3주차 — 집합의 기초

내용

3주차 — 집합의 기초#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 집합 하나는 무대와 조건, 두 정보로 결정된다 — \(\{x \in S : P(x)\}\)는 “\(S\)의 원소 중 \(P(x)\)를 만족하는 것 전부”로 읽는다.

이 주의 위치: 50주 과정의 3주차. 1~2주차 증명에 계속 나온 “정수 \(k\)가 존재한다”의 무대인 집합을 정식 언어로 만든다(고1 ‘집합’ 단원의 재건축). 4주차(\(\subseteq\))와 27주차(상등 증명)의 재료다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 1.1, 1.9 — 병행자 참고용이고, 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

\(\in\), \(\notin\), 원소나열법, 조건제시법(set-builder notation)을 읽고 쓴다.
\(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)의 정의와 포함 관계를 안다.
\(\emptyset\), \(\{\emptyset\}\), \(\{\{1\}, 2\}\) 같은 집합을 원소로 갖는 집합의 소속과 크기를 정확히 판정한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (2주차 복습)#

\(a \mid b\)의 정의를 백지에 쓰시오.
\(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)이면 \(a \mid c\)임을 안 보고 증명하시오.
“\(a \mid bc\)이면 \(a \mid b\) 또는 \(a \mid c\)이다”는 거짓이다. 반례를 하나 쓰시오.

답의 대조는 2주차로 돌아가서 한다 — 차례로 정의 2.1, 예제 2.1, 문제 15다.

자주 나오는 세 가지 답#

위 세 문항에서 자주 나오는 답은 다음 유형이다. 각각 옳은 부분이 있고, 메워야 할 간격도 정확히 지목할 수 있다.

유형 1 — 말 정의. 1번에 “\(b\)를 \(a\)로 나누면 나누어떨어진다는 뜻”이라 적는다.

뜻으로는 옳다. 문제는 이것이 아직 등식이 아니라는 것이다(1주차 §1.1과 같은 간격) — 증명에서 계산을 시작하려면 “\(b = ac\)인 정수 \(c\)가 존재한다”까지 내려가야 한다.

유형 2 — 문자 재사용. 2번에서 \(b = ak\), \(c = bk\)처럼 두 가정에 같은 문자를

쓴다. 정의를 풀 생각까지는 옳다. 간격은 문자 배정이다 — 서로 다른 가정에는 서로 다른 문자를 써야 하고(1주차 문제 6에서 해부한 오류), 같은 문자를 쓰면 두 가정 사이에 없던 관계를 몰래 추가한 것이 된다.

유형 3 — 반례의 요건 누락. 3번에 가정 \(a \mid bc\)부터 거짓인 예(예:

\(a = 4\), \(b = 2\), \(c = 3\) — \(4 \nmid 6\))를 적는다. 결론이 깨지는 예를 찾으려는 방향은 옳다. 간격은 반례의 요건이다 — 반례는 가정이 참이면서 결론이 거짓인 예여야 한다. 2주차 문제 15의 \(a = 6\), \(b = 4\), \(c = 9\)가 그 요건을 갖춘 예다.

개념 — 집합의 언어#

1 “…”로 적으면 어디서 막히는가#

1주차와 2주차의 증명 곳곳에 “정수 \(k\)가 존재한다”가 나왔다. 여기서 “정수”는 수 하나가 아니라 수들의 모임이고, 지금까지는 그 모임을 매번 말로 불러 왔다. 이번 주는 모임 자체를 다루는 표기를 세운다.

먼저 지금 가진 도구 — 말과 나열 — 로 밀어붙여 보자. “12의 양의 약수 전부”는 나열로 끝난다: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). 모임이 유한하고 짧으면 나열로 충분하다.

이번에는 짝수 전부를 적어 보자: \(2, 4, 6, 8, \dots\) 쓰다 보면 두 가지가 걸린다. 0과 음수 짝수는 이 나열의 어디에 있는가. 그리고 “\(\dots\)”는 정확히 어떤 규칙으로 이어지는가.

확인 1. 나열 \(3, 5, 7, \dots\)의 다음 수는 무엇인가. 답이 하나로 정해지는지부터

생각해 보자.

답

정해지지 않는다. “3 이상의 홀수”로 읽으면 다음은 9이고, “홀수인 소수”로 읽으면

다음은 11이다. 두 독법 모두 앞의 세 수와 모순이 없다. “\(\dots\)”는 규칙을 표기

밖 — 읽는 사람의 추측 — 에 두기 때문에, 무한한 모임을 지목하는 표기로는

불완전하다.

필요한 것이 두 가지로 정리된다.

모임을 하나의 대상으로 다루는 이름과 소속 기호 — §1.2에서 세운다.
소속의 규칙을 표기 안에 명시하는 쓰기법 — §1.5에서 세운다.

2 집합과 원소 — 이름 붙이기#

모임에 정식 이름을 붙인다. 새로운 발상은 없다 — 지금까지 “모임”, “전부”라고 부르던 것에 낱말과 기호를 주는 것뿐이다.

정의 3.1 — 집합과 원소 (set, element) [백지 암기 대상]#

집합(set)은 대상들의 모임이며, 그 대상 하나하나를 원소(element)라 한다.

\(x\)가 집합 \(A\)의 원소이면 \(x \in A\), 아니면 \(x \notin A\)로 쓴다.

\(x \in A\)는 “엑스는 에이의 원소이다” 또는 “엑스는 에이에 속한다”로 읽는다. \(x \notin A\)는 “\(x\)는 \(A\)의 원소가 아니다”로 읽는다. 1주차 표기 상자에서 “\(k \in \mathbb{Z}\)는 ‘\(k\)는 정수이다’와 같은 말”이라고 읽는 법만 빌려 썼던 기호가 바로 이것이다 — 정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)에 \(k\)가 속한다는 뜻이었다.

예. \(A = \{1, 3, 5\}\)이면 \(3 \in A\)이고 \(2 \notin A\)이다. 중괄호 \(\{\ \}\)는 “이 목록을 하나의 집합으로 묶는다”는 표시이고, 이렇게 원소를 직접 나열하는 표기를 원소나열법이라 한다.

확인 2. \(\{1, 1, 2\}\)와 \(\{2, 1\}\)은 같은 집합인가. “같다/다르다”의 기준부터가

문제다 — 두 표기 각각에 대해 소속 질문(”\(1\)이 원소인가”, “\(2\)는”, “\(3\)은”)의

답을 적고 비교해 보자.

답

\(\{1, 1, 2\}\): 1은 원소다, 2도 원소다, 3은 아니다. \(\{2, 1\}\): 답이 완전히 같다.

집합이 가진 정보는 이런 소속 질문들의 답이 전부이므로, 두 집합은 같다.

여기서 두 성질이 따라 나온다 — 순서 무관(\(\{1,2,3\} = \{3,1,2\}\)),

중복 무의미(\(\{1,1,2\} = \{1,2\}\); 원소는 “있다/없다”만 의미가 있다).

방금 쓴 기준을 문장으로 굳힌다. 27주차 상등 증명까지 이 기준 하나로 간다.

집합의 상등 기준

두 집합이 같다는 것은 원소가 완전히 같다는 것이다. 표기가 어떻게 생겼는지,

어떤 순서로 적었는지, 몇 번 적었는지는 상등과 무관하다.

3 크기와 공집합#

정의 3.2 — 크기와 공집합 (cardinality, empty set)#

집합 \(A\)의 원소 개수를 크기(cardinality)라 하고 \(|A|\)로 쓴다.

원소가 하나도 없는 집합을 공집합(empty set)이라 하고 \(\emptyset\)로 쓴다. \(|\emptyset| = 0\).

\(|A|\)는 “에이의 크기”, \(\emptyset\)은 “공집합”으로 읽는다. 빈 모임에 이름까지 붙여 두는 이유는 곧 나온다 — §1.5에서 조건으로 집합을 만들다 보면 조건을 통과하는 원소가 하나도 없는 경우가 자연스럽게 생기고, 그때마다 “그런 집합은 없다”고 말하면 언어가 끊긴다. 빈 모임도 집합으로 인정해야 계산이 이어진다.

확인 3. \(|\{1, 1, 2\}|\)는 얼마인가. 확인 2의 결과를 쓴다.

답

\(2\)다. \(\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}\)이고 원소는 1과 2, 두 개다. 크기는 표기에 적힌

횟수가 아니라 원소의 개수를 센다.

4 수 체계 — 네 개의 무대#

이 과정 전체에서 반복해서 쓸 집합 네 개에는 표준 기호가 있다. \(\mathbb{Z}\)는 1주차부터 썼고, 나머지 셋을 여기서 갖춘다.

기호	이름	내용
\(\mathbb{N}\)	자연수 (natural numbers)	\(\{1, 2, 3, \dots\}\) ※ 이 과정에서는 0 제외
\(\mathbb{Z}\)	정수 (integers)	\(\{\dots, -1, 0, 1, \dots\}\)
\(\mathbb{Q}\)	유리수 (rational numbers)	정수를 0 아닌 정수로 나눈 분수 \(\frac{a}{b}\) 꼴로 쓸 수 있는 수 전부
\(\mathbb{R}\)	실수 (real numbers)	수직선 위의 모든 수 (유리수 + 무리수)

(\(\mathbb{N}\)에 0을 포함하는 책도 있다 — 약속의 문제이고, 이 과정은 제외한다. \(\mathbb{Q}\)의 조건을 기호로 적는 일은 §1.5 끝에서 완성한다.)

포함 관계: \(\mathbb{N}\)의 원소는 모두 \(\mathbb{Z}\)의 원소이고, \(\mathbb{Z}\)의 원소는 모두 \(\mathbb{Q}\)의 원소(\(n = \frac{n}{1}\))이며, \(\mathbb{Q}\)의 원소는 모두 \(\mathbb{R}\)의 원소다. (이 “모두 ~의 원소” 관계는 4주차에서 \(\subseteq\)로 정식화한다.)

확인 4. 다음 각 수가 속하는 무대를 표에서 전부 골라 보자: \(5\), \(-3\), \(\frac{1}{2}\).

답

\(5\): 넷 전부 — \(5 \in \mathbb{N}\)이고, 포함 관계에 따라 \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)에도

속한다 (\(\mathbb{Q}\) 소속의 근거는 \(5 = \frac{5}{1}\)).

\(-3\): \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) — 자연수는 1부터이므로 \(\mathbb{N}\)은 아니다.

\(\frac{1}{2}\): \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}\) — \(0 < \frac12 < 1\)이므로 정수가 아니다.

한 수가 여러 무대에 동시에 속하는 것이 정상이다 — 무대들은 겹쳐 있다.

5 조건제시법 — 규칙을 표기 안에 넣기#

§1.1의 미해결 과제로 돌아간다: 소속의 규칙을 표기 안에 넣는 쓰기법. 완성된 표기를 먼저 보이지 않고, 필요한 정보가 무엇인지부터 세어 보자. 모임 하나를 오해 없이 지목하려면 무엇을 말해야 하는가.

모임 (말)	후보를 가져올 무대	소속 조건
제곱이 10 미만인 정수 전부	\(\mathbb{Z}\)	\(x^2 < 10\)
12를 나누는 자연수 전부	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
제곱이 \(-1\)인 실수 전부	\(\mathbb{R}\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 5. 표의 빈칸 (1)(2)(3)을 채워 보자. 조건은 문자 \(x\)에 대한 식으로

적는다. ((2)에는 2주차의 기호가 다시 나온다.)

답

(1) \(\mathbb{N}\) (2) \(x \mid 12\) (3) \(x^2 = -1\).

세 줄 모두 정보 딱 두 개 — 무대와 조건 — 로 모임이 결정된다.

“\(\dots\)”가 하지 못하던 일이 이 두 정보로 된다: 어떤 수를 가져와도 소속

여부를 표기만 보고 판정할 수 있다.

이 두 정보를 괄호 하나에 넣는 표기에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표의 두 열을 콜론으로 이어 붙였을 뿐이다.

정의 3.3 — 조건제시법 (set-builder notation) [백지 암기 대상]#

\[ \{ x \in S : P(x) \} \]

집합 \(S\)의 원소 \(x\) 중에서, 조건 \(P(x)\)를 만족하는 것 전부를 모은 집합이다.

콜론(:)은 “~중에서 ~인”으로 읽는다. 표의 첫 줄이면 \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}\) — “정수 \(x\) 중에서 제곱이 10 미만인 것 전부”. (책에 따라 콜론 대신 세로 막대를 쓰기도 한다: \(\{x \mid P(x)\}\). 뜻은 같다.)

이 표기는 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 하는 일이 다르다.

조각	하는 일	판정에서의 역할
\(\{\ \}\)	결과가 집합임을 선언	이 표기 전체는 수가 아니라 집합 하나다
\(x \in S\)	무대 지정 — 후보의 출처	무대 밖의 것은 조건을 볼 것도 없이 탈락한다
\(:\)	무대와 조건의 구분	왼쪽 = 후보, 오른쪽 = 심사 기준
\(P(x)\)	소속 조건	후보 중 조건을 통과한 것만 원소가 된다

조각 삭제 실험. 무대 조각을 지워 \(\{x : x^2 < 10\}\)로 적으면 어떻게 되는가.

확인 6. \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}\)과 \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 10\}\)의

원소를 각각 묘사해 보자. 앞의 것은 나열로, 뒤의 것은 나열이 되는지부터.

답

\(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) — 원소 7개.

\(\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 10\}\)은 \(-\sqrt{10}\)과 \(\sqrt{10}\) 사이의 실수 전부 —

\(0.1\)도 \(\sqrt{2}\)도 \(-3.14\)도 원소여서 나열이 되지 않는다.

같은 조건인데 무대가 바뀌자 완전히 다른 집합이 나왔다. 무대 조각을 지운

\(\{x : x^2 < 10\}\)은 이 둘 중 어느 것인지 표기가 말해 주지 않는다 — §1.1의

“\(\dots\)” 문제가 재발한다. 무대 조각이 지는 하중이 이것이다.

소속 판정은 두 단계다. 정의 3.3을 판정 절차로 다시 읽으면: \(a \in \{x \in S : P(x)\}\)인지는 ① \(a \in S\)인가(무대 검사) ② \(P(a)\)가 참인가(조건 검사) — 두 검사의 통과 여부로 정해진다.

확인 7. \(-3\)과 \(\frac{1}{2}\)가 각각 \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}\)의

원소인지, 두 단계 검사로 판정해 보자.

답

\(-3\): ① \(-3 \in \mathbb{Z}\) — 통과 ② \((-3)^2 = 9 < 10\) — 통과. 원소다.

\(\frac{1}{2}\): ① \(\frac12 \notin \mathbb{Z}\) — 무대에서 탈락.

\(\left(\frac12\right)^2 = \frac14 < 10\)으로 조건 쪽은 만족하지만, 무대 검사를

통과하지 못한 후보에게 조건 검사 차례는 오지 않는다. 원소가 아니다.

읽기 훈련. 왼쪽을 가리고 오른쪽에서 복원하거나, 오른쪽을 가리고 왼쪽을 읽는다.

표기	읽기	나열
\(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}\)	제곱이 10 미만인 정수 전부	\(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\)
\(\{x \in \mathbb{N} : x^2 < 10\}\)	제곱이 10 미만인 자연수 전부	\(\{1, 2, 3\}\)
\(\{x \in \mathbb{R} : x^2 = -1\}\)	제곱이 \(-1\)인 실수 전부	\(= \emptyset\) (그런 실수는 없다)

마지막 줄이 §1.3에서 예고한 경우다 — 조건을 통과한 원소가 하나도 없으면 결과는 공집합이고, 공집합도 정상적인 집합이다.

콜론 왼쪽에 식이 오면 — 생성형. 지금까지 콜론 왼쪽은 변수 하나(\(x \in S\))였다. 왼쪽에 식을 두는 변형이 있다:

\[ \{2k : k \in \mathbb{Z}\} \]

읽는 법: “\(k\)가 정수 전체를 훑을 때, \(2k\)로 만들어지는 값 전부”. 오른쪽이 재료의 범위, 왼쪽이 만드는 식이다.

확인 8. \(\{2k : k \in \mathbb{Z}\}\)의 원소를 몇 개 적어 보자 (\(k = -1, 0, 1, 2\)를

넣는다). 이 집합의 정체는 1주차의 어떤 정의와 같은가.

답

\(-2, 0, 2, 4\) — 짝수들이 나온다. 이 집합의 원소라는 것은 “그 수가 \(2k\)인 정수

\(k\)가 존재한다”는 것이고, 이는 정의 1.1(짝수) 그대로다 — 짝수 전체의 집합이다.

같은 이유로 \(\{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)는 홀수 전체 — 정의 1.2와 정확히 같다.

1~2주차의 정의들이 집합 표기 하나로 압축된다.

두 형태를 구분해 부른다.

조건형 \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 4\}\) — 걸러내기. 무대의 원소 중

조건을 통과한 것만 남긴다. \(= \{-2, -1, 0, 1, 2\}\).

생성형 \(\{x^2 : x \in \mathbb{Z},\ x^2 \le 4\}\) 유형 — 만들어내기.

콜론 오른쪽 범위의 \(x\)를 왼쪽 식에 넣어 나온 결과들을 모은다. \(\{x^2 : x \in \{-2, \dots, 2\}\} = \{0, 1, 4\}\).

같은 무대(\(\mathbb{Z}\)), 같은 조건이라도 콜론 왼쪽이 무엇이냐에 따라 집합이 완전히 달라진다 — 위의 조건형은 원소가 5개, 생성형은 3개다.

확인 9. 두 집합의 크기가 5와 3으로 다른 이유를 생성형 쪽 계산으로 설명해

보자. \(x = -2, -1, 0, 1, 2\) 다섯 개를 넣는데 왜 원소는 3개인가.

답

제곱값은 \(4, 1, 0, 1, 4\) — 다섯 번 계산했지만 값은 \(0, 1, 4\) 세 가지다.

\((-2)^2\)과 \(2^2\)이 같은 값 4를 만들고, 집합은 중복을 세지 않는다(§1.2).

생성 횟수와 원소 개수는 다를 수 있다 — 문제 10, 11이 이 지점을 겨냥한다.

빚 회수 — \(\mathbb{Q}\)의 정의. §1.4에서 말로 적어 둔 유리수의 조건 — “정수를 0 아닌 정수로 나눈 분수 꼴” — 을 이제 기호로 완성할 수 있다.

확인 10. \(\mathbb{Q}\)를 생성형으로 적어 보자. 만드는 식 \(\frac{a}{b}\)는 §1.4 표에

이미 있다 — 하중이 실리는 곳은 콜론 오른쪽이다. 재료의 범위와 조건을 채운다:

\(\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a, b \in \underline{\quad(1)\quad},\ \underline{\quad(2)\quad} \right\}\)

답

\(\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}\) —

“정수 \(a\)와 0 아닌 정수 \(b\)로 만드는 분수 \(\frac{a}{b}\) 전부”. 재료가 두 문자인

생성형이고, 콜론 오른쪽에 조건이 쉼표로 하나 더 붙었다(“그리고”로 읽는다).

\(b \neq 0\) 조각을 지우면 \(\frac{a}{0}\)이 허용되어 정의가 무너진다 — 앞의

조각 삭제 실험이 여기서도 작동한다.

백지 암기 대상

암기 — 수 체계와 \(\mathbb{Q}\)의 정의

§1.4 표의 네 기호와 뜻, 그리고 \(\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}\)은

백지 재현(§5)의 대상이다. 4주차 준비 운동에서 바로 쓴다.

6 집합을 원소로 갖는 집합#

집합은 그 자체로 하나의 대상이다. 대상이면 다른 집합의 원소가 될 수 있다 — 여기서 이번 주의 마지막 함정이 나온다.

\[ B = \{\{1\},\ \{1, 2\},\ 3\} \]

\(B\)의 원소 목록은 세 항목이다: \(\{1\}\), \(\{1, 2\}\), \(3\). 따라서 \(|B| = 3\).

확인 11. \(\{1\} \in B\)와 \(1 \in B\)를 각각 판정해 보자. 판정 기준은 하나다 —

후보가 원소 목록에 통째로 있는가.

답

\(\{1\} \in B\) — 참. 목록의 첫 항목이 정확히 \(\{1\}\)이다.

\(1 \in B\) — 거짓. 목록의 세 항목 \(\{1\}\), \(\{1,2\}\), \(3\) 중 어느 것도 숫자 1이

아니다. 1은 원소 \(\{1\}\)의 내부에 있을 뿐이고, 소속 판정은 내부를 열어

보지 않는다.

이 판정법을 한 겹 규칙이라 부르기로 한다: \(\in\) 판정은 최상위 한 겹의

목록과 후보를 통째로 대조한다. (4주차에서 \(\subseteq\)와의 구분에 이 규칙이

계속 쓰인다.)

같은 규칙으로 \(\emptyset\)과 \(\{\emptyset\}\)이 구분된다.

확인 12. \(|\emptyset|\)과 \(|\{\emptyset\}|\)을 각각 구해 보자. 두 집합은 같은가.

답

\(|\emptyset| = 0\) — 원소가 없다. \(|\{\emptyset\}| = 1\) — 원소 목록에 \(\emptyset\)이라는

항목이 하나 있다. 크기가 다르므로 상등 기준에 의해 두 집합은 다르다.

“원소가 없는 집합”과 “원소가 없는 집합을 원소로 갖는 집합”은 다른 대상이다.

7 근거 목록 — 갱신 없음#

이번 주는 새 근거를 추가하지 않는다. 근거 ①~④(① 정의 ② 닫힘성 ③ 등식의 성질 ④ 이미 증명한 명제)는 1~2주차 그대로이고, 근거 ①에서 꺼내 쓸 정의가 셋(정의 3.1~3.3) 늘었을 뿐이다. 문제 16에서 정의 2.1과 정의 3.3을 함께 꺼내 쓰는 첫 연습을 한다.