# S2주차 — 후진 과정: 핵심 질문을 만드는 기술

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 막히면 결론에게 묻는다 — "B가 참임을 보이려면 무엇을 하면 되는가?"

**이 주의 위치**: 1학기 20주 중 S2주차. S1에서 세운 "A $\Rightarrow$ B 게임"의 판 위에서, 목표 B를 다루는 첫 절차를 배운다. 1권 15주차의 번역표와 16주차의 차–제곱 전략이 여기서 이름을 얻는다.

**원서 대응**: Solow 2장 전반. 주간 루틴 1일차에 2장을 통독하고 이 교안에 온다. 2장의 나머지 절반(전진 과정)은 S3주차에서 다룬다.
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## 이번 주 목표

1. **후진 과정**(backward process) 한 걸음의 절차 ①②③ — 핵심 질문 $\to$ 추상적 답 $\to$ 새 결론 B1 — 을 백지에 쓰고 실제로 수행할 수 있다.
1. 좋은 핵심 질문의 두 요건(결론에서 출발, **추상화**)을 구별하고, 나쁜 질문을 좋은 질문으로 고쳐 쓸 수 있다.
1. 후진 한 걸음의 논리 방향 — **$B_1 \Rightarrow B$** — 을 매 걸음 검사하는 습관을 만든다.
1. 하나의 결론에 여러 답이 가능함을 알고, 가진 것에 가까워지는 쪽을 고르는 기준을 적용할 수 있다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

:::{admonition} 표기 — 이 주차에서 쓰는 낱말
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§는 "절"이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을 가리킨다. 다른 주차를

가리킬 때는 "S1주차 §1.2"처럼 주차를 앞에 적고, 1권을 가리킬 때는

"1권 16주차 문제 11"처럼 적는다.

S1주차 §1.1에서 정한 대로 **가진 것**은 가설 A와 그로부터 유도한 것들의

목록이고, **만들 것**은 B 또는 B를 대신할 명제의 목록이다. 이 주차에서는

만들 것의 맨 앞에 놓인 명제를 **목표**라고 부른다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번,

도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다.
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## 준비 운동 (S1 복습)

풀지 못해도 된다. 이번 주가 무엇을 메우는지 확인하기 위한 기록이다.

1. 증명이라는 게임의 세 요소(주어진 것 / 해야 할 일 / 허용된 수)를 쓰시오.
1. 명제 "양의 실수 $x$가 $x + \frac1x = 2$를 만족하면 $x = 1$이다"의 A와 B를 분해하시오 (S1 예제 2.1). 그리고 이어서 증명을 시도해 보시오.
1. S1 문제 17에서 결론 $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$를 어떤 모양까지 바꿔 적었는지 재현하시오.

답을 노트에 적어 둔다. 이번 주 끝(§5 재현 뒤)에 이 기록을 다시 본다.

### 자주 나오는 세 가지 답

2번을 시도했을 때 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 가정만 만지는 답.** "$x + \frac1x = 2$의 양변에 $x$를 곱하면

$x^2 + 1 = 2x$이다"까지 적고 멈춘다. 이 변형은 옳고, 실제로 증명에 쓰인다. 문제는 **어디까지 밀고 갈지를 정해 주는 것이 없다**는 것이다. 가정에서 유도할 수 있는 참인 식은 무수히 많고, 그중 어느 것이 $x = 1$로 이어지는지는 가정 쪽만 보아서는 알 수 없다. 목표 쪽에서 내려오는 기준이 필요하다.

- **유형 2 — 결론에서 출발해 참인 식까지 내려간 답.** "$x = 1$이라 하자.

그러면 $x - 1 = 0$, 제곱하면 $(x-1)^2 = 0$, 전개하면 $x^2 - 2x + 1 = 0$. 이것은 가정에서 나오므로 참이다. 따라서 $x = 1$이다." 여기서 사용한 식들은 이번 주에 만들 사슬과 거의 같다. 문제는 **화살표의 방향과 답안의 순서**다. 1권 15주차 규범 3이 금지한 것이 정확히 이 서술 방식이고, 1권 16주차 §1.7이 "$-1 = 1$의 양변을 제곱하면 $1 = 1$"이라는 사례로 그 위험을 보였다. 이번 주는 이 방향을 금지하는 대신 **검사 규칙을 붙여 설계 도구로 승격**한다.

- **유형 3 — 백지.** 가정도 결론도 손댈 곳이 보이지 않아 아무것도 적지 못했다.

다음 줄을 찾는 절차 자체가 없기 때문이고, 이번 주가 그 절차를 처음부터 제시한다.

세 유형이 가리키는 간격은 하나다 — **목표 B를 다루는 절차가 없다.** 1권에서 배운 서식은 가정을 다루는 법(오프닝, 정의 풀기)은 정해 주었지만, 결론이 정의 꼴이 아닐 때 목표를 어떻게 다루는지는 정해 주지 않았다.

## 개념 — 후진 과정

### 1 직접 증명의 서식만으로 시도하면 어디서 막히는가

절차를 만들기 전에 실패 사례를 하나 본다. 1권 15주차의 직접 증명 서식 (오프닝 $\to$ 정의 풀기 $\to$ 대수 변형 $\to$ 마감)만으로 준비 운동 2번을 밀어붙여 보자.

:::{admonition} 시도 — 1권 15주차의 서식만으로
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명제: 양의 실수 $x$가 $x + \frac1x = 2$를 만족하면 $x = 1$이다.

"$x$를 양의 실수라 하고 $x + \frac1x = 2$라 가정하자.

$x > 0$이므로 양변에 $x$를 곱할 수 있고, $x^2 + 1 = 2x$이다.

이항하면 $x^2 - 2x + 1 = 0$이다.

따라서 … "
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여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다. 계산이 틀린 것이 아니다. 세 줄 모두 옳고, 실제로 완성된 증명에도 그대로 들어간다.

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**확인 1.** 1권 1주차 예제 2.1(짝수와 짝수의 합은 짝수)에서는 같은 자리가 왜 막히지 않았는가. 두 상황의 차이를 한 구절로 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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그때는 결론 "짝수"에 **정의가 있었다**. 정의를 풀면 도착점이

"$2 \times (\text{정수})$ 꼴을 만든다"로 미리 적혔고, 변형은 그 꼴을 향해

진행하면 되었다. 지금은 결론 "$x = 1$"에 풀 정의가 없어 **도착점 칸이 비어

있다.** 막힌 것은 계산이 아니라 도착점의 부재다.

1권 15주차 번역표에서 "목표 (Then) — 도착점" 칸(만들 꼴을 적는 자리)을

채우던 일이 언제나 가능했던 것은 그때까지의 결론이 전부 정의 꼴이었기

때문이다.
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:::{admonition} 이 주 전체의 기준
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결론에 풀 정의가 없으면 도착점을 **만들어 내야** 한다.

도착점을 만들어 내는 절차가 후진 과정이다.
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### 2 이미 하고 있던 일 — 사례를 모아 보기

사실 도착점을 만드는 일은 1권 내내 해 왔다. 아래 표의 왼쪽은 여러 주차에서 만난 결론이고, 오른쪽은 그 결론을 보이기 위해 **실제로 한 일**이다.

| **결론 B** | **B를 보이기 위해 실제로 한 일** | **출처** |
|---|---|---|
| $m + n$은 짝수이다 | $m + n = 2 \times (\text{정수})$ 꼴을 만든다 | 1권 1주차 예제 2.1 |
| $A \subseteq B$이다 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | 1권 27주차 |
| $x^2 + y^2 \ge 2xy$이다 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 1권 16주차 예제 2.1 |
| $f$는 단사이다 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | 1권 41주차 |

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**확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 오른쪽 열의 네 칸에 공통으로 일어난 일을 한 구절로 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) 임의의 $x \in A$를 잡아 $x \in B$임을 보인다.

(2) 차 $x^2 + y^2 - 2xy$를 계산해 제곱 꼴 $(x-y)^2$으로 정리한다.

(3) $f(a) = f(a')$라 가정하고 $a = a'$을 유도한다.

공통점: 네 칸 모두 **B를 직접 다루지 않았다.** B 대신, B를 보장하는 다른

명제를 새 목표로 세우고 그것을 다루었다. 목표가 한 번 교체된 것이다.
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목표를 교체하려면 무엇을 교체할지 정해야 하고, 그것을 정한 것은 매번 같은 물음이었다.

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**확인 3.** 위 네 칸에서 새 목표를 정할 때 던진 물음을 한 문장으로 복원해 보자. 물음의 주어는 무엇인가.
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:::{admonition} 답
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"B가 참임을 보이려면 무엇을 하면 되는가?" 주어는 언제나 **결론 B**다.

가정 A는 이 물음에 등장하지 않는다.
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이 물음과 그 답으로 목표를 교체하는 절차에 이름을 붙인다. 절차 자체에 새로운 것은 없다 — 위 표에서 이미 네 번 수행한 일을 한 문장으로 굳혔을 뿐이다.

### 3 후진 과정 한 걸음의 절차

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**후진 과정 (한 걸음)**

① 결론 B를 보고 **핵심 질문**을 던진다: "**B가 참임을 보이려면 나는 어떻게 하면 되는가?**"

② 질문에 **추상적인 방법**으로 답한다 (정의, 이미 아는 판정법, 표준 전략).

③ 그 답을 이 문제의 기호에 적용해 **새 결론 $B_1$**을 얻는다.

이제 게임의 목표가 B에서 $B_1$으로 교체된다. $B_1$이 여전히 멀면 반복한다:

$B \Leftarrow B_1 \Leftarrow B_2 \Leftarrow \cdots$
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**멈추는 곳.** 새 결론이 (a) 가설 A 자체이거나 (b) A에서 쉽게 유도되는 것이거나 (c) 이미 아는 참(공리, 이미 증명한 정리, 1권 16주차 (W1) 같은 것)에 닿을 때 사슬을 멈춘다. 그 순간 사슬을 거꾸로 타고 올라가면 증명이 된다.

:::{admonition} 새 기호 — $\Leftarrow$ 와 $\Rightarrow$
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$B \Leftarrow B_1$은 "$B_1$이면 $B$이다"를 오른쪽에서 왼쪽으로 적은 것이고,

"$B_1$을 보이면 $B$는 따라온다"로 읽는다. $B_1 \Rightarrow B$와 같은 말이다.

후진 기록은 목표가 옮겨 가는 순서대로 적으므로 $\Leftarrow$ 방향으로 이어

쓰지만, 논리의 방향은 언제나 $\Rightarrow$ 쪽임을 기억한다.

양쪽이 모두 성립하면 $\iff$로 적고 "동치"라고 읽는다.
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### 4 절차 해부 — 걸음마다 하는 일

세 걸음은 각각 다른 일을 한다. 어느 하나를 빼면 무엇이 무너지는지가 그 걸음의 정체다.

| **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** |
|---|---|---|
| ① 핵심 질문을 던진다 | 목표 B를 "무엇을 하면 되는가"라는 물음으로 바꾼다 | 물음이 없으면 답도 없다. 손이 가정 쪽으로만 가고 목표는 방치된다 (준비 운동 유형 1) |
| ② 추상적인 방법으로 답한다 | 이 문제의 기호를 지운 유형에 대해 표준 방법의 **목록**을 부른다 | 목록이 소환되지 않아 눈에 띄는 즉석 변형에 의존하게 된다 (아래 삭제 실험) |
| ③ 답을 기호에 적용해 $B_1$을 만든다 | 일반적인 방법을 이 명제의 문장으로 되돌린다 | 새 목표가 없으므로 다음 질문을 던질 대상이 없다. 사슬이 한 걸음에서 끊긴다 |

**걸음 삭제 실험 — ②를 빼면.** 명제 "$x, y > 0$이고 $xy = 1$이면 $x + y \ge 2$"에 ②를 생략하고 즉석 변형으로만 답해 보자.

:::{admonition} ②를 뺀 기록
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"B: $x + y \ge 2$. 어떻게 보이나? 양변에서 2를 빼면 된다.

$B_1$: $x + y - 2 \ge 0$. 어떻게 보이나?

$x + y - 2 = (\sqrt x - \sqrt y)^2$이고 제곱은 0 이상이다. 끝."
:::

전개해 보면 $(\sqrt x - \sqrt y)^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$이므로, 일반적인 항등식으로는 $x + y - 2$와 같지 않다. 이 명제에서 두 식이 실제로 같아지는 것은 오직 가진 것 $xy = 1$ 때문인데, 기록은 그것을 한 번도 인용하지 않았다 — 결론이 우연히 참일 뿐 근거가 비어 있는 걸음이다. ②를 뺀 결과, "어떤 식이 0 이상임을 보이는 표준 방법"의 목록을 검토하는 자리가 사라졌고, 그와 함께 "이 등식은 무엇에 기대어 성립하는가"를 검사할 자리도 사라졌다. 결과가 참이라서 결함이 눈에 띄지 않는다는 점이 이 삭제 실험의 요점이다. (이 답안의 정식 진단은 문제 18이다.)

:::{container} quotebox
**확인 4.** ③을 빼고 "차가 0임을 보이면 된다"까지만 적고 멈추면, 다음 걸음에서 정확히 무엇을 할 수 없게 되는가.
:::

:::{admonition} 답
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**다음 질문을 던질 대상이 없다.** "차가 0임을 보인다"는 방법일 뿐 명제가

아니므로 "이것을 어떻게 보이는가"를 물을 수 없다. $x - 1 = 0$이라는 명제로

적어 놓아야 거기에 다시 핵심 질문을 던질 수 있다.

후진 과정은 사슬이고, ③이 다음 고리를 만드는 걸음이다.
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### 5 좋은 핵심 질문의 두 요건

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**핵심 질문의 두 요건**

**요건 1 — 결론에서 출발한다.** 질문의 주어는 언제나 B다.

("A로 무엇을 할 수 있는가?"는 전진 과정의 질문이다 — S3주차에서 다룬다.)

**요건 2 — 추상화한다.** 이 문제의 특수한 기호를 지우고 **일반적인 유형**으로 묻는다.
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| **나쁜 질문 (구체)** | **좋은 질문 (추상)** |
|---|---|
| 어떻게 $x = 1$임을 보이는가 | 어떻게 **두 실수가 같음**을 보이는가 |
| 어떻게 $AD \perp BC$임을 보이는가 | 어떻게 **두 선분이 수직임**을 보이는가 |
| 어떻게 $\frac{a+b}2 > \sqrt{ab}$임을 보이는가 | 어떻게 **한 실수가 다른 실수보다 큼**을 보이는가 |

**왜 추상화하는가.** 일반적인 질문이라야 일반적인 답을 부를 수 있기 때문이다. "두 실수가 같음을 보이는 법"에는 표준 답이 여럿 있고(§1.7), 그 목록에서 고르는 것이 전략이다. 구체 기호에 붙들리면 목록 자체가 떠오르지 않아 §1.4의 삭제 실험과 같은 상태가 된다. 1권 내내 "애매하면 정의로 돌아간다"고 한 습관은 이 목록의 제1번을 부르는 일이었다 — 정의가 왜 표준 답의 제1번인지는 S4주차에서 정면으로 다룬다.

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**확인 5.** 다음 질문을 요건 2에 맞게 고쳐 보자: "어떻게 $n^2 + 4n + 3$이 짝수임을 보이는가?"
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:::{admonition} 답
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"어떻게 **한 정수가 짝수임**을 보이는가?" 기호 $n^2 + 4n + 3$을 지우면 유형이

드러나고, 그제야 답 목록이 소환된다: 정의 꼴 $2 \times (\text{정수})$를 만든다 /

짝수인 인수를 노출한다 / 두 홀수의 합으로 쓴다 / 짝수와 짝수의 합으로 쓴다.

목록이 있어야 가진 것에 가까운 것을 고를 수 있다. (문제 10에서 실제로 쓴다.)
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### 6 방향 검사 — 후진 한 걸음의 유효 조건

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**방향 검사**

후진 한 걸음이 유효하려면 **$B_1 \Rightarrow B$** 여야 한다.

즉 $B_1$은 B의 **충분조건**이어야 한다 — "$B_1$을 보이면 B는 따라온다".
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**가장 흔한 사고는 필요조건으로 갈아타는 것이다.** B가 "$x = 2$"일 때 "양변을 제곱해 $x^2 = 4$를 보이면 된다"고 적는 경우가 많다. 방향 검사를 해 보면 $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$는 거짓이다 — $x = -2$가 목격자다. $x^2 = 4$는 B에서 **나오는** 것이지 B를 **주는** 것이 아니다. 이대로 $x^2 = 4$를 증명해도 B는 확보되지 않는다.

1권 16주차 §1.7의 "$-1 = 1$의 양변을 제곱하면 $1 = 1$이므로 참" 사례가 같은 방향의 붕괴였고, 1권 25주차 문제 19의 무연근도 같은 사고의 결과였다. 후진 과정이 그 방향을 되살릴 수 있는 이유는 **검사 규칙을 붙였기 때문**이다. 검사 없는 후진은 1권이 금지한 그 답안과 구별되지 않는다.

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**확인 6.** 다음 두 걸음의 방향을 검사해 보자. (a) B: $a < b$ $\to$ $B_1$: $a^2 < b^2$ (b) B: $x + y \ge 2$ $\to$ $B_1$: $x + y - 2 \ge 0$
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:::{admonition} 답
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(a) **무효.** $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$는 거짓이다. $a = 1$, $b = -3$을 보면

$1 < 9$는 참이지만 $1 < -3$은 거짓이다. 가진 것에 "$a \ge 0$이고 $b \ge 0$"이

있으면 유효해진다 (1권 16주차 문제 11의 대우).

(b) **유효.** 양변에 2를 더하면 되돌아오므로 $\iff$다. 근거는 1권 16주차

(W2)(부등식의 양변에 같은 수를 더해도 부등호가 유지된다)이다.

동치로 갈아타는 걸음이 가장 안전하다 — 되돌아올 길이 보장되어 있다.
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**검사는 "무조건 성립하는가"가 아니라 "현재 가진 것 하에서 성립하는가"로 한다.** 같은 걸음이 가진 것이 있을 때는 유효하고 없을 때는 무효인 경우가 흔하다.

:::{container} quotebox
**확인 7.** 명제 "양의 실수 $x$에 대해 $x^2 = 9$이면 $x = 3$이다"를 증명하는 중이다. B: $x = 3$에서 $B_1$: $x^2 = 9$로 갈아타는 걸음은 유효한가. 가진 것을 빼면 어떻게 되는가.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

**유효하다.** 가진 것에 "$x$는 양의 실수"가 있으므로 $x^2 = 9$와 $x > 0$에서

$x = 3$이 따라온다. 가진 것 "$x > 0$"을 빼면 $x = -3$이 반례가 되어 무너진다.

방향 검사의 정확한 문장은 "현재 가진 것 하에서 $B_1 \Rightarrow B$인가"이다.

검사에 실패한 걸음이라도 가진 것을 하나 더 확보하면 살아나는 경우가 있다 —

예제 2.3이 그 경우를 다룬다. 다만 검사를 통과한다고 해서 그 걸음이 쓸모 있는

것은 아니며, 그 구별도 예제 2.3에서 본다.
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### 7 갈림길 — 답 목록에서 고르기

핵심 질문 하나에 답이 여럿인 것이 정상이다. "두 실수가 같음을 보이는 법"의 표준 답 목록은 다음과 같다.

| **답** | **새 결론의 모양** | **이 답이 자연스러운 상황** |
|---|---|---|
| ① 차가 0임을 보인다 | $A - B = 0$ | 가진 것이 등식이고 대수 조작이 가능할 때 |
| ② 서로 $\le$이고 $\ge$임을 보인다 | $A \le B$ 그리고 $B \le A$ | 가진 것이 부등식 두 벌일 때 (1권 27주차 집합 상등의 양방향과 같은 정신) |
| ③ 둘 다 같은 유일한 대상과 같음을 보인다 | $A = C$ 그리고 $B = C$ | 유일성 정리가 이미 있을 때 (1권 26주차) |
| ④ 비가 1임을 보인다 | $A / B = 1$ | 가진 것이 곱$\cdot$나눗셈 구조일 때 ($B \neq 0$ 확인 필수). 분모의 부호까지 알면 부등식 비교로도 확장된다 |

**고르는 기준은 하나다 — 가진 것에 가까워지는 쪽.** 어느 답이든 방향 검사만 통과하면 논리적으로는 정당하지만, 가진 것에서 먼 답을 고르면 사슬이 길어지고 중간에 새 도구가 필요해진다.

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**확인 8.** 가진 것이 "$a \le b$이고 $b \le a$"일 때, 위 네 답 중 자연스러운 것은 무엇이며 그 이유는 무엇인가.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

**②.** 가진 것이 이미 두 부등식이므로 새 결론 "$a \le b$ 그리고 $b \le a$"가 가진 것

그 자체가 되어 사슬이 한 걸음에 끝난다. ①(차가 0)을 고르면 두 부등식에서

차의 부호를 다시 짜야 하므로 걸음이 늘어난다. 목록이 없으면 이 비교 자체가

불가능하다는 점이 §1.5 요건 2의 실질적 이유다.
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### 8 근거 목록과 답안 — 무엇이 답안에 남는가

이번 주에 근거는 늘지 않는다. 답안에 적히는 근거는 S1주차 §1.7에서 확정한 다섯 가지 그대로다: ① 정의 ② 닫힘성 등 기본 성질 ③ 등식$\cdot$부등식의 조작 ④ 이미 증명한 명제 ⑤ 논리 규칙. 늘어난 것은 근거가 아니라 **설계 도구**다.

| **산출물** | **무엇이 적히는가** | **어디에 남는가** |
|---|---|---|
| 후진 기록 | 핵심 질문, 선택한 답, 새 결론, 방향 검사 | 설계 노트 |
| 증명 답안 | 근거 ①~⑤를 붙인 문장들 | 제출본 |

:::{container} quotebox
**확인 9.** 후진 기록을 그대로 옮겨 적어 답안으로 내면 무엇이 문제인가.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

기록은 $B \Leftarrow B_1 \Leftarrow B_2$ 순서로 적혀 있는데, 읽는 사람에게

필요한 것은 $B_2 \Rightarrow B_1 \Rightarrow B$ 순서다. 기록을 그대로 옮기면

결론에서 출발한 답안이 되어 1권 15주차 규범 3을 위반한다.

후진 기록은 설계 노트에 남기고, 답안은 사슬을 **거꾸로 타서** 쓴다.

그 되짚기를 정면으로 다루는 것이 S3주차이고, 완성된 교과서 증명이 왜 설계

흔적을 지운 압축본처럼 보이는지도 거기서 설명된다.
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**1권에서 이름이 없던 것이 여기서 이름을 얻는다.** 1권 15주차 번역표의 "목표 (Then) — 도착점" 칸(만들 꼴을 적는 자리)을 채우던 일이 후진 한 걸음이었고, 1권 16주차 차–제곱 전략의 ①②③은 부등식 유형의 B에 대해 후진 사슬을 미리 접어 둔 기성품이었다. 1권의 전략들이 유형별 기성품이라면, 이번 주에 배우는 것은 기성품이 없는 낯선 B 앞에서 사슬을 즉석 제작하는 법이다. (이 관계를 정리하는 것이 문제 19다.)