 전사 (3) $(g \circ f)(a')$ (4) 정의 42.1 (근거 ①) (5) $a = a'$ (6) $b'$ (7) 단사 **완성된 증명.** $g(b) = g(b')$이라 하자. $f$가 전사이므로 $f(a) = b$인 $a \in A$와 $f(a') = b'$인 $a' \in A$가 존재한다. 그러면 정의 42.1에 의해 $(g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(b)$이고 $(g \circ f)(a') = g(f(a')) = g(b')$이며, 가정에서 $g(b) = g(b')$이므로 $(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이다. $g \circ f$가 단사이므로 $a = a'$이고, 따라서 $b = f(a) = f(a') = b'$이다. 그러므로 $g$는 단사이다. $\blacksquare$ ※ 이 명제는 예제 2.3이 남긴 구멍을 정확히 메운다. 예제 2.3의 반례에서 $g$가 단사가 아니었던 이유는 겹침이 $f$의 치역 밖($2$)에서 일어났기 때문인데, "$f$가 전사"라는 조건은 $f$의 치역이 $B$ 전체가 되게 하여 그 밖을 없앤다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) "$b \in B$라 하자." 증인을 얻으려면 $C$의 원소가 필요하므로 $g(b) \in C$를 만들고, 여기에 $g \circ f$의 전사성을 적용한다 — $(g \circ f)(a) = g(b)$인 $a \in A$가 존재한다. (2) 정의 42.1을 좌 $\to$ 우(벗기기)로 읽어 $g(f(a)) = g(b)$를 얻는다. (3) $g$가 단사이므로 정의 41.1에 의해 $f(a) = b$이다. 두 검증은 $a \in A$ (전사성이 준 증인이므로 정의역에 속한다)와 $f(a) = b$이며, 둘 다 끝났으므로 임의의 $b \in B$가 $f$의 출력이다. 따라서 $f$는 전사이다. $\blacksquare$ ※ 훈련 2는 "$g$가 단사가 아닐 수 있다"(예제 2.3)는 구멍을 $f$의 전사성으로 메우고, 훈련 3은 "$f$가 전사가 아닐 수 있다"(문제 10)는 구멍을 $g$의 단사성으로 메운다. 두 정리가 43주차에서 "양쪽 항등식이 모두 있어야 역함수"라는 결론의 재료가 된다. ### 문제 1 **접근.** 정의 42.1 상자와 §1.6, §1.7의 정리 상자 셋을 그대로 복원한다. 정의에서는 연결 조건과 새 함수의 무대가, 정리에서는 괄호 안의 단서가 빠지기 쉽다. **풀이.** (정의 42.1) $f : A \to B$, $g : B \to C$일 때 — 곧 $f$의 공역과 $g$의 정의역이 같을 때 — 합성 $g \circ f : A \to C$는 모든 $x \in A$에 대해 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$로 정해지는 함수이다. 정의역은 $f$의 것, 공역은 $g$의 것을 물려받는다. (보존 정리) (i) $f$와 $g$가 모두 단사이면 $g \circ f$도 단사이다. (ii) $f$와 $g$가 모두 전사이면 $g \circ f$도 전사이다. (역추적 정리) (iv) $g \circ f$가 단사이면 $f$는 단사이다. 다만 $g$는 단사가 아닐 수 있다. (v) $g \circ f$가 전사이면 $g$는 전사이다. 다만 $f$는 전사가 아닐 수 있다. **복기.** 진술을 외울 때는 가정과 결론의 방향을 함께 외운다. 보존은 $f, g \to g \circ f$이고 역추적은 $g \circ f \to f$ 또는 $g$다. 방향을 뒤집어 "$f$가 단사이면 $g \circ f$가 단사"처럼 적으면 거짓 명제가 된다 — $g$가 뭉개면 합성도 뭉갤 수 있기 때문이다. ### 문제 2 **접근.** 오른쪽부터 실행한다. $g$의 규칙 "입력을 제곱하고 1을 더한다"의 입력 자리에 $x - 3$을 통째로 넣고, 반대 순서에서는 $f$의 규칙 "입력에서 3을 뺀다"에 $x^2 + 1$을 넣는다. 마지막에 값이 실제로 갈리는 입력을 하나 제시한다. **풀이.** 두 합성 모두 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$인 함수다(연결 조건이 양쪽에서 성립한다). 정의 42.1에 의해 $$ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(x - 3) = (x-3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10 $$ $$ (f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = f(x^2 + 1) = (x^2 + 1) - 3 = x^2 - 2 $$ 이다. $x = 0$에서 $(g \circ f)(0) = 10$이고 $(f \circ g)(0) = -2$이며 $10 \neq -2$이다. 값이 갈리는 입력이 하나 존재하므로 함수 상등의 셋째 기준이 깨지고, $g \circ f \neq f \circ g$이다. $\blacksquare$ **검산.** $x = 3$에서도 확인해 보면 $(g \circ f)(3) = g(0) = 1$이고 $(f \circ g)(3) = f(10) = 7$로 역시 다르다. 규칙식에 넣어도 $9 - 18 + 10 = 1$, $9 - 2 = 7$로 일치한다. **복기.** 전개는 검산용이고 판정용이 아니다. 판정에 쓰이는 줄은 값이 갈리는 입력을 제시하는 줄 하나다. ### 문제 3 **접근.** 유한집합에서는 각 입력을 두 단계로 추적하는 것이 가장 확실하다. $g \circ f$에서는 $f$의 순서쌍을 먼저 보고, 나온 값을 $g$의 순서쌍에서 다시 찾는다. **풀이.** $f = \{(1,2),(2,3),(3,1)\}$이므로 $f(1) = 2$, $f(2) = 3$, $f(3) = 1$이고, $g = \{(1,1),(2,3),(3,3)\}$이므로 $g(1) = 1$, $g(2) = 3$, $g(3) = 3$이다. $g \circ f$: $1 \mapsto f(1) = 2 \mapsto g(2) = 3$, $2 \mapsto f(2) = 3 \mapsto g(3) = 3$, $3 \mapsto f(3) = 1 \mapsto g(1) = 1$. 따라서 $g \circ f = \{(1,3),(2,3),(3,1)\}$이다. $f \circ g$: $1 \mapsto g(1) = 1 \mapsto f(1) = 2$, $2 \mapsto g(2) = 3 \mapsto f(3) = 1$, $3 \mapsto g(3) = 3 \mapsto f(3) = 1$. 따라서 $f \circ g = \{(1,2),(2,1),(3,1)\}$이다. 두 집합이 다르므로 $g \circ f \neq f \circ g$이다. 예를 들어 입력 $1$에서 값이 $3$과 $2$로 갈린다. **검산.** 두 결과 모두 순서쌍이 정확히 3개이고 첫 성분이 $1, 2, 3$을 한 번씩 차지한다 — 정의역의 각 원소에 출력이 정확히 하나라는 함수의 조건이 지켜졌다. **복기.** $g \circ f$는 $1$과 $2$를 모두 $3$으로 보내므로 단사가 아니다. $g$의 겹침($g(2) = g(3)$)이 $f$의 치역 $\{1,2,3\}$ 안에서 일어났기 때문에 이번에는 합성까지 전달됐다 — 예제 2.3에서 전달되지 않았던 경우와 대조된다. ### 문제 4 **접근.** 훈련 1을 다시 푼다. 셋째 항목에서는 두 규칙식을 먼저 비교해 어떤 입력에서 갈리는지 확인하고, 넷째 항목에서는 항등함수의 정의를 그대로 대입한다. **풀이.** $(g \circ f)(n) = g(n+2) = 3(n+2) = 3n + 6$이고 $(f \circ g)(n) = f(3n) = 3n + 2$이다. 두 규칙식은 $6 \neq 2$이므로 어떤 정수 $n$에서도 같아지지 않는다. 예를 들어 $n = 0$에서 $(g \circ f)(0) = 6$이고 $(f \circ g)(0) = 2$이다. 또 $(f \circ \mathrm{id}_{\mathbb{Z}})(n) = f(\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}(n)) = f(n) = n + 2$이므로 $f \circ \mathrm{id}_{\mathbb{Z}} = f$이고, 항등함수는 합성에서 항등원의 역할을 한다. **검산.** $n = 5$에서 $(g \circ f)(5) = g(7) = 21$이고 규칙식으로도 $3 \cdot 5 + 6 = 21$이며, $(f \circ g)(5) = f(15) = 17 = 3 \cdot 5 + 2$이다. **복기.** 값 계산과 규칙식 계산이 서로의 검산이 된다. 규칙식은 모든 입력에 대한 답을 한 번에 주고, 값 계산은 그 규칙식이 맞는지 표본으로 확인한다. ### 문제 5 **접근.** 서식이 첫 문장을 정하고, 정의 42.1이 둘째 문장을 정한다. 껍질은 바깥($g$)부터 벗긴다 — 손에 있는 등식이 $g$의 값 두 개의 상등이기 때문이다. **풀이.** $f : A \to B$와 $g : B \to C$가 모두 단사라 하자. $(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이라 하자. 정의 42.1에 의해 $g\big(f(a)\big) = g\big(f(a')\big)$이다. $g$가 단사이므로, 정의 41.1을 $b = f(a)$와 $b' = f(a')$에 적용하면 $f(a) = f(a')$이다. 이번에는 $f$가 단사이므로 같은 정의를 다시 적용해 $a = a'$이다. 따라서 $g \circ f$는 단사이다. $\blacksquare$ **복기.** 재현이 막히는 지점은 대개 둘째 문장이다. 첫 문장에는 합성 기호가 있고 가정에는 $f$와 $g$가 따로 있으므로, 둘을 잇는 유일한 통로인 정의 42.1을 반드시 한 번 지나야 한다. 이 구조는 문제 9에서 전사 쪽으로 그대로 반복된다. ### 문제 6 **접근.** "마지막에 한 일"을 바깥 함수 $g$로 놓는다. $h(x) = (2x+5)^3$에서 마지막에 한 일이 세제곱이면 $g(x) = x^3$이고 나머지가 $f$다. 다른 자리에서 끊으면 다른 분해가 나온다. **풀이.** 세 가지를 제시한다. 모두 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$로 두면 연결 조건은 자동으로 성립한다. ① $f(x) = 2x + 5$, $g(x) = x^3$: $(g \circ f)(x) = g(2x+5) = (2x+5)^3 = h(x)$ ✓ ② $f(x) = 2x$, $g(x) = (x+5)^3$: $(g \circ f)(x) = g(2x) = (2x+5)^3 = h(x)$ ✓ ③ $f = h$, $g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$: $(g \circ f)(x) = h(x)$ ✓ — 다만 어떤 함수에나 통하는 분해이므로 정보를 주지 않는다. **검산.** $x = 1$에서 $h(1) = 7^3 = 343$이고, ①은 $g(7) = 343$, ②는 $g(2) = 7^3 = 343$으로 모두 일치한다. **복기.** 분해는 유일하지 않다. 유용한 분해는 바깥 함수가 이미 성질을 아는 함수가 되도록 끊는 분해다 — ①에서 $f$의 단사성은 $2a + 5 = 2a' + 5$의 양변에서 $5$를 빼고 $2$로 나누면 $a = a'$이라 한 줄이고, $g$의 단사성은 41주차 문제 8이 이미 증명해 두었다. 두 사실을 보존 정리 (i)에 넣으면 $h$가 단사임이 두 줄로 나온다. ### 문제 7 **접근.** 함수 상등은 세 기준이므로 확인도 세 번이다. 세 함수의 무대를 $f : A \to B$, $g : B \to C$, $h : C \to D$로 먼저 적으면 양변의 정의역과 공역이 바로 보인다. 값 비교는 정의 42.1을 양쪽에서 두 번씩 펼치기만 하면 된다. **풀이.** $f : A \to B$, $g : B \to C$, $h : C \to D$라 하자. (정의역$\cdot$공역) $g \circ f : A \to C$이므로 $h \circ (g \circ f) : A \to D$이고, $h \circ g : B \to D$이므로 $(h \circ g) \circ f : A \to D$이다. 양변의 정의역은 모두 $A$, 공역은 모두 $D$로 일치한다. (값) 임의의 $x \in A$에 대해 정의 42.1을 두 번 적용하면 $$ \big(h \circ (g \circ f)\big)(x) = h\big((g \circ f)(x)\big) = h\big(g(f(x))\big) $$ $$ \big((h \circ g) \circ f\big)(x) = (h \circ g)\big(f(x)\big) = h\big(g(f(x))\big) $$ 이다. 모든 입력에서 값이 일치한다. 세 기준이 모두 성립하므로 함수 상등(40주차)에 의해 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$이다. $\blacksquare$ **복기.** 결합법칙 덕분에 괄호를 생략하고 $h \circ g \circ f$로 쓸 수 있다. 43주차 문제 13에서 $g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2$처럼 괄호를 옮기는 계산이 이 정리를 근거로 쓰인다. 첫 등호의 근거는 이번 주 문제 13 ($\mathrm{id}$와의 합성), 셋째 등호의 근거가 이번 문제의 결합법칙이다 — 항등함수 단계를 빼면 사슬의 첫 등호에 근거가 없어진다. ### 문제 8 **접근.** 목표는 "임의의 $c \in C$에 대해 $(g \circ f)(a) = c$인 $a \in A$의 제작"이다. $c$에서 거꾸로 내려간다 — $g$의 전사성이 중계 증인 $b$를 주고, $f$의 전사성이 최종 증인 $a$를 준다. 마지막에 정의 42.1을 씌우기 방향으로 읽어 결론을 합성의 문장으로 만든다. **풀이.** $f$와 $g$가 전사라 하자. $c \in C$라 하자. $g$가 전사이므로 $g(b) = c$인 $b \in B$가 존재한다(정의 41.2를 $c$에 적용). 이 $b$에 대해 $f$가 전사이므로 $f(a) = b$인 $a \in A$가 존재한다(정의 41.2를 $b$에 적용). 그러면 $a \in A$이고 $$ c = g(b) = g\big(f(a)\big) = (g \circ f)(a) $$ 이다. 첫 등호는 $g(b) = c$, 둘째 등호는 $f(a) = b$의 대입이고, 셋째 등호가 정의 42.1을 우변에서 좌변으로 읽은 것 — 씌우기다. 두 검증(증인이 정의역에 속함, 대입하면 목표값이 나옴)이 모두 끝났으므로 $g \circ f$는 전사이다. $\blacksquare$ **복기.** 증인을 얻는 순서와 등식을 적는 방향을 함께 관리한다. 증인은 $c \to b \to a$로 거슬러 얻고, 마무리 등식은 그 길을 되짚어 $c$를 $(g \circ f)(a)$로 묶는다 — 새로 얻는 문장이 $g \circ f$에 관한 것이므로 씌우기 방향이다. 전사 증명에서 이 순서를 놓치면 "$b$가 어디서 왔는지"를 적지 못한다. ### 문제 9 **접근.** 목표는 "임의의 $c \in C$에 대해 $g(b) = c$인 $b \in B$의 제작"이다. 손에 있는 것은 $g \circ f$의 전사성뿐이므로 거기서 $a$를 먼저 얻고, $b$의 후보를 $f(a)$로 만든다. 정의 42.1은 벗기기 방향으로 읽는다. **풀이.** $g \circ f$가 전사라 하자. $c \in C$라 하자. $g \circ f$가 전사이므로 $(g \circ f)(a) = c$인 $a \in A$가 존재한다. 여기서 $b = f(a)$로 두면 $b \in B$이다($f$의 공역이 $B$이므로). 그러면 정의 42.1에 의해 $$ g(b) = g\big(f(a)\big) = (g \circ f)(a) = c $$ 이다. 두 검증이 끝났으므로 $c$는 $g$의 출력이고, $c$가 임의였으므로 $g$는 전사이다. $\blacksquare$ **복기.** 증인 $b$를 "$f(a)$로 둔다"는 한 줄이 이 증명의 전부다. 합성의 증인 $a$가 있으면 중간 지점의 증인은 $f(a)$로 자동으로 얻어진다 — $f$의 성질은 전혀 쓰이지 않는다. 그래서 (v)에서 $f$에 관한 결론은 나오지 않고, 문제 10의 반례가 가능해진다. ### 문제 10 **접근.** 예제 2.3의 세 집합을 그대로 재활용하고 두 검증만 새로 한다. $g \circ f$의 공역은 $C$이고 $f$의 공역은 $B$이므로, 각각 무엇을 덮어야 하는지가 다르다는 점이 핵심이다. **풀이.** $A = \{1\}$, $B = \{1,2\}$, $C = \{1\}$로 두고 $f : A \to B$를 $f(1) = 1$, $g : B \to C$를 $g(1) = g(2) = 1$로 정의하자. ① $g \circ f : A \to C$는 전사인가. 공역 $C = \{1\}$의 원소는 $1$뿐이고, $(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1$이므로 증인 $a = 1 \in A$이 존재한다. 따라서 전사이다 ✓. ② $f : A \to B$는 전사인가. 공역 $B = \{1,2\}$의 원소 $2$에 대해 $f(a) = 2$인 $a \in A$가 필요한데, $A$의 원소는 $1$뿐이고 $f(1) = 1 \neq 2$이다. 그런 $a$가 없으므로 전사가 아니다 ✗. 두 검증이 끝났으므로 "$g \circ f$가 전사이면 $f$도 전사이다"는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 같은 한 벌이 (iv) 쪽에서는 "$g$가 단사가 아님"(예제 2.3)을, (v) 쪽에서는 "$f$가 전사가 아님"을 보인다 — 문제 16의 후반부가 이 사실을 확인하는 자리다. $f$가 도달하지 못한 $2$를 $g$가 어차피 $1$로 보내 버리므로, 합성의 전사성은 그 결손을 겪지 않는다. ### 문제 11 **접근.** 두 규칙을 차례로 적용해 규칙식을 먼저 만든 뒤, 정의역이 원소 4개짜리 유한집합이므로 값을 전수 나열해 판정한다. 나열된 출력에 중복이 없으면 단사이고, 공역의 네 원소를 모두 덮으면 전사다. **풀이.** 두 규칙 모두 잘 정의된 함수다 — $[a] = [a']$이면 20주차 문제 9(a) (덧셈 보존)에 의해 $[a+1] = [a'+1]$이고, 20주차 문제 9(b)(곱셈 보존)에 의해 $[3a] = [3a']$이므로 대표원 선택과 무관하다. 정의 42.1에 의해 $$ (g \circ f)([a]) = g\big(f([a])\big) = g([a+1]) = [3][a+1] = [3(a+1)] = [3a+3] $$ 이다. 값을 전수 계산하면 $(g \circ f)([0]) = [3]$, $(g \circ f)([1]) = [6] = [2]$, $(g \circ f)([2]) = [9] = [1]$, $(g \circ f)([3]) = [12] = [0]$이다. 출력 목록 $[3], [2], [1], [0]$에는 중복이 없으므로 단사이고, 공역 $\mathbb{Z}_4$의 네 원소를 모두 포함하므로 전사다. 따라서 $g \circ f$는 전단사이다. **검산.** 보존 정리 (iii)으로도 같은 결론이 나온다. $f([a]) = [a+1]$은 값이 $[1], [2], [3], [0]$으로 중복 없이 공역을 덮으므로 전단사이고, $g([a]) = [3a]$는 41주차 예제 2.3에서 전단사임을 증명했다. 전단사 둘의 합성이므로 전단사다 — 전수 계산과 정리가 서로의 검산이 된다. **복기.** 유한집합에서는 전수 나열이 가장 확실한 판정이고, 정리는 그 결과를 계산 없이 예측한다. 두 경로가 일치하면 계산 실수를 걸러낼 수 있다. ### 문제 12 **접근.** 증가함수 증명의 첫 문장은 정의가 정한다 — "$x < y$라 하자". 가정을 한 번 쓰면 $f(x) < f(y)$가 나오고, 이 부등식의 두 변을 $g$의 가정의 입력으로 쓴다. 부등식을 두 번 연달아 넘기는 구조다. **풀이.** $f$와 $g$가 모두 증가함수라 하자. $x < y$인 실수 $x, y$를 잡자. $f$가 증가함수이므로 $f(x) < f(y)$이다. 이제 $f(x)$와 $f(y)$를 두 실수로 보고 $g$의 가정을 적용하면 $g\big(f(x)\big) < g\big(f(y)\big)$이다. 정의 42.1에 의해 이는 $(g \circ f)(x) < (g \circ f)(y)$이다. 임의의 $x < y$에 대해 성립하므로 $g \circ f$는 증가함수이다. $\blacksquare$ **복기.** 41주차 문제 13에서 "증가함수는 단사"를 증명해 두었으므로, 이 결과와 결합하면 증가함수를 아무리 여러 개 이어 붙여도 합성이 단사임이 계산 없이 나온다. 예를 들어 $x \mapsto 2x+1$과 $x \mapsto x^3$이 각각 증가함수이므로 $(2x+1)^3$은 증가함수이고 따라서 단사다 — 41주차의 도구만 있었다면 $(2a+1)^3 = (2a'+1)^3$을 전개해 인수분해까지 갔을 계산이 두 줄이 된다. (§1.1의 막힘, 곧 지그재그와 $m \mapsto 2m$의 합성은 확인 7과 문제 15가 보존 정리 (iii)으로 푼다 — 이쪽과는 다른 자리다.) ### 문제 13 **접근.** 함수 상등의 세 기준을 두 번 밟는다. 두 등식은 항등함수가 붙는 자리가 다르므로 확인해야 할 정의역$\cdot$공역도 다르다 — 하나로 묶지 말고 각각 쓴다. **풀이.** $f : A \to B$라 하자. (첫째 등식) $\mathrm{id}_A : A \to A$이고 $f : A \to B$이므로 연결 조건이 성립하고 $f \circ \mathrm{id}_A : A \to B$이며, 정의역과 공역이 $f$의 것과 각각 일치한다. 임의의 $x \in A$에 대해 정의 42.1과 $\mathrm{id}_A$의 정의로 $$ (f \circ \mathrm{id}_A)(x) = f\big(\mathrm{id}_A(x)\big) = f(x) $$ 이므로 모든 입력에서 값이 일치한다. 세 기준이 모두 성립하므로 $f \circ \mathrm{id}_A = f$이다. (둘째 등식) $f : A \to B$이고 $\mathrm{id}_B : B \to B$이므로 연결 조건이 성립하고 $\mathrm{id}_B \circ f : A \to B$이며, 정의역과 공역이 $f$의 것과 각각 일치한다. 임의의 $x \in A$에 대해 $$ (\mathrm{id}_B \circ f)(x) = \mathrm{id}_B\big(f(x)\big) = f(x) $$ 이다. 둘째 등호에서 $\mathrm{id}_B$의 입력이 $f(x) \in B$이므로 정의가 그대로 적용된다. 세 기준이 성립하므로 $\mathrm{id}_B \circ f = f$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 등식에서 항등함수의 아래 첨자가 다르다는 점이 중요하다. $f \circ \mathrm{id}_B$나 $\mathrm{id}_A \circ f$는 연결 조건부터 성립하지 않으므로 아예 만들어지지 않는다($A \neq B$일 때). 43주차 문제 13이 이 두 등식을 괄호 옮기기와 함께 쓴다. ### 문제 14 **접근.** $(f \circ f)(x)$는 $f(f(x))$이므로 $f$의 규칙에 $\frac{1}{x}$를 넣어 계산한다. 두 번째 예는 두 번 하면 상쇄되는 조작을 찾으면 된다. **풀이.** $x \in \mathbb{R} - \{0\}$이면 $f(x) = \frac{1}{x} \neq 0$이므로 $f(x)$는 다시 정의역에 속하고, 연결 조건이 성립해 $f \circ f$가 만들어진다. 정의 42.1에 의해 $$ (f \circ f)(x) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1/x} = x $$ 이다. 모든 $x$에서 값이 $x$이고 정의역$\cdot$공역도 $\mathbb{R} - \{0\}$로 일치하므로 $f \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}-\{0\}}$이다. 다른 예로 $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = -x$를 잡으면 $(g \circ g)(x) = g(-x) = -(-x) = x$이므로 $g \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$이다. $h(x) = 1 - x$도 같다: $(h \circ h)(x) = h(1-x) = 1 - (1-x) = x$. **검산.** $f$에서 $x = 2$이면 $f(2) = \frac12$이고 $f(\frac12) = 2$로 제자리다. $g$에서 $x = 3$이면 $g(3) = -3$이고 $g(-3) = 3$이다. **복기.** 이런 함수를 대합이라 한다. 5주차 문제 5의 $(A^c)^c = A$와 36주차 문제 18의 역관계도 두 번 적용하면 제자리로 오는 조작이다. 43주차에서 "$f^{-1} = f$인 함수"로 다시 등장한다. ### 문제 15 **접근.** 앞부분은 정의 41.3을 풀어 (i)과 (ii)를 각각 적용하면 두 줄이다. 뒷부분은 41주차 문제 16의 지그재그와 $m \mapsto 2m$을 이어 붙인다 — §1.1에서 막혔던 바로 그 물음이다. **풀이.** (따름 (iii)) $f$와 $g$가 전단사라 하자. 정의 41.3에 의해 둘 다 단사이므로 보존 정리 (i)에 의해 $g \circ f$는 단사이다. 또 둘 다 전사이므로 (ii)에 의해 $g \circ f$는 전사이다. 단사이고 전사이므로 $g \circ f$는 전단사이다. $\blacksquare$ (릴레이 사례) $E$를 짝수 정수 전체의 집합이라 하자. $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$를 41주차 문제 16의 지그재그($n$이 짝수면 $\frac{n}{2}$, 홀수면 $-\frac{n-1}{2}$)로 두면 $f$는 전단사다. $g : \mathbb{Z} \to E$를 $g(m) = 2m$으로 두면 $g$도 전단사다 — (단사) $2m = 2m'$이면 양변을 2로 나누어 $m = m'$이다. (전사) $c \in E$이면 $c = 2k$인 정수 $k$가 존재하고, 그 $k$가 증인이다: $k \in \mathbb{Z}$이고 $g(k) = 2k = c$이다. 따라서 (iii)에 의해 $g \circ f : \mathbb{N} \to E$는 전단사이다. 규칙식을 펼치면 $n$이 짝수일 때 $(g \circ f)(n) = 2 \cdot \frac{n}{2} = n$이고, 홀수일 때 $(g \circ f)(n) = 2 \cdot \left(-\frac{n-1}{2}\right) = -(n-1)$이다. **검산.** $n = 1, \dots, 6$에서 값은 $0, 2, -2, 4, -4, 6$이다. 서로 다르고, 짝수 정수를 절댓값이 작은 순서로 훑는다. **복기.** §1.1의 여섯 갈래 경우 나누기가 사라졌다. 새로 한 계산은 $g$가 전단사임을 확인하는 세 줄뿐이고 나머지는 인용이다. 48주차에서 이 릴레이가 "크기 같음의 추이성"으로 승격된다. ### 문제 16 **접근.** 앞부분은 전단사의 정의를 풀어 (iv)와 (v)를 각각 적용한다. 뒷부분은 예제 2.3의 세 집합에서 $g \circ f$가 전단사인지부터 확인한 뒤, 두 실패를 각각 검증한다. **풀이.** (앞부분) $g \circ f$가 전단사라 하자. 정의 41.3에 의해 $g \circ f$는 단사이므로, 역추적 정리 (iv)에 의해 $f$는 단사이다. 또 $g \circ f$는 전사이므로 (v)에 의해 $g$는 전사이다. $\blacksquare$ (뒷부분 — 반례) 예제 2.3의 $A = \{1\}$, $B = \{1,2\}$, $C = \{1\}$, $f(1) = 1$, $g(1) = g(2) = 1$을 검사한다. ① $g \circ f : \{1\} \to \{1\}$은 전단사인가. 단사: $A$의 원소가 하나뿐이므로 $a = a' = 1$이 언제나 성립한다 ✓. 전사: $C$의 유일한 원소 $1$에 대해 증인 $a = 1$이 있고 $(g \circ f)(1) = 1$이다 ✓. ② $f$는 전사가 아닌가. 공역 $B$의 원소 $2$가 도달되지 않는다 — $f(1) = 1 \neq 2$이고 $A$에 다른 원소가 없다 ✓. ③ $g$는 단사가 아닌가. $1 \neq 2$이고 $g(1) = g(2) = 1$이다 ✓. 하나의 반례가 두 실패를 동시에 보인다. 따라서 앞부분의 결론에서 "$f$가 전사", "$g$가 단사"까지 얻을 수는 없다. **복기.** 문제 10과 예제 2.3의 반례가 같은 한 벌이었다는 점이 여기서 확인된다. $g \circ f$가 전단사여도 $f$의 전사성과 $g$의 단사성은 회수되지 않으므로, 43주차에서 역함수를 정의할 때 항등식을 **양쪽** 모두 요구하게 된다. ### 문제 17 **접근.** 확인 6에서 $\mathrm{id}_A$가 전단사임을 확인했다. 가정이 "$g \circ f$가 그 전단사와 같다"이므로 $g \circ f$ 자체가 전단사이고, 문제 16이 그대로 적용된다. 두 함수를 직접 다루는 증명도 함께 쓰면 구조가 더 잘 보인다. **풀이.** (정리 인용) $\mathrm{id}_A$는 전단사다 — 단사는 $\mathrm{id}_A(a) = \mathrm{id}_A(a')$이 곧 $a = a'$이기 때문이고, 전사는 임의의 $b \in A$에 대해 증인 $b$ 자신이 $\mathrm{id}_A(b) = b$를 만족하기 때문이다. 가정에서 $g \circ f = \mathrm{id}_A$이므로 $g \circ f$는 전단사이고, 문제 16에 의해 $f$는 단사이고 $g$는 전사이다. $\blacksquare$ (직접 증명) 같은 결론을 정의만으로 얻을 수도 있다. ($f$가 단사) $f(a) = f(a')$이라 하자. 양변에 $g$를 적용하면 $g(f(a)) = g(f(a'))$이고, 정의 42.1과 가정에 의해 $\mathrm{id}_A(a) = \mathrm{id}_A(a')$, 곧 $a = a'$이다. ($g$가 전사) $a \in A$라 하자. $b = f(a) \in B$로 두면 $g(b) = g(f(a)) = (g \circ f)(a) = \mathrm{id}_A(a) = a$이다. 증인 $b$가 존재하므로 $g$는 전사이다. $\blacksquare$ **복기.** 항등식 한쪽만으로는 $f$의 전사성도 $g$의 단사성도 나오지 않는다 — 문제 16의 반례가 그 한계를 보인다. 43주차 문제 17이 정확히 이 한계를 다루고, 43주차의 핵심 정리는 양쪽 항등식을 모두 요구해 전단사를 완성한다. ### 문제 18 **접근.** $\neq$ 사슬 논증이 유효한지부터 판정한다. 단사의 대우 표현 ("$a \neq a'$이면 $f(a) \neq f(a')$", 정의 41.1의 둘째 문장)을 쓴 것이라면 논리적으로 유효하다. 그러면 지적할 것은 논리가 아니라 근거의 명시 여부다. **풀이.** 이 증명은 논리적으로 **옳다**. 첫 단계는 $f$의 단사성의 대우 표현이고, 둘째 단계는 $g$의 단사성의 대우 표현이며, 결론 $g(f(a)) \neq g(f(a'))$는 정의 42.1에 의해 $(g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(a')$와 같은 문장이다. "$a \neq a'$이면 $(g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(a')$"는 곧 $g \circ f$가 단사라는 뜻이다. 지적할 결함은 두 가지다. ① 각 단계에서 사용한 것이 정의 41.1의 **대우 표현**임을 명시하지 않았다. 표준 정의는 "$f(a) = f(a')$이면 $a = a'$"이므로, 명시가 없으면 그 정의에서 $\neq$ 사슬로 넘어가는 지점이 비약으로 보인다. ② 마지막 줄이 $g(f(a)) \neq g(f(a'))$에서 끝나고, 정의 42.1로 $(g \circ f)(a) \neq (g \circ f)(a')$로 묶는 씌우기 한 줄이 없다. 두 서식의 비교. 등식 서식이 표준인 이유는 계산 가능성이다 — 대부분의 함수에서 "$f(a) = f(a')$"는 풀 수 있는 방정식이지만 "$f(a) \neq f(a')$"에서는 계산을 시작할 수 없다. 다만 이번 주처럼 규칙식이 없는 추상적 함수에서는 두 서식의 계산 부담이 같으므로 $\neq$ 사슬도 자연스럽다. 서식은 편의를 위한 선택이다. **복기.** 옳은 증명에도 지적할 것이 있을 수 있다. 채점 기준은 결론의 참$\cdot$거짓이 아니라 각 줄의 근거가 목록 안에 있고 명시되었는지다. ### 문제 19 **접근.** 연결 조건은 "$f$의 공역 = $g$의 정의역"이다. 두 집합을 나란히 적어 어긋나는 곳을 짚고, $f$의 치역을 계산해 공역 재선언으로 해결되는지 확인한다. 조정 후의 규칙식은 $x$의 부호로 나누어 계산한다. **풀이.** (점검) $f$의 공역은 $\mathbb{R}$이고 $g$의 정의역은 $[0, \infty)$이므로 두 집합이 다르다 — 연결 조건이 성립하지 않아 $g \circ f$를 그대로 만들 수 없다. (조정) $f$의 치역은 $f(\mathbb{R}) = \{x^2 : x \in \mathbb{R}\} = [0, \infty)$이다 (모든 실수의 제곱은 음이 아니고, 음이 아닌 $y$에 대해 $x = \sqrt{y}$가 증인이다). 치역이 이미 $g$의 정의역과 같으므로, 공역만 $[0, \infty)$로 다시 선언한 $\tilde{f} : \mathbb{R} \to [0, \infty)$, $\tilde{f}(x) = x^2$을 쓰면 연결 조건이 성립한다. 순서쌍 집합은 그대로이므로 규칙은 변하지 않는다. (합성) 정의 42.1에 의해 $(g \circ \tilde{f})(x) = g(x^2) = \sqrt{x^2}$이고, $x \geq 0$이면 $\sqrt{x^2} = x$, $x < 0$이면 $\sqrt{x^2} = -x$이다. 곧 $$ (g \circ \tilde{f})(x) = |x| $$ 이다 — 40주차 문제 9에서 $|x|$와 $\sqrt{x^2}$이 같은 함수임을 증명했던 그 함수다. 절댓값의 정체가 "제곱한 뒤 제곱근을 취하는" 합성이었다. **검산.** $x = -3$에서 $\tilde{f}(-3) = 9$이고 $g(9) = 3 = |-3|$이며, $x = 3$에서도 $9 \mapsto 3 = |3|$이다. **복기.** 연결 조건이 어긋날 때 손볼 곳은 두 군데다. 치역이 이미 $g$의 정의역 안에 들어 있으면 공역 재선언만으로 충분하고(이 문제), 그렇지 않으면 정의역을 좁힌 뒤 그때의 치역을 공역으로 다시 선언해야 한다(§1.3의 삭제 실험 — $f(x) = x-5$에서 정의역만 $[5, \infty)$로 좁히고 공역을 $\mathbb{R}$로 두면 연결 조건은 그대로 어긋난 채다). 어느 경우든 마지막에 서는 것은 공역이다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 두 반례가 각각 어느 방향의 역추적을 막는지 구분해 적는다. (b)는 후보를 하나 정한 뒤 결합법칙과 교환법칙을 각각 실제로 확인하고, 성립하지 않는 쪽은 반례를 제시한다. **풀이.** (a) 합성에서 성질이 전달되는 방향은 실행 순서를 따른다. 입력 두 개가 같은 값으로 합쳐지는 사건은 먼저 실행되는 $f$에서 일어나면 회복되지 않는다 — $f(a) = f(a')$이면 뒤에 무엇을 적용해도 값이 같기 때문이고, 그래서 $g \circ f$가 단사이면 $f$도 단사여야 한다. 반대로 $g$에서 일어나는 합침은 그 자리가 $f$의 치역 밖이면 합성이 겪지 않는다 — 예제 2.3에서 $g$는 $1$과 $2$를 합쳤지만 $f$의 치역이 $\{1\}$이라 $2$가 등장하지 않았다. 공역을 덮지 못하는 사건은 마지막에 실행되는 $g$의 출력 범위가 정한다 — $g \circ f$의 출력은 전부 $g$의 출력이므로 합성이 $C$를 덮으면 $g$도 덮는다. 반대로 $f$가 $B$의 일부에 도달하지 못해도 $g$가 다른 입력으로 같은 값을 내면 합성의 전사성은 유지된다 — 문제 10에서 $f$는 $2$에 도달하지 못했지만 $g$가 $1$과 $2$를 모두 $1$로 보내므로 합성은 $C = \{1\}$을 덮었다. 두 반례가 같은 한 벌이라는 점(문제 16)이 이 대칭을 한눈에 보여 준다. (b) 데카르트 곱(6주차)이 한 예다. $A = \{1\}$, $B = \{2\}$이면 $A \times B = \{(1,2)\}$이고 $B \times A = \{(2,1)\}$이며 $(1,2) \neq (2,1)$이므로 교환법칙은 성립하지 않는다. 결합에 대해서는 $(A \times B) \times C$의 원소가 $((a,b),c)$ 꼴이고 $A \times (B \times C)$의 원소가 $(a,(b,c))$ 꼴이어서 집합으로서 엄밀히 같지는 않으나, 두 집합 사이에 자연스러운 전단사가 있어 같은 것으로 취급하는 관행이 있다 — 이 단서는 명시해 두어야 한다. 행렬 곱셈은 더 정확한 예다. 결합법칙은 성립하고 교환법칙은 성립하지 않으며, 그 이유 자체가 이번 주의 정리다 — 행렬은 함수이고 행렬 곱은 그 함수들의 합성이므로, 결합법칙은 문제 7이고 교환 불가는 예제 2.1이다. (행렬은 이 과정에서 다루지 않는다. 지금은 예로만 인용한다.) **복기.** 두 법칙은 서로 독립이다. 새 연산을 만나면 결합과 교환을 각각 따로 검사하는 습관이 여기서 나온다. --- **다음 주 예고.** 43주차의 소재는 역함수다. 36주차 문제 18의 역관계 $f^{-1} = \{(y,x) : (x,y) \in f\}$가 함수가 될 조건이 정확히 전단사임을 증명한다 — 40주차 정의 40.1이 요구하는 두 조건(전체성과 유일성)이 각각 전사와 단사에 대응한다. 그리고 이번 주 문제 17에서 절반만 얻은 항등식 $g \circ f = \mathrm{id}_A$가 양쪽으로 갖춰질 때 역함수가 특징지어진다. 고등학교에서 배운 "$y = f(x)$를 $x$에 대해 풀기"가 그 구조의 계산 절차였음이 드러난다.