# 3주차 — 집합의 기초 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 집합 하나는 무대와 조건, 두 정보로 결정된다 — $\{x \in S : P(x)\}$는 "$S$의 원소 중 $P(x)$를 만족하는 것 전부"로 읽는다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 3주차. 1~2주차 증명에 계속 나온 "정수 $k$가 존재한다"의 무대인 집합을 정식 언어로 만든다(고1 '집합' 단원의 재건축). 4주차($\subseteq$)와 27주차(상등 증명)의 재료다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 1.1, 1.9 — 병행자 참고용이고, 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. $\in$, $\notin$, 원소나열법, 조건제시법(set-builder notation)을 읽고 쓴다. 1. $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$의 정의와 포함 관계를 안다. 1. $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{\{1\}, 2\}$ 같은 집합을 원소로 갖는 집합의 소속과 크기를 정확히 판정한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (2주차 복습) 1. $a \mid b$의 정의를 백지에 쓰시오. 1. $a \mid b$이고 $b \mid c$이면 $a \mid c$임을 안 보고 증명하시오. 1. "$a \mid bc$이면 $a \mid b$ 또는 $a \mid c$이다"는 거짓이다. 반례를 하나 쓰시오. 답의 대조는 2주차로 돌아가서 한다 — 차례로 정의 2.1, 예제 2.1, 문제 15다. ### 자주 나오는 세 가지 답 위 세 문항에서 자주 나오는 답은 다음 유형이다. 각각 옳은 부분이 있고, 메워야 할 간격도 정확히 지목할 수 있다. - **유형 1 — 말 정의.** 1번에 "$b$를 $a$로 나누면 나누어떨어진다는 뜻"이라 적는다. 뜻으로는 옳다. 문제는 이것이 아직 등식이 아니라는 것이다(1주차 §1.1과 같은 간격) — 증명에서 계산을 시작하려면 "$b = ac$인 정수 $c$가 존재한다"까지 내려가야 한다. - **유형 2 — 문자 재사용.** 2번에서 $b = ak$, $c = bk$처럼 두 가정에 같은 문자를 쓴다. 정의를 풀 생각까지는 옳다. 간격은 문자 배정이다 — 서로 다른 가정에는 서로 다른 문자를 써야 하고(1주차 문제 6에서 해부한 오류), 같은 문자를 쓰면 두 가정 사이에 없던 관계를 몰래 추가한 것이 된다. - **유형 3 — 반례의 요건 누락.** 3번에 가정 $a \mid bc$부터 거짓인 예(예: $a = 4$, $b = 2$, $c = 3$ — $4 \nmid 6$)를 적는다. 결론이 깨지는 예를 찾으려는 방향은 옳다. 간격은 반례의 요건이다 — 반례는 **가정이 참이면서 결론이 거짓**인 예여야 한다. 2주차 문제 15의 $a = 6$, $b = 4$, $c = 9$가 그 요건을 갖춘 예다. ## 개념 — 집합의 언어 ### 1 "…"로 적으면 어디서 막히는가 1주차와 2주차의 증명 곳곳에 "정수 $k$가 존재한다"가 나왔다. 여기서 "정수"는 수 하나가 아니라 수들의 모임이고, 지금까지는 그 모임을 매번 말로 불러 왔다. 이번 주는 모임 자체를 다루는 표기를 세운다. 먼저 지금 가진 도구 — 말과 나열 — 로 밀어붙여 보자. "12의 양의 약수 전부"는 나열로 끝난다: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. 모임이 유한하고 짧으면 나열로 충분하다. 이번에는 짝수 전부를 적어 보자: $2, 4, 6, 8, \dots$ 쓰다 보면 두 가지가 걸린다. 0과 음수 짝수는 이 나열의 어디에 있는가. 그리고 "$\dots$"는 정확히 어떤 규칙으로 이어지는가. :::{container} quotebox **확인 1.** 나열 $3, 5, 7, \dots$의 다음 수는 무엇인가. 답이 하나로 정해지는지부터 생각해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 정해지지 않는다. "3 이상의 홀수"로 읽으면 다음은 9이고, "홀수인 소수"로 읽으면 다음은 11이다. 두 독법 모두 앞의 세 수와 모순이 없다. "$\dots$"는 규칙을 표기 밖 — 읽는 사람의 추측 — 에 두기 때문에, 무한한 모임을 지목하는 표기로는 불완전하다. ::: 필요한 것이 두 가지로 정리된다. - 모임을 하나의 대상으로 다루는 **이름과 소속 기호** — §1.2에서 세운다. - 소속의 **규칙을 표기 안에** 명시하는 쓰기법 — §1.5에서 세운다. ### 2 집합과 원소 — 이름 붙이기 모임에 정식 이름을 붙인다. 새로운 발상은 없다 — 지금까지 "모임", "전부"라고 부르던 것에 낱말과 기호를 주는 것뿐이다. ### 정의 3.1 — 집합과 원소 (set, element) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox **집합**(set)은 대상들의 모임이며, 그 대상 하나하나를 **원소**(element)라 한다. $x$가 집합 $A$의 원소이면 $x \in A$, 아니면 $x \notin A$로 쓴다. ::: $x \in A$는 "엑스는 에이의 원소이다" 또는 "엑스는 에이에 속한다"로 읽는다. $x \notin A$는 "$x$는 $A$의 원소가 아니다"로 읽는다. 1주차 표기 상자에서 "$k \in \mathbb{Z}$는 '$k$는 정수이다'와 같은 말"이라고 읽는 법만 빌려 썼던 기호가 바로 이것이다 — 정수 전체의 집합 $\mathbb{Z}$에 $k$가 속한다는 뜻이었다. **예.** $A = \{1, 3, 5\}$이면 $3 \in A$이고 $2 \notin A$이다. 중괄호 $\{\ \}$는 "이 목록을 하나의 집합으로 묶는다"는 표시이고, 이렇게 원소를 직접 나열하는 표기를 **원소나열법**이라 한다. :::{container} quotebox **확인 2.** $\{1, 1, 2\}$와 $\{2, 1\}$은 같은 집합인가. "같다/다르다"의 기준부터가 문제다 — 두 표기 각각에 대해 소속 질문("$1$이 원소인가", "$2$는", "$3$은")의 답을 적고 비교해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\{1, 1, 2\}$: 1은 원소다, 2도 원소다, 3은 아니다. $\{2, 1\}$: 답이 완전히 같다. 집합이 가진 정보는 이런 소속 질문들의 답이 전부이므로, 두 집합은 같다. 여기서 두 성질이 따라 나온다 — **순서 무관**($\{1,2,3\} = \{3,1,2\}$), **중복 무의미**($\{1,1,2\} = \{1,2\}$; 원소는 "있다/없다"만 의미가 있다). ::: 방금 쓴 기준을 문장으로 굳힌다. 27주차 상등 증명까지 이 기준 하나로 간다. :::{admonition} 집합의 상등 기준 :class: quotebox 두 집합이 같다는 것은 **원소가 완전히 같다**는 것이다. 표기가 어떻게 생겼는지, 어떤 순서로 적었는지, 몇 번 적었는지는 상등과 무관하다. ::: ### 3 크기와 공집합 ### 정의 3.2 — 크기와 공집합 (cardinality, empty set) :::{container} quotebox 집합 $A$의 원소 개수를 **크기**(cardinality)라 하고 $|A|$로 쓴다. 원소가 하나도 없는 집합을 **공집합**(empty set)이라 하고 $\emptyset$로 쓴다. $|\emptyset| = 0$. ::: $|A|$는 "에이의 크기", $\emptyset$은 "공집합"으로 읽는다. 빈 모임에 이름까지 붙여 두는 이유는 곧 나온다 — §1.5에서 조건으로 집합을 만들다 보면 조건을 통과하는 원소가 하나도 없는 경우가 자연스럽게 생기고, 그때마다 "그런 집합은 없다"고 말하면 언어가 끊긴다. 빈 모임도 집합으로 인정해야 계산이 이어진다. :::{container} quotebox **확인 3.** $|\{1, 1, 2\}|$는 얼마인가. 확인 2의 결과를 쓴다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $2$다. $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$이고 원소는 1과 2, 두 개다. 크기는 표기에 적힌 횟수가 아니라 **원소**의 개수를 센다. ::: ### 4 수 체계 — 네 개의 무대 이 과정 전체에서 반복해서 쓸 집합 네 개에는 표준 기호가 있다. $\mathbb{Z}$는 1주차부터 썼고, 나머지 셋을 여기서 갖춘다. | **기호** | **이름** | **내용** | |---|---|---| | $\mathbb{N}$ | 자연수 (natural numbers) | $\{1, 2, 3, \dots\}$ ※ 이 과정에서는 0 제외 | | $\mathbb{Z}$ | 정수 (integers) | $\{\dots, -1, 0, 1, \dots\}$ | | $\mathbb{Q}$ | 유리수 (rational numbers) | 정수를 0 아닌 정수로 나눈 분수 $\frac{a}{b}$ 꼴로 쓸 수 있는 수 전부 | | $\mathbb{R}$ | 실수 (real numbers) | 수직선 위의 모든 수 (유리수 + 무리수) | ($\mathbb{N}$에 0을 포함하는 책도 있다 — 약속의 문제이고, 이 과정은 제외한다. $\mathbb{Q}$의 조건을 기호로 적는 일은 §1.5 끝에서 완성한다.) 포함 관계: $\mathbb{N}$의 원소는 모두 $\mathbb{Z}$의 원소이고, $\mathbb{Z}$의 원소는 모두 $\mathbb{Q}$의 원소($n = \frac{n}{1}$)이며, $\mathbb{Q}$의 원소는 모두 $\mathbb{R}$의 원소다. (이 "모두 ~의 원소" 관계는 4주차에서 $\subseteq$로 정식화한다.) :::{container} quotebox **확인 4.** 다음 각 수가 속하는 무대를 표에서 전부 골라 보자: $5$, $-3$, $\frac{1}{2}$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $5$: 넷 전부 — $5 \in \mathbb{N}$이고, 포함 관계에 따라 $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$에도 속한다 ($\mathbb{Q}$ 소속의 근거는 $5 = \frac{5}{1}$). $-3$: $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ — 자연수는 1부터이므로 $\mathbb{N}$은 아니다. $\frac{1}{2}$: $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ — $0 < \frac12 < 1$이므로 정수가 아니다. 한 수가 여러 무대에 동시에 속하는 것이 정상이다 — 무대들은 겹쳐 있다. ::: ### 5 조건제시법 — 규칙을 표기 안에 넣기 §1.1의 미해결 과제로 돌아간다: 소속의 규칙을 표기 안에 넣는 쓰기법. 완성된 표기를 먼저 보이지 않고, 필요한 정보가 무엇인지부터 세어 보자. 모임 하나를 오해 없이 지목하려면 무엇을 말해야 하는가. | **모임 (말)** | **후보를 가져올 무대** | **소속 조건** | |---|---|---| | 제곱이 10 미만인 정수 전부 | $\mathbb{Z}$ | $x^2 < 10$ | | 12를 나누는 자연수 전부 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | 제곱이 $-1$인 실수 전부 | $\mathbb{R}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 5.** 표의 빈칸 (1)(2)(3)을 채워 보자. 조건은 문자 $x$에 대한 식으로 적는다. ((2)에는 2주차의 기호가 다시 나온다.) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\mathbb{N}$ (2) $x \mid 12$ (3) $x^2 = -1$. 세 줄 모두 정보 딱 두 개 — **무대**와 **조건** — 로 모임이 결정된다. "$\dots$"가 하지 못하던 일이 이 두 정보로 된다: 어떤 수를 가져와도 소속 여부를 표기만 보고 판정할 수 있다. ::: 이 두 정보를 괄호 하나에 넣는 표기에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표의 두 열을 콜론으로 이어 붙였을 뿐이다. ### 정의 3.3 — 조건제시법 (set-builder notation) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $$ \{ x \in S : P(x) \} $$ 집합 $S$의 원소 $x$ 중에서, 조건 $P(x)$를 만족하는 것 전부를 모은 집합이다. ::: 콜론(:)은 "~중에서 ~인"으로 읽는다. 표의 첫 줄이면 $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}$ — "정수 $x$ 중에서 제곱이 10 미만인 것 전부". (책에 따라 콜론 대신 세로 막대를 쓰기도 한다: $\{x \mid P(x)\}$. 뜻은 같다.) 이 표기는 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 하는 일이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | $\{\ \}$ | 결과가 집합임을 선언 | 이 표기 전체는 수가 아니라 집합 하나다 | | $x \in S$ | 무대 지정 — 후보의 출처 | 무대 밖의 것은 조건을 볼 것도 없이 탈락한다 | | $:$ | 무대와 조건의 구분 | 왼쪽 = 후보, 오른쪽 = 심사 기준 | | $P(x)$ | 소속 조건 | 후보 중 조건을 통과한 것만 원소가 된다 | **조각 삭제 실험.** 무대 조각을 지워 $\{x : x^2 < 10\}$로 적으면 어떻게 되는가. :::{container} quotebox **확인 6.** $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}$과 $\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 10\}$의 원소를 각각 묘사해 보자. 앞의 것은 나열로, 뒤의 것은 나열이 되는지부터. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ — 원소 7개. $\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 10\}$은 $-\sqrt{10}$과 $\sqrt{10}$ 사이의 실수 전부 — $0.1$도 $\sqrt{2}$도 $-3.14$도 원소여서 나열이 되지 않는다. 같은 조건인데 무대가 바뀌자 완전히 다른 집합이 나왔다. 무대 조각을 지운 $\{x : x^2 < 10\}$은 이 둘 중 어느 것인지 표기가 말해 주지 않는다 — §1.1의 "$\dots$" 문제가 재발한다. 무대 조각이 지는 하중이 이것이다. ::: **소속 판정은 두 단계다.** 정의 3.3을 판정 절차로 다시 읽으면: $a \in \{x \in S : P(x)\}$인지는 ① $a \in S$인가(무대 검사) ② $P(a)$가 참인가(조건 검사) — 두 검사의 통과 여부로 정해진다. :::{container} quotebox **확인 7.** $-3$과 $\frac{1}{2}$가 각각 $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}$의 원소인지, 두 단계 검사로 판정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $-3$: ① $-3 \in \mathbb{Z}$ — 통과 ② $(-3)^2 = 9 < 10$ — 통과. 원소다. $\frac{1}{2}$: ① $\frac12 \notin \mathbb{Z}$ — 무대에서 탈락. $\left(\frac12\right)^2 = \frac14 < 10$으로 조건 쪽은 만족하지만, 무대 검사를 통과하지 못한 후보에게 조건 검사 차례는 오지 않는다. 원소가 아니다. ::: **읽기 훈련.** 왼쪽을 가리고 오른쪽에서 복원하거나, 오른쪽을 가리고 왼쪽을 읽는다. | **표기** | **읽기** | **나열** | |---|---|---| | $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}$ | 제곱이 10 미만인 정수 전부 | $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ | | $\{x \in \mathbb{N} : x^2 < 10\}$ | 제곱이 10 미만인 자연수 전부 | $\{1, 2, 3\}$ | | $\{x \in \mathbb{R} : x^2 = -1\}$ | 제곱이 $-1$인 실수 전부 | $= \emptyset$ (그런 실수는 없다) | 마지막 줄이 §1.3에서 예고한 경우다 — 조건을 통과한 원소가 하나도 없으면 결과는 공집합이고, 공집합도 정상적인 집합이다. **콜론 왼쪽에 식이 오면 — 생성형.** 지금까지 콜론 왼쪽은 변수 하나($x \in S$)였다. 왼쪽에 식을 두는 변형이 있다: $$ \{2k : k \in \mathbb{Z}\} $$ 읽는 법: "$k$가 정수 전체를 훑을 때, $2k$로 만들어지는 값 전부". 오른쪽이 재료의 범위, 왼쪽이 만드는 식이다. :::{container} quotebox **확인 8.** $\{2k : k \in \mathbb{Z}\}$의 원소를 몇 개 적어 보자 ($k = -1, 0, 1, 2$를 넣는다). 이 집합의 정체는 1주차의 어떤 정의와 같은가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $-2, 0, 2, 4$ — 짝수들이 나온다. 이 집합의 원소라는 것은 "그 수가 $2k$인 정수 $k$가 존재한다"는 것이고, 이는 정의 1.1(짝수) 그대로다 — 짝수 전체의 집합이다. 같은 이유로 $\{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$는 홀수 전체 — 정의 1.2와 정확히 같다. 1~2주차의 정의들이 집합 표기 하나로 압축된다. ::: 두 형태를 구분해 부른다. - **조건형** $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 4\}$ — **걸러내기**. 무대의 원소 중 조건을 통과한 것만 남긴다. $= \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. - **생성형** $\{x^2 : x \in \mathbb{Z},\ x^2 \le 4\}$ 유형 — **만들어내기**. 콜론 오른쪽 범위의 $x$를 왼쪽 식에 넣어 나온 결과들을 모은다. $\{x^2 : x \in \{-2, \dots, 2\}\} = \{0, 1, 4\}$. 같은 무대($\mathbb{Z}$), 같은 조건이라도 콜론 왼쪽이 무엇이냐에 따라 집합이 완전히 달라진다 — 위의 조건형은 원소가 5개, 생성형은 3개다. :::{container} quotebox **확인 9.** 두 집합의 크기가 5와 3으로 다른 이유를 생성형 쪽 계산으로 설명해 보자. $x = -2, -1, 0, 1, 2$ 다섯 개를 넣는데 왜 원소는 3개인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 제곱값은 $4, 1, 0, 1, 4$ — 다섯 번 계산했지만 값은 $0, 1, 4$ 세 가지다. $(-2)^2$과 $2^2$이 같은 값 4를 만들고, 집합은 중복을 세지 않는다(§1.2). 생성 횟수와 원소 개수는 다를 수 있다 — 문제 10, 11이 이 지점을 겨냥한다. ::: **빚 회수 — $\mathbb{Q}$의 정의.** §1.4에서 말로 적어 둔 유리수의 조건 — "정수를 0 아닌 정수로 나눈 분수 꼴" — 을 이제 기호로 완성할 수 있다. :::{container} quotebox **확인 10.** $\mathbb{Q}$를 생성형으로 적어 보자. 만드는 식 $\frac{a}{b}$는 §1.4 표에 이미 있다 — 하중이 실리는 곳은 콜론 오른쪽이다. 재료의 범위와 조건을 채운다: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a, b \in \underline{\quad(1)\quad},\ \underline{\quad(2)\quad} \right\}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}$ — "정수 $a$와 0 아닌 정수 $b$로 만드는 분수 $\frac{a}{b}$ 전부". 재료가 두 문자인 생성형이고, 콜론 오른쪽에 조건이 쉼표로 하나 더 붙었다("그리고"로 읽는다). $b \neq 0$ 조각을 지우면 $\frac{a}{0}$이 허용되어 정의가 무너진다 — 앞의 조각 삭제 실험이 여기서도 작동한다. ::: :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **암기 — 수 체계와 $\mathbb{Q}$의 정의** §1.4 표의 네 기호와 뜻, 그리고 $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}$은 백지 재현(§5)의 대상이다. 4주차 준비 운동에서 바로 쓴다. ::: ### 6 집합을 원소로 갖는 집합 집합은 그 자체로 하나의 대상이다. 대상이면 다른 집합의 원소가 될 수 있다 — 여기서 이번 주의 마지막 함정이 나온다. $$ B = \{\{1\},\ \{1, 2\},\ 3\} $$ $B$의 원소 목록은 세 항목이다: $\{1\}$, $\{1, 2\}$, $3$. 따라서 $|B| = 3$. :::{container} quotebox **확인 11.** $\{1\} \in B$와 $1 \in B$를 각각 판정해 보자. 판정 기준은 하나다 — 후보가 원소 **목록에 통째로** 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\{1\} \in B$ — 참. 목록의 첫 항목이 정확히 $\{1\}$이다. $1 \in B$ — 거짓. 목록의 세 항목 $\{1\}$, $\{1,2\}$, $3$ 중 어느 것도 숫자 1이 아니다. 1은 원소 $\{1\}$의 **내부**에 있을 뿐이고, 소속 판정은 내부를 열어 보지 않는다. 이 판정법을 **한 겹 규칙**이라 부르기로 한다: $\in$ 판정은 최상위 한 겹의 목록과 후보를 통째로 대조한다. (4주차에서 $\subseteq$와의 구분에 이 규칙이 계속 쓰인다.) ::: 같은 규칙으로 $\emptyset$과 $\{\emptyset\}$이 구분된다. :::{container} quotebox **확인 12.** $|\emptyset|$과 $|\{\emptyset\}|$을 각각 구해 보자. 두 집합은 같은가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $|\emptyset| = 0$ — 원소가 없다. $|\{\emptyset\}| = 1$ — 원소 목록에 $\emptyset$이라는 항목이 하나 있다. 크기가 다르므로 상등 기준에 의해 두 집합은 다르다. "원소가 없는 집합"과 "원소가 없는 집합을 **원소로 갖는** 집합"은 다른 대상이다. ::: ### 7 근거 목록 — 갱신 없음 이번 주는 새 근거를 추가하지 않는다. 근거 ①~④(① 정의 ② 닫힘성 ③ 등식의 성질 ④ 이미 증명한 명제)는 1~2주차 그대로이고, 근거 ①에서 꺼내 쓸 정의가 셋(정의 3.1~3.3) 늘었을 뿐이다. 문제 16에서 정의 2.1과 정의 3.3을 함께 꺼내 쓰는 첫 연습을 한다.