43주차 — 역함수

43주차 — 역함수#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 역관계는 언제나 존재한다 — 그것이 함수가 되는 조건이 전단사이고, 전체성은 전사가, 유일성은 단사가 답한다.

이 주의 위치: 50주 과정의 43주차. 36주차의 역관계와 40~42주차의 함수 도구가 맞물려, 고1의 역함수 계산이 자격 심사와 검증을 갖춘 절차로 재조립된다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 12.5 (Inverse Functions). 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

  1. 핵심 정리(역관계 \(f^{-1}\)가 함수 \(\iff\) \(f\)가 전단사)를 진술하고 증명할 수 있다.

  2. 역함수의 항등식 특징짓기(\(g \circ f = \mathrm{id}_A\), \(f \circ g = \mathrm{id}_B\))와 유일성을 익힌다.

  3. 역함수 계산(”\(y = f(x)\)를 \(x\)에 대해 풀기”)과 검증 절차를 4단계 틀로 수행할 수 있다.

  4. 신발–양말 정리 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)과 정의역 제한으로 역을 만드는 방법(\(\sqrt{x}\)의 탄생)을 다룬다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (42주차 복습)#

  1. 역관계의 정의를 쓰시오: \(R^{-1} = \{\underline{\qquad}\}\) (36주차 문제 18).

  2. \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이면 \(f\)는 \(\underline{\quad}\)이고 \(g\)는 \(\underline{\quad}\)이다 (42주차 문제 17).

  3. \(f \circ f = \mathrm{id}\)인 함수(대합)의 예 둘을 쓰시오 (42주차 문제 14).

답

1. \(R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}\). 순서쌍의 좌우를 뒤집어 모은 집합이며, 뒤집기에는 아무 조건이 붙지 않는다.

2. \(f\)는 단사이고 \(g\)는 전사이다. 암기 문장은 42주차 §1.7의 “단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임”이다 — 여기서 앞은 먼저 실행되는 \(f\), 뒤는 나중에 실행되는 \(g\)다.

3. \(f : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}\), \(f(x) = \frac{1}{x}\) (42주차 문제 14)와 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = -x\). 둘 다 두 번 적용하면 제자리로 온다.

자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 양쪽 모두 전단사로 적는다. “\(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이고 \(\mathrm{id}_A\)는

전단사이므로 \(f\)도 \(g\)도 전단사”라고 적는다. \(\mathrm{id}_A\)가 전단사라는 관찰은 옳고(42주차 §1.5), 그것이 논증의 출발점인 것도 맞다. 어긋난 것은 회수량이다 — 42주차의 역추적 정리는 합성의 성질에서 절반만 돌려준다. \(g \circ f\)가 단사이면 앞의 \(f\)가 단사이고, 전사이면 뒤의 \(g\)가 전사다. 나머지 절반은 반례가 있어 돌아오지 않는다.

  • 유형 2 — 배정을 뒤집는다. “\(f\)는 전사, \(g\)는 단사”로 적는다. 두 성질을

짚어 낸 것은 옳다. 어긋난 것은 어느 쪽에 붙이느냐다. 합성 \(g \circ f\)는 오른쪽 \(f\)부터 실행되므로(42주차 §1.4), 입력을 뭉개지 않을 책임은 먼저 실행되는 \(f\)에 있고 출력을 남김없이 채울 책임은 나중에 실행되는 \(g\)에 있다.

  • 유형 3 — 백지. 42주차 문제 17의 결론이 기억에서 나오지 않아 적지 못한다.

이번 주는 그 결론을 외워 쓰는 자리가 아니라 사용하는 자리다 — 한쪽 항등식이 무엇을 주고 무엇을 주지 못하는지가 §1.5의 주제이고, 주지 못하는 부분의 실물이 문제 17의 반례다.

개념 — 역관계가 함수가 되는 조건#

1 42주차까지의 도구만으로는 답이 나오지 않는 것#

36주차 문제 18에서 관계의 역관계를 정의했다: \(R^{-1} = \{(b,a) : (a,b) \in R\}\). 함수도 관계, 곧 순서쌍의 집합이므로(40주차 정의 40.1) 어떤 함수든 역관계는 항상 만들어진다. 그렇다면 “함수를 되돌리는 일”은 이미 끝난 것처럼 보인다. 실제로 밀어붙여 보자.

시도 — 역관계를 곧바로 함수로 쓰기

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)의 역관계는 \(f^{-1} = \{(y, x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 = y\}\)이다.

이제 이것을 함수처럼 써 보자. “\(f^{-1}(4)\)의 값은 …”

여기서 멈춘다. \((4, 2)\)도 \((4, -2)\)도 \(f^{-1}\)의 원소이므로 \(f^{-1}(4)\)가 \(2\)인지 \(-2\)인지 정해지지 않고, 하나를 고를 근거가 어디에도 없다. \(f^{-1}(-1)\)은 사정이 더 나쁘다 — \(x^2 = -1\)인 실수 \(x\)가 없으므로 \(-1\)과 짝지어진 원소가 아예 없다.

확인 1. 위 두 사태는 각각 함수의 두 조건(40주차 정의 40.1) 중 무엇이 깨진 것인가. 그리고 \(f\) 쪽에서는 어떤 성질이 없어서 그렇게 되었는가.

답

\(f^{-1}(4)\)가 정해지지 않는 것은 유일성이 깨진 것이고, 원인은 \(f\)가 단사가

아니라는 데 있다(\(f(2) = f(-2) = 4\) — 41주차 문제 4).

\(f^{-1}(-1)\)이 없는 것은 전체성이 깨진 것이고, 원인은 \(f\)가 전사가 아니라는

데 있다(\(-1\)은 \(f\)의 치역 밖이다).

뒤집기 자체는 언제나 된다. 뒤집은 결과가 함수인지는 별개의 물음이며,

이번 주의 물음이 정확히 그것이다.

이 주 전체의 기준

역관계는 조건 없이 항상 존재한다. 물어야 할 것은 그 역관계가 함수인가이고,

판정 기준은 40주차의 두 조건 — 전체성과 유일성 — 이다.

2 표를 채워 규칙을 찾아내기#

유한집합 위의 작은 함수 넷으로 뒤집기를 직접 해 보자. 각 행에서 순서쌍을 뒤집은 뒤, 공역의 각 원소가 뒤집은 집합의 왼쪽 자리에 몇 번 나오는지 센다.

\(f\)

\(f\)의 순서쌍

뒤집은 집합 \(f^{-1}\)

왼쪽 자리에 나오는 횟수

\(f^{-1}\)이 함수인가

\(f_1 : \{1,2\} \to \{a,b\}\)

\(\{(1,a),(2,b)\}\)

\(\{(a,1),(b,2)\}\)

\(a\): 1, \(b\): 1

예

\(f_2 : \{1,2,3\} \to \{a,b\}\)

\(\{(1,a),(2,b),(3,b)\}\)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(a\): 1, \(b\): \(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

\(f_3 : \{1,2\} \to \{a,b,c\}\)

\(\{(1,a),(2,b)\}\)

\(\{(a,1),(b,2)\}\)

\(a\): 1, \(b\): 1, \(c\): \(\underline{\quad(4)\quad}\)

\(\underline{\quad(5)\quad}\)

\(f_4 : \{1,2\} \to \{a,b\}\)

\(\{(1,a),(2,a)\}\)

\(\underline{\quad(6)\quad}\)

\(a\): \(\underline{\quad(7)\quad}\), \(b\): 0

아니오

확인 2. 빈칸 (1)~(7)을 채우고, 1행만 “예”인 이유를 각 행에서 무너진 조건의 이름으로 적어 보자.

답

(1) \(\{(a,1),(b,2),(b,3)\}\) (2) 2 (3) 아니오 (4) 0 (5) 아니오

(6) \(\{(a,1),(a,2)\}\) (7) 2.

2행은 \(b\)가 왼쪽에 두 번 나와 유일성이 깨지고, 3행은 \(c\)가 한 번도 나오지

않아 전체성이 깨지며, 4행은 둘 다 깨진다. 1행만 공역의 모든 원소가 정확히

한 번씩 나온다.

그리고 \(f_2\)는 단사가 아니고(\(f_2(2) = f_2(3) = b\)), \(f_3\)은 전사가 아니다(\(c\)에

도달하지 못한다). 무너진 조건과 \(f\)의 없는 성질이 정확히 짝을 이룬다 —

유일성은 단사와, 전체성은 전사와 짝이다. 이 관찰이 이번 주 핵심 정리의 전부다.

이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 뒤집기와 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 43.1 — 역함수 (inverse function) [백지 암기 대상]#

함수 \(f : A \to B\)에 대해, 역관계 \(f^{-1} = \{(b, a) \in B \times A : (a,b) \in f\}\)가

\(B\)에서 \(A\)로의 함수일 때, \(f\)를 가역(invertible)이라 하고 그 함수

\(f^{-1} : B \to A\)를 \(f\)의 역함수(inverse function)라 한다.

기호 \(f^{-1}\)은 “에프 인버스”로 읽는다. 지수 \(-1\)과 생김새가 같지만 값의 역수 \(\frac{1}{f}\)와는 전혀 다른 것이며, 이 혼동이 문제 18에서 해부하는 결함이다. \(f\)가 가역일 때에만 \(f^{-1}(b)\)라는 값 표기를 쓸 수 있다는 점도 정의에 들어 있다. 읽는 법과 쓸 수 있는 조건까지가 정의다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정에서 맡는 역할이 다르다.

조각

하는 일

판정에서의 역할

“함수 \(f : A \to B\)에 대해”

무대의 선언

정의역\(\cdot\)공역이 정해져야 뒤집을 대상이 확정된다 — 규칙식만으로는 판정할 수 없다

“\(f^{-1} = \{(b,a) : (a,b) \in f\}\)”

순서쌍 뒤집기

후보를 만드는 조작. 조건이 없으므로 어떤 \(f\)에서든 만들어진다

“가 \(B\)에서 \(A\)로의 함수일 때”

자격 심사

40주차의 두 조건으로 후보를 심사한다 — 정의의 하중이 전부 여기 실린다

“그 함수를 \(f\)의 역함수라 한다”

명명

심사를 통과한 뒤에만 기호 \(f^{-1}(b)\)가 값을 가리킨다

조각 삭제 실험. 셋째 조각(자격 심사)을 지워 보자. 그러면 모든 함수가 역함수를 갖게 된다. \(f(x) = x^2\)에서도 \(f^{-1}\)을 함수라 부르게 되는데, 그 순간 \(f^{-1}(4)\)는 \(2\)와 \(-2\) 중 무엇도 가리키지 못하고 \(f^{-1}(-1)\)은 가리킬 것이 없다.

확인 3. 자격 심사 조각을 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가. (\(f(x) = x^2\)만의 문제인지 함께 생각해 보자.)

답

기호가 값을 가리키지 못한다. 정의역\(\cdot\)공역을 바꿔 만든 어떤 함수에서도 같은

사태가 벌어질 수 있으므로 \(f(x) = x^2\)만의 문제가 아니다. 예를 들어

\(g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(g(n) = 2n\)에서 \(g^{-1}(3)\)은 가리킬 것이 없다.

“\(f^{-1}(b)\)”라고 적을 수 있으려면 \(b\)마다 짝이 정확히 하나여야 하고,

그 요구를 명문화한 것이 셋째 조각이다. 1주차 §1.3에서 “정수”를 지웠을 때

짝수라는 말이 아무것도 구별하지 못하게 된 것과 같은 종류의 붕괴다.

4 핵심 정리 — 자격 심사의 정체#

§1.2의 표에서 읽어 낸 짝맞춤을 정리로 세운다.

백지 암기 대상

핵심 정리

\(f : A \to B\)에 대해, 역관계 \(f^{-1}\)가 \(B\)에서 \(A\)로의 함수 \(\iff\) \(f\)가 전단사이다.

대응: \(f^{-1}\)의 전체성 \(\iff\) \(f\)의 전사성, \(\quad\) \(f^{-1}\)의 유일성 \(\iff\) \(f\)의 단사성.

41주차 문제 19가 이 정리의 준비였다. 그 문제는 원상의 개수로 세 성질을 정리했다 — 전사는 “적어도 하나”, 단사는 “많아야 하나”, 전단사는 “정확히 하나”.

확인 4. \(f^{-1}\)가 함수이려면 각 \(b \in B\)의 원상이 몇 개여야 하는가. 그 개수를 41주차 문제 19의 표에서 찾으면 어떤 성질에 해당하는가.

답

정확히 하나다. 전체성이 “적어도 하나”를, 유일성이 “많아야 하나”를 요구하고,

두 요구를 합치면 \(\exists!\)(26주차)가 된다. 41주차 문제 19의 표에서 “정확히

하나”에 해당하는 성질은 전단사다.

곧 핵심 정리는 새 발견이 아니라, 41주차의 개수 표와 40주차의 함수 조건을 같은

등식 위에서 나란히 읽은 결과다. 증명은 예제 2.2에서 만든다.

5 특징짓기 정리 — 항등식 두 개와 유일성#

핵심 정리는 역함수가 존재하는지를 판정한다. 손에 후보 하나가 있을 때 그것이 진짜 역함수인지를 판정하는 기준은 따로 있다.

백지 암기 대상

특징짓기 정리

\(f : A \to B\)에 대해 다음이 성립한다.

(i) \(f\)가 전단사이면 \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A\)이고 \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B\)이다.

(ii) 거꾸로, \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이고 \(f \circ g = \mathrm{id}_B\)인 \(g : B \to A\)가 존재하면 \(f\)는 전단사이고 \(g = f^{-1}\)이다.

(iii) (유일성) 그런 \(g\)는 유일하다.

(i)은 정의에서 곧바로 나온다. \(f(a) = b\)이면 \((a,b) \in f\)이므로 \((b,a) \in f^{-1}\), 곧 \(f^{-1}(b) = a\)이고, 따라서 \(f^{-1}(f(a)) = a\)다. 반대쪽도 같은 읽기다. (ii)의 앞부분(”\(f\)가 전단사”)의 근거는 42주차 문제 17을 두 항등식에 각각 적용하는 것이고, 뒷부분(”\(g = f^{-1}\)”)은 (i)에 의해 \(f^{-1}\)도 같은 두 항등식을 만족하므로 (iii)의 유일성으로 따라온다. (iii)은 문제 13에서 증명한다.

확인 5. (ii)에서 항등식 하나만 있으면 무엇까지 얻는가. \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)만 가진 경우로 답해 보자.

답

42주차 문제 17에 의해 \(f\)는 단사, \(g\)는 전사까지만 얻는다. \(f\)의 전사성은

나오지 않는다. 그것을 주는 것이 반대쪽 항등식 \(f \circ g = \mathrm{id}_B\)이며,

같은 정리를 \(f \circ g\)에 적용하면 \(g\)는 단사, \(f\)는 전사가 된다.

두 항등식을 합쳐야 \(f\)가 단사이고 전사, 곧 전단사가 된다 — 특징짓기 정리가

조건을 두 개 요구하는 이유다. 한쪽만으로 부족하다는 것을 실제 반례로 확인하는

자리가 문제 17이다.

전단사임이 확정되면 (i)에 의해 \(f^{-1}\)도 같은 두 항등식을 만족하므로, 유일성

(iii)이 \(g = f^{-1}\)을 준다 — (ii)의 뒷부분은 이 한 줄로 마감된다.

6 계산 절차 — 고1의 재건축#

백지 암기 대상

역함수 계산 절차

① 자격 심사: \(f\)가 전단사임을 확인한다. 아니면 역함수는 없다.

② 후보 제작: \(y = f(x)\)를 \(x\)에 대해 푼다 — \(x = (\,y\text{의 식}\,)\).

③ 선언: \(f^{-1}(y) = (\,\text{그 식}\,)\)으로 둔다.

④ 검증: \(f^{-1}(f(x)) = x\)와 \(f(f^{-1}(y)) = y\)를 둘 다 확인한다.

고1에서 배운 것은 ②③(그리고 변수 이름 바꾸기)뿐이었다. ①은 그 계산을 할 자격이 있는지를 묻는 단계이고, ④는 “풀었다”와 “역함수다” 사이의 간격을 메우는 단계다. ②의 “풀기”가 사실 무엇이었는지가 이 절의 핵심이다.

확인 6. ②의 “\(y = f(x)\)를 \(x\)에 대해 푼다”는 41주차의 어느 작업과 같은 계산인가.

답

전사 증명의 증인 제작이다. 41주차 정의 41.2의 서식은 임의의 \(y\)에 대해

\(f(x) = y\)인 \(x\)를 만들어 제시하라고 요구하는데, 그 \(x\)를 만드는 방법이 바로

방정식을 \(x\)에 대해 푸는 것이다. 40주차 문제 17에서 \(y = \frac{x+1}{x-2}\)을 풀어

얻은 \(x = \frac{2y+1}{y-1}\)이 41주차 예제 2.2의 전사 증인이 되었고, 이번 주

문제 8에서 그 식이 그대로 역함수식이 된다.

더 정확히는, 그 풀기가 해의 존재(전사)와 유일(단사)을 동시에 확인하는

작업이다. 그래서 ①과 ②는 같은 계산의 두 얼굴이고, ①에서 만든 증인을 ②에서

다시 만들 필요가 없다.

7 신발–양말 정리 — 되돌리는 순서#

백지 암기 대상

신발–양말 정리

\(f : A \to B\), \(g : B \to C\)가 전단사이면 \(g \circ f\)도 전단사이고

\[ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \]

이다 — 오른쪽에서 순서가 뒤집힌다.

이름은 되돌리는 순서에서 왔다. 나중에 한 일을 먼저 되돌린다는 것이며, 문제 20(b)가 이 순서를 사례로 설명하는 자리다. 증명은 문제 15에서 한다.

확인 7. 순서를 뒤집지 않은 \(g^{-1} \circ f^{-1}\)은 왜 후보가 될 수 없는가. 합성의 연결 조건(42주차 정의 42.1)으로 판정해 보자.

답

\(f^{-1} : B \to A\)이고 \(g^{-1} : C \to B\)이다. \(g^{-1} \circ f^{-1}\)은 오른쪽

\(f^{-1}\)부터 실행하므로 입력을 \(B\)에서 받는데, \((g \circ f)^{-1}\)은 \(C\)에서

입력을 받아야 한다. 게다가 \(f^{-1}\)의 출력은 \(A\)이고 \(g^{-1}\)의 입력은 \(C\)라

이어 붙지도 않는다 — 연결 조건이 맞지 않아 이 합성은 아예 만들어지지 않는다

(\(A = C\)인 특수한 경우를 빼면).

순서 뒤집힘은 취향이 아니라 연결 조건이 강제한 결과다.

8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 43.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주의 세 정리가 들어온다.

근거

내용

이번 주에는 이렇게 쓴다

① 정의

1~42주차의 정의 전부 + 정의 43.1(역함수)

“\(f^{-1}(b) = a\)”와 “\(f(a) = b\)” 사이를 양방향으로 번역한다

② 닫힘성

정수\(\cdot\)실수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 각각 정수\(\cdot\)실수

문제 9의 증인 \(m - 7\)이 다시 정수임을, 문제 10\(\cdot\)19의 대표원 계산을 뒷받침한다

③ 등식의 성질

대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산

예제 2.1의 풀기, 문제 8의 분수 정리, 문제 19의 양변에 \([5]\) 곱하기

④ 이미 증명한 명제

36주차 문제 18(역관계), 40주차 정의 40.1\(\cdot\)문제 9\(\cdot\)문제 17\(\cdot\)문제 19(그래프), 41주차 정의 41.1~41.3과 서식 4종\(\cdot\)문제 4\(\cdot\)8\(\cdot\)9\(\cdot\)12\(\cdot\)19\(\cdot\)예제 2.2, 42주차 문제 7(결합법칙)\(\cdot\)13(\(\mathrm{id}\) 흡수)\(\cdot\)14(대합)\(\cdot\)17(역추적)\(\cdot\)보존 정리, 19주차 문제 17, 9주차의 논리 동치(동치 교체), 38\(\cdot\)39주차의 곱셈 역원, 16주차 §1.2 인정 사실(제곱근의 존재와 유일), 10주차 문제 10(a)(세제곱근의 존재 — 인정하고 쓰는 사실) + 이번 주의 핵심 정리\(\cdot\)특징짓기 정리\(\cdot\)신발–양말 정리

문제 8은 41주차 예제 2.2를 인용해 ①을 한 줄로 끝낸다. 문제 15는 문제 13의 유일성으로 마감한다. 인정하고 쓰는 두 사실은 §2 첫머리의 “이 주가 빌려 쓰는 사실” 상자에 따로 묶어 두었다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 그래프의 모양(”\(y = x\)에 대칭으로 보이니까”)은 목록에 없다 — 같은 내용을 순서쌍의 등식으로 옮겨 적어야 근거 ①이 된다(문제 12가 그 번역을 요구한다).

확인 8. 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) “\(g(f(x)) = x\)인 \(g : B \to A\)가 있으므로 \(g\)는 \(f\)의 역함수이다” (나) “\(f\)의 그래프가 \(y = x\)에 대칭이므로 역함수가 있다” (다) “\(g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B\)이므로”

답

(가) 불허 — 항등식이 한쪽뿐이다. 특징짓기 정리 (ii)는 양쪽을 요구하고,

한쪽만으로 무너지는 실물이 문제 17이다.

후보를 \(f^{-1}\)이 아니라 \(g\)라는 이름으로 물어야 하는 이유도 여기 있다 —

“\(f^{-1}(f(x))\)”라고 적는 순간 정의 43.1에 의해 \(f\)의 가역성이 이미 전제되어,

물으려던 것이 답에 미리 들어가 버린다.

(나) 불허 — 그림은 목록에 없다(41주차 §1.9, 42주차 §1.8과 같다).

게다가 순환이다: 역함수가 있어야 그 그래프를 그릴 수 있다.

(다) 허용 — 근거 ④, 42주차 문제 13(\(f \circ \mathrm{id} = f\), \(\mathrm{id} \circ f = f\))이다.

문제 13의 다섯 등호 중 첫째와 마지막이 이 근거다.

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 43.1은 자격 심사 조각까지 포함해 외운다. 조각을 잊어도 §1.3의 삭제 실험에서 재구성할 수 있다.