S8주차 — 중첩 양화사: 겹겹의 ∀∃를 바깥부터 벗기기

이 주의 길잡이

핵심 문장: 겹구조에는 새 기법이 없다 — 가장 바깥 양화사 하나만 네 칸 표로 처리하고, 남은 안쪽을 한 겹 줄어든 새 문제로 삼아 같은 일을 반복한다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S8주차이자 양화사 4부작의 마지막 주. S5주차(결론의 \(\exists\))\(\cdot\)S6주차(결론의 \(\forall\))\(\cdot\)S7주차(가정의 \(\forall\))에서 한 겹짜리 기법을 하나씩 익혔고, 이번 주는 그 넷을 겹친 문장에 순서대로 적용한다. 1권 10주차에서 “순서가 바뀌면 뜻이 바뀐다”로 읽기만 했던 \(\forall x \exists y\)와, 1권 45주차에서 서식으로 외운 \(\varepsilon\)-N 증명의 첫 세 문장이 여기서 하나의 절차로 묶인다.

원서 대응: Solow 7장. 주간 루틴 1일차에 원서 7장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표

1. 중첩 양화사 처리의 규칙 — 가장 왼쪽 것부터 한 번에 한 겹씩 — 을 절차로 쓰고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 말할 수 있다.

2. 순서가 뜻을 바꾼다는 것을 증명 수준에서 다룬다: \(\forall x \exists y\)와 \(\exists y \forall x\)의 차이를 의존성의 문법(맞춤 증인 / 만능 증인)으로 설명한다.

3. \(\varepsilon\)-N 증명을 서식 암기가 아니라 네 칸 표의 세 번 연속 적용으로 재유도한다.

4. 가정 쪽 겹구조의 사용(특수화 \(\to\) 수령 \(\to\) 특수화)과, 한 방향 교환 정리(\(\exists\forall \Rightarrow \forall\exists\))를 익힌다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S7주차 복습)

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

1. 네 칸 표(양화사의 위치 \(\times\) \(\forall\)\(\cdot\)\(\exists\))의 네 칸을 기법 이름\(\cdot\)첫 문장\(\cdot\)값을 고르는 쪽까지 재현하시오.

2. 특수화 서식 세 걸음(조준 \(\cdot\) 자격 검증 \(\cdot\) 수령)을 쓰고, 자격 검증을 빠뜨린 특수화가 왜 사고인지 한 줄로 쓰시오 (S7주차 예제 2.3).

3. 1권 10주차에서 \(\forall x \exists y\)와 \(\exists y \forall x\)가 다른 명제라고 배웠다. 그 차이를 예 하나로 재현하시오.

이어서 다음 과제를 해 보자. 명제 “\(\dfrac1n \to 0\)”의 증명에서 본체 계산을 시작하기 전까지의 문장, 곧 첫 세 문장을 적어 보자.

자주 나오는 세 가지 답

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 1권 45주차와 S5~S7주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 서식을 통째로 재생한다. “\(\varepsilon > 0\)을 임의로 잡자. \(N = \lceil \frac1\varepsilon \rceil\)로

두자. \(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자.” 세 문장 모두 옳고, 순서도 옳다. 빠진 것은 이 순서가 어디서 나왔는지 대답할 문장이다. 순서를 근거 없이 외운 상태에서는 낯선 정의(균등연속, 코시 수열)를 만났을 때 첫 문장을 새로 만들 수 없다.

• 유형 2 — 한 겹에서 멈춘다. “\(\varepsilon > 0\)을 임의로 잡자.”까지 적고 다음 줄이 나오지

않는다. 첫 문장은 정확히 옳다 — S6주차의 선택법이 지시하는 그대로다. 문제는 그 문장을 쓴 뒤에 남는 것이 여전히 양화사가 붙은 문장이라는 것이고, 한 겹짜리 기법을 한 번 쓴 것만으로는 그 사실이 보이지 않는다. 이번 주 §1.1이 정확히 이 멈춤을 다룬다.

• 유형 3 — 문턱을 먼저 정한다. “\(N = 1000\)으로 두자. \(\varepsilon > 0\)을 임의로 잡자.”

두 문장 다 각각은 정상적인 문장이고, 큰 \(N\)을 잡으면 오차가 작아진다는 직관도 옳다. 간격은 순서에 있다. 이 순서로 쓰면 증명한 명제 자체가 달라진다는 것 — 무엇으로 달라지는지는 §1.3의 삭제 실험과 문제 11에서 정확히 짚는다.

개념 — 중첩 양화사

1 한 겹짜리 기법만으로는 어디서 막히는가

새 규칙을 세우기 전에, S5~S7주차의 도구만으로 두 겹 명제를 밀어붙여 본다.

명제 (연습 대상)

모든 실수 \(x\)에 대해, \(x + y = 0\)인 실수 \(y\)가 존재한다.

이 결론에는 양화사가 둘 있다. 하나는 전칭(“모든 실수 \(x\)에 대해”), 하나는 존재 (“실수 \(y\)가 존재한다”)다. 각각에 대응하는 기법은 이미 있다 — 결론의 \(\forall\)는 선택법(S6주차), 결론의 \(\exists\)는 구성법(S5주차). 문제는 어느 것을 먼저 쓰느냐다.

시도 A — 구성법을 먼저

결론에 존재 진술이 있으므로 증인부터 제시한다.

“\(y = \underline{\quad}\)으로 두자.”

여기서 멈춘다. 빈칸에 적을 식이 없다. 후보로 떠오르는 것은 \(-x\)인데, 지금 이

문장을 쓰는 시점의 무대에는 \(x\)라는 문자가 아직 올라와 있지 않다.

시도 B — 선택법을 먼저

“실수 \(x\)를 임의로 잡자.”

여기까지는 문제가 없다. 그런데 이 문장을 쓰고 남은 결론은

“\(x + y = 0\)인 실수 \(y\)가 존재한다”로, 여전히 양화사가 붙은 문장이다.

S6주차의 절차는 걸음 ④(임의성에 근거한 마무리 선언)까지 다 돌았는데 증명은

끝나지 않았다.

확인 1. 두 시도가 멈춘 이유는 서로 다르다. 각각 한 문장으로 적어 보자. 그리고 두 시도를 합쳐 증명을 완성하려면 무엇이 더 필요한지 적어 보자.

답

시도 A는 순서가 틀려서 멈췄다. 증인 \(-x\)는 \(x\)의 식인데, \(x\)를 무대에 올리는

문장을 아직 쓰지 않았으므로 그 식을 적을 자리 자체가 없다(S6주차 반칙 목록의

선잡기와 같은 구조다).

시도 B는 덜 끝나서 멈췄다. 한 겹짜리 기법은 양화사를 한 개만 없앤다. 두 겹이면

두 번 써야 한다.

더 필요한 것은 새 기법이 아니라 두 기법을 잇는 순서 규칙이다. 시도 B를 먼저 쓰고

그 뒤에 시도 A를 이어 붙이면 증명이 완성된다. 이번 주의 내용은 이 한 줄이 전부다.

2 순서를 바꾸면 무엇이 달라지는가 — 사례 표

규칙을 세우기 전에, 순서만 바꾼 명제 쌍을 실제로 판정해 본다. 무대는 실수 전체다.

명제	참\(\cdot\)거짓	참이면 증인 \(y\)
\(\forall x\, \exists y: x + y = 0\)	참	\(y = -x\)
\(\exists y\, \forall x: x + y = 0\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(\forall x\, \exists y: xy = 0\)	참	\(\underline{\quad(3)\quad}\)
\(\exists y\, \forall x: xy = 0\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)

확인 2. 표의 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자. 거짓인 칸에는 증인 대신 무너지는 자리를 적는다.

답

(1) 거짓. (2) 증인 없음 — 하나의 \(y_0\)가 \(x = 0\)과 \(x = 1\)을 동시에 감당해야 하는데,

앞쪽은 \(y_0 = 0\)을, 뒤쪽은 \(y_0 = -1\)을 요구한다.

(3) \(y = 0\). (4) 참. (5) \(y = 0\) — 같은 \(0\) 하나가 모든 \(x\)를 감당한다.

첫 쌍은 순서를 바꾸자 참이 거짓이 되었고, 둘째 쌍은 순서를 바꿔도 참 그대로다. 차이는 셋째 열에 있다.

확인 3. 두 쌍의 차이를 셋째 열(증인)의 생김새로 설명해 보자. 어떤 경우에 순서를 바꿔도 참이 유지되는가.

답

첫 쌍의 증인 \(-x\)는 \(x\)가 들어 있는 식이다. 그리고 확인 2에서 본 대로 뒤집은

명제는 실제로 거짓이다 — \(x = 0\)과 \(x = 1\)이 하나의 \(y_0\)에 서로 다른 값을 강요한다.

둘째 쌍의 증인 \(0\)은 \(x\)가 들어 있지 않은 상수다. 어차피 \(x\)와 무관하므로

\(y\)를 먼저 정해도 아무 손해가 없고, 뒤집은 명제가 그대로 참이 된다.

판정은 한 방향으로만 진술한다. **증인을 바깥 문자를 쓰지 않는 상수로 잡을 수 있으면

순서를 뒤집어도 참이 유지된다.** 반대로, 지금 손에 든 증인이 바깥 문자의 식이라는

사실만으로는 뒤집은 명제가 거짓이라고 결론지을 수 없다 — 다른 증인이 상수로 잡힐

가능성이 남아 있기 때문이다. 거짓임은 별도로 반증해야 한다(§1.5의 역방향).

이 관찰에 이름을 붙인다. 식이나 절차에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

3 중첩 처리 규칙 [백지 암기 대상]

중첩 처리 규칙

양화사가 여러 겹이면, 가장 왼쪽(바깥) 것 하나만 네 칸 표로 처리하고, 남은

안쪽을 한 겹 줄어든 새 결론(또는 새 가정)으로 삼아 같은 일을 반복한다.

반복은 양화사가 소진될 때까지 계속하고, 소진된 뒤에 본체 계산을 시작한다.

읽는 법 — \(\forall x\, \exists y: P(x, y)\)는 “모든 \(x\)에 대해, \(P(x,y)\)인 \(y\)가 존재한다”로 읽는다. 콜론 오른쪽이 본체이고, 왼쪽에 붙은 것들이 겹이다. 읽을 때 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 순서가 곧 처리 순서다.

이 규칙을 걸음으로 펼치면 다음과 같다. 각 걸음이 하는 일과, 그 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지를 함께 적는다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① 가장 왼쪽 양화사 하나를 고른다	이번에 처리할 대상을 하나로 좁힌다	두 겹을 동시에 처리하려 하면 어느 문자가 먼저 확정됐는지 기록이 남지 않는다
② 그것이 결론 쪽인지 가정 쪽인지 보고 네 칸 표에서 기법을 정한다	선택 \(\cdot\) 구성 \(\cdot\) 특수화 \(\cdot\) 수령 중 하나를 확정한다	결론의 \(\forall\)를 결론의 \(\exists\)처럼 다루면 곧바로 특정값 대입 반칙이 된다 (S6주차 반칙 목록)
③ 그 한 겹을 처리하는 문장을 답안에 적는다	문자를 무대에 올리고 자격을 명시한다	안쪽에서 그 문자를 쓸 근거가 없다 — 1권 15주차 글쓰기 규범 2(문자 소개) 위반
④ 남은 안쪽을 새 결론(또는 새 가정)으로 삼고 ①로 돌아간다	겹을 하나 줄인다	겹이 남은 채 본체 계산을 시작하게 된다 (§1.1의 시도 B)

확인 4. 결론 \(\forall x\, \exists y: P(x,y)\)에 이 걸음을 적용하면 답안의 첫 두 문장은 어떤 꼴이 되는가. 각 문장 옆에 기법 이름을 붙여 보자.

답

첫 문장: “\(x\)를 임의로 잡자.” — 걸음 ①②③, 결론의 \(\forall\)이므로 선택법.

둘째 문장: “\(y = (\,x\text{의 식}\,)\)으로 두자.” — 걸음 ④로 남은 결론이

“\(P(x,y)\)인 \(y\)가 존재한다”가 되었고, 이것은 결론의 \(\exists\)이므로 구성법.

두 문장을 다 쓰고 나면 남는 결론은 \(P(x, y)\) — 양화사가 없는 본체다. 여기서부터가

S2\(\cdot\)S3주차의 전진-후진이다.

걸음 삭제 실험 — “가장 왼쪽”을 지우면. 걸음 ①에서 “가장 왼쪽”이라는 조건만 지우고 아무 겹이나 먼저 처리해도 된다고 해 보자. 그러면 §0 유형 3의 답안이 합법이 된다.

삭제 실험 — 문턱을 먼저 정하는 답안

명제: \(\frac1n \to 0\).

“\(N = 1000\)으로 두자. \(\varepsilon > 0\)을 임의로 잡자. \(n > 1000\)이면

\(\frac1n < \frac1{1000}\)이고, 이것은 충분히 작으므로 \(\varepsilon\)보다 작다.”

확인 5. 위 답안은 \(\forall \varepsilon\, \exists N \cdots\)이 아니라 어떤 명제를 증명하려 한 것인가. 그리고 그 명제가 거짓임을 보여 보자 — 바깥 겹이 \(\exists N\)이므로 문턱 하나를 무너뜨리는 것으로는 부족하고, 어떤 문턱이 와도 그 문턱에 맞춘 \(\varepsilon\)을 하나 만들어 무너뜨려야 한다.

답

\(N\)을 먼저 정하고 그다음에 \(\varepsilon\)을 잡았으므로, 문장 순서가 주장하는 명제는

\(\exists N \in \mathbb{N}\, \forall \varepsilon > 0\, \forall n > N: \frac1n < \varepsilon\)이다.

이 명제는 거짓이다. 그런 문턱이 존재한다고 가정하고 그런 \(N_0\)를 잡자 [수령].

여기서 \(N_0\)의 값을 \(1000\)으로 못 박으면 안 된다 — 그러면 \(N = 1000\)이라는 한 사례만

무너뜨린 것이고 \(\exists N\) 명제는 그대로 남는다. \(N_0\)가 무엇이든 통하는 논증을

만든다. \(\varepsilon = \frac1{2(N_0 + 1)}\)로 두자 [\(N_0\)가 확정된 뒤이므로 \(N_0\)의

식이어도 된다. 자격: \(\frac1{2(N_0+1)} > 0\) ✓]. 이 값에 특수화하면 “\(n > N_0\)이면

\(\frac1n < \frac1{2(N_0+1)}\)”을 얻고, 다시 \(n = N_0 + 1\)에 특수화하면

[자격: \(N_0 + 1 > N_0\) ✓] \(\frac1{N_0+1} < \frac1{2(N_0+1)}\)을 얻는다. 그런데

\(2(N_0+1) > N_0 + 1 > 0\)이므로 역수 반전에 의해 \(\frac1{2(N_0+1)} < \frac1{N_0+1}\)이다.

모순이므로 그런 문턱은 존재하지 않는다.

결론: 걸음 ①의 “가장 왼쪽”이 빠지면 증명하려는 명제 자체가 다른 것으로 바뀐다.

순서 규칙은 표기의 관례가 아니라 명제의 정체를 지키는 조건이다.

4 의존성의 문법 — 맞춤 증인과 만능 증인 [백지 암기 대상]

§1.2에서 관찰한 것을 규칙으로 못 박는다.

의존성의 문법

안쪽 겹에서 만드는 대상은 바깥 겹에서 이미 확정된 문자들의 식이어도 된다.

확정 순서가 답안의 문장 순서와 같기 때문이다.

• \(\forall x\, \exists y\) — \(y\)를 \(x\)의 식으로 둘 수 있다(맞춤 증인: \(x\)마다 다른 \(y\)).

• \(\exists y\, \forall x\) — \(y\)를 먼저 두어야 하므로 \(y\)의 식에 \(x\)를 쓸 수 없다(만능 증인: 하나의 \(y\)가 전부를 감당).

만능 증인을 요구하는 쪽이 훨씬 강한 주장이다. 그래서 \(\exists\forall\)가 거짓이면서 \(\forall\exists\)는 참인 일이 흔하고, 그 반대는 일어나지 않는다(§1.5).

확인 6. 다음 두 결론에서 증인이 맞춤인지 만능인지 판정하고, 맞춤이면 어떤 문자의 식이 되는지 적어 보자.

(가) 모든 실수 \(x\)와 모든 실수 \(z\)에 대해, \(x < z\)이면 \(x < y < z\)인 실수 \(y\)가 존재한다.

(나) 모든 정수 \(x\)에 대해, \(x + y = x\)인 정수 \(y\)가 존재한다.

답

(가) 맞춤. \(y\)가 \(\forall x\)와 \(\forall z\) 둘 다의 안쪽에 있으므로 \(x\)와 \(z\)

양쪽의 식이어도 된다 — 예를 들어 \(y = \frac{x+z}2\).

(나) 형식상으로는 맞춤이 허용되지만, 실제 증인 \(y = 0\)은 \(x\)를 쓰지 않는다.

이런 경우에는 순서를 뒤집은 \(\exists y\, \forall x\)도 참이 된다(§1.5의 역방향이

우연히 성립하는 경우다 — 문제 3에서 다룬다).

5 한 방향 교환 정리 [백지 암기 대상]

정리 (한 방향 교환). \(\exists y\, \forall x: P(x, y)\)가 참이면 \(\forall x\, \exists y: P(x, y)\)도 참이다.

역방향은 성립하지 않는다.

이름 하나를 승격한다. S7주차 네 칸 표에서 가정의 \(\exists\) 칸은 고유한 기법 이름 없이 “전진 한 걸음”으로만 적혀 있었다. 이번 주부터는 겹마다 라벨을 달아야 하므로 그 칸을 수령이라 부른다 — 특수화의 걸음 ③(사실 수령)과 이름이 같지만, 이쪽은 가정의 \(\exists\)가 보장한 대상에 이름을 붙여 받는 동작을 가리킨다. 둘을 나란히 적어야 할 때는 “가정 쪽 \(\exists\)의 수령”과 “특수화의 사실 수령”으로 구별한다.

증명. 가정 \(\exists y\, \forall x: P(x,y)\)의 가장 바깥은 가정 쪽 \(\exists\)이므로 그런 \(y_0\)를 잡자 [수령]. 이제 남은 가정은 \(\forall x: P(x, y_0)\)이다. 결론 \(\forall x\, \exists y: P(x,y)\)의 가장 바깥은 결론 쪽 \(\forall\)이므로 \(x\)를 임의로 잡자 [선택]. 남은 결론은 “\(P(x, y)\)인 \(y\)가 존재한다”이므로 \(y = y_0\)으로 두자 [구성 — 이미 확보한 \(y_0\)의 재사용]. 남은 결론은 \(P(x, y_0)\)이다. 가정 \(\forall x: P(x, y_0)\)을 지금의 \(x\)에 적용하면 [특수화 — 자격: \(x\)는 무대의 대상 ✓] \(P(x, y_0)\)을 얻는다. \(x\)가 임의였으므로 전칭이 성립한다. \(\blacksquare\)

확인 7. 이 증명에서 라벨이 붙은 네 문장에는 네 칸 표의 네 칸이 하나씩 등장한다(남은 가정\(\cdot\)남은 결론을 적은 줄과 마지막 임의성 선언은 별도다). 각 문장이 어느 칸인지 짚고, 왜 반대 순서(먼저 \(x\)를 잡고 나중에 \(y_0\)를 받는 순서)로 써도 되는지 생각해 보자.

답

순서대로 가정의 \(\exists\)(수령) \(\cdot\) 결론의 \(\forall\)(선택) \(\cdot\) 결론의 \(\exists\)(구성) \(\cdot\) 가정의 \(\forall\)(특수화)다.

이 짧은 증명이 양화사 4부작의 축소판인 이유다.

반대 순서로 써도 된다. \(y_0\)는 \(x\)를 쓰지 않고 확보되고, \(x\)는 \(y_0\)를 쓰지 않고

잡히므로 서로 의존하지 않는다. 의존성이 없는 두 걸음 사이에서만 순서가 자유롭고,

의존성이 생기는 순간(증인이 바깥 문자의 식일 때) 순서는 고정된다.

역방향이 거짓임은 반례 하나로 끝난다: \(P(x,y)\)를 “\(x + y = 0\)”으로 두면 §1.2 표의 첫 쌍이 그대로 반례다. 예제 2.1에서 이 반례를 정식 답안으로 적는다.

6 ε-N은 세 겹이다

1권 45주차 정의 45.1을 겹으로 표시해 보자.

\[ a_n \to L \quad\iff\quad \forall \varepsilon > 0\ \ \exists N \in \mathbb{N}\ \ \forall n \in \mathbb{N}\ \big(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon\big) \]

겹이 셋이고, 전부 결론 쪽에 있다(수렴을 증명하는 상황이므로).

겹	위치	기법	답안의 문장
1겹 \(\forall \varepsilon > 0\)	결론의 \(\forall\)	선택법	“\(\varepsilon > 0\)을 임의로 잡자.”
2겹 \(\exists N\)	결론의 \(\exists\)	구성법	“\(N = (\varepsilon\text{의 식})\)으로 두자.”
3겹 \(\forall n\)	결론의 \(\forall\)	선택법	“\(n > N\)인 자연수 \(n\)을 임의로 잡자.”

확인 8. 2겹의 \(N\)을 \(\varepsilon\)의 식으로 두어도 되는 이유를 §1.4의 언어로 한 줄 적어 보자. 3겹에서 잡는 \(n\)의 자격에 \(N\)을 써도 되는 이유도 같은 방식으로 적는다.

답

\(\exists N\)이 \(\forall \varepsilon\)의 안쪽에 있으므로 \(N\)은 맞춤 증인이고,

\(\varepsilon\)이 이미 확정된 뒤에 두므로 \(\varepsilon\)의 식이어도 된다.

같은 이유로 3겹의 자격 “\(n > N\)”은 \(N\)이 이미 확정된 뒤에 적히므로 합법이다.

겹의 순서가 곧 확정의 순서이고, 확정의 순서가 곧 “무엇을 재료로 써도 되는가”를 정한다.

1권에서 서식이던 것이 여기서 이름을 얻는다. 1권 45주차에서 “일단 이렇게 시작한다”로 외운 첫 세 문장이, 이제 세 겹을 바깥부터 처리한 결과물로 유도된다. 서식은 결과이고, 겹 처리는 그 결과를 만드는 규칙이다.

표기 복습 — 천장(S3주차 문제 14)과 새 기호 바닥

천장 \(\lceil t \rceil\)은 S3주차 문제 14에서 도입해 S5주차 §4에서 채택한 기호로, 실수

\(t\) 이상인 가장 작은 정수를 뜻한다. 이번 주에 새로 쓰는 \(\lfloor t \rfloor\)은 \(t\)

이하인 가장 큰 정수를 뜻한다. 각각 “천장 \(t\)”, “바닥 \(t\)”로 읽는다.

이번 주에 쓰는 성질은 셋이다: \(\lceil t \rceil\)과 \(\lfloor t \rfloor\)은 정수이고,

\(\lceil t \rceil \ge t\)이며, \(t - 1 < \lfloor t \rfloor \le t\)이다.

바닥의 두 성질은 증명 없이 인정하고 쓴다 — 정수 부분의 존재는 아르키메데스 성질과

같은 자리(실수의 완비성)에서 나오며, 정식 증명은 1권 과정 밖이다. 천장을 같은

자격으로 채택한 자리가 S5주차 §4이고, 이번 주가 바닥을 그 목록에 추가한다.

인용할 때는 성질의 문장을 그대로 적고 그 가정이 충족됨을 확인한다.

문턱 \(N\)을 만들 때 천장이 쓰이고(S5주차 문제 14), 유리수 증인을 만들 때 바닥이

쓰인다(문제 19).

문턱에 \(+1\)이 붙지 않는 이유 — S5주차 문제 14는 \(\frac1n < \varepsilon\) 자체를

요구했으므로 증인이 \(\lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1\)이어야 했다

(\(\lceil \frac1\varepsilon \rceil\)만으로는 \(\frac1n \le \varepsilon\)까지밖에 나오지 않는다).

문턱으로 쓸 때는 뒤에 “\(n > N\)”이 따로 붙어 강부등식이 그 자리에서 확보되므로

\(N = \lceil \frac1\varepsilon \rceil\)으로 충분하다.

7 가정 쪽의 겹구조 — 벗기는 방향은 같다

겹구조는 결론에만 오지 않는다. 가정으로 주어진 \(a_n \to L\)도 세 겹이다. 이때도 가장 왼쪽부터 한 겹씩 벗기며, 다만 네 칸 표에서 가정 쪽 행을 쓴다.

겹	위치	기법	답안의 문장
1겹 \(\forall \varepsilon > 0\)	가정의 \(\forall\)	특수화	“이 가정을 \(\varepsilon' = (\text{내가 고른 양수})\)에 적용하자.”
2겹 \(\exists N\)	가정의 \(\exists\)	수령	“그런 문턱 \(N_0\)를 잡자.”
3겹 \(\forall n\)	가정의 \(\forall\)	특수화	“그 가정을 지금의 \(n\)에 적용하자 (자격: \(n > N_0\)).”

확인 9. 결론 쪽 세 겹과 가정 쪽 세 겹의 동사를 나란히 적어 보자. 같은 \(\forall\)인데 동사가 다른 이유는 무엇인가.

답

결론 쪽: 잡자(선택) \(\cdot\) 두자(구성) \(\cdot\) 잡자(선택). 가정 쪽: 적용하자(특수화) \(\cdot\)

잡자(수령) \(\cdot\) 적용하자(특수화).

같은 \(\forall\)라도 결론에 있으면 의무(상대가 고른 값이라 치고 임의로 받아야 한다),

가정에 있으면 권리(내가 고른 값을 넣을 수 있다)이기 때문이다. S7주차 네 칸 표의

대각선 대칭이 겹구조에서도 그대로 유지된다.

결론 쪽 세 겹과 가정 쪽 세 겹이 한 증명에 같이 나오면, 두 줄이 번갈아 맞물린다 — 결론의 1겹에서 받은 \(\varepsilon\)을 변형해 가정의 1겹에 넣고, 가정의 2겹에서 받은 \(N_0\)를 결론의 2겹에 내놓는 식이다. 이 맞물림이 1권 46주차의 극한 법칙 증명 전부의 구조였고, 예제 2.3에서 라벨을 달아 재연한다.

8 근거 목록 갱신

근거	이번 주에 추가되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	변화 없음	수렴의 정의(1권 정의 45.1)를 겹으로 펼치는 걸음에서 계속 쓴다
② 닫힘성	변화 없음	“정수의 합은 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다
③ 등식의 성질	변화 없음	본체 부등식을 정리하는 걸음의 대부분이 여기서 나온다
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실 — 1권과 기존 주차에서 가져오는 것	한 방향 교환 정리(§1.5), 삼각부등식(1권 17주차 문제 12), 절댓값의 곱셈 성질 \(\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \lvert y \rvert\)(1권 17주차 문제 10), \(\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert\)(1권 17주차 문제 4), 역수 반전(S3주차 예제 2.3), 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14), 천장의 성질(S3주차 문제 14의 기호 — S5주차 §4에서 채택), \(n^2 \ge n\)(S6주차 문제 2(d))	“S5주차 문제 14에 의해”, “삼각부등식에 의해”로 한 줄에 끝낸다
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실 — 이번 주에 채택하는 것	바닥의 성질(\(\lfloor t \rfloor\)은 정수이고 \(t - 1 < \lfloor t \rfloor \le t\) — §1.6에서 채택), 양수의 제곱근의 존재와 단조성(문제 8 풀이 2에서 채택)	증명 없이 채택하고 쓰는 사실이므로, 인용할 때 성질의 문장을 그대로 적고 그 가정이 충족됨을 확인한다

근거의 번호가 늘지는 않는다. 이번 주가 늘리는 것은 근거의 종류가 아니라 처리 순서의 규칙이다.

확인 10. 어떤 답안에 “\(\frac\varepsilon2 > 0\)이므로 가정 \(a_n \to L\)을 \(\frac\varepsilon2\)에 적용하면 문턱 \(N_1\)이 존재한다”는 문장이 나왔다. 이 한 문장에는 이번 주의 걸음이 몇 개 들어 있는가.

답

셋이다. ① 특수화의 조준(\(\varepsilon\) 대신 \(\frac\varepsilon2\)을 고른 것),

② 자격 검증(\(\frac\varepsilon2 > 0\)을 확인한 것 — 이 조각이 빠지면 S7주차 예제 2.3의

미검증 특수화가 된다), ③ 가정 쪽 \(\exists\)의 수령(“문턱 \(N_1\)이 존재한다”에 이름을 붙여

받은 것). ③에서 두 용법이 맞닿는다 — 특수화의 걸음 ③(사실 수령)으로 받은 사실이

마침 존재 진술이므로, 그 존재 진술을 가정의 2겹으로 보고 대상에 이름을 붙이는

동작이 이어진다. 앞의 것은 특수화의 마지막 걸음이고 뒤의 것은 겹 하나의 처리다.

한 문장이지만 겹 두 개가 처리되었고, 답안에서는 이 세 조각이 모두 보여야 한다.