# S8주차 — 중첩 양화사: 겹겹의 ∀∃를 바깥부터 벗기기 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 겹구조에는 새 기법이 없다 — 가장 바깥 양화사 하나만 네 칸 표로 처리하고, 남은 안쪽을 한 겹 줄어든 새 문제로 삼아 같은 일을 반복한다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S8주차이자 양화사 4부작의 마지막 주. S5주차(결론의 $\exists$)$\cdot$S6주차(결론의 $\forall$)$\cdot$S7주차(가정의 $\forall$)에서 한 겹짜리 기법을 하나씩 익혔고, 이번 주는 그 넷을 겹친 문장에 순서대로 적용한다. 1권 10주차에서 "순서가 바뀌면 뜻이 바뀐다"로 읽기만 했던 $\forall x \exists y$와, 1권 45주차에서 서식으로 외운 $\varepsilon$-N 증명의 첫 세 문장이 여기서 하나의 절차로 묶인다. **원서 대응**: Solow 7장. 주간 루틴 1일차에 원서 7장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. 중첩 양화사 처리의 규칙 — **가장 왼쪽 것부터 한 번에 한 겹씩** — 을 절차로 쓰고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 말할 수 있다. 1. **순서가 뜻을 바꾼다**는 것을 증명 수준에서 다룬다: $\forall x \exists y$와 $\exists y \forall x$의 차이를 의존성의 문법(맞춤 증인 / 만능 증인)으로 설명한다. 1. $\varepsilon$-N 증명을 서식 암기가 아니라 **네 칸 표의 세 번 연속 적용**으로 재유도한다. 1. 가정 쪽 겹구조의 사용(특수화 $\to$ 수령 $\to$ 특수화)과, 한 방향 교환 정리($\exists\forall \Rightarrow \forall\exists$)를 익힌다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S7주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. 네 칸 표(양화사의 위치 $\times$ $\forall$$\cdot$$\exists$)의 네 칸을 기법 이름$\cdot$첫 문장$\cdot$값을 고르는 쪽까지 재현하시오. 1. 특수화 서식 세 걸음(조준 $\cdot$ 자격 검증 $\cdot$ 수령)을 쓰고, 자격 검증을 빠뜨린 특수화가 왜 사고인지 한 줄로 쓰시오 (S7주차 예제 2.3). 1. 1권 10주차에서 $\forall x \exists y$와 $\exists y \forall x$가 다른 명제라고 배웠다. 그 차이를 예 하나로 재현하시오. 이어서 다음 과제를 해 보자. **명제 "$\dfrac1n \to 0$"의 증명에서 본체 계산을 시작하기 전까지의 문장, 곧 첫 세 문장을 적어 보자.** ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 1권 45주차와 S5~S7주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 서식을 통째로 재생한다.** "$\varepsilon > 0$을 임의로 잡자. $N = \lceil \frac1\varepsilon \rceil$로 두자. $n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자." 세 문장 모두 옳고, 순서도 옳다. 빠진 것은 **이 순서가 어디서 나왔는지 대답할 문장**이다. 순서를 근거 없이 외운 상태에서는 낯선 정의(균등연속, 코시 수열)를 만났을 때 첫 문장을 새로 만들 수 없다. - **유형 2 — 한 겹에서 멈춘다.** "$\varepsilon > 0$을 임의로 잡자."까지 적고 다음 줄이 나오지 않는다. 첫 문장은 정확히 옳다 — S6주차의 선택법이 지시하는 그대로다. 문제는 그 문장을 쓴 뒤에 남는 것이 여전히 양화사가 붙은 문장이라는 것이고, 한 겹짜리 기법을 한 번 쓴 것만으로는 그 사실이 보이지 않는다. 이번 주 §1.1이 정확히 이 멈춤을 다룬다. - **유형 3 — 문턱을 먼저 정한다.** "$N = 1000$으로 두자. $\varepsilon > 0$을 임의로 잡자." 두 문장 다 각각은 정상적인 문장이고, 큰 $N$을 잡으면 오차가 작아진다는 직관도 옳다. 간격은 순서에 있다. 이 순서로 쓰면 증명한 명제 자체가 달라진다는 것 — 무엇으로 달라지는지는 §1.3의 삭제 실험과 문제 11에서 정확히 짚는다. ## 개념 — 중첩 양화사 ### 1 한 겹짜리 기법만으로는 어디서 막히는가 새 규칙을 세우기 전에, S5~S7주차의 도구만으로 두 겹 명제를 밀어붙여 본다. :::{admonition} 명제 (연습 대상) :class: quotebox 모든 실수 $x$에 대해, $x + y = 0$인 실수 $y$가 존재한다. ::: 이 결론에는 양화사가 둘 있다. 하나는 전칭("모든 실수 $x$에 대해"), 하나는 존재 ("실수 $y$가 존재한다")다. 각각에 대응하는 기법은 이미 있다 — 결론의 $\forall$는 선택법(S6주차), 결론의 $\exists$는 구성법(S5주차). 문제는 어느 것을 먼저 쓰느냐다. :::{admonition} 시도 A — 구성법을 먼저 :class: quotebox 결론에 존재 진술이 있으므로 증인부터 제시한다. "$y = \underline{\quad}$으로 두자." 여기서 멈춘다. 빈칸에 적을 식이 없다. 후보로 떠오르는 것은 $-x$인데, 지금 이 문장을 쓰는 시점의 무대에는 $x$라는 문자가 아직 올라와 있지 않다. ::: :::{admonition} 시도 B — 선택법을 먼저 :class: quotebox "실수 $x$를 임의로 잡자." 여기까지는 문제가 없다. 그런데 이 문장을 쓰고 남은 결론은 "$x + y = 0$인 실수 $y$가 존재한다"로, 여전히 양화사가 붙은 문장이다. S6주차의 절차는 걸음 ④(임의성에 근거한 마무리 선언)까지 다 돌았는데 증명은 끝나지 않았다. ::: :::{container} quotebox **확인 1.** 두 시도가 멈춘 이유는 서로 다르다. 각각 한 문장으로 적어 보자. 그리고 두 시도를 합쳐 증명을 완성하려면 무엇이 더 필요한지 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 시도 A는 **순서**가 틀려서 멈췄다. 증인 $-x$는 $x$의 식인데, $x$를 무대에 올리는 문장을 아직 쓰지 않았으므로 그 식을 적을 자리 자체가 없다(S6주차 반칙 목록의 선잡기와 같은 구조다). 시도 B는 **덜 끝나서** 멈췄다. 한 겹짜리 기법은 양화사를 한 개만 없앤다. 두 겹이면 두 번 써야 한다. 더 필요한 것은 새 기법이 아니라 **두 기법을 잇는 순서 규칙**이다. 시도 B를 먼저 쓰고 그 뒤에 시도 A를 이어 붙이면 증명이 완성된다. 이번 주의 내용은 이 한 줄이 전부다. ::: ### 2 순서를 바꾸면 무엇이 달라지는가 — 사례 표 규칙을 세우기 전에, 순서만 바꾼 명제 쌍을 실제로 판정해 본다. 무대는 실수 전체다. | **명제** | **참$\cdot$거짓** | **참이면 증인 $y$** | |---|---|---| | $\forall x\, \exists y: x + y = 0$ | 참 | $y = -x$ | | $\exists y\, \forall x: x + y = 0$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $\forall x\, \exists y: xy = 0$ | 참 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $\exists y\, \forall x: xy = 0$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 표의 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자. 거짓인 칸에는 증인 대신 무너지는 자리를 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 거짓. (2) 증인 없음 — 하나의 $y_0$가 $x = 0$과 $x = 1$을 동시에 감당해야 하는데, 앞쪽은 $y_0 = 0$을, 뒤쪽은 $y_0 = -1$을 요구한다. (3) $y = 0$. (4) 참. (5) $y = 0$ — 같은 $0$ 하나가 모든 $x$를 감당한다. ::: 첫 쌍은 순서를 바꾸자 참이 거짓이 되었고, 둘째 쌍은 순서를 바꿔도 참 그대로다. 차이는 셋째 열에 있다. :::{container} quotebox **확인 3.** 두 쌍의 차이를 셋째 열(증인)의 생김새로 설명해 보자. 어떤 경우에 순서를 바꿔도 참이 유지되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 첫 쌍의 증인 $-x$는 $x$가 들어 있는 **식**이다. 그리고 확인 2에서 본 대로 뒤집은 명제는 실제로 거짓이다 — $x = 0$과 $x = 1$이 하나의 $y_0$에 서로 다른 값을 강요한다. 둘째 쌍의 증인 $0$은 $x$가 들어 있지 않은 **상수**다. 어차피 $x$와 무관하므로 $y$를 먼저 정해도 아무 손해가 없고, 뒤집은 명제가 그대로 참이 된다. 판정은 한 방향으로만 진술한다. **증인을 바깥 문자를 쓰지 않는 상수로 잡을 수 있으면 순서를 뒤집어도 참이 유지된다.** 반대로, 지금 손에 든 증인이 바깥 문자의 식이라는 사실만으로는 뒤집은 명제가 거짓이라고 결론지을 수 없다 — 다른 증인이 상수로 잡힐 가능성이 남아 있기 때문이다. 거짓임은 별도로 반증해야 한다(§1.5의 역방향). ::: 이 관찰에 이름을 붙인다. 식이나 절차에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 3 중첩 처리 규칙 [백지 암기 대상] :::{admonition} 중첩 처리 규칙 :class: quotebox 양화사가 여러 겹이면, **가장 왼쪽(바깥) 것 하나만** 네 칸 표로 처리하고, 남은 안쪽을 한 겹 줄어든 새 결론(또는 새 가정)으로 삼아 같은 일을 반복한다. 반복은 양화사가 소진될 때까지 계속하고, 소진된 뒤에 본체 계산을 시작한다. ::: 읽는 법 — $\forall x\, \exists y: P(x, y)$는 "모든 $x$에 대해, $P(x,y)$인 $y$가 존재한다"로 읽는다. 콜론 오른쪽이 본체이고, 왼쪽에 붙은 것들이 겹이다. 읽을 때 **왼쪽에서 오른쪽으로** 읽는 순서가 곧 처리 순서다. 이 규칙을 걸음으로 펼치면 다음과 같다. 각 걸음이 하는 일과, 그 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지를 함께 적는다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 가장 왼쪽 양화사 하나를 고른다 | 이번에 처리할 대상을 하나로 좁힌다 | 두 겹을 동시에 처리하려 하면 어느 문자가 먼저 확정됐는지 기록이 남지 않는다 | | ② 그것이 결론 쪽인지 가정 쪽인지 보고 네 칸 표에서 기법을 정한다 | 선택 $\cdot$ 구성 $\cdot$ 특수화 $\cdot$ 수령 중 하나를 확정한다 | 결론의 $\forall$를 결론의 $\exists$처럼 다루면 곧바로 특정값 대입 반칙이 된다 (S6주차 반칙 목록) | | ③ 그 한 겹을 처리하는 문장을 답안에 **적는다** | 문자를 무대에 올리고 자격을 명시한다 | 안쪽에서 그 문자를 쓸 근거가 없다 — 1권 15주차 글쓰기 규범 2(문자 소개) 위반 | | ④ 남은 안쪽을 새 결론(또는 새 가정)으로 삼고 ①로 돌아간다 | 겹을 하나 줄인다 | 겹이 남은 채 본체 계산을 시작하게 된다 (§1.1의 시도 B) | :::{container} quotebox **확인 4.** 결론 $\forall x\, \exists y: P(x,y)$에 이 걸음을 적용하면 답안의 첫 두 문장은 어떤 꼴이 되는가. 각 문장 옆에 기법 이름을 붙여 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 첫 문장: "$x$를 임의로 잡자." — 걸음 ①②③, 결론의 $\forall$이므로 **선택법**. 둘째 문장: "$y = (\,x\text{의 식}\,)$으로 두자." — 걸음 ④로 남은 결론이 "$P(x,y)$인 $y$가 존재한다"가 되었고, 이것은 결론의 $\exists$이므로 **구성법**. 두 문장을 다 쓰고 나면 남는 결론은 $P(x, y)$ — 양화사가 없는 본체다. 여기서부터가 S2$\cdot$S3주차의 전진-후진이다. ::: **걸음 삭제 실험 — "가장 왼쪽"을 지우면.** 걸음 ①에서 "가장 왼쪽"이라는 조건만 지우고 아무 겹이나 먼저 처리해도 된다고 해 보자. 그러면 §0 유형 3의 답안이 합법이 된다. :::{admonition} 삭제 실험 — 문턱을 먼저 정하는 답안 :class: quotebox 명제: $\frac1n \to 0$. "$N = 1000$으로 두자. $\varepsilon > 0$을 임의로 잡자. $n > 1000$이면 $\frac1n < \frac1{1000}$이고, 이것은 충분히 작으므로 $\varepsilon$보다 작다." ::: :::{container} quotebox **확인 5.** 위 답안은 $\forall \varepsilon\, \exists N \cdots$이 아니라 어떤 명제를 증명하려 한 것인가. 그리고 그 명제가 거짓임을 보여 보자 — 바깥 겹이 $\exists N$이므로 문턱 하나를 무너뜨리는 것으로는 부족하고, **어떤 문턱이 와도 그 문턱에 맞춘 $\varepsilon$을 하나 만들어** 무너뜨려야 한다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $N$을 먼저 정하고 그다음에 $\varepsilon$을 잡았으므로, 문장 순서가 주장하는 명제는 $\exists N \in \mathbb{N}\, \forall \varepsilon > 0\, \forall n > N: \frac1n < \varepsilon$이다. 이 명제는 거짓이다. 그런 문턱이 존재한다고 가정하고 그런 $N_0$를 잡자 [수령]. 여기서 $N_0$의 값을 $1000$으로 못 박으면 안 된다 — 그러면 $N = 1000$이라는 한 사례만 무너뜨린 것이고 $\exists N$ 명제는 그대로 남는다. $N_0$가 무엇이든 통하는 논증을 만든다. $\varepsilon = \frac1{2(N_0 + 1)}$로 두자 [$N_0$가 확정된 뒤이므로 $N_0$의 식이어도 된다. 자격: $\frac1{2(N_0+1)} > 0$ ✓]. 이 값에 특수화하면 "$n > N_0$이면 $\frac1n < \frac1{2(N_0+1)}$"을 얻고, 다시 $n = N_0 + 1$에 특수화하면 [자격: $N_0 + 1 > N_0$ ✓] $\frac1{N_0+1} < \frac1{2(N_0+1)}$을 얻는다. 그런데 $2(N_0+1) > N_0 + 1 > 0$이므로 역수 반전에 의해 $\frac1{2(N_0+1)} < \frac1{N_0+1}$이다. 모순이므로 그런 문턱은 존재하지 않는다. 결론: 걸음 ①의 "가장 왼쪽"이 빠지면 **증명하려는 명제 자체가 다른 것으로 바뀐다.** 순서 규칙은 표기의 관례가 아니라 명제의 정체를 지키는 조건이다. ::: ### 4 의존성의 문법 — 맞춤 증인과 만능 증인 [백지 암기 대상] §1.2에서 관찰한 것을 규칙으로 못 박는다. :::{admonition} 의존성의 문법 :class: quotebox 안쪽 겹에서 만드는 대상은 **바깥 겹에서 이미 확정된 문자들의 식이어도 된다.** 확정 순서가 답안의 문장 순서와 같기 때문이다. - $\forall x\, \exists y$ — $y$를 $x$의 식으로 둘 수 있다(**맞춤 증인**: $x$마다 다른 $y$). - $\exists y\, \forall x$ — $y$를 먼저 두어야 하므로 $y$의 식에 $x$를 쓸 수 없다(**만능 증인**: 하나의 $y$가 전부를 감당). ::: 만능 증인을 요구하는 쪽이 훨씬 강한 주장이다. 그래서 $\exists\forall$가 거짓이면서 $\forall\exists$는 참인 일이 흔하고, 그 반대는 일어나지 않는다(§1.5). :::{container} quotebox **확인 6.** 다음 두 결론에서 증인이 맞춤인지 만능인지 판정하고, 맞춤이면 어떤 문자의 식이 되는지 적어 보자. (가) 모든 실수 $x$와 모든 실수 $z$에 대해, $x < z$이면 $x < y < z$인 실수 $y$가 존재한다. (나) 모든 정수 $x$에 대해, $x + y = x$인 정수 $y$가 존재한다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 맞춤. $y$가 $\forall x$와 $\forall z$ 둘 다의 안쪽에 있으므로 $x$와 $z$ **양쪽의 식**이어도 된다 — 예를 들어 $y = \frac{x+z}2$. (나) 형식상으로는 맞춤이 허용되지만, 실제 증인 $y = 0$은 $x$를 쓰지 않는다. 이런 경우에는 순서를 뒤집은 $\exists y\, \forall x$도 참이 된다(§1.5의 역방향이 우연히 성립하는 경우다 — 문제 3에서 다룬다). ::: ### 5 한 방향 교환 정리 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox **정리 (한 방향 교환).** $\exists y\, \forall x: P(x, y)$가 참이면 $\forall x\, \exists y: P(x, y)$도 참이다. 역방향은 성립하지 않는다. ::: **이름 하나를 승격한다.** S7주차 네 칸 표에서 가정의 $\exists$ 칸은 고유한 기법 이름 없이 "전진 한 걸음"으로만 적혀 있었다. 이번 주부터는 겹마다 라벨을 달아야 하므로 그 칸을 **수령**이라 부른다 — 특수화의 걸음 ③(사실 수령)과 이름이 같지만, 이쪽은 가정의 $\exists$가 보장한 대상에 이름을 붙여 받는 동작을 가리킨다. 둘을 나란히 적어야 할 때는 "가정 쪽 $\exists$의 수령"과 "특수화의 사실 수령"으로 구별한다. **증명.** 가정 $\exists y\, \forall x: P(x,y)$의 가장 바깥은 가정 쪽 $\exists$이므로 그런 $y_0$를 잡자 [수령]. 이제 남은 가정은 $\forall x: P(x, y_0)$이다. 결론 $\forall x\, \exists y: P(x,y)$의 가장 바깥은 결론 쪽 $\forall$이므로 $x$를 임의로 잡자 [선택]. 남은 결론은 "$P(x, y)$인 $y$가 존재한다"이므로 $y = y_0$으로 두자 [구성 — 이미 확보한 $y_0$의 재사용]. 남은 결론은 $P(x, y_0)$이다. 가정 $\forall x: P(x, y_0)$을 지금의 $x$에 적용하면 [특수화 — 자격: $x$는 무대의 대상 ✓] $P(x, y_0)$을 얻는다. $x$가 임의였으므로 전칭이 성립한다. $\blacksquare$ :::{container} quotebox **확인 7.** 이 증명에서 라벨이 붙은 네 문장에는 네 칸 표의 네 칸이 하나씩 등장한다(남은 가정$\cdot$남은 결론을 적은 줄과 마지막 임의성 선언은 별도다). 각 문장이 어느 칸인지 짚고, 왜 반대 순서(먼저 $x$를 잡고 나중에 $y_0$를 받는 순서)로 써도 되는지 생각해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 순서대로 가정의 $\exists$(수령) $\cdot$ 결론의 $\forall$(선택) $\cdot$ 결론의 $\exists$(구성) $\cdot$ 가정의 $\forall$(특수화)다. 이 짧은 증명이 양화사 4부작의 축소판인 이유다. 반대 순서로 써도 된다. $y_0$는 $x$를 쓰지 않고 확보되고, $x$는 $y_0$를 쓰지 않고 잡히므로 서로 의존하지 않는다. 의존성이 없는 두 걸음 사이에서만 순서가 자유롭고, 의존성이 생기는 순간(증인이 바깥 문자의 식일 때) 순서는 고정된다. ::: 역방향이 거짓임은 반례 하나로 끝난다: $P(x,y)$를 "$x + y = 0$"으로 두면 §1.2 표의 첫 쌍이 그대로 반례다. 예제 2.1에서 이 반례를 정식 답안으로 적는다. ### 6 ε-N은 세 겹이다 1권 45주차 정의 45.1을 겹으로 표시해 보자. $$ a_n \to L \quad\iff\quad \forall \varepsilon > 0\ \ \exists N \in \mathbb{N}\ \ \forall n \in \mathbb{N}\ \big(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon\big) $$ 겹이 셋이고, 전부 결론 쪽에 있다(수렴을 **증명하는** 상황이므로). | **겹** | **위치** | **기법** | **답안의 문장** | |---|---|---|---| | 1겹 $\forall \varepsilon > 0$ | 결론의 $\forall$ | 선택법 | "$\varepsilon > 0$을 임의로 잡자." | | 2겹 $\exists N$ | 결론의 $\exists$ | 구성법 | "$N = (\varepsilon\text{의 식})$으로 두자." | | 3겹 $\forall n$ | 결론의 $\forall$ | 선택법 | "$n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자." | :::{container} quotebox **확인 8.** 2겹의 $N$을 $\varepsilon$의 식으로 두어도 되는 이유를 §1.4의 언어로 한 줄 적어 보자. 3겹에서 잡는 $n$의 자격에 $N$을 써도 되는 이유도 같은 방식으로 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\exists N$이 $\forall \varepsilon$의 **안쪽**에 있으므로 $N$은 맞춤 증인이고, $\varepsilon$이 이미 확정된 뒤에 두므로 $\varepsilon$의 식이어도 된다. 같은 이유로 3겹의 자격 "$n > N$"은 $N$이 이미 확정된 뒤에 적히므로 합법이다. 겹의 순서가 곧 확정의 순서이고, 확정의 순서가 곧 "무엇을 재료로 써도 되는가"를 정한다. ::: **1권에서 서식이던 것이 여기서 이름을 얻는다.** 1권 45주차에서 "일단 이렇게 시작한다"로 외운 첫 세 문장이, 이제 세 겹을 바깥부터 처리한 결과물로 유도된다. 서식은 결과이고, 겹 처리는 그 결과를 만드는 규칙이다. :::{admonition} 표기 복습 — 천장(S3주차 문제 14)과 새 기호 바닥 :class: quotebox 천장 $\lceil t \rceil$은 S3주차 문제 14에서 도입해 S5주차 §4에서 채택한 기호로, 실수 $t$ 이상인 가장 작은 정수를 뜻한다. 이번 주에 새로 쓰는 $\lfloor t \rfloor$은 $t$ 이하인 가장 큰 정수를 뜻한다. 각각 "천장 $t$", "바닥 $t$"로 읽는다. 이번 주에 쓰는 성질은 셋이다: $\lceil t \rceil$과 $\lfloor t \rfloor$은 정수이고, $\lceil t \rceil \ge t$이며, $t - 1 < \lfloor t \rfloor \le t$이다. 바닥의 두 성질은 증명 없이 인정하고 쓴다 — 정수 부분의 존재는 아르키메데스 성질과 같은 자리(실수의 완비성)에서 나오며, 정식 증명은 1권 과정 밖이다. 천장을 같은 자격으로 채택한 자리가 S5주차 §4이고, 이번 주가 바닥을 그 목록에 추가한다. 인용할 때는 성질의 문장을 그대로 적고 그 가정이 충족됨을 확인한다. 문턱 $N$을 만들 때 천장이 쓰이고(S5주차 문제 14), 유리수 증인을 만들 때 바닥이 쓰인다(문제 19). 문턱에 $+1$이 붙지 않는 이유 — S5주차 문제 14는 $\frac1n < \varepsilon$ 자체를 요구했으므로 증인이 $\lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1$이어야 했다 ($\lceil \frac1\varepsilon \rceil$만으로는 $\frac1n \le \varepsilon$까지밖에 나오지 않는다). 문턱으로 쓸 때는 뒤에 "$n > N$"이 따로 붙어 강부등식이 그 자리에서 확보되므로 $N = \lceil \frac1\varepsilon \rceil$으로 충분하다. ::: ### 7 가정 쪽의 겹구조 — 벗기는 방향은 같다 겹구조는 결론에만 오지 않는다. 가정으로 주어진 $a_n \to L$도 세 겹이다. 이때도 가장 왼쪽부터 한 겹씩 벗기며, 다만 네 칸 표에서 가정 쪽 행을 쓴다. | **겹** | **위치** | **기법** | **답안의 문장** | |---|---|---|---| | 1겹 $\forall \varepsilon > 0$ | 가정의 $\forall$ | 특수화 | "이 가정을 $\varepsilon' = (\text{내가 고른 양수})$에 적용하자." | | 2겹 $\exists N$ | 가정의 $\exists$ | 수령 | "그런 문턱 $N_0$를 잡자." | | 3겹 $\forall n$ | 가정의 $\forall$ | 특수화 | "그 가정을 지금의 $n$에 적용하자 (자격: $n > N_0$)." | :::{container} quotebox **확인 9.** 결론 쪽 세 겹과 가정 쪽 세 겹의 동사를 나란히 적어 보자. 같은 $\forall$인데 동사가 다른 이유는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 결론 쪽: 잡자(선택) $\cdot$ 두자(구성) $\cdot$ 잡자(선택). 가정 쪽: 적용하자(특수화) $\cdot$ 잡자(수령) $\cdot$ 적용하자(특수화). 같은 $\forall$라도 결론에 있으면 **의무**(상대가 고른 값이라 치고 임의로 받아야 한다), 가정에 있으면 **권리**(내가 고른 값을 넣을 수 있다)이기 때문이다. S7주차 네 칸 표의 대각선 대칭이 겹구조에서도 그대로 유지된다. ::: 결론 쪽 세 겹과 가정 쪽 세 겹이 한 증명에 같이 나오면, 두 줄이 번갈아 맞물린다 — 결론의 1겹에서 받은 $\varepsilon$을 변형해 가정의 1겹에 넣고, 가정의 2겹에서 받은 $N_0$를 결론의 2겹에 내놓는 식이다. 이 맞물림이 1권 46주차의 극한 법칙 증명 전부의 구조였고, 예제 2.3에서 라벨을 달아 재연한다. ### 8 근거 목록 갱신 | **근거** | **이번 주에 추가되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 변화 없음 | 수렴의 정의(1권 정의 45.1)를 겹으로 펼치는 걸음에서 계속 쓴다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | "정수의 합은 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 변화 없음 | 본체 부등식을 정리하는 걸음의 대부분이 여기서 나온다 | | ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 — 1권과 기존 주차에서 가져오는 것 | 한 방향 교환 정리(§1.5), 삼각부등식(1권 17주차 문제 12), 절댓값의 곱셈 성질 $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \lvert y \rvert$(1권 17주차 문제 10), $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$(1권 17주차 문제 4), 역수 반전(S3주차 예제 2.3), 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14), 천장의 성질(S3주차 문제 14의 기호 — S5주차 §4에서 채택), $n^2 \ge n$(S6주차 문제 2(d)) | "S5주차 문제 14에 의해", "삼각부등식에 의해"로 한 줄에 끝낸다 | | ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 — 이번 주에 채택하는 것 | 바닥의 성질($\lfloor t \rfloor$은 정수이고 $t - 1 < \lfloor t \rfloor \le t$ — §1.6에서 채택), 양수의 제곱근의 존재와 단조성(문제 8 풀이 2에서 채택) | 증명 없이 채택하고 쓰는 사실이므로, 인용할 때 성질의 문장을 그대로 적고 그 가정이 충족됨을 확인한다 | 근거의 번호가 늘지는 않는다. 이번 주가 늘리는 것은 근거의 종류가 아니라 **처리 순서의 규칙**이다. :::{container} quotebox **확인 10.** 어떤 답안에 "$\frac\varepsilon2 > 0$이므로 가정 $a_n \to L$을 $\frac\varepsilon2$에 적용하면 문턱 $N_1$이 존재한다"는 문장이 나왔다. 이 한 문장에는 이번 주의 걸음이 몇 개 들어 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 셋이다. ① 특수화의 조준($\varepsilon$ 대신 $\frac\varepsilon2$을 고른 것), ② 자격 검증($\frac\varepsilon2 > 0$을 확인한 것 — 이 조각이 빠지면 S7주차 예제 2.3의 미검증 특수화가 된다), ③ **가정 쪽 $\exists$의 수령**("문턱 $N_1$이 존재한다"에 이름을 붙여 받은 것). ③에서 두 용법이 맞닿는다 — 특수화의 걸음 ③(사실 수령)으로 받은 사실이 마침 존재 진술이므로, 그 존재 진술을 가정의 2겹으로 보고 대상에 이름을 붙이는 동작이 이어진다. 앞의 것은 특수화의 마지막 걸음이고 뒤의 것은 겹 하나의 처리다. 한 문장이지만 겹 두 개가 처리되었고, 답안에서는 이 세 조각이 모두 보여야 한다. :::