S2주차 — 후진 과정: 핵심 질문을 만드는 기술

S2주차 — 후진 과정: 핵심 질문을 만드는 기술#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 막히면 결론에게 묻는다 — “B가 참임을 보이려면 무엇을 하면 되는가?”

이 주의 위치: 1학기 20주 중 S2주차. S1에서 세운 “A \(\Rightarrow\) B 게임”의 판 위에서, 목표 B를 다루는 첫 절차를 배운다. 1권 15주차의 번역표와 16주차의 차–제곱 전략이 여기서 이름을 얻는다.

원서 대응: Solow 2장 전반. 주간 루틴 1일차에 2장을 통독하고 이 교안에 온다. 2장의 나머지 절반(전진 과정)은 S3주차에서 다룬다.

이번 주 목표#

  1. 후진 과정(backward process) 한 걸음의 절차 ①②③ — 핵심 질문 \(\to\) 추상적 답 \(\to\) 새 결론 B1 — 을 백지에 쓰고 실제로 수행할 수 있다.

  2. 좋은 핵심 질문의 두 요건(결론에서 출발, 추상화)을 구별하고, 나쁜 질문을 좋은 질문으로 고쳐 쓸 수 있다.

  3. 후진 한 걸음의 논리 방향 — \(B_1 \Rightarrow B\) — 을 매 걸음 검사하는 습관을 만든다.

  4. 하나의 결론에 여러 답이 가능함을 알고, 가진 것에 가까워지는 쪽을 고르는 기준을 적용할 수 있다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

표기 — 이 주차에서 쓰는 낱말

§는 “절”이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을 가리킨다. 다른 주차를

가리킬 때는 “S1주차 §1.2”처럼 주차를 앞에 적고, 1권을 가리킬 때는

“1권 16주차 문제 11”처럼 적는다.

S1주차 §1.1에서 정한 대로 가진 것은 가설 A와 그로부터 유도한 것들의

목록이고, 만들 것은 B 또는 B를 대신할 명제의 목록이다. 이 주차에서는

만들 것의 맨 앞에 놓인 명제를 목표라고 부른다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번,

도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다.

준비 운동 (S1 복습)#

풀지 못해도 된다. 이번 주가 무엇을 메우는지 확인하기 위한 기록이다.

  1. 증명이라는 게임의 세 요소(주어진 것 / 해야 할 일 / 허용된 수)를 쓰시오.

  2. 명제 “양의 실수 \(x\)가 \(x + \frac1x = 2\)를 만족하면 \(x = 1\)이다”의 A와 B를 분해하시오 (S1 예제 2.1). 그리고 이어서 증명을 시도해 보시오.

  3. S1 문제 17에서 결론 \(\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\)를 어떤 모양까지 바꿔 적었는지 재현하시오.

답을 노트에 적어 둔다. 이번 주 끝(§5 재현 뒤)에 이 기록을 다시 본다.

자주 나오는 세 가지 답#

2번을 시도했을 때 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 가정만 만지는 답. “\(x + \frac1x = 2\)의 양변에 \(x\)를 곱하면

\(x^2 + 1 = 2x\)이다”까지 적고 멈춘다. 이 변형은 옳고, 실제로 증명에 쓰인다. 문제는 어디까지 밀고 갈지를 정해 주는 것이 없다는 것이다. 가정에서 유도할 수 있는 참인 식은 무수히 많고, 그중 어느 것이 \(x = 1\)로 이어지는지는 가정 쪽만 보아서는 알 수 없다. 목표 쪽에서 내려오는 기준이 필요하다.

  • 유형 2 — 결론에서 출발해 참인 식까지 내려간 답. “\(x = 1\)이라 하자.

그러면 \(x - 1 = 0\), 제곱하면 \((x-1)^2 = 0\), 전개하면 \(x^2 - 2x + 1 = 0\). 이것은 가정에서 나오므로 참이다. 따라서 \(x = 1\)이다.” 여기서 사용한 식들은 이번 주에 만들 사슬과 거의 같다. 문제는 화살표의 방향과 답안의 순서다. 1권 15주차 규범 3이 금지한 것이 정확히 이 서술 방식이고, 1권 16주차 §1.7이 “\(-1 = 1\)의 양변을 제곱하면 \(1 = 1\)”이라는 사례로 그 위험을 보였다. 이번 주는 이 방향을 금지하는 대신 검사 규칙을 붙여 설계 도구로 승격한다.

  • 유형 3 — 백지. 가정도 결론도 손댈 곳이 보이지 않아 아무것도 적지 못했다.

다음 줄을 찾는 절차 자체가 없기 때문이고, 이번 주가 그 절차를 처음부터 제시한다.

세 유형이 가리키는 간격은 하나다 — 목표 B를 다루는 절차가 없다. 1권에서 배운 서식은 가정을 다루는 법(오프닝, 정의 풀기)은 정해 주었지만, 결론이 정의 꼴이 아닐 때 목표를 어떻게 다루는지는 정해 주지 않았다.

개념 — 후진 과정#

1 직접 증명의 서식만으로 시도하면 어디서 막히는가#

절차를 만들기 전에 실패 사례를 하나 본다. 1권 15주차의 직접 증명 서식 (오프닝 \(\to\) 정의 풀기 \(\to\) 대수 변형 \(\to\) 마감)만으로 준비 운동 2번을 밀어붙여 보자.

시도 — 1권 15주차의 서식만으로

명제: 양의 실수 \(x\)가 \(x + \frac1x = 2\)를 만족하면 \(x = 1\)이다.

“\(x\)를 양의 실수라 하고 \(x + \frac1x = 2\)라 가정하자.

\(x > 0\)이므로 양변에 \(x\)를 곱할 수 있고, \(x^2 + 1 = 2x\)이다.

이항하면 \(x^2 - 2x + 1 = 0\)이다.

따라서 … “

여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다. 계산이 틀린 것이 아니다. 세 줄 모두 옳고, 실제로 완성된 증명에도 그대로 들어간다.

확인 1. 1권 1주차 예제 2.1(짝수와 짝수의 합은 짝수)에서는 같은 자리가 왜 막히지 않았는가. 두 상황의 차이를 한 구절로 적어 보자.

답

그때는 결론 “짝수”에 정의가 있었다. 정의를 풀면 도착점이

“\(2 \times (\text{정수})\) 꼴을 만든다”로 미리 적혔고, 변형은 그 꼴을 향해

진행하면 되었다. 지금은 결론 “\(x = 1\)”에 풀 정의가 없어 **도착점 칸이 비어

있다.** 막힌 것은 계산이 아니라 도착점의 부재다.

1권 15주차 번역표에서 “목표 (Then) — 도착점” 칸(만들 꼴을 적는 자리)을

채우던 일이 언제나 가능했던 것은 그때까지의 결론이 전부 정의 꼴이었기

때문이다.

이 주 전체의 기준

결론에 풀 정의가 없으면 도착점을 만들어 내야 한다.

도착점을 만들어 내는 절차가 후진 과정이다.

2 이미 하고 있던 일 — 사례를 모아 보기#

사실 도착점을 만드는 일은 1권 내내 해 왔다. 아래 표의 왼쪽은 여러 주차에서 만난 결론이고, 오른쪽은 그 결론을 보이기 위해 실제로 한 일이다.

결론 B

B를 보이기 위해 실제로 한 일

출처

\(m + n\)은 짝수이다

\(m + n = 2 \times (\text{정수})\) 꼴을 만든다

1권 1주차 예제 2.1

\(A \subseteq B\)이다

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

1권 27주차

\(x^2 + y^2 \ge 2xy\)이다

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

1권 16주차 예제 2.1

\(f\)는 단사이다

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

1권 41주차

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 오른쪽 열의 네 칸에 공통으로 일어난 일을 한 구절로 적어 보자.

답

(1) 임의의 \(x \in A\)를 잡아 \(x \in B\)임을 보인다.

(2) 차 \(x^2 + y^2 - 2xy\)를 계산해 제곱 꼴 \((x-y)^2\)으로 정리한다.

(3) \(f(a) = f(a')\)라 가정하고 \(a = a'\)을 유도한다.

공통점: 네 칸 모두 B를 직접 다루지 않았다. B 대신, B를 보장하는 다른

명제를 새 목표로 세우고 그것을 다루었다. 목표가 한 번 교체된 것이다.

목표를 교체하려면 무엇을 교체할지 정해야 하고, 그것을 정한 것은 매번 같은 물음이었다.

확인 3. 위 네 칸에서 새 목표를 정할 때 던진 물음을 한 문장으로 복원해 보자. 물음의 주어는 무엇인가.

답

“B가 참임을 보이려면 무엇을 하면 되는가?” 주어는 언제나 결론 B다.

가정 A는 이 물음에 등장하지 않는다.

이 물음과 그 답으로 목표를 교체하는 절차에 이름을 붙인다. 절차 자체에 새로운 것은 없다 — 위 표에서 이미 네 번 수행한 일을 한 문장으로 굳혔을 뿐이다.

3 후진 과정 한 걸음의 절차#

백지 암기 대상

후진 과정 (한 걸음)

① 결론 B를 보고 핵심 질문을 던진다: “B가 참임을 보이려면 나는 어떻게 하면 되는가?”

② 질문에 추상적인 방법으로 답한다 (정의, 이미 아는 판정법, 표준 전략).

③ 그 답을 이 문제의 기호에 적용해 **새 결론 \(B_1\)**을 얻는다.

이제 게임의 목표가 B에서 \(B_1\)으로 교체된다. \(B_1\)이 여전히 멀면 반복한다:

\(B \Leftarrow B_1 \Leftarrow B_2 \Leftarrow \cdots\)

멈추는 곳. 새 결론이 (a) 가설 A 자체이거나 (b) A에서 쉽게 유도되는 것이거나 (c) 이미 아는 참(공리, 이미 증명한 정리, 1권 16주차 (W1) 같은 것)에 닿을 때 사슬을 멈춘다. 그 순간 사슬을 거꾸로 타고 올라가면 증명이 된다.

새 기호 — \(\Leftarrow\) 와 \(\Rightarrow\)

\(B \Leftarrow B_1\)은 “\(B_1\)이면 \(B\)이다”를 오른쪽에서 왼쪽으로 적은 것이고,

“\(B_1\)을 보이면 \(B\)는 따라온다”로 읽는다. \(B_1 \Rightarrow B\)와 같은 말이다.

후진 기록은 목표가 옮겨 가는 순서대로 적으므로 \(\Leftarrow\) 방향으로 이어

쓰지만, 논리의 방향은 언제나 \(\Rightarrow\) 쪽임을 기억한다.

양쪽이 모두 성립하면 \(\iff\)로 적고 “동치”라고 읽는다.

4 절차 해부 — 걸음마다 하는 일#

세 걸음은 각각 다른 일을 한다. 어느 하나를 빼면 무엇이 무너지는지가 그 걸음의 정체다.

걸음

하는 일

이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가

① 핵심 질문을 던진다

목표 B를 “무엇을 하면 되는가”라는 물음으로 바꾼다

물음이 없으면 답도 없다. 손이 가정 쪽으로만 가고 목표는 방치된다 (준비 운동 유형 1)

② 추상적인 방법으로 답한다

이 문제의 기호를 지운 유형에 대해 표준 방법의 목록을 부른다

목록이 소환되지 않아 눈에 띄는 즉석 변형에 의존하게 된다 (아래 삭제 실험)

③ 답을 기호에 적용해 \(B_1\)을 만든다

일반적인 방법을 이 명제의 문장으로 되돌린다

새 목표가 없으므로 다음 질문을 던질 대상이 없다. 사슬이 한 걸음에서 끊긴다

걸음 삭제 실험 — ②를 빼면. 명제 “\(x, y > 0\)이고 \(xy = 1\)이면 \(x + y \ge 2\)”에 ②를 생략하고 즉석 변형으로만 답해 보자.

②를 뺀 기록

“B: \(x + y \ge 2\). 어떻게 보이나? 양변에서 2를 빼면 된다.

\(B_1\): \(x + y - 2 \ge 0\). 어떻게 보이나?

\(x + y - 2 = (\sqrt x - \sqrt y)^2\)이고 제곱은 0 이상이다. 끝.”

전개해 보면 \((\sqrt x - \sqrt y)^2 = x + y - 2\sqrt{xy}\)이므로, 일반적인 항등식으로는 \(x + y - 2\)와 같지 않다. 이 명제에서 두 식이 실제로 같아지는 것은 오직 가진 것 \(xy = 1\) 때문인데, 기록은 그것을 한 번도 인용하지 않았다 — 결론이 우연히 참일 뿐 근거가 비어 있는 걸음이다. ②를 뺀 결과, “어떤 식이 0 이상임을 보이는 표준 방법”의 목록을 검토하는 자리가 사라졌고, 그와 함께 “이 등식은 무엇에 기대어 성립하는가”를 검사할 자리도 사라졌다. 결과가 참이라서 결함이 눈에 띄지 않는다는 점이 이 삭제 실험의 요점이다. (이 답안의 정식 진단은 문제 18이다.)

확인 4. ③을 빼고 “차가 0임을 보이면 된다”까지만 적고 멈추면, 다음 걸음에서 정확히 무엇을 할 수 없게 되는가.

답

다음 질문을 던질 대상이 없다. “차가 0임을 보인다”는 방법일 뿐 명제가

아니므로 “이것을 어떻게 보이는가”를 물을 수 없다. \(x - 1 = 0\)이라는 명제로

적어 놓아야 거기에 다시 핵심 질문을 던질 수 있다.

후진 과정은 사슬이고, ③이 다음 고리를 만드는 걸음이다.

5 좋은 핵심 질문의 두 요건#

백지 암기 대상

핵심 질문의 두 요건

요건 1 — 결론에서 출발한다. 질문의 주어는 언제나 B다.

(“A로 무엇을 할 수 있는가?”는 전진 과정의 질문이다 — S3주차에서 다룬다.)

요건 2 — 추상화한다. 이 문제의 특수한 기호를 지우고 일반적인 유형으로 묻는다.

나쁜 질문 (구체)

좋은 질문 (추상)

어떻게 \(x = 1\)임을 보이는가

어떻게 두 실수가 같음을 보이는가

어떻게 \(AD \perp BC\)임을 보이는가

어떻게 두 선분이 수직임을 보이는가

어떻게 \(\frac{a+b}2 > \sqrt{ab}\)임을 보이는가

어떻게 한 실수가 다른 실수보다 큼을 보이는가

왜 추상화하는가. 일반적인 질문이라야 일반적인 답을 부를 수 있기 때문이다. “두 실수가 같음을 보이는 법”에는 표준 답이 여럿 있고(§1.7), 그 목록에서 고르는 것이 전략이다. 구체 기호에 붙들리면 목록 자체가 떠오르지 않아 §1.4의 삭제 실험과 같은 상태가 된다. 1권 내내 “애매하면 정의로 돌아간다”고 한 습관은 이 목록의 제1번을 부르는 일이었다 — 정의가 왜 표준 답의 제1번인지는 S4주차에서 정면으로 다룬다.

확인 5. 다음 질문을 요건 2에 맞게 고쳐 보자: “어떻게 \(n^2 + 4n + 3\)이 짝수임을 보이는가?”

답

“어떻게 한 정수가 짝수임을 보이는가?” 기호 \(n^2 + 4n + 3\)을 지우면 유형이

드러나고, 그제야 답 목록이 소환된다: 정의 꼴 \(2 \times (\text{정수})\)를 만든다 /

짝수인 인수를 노출한다 / 두 홀수의 합으로 쓴다 / 짝수와 짝수의 합으로 쓴다.

목록이 있어야 가진 것에 가까운 것을 고를 수 있다. (문제 10에서 실제로 쓴다.)

6 방향 검사 — 후진 한 걸음의 유효 조건#

백지 암기 대상

방향 검사

후진 한 걸음이 유효하려면 \(B_1 \Rightarrow B\) 여야 한다.

즉 \(B_1\)은 B의 충분조건이어야 한다 — “\(B_1\)을 보이면 B는 따라온다”.

가장 흔한 사고는 필요조건으로 갈아타는 것이다. B가 “\(x = 2\)”일 때 “양변을 제곱해 \(x^2 = 4\)를 보이면 된다”고 적는 경우가 많다. 방향 검사를 해 보면 \(x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\)는 거짓이다 — \(x = -2\)가 목격자다. \(x^2 = 4\)는 B에서 나오는 것이지 B를 주는 것이 아니다. 이대로 \(x^2 = 4\)를 증명해도 B는 확보되지 않는다.

1권 16주차 §1.7의 “\(-1 = 1\)의 양변을 제곱하면 \(1 = 1\)이므로 참” 사례가 같은 방향의 붕괴였고, 1권 25주차 문제 19의 무연근도 같은 사고의 결과였다. 후진 과정이 그 방향을 되살릴 수 있는 이유는 검사 규칙을 붙였기 때문이다. 검사 없는 후진은 1권이 금지한 그 답안과 구별되지 않는다.

확인 6. 다음 두 걸음의 방향을 검사해 보자. (a) B: \(a < b\) \(\to\) \(B_1\): \(a^2 < b^2\) (b) B: \(x + y \ge 2\) \(\to\) \(B_1\): \(x + y - 2 \ge 0\)

답

(a) 무효. \(a^2 < b^2 \Rightarrow a < b\)는 거짓이다. \(a = 1\), \(b = -3\)을 보면

\(1 < 9\)는 참이지만 \(1 < -3\)은 거짓이다. 가진 것에 “\(a \ge 0\)이고 \(b \ge 0\)”이

있으면 유효해진다 (1권 16주차 문제 11의 대우).

(b) 유효. 양변에 2를 더하면 되돌아오므로 \(\iff\)다. 근거는 1권 16주차

(W2)(부등식의 양변에 같은 수를 더해도 부등호가 유지된다)이다.

동치로 갈아타는 걸음이 가장 안전하다 — 되돌아올 길이 보장되어 있다.

검사는 “무조건 성립하는가”가 아니라 “현재 가진 것 하에서 성립하는가”로 한다. 같은 걸음이 가진 것이 있을 때는 유효하고 없을 때는 무효인 경우가 흔하다.

확인 7. 명제 “양의 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 = 9\)이면 \(x = 3\)이다”를 증명하는 중이다. B: \(x = 3\)에서 \(B_1\): \(x^2 = 9\)로 갈아타는 걸음은 유효한가. 가진 것을 빼면 어떻게 되는가.

답

유효하다. 가진 것에 “\(x\)는 양의 실수”가 있으므로 \(x^2 = 9\)와 \(x > 0\)에서

\(x = 3\)이 따라온다. 가진 것 “\(x > 0\)”을 빼면 \(x = -3\)이 반례가 되어 무너진다.

방향 검사의 정확한 문장은 “현재 가진 것 하에서 \(B_1 \Rightarrow B\)인가”이다.

검사에 실패한 걸음이라도 가진 것을 하나 더 확보하면 살아나는 경우가 있다 —

예제 2.3이 그 경우를 다룬다. 다만 검사를 통과한다고 해서 그 걸음이 쓸모 있는

것은 아니며, 그 구별도 예제 2.3에서 본다.

7 갈림길 — 답 목록에서 고르기#

핵심 질문 하나에 답이 여럿인 것이 정상이다. “두 실수가 같음을 보이는 법”의 표준 답 목록은 다음과 같다.

답

새 결론의 모양

이 답이 자연스러운 상황

① 차가 0임을 보인다

\(A - B = 0\)

가진 것이 등식이고 대수 조작이 가능할 때

② 서로 \(\le\)이고 \(\ge\)임을 보인다

\(A \le B\) 그리고 \(B \le A\)

가진 것이 부등식 두 벌일 때 (1권 27주차 집합 상등의 양방향과 같은 정신)

③ 둘 다 같은 유일한 대상과 같음을 보인다

\(A = C\) 그리고 \(B = C\)

유일성 정리가 이미 있을 때 (1권 26주차)

④ 비가 1임을 보인다

\(A / B = 1\)

가진 것이 곱\(\cdot\)나눗셈 구조일 때 (\(B \neq 0\) 확인 필수). 분모의 부호까지 알면 부등식 비교로도 확장된다

고르는 기준은 하나다 — 가진 것에 가까워지는 쪽. 어느 답이든 방향 검사만 통과하면 논리적으로는 정당하지만, 가진 것에서 먼 답을 고르면 사슬이 길어지고 중간에 새 도구가 필요해진다.

확인 8. 가진 것이 “\(a \le b\)이고 \(b \le a\)”일 때, 위 네 답 중 자연스러운 것은 무엇이며 그 이유는 무엇인가.

답

②. 가진 것이 이미 두 부등식이므로 새 결론 “\(a \le b\) 그리고 \(b \le a\)”가 가진 것

그 자체가 되어 사슬이 한 걸음에 끝난다. ①(차가 0)을 고르면 두 부등식에서

차의 부호를 다시 짜야 하므로 걸음이 늘어난다. 목록이 없으면 이 비교 자체가

불가능하다는 점이 §1.5 요건 2의 실질적 이유다.

8 근거 목록과 답안 — 무엇이 답안에 남는가#

이번 주에 근거는 늘지 않는다. 답안에 적히는 근거는 S1주차 §1.7에서 확정한 다섯 가지 그대로다: ① 정의 ② 닫힘성 등 기본 성질 ③ 등식\(\cdot\)부등식의 조작 ④ 이미 증명한 명제 ⑤ 논리 규칙. 늘어난 것은 근거가 아니라 설계 도구다.

산출물

무엇이 적히는가

어디에 남는가

후진 기록

핵심 질문, 선택한 답, 새 결론, 방향 검사

설계 노트

증명 답안

근거 ①~⑤를 붙인 문장들

제출본

확인 9. 후진 기록을 그대로 옮겨 적어 답안으로 내면 무엇이 문제인가.

답

기록은 \(B \Leftarrow B_1 \Leftarrow B_2\) 순서로 적혀 있는데, 읽는 사람에게

필요한 것은 \(B_2 \Rightarrow B_1 \Rightarrow B\) 순서다. 기록을 그대로 옮기면

결론에서 출발한 답안이 되어 1권 15주차 규범 3을 위반한다.

후진 기록은 설계 노트에 남기고, 답안은 사슬을 거꾸로 타서 쓴다.

그 되짚기를 정면으로 다루는 것이 S3주차이고, 완성된 교과서 증명이 왜 설계

흔적을 지운 압축본처럼 보이는지도 거기서 설명된다.

1권에서 이름이 없던 것이 여기서 이름을 얻는다. 1권 15주차 번역표의 “목표 (Then) — 도착점” 칸(만들 꼴을 적는 자리)을 채우던 일이 후진 한 걸음이었고, 1권 16주차 차–제곱 전략의 ①②③은 부등식 유형의 B에 대해 후진 사슬을 미리 접어 둔 기성품이었다. 1권의 전략들이 유형별 기성품이라면, 이번 주에 배우는 것은 기성품이 없는 낯선 B 앞에서 사슬을 즉석 제작하는 법이다. (이 관계를 정리하는 것이 문제 19다.)