16주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

16주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 부등식 증명을 함께 만들기#

세 예제에서 지지대를 차례로 뺀다. 예제 2.1은 설계표부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

예제 2.1 — 차–제곱 전략의 기본형#

명제. 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)이며, 등호는 \(x = y\)일 때만 성립한다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 15주차의 번역표와 같은 순서다. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 정의 16.1로 번역한다.

말

수식 번역

가정 (주어진 것) — 출발점

\(x, y\)는 실수

부호에 대한 정보 없음 — 쓸 수 있는 것은 (W1)뿐

목표 (만들 것) — 도착점

\(x^2 + y^2 \ge 2xy\)

\(\underline{\quad(?)\quad}\)가 0 이상임을 보인다

확인 11. 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 정의 16.1로 번역하면 어떤 식

하나의 부호를 판정하는 문제가 되는가.

답

차 \((x^2 + y^2) - 2xy\)이다. 두 식의 비교가 한 식의 부호 판정으로 바뀌었다.

가정 칸이 비어 있다는 점도 정보다 — \(x, y\)의 부호를 모르므로 (W4)는 쓸 수

없고, 부호를 묻지 않는 유일한 성질인 (W1)에 기댈 수밖에 없다. 그렇다면 차를

제곱 꼴로 만드는 것이 유일한 길이라는 것까지 설계 단계에서 정해진다.

1단계 — 오프닝. 명제가 “모든 실수 \(x, y\)에 대해”로 시작하므로, 15주차의 \(\forall\) 오프닝을 그대로 쓴다.

확인 12. 첫 문장을 완성해 보자: “\(x, y\)를 \(\underline{\qquad}\)라 하자.”

답

“\(x, y\)를 임의의 실수라 하자.” 임의로 잡은 두 실수에 대해 결론을 보이면 모든

실수 쌍에 대해 보인 것이 된다 — 문자의 일반성이다. “임의의”를 빠뜨려도 뜻은

통하지만, 특정한 두 수를 잡은 것으로 읽힐 여지를 없애는 편이 안전하다.

2단계 — 차를 계산하고 제곱으로 정리한다. 전략의 ①②를 한 문장에 담는다.

확인 13. 둘째 문장을 완성해 보자:

“차를 계산하면 \(x^2 + y^2 - 2xy = \underline{\qquad}\)이다.”

답

\((x - y)^2\)이다. 완전제곱 공식 \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)을 오른쪽에서 왼쪽으로

읽은 것뿐이다. 전개할 줄 알면 인식할 줄도 아는 셈인데 방향이 반대라 손이

늦다 — 항이 세 개이고 양 끝이 제곱이면 가운데 항의 계수부터 확인하는 습관이

이 인식을 빠르게 한다.

3단계 — (W1)로 부호를 선언하고 정의 16.1로 읽는다.

확인 14. 셋째 문장을 완성해 보자:

“\((x-y)^2 \ge 0\)이므로(\(\underline{\quad(1)\quad}\)), \(x^2 + y^2 - 2xy \ge 0\)이고,

양변에 \(2xy\)를 더하면(\(\underline{\quad(2)\quad}\)) \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)이다.”

답

(1) (W1) (2) (W2). 마지막 이항이 근거 없이 이루어지지 않는다는 점이 이 줄의

요점이다. 부등식에서 항을 옮기는 것은 양변에 같은 수를 더하는 조작이고, 그것을

허가하는 것이 (W2)이다. 등식에서 이항이 자유로웠던 이유(등식의 성질)와 같은

자리에 (W2)가 들어와 있다.

4단계 — 등호 조건. 차가 제곱 하나로 정리되어 있으므로 §1.6대로 읽는다.

확인 15. 마지막 문장을 완성해 보자:

“등호는 \((x-y)^2 = \underline{\quad(1)\quad}\)일 때, 즉 \(\underline{\quad(2)\quad}\)일 때만 성립한다.”

답

(1) \(0\) (2) \(x = y\). (W1)의 등호 조건 “제곱이 0인 것은 밑이 0일 때만”을

\(x - y\)에 적용했다. 등호 조건은 별도의 증명이 아니라 이미 쓴 줄을 한 번 더

읽는 작업이다 — 그래서 차–제곱 전략으로 쓴 증명에는 등호 조건을 빠뜨릴

이유가 없다.

완성본. 방금 만든 네 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(x, y\)를 임의의 실수라 하자.

\(\forall\) 오프닝(15주차 서식). 설계표에서 정한 도착점은 “차가 0 이상”이다.

차를 계산하면 \(x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2\)이다.

전략 ①②. 두 식의 비교를 한 식으로 압축하고(정의 16.1), 완전제곱으로 인식한다.

\((x-y)^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 + y^2 - 2xy \ge 0\)이고, 양변에 \(2xy\)를 더하면 \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)이다.

전략 ③. 부호 선언은 (W1), 이항은 (W2) — 줄 하나에 근거 두 개가 들어 있다.

등호는 \((x-y)^2 = 0\)일 때, 즉 \(x = y\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)

(W1)의 등호 조건을 그대로 읽어 낸다. 이 줄이 없으면 정리가 절반이다.

이 네 줄이 “모든” 실수 쌍을 처리하는 이유. 완성본의 \(x, y\)에 구체적인 수를 넣어 읽어 보자.

확인 16. \(x = 5\), \(y = 3\)일 때 둘째 줄과 셋째 줄은 각각 어떤 등식\(\cdot\)부등식이

되는가. \(x = -2\), \(y = -2\)일 때는 어떤가.

답

\(x = 5, y = 3\): 둘째 줄은 \(25 + 9 - 30 = 4 = (5-3)^2\), 셋째 줄은 \(4 \ge 0\)이고

\(34 \ge 30\)이다. \(x = -2, y = -2\): 둘째 줄은 \(4 + 4 - 8 = 0\), 셋째 줄은

\(0 \ge 0\)이고 \(8 \ge 8\) — 등호가 실제로 나왔고 넷째 줄이 예고한 조건 \(x = y\)가

맞다. 음수를 넣어도 모든 줄이 그대로 작동한다. 부호를 묻지 않는 (W1)만

썼기 때문이다.

예제 2.2 — 산술–기하 평균 부등식 (AM–GM)#

명제. \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이면 \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)이며, 등호는 \(a = b\)일 때만 성립한다.

이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.

확인 17. 번역표를 채워 보자.

가정: \(a \ge 0\), \(b \ge 0\) \(\to\) \(\sqrt{a}\)와 \(\sqrt{b}\)가 \(\underline{\quad(1)\quad}\)로 존재한다.

목표: \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) \(\to\) 차 \(\underline{\quad(2)\quad}\)가 0 이상임을 보인다.

답

(1) 실수 (2) \(\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab}\). 근거는 §1.2의 인정 사실 상자

“제곱근”이다 — \(a \ge 0\)이면 \(\sqrt a\)가 실수로 정확히 하나 존재한다는 그

상자가 가정을 실수 하나로 바꿔 준다. 가정이 소비되는 자리를 설계 단계에서

미리 지목해 둔 것이 이 표의 소득이다. 음수의 제곱근은 실수가 아니므로,

\(a \ge 0\)과 \(b \ge 0\)이 없으면 목표에 적힌 기호 \(\sqrt{ab}\)부터 뜻을 잃는다.

확인 18. 목표의 차에는 분수와 제곱근이 섞여 있어 완전제곱이 바로

보이지 않는다. 그런데 \((\sqrt a - \sqrt b)^2\)을 전개하면 무엇이 나오는가.

그 결과가 차와 어떻게 이어지는지 한 문장으로 적어 보자.

답

\((\sqrt a - \sqrt b)^2 = a - 2\sqrt a \sqrt b + b = a + b - 2\sqrt{ab}\)이고

(§1.2 인정 사실 “제곱근”의 \((\sqrt a)^2 = a\)와 \(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\)를

썼다), 이것은 목표의 차에 2를 곱한 것과 같다 — 차의 2배가 제곱 하나로 정리된다.

분수를 다루기 싫으면 차 대신 차의 양수 배를 제곱으로 만들고 마지막에 (W3)으로

되돌리면 된다. 제곱근이 있는 식에서는 제곱근 자체를 문자처럼 놓고 완전제곱을

찾는 것이 표준 수순이다.

증명. \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이라 하자. 그러면 §1.2의 인정 사실 “제곱근”에 의해 \(\sqrt{a}\), \(\sqrt{b}\)가 실수로 존재하므로 (W1)에 의해

\[ 0 \le (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b = a + b - 2\sqrt{ab} \]

이다(가운데 등식에서 \((\sqrt a)^2 = a\), 오른쪽 등식에서 \(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\)를 썼다 — 둘 다 §1.2의 인정 사실 “제곱근”이다). 양변에 \(2\sqrt{ab}\)를 더하면(W2) \(2\sqrt{ab} \le a + b\)이고, 양변을 \(2 > 0\)으로 나누면(W3, 방향 유지) \(\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}\)이다. 등호는 \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0\), 즉 \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\)일 때, 곧 양변을 제곱한 \(a = b\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)

가정의 소비처. 고등학교에서 “절대부등식”이라는 이름으로 외운 명제가 (W1) 하나에서 나왔다. 가정 \(a, b \ge 0\)은 단 한 곳 — \(\sqrt a\), \(\sqrt b\)가 실수로 존재하는 자리 — 에서 소비된다. 가정이 어디서 쓰였는지 짚는 습관은 15주차 문제 11에서 세운 것이고, 이번 주에는 그 자리가 대체로 “제곱근의 존재” 아니면 “분모의 부호”다.

예제 2.3 — 조건이 있는 부등식#

명제. \(a > 0\)이면 \(a + \dfrac{1}{a} \ge 2\)이며, 등호는 \(a = 1\)일 때만 성립한다.

이번에는 설계부터 스스로 한다. 아래 확인에 답한 뒤 증명을 읽는다.

확인 19. 번역표를 통째로 채워 보자.

① 가정 \(a > 0\)이 이 증명에서 쓰일 곳을 두 군데 짐작해 보자.

② 목표를 정의 16.1로 번역하면 어떤 식의 부호를 판정하게 되는가.

③ 그 식에는 분수가 있다. 제곱을 찾으려면 먼저 무엇을 해야 하는가.

답

① 하나는 \(\frac{1}{a}\)이 뜻을 가지려면 \(a \neq 0\)이어야 하는 자리, 다른 하나는

통분한 뒤 분모 \(a\)의 부호를 말해야 하는 자리다.

② 차 \(a + \frac{1}{a} - 2\)의 부호를 판정한다.

③ 통분한다. 분모를 \(a\)로 맞추면 분자가 \(a^2 - 2a + 1\)이 되고, 이것이 완전제곱

\((a-1)^2\)이다. 분수가 섞인 차에서는 “통분 \(\to\) 분자에서 제곱 찾기 \(\to\) 분모의 부호

말하기”가 고정된 수순이다.

증명. \(a > 0\)이라 하자. 그러면 \(a \neq 0\)이므로 \(\frac{1}{a}\)이 정의되고, 차를 통분하면

\[ a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} = \frac{(a-1)^2}{a} \]

이다. (W1)에 의해 분자 \((a-1)^2 \ge 0\)이고 가정에 의해 분모 \(a > 0\)이므로 (W5)에 의해 \(\frac1a > 0\)이고, 0 이상인 것과 0 이상인 것의 곱이므로 (W4)에 의해 몫 \(\dfrac{(a-1)^2}{a} = (a-1)^2 \cdot \dfrac1a\)은 0 이상이다. 따라서 \(a + \dfrac{1}{a} - 2 \ge 0\)이고, 양변에 2를 더하면(W2) \(a + \dfrac{1}{a} \ge 2\)이다. 등호는 \((a-1)^2 = 0\), 즉 \(a = 1\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)

가정을 지우면. \(a > 0\)을 빼면 명제 자체가 거짓이 된다. \(a = -1\)이면 좌변은 \(-2\)이고 \(-2 \ge 2\)는 거짓이다. 가정의 소비처를 짚는 작업이 곧 반례를 찾는 작업이기도 하다 — 가정이 소비되는 자리를 무너뜨리면 반례가 나온다.

관찰 — 같은 뼈대#

세 예제의 증명을 나란히 놓으면 문장의 배치가 같다. 대응표를 채워 확인해 보자.

아래 ①~④는 답안 뼈대의 네 걸음이다. §1.5의 차–제곱 전략 ①②③과 번호가 겹치지 않게 읽는다 — 전략의 세 단계는 이 표의 ②③과 마감에 해당한다.

뼈대의 걸음

예제 2.1

예제 2.2

예제 2.3

① 오프닝

\(x, y\)를 임의의 실수라 하자

\(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이라 하자

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

② 차(또는 차의 양수 배)를 계산\(\cdot\)정리

\(x^2+y^2-2xy = (x-y)^2\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(a + \frac1a - 2 = \frac{(a-1)^2}{a}\)

③ 부호 선언

(W1)

(W1)

(W1) + 분모 \(a > 0\)과 (W5)(W4)

④ 등호 조건

\(x = y\)

\(a = b\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

확인 20. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 증명에서 ③ 칸이 전부 (W1)을

포함하는 이유를 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) “\(a > 0\)이라 하자” (2) 차의 2배 \(a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt a - \sqrt b)^2\)

(예제 2.2는 분수를 피하려고 차 대신 차의 2배를 다루고, 마지막에 (W3)으로

되돌린다 — 그래서 ② 칸의 제목이 “차 또는 차의 양수 배”다)

(3) \(a = 1\). ③ 칸이 전부 (W1)인 이유: 근거 목록에서 “0 이상”을 무조건 내주는

성질은 (W1)뿐이기 때문이다. (W2)(W3)(W6)은 이미 있는 부등식을 옮기거나 잇는

규칙이고 (W4)(W5)는 부호를 미리 알아야 쓸 수 있으므로, 아무 정보 없이 부등식을

만들어 내는 것은 (W1)뿐이다.

이번 주에 확인한 것

부등식 증명의 답안 뼈대는 네 걸음이다 — 오프닝, 차 계산과 제곱 정리,

(W1)로 부호 선언, 등호 조건. 이 중 가운데 두 걸음과 정의 16.1로 읽는 마감이

§1.5의 차–제곱 전략 3단계이고, 오프닝과 등호 조건이 그것을 앞뒤에서

감싼다. 소재가 다항식이든 제곱근이든 분수든 걸음의 수와 순서는 바뀌지 않는다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

명제. 모든 실수 \(a, b\)에 대해 \((a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)\)이다.

증명. \(a, b\)를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면

\[ 2(a^2 + b^2) - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = \underline{\quad(1)\quad} \]

이것은 (W1)에 의해 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이므로 \((a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)\)이다. 등호는 \(\underline{\quad(3)\quad}\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 구조 낱말과 근거 이름도 빈칸이다.

명제. \(a \ge 0\)이면 \(a^3 + 1 \ge a^2 + a\)이다.

증명. \(a \ge 0\)이라 \(\underline{\quad(1)\quad}\). 차를 계산하면

\[ a^3 + 1 - a^2 - a = a^2(a - 1) - (\underline{\quad(2)\quad}) = (a-1)(a^2 - 1) = \underline{\quad(3)\quad} \]

이다. \(\underline{\quad(4)\quad}\)에 의해 \((a-1)^2 \ge 0\)이고, 가정 \(a \ge 0\)의 양변에 1을 더하면(W2) \(a + 1 \ge 1\)이며 \(1 > 0\)이므로 (W6)에 의해 \(a + 1 > 0\)이다. 0 이상인 두 수의 곱이므로 (W4)에 의해 곱은 0 이상이다. 따라서 차가 0 이상이고, 정의 16.1에 의해 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이다. 등호는 \(\underline{\quad(6)\quad}\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 답안 뼈대 네 걸음의 각 칸을 통째로 채운다.

명제. \(a > 0\), \(b > 0\)이면 \(\dfrac{a+b}{2} \ge \dfrac{2ab}{a+b}\)이다.

증명의 뼈대.

  • ① 오프닝: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 차를 계산\(\cdot\)정리: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 부호 선언: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ④ 등호 조건: \(\underline{\quad(4)\quad}\)

(분수 둘의 차이므로 예제 2.3과 같은 수순이다 — 통분하고, 분자에서 제곱을 찾고, 분모의 부호를 말한다. 이 훈련이 문제 13의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 모든 부등식 증명에 등호 조건을 붙인다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “\(x^2 + y^2 \ge 2xy\)는 맞는 부등식”은 0점이고,

“차가 \((x-y)^2\)이고 (W1)에 의해 0 이상이므로 참, 등호는 \(x = y\)”가 만점이다.

부등식의 양변에 무엇을 곱하거나 나눈 줄에는 그 수의 부호가 적혀 있어야

하고, \(\ge\)로 끝나는 정리에는 등호 조건이 붙어 있어야 한다.

힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. 다음을 완전제곱(+상수) 꼴로 변형하시오. (a) \(x^2 - 6x + 10\) (b) \(x^2 + 4x + 4\) (c) \(2x^2 - 4x + 5\)

힌트

§1.5의 변형 하나만 쓴다. (c)는 \(x^2\)의 계수가 1이 아니므로 앞의 두 항에서

2를 묶어 \(2(x^2 - 2x) + 5\)로 만든 뒤 괄호 안에 같은 변형을 적용한다.

2. 부등식 성질 참\(\cdot\)거짓 판정 (거짓이면 반례): (a) \(a < b\)이면 \(a + c < b + c\) (b) \(a < b\)이면 \(ac < bc\) (c) \(a < b\)이고 \(c < d\)이면 \(a + c < b + d\) (d) \(a < b\)이면 \(a^2 < b^2\)

힌트

(W2)(W3)의 문장과 한 글자씩 대조한다. 참인 성질에 붙어 있던 조건이 진술에서

빠져 있으면 그 조건을 어기는 수가 곧 반례다 — (b)에는 \(c\)의 부호가, (d)에는

\(a\)의 부호가 빠져 있다.

3. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 + 1 \ge 2x\)임을 차–제곱 전략으로 증명하시오 (등호 조건 포함).

힌트

차 \(x^2 - 2x + 1\)이 무엇의 제곱인지부터 본다. 예제 2.1에서 \(y\)에 1을 넣은

것과 같은 식이므로, 완성본 네 줄의 구조를 그대로 옮겨 쓰면 된다.

4. 모든 실수 \(a, b\)에 대해 \((a+b)^2 \ge 4ab\)임을 증명하시오.

힌트

차 \((a+b)^2 - 4ab\)를 전개해 정리한다. \(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab\)에서 가운데 항의

계수가 어떻게 되는지 확인하면 제곱이 보인다.

5. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 + x + 1 > 0\)임을 증명하시오. (힌트: 완전제곱 + 양의 상수. \(\ge\)가 아니라 \(>\)인 이유까지)

힌트

문제 1과 같은 변형을 \(p = 1\)로 한다. 남는 상수가 \(\frac34\)이다. 등호 없는

\(>\)를 주장하려면 제곱이 0이 되는 순간에도 무엇이 남는지 적어야 한다.

6. 예제 2.1을 백지에 재현하시오.

힌트

네 줄이다 — 오프닝, 차 계산과 제곱 인식, (W1)과 (W2), 등호 조건. 다 쓴 뒤

§2의 완성본 표와 대조하되, 오른쪽 “왜?” 열의 근거 이름까지 말할 수 있는지

확인한다.

표준 ●●○#

7. 모든 실수 \(a, b\)에 대해 \(a^2 + b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}\)임을 증명하시오 (빈칸 훈련의 재구성).

8. \(t > 0\)이면 \(t + \dfrac{1}{t} \ge 2\) — 예제 2.3을 백지에 재현하시오.

9. AM–GM(예제 2.2)을 백지에 재현하시오.

힌트

출발점은 \((\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0\)이다. 전개 \(\to\) (W2)로 이항 \(\to\) (W3)으로

2로 나누기 \(\to\) 등호 조건의 순서. 가정 \(a, b \ge 0\)이 왜 필요한지 한 구절 적어

두는 것까지가 완결이다.

10. \(x > 1\)이면 \(x^2 > x\)임을 증명하시오. (힌트: 차 \(x^2 - x\)를 인수분해하고 각 인수의 부호를 (W4)로)

11. \(0 \le a < b\)이면 \(a^2 < b^2\)임을 증명하시오.

힌트

차 \(b^2 - a^2\)을 인수분해하면 \((b-a)(b+a)\)이다. \(b + a > 0\)을 말하려면

\(b > 0\)이 필요한데, 그것은 \(b > a \ge 0\)에서 나온다.

12. 모든 실수 \(x, y, z\)에 대해 \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\)임을 증명하시오. (힌트: 차의 2배 \(= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\). 등호 조건은?)

힌트

차 자체에는 제곱이 잘 보이지 않지만 차의 2배에는 보인다. 마지막에 (W3)으로

2로 나누어 되돌린다. 등호는 세 제곱이 동시에 0일 때다.

13. \(a > 0\), \(b > 0\)이면 \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \ge 4\)임을 증명하시오. (힌트: 전개하면 \(2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) — 문제 8을 \(t = \frac{a}{b}\)로 인용)

14. \(0 < a < b\)이면 \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+1}{b+1}\)임을 증명하시오. (힌트: 차를 통분 — 분자와 분모의 부호를 각각 확인)

도전 ●●●#

차의 전개에서 소거를 기대하기

아래 세 문제는 차가 한눈에 제곱으로 보이지 않는다. 이때의 수순은 하나다 —

성실히 전개한 뒤 무엇이 지워지는지 본다. 부등식이 참이라면 지워지고 남는

것이 제곱(들)일 가능성이 높고, 그 남은 것을 인식하는 것이 증명의 전부다.

전개가 길어 보인다는 이유로 짧은 길을 먼저 찾다가 막히는 경우가 많으므로,

먼저 끝까지 전개한다.

15. (코시–슈바르츠 부등식, 2변수) 모든 실수 \(a, b, x, y\)에 대해

\[ (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2 \]

임을 증명하시오. (힌트: 차를 전개하면 완전제곱 하나가 남는다)

힌트

좌변은 항이 네 개, 우변은 세 개로 전개된다. 겹치는 두 항이 지워지고 남는

세 항의 가운데 계수가 \(-2\)인지 확인하면 제곱이 보인다.

16. 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(x^4 + y^4 \ge x^3 y + x y^3\)임을 다음 순서로 증명하시오. (a) 보조정리: 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(x^2 + xy + y^2 \ge 0\). (힌트: \(\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2\)) (b) 차를 인수분해: \(x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = (x - y)^2(x^2 + xy + y^2)\)임을 확인. (c) 결합해 결론.

힌트

(a)는 \(x\)에 대한 완전제곱을 만들면 \(y\)만 남는 항이 제곱이 된다. (b)는 앞의

두 항과 뒤의 두 항을 따로 묶어 공통인수 \((x-y)\)를 꺼내고, 남는 \(x^3 - y^3\)을

다시 인수분해한다. (c)에서 필요한 것은 “0 이상인 것 두 개의 곱은 0 이상”,

곧 (W4)의 뒷 절반이다.

제곱해서 비교하기 — 이 문제가 처음 요구하는 도구

제곱근이 든 부등식에서는 차를 정리해도 제곱근이 남아 (W1)을 쓸 수 없다.

그래서 쓰는 것이 제곱 비교다: \(p \ge 0\), \(q \ge 0\)일 때 \(p^2 \le q^2\)이면

\(p \le q\)이다. 이 원리는 문제 11(”\(0 \le a < b\)이면 \(a^2 < b^2\)”)에 문자를

\(a = q\), \(b = p\)로 대응시킨 뒤 가정과 결론을 각각 부정해 자리를 바꾼 것이다

— 문자 대응을 먼저 맞추지 않으면 원하는 형태가 나오지 않는다. 이 뒤집기는

9주차에서 대우라는 이름과 원명제와의 동치성까지 확인해 둔 것이고, 증명

기법으로 규격화하는 것은 19주차다. 이번 주에는 문제 11을 이렇게 한 번 뒤집어

쓰는 것까지만 한다.

17. \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이면 \(\sqrt{a + b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}\)임을 증명하시오. (힌트: 양변 모두 0 이상이므로, “0 이상인 두 수는 제곱해서 비교해도 된다”— 문제 11의 대우를 이용해 이 원리부터 한 줄로 정당화하라)

힌트

답안은 두 부분이다. ① 위 상자의 원리를 문제 11에서 끌어내는 한 줄

② 양변의 제곱을 실제로 비교하는 계산. ②에서 \((\sqrt a + \sqrt b)^2\)을

전개하면 \(\sqrt{a+b}\)의 제곱과 무엇이 다른지 바로 보인다.

18. \(x > 0\)일 때 \(x + \dfrac{9}{x}\)의 최솟값이 6임을 증명하시오. 답안에 반드시 포함할 것: ① 모든 \(x > 0\)에서 \(x + \frac{9}{x} \ge 6\) ② 등호를 실제로 달성하는 \(x\)의 존재. (②가 없으면 “최솟값 6” 주장이 미완성인 이유도 한 문장)

힌트

①은 예제 2.2에 \(a = x\), \(b = \frac9x\)를 넣거나 차를 통분해 \(\frac{(x-3)^2}{x}\)을

만들면 나온다. ②는 등호 조건에서 \(x\)를 실제로 풀고 대입해 확인한다.

정의 16.2의 두 조각과 ①②가 어떻게 대응하는지 보면 마지막 문장이 나온다.

19. 다음 답안을 진단하시오 — 어떤 위험이 있고, 어떻게 고쳐야 정당한 증명이 되는가?

“증명할 것: \(a > 0\)이면 \(a + \frac{1}{a} \ge 2\). 풀이: \(a + \frac{1}{a} \ge 2\)의 양변에 \(a\)를 곱하면 \(a^2 + 1 \ge 2a\), 이항하면 \((a-1)^2 \ge 0\). 이것은 참이다. 따라서 원래 부등식도 참이다.”

힌트

논증의 방향을 화살표로 그려 본다. 이 답안이 보인 것은 “결론 \(\Rightarrow\) 참인 식”인데,

§1.7의 무너지는 사례가 같은 방향이었다. 그다음 각 단계가 역방향으로도

성립하는지 하나씩 점검하면 복구 가능성이 갈린다.

20. (서술) (a) 차–제곱 전략을 세 단계로 요약하시오. (b) 등호 조건을 함께 밝히는 것이 왜 중요한지, 문제 18의 상황을 예로 들어 두 문장 이내로 쓰시오.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. (W1)~(W6) 목록과 차–제곱 전략 3단계, 번역표 양식만 펴 놓고 예제 2.2(AM–GM)를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:

  • 정의 16.1을 “차가 양수” 조각 그대로 정확히 썼다.

  • (W1)~(W6)을 백지에 썼다. 특히 (W3)의 방향 반전 조건과 (W4)의 “0 이상” 판본을 빠뜨리지 않았다.

  • 차–제곱 전략의 세 단계(§1.5)와 답안 뼈대 네 걸음(§2 관찰)의 관계를 말로 재현했다.

  • 예제 2.1과 예제 2.2를 등호 조건까지 백지에 처음부터 끝까지 재현했다.

  • 재현한 증명에서 각 줄의 근거가 (W1)~(W6) 중 무엇인지 짚을 수 있다.

  • 예제 2.3에서 가정 \(a > 0\)이 소비되는 두 지점을 짚었다.

  • “결론에서 출발”이 왜 위험한지 공허한 참(\(F \Rightarrow T\))과 연결해 설명했다.

  • 정의 16.2의 두 조각으로 “최솟값 주장”이 왜 2단 구성인지 설명했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

부등식 증명을 어디서 시작할지 모르겠다

§1.1~§1.2 — 비교를 차 하나의 부호 판정으로 바꾼다

차는 계산했는데 그다음이 나오지 않는다

§1.5 — 완전제곱 변형 하나로 제곱을 만들어 본다

분수가 섞인 차에서 막힌다

예제 2.3 — 통분 \(\to\) 분자에서 제곱 \(\to\) 분모의 부호

제곱근이 섞인 차에서 막힌다

예제 2.2와 문제 17 — 제곱근을 문자처럼 두거나 제곱을 비교한다

양변에 무엇을 곱해도 되는지 헷갈린다

§1.4의 (W3) — 곱하는 수의 부호를 먼저 말한다

몫의 부호를 무슨 근거로 말할지 모르겠다

§1.4의 (W5) — 몫을 역수의 곱으로 바꿔 (W4)에 넘긴다

등호 조건을 자꾸 빠뜨린다

§1.6 — 만들어 둔 제곱을 0으로 놓고 읽는 한 줄이다

답안이 결론에서 출발한다

§1.7 — 연습장의 역산과 답안의 순방향을 분리한다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) (2) \(\ge 0\) (3) \(a = b\)

※ 항이 세 개이고 양 끝이 제곱이면 가운데 계수를 확인한다 — \(-2ab\)이므로 \((a-b)^2\)이다. 등호는 \(a - b = 0\)에서 \(a = b\). 문제 7이 이 결론을 2로 나눈 꼴로 재사용한다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 가정 (2) \(a - 1\) (3) \((a-1)^2(a+1)\) (4) (W1) (5) \(a^3 + 1 \ge a^2 + a\) (6) \(a = 1\)

※ 두 항씩 묶는 인수분해다. \(a^3 - a^2 = a^2(a-1)\)이고 \(-a + 1 = -(a-1)\)이므로 공통인수 \((a-1)\)이 나오고, 남는 \(a^2 - 1 = (a-1)(a+1)\)을 합치면 \((a-1)^2(a+1)\)이다. 제곱과 양수의 곱을 만든 뒤 (W1)과 가정을 각각 인용하는 것이 이 훈련의 새 요소다. 가정 \(a \ge 0\)에서 \(a + 1 > 0\)을 얻는 데 (W2)와 (W6)이 한 번씩 쓰이고, 0 이상인 두 수의 곱이 0 이상임은 (W4)의 뒷 절반이다 — 근거 이름 세 개가 한 줄에 들어간다. 문제 10\(\cdot\)11\(\cdot\)16(c)이 같은 “인수의 부호를 각각 확인” 유형이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) \(a > 0\), \(b > 0\)이라 하자. (2) 차를 계산하면

\[ \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{2(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{2(a+b)} \]

(3) (W1)에 의해 분자 \((a-b)^2 \ge 0\)이고, 가정과 (W4)에 의해 \(a + b > 0\)이며 \(2 > 0\)과 함께 다시 (W4)를 쓰면 분모 \(2(a+b) > 0\)이다. (W5)에 의해 \(\frac{1}{2(a+b)} > 0\)이므로, 0 이상인 것과 양수의 곱인 몫은 (W4)에 의해 0 이상이다. 따라서 정의 16.1에 의해 \(\frac{a+b}{2} \ge \frac{2ab}{a+b}\)이다. (4) 등호는 \((a-b)^2 = 0\), 즉 \(a = b\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)

※ 두 분수의 차에서도 수순은 예제 2.3과 같다 — 통분, 분자에서 제곱 찾기, 분모의 부호 말하기. 분자의 \((a+b)^2 - 4ab\)는 문제 4의 차와 같은 식이고, 이 명제는 “산술평균 \(\ge\) 조화평균”으로 불린다.

문제 1#

접근. §1.5의 변형 \(x^2 + px = (x + \frac p2)^2 - \frac{p^2}{4}\) 하나면 된다. \(x^2\)의 계수가 1이 아닌 (c)는 그 계수를 먼저 묶어 괄호 안을 계수 1로 만든다.

풀이. (a) \(p = -6\)이므로 \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\)이고, 상수 10을 더하면 \((x-3)^2 + 1\). (b) \(p = 4\)이므로 \(x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4\)이고, 상수 4를 더하면 \((x+2)^2\) — 남는 상수가 0인 경우다. (c) 앞의 두 항에서 2를 묶으면 \(2(x^2 - 2x) + 5\)이고, 괄호 안이 \(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\)이므로 \(2\{(x-1)^2 - 1\} + 5 = 2(x-1)^2 + 3\). (검산: (c)에 \(x = 0\)을 넣으면 원식은 5, 정리한 식도 \(2 + 3 = 5\) ✓.)

복기. 세 결과의 꼴이 같다 — (제곱의 양수 배) + (상수). 이 꼴이면 부호 판정이 끝난다: 상수가 양수면 식 전체가 항상 양수, 0이면 0 이상이다.

문제 2#

접근. (W2)(W3)의 문장과 한 글자씩 대조한다. 참인 성질에서 조건이 하나 빠져 있으면, 그 조건을 어기는 수가 곧 반례다.

풀이. (a) 참. (W2)의 \(<\) 판본 그대로다. 차로 확인하면 \((b+c) - (a+c) = b - a > 0\) — 양변에 같은 수를 더해도 차가 바뀌지 않으므로, 양수이던 차가 양수로 남는다. (b) 거짓. (W3)의 조건 \(c > 0\)이 빠져 있다. 반례: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -1\). 가정 \(1 < 2\)는 참인데 \(ac = -1\), \(bc = -2\)이므로 \(-1 < -2\)는 거짓이다. (c) 참. (W2)의 \(<\) 판본을 두 번 쓰고 (W6)으로 잇는다. \(a < b\)의 양변에 \(c\)를 더하면 \(a + c < b + c\)이고, \(c < d\)의 양변에 \(b\)를 더하면 \(b + c < b + d\)이다. 두 부등식을 (W6)(추이성)으로 이으면 \(a + c < b + d\)이다. (d) 거짓. 반례: \(a = -2\), \(b = 1\). 가정 \(-2 < 1\)은 참인데 \(a^2 = 4 > 1 = b^2\)이다. \(a \ge 0\)을 붙이면 참이 되고, 그것이 문제 11이다.

복기. (c)의 “두 부등식을 변끼리 더한다”는 (W2) 두 번과 (W6)(추이성)으로 분해된다 — 목록 밖의 새 규칙이 아니라 목록 안의 세 번 인용이다. 추이성 자체는 §1.4에서 정의 16.1과 (W4)로 유도해 두었으므로, 여기서 이름만 불러 쓰면 된다. 이후 주차에서 이 조작이 그대로 인용된다.

문제 3#

접근. 차 \(x^2 + 1 - 2x\)가 무엇의 제곱인지부터 본다. 항이 세 개, 양 끝이 제곱, 가운데 계수가 \(-2\)이므로 \((x-1)^2\)이다.

풀이. \(x\)를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면 \(x^2 + 1 - 2x = (x-1)^2\)이다. (W1)에 의해 \((x-1)^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 + 1 - 2x \ge 0\)이고, 양변에 \(2x\)를 더하면(W2) \(x^2 + 1 \ge 2x\)이다. 등호는 \((x-1)^2 = 0\), 즉 \(x = 1\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(x = 3\)이면 \(10 \ge 6\) ✓. \(x = 1\)이면 양변 모두 \(2\)로 등호 ✓.)

복기. 예제 2.1에서 \(y = 1\)로 둔 특수한 경우다. 일반 명제를 이미 증명해 두었으므로 대입으로 끝낼 수도 있지만, 여기서는 전략을 손에 익히려고 차부터 다시 계산했다.

문제 4#

접근. 차 \((a+b)^2 - 4ab\)를 전개해 정리한다. \(ab\) 항의 계수가 \(2 - 4 = -2\)가 되므로 완전제곱이 남는다.

풀이. \(a, b\)를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면

\[ (a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \]

이다. (W1)에 의해 차가 0 이상이므로 정의 16.1에 의해 \((a+b)^2 \ge 4ab\)이고, 등호는 \(a = b\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(a = 5\), \(b = 1\)이면 \(36 \ge 20\) ✓. \(a = b = 3\)이면 양변 모두 \(36\) ✓.)

복기. 양변을 4로 나누면 \(ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\) — “두 수의 곱은 평균의 제곱을 넘지 못한다”이고, 제곱근을 취할 수 있는 조건(\(a, b \ge 0\))에서는 예제 2.2와 같은 내용이 된다. 같은 부등식의 다른 얼굴이다.

문제 5#

접근. 완전제곱을 만들면 상수가 남고, 그 상수의 부호가 \(>\)를 책임진다. 등호 없는 \(>\)를 주장하므로 “0이 될 길이 막혀 있음”까지 적어야 답안이 닫힌다.

풀이. \(x\)를 임의의 실수라 하자. §1.5의 변형(\(p = 1\))으로

\[ x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \]

이다. (W1)에 의해 \(\left(x + \frac12\right)^2 \ge 0\)이고, 양변에 \(\frac34\)을 더하면(W2) \(x^2 + x + 1 \ge \frac34\)이다. \(\frac34 > 0\)이므로 \(x^2 + x + 1 > 0\)이다. \(\blacksquare\) \(\ge\)가 아니라 \(>\)인 이유: 제곱이 0이 되는 순간(\(x = -\frac12\))에도 \(+\frac34\)이 그대로 남아 전체가 0에 도달하지 못한다.

복기. 남는 상수의 부호가 결론의 부등호를 정한다. 문제 1(a)의 \((x-3)^2 + 1\)도 같은 이유로 항상 양수이고, 문제 1(b)의 \((x+2)^2\)은 상수가 0이므로 \(\ge 0\)까지만 말할 수 있다.

문제 6#

접근. 네 줄이다 — 오프닝, 차 계산과 제곱 인식, (W1)\(\cdot\)(W2)로 부호 선언, 등호 조건. 쓰기 전에 도착점(“차가 0 이상”)을 적어 두면 둘째 줄이 막히지 않는다.

풀이. \(x, y\)를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면 \(x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2\)이다. (W1)에 의해 \((x-y)^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 + y^2 - 2xy \ge 0\)이고, 양변에 \(2xy\)를 더하면(W2) \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)이다. 등호는 \((x-y)^2 = 0\), 즉 \(x = y\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\)

복기. 자가 채점의 기준은 둘이다. ① 등호 조건 줄을 썼는가 ② 부호 선언 줄에서 (W1)과 (W2)를 각각 인용했는가. 결과만 맞고 근거 이름이 비어 있으면, 부등식을 만들어 낸 근거가 답안에 없는 상태다.

문제 7#

접근. 훈련 1의 결론을 2로 나누면 된다. 나누는 수의 부호를 말하고 (W3)을 인용하는 것이 요점이다. 차를 직접 계산해도 같은 결과에 도달한다.

풀이. \(a, b\)를 임의의 실수라 하자. 훈련 1(근거 ④)에 의해 \((a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)\)이다. 양변을 \(2 > 0\)으로 나누면 (W3)에 의해 방향이 유지되어 \(\dfrac{(a+b)^2}{2} \le a^2 + b^2\)이다. 등호는 훈련 1의 등호 조건을 그대로 상속해 \(a = b\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (직접 계산해도 된다: 차 \(a^2 + b^2 - \frac{(a+b)^2}{2} = \frac{(a-b)^2}{2} \ge 0\).)

복기. 이미 증명한 명제를 부품으로 쓰면(근거 ④) 증명이 세 줄로 줄어든다. 부품 인용에서 빠뜨리기 쉬운 것은 인용한 명제의 이름과, 등호 조건도 함께 상속된다는 사실이다.

문제 8#

접근. 예제 2.3에서 문자만 \(t\)로 바뀐 명제다. 가정 \(t > 0\)의 소비처 두 곳 (분수가 뜻을 갖는 자리, 분모의 부호를 말하는 자리)을 답안에 명시한다.

풀이. \(t > 0\)이라 하자. 그러면 \(t \neq 0\)이므로 \(\frac1t\)이 정의되고, 차를 통분하면

\[ t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = \frac{(t-1)^2}{t} \]

이다. (W1)에 의해 분자 \((t-1)^2 \ge 0\)이고 가정에 의해 분모 \(t > 0\)이므로 (W5)에 의해 \(\frac1t > 0\)이며, 0 이상인 것과 양수의 곱이므로 (W4)에 의해 몫 \((t-1)^2 \cdot \frac1t\)은 0 이상이다. 따라서 \(t + \frac1t - 2 \ge 0\)이고, 양변에 2를 더하면(W2) \(t + \frac1t \ge 2\)이다. 등호는 \(t = 1\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(t = 3\)이면 \(\frac{10}{3} > 2\) ✓. \(t = 1\)이면 \(2\)로 등호 ✓.)

복기. 이 결과는 문제 13에서 \(t = \frac ab\)로 인용된다. 부품이 될 명제는 문자를 중립적인 이름으로 두고 증명해 두는 편이 인용하기 쉽다 — \(a\)로 증명해 두었다면 \(a = \frac ab\)로 대입하는 순간 문자가 충돌한다.

문제 9#

접근. 출발점은 \((\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0\)이다. 가정 \(a, b \ge 0\)이 이 출발점을 쓸 자격을 주는 유일한 근거이므로, 그 자리를 답안에 적는다.

풀이. \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이라 하자. 그러면 §1.2의 인정 사실 “제곱근”에 의해 \(\sqrt a\), \(\sqrt b\)가 실수로 존재하므로 (W1)을 적용할 수 있고

\[ 0 \le (\sqrt a - \sqrt b)^2 = a - 2\sqrt a \sqrt b + b = a + b - 2\sqrt{ab} \]

이다(두 등식에서 §1.2의 인정 사실 “제곱근”의 \((\sqrt a)^2 = a\)와 \(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\)를 각각 썼다). 양변에 \(2\sqrt{ab}\)를 더하면(W2) \(2\sqrt{ab} \le a + b\)이고, 양변을 \(2 > 0\)으로 나누면(W3) \(\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}\)이다. 등호는 \(\sqrt a = \sqrt b\)일 때, 곧 양변을 제곱한 \(a = b\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(a = 9\), \(b = 1\)이면 \(5 \ge 3\) ✓. \(a = b = 4\)면 양변 모두 \(4\) ✓.)

복기. 가정이 소비되는 자리를 자가 채점 항목으로 삼는다. “\(\sqrt a\)가 실수이므로”라는 구절이 없으면 (W1)을 쓸 자격이 답안에 적혀 있지 않은 셈이다. 문제 18이 이 명제를 부품으로 쓴다.

문제 10#

접근. 차 \(x^2 - x = x(x-1)\)은 제곱이 아니라 인수 둘의 곱이므로 (W1)이 아니라 (W4)를 쓴다 — 각 인수의 부호를 가정에서 따로 끌어내는 것이 이 유형의 요령이다.

풀이. \(x > 1\)이라 하자. 차를 계산하면 \(x^2 - x = x(x-1)\)이다. 가정에서 \(x - 1 > 0\)이고, 또 \(1 > 0\)과 \(x > 1\)을 (W6)(추이성)으로 이으면 \(x > 0\)이다. 양수 둘의 곱이므로 (W4)에 의해 \(x(x-1) > 0\)이고, 따라서 \(x^2 - x > 0\), 즉 \(x^2 > x\)이다. \(\blacksquare\) (검산: \(x = 2\)이면 \(4 > 2\) ✓. \(x = 1.5\)이면 \(2.25 > 1.5\) ✓.)

복기. 결론에 등호가 없는 것은 가정이 \(x > 1\)로 강하기 때문이다. 가정을 \(x \ge 1\)로 약하게 하면 결론도 \(x^2 \ge x\)가 되고 \(x = 1\)에서 등호가 생긴다 — 가정의 부등호가 결론의 부등호를 그대로 결정한다.

문제 11#

접근. 차 \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)\)로 인수분해하고 각 인수의 부호를 가정에서 끌어낸다. \(b + a > 0\)을 말하려면 \(b > 0\)이 필요한데, 그것은 \(b > a \ge 0\)에서 나온다.

풀이. \(0 \le a < b\)라 하자. 차를 계산하면 \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)\)이다. 가정에서 \(a < b\)이므로 \(b - a > 0\)이다. 또 \(0 \le a\)와 \(a < b\)를 (W6)(추이성)으로 이으면 \(b > 0\)이다. 한편 \(a \ge 0\)의 양변에 \(b\)를 더하면(W2) \(a + b \ge b\)이고, 이것과 \(b > 0\)을 다시 (W6)으로 이으면 \(b + a > 0\)이다. 양수 둘의 곱이므로 (W4)에 의해 \((b-a)(b+a) > 0\)이고, 따라서 \(a^2 < b^2\)이다. \(\blacksquare\) (검산: \(a = 0\), \(b = 3\)이면 \(0 < 9\) ✓. \(a = 2\), \(b = 5\)이면 \(4 < 25\) ✓.)

복기. 문제 2(d)에서 거짓이던 명제가 \(a \ge 0\)을 붙이자 참이 되었다. 거짓 명제를 참으로 만드는 조건을 찾는 것도 증명의 성과다. 이 명제를 뒤집은 “0 이상인 두 수는 제곱해서 비교해도 된다”가 문제 17의 도구가 된다.

문제 12#

접근. 차 자체에는 제곱이 잘 보이지 않지만 차의 2배에는 보인다. 계수 \(-2\)를 만들어야 완전제곱이 되기 때문이다. 예제 2.2에서 분수를 피하려고 2배를 다룬 것과 같은 조작이고, 마지막에 (W3)으로 되돌린다.

풀이. \(x, y, z\)를 임의의 실수라 하자. 차의 2배를 계산하면

\[ 2(x^2+y^2+z^2) - 2(xy+yz+zx) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \]

이다. (우변을 전개하면 \((x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2) = 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\)로 좌변과 같다 ✓.) (W1)에 의해 세 제곱이 각각 0 이상이고, (W4)의 뒷 절반을 두 번 쓰면 0 이상인 것들의 합도 0 이상이므로, 차의 2배가 0 이상이다. 양변을 \(2 > 0\)으로 나누면(W3) 차가 0 이상이고, 따라서 \(x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx\)이다. 등호는 세 제곱이 동시에 0일 때, 즉 \(x = y\)이고 \(y = z\)일 때, 곧 \(x = y = z\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(x=1, y=2, z=3\)이면 \(14 \ge 11\) ✓. \(x=y=z=4\)면 양변 모두 \(48\) ✓.)

복기. 제곱이 여러 개일 때 등호 조건은 “전부 0”이므로 등식이 연립으로 나온다. 그 연립을 풀어 \(x = y = z\) 같은 한 문장으로 정리하는 것까지가 답안이다.

문제 13#

접근. 전개해서 나온 \(\frac ab + \frac ba\)가 문제 8의 \(t + \frac1t\)와 같은 꼴이다. 부품을 인용하려면 \(t = \frac ab\)로 두고 \(t > 0\)임을 먼저 확인해야 한다 — 인용할 명제의 가정을 확인하는 것이 인용의 조건이다.

풀이. \(a > 0\), \(b > 0\)이라 하자. 좌변을 전개하면

\[ (a+b)\left(\frac1a + \frac1b\right) = \frac aa + \frac ab + \frac ba + \frac bb = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \]

이다. \(t = \dfrac ab\)로 두면 \(b > 0\)에서 (W5)에 의해 \(\dfrac1b > 0\)이고 \(a > 0\)과 함께 (W4)를 쓰면 \(t = a \cdot \dfrac1b > 0\)이다. 또 \(\dfrac ba = \dfrac1t\)이다. 문제 8(근거 ④)에 의해 \(t + \dfrac1t \ge 2\)이므로 \(\dfrac ab + \dfrac ba \ge 2\)이고, 양변에 2를 더하면(W2) 좌변 전체가 4 이상이다. 등호는 문제 8의 등호 조건 \(t = 1\), 즉 \(a = b\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(a = 1\), \(b = 4\)이면 \(5 \times \frac54 = 6.25 \ge 4\) ✓. \(a = b = 2\)면 \(4\)로 등호 ✓.)

복기. 인용의 세 걸음 — 부품의 가정 확인, 문자 대응, 결론과 등호 조건을 함께 가져오기. 훈련 3과 사실상 같은 내용이므로 직접 통분해 \(\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0\)을 보이는 길도 있다.

문제 14#

접근. 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼야 양수가 나오므로 차는 \(\frac{a+1}{b+1} - \frac ab\)로 잡는다. 통분한 분자를 전개하면 항이 대부분 지워진다.

풀이. \(0 < a < b\)라 하자. \(0 < a\)와 \(a < b\)를 (W6)(추이성)으로 이으면 \(b > 0\)이고, 양변에 1을 더하면(W2) \(b + 1 > 1 > 0\)이므로 다시 (W6)으로 \(b + 1 > 0\)이다. 따라서 두 분모가 모두 0이 아니다. 차를 통분하면

\[ \frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+1) - a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab + b - ab - a}{b(b+1)} = \frac{b - a}{b(b+1)} \]

이다. 가정에서 분자 \(b - a > 0\)이고, \(b > 0\)과 \(b+1 > 0\)에서 (W4)에 의해 분모 \(b(b+1) > 0\)이다. (W5)에 의해 \(\frac{1}{b(b+1)} > 0\)이고, 양수 둘의 곱이므로 (W4)에 의해 몫 \((b-a) \cdot \frac{1}{b(b+1)}\)이 양수다. 따라서 차가 양수이고, 정의 16.1에 의해 \(\dfrac ab < \dfrac{a+1}{b+1}\)이다. \(\blacksquare\) (검산: \(a = 1\), \(b = 2\)이면 \(0.5 < 0.667\) ✓.)

복기. 분자\(\cdot\)분모에 1씩 더하면 값이 1 쪽으로 움직인다는 관찰의 증명이다. 3주차 문제 15의 수들이 작은 것부터 나열되는 이유가 이 명제다 — 관찰로 알던 사실이 부등식 증명으로 확정되는 사례다.

문제 15#

접근. 차가 한눈에 제곱으로 보이지 않으므로 성실히 전개한다. 겹치는 두 항이 지워지고 세 항이 남는데, 그 가운데 계수가 \(-2\)인지 확인하면 제곱이 보인다.

풀이. \(a, b, x, y\)를 임의의 실수라 하자. 각 변을 전개하면 \((a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2\)이고 \((ax+by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2\)이므로, 차에서 \(a^2x^2\)과 \(b^2y^2\)이 지워지고

\[ (a^2+b^2)(x^2+y^2) - (ax+by)^2 = a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2 = (ay - bx)^2 \]

이 남는다. (W1)에 의해 차가 0 이상이므로 정의 16.1에 의해 \((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\)이고, 등호는 \(ay = bx\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(a=1, b=2, x=3, y=4\)이면 \(5 \times 25 = 125\), \((3+8)^2 = 121\)이고 차는 \((4-6)^2 = 4 = 125 - 121\) ✓.)

복기. 전개 \(\to\) 소거 \(\to\) 남은 것 인식이 도전 문제의 표준 수순이다. 등호 조건 \(ay = bx\)는 두 쌍 \((a,b)\)와 \((x,y)\)가 비례한다는 뜻이고, 이 명제는 코시–슈바르츠 부등식의 2변수 사례다.

문제 16#

접근. (a)는 \(x\)에 대한 완전제곱을 만들면 \(y\)만 남는 항이 다시 제곱이 된다. (b)는 두 항씩 묶어 공통인수를 꺼내고, 꺼낸 인수분해는 전개해서 검산한다. (c)는 “0 이상인 것 두 개의 곱은 0 이상”((W4)의 뒷 절반)으로 (a)(b)를 잇는다. 부항마다 근거가 다르므로 각각 따로 적는다.

풀이.

(a) \(x, y\)를 임의의 실수라 하자. \(x\)에 대한 완전제곱을 만들면

\[ x^2 + xy + y^2 = \left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4} + y^2 = \left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2 \]

이다. (W1)에 의해 \(\left(x+\frac y2\right)^2 \ge 0\)이고 \(y^2 \ge 0\)이며, \(\frac34 > 0\)이므로 (W3)에 의해 \(\frac34 y^2 \ge 0\)이다. 0 이상인 것 둘의 합이므로 (W4)의 뒷 절반에 의해 그 합도 0 이상이다. 따라서 \(x^2 + xy + y^2 \ge 0\)이다. \(\blacksquare\)

(b) 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 각각 묶으면 \(x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = x^3(x - y) - y^3(x - y) = (x-y)(x^3 - y^3)\)이고, \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)\)이므로 (확인: \((x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3\) ✓)

\[ (x-y)(x^3-y^3) = (x-y) \cdot (x-y)(x^2+xy+y^2) = (x-y)^2(x^2+xy+y^2) \]

이다. 등식이 확인되었다. ✓

(c) \(x, y\)를 임의의 실수라 하자. (b)에 의해 차는 \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)\)이다. (W1)에 의해 \((x-y)^2 \ge 0\)이고 (a)에 의해 \(x^2+xy+y^2 \ge 0\)이므로, 0 이상인 두 수의 곱이라 (W4)의 뒷 절반에 의해 차도 0 이상이다. 따라서 \(x^4 + y^4 \ge x^3y + xy^3\)이다. 등호는 차가 0일 때이고, 곱이 0이 되는 것은 §1.2의 인정 사실 “곱이 0이 되는 경우”에 의해 두 인수 중 적어도 하나가 0일 때다. 즉 \((x-y)^2 = 0\)이거나 \(x^2+xy+y^2 = 0\)일 때다. 뒤의 경우, (a)의 정리에서 그 값은 \(\left(x + \frac y2\right)^2 + \frac34 y^2\)이고 두 항이 모두 0 이상이다. 만약 한쪽 \(u\)가 양수라면, 다른 항 \(v \ge 0\)의 양변에 \(u\)를 더해(W2) \(u + v \ge u\)이고 \(u > 0\)이므로 (W6)에 의해 \(u + v > 0\)이 되어 합이 0일 수 없다. 따라서 두 항이 모두 0이어야 하므로 \(x + \frac y2 = 0\)이고 \(y = 0\), 즉 \(x = y = 0\)이다. 이것도 \(x = y\)에 포함되므로, 결국 등호는 \(x = y\)일 때만 성립한다. \(\blacksquare\) (검산: \(x = 2\), \(y = 1\)이면 \(17 \ge 10\) ✓.)

복기. (a)는 “한 문자에 대한 완전제곱”이라는 기술이다. 두 문자가 섞인 식은 한 문자를 주인공으로 정하고 나머지를 상수처럼 취급해 정리하면 제곱이 드러난다. (a)의 결과는 이후 주차에서 세제곱 관련 논증의 부품으로 다시 쓰인다.

문제 17#

접근. 차를 정리해도 제곱근이 남아 (W1)을 쓸 수 없다. 그래서 제곱을 비교한다. 다만 제곱 비교는 양변이 0 이상일 때만 허가되므로, 그 허가를 문제 11에서 끌어오는 한 줄을 먼저 쓴다.

풀이. 먼저 원리를 확인한다. 문제 11에 문자를 \(a = q\), \(b = p\)로 대응시키면 그 명제는 “\(0 \le q < p\)이면 \(q^2 < p^2\)”이다. 이 조건문의 대우는 “\(q^2 < p^2\)가 아니면 \(0 \le q < p\)가 아니다”이다. 삼분법(§1.2)에 의해 “\(q^2 < p^2\)가 아니다”는 “\(p^2 \le q^2\)”와 같은 말이고, \(p \ge 0\), \(q \ge 0\)을 이미 고정해 두면 “\(0 \le q < p\)가 아니다”는 “\(p \le q\)”와 같은 말이다. 즉 \(p \ge 0\), \(q \ge 0\) 아래에서 “\(p^2 \le q^2\)이면 \(p \le q\)”를 얻는다. (문제 11의 가정과 결론을 각각 부정해 자리를 바꾼 것으로, 9주차에서 대우라는 이름과 원명제와의 동치성까지 확인해 둔 조작이다 — 증명 기법으로 규격화하는 것은 19주차다. 문자 대응 \(a = q\), \(b = p\)를 먼저 맞추어야 원하는 형태가 나온다.)

이제 \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이라 하자. §1.2의 인정 사실 “제곱근”에 의해 \(\sqrt{a+b}\), \(\sqrt a\), \(\sqrt b\)가 모두 실수로 존재하고 0 이상이며, \(\sqrt a + \sqrt b\)도 (W4)에 의해 0 이상이다. 두 수의 제곱을 비교하면

\[ (\sqrt a + \sqrt b)^2 - (\sqrt{a+b})^2 = (a + 2\sqrt a \sqrt b + b) - (a+b) = 2\sqrt{ab} \]

이다(전개에서 \((\sqrt a)^2 = a\), \((\sqrt b)^2 = b\), \(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\), \((\sqrt{a+b})^2 = a + b\)를 썼다 — 전부 §1.2의 인정 사실 “제곱근”이다). (W4)에 의해 \(ab \ge 0\)이므로 같은 상자에 의해 \(\sqrt{ab} \ge 0\)이고, 양변에 \(2 > 0\)을 곱하면(W3) \(2\sqrt{ab} \ge 0\)이다. 즉 \((\sqrt{a+b})^2 \le (\sqrt a + \sqrt b)^2\)이다. 두 수가 모두 0 이상이므로 위 원리에 의해 \(\sqrt{a+b} \le \sqrt a + \sqrt b\)이고, 등호는 \(2\sqrt{ab} = 0\), 곧 \(ab = 0\)일 때이고, §1.2의 인정 사실 “곱이 0이 되는 경우”에 의해 이는 \(a = 0\) 또는 \(b = 0\)일 때만이다. \(\blacksquare\) (검산: \(a = b = 2\)이면 \(2 \le 2\sqrt2 \approx 2.83\) ✓. \(a = 4\), \(b = 0\)이면 양변 모두 \(2\) ✓.)

복기. 제곱근이 든 부등식의 표준 수순 — ① 양변이 0 이상임을 확인 ② 제곱끼리 비교 ③ 제곱 비교 원리로 되돌리기. ①을 건너뛰면 원리를 쓸 자격이 없으므로, 그 한 줄이 답안의 필수 부품이다.

문제 18#

접근. 정의 16.2의 두 조각이 그대로 답안의 두 부분이다. ①은 하계 — 예제 2.2에 \(a = x\), \(b = \frac9x\)를 넣거나 차를 통분해 얻는다. ②는 달성 — 등호 조건에서 \(x\)를 실제로 풀고 대입해 확인한다.

풀이.

① \(x > 0\)이라 하자. (W5)에 의해 \(\frac1x > 0\)이고 \(9 > 0\)이므로 (W4)에 의해 \(\frac9x = 9 \cdot \frac1x > 0\)이다. 따라서 \(x\)와 \(\frac9x\)는 모두 0 이상이고, 예제 2.2(AM–GM)에 의해 \(\dfrac{x + \frac9x}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac9x} = \sqrt9 = 3\)이다. 양변에 \(2 > 0\)을 곱하면(W3) \(x + \dfrac9x \ge 6\)이다. (통분으로 해도 된다: \(x + \frac9x - 6 = \frac{x^2 - 6x + 9}{x} = \frac{(x-3)^2}{x}\)이고, 분자는 (W1)로 0 이상, 분모는 가정으로 양수이므로 (W5)(W4)에 의해 몫이 0 이상이다.)

② 등호는 AM–GM의 등호 조건에 의해 \(x = \frac9x\)일 때, 즉 \(x^2 = 9\)일 때이고, \(x > 0\)이므로 \(x = 3\)이다. 실제로 \(3 + \frac93 = 6\)이므로 값 6이 달성된다.

①과 ②에 의해 6은 \(x + \frac9x\)가 만드는 값들의 하계이면서 그 값들 중 하나이므로, 정의 16.2에 의해 최솟값은 6이다. \(\blacksquare\) ②가 필수인 이유: ①만으로는 “6 이상”이라는 하계만 확보된다. 5도, 0도 하계이지만 최솟값은 아니다 — 실제로 달성되는 하계만이 최솟값이다.

복기. 최솟값\(\cdot\)최댓값 주장은 언제나 2단 구성이다 — 부등식 하나(하계)와 등호 달성 하나. 부등식만 쓴 답안은 정의 16.2의 조각 ①만 확인한 답안이고, §1.6의 조각 삭제 실험이 그 상태에서 무엇이 무너지는지 보여 준다.

문제 19#

접근. 논증의 방향을 화살표로 그려 본다. 이 답안이 보인 것은 “결론 \(\Rightarrow\) 참인 식” 이고, §1.7의 무너지는 사례가 같은 방향이었다. 그다음 각 단계가 역방향으로도 성립하는지 점검하면 복구 가능성이 갈린다.

풀이.

위험. 증명할 명제에서 출발해 참인 식에 도달했다 — 논증의 방향이 거꾸로다. 8주차 진리표대로 \(F \Rightarrow T\)도 참이므로, “결론에서 참인 식이 나온다”는 사실은 결론의 참을 보증하지 않는다. §1.7의 사례가 그 증거다: “\(-1 = 1\)의 양변을 제곱하면 \(1 = 1\), 참이다”라는 같은 형식의 논증이 거짓 명제를 증명해 버린다. 15주차 규범 3 위반이기도 하다.

복구 가능성. 이 답안의 경우 각 단계가 실제로 동치 변형이다. \(a > 0\)이므로 양변에 \(a\)를 곱하는 것은 (W3)에 의해 방향이 유지되고 다시 \(a\)로 나누면 되돌아오므로 \(\iff\)이고, 이항도 (W2)에 의해 \(\iff\)이다. 따라서

\[ a + \frac1a \ge 2 \iff a^2 + 1 \ge 2a \iff (a-1)^2 \ge 0 \quad (a > 0) \]

이라고 각 화살표가 양방향임을 명시하고 참인 쪽에서 거슬러 올라오면 정당한 증명이 된다.

권장 수정. 처음부터 순방향으로 쓴다. “\(a > 0\)이라 하자. (W1)에 의해 \((a-1)^2 \ge 0\)이므로 \(a^2 - 2a + 1 \ge 0\)이고, 양변에 \(2a\)를 더하면(W2) \(a^2 + 1 \ge 2a\)이다. 양변을 \(a > 0\)으로 나누면(W3, 방향 유지) \(a + \frac1a \ge 2\)이다. 등호는 \(a = 1\)일 때만.” — 예제 2.3의 차–제곱 서술도 같은 결과를 순방향으로 준다.

복기. 거꾸로 가는 탐색은 연습장에서 답을 발견하는 데 쓰고, 답안은 순방향으로 다시 쓴다. 발견의 논리와 서술의 논리는 다르다는 이 분리는 이후 주차에서도 반복 적용된다.

문제 20#

접근. 이번 주 전체의 요약이다. (a)는 §1.5의 상자를, (b)는 §1.6과 정의 16.2를 근거로 삼는다. 서술 문제라도 근거의 이름을 넣어 적는다.

풀이. (예시 답안)

(a) ① 차 \(A - B\)(또는 그 양수 배)를 계산한다. ② 그것을 제곱(들의 합, 또는 제곱의 양수 배\(\cdot\)양수 분모 몫)으로 정리한다. ③ (W1)\(\cdot\)(W4)\(\cdot\)(W5)로 차가 0 이상임을 선언하고(양수 배를 다루었다면 (W3)으로 되돌리고), 정의 16.1로 \(A \ge B\)를 읽는다. 덧붙여, 정리해 둔 제곱을 0으로 놓으면 등호 조건이 함께 나온다. 이 세 단계를 오프닝과 등호 조건이 앞뒤에서 감싸면 §2 관찰의 답안 뼈대 네 걸음이 된다.

(b) 부등식 \(x + \frac9x \ge 6\) 자체는 6이 하계라는 정보만 주고 6이 실제로 달성되는지는 말하지 않는다 — 5도 하계이지만 최솟값은 아니다. 등호 조건에서 \(x = 3\)을 얻고 대입해 값 6을 확인해야 정의 16.2의 조각 ②가 채워지고, “최솟값이 정확히 6”이라는 주장이 완성된다.

복기. 서술 문제의 채점 기준도 근거다. “차를 제곱으로 만든다”까지만 적고 왜 그것으로 부호가 정해지는지((W1)) 적지 않으면, 절차는 외웠으나 근거는 비어 있는 답안이 된다.

다음 주 예고: 정보가 부족해 한 길로 갈 수 없을 때 상황 자체를 쪼개는 기술 — 경우 나누기(proof by cases)를 공식 도구로 만든다. 이번 주에도 (W1)을 유도하며 삼분법으로 세 경우를 나눈 적이 있고, 1주차 문제 16에서도 한 번 썼다. 17주차는 그 조작에 채점 기준(빠짐없이 덮는가, 각 경우가 완결인가)을 붙여 규격화한다. 절댓값의 정의가 경우로 되어 있어 훈련장이 되고, “모든 정수는 \(3k\), \(3k+1\), \(3k+2\) 중 하나”라는 분할이 19주차와 21주차의 재료가 된다.