40주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

40주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 판정과 치역 계산을 함께 만들기#

완성된 답안을 먼저 보이지 않는다. 백지에서 시작해 한 줄씩 만들되, 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

예제 2.1 — 함수인가? 판정 3연전#

\(A = \{1, 2, 3\}\), \(B = \{x, y\}\). 다음 관계들이 \(A\)에서 \(B\)로의 함수인지 판정하시오.

\[ R_1 = \{(1,x), (2,y)\}, \qquad R_2 = \{(1,x), (1,y), (2,x), (3,y)\}, \qquad R_3 = \{(1,y), (2,y), (3,x)\} \]

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 판정 문제에서도 출발점과 도착점을 먼저 정한다.

말

수식 번역

주어진 것 (출발점)

관계 \(R \subseteq A \times B\)

순서쌍들의 목록

물어진 것 (도착점)

“\(A\)에서 \(B\)로의 함수인가”

\(\underline{\qquad(?)\qquad}\)

확인 11. 도착점 칸의 빈칸을 채워 보자. “함수인가”를 정의 40.1로 번역하면

무엇을 몇 번 검사해야 하는가.

답

“각 \(a \in A\)에 대해 \((a, b) \in R\)인 \(b\)가 정확히 하나인지를, 세 입력

\(1, 2, 3\) 각각에서 검사한다.” 정의역이 원소 세 개짜리 유한집합이므로 검사도 세

번이면 끝난다. 정의역이 무한집합이면 전수 검사가 불가능하고, 그때는 규칙의 일반

논증이 필요하다(예제 2.3).

1단계 — \(R_1\)을 검사한다. 세 입력을 차례로 훑는다.

확인 12. \(R_1 = \{(1,x), (2,y)\}\)에서 입력 \(1, 2, 3\)의 순서쌍 개수는 각각

몇인가. 판정과 함께 위반 조건의 이름까지 적어 보자.

답

\(1\)개, \(1\)개, \(0\)개. 입력 \(3\)에 대해 \((3, b) \in R_1\)인 \(b\)가 없으므로 함수가

아니다 — 전체성 위반이다. 답안에는 “입력 3의 순서쌍이 없다”를 반드시 적는다.

“3이 빠졌다”만으로는 어느 조건을 어겼는지가 드러나지 않는다.

2단계 — \(R_2\)를 검사한다. 이번에는 개수가 넘치는 자리를 찾는다.

확인 13. \(R_2 = \{(1,x), (1,y), (2,x), (3,y)\}\)에서 조건을 어기는 입력은

무엇이고, 위반을 확정하려면 어떤 순서쌍 두 개를 나란히 제시해야 하는가.

답

입력 \(1\)이다. \((1, x) \in R_2\)이고 \((1, y) \in R_2\)이며 \(x \neq y\)이므로 출력이 둘이다 —

유일성 위반이다. 위반 제시의 완결 조건은 셋이다: 같은 입력의 순서쌍 두 개, 두

출력이 서로 다름, 어긴 조건의 이름.

3단계 — \(R_3\)을 검사한다. 통과 판정은 세 입력 전부를 훑었음을 보여야 한다.

확인 14. \(R_3 = \{(1,y), (2,y), (3,x)\}\)에서 출력 \(y\)가 두 번 나온다.

이것은 정의 40.1의 조건을 어기는가.

답

어기지 않는다. 정의 40.1의 조건은 “모든 \(a \in A\)에 대해”로 시작하므로 입력

쪽에만 걸려 있고, 출력이 겹치는지는 조건에 없다. 출력의 중복을 금지하는 조건은

41주차의 단사가 따로 맡는다 — 지금 그것을 요구하면 정의에 없는 조건을 추가한

것이 된다. 따라서 \(R_3\)은 함수다.

완성본. 방금 만든 판정을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(R_1\)은 함수가 아니다. 입력 \(3\)에 대해 \((3, b) \in R_1\)인 \(b\)가 존재하지 않으므로 전체성 위반이다.

위반은 순서쌍 수준에서 지목한다(근거 ①). 조건의 이름까지 적어야 판정이 닫힌다.

\(R_2\)는 함수가 아니다. \((1, x) \in R_2\)이고 \((1, y) \in R_2\)이며 \(x \neq y\)이므로, 입력 \(1\)에 출력이 둘이다 — 유일성 위반이다.

“유일하게”라는 조각이 요구하는 것은 출력이 하나라는 것이다. 순서쌍 두 개를 나란히 제시하면 위반이 확정된다.

\(R_3\)은 함수이다. 입력 \(1, 2, 3\) 각각에 대해 순서쌍이 정확히 하나씩 있다: \(f(1) = y\), \(f(2) = y\), \(f(3) = x\).

통과 판정은 정의역의 원소 전부를 훑었음을 보여야 한다. 세 값을 적는 것이 그 증거다.

출력 \(y\)가 두 번 나오는 것은 위반이 아니다. 정의 40.1의 조건은 입력 쪽에만 걸려 있다.

정의에 없는 조건을 추가하지 않는다는 선언이다. 출력 중복 금지는 41주차 단사의 몫이다.

대입 시뮬레이션. \(R_3\)을 함수 \(f : A \to B\)로 보면 \(f(1) = y\), \(f(2) = y\), \(f(3) = x\)이고, 이 세 등식은 각각 \((1, y), (2, y), (3, x) \in R_3\)을 다시 적은 것일 뿐이다. \(f(a)\) 표기와 순서쌍 소속은 같은 사실의 두 표기이며, 이 왕복이 내내 쓰인다.

예제 2.2 — 치역의 계산은 집합 상등 증명#

명제. \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = 2n + 1\)의 치역은 홀수 전체다: \(f(\mathbb{Z}) = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\).

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다.

확인 15. 번역표를 채워 보자.

증명할 것: 두 집합 \(f(\mathbb{Z})\)와 \(\{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)의 \(\underline{\quad(1)\quad}\).

그러므로 보일 것은 \(\underline{\quad(2)\quad}\) 방향과 \(\underline{\quad(3)\quad}\) 방향의 포함 두 개.

(\(\supseteq\)) 방향에서 임의의 홀수 \(y\)를 잡았을 때 만들어 제시해야 하는 것은 \(\underline{\quad(4)\quad}\).

답

(1) 상등 (2) \(\subseteq\) (3) \(\supseteq\) (4) \(f(k) = y\)가 되는 정의역의 원소 \(k\) — 곧 증인.

치역 계산은 새 기술이 아니라 27주차의 집합 상등 서식을 함수 세계에 그대로 적용하는

일이다. (\(\supseteq\)) 방향이 본체다 — 그 방향은 “\(y\)를 출력하는 입력이 실제로 있다”는

존재 증명이고, 존재 증명의 표준 수단은 증인 제작(26주차)이다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

(\(\subseteq\)) \(y \in f(\mathbb{Z})\)라 하자.

집합 상등은 양방향 포함으로 증명한다(27주차 서식). 포함 증명은 왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는 문장으로 시작한다.

치역의 정의에 의해 \(y = f(n) = 2n + 1\)인 정수 \(n\)이 존재한다.

정의 40.2를 풀어 등식을 받는다(근거 ①). 가정 쪽의 “존재한다”에서는 받아서 쓴다.

따라서 \(y\)는 \(2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴이므로 \(y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)이다.

도착점은 오른쪽 집합의 조건이다. 받은 \(n\)이 그대로 \(k\) 자리에 들어간다.

(\(\supseteq\)) 이번에는 \(y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)라 하자.

반대 방향의 출발. 방향이 바뀌면 잡는 원소도 바뀐다.

조건에 의해 \(y = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다.

조건제시법의 조건을 등식으로 받는다(근거 ①).

\(k \in \mathbb{Z}\)이므로 \(k\)는 \(f\)의 정의역에 속하고, \(f(k) = 2k + 1 = y\)이다.

증인 제작. 증인이 정의역에 속함을 확인하는 구절이 빠지면 안 된다 — 정의역 밖의 값은 입력이 될 수 없다.

그러므로 \(y\)는 \(f\)의 출력이다: \(y \in f(\mathbb{Z})\).

정의 40.2를 반대 방향으로 인용해 이 방향을 닫는다.

양방향 포함이 모두 성립하므로 \(f(\mathbb{Z}) = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)이다. \(\blacksquare\)

집합 상등의 결론 선언.

구조 읽기. (\(\subseteq\))는 받은 것을 옮겨 적는 일이라 짧고, (\(\supseteq\))는 없던 것을 만들어 내는 일이라 길다. 어렵게 느껴지는 자리는 언제나 (\(\supseteq\))이고, 그 자리에서 할 일은 하나 — \(y\)를 놓고 \(f(x) = y\)를 \(x\)에 관해 푸는 것이다. 문제 8과 문제 17이 같은 자리를 각각 쉬운 판과 어려운 판으로 다룬다.

예제 2.3 — \(\mathbb{Z}_4\) 위의 함수와 잘 정의됨#

\(\varphi : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4\)를 \(\varphi([a]) = [a^2]\)으로 정의하려 한다.

기호 \(\varphi\)는 그리스 문자 “파이”로 읽는다. 이 주에서 함수 이름으로 쓰는 나머지 그리스 문자는 \(\theta\) “세타”(훈련 3), \(\psi\) “프사이”(문제 11), \(\chi\) “카이”(문제 16)다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 16. 이 규칙에 대해 가장 먼저 해야 할 일은 무엇인가. 그 일이 끝난

뒤에 남는 일은 무엇인가. 두 가지를 순서대로 적어 보자.

답

먼저 잘 정의됨 검문이다 — 정의역 \(\mathbb{Z}_4\)의 원소가 동치류이므로, 대표원을

바꿔 잡아도 같은 방이 나오는지 확인하기 전에는 함수라고 부를 수 없다. 통과한 뒤에

남는 일은 네 입력의 값을 계산하고 치역을 읽는 것이다. 순서를 뒤집어 값부터 계산하면

그 값들이 대표원 선택에 의존하는지가 여전히 미결로 남는다.

풀이. (잘 정의됨) \([a] = [a']\)이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 \(a \equiv a' \pmod 4\)이다. (C5)를 \(a \equiv a'\)과 \(a \equiv a'\)에 적용하면 \(a^2 \equiv a'^2 \pmod 4\)이고, 다시 핵심 정리로 \([a^2] = [a'^2]\)이다. 따라서 규칙의 값은 대표원 선택에 의존하지 않는다 — 잘 정의된다(39주차 문제 19(a)).

(함수 자격) 정의역의 네 원소 각각에 대해 값이 하나씩 확정되었으므로 전체성과 유일성이 모두 성립한다. 곧 \(\varphi\)는 함수다.

(값 계산) \(\varphi([0]) = [0]\), \(\varphi([1]) = [1]\), \(\varphi([2]) = [4] = [0]\), \(\varphi([3]) = [9] = [1]\)이다. 순서쌍 집합으로 적으면

\[ \varphi = \{([0],[0]),\ ([1],[1]),\ ([2],[0]),\ ([3],[1])\} \]

이고, 치역은 \(\varphi(\mathbb{Z}_4) = \{[0], [1]\}\)이다. 공역 \(\mathbb{Z}_4\)보다 작다.

이번 풀이는 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 답안은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 몫 세계 위의 함수 선언은 언제나 세 걸음이다 — 규칙 제시 \(\to\) 잘 정의됨 검문 \(\to\) 통과 후 함수 자격. 이 절차는 대학의 대수학과 위상수학에서 반복해서 쓰인다.

관찰 — 세 예제의 같은 뼈대#

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재가 다르지만 밟은 걸음이 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

단계

예제 2.1

예제 2.2

예제 2.3

① 무대 확인

정의역 \(A\), 공역 \(B\) (유한집합)

정의역\(\cdot\)공역 모두 \(\mathbb{Z}\)

정의역 \(\mathbb{Z}_4\) — 원소가 \(\underline{\quad(1)\quad}\)이므로 검문 필요

② 조건 검사

세 입력의 순서쌍 개수

선언에서 이미 함수

\(\underline{\quad(2)\quad}\) 검문 통과 후 네 값 확정

③ 치역

문항에 없음

\(\underline{\quad(3)\quad}\) 포함으로 증명

네 값을 모아 나열

확인 17. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 예제에서 ①이 언제나 ②보다 먼저 오는

이유를 한 문장으로 적어 보자.

답

(1) 동치류(방) (2) 잘 정의됨 (3) 양방향. ①이 먼저인 이유는 검사할 조건의 내용이

무대에 따라 달라지기 때문이다 — 정의역이 유한집합이면 전수 검사로 끝나고, 원소가

동치류이면 잘 정의됨 검문이 먼저 붙는다. 무대를 확인하지 않고 검사부터 시작하면

검문을 통째로 빠뜨리게 된다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

함수 다루기의 3단 절차

① 무대를 확인한다 — 정의역과 공역이 무엇인가. 정의역의 원소가 동치류이면 잘 정의됨 검문부터.

② 두 조건을 검사한다 — 전체성(빠진 입력 없음)과 유일성(한 입력에 두 출력 없음).

③ 치역은 따로 계산한다 — 집합 상등이므로 양방향 포함으로.

이 절차는 9부 내내 쓰는 기본형이다. 41주차의 단사\(\cdot\)전사도 ②의 자리에 조건을 하나씩 더 얹는 방식으로 들어온다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)에 대해 다음을 채운다.

(1) 정의역: \(\underline{\quad}\), 공역: \(\underline{\quad}\)

(2) 치역: \(f(\mathbb{R}) = \underline{\qquad}\) (구간 표기)

(3) 그래프로서의 \(f\): \(f = \{(x, \underline{\quad}) : x \in \mathbb{R}\}\)

(4) \((3, 9) \underline{\ \in / \notin\ } f\), \((-3, 9) \underline{\ \in / \notin\ } f\), \((9, 3) \underline{\ \in / \notin\ } f\)

(5) 치역과 공역이 \(\underline{\quad}\) 않으므로, 41주차의 언어로 이 함수는 전사가 아니다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

명제. \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = 5n\)의 치역은 \(\{5k : k \in \mathbb{Z}\}\)이다.

증명. (\(\subseteq\)) \(y \in f(\mathbb{Z})\)라 하자. \(\underline{\quad(1)\quad}\)의 정의에 의해 \(y = f(n) = \underline{\quad(2)\quad}\)인 정수 \(n\)이 존재한다. 따라서 \(y \in \{5k : k \in \mathbb{Z}\}\)이다.

(\(\supseteq\)) \(y \in \{5k : k \in \mathbb{Z}\}\)라 하자. 조건에 의해 \(y = \underline{\quad(3)\quad}\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 이때 \(k\)는 \(f\)의 \(\underline{\quad(4)\quad}\)에 속하므로 입력으로 쓸 수 있고,

\[ f(k) = 5k = y \]

이다. 곧 \(y \in f(\mathbb{Z})\)이다.

\(\underline{\quad(5)\quad}\)가 모두 성립하므로 두 집합은 같다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 3단 절차의 각 칸을 통째로 채운다.

명제. \(\theta : \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\), \(\theta([a]) = [a + 2]\)는 잘 정의된 함수이고, 그 치역은 \(\mathbb{Z}_5\) 전체다.

답안의 뼈대.

  • ① 무대 확인과 검문: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 함수 자격 선언: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 값 계산과 치역: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

(이 훈련이 문제 11의 예행연습이다 — 법과 규칙만 바뀐다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “\(R_2\)는 함수가 아니다(맞음)”는 0점이고,

“\((1,x)\)와 \((1,y)\)가 둘 다 \(R_2\)에 속하고 \(x \neq y\)이므로 유일성 위반”이 만점이다.

치역 문제는 답만 적으면 0점이다 — 양방향 포함이 점수다.

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 함수의 정의(\(\exists!\) 조건 포함), 정의역\(\cdot\)공역\(\cdot\)치역, 함수 상등의 기준을 쓰시오.

힌트

정의 40.1, 정의 40.2, §1.6의 상자 세 개다. 상등 기준을 두 개(정의역, 값)만 적기

쉬우니 §1.6이 왜 세 개인지도 함께 떠올린다.

2. \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{a, b, c\}\). 다음 각각이 함수인지 판정하시오 (아니면 위반 조건). (a) \(\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\) (b) \(\{(1,a),(2,a),(3,a)\}\) (c) \(\{(1,a),(2,b)\}\) (d) \(\{(1,a),(2,b),(2,c),(3,a)\}\)

힌트

항목마다 물을 것은 하나 — 입력 \(1, 2, 3\)의 순서쌍이 각각 몇 개인가.

(b)에서 출력이 전부 같다는 사실에 흔들리지 않는다. 조건은 입력 쪽에만 있다.

3. 다음 그래프(순서쌍 집합)가 \(\mathbb{R}\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 함수인지 수직선 테스트의 언어로 판정하시오. (a) \(\{(x, 3x - 1) : x \in \mathbb{R}\}\) (b) \(\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1\}\) (단위원) (c) \(\{(x, y) : y = |x|\}\)

힌트

세로선 \(x = c\)와의 교점 개수를 \(c\)에 따라 센다. (b)는 \(c = 0\)일 때와 \(c = 2\)일 때

개수가 어떻게 다른지 각각 확인한다 — 두 조건 모두 볼 일이 있다.

4. \(f : \{1,2,3,4\} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = n^2 - 3\)의 치역을 나열하시오.

힌트

정의역이 유한하므로 양방향 포함 증명이 필요 없다 — 네 값을 전부 계산해 모으면

그것이 곧 정의 40.2의 \(\{f(a) : a \in A\}\)다.

5. 훈련 1(\(x^2\))을 백지에서 완성하시오.

힌트

(2)의 치역은 “제곱해서 나올 수 있는 실수 전부”다. 음수가 나오는지, \(0\)이 나오는지를

각각 판정하면 구간의 두 끝이 정해진다.

6. 예제 2.1을 백지에 재현하시오.

힌트

세 판정 각각에 ① 결론 ② 순서쌍 수준의 근거 ③ 조건의 이름이 다 들어갔는지 확인한다.

\(R_3\)의 출력 중복에 대한 논평까지가 답안이다.

표준 ●●○#

7. 예제 2.2(치역 = 홀수 전체)를 백지에 재현하시오.

8. \(g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(g(n) = 3n - 1\)의 치역을 조건제시법으로 쓰고, 치역 상등을 양방향 포함으로 증명하시오. (힌트: \(\{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}\) — 27주차 예제 2.3의 부품을 그대로 재사용한다)

힌트

예제 2.2와 뼈대가 같다. (\(\supseteq\))에서 \(y = 3k - 1\)이라 할 때의 증인은 \(g(x) = y\)를

\(x\)에 관해 풀면 바로 나온다.

9. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = |x|\)와 \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = \sqrt{x^2}\)이 같은 함수임을 증명하시오. (정의역\(\cdot\)공역 일치 확인 + 모든 \(x\)에서 값 일치 — 케이스, 17주차)

힌트

상등 기준 세 개를 순서대로 밟는다. 셋째 기준에서 \(x \ge 0\)과 \(x < 0\)으로 나누고,

각 경우에서 “\(\sqrt{\ }\)는 음이 아닌 제곱근”이라는 16주차의 인정 사실을 근거로 쓴다.

10. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)과 \(g : [0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\)은 같은 함수인가? 판정하고 근거를 쓰시오.

11. \(\psi : \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6\), \(\psi([a]) = [3a]\)가 잘 정의된 함수임을 증명하고, 여섯 입력의 값을 전부 계산해 치역을 구하시오.

힌트

훈련 3과 같은 뼈대다. 검문에서 쓸 근거는 “합동의 양변에 같은 정수를 곱해도

합동이 유지된다”이고, 이것은 20주차 문제 9(b)에서 증명이 끝났다.

12. 다음 규칙이 함수가 되도록 정의역 또는 공역을 손보시오 (두 가지 방법 이상 제시). “\(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(h(x) = \dfrac{1}{x}\)” — 무엇이 문제이고, 어떻게 고치는가?

힌트

먼저 어느 조건이 어디서 깨지는지 입력 하나를 지목한다(§1.3의 삭제 실험 2와 같은

자리다). 수리법은 둘이다 — 그 입력을 정의역에서 빼거나, 그 입력에도 값을 주도록

규칙을 보완하거나.

13. \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_4\), \(f(n) = [n]\) (자기 동치류로 보내는 함수)에 대해: (a) 함수임을 확인하시오 (전체성\(\cdot\)유일성 — 유일성의 근거는 무엇인가?). (b) 치역을 구하시오.

힌트

정의역이 \(\mathbb{Z}\)이므로 검문은 필요 없다 — 입력에 이름이 하나뿐이다. 유일성의

근거는 “한 정수가 두 동치류에 동시에 들어가지 않는다”이고, 그 정리는 37주차에 있다.

14. 관계 \(R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : y^2 = x\}\)가 함수가 아님을 두 조건 각각의 위반 사례로 보이시오 (전체성 위반 하나, 유일성 위반 하나).

힌트

\(x\)를 음수로 잡을 때와 양수로 잡을 때 \(y^2 = x\)의 실수 해가 각각 몇 개인지 센다.

사례에는 구체적인 수와 순서쌍까지 적는다.

도전 ●●●#

이 구간이 쓰는 두 도구

① 곱셈 원리(12주차): 독립적인 선택이 차례로 있을 때 전체 경우의 수는 각

단계의 선택지 수의 곱이다. 문제 15가 이것을 함수 세기에 쓴다.

② 증인 제작의 두 의무(26주차 + 예제 2.2): 존재를 보이려고 증인을 제시할

때는 두 가지를 확인해야 한다 — 증인이 정의역에 속하는가, 그리고 대입했을 때

실제로 그 값이 나오는가. 예제 2.2에서는 첫째 의무가 “\(k \in \mathbb{Z}\)”

한 마디로 끝났지만, 정의역에 구멍이 있으면 확인이 계산 한 줄만큼 길어진다.

문제 17이 그 경우다.

15. \(f : A \to B\)에서 \(|A| = 3\), \(|B| = 4\)일 때 가능한 함수의 총수는? 일반으로 \(|A| = m\), \(|B| = n\)이면? (12주차 문제 18의 회수 — 함수 = “출력 목록”)

힌트

함수를 하나 정하는 일은 “\(A\)의 원소마다 출력을 하나씩 고르는” 일이다 — 정의 40.1의

“각 입력에 정확히 하나”가 곧 “각 입력마다 한 번 고른다”이다. 선택 횟수와 각 선택의

선택지 수를 세면 곱셈 원리가 적용된다.

16. \(\chi : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4\)를 \(\chi([a]) = [3^a]\)로 정의하려 한다. 잘 정의되는지 판정하시오. (힌트: \([0] = [4]\)에서 \(3^0 = 1\)과 \(3^4 = 81\) — mod 4로 비교)

힌트

지수 자리라고 준비 운동 3번과 같은 결말이라 단정하지 않는다. 문제의 힌트대로

\([0]\)과 \([4]\)를 실제로 비교하고, 통과하면 다른 이름 쌍도 시험한 뒤 이유를 찾는다 —

\(3\)을 mod 4에서 더 다루기 쉬운 수로 바꿔 적으면 \(3^a\)가 \(a\)의 무엇에만 의존하는지

보인다. (거듭제곱이 정수로 정의되도록 대표원은 음이 아닌 정수로 잡는다.)

17. \(f : \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}\)의 치역이 \(\mathbb{R} - \{1\}\)임을 증명하시오. ((\(\supseteq\)): \(y \neq 1\)에 대해 \(f(x) = y\)를 \(x\)에 관해 풀어 증인 제작 — 그 증인이 정의역에 속하는지(\(x \neq 2\))까지 검증. (\(\subseteq\)): \(f(x) = 1\)이 불가능함을 보이기)

힌트

(\(\subseteq\))는 짧다 — \(f(x) = 1\)이라 두고 분모를 곱하면 곧바로 모순이 나온다.

(\(\supseteq\))는 \(y(x-2) = x+1\)에서 \(x\)가 든 항을 한쪽에 모아 \(x(y-1) = 2y+1\)을 만든다

(\(y \neq 1\)이 나눗셈을 허가한다). 만든 증인에 도입 상자의 두 의무를 각각 확인한다.

18. (진단) 다음 주장의 결함을 지적하시오.

“함수 \(f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}\)를 \(f\left(\frac{a}{b}\right) = a + b\)로 정의한다. 예컨대 \(f\left(\frac12\right) = 3\)이다.”

(힌트: \(\frac12 = \frac24\) — 37주차 예제 2.3에서 유리수가 무엇이었는지. 이 규칙은 어느 조건을 위반하는가?)

힌트

유리수 하나에 분수 표기가 여러 개 붙어 있다는 사실이 열쇠다. \(\mathbb{Z}_n\)의 방에

이름이 여러 개였던 것과 같은 상황이므로, 같은 입력의 두 이름을 잡아 값을 비교한다.

19. 고교 교과서의 “함수의 그래프” 정의(좌표평면 위 점들의 모임)와 이번 주 정의(함수 = 순서쌍 집합)의 관계를 서술하고, “그래프를 그린다”가 집합론적으로 무엇을 하는 일인지 두 문장 이내로 쓰시오.

20. (서술) (a) 함수 정의의 \(\exists!\)가 26주차의 존재\(\cdot\)유일 2단 의무와 어떻게 대응하는지 (전체성 = 존재, 유일성 = 유일). (b) \(\mathbb{Z}_n\) 위의 함수 선언에서 잘 정의됨 검문이 유일성 조건의 특수형인 이유를 두 문장 이내로.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 함수 다루기의 3단 절차(§2 관찰)와 근거 목록(§1.8)만 펴 놓고, 예제 2.2(치역 = 홀수 전체)를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 함수의 정의(\(f \subseteq A \times B\) + \(\exists!\))를 조각 그대로 백지에 썼다.

  • 전체성 위반과 유일성 위반의 사례를 순서쌍 수준에서 각각 하나씩 제시했다.

  • 치역 계산이 집합 상등 증명이며, (\(\supseteq\)) 방향이 증인 제작임을 설명했다.

  • 함수 상등의 기준 세 개를 쓰고, 공역이 왜 따로 필요한지 한 문장으로 답했다.

  • “정의역이 다르면 다른 함수”와 “\(|x|\)와 \(\sqrt{x^2}\)은 같은 함수”를 함께 설명했다.

  • \(\mathbb{Z}_4\) 위 함수의 잘 정의됨 검문(예제 2.3)을 네 걸음 그대로 재현했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

정의가 정확히 기억나지 않는다

§1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다

함수인지 아닌지 판정이 흔들린다

§1.2의 개수 표 — 입력마다 순서쌍을 세는 자리로 돌아간다

치역 증명에서 어느 방향부터 쓸지 모르겠다

예제 2.2의 설계(확인 15) — 양방향을 먼저 적어 놓고 시작한다

(\(\supseteq\)) 방향에서 증인이 나오지 않는다

예제 2.2의 완성본 — \(f(x) = y\)를 \(x\)에 관해 푸는 계산이 증인 제작이다

몫 세계 위의 규칙에서 무엇부터 할지 모르겠다

예제 2.3과 §1.7 — 검문이 값 계산보다 먼저다

두 함수가 같은지 판정이 흔들린다

§1.6 — 정의역 \(\to\) 공역 \(\to\) 값의 순서로 검사한다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) (2) \([0, \infty)\) (3) \(x^2\) (4) \(\in\), \(\in\), \(\notin\) (5) 같지

※ (2)의 근거는 두 방향이다: 모든 실수에 대해 \(x^2 \ge 0\)이고(16주차 (W1)), 음이 아닌 임의의 \(c\)에 대해 \(\sqrt c\)가 증인이 되어 \(f(\sqrt c) = c\)이다(16주차 인정 사실 ‘제곱근’). (4)의 셋째가 \(\notin\)인 이유는 \(9^2 = 81 \neq 3\)이기 때문이다 — 순서쌍의 좌우를 바꾸면 다른 순서쌍이다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 치역 (2) \(5n\) (3) \(5k\) (4) 정의역 (5) 양방향 포함

※ (4)가 이 훈련의 핵심이다. 증인 \(k\)가 정의역에 속한다는 확인이 없으면 정의역에 없는 값을 입력으로 쓴 셈이 된다. 정의역이 \(\mathbb{Z}\)처럼 넉넉하면 한 마디로 끝나지만, 문제 17에서는 이 확인에 계산이 필요하다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 정의역이 \(\mathbb{Z}_5\)이므로 잘 정의됨 검문부터 한다. \([a] = [a']\)이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 \(a \equiv a' \pmod 5\)이다. 또 \(2 \equiv 2 \pmod 5\)이므로 (C4)에 의해 \(a + 2 \equiv a' + 2 \pmod 5\)이고, 핵심 정리로 \([a+2] = [a'+2]\)이다. 따라서 값이 대표원 선택에 의존하지 않는다.

(2) 정의역의 다섯 원소 각각에 값이 하나씩 확정되므로 전체성과 유일성이 성립한다. 곧 \(\theta\)는 함수다.

(3) \(\theta([0]) = [2]\), \(\theta([1]) = [3]\), \(\theta([2]) = [4]\), \(\theta([3]) = [5] = [0]\), \(\theta([4]) = [6] = [1]\). 다섯 값이 전부 다르므로 치역 \(= \mathbb{Z}_5\)이며 공역과 일치한다. \(\blacksquare\)

※ 문제 11의 \(\psi\)는 치역이 두 개짜리로 접힌다. 같은 절차에서 결과가 갈리는 이유는 곱해지는 수와 법의 공통 인수에 있고(문제 11의 복기에서 확인한다), 41주차의 전사 판정이 이 차이를 정면으로 다룬다.

문제 1#

접근. §1의 상자 세 개(정의 40.1, 정의 40.2, 함수 상등)를 재현하는 문항이다. 옮겨 적는 데서 끝내지 말고, 각 조각이 무엇을 막는지(§1.3의 해부 표)를 한 줄씩 붙여 자가 채점한다.

풀이. (정의) 집합 \(A\)에서 \(B\)로의 함수 \(f\)란, “모든 \(a \in A\)에 대해 \((a,b) \in f\)인 \(b \in B\)가 유일하게 존재한다”를 만족하는 관계 \(f \subseteq A \times B\)이며, 그 유일한 \(b\)를 \(f(a)\)로 쓴다. (세 이름) \(A\)가 정의역, \(B\)가 공역, \(f(A) = \{f(a) : a \in A\}\)가 치역이고 언제나 \(f(A) \subseteq B\)이다. (상등) \(f = g\)인 것은 정의역이 같고, 공역이 같고, 모든 \(a\)에 대해 \(f(a) = g(a)\)인 것과 같다.

복기. 자주 빠지는 두 곳은 정해져 있다. 정의의 “유일하게”가 빠지면 \(f(a)\) 표기가 무의미해지고(확인 3), 상등의 “공역이 같고”가 빠지면 순서쌍은 같은데 다른 함수인 두 대상을 구별하지 못한다(§1.6).

문제 2#

접근. 정의역이 원소 세 개짜리이므로 전수 검사로 끝난다. 항목마다 입력 \(1, 2, 3\)의 순서쌍 개수를 세고, \(0\)이면 전체성 위반, \(2\) 이상이면 유일성 위반으로 이름을 붙인다. 출력이 겹치는지는 보지 않는다.

풀이. (a) 개수는 \(1, 1, 1\) — 세 입력 모두 정확히 하나이므로 함수다. (b) 개수는 \(1, 1, 1\) — 출력이 전부 \(a\)로 겹치지만 조건은 입력 쪽에만 걸려 있으므로 함수다(상수함수). (c) 개수는 \(1, 1, 0\) — 입력 \(3\)의 순서쌍이 하나도 없으므로 함수가 아니다(전체성 위반). (d) 개수는 \(1, 2, 1\) — \((2, b)\)와 \((2, c)\)가 둘 다 속하고 \(b \neq c\)이므로 함수가 아니다(유일성 위반).

복기. 판정 답안의 완결 조건은 셋이다: 결론, 순서쌍 수준의 근거, 조건의 이름. (b)에서 흔들리는 원인은 정의에 없는 조건(출력이 서로 달라야 한다)을 무의식적으로 추가한 데 있고, 그 조건은 41주차의 단사에 속한다.

문제 3#

접근. 수직선 테스트는 §1.4에서 본 대로 “세로선 \(x = c\)와의 교점 개수”를 세는 절차다. 교점이 둘 이상이면 유일성 위반, 하나도 없으면 전체성 위반이다. \(c\)의 값에 따라 개수가 달라질 수 있으므로, 위반이 의심되면 \(c\)를 구체적으로 잡는다.

풀이. (a) 임의의 실수 \(c\)에 대해 교점은 \((c, 3c-1)\) 하나뿐이고 \(3c - 1\)은 \(c\)마다 하나로 확정되므로, 개수가 항상 \(1\)이다. 함수다. (b) \(c = 0\)일 때 \(0^2 + y^2 = 1\)에서 \(y = 1\)과 \(y = -1\)이 모두 해이므로 \((0,1)\)과 \((0,-1)\)이 둘 다 속한다 — 교점 두 개, 유일성 위반이다. \(c = 2\)일 때는 \(4 + y^2 = 1\)에서 \(y^2 = -3\)이 되어 실수 해가 없으므로 교점이 없다 — 전체성 위반이다. 두 조건 모두 어기므로 함수가 아니다. (c) 임의의 실수 \(c\)에 대해 \(|c|\)가 하나로 확정되므로 교점은 \((c, |c|)\) 하나뿐이다. 함수다.

복기. (b)에서 하나만 지적해도 결론은 나오지만 둘 다 적는 이유는 조건이 독립임을 확인하기 위해서다 — 전체성만 고쳐 정의역을 \([-1,1]\)로 줄여도 유일성 위반은 남는다.

문제 4#

접근. 정의 40.2의 \(f(A) = \{f(a) : a \in A\}\)를 유한집합에서 그대로 실행한다. 정의역이 네 원소뿐이므로 양방향 포함 증명이 필요 없고, 네 값을 계산해 모으면 그것이 곧 치역이다.

풀이. 네 입력을 차례로 대입한다.

\[ f(1) = 1 - 3 = -2, \quad f(2) = 4 - 3 = 1, \quad f(3) = 9 - 3 = 6, \quad f(4) = 16 - 3 = 13 \]

따라서 치역은 \(f(\{1,2,3,4\}) = \{-2, 1, 6, 13\}\)이다.

복기. 정의역이 유한하면 치역 계산은 전수 대입이고 무한하면 집합 상등 증명이다 (예제 2.2). 어느 쪽인지는 무대를 확인하는 ① 단계에서 정해진다. (검산: 네 값이 서로 달라 원소 네 개짜리이며, 공역 \(\mathbb{Z}\)보다 훨씬 작다.)

문제 5#

접근. 훈련 1의 다섯 항목을 백지에서 다시 채우는 문항이다. (2)의 치역만 계산이 필요하고 나머지는 정의의 인용이다. (4)는 순서쌍의 순서에 주의한다.

풀이. (1) 정의역 \(\mathbb{R}\), 공역 \(\mathbb{R}\) — 선언에 적힌 그대로다. (2) \(f(\mathbb{R}) = [0, \infty)\). 근거는 두 방향이다: 16주차 (W1)에 의해 임의의 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이므로 치역이 \([0,\infty)\)에 포함되고, 임의의 \(c \ge 0\)에 대해 \(\sqrt c\)가 실수이고(16주차 인정 사실 ‘제곱근’) \(f(\sqrt c) = c\)이므로 \([0,\infty)\)가 치역에 포함된다. (3) \(f = \{(x, x^2) : x \in \mathbb{R}\}\). (4) \((3, 9) \in f\), \((-3, 9) \in f\)(\((-3)^2 = 9\)), \((9, 3) \notin f\)(\(9^2 = 81 \neq 3\)). (5) 치역 \([0,\infty)\)와 공역 \(\mathbb{R}\)이 같지 않다.

복기. (4)의 앞 두 항목이 함께 참이라는 것이 요점이다. 서로 다른 입력 \(3\)과 \(-3\)이 같은 출력 \(9\)를 갖는 것은 정의 40.1에 어긋나지 않으며, 이 순서쌍 두 개가 41주차에서 “\(f\)는 단사가 아니다”의 근거가 된다.

문제 6#

접근. 세 판정을 재현하되, 각 판정에 ① 결론 ② 순서쌍 수준의 근거 ③ 조건의 이름이 모두 들어갔는지 자가 채점한다. \(R_3\)의 출력 중복에 대한 논평까지가 답안이다.

풀이. \(R_1\)은 함수가 아니다 — 입력 \(3\)에 대해 \((3, b) \in R_1\)인 \(b\)가 존재하지 않으므로 전체성 위반이다. \(R_2\)는 함수가 아니다 — \((1, x)\)와 \((1, y)\)가 모두 \(R_2\)에 속하고 \(x \neq y\)이므로 입력 \(1\)에 출력이 둘이며, 유일성 위반이다. \(R_3\)은 함수다 — 입력 \(1, 2, 3\) 각각에 순서쌍이 정확히 하나씩 있고 \(f(1) = y\), \(f(2) = y\), \(f(3) = x\)이다. 출력 \(y\)가 두 번 나오는 것은 위반이 아니다. 정의 40.1의 조건이 입력 쪽에만 걸려 있기 때문이다.

복기. 재현이 막히는 자리는 대개 셋째 판정이다. 통과 판정에 “위반이 없다”만 적기 쉬운데 그것은 검사했다는 증거가 되지 않는다 — 세 입력의 값을 실제로 적는 것이 증거다.

문제 7#

접근. 예제 2.2의 재현이다. (\(\subseteq\))는 받은 등식을 옮겨 적는 짧은 방향, (\(\supseteq\))는 증인을 만드는 긴 방향이라는 비대칭을 기억하고 시작한다. 증인을 제시한 뒤 정의역 소속을 확인하는 구절이 들어갔는지 자가 채점한다.

풀이. (\(\subseteq\)) \(y \in f(\mathbb{Z})\)라 하자. 치역의 정의에 의해 \(y = f(n) = 2n+1\)인 정수 \(n\)이 존재한다. 곧 \(y\)는 \(2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴이므로 \(y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)이다. (\(\supseteq\)) \(y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)라 하자. 조건에 의해 \(y = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. \(k \in \mathbb{Z}\)이므로 \(k\)는 \(f\)의 정의역에 속하고,

\[ f(k) = 2k + 1 = y \]

이다. 따라서 \(y \in f(\mathbb{Z})\)이다. 양방향 포함이 성립하므로 \(f(\mathbb{Z}) = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 두 방향에서 하는 일이 정반대다. (\(\subseteq\))는 정의를 풀어 등식을 받고, (\(\supseteq\))는 정의를 만족시키려 입력을 제작한다 — “존재한다는 방향에 따라 다르게 작동한다”(1주차 §1.3)가 치역 증명에서 그대로 재연된다.

문제 8#

접근. 예제 2.2와 뼈대가 같고 계수만 다르다. 먼저 치역을 추측해 적는다 — 출력의 일반형이 \(3n - 1\)이므로 \(\{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}\)가 후보다. 그다음 양방향 포함으로 그 추측을 증명한다. (\(\supseteq\))의 증인은 \(g(x) = y\)를 \(x\)에 관해 풀어서 얻는다.

풀이. 치역은 \(g(\mathbb{Z}) = \{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -7, -4, -1, 2, 5, \dots\}\)이다. (\(\subseteq\)) \(y \in g(\mathbb{Z})\)라 하자. 치역의 정의에 의해 \(y = g(n) = 3n - 1\)인 정수 \(n\)이 존재한다. 곧 \(y\)는 \(3 \times (\text{정수}) - 1\) 꼴이므로 \(y \in \{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}\)이다. (\(\supseteq\)) \(y \in \{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}\)라 하자. 조건에 의해 \(y = 3k - 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. \(k \in \mathbb{Z}\)이므로 \(k\)는 정의역에 속하고,

\[ g(k) = 3k - 1 = y \]

이다. 따라서 \(y \in g(\mathbb{Z})\)이다. 양방향 포함으로 상등이 성립한다. \(\blacksquare\)

복기. 같은 집합을 조건형으로도 적을 수 있고, 그 등호도 양방향으로 확인한다. \(3k - 1 = 3(k-1) + 2\)이므로(생성식의 매개변수를 옮겨 적는 이 기술이 27주차 예제 2.3의 것이다) 이 집합의 원소는 모두 3으로 나눈 나머지가 2인 정수다. 역으로 \(y \equiv 2 \pmod 3\)이면 \(y = 3m + 2\)인 정수 \(m\)이 존재하고(20주차 합동의 정의) \(y = 3(m+1) - 1\)이므로 \(y\)도 이 집합의 원소다. 양방향이 확인되었으므로 \(\{3k-1 : k \in \mathbb{Z}\} = \{y \in \mathbb{Z} : y \equiv 2 \pmod 3\}\)이다. (검산: \(k = 0, 1, 2\)에서 \(-1, 2, 5\)가 나오고 셋 다 3으로 나눈 나머지가 2다.)

문제 9#

접근. 상등 기준 세 개를 순서대로 밟는다. 정의역과 공역은 선언에 적혀 있으므로 확인만 하면 되고, 승부는 셋째 기준(모든 \(x\)에서 값 일치)이다. \(\sqrt{x^2}\)의 값을 결정하려면 \(x\)의 부호를 알아야 하므로 경우를 나눈다(17주차).

풀이. 두 함수 모두 정의역이 \(\mathbb{R}\)이고 공역이 \(\mathbb{R}\)이므로 첫째와 둘째 기준을 통과한다. 값의 일치를 임의의 실수 \(x\)에 대해 보인다.

경우 1: \(x \ge 0\). 이때 \(|x| = x\)이다. 한편 \(\sqrt{x^2}\)은 제곱해서 \(x^2\)이 되는 음이 아닌 유일한 실수이고(16주차 인정 사실 ‘제곱근’), \(x \ge 0\)이고 \(x \cdot x = x^2\) 이므로 \(x\)가 바로 그 수다. 따라서 \(\sqrt{x^2} = x = |x|\)이다.

경우 2: \(x < 0\). 이때 \(|x| = -x\)이다. 한편 \(-x > 0\)이고 \((-x)^2 = x^2\)이므로 \(-x\)가 제곱해서 \(x^2\)이 되는 음이 아닌 실수이고, 그런 실수는 하나뿐이다(16주차 인정 사실 ‘제곱근’). 따라서 \(\sqrt{x^2} = -x = |x|\)이다.

모든 실수가 두 경우 중 하나에 속하므로 모든 \(x\)에서 \(f(x) = g(x)\)이고, 세 기준을 모두 통과했으므로 \(f = g\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 식의 생김새는 상등 기준에 없다 — 비교하는 것은 언제나 정의역\(\cdot\)공역\(\cdot\)값 세 가지뿐이다. 문제 10이 정확히 반대 사례다(식은 같은데 다른 함수). (검산: \(x = -3\)에서 \(|{-3}| = 3\)이고 \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt 9 = 3\)으로 일치한다.)

문제 10#

접근. 상등 기준의 첫째에서 판정이 끝난다. 판정만 적으면 근거가 없으므로, 순서쌍 하나를 제시해 두 집합이 실제로 다름까지 보인다.

풀이. 다른 함수다. 첫째 기준에서 갈린다 — \(f\)의 정의역은 \(\mathbb{R}\)이고 \(g\)의 정의역은 \([0, \infty)\)인데 \(-1 \in \mathbb{R}\)이고 \(-1 \notin [0,\infty)\)이므로 \(\mathbb{R} \neq [0, \infty)\)이다. 순서쌍 집합으로 확인해도 같은 결론이 나온다. \((-1, 1) \in f\)이지만, \(-1\)이 \(g\)의 정의역에 속하지 않으므로 \((-1, 1) \notin g\)이다. 두 집합의 원소가 다르므로 집합으로서도 다르다. \(\blacksquare\)

복기. 정의역이 좁아지면 순서쌍이 줄어들고, 줄어든 순서쌍이 성질을 바꾼다. 문제 5의 복기에서 본 \((3,9)\)와 \((-3,9)\) 중 뒤의 것이 \(g\)에서는 사라지므로 41주차의 언어로 \(g\)는 단사이고 \(f\)는 단사가 아니다 — 41주차 문제 9가 정의역을 \(\mathbb{N}\)과 \(\mathbb{Z}\)로 바꾼 같은 구조의 명제를 다룬다.

문제 11#

접근. 훈련 3과 같은 뼈대다. 정의역이 \(\mathbb{Z}_6\)이므로 ① 잘 정의됨 검문 \(\to\) ② 함수 자격 선언 \(\to\) ③ 값 계산과 치역의 순서로 간다. 검문에서 쓸 근거는 “합동의 양변에 같은 정수를 곱해도 합동이 유지된다”이고, 20주차 문제 9(b)에서 증명이 끝났다.

풀이. (잘 정의됨) \([a] = [a']\)이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 \(a \equiv a' \pmod 6\)이다. 양변에 \(3\)을 곱해도 합동이 유지되므로(20주차 문제 9(b), 또는 \(3 \equiv 3\)과 (C5)) \(3a \equiv 3a' \pmod 6\)이고, 다시 핵심 정리로 \([3a] = [3a']\)이다. 따라서 값이 대표원 선택에 의존하지 않는다.

(함수 자격) 정의역의 여섯 원소 각각에 값이 하나씩 확정되므로 전체성과 유일성이 성립한다. 곧 \(\psi\)는 함수다.

(값 계산) \(\psi([0]) = [0]\), \(\psi([1]) = [3]\), \(\psi([2]) = [6] = [0]\), \(\psi([3]) = [9] = [3]\), \(\psi([4]) = [12] = [0]\), \(\psi([5]) = [15] = [3]\)이다. 따라서 치역은 \(\psi(\mathbb{Z}_6) = \{[0], [3]\}\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 여섯 개짜리 정의역이 두 개짜리 치역으로 접혔다. 접히는 정도는 규칙과 법의 관계가 정한다 — 곱해지는 수 \(3\)과 법 \(6\)의 공통 인수가 \(3\)이라 치역이 \(6/3 = 2\)개로 줄었고, 훈련 3의 \(\theta\)(덧셈 규칙)에서는 접힘이 전혀 없었다. (검산: \([3a]\)는 언제나 \(3\)의 배수이므로 \(\mathbb{Z}_6\)에서 \([0]\) 또는 \([3]\)뿐이다.)

문제 12#

접근. 먼저 어느 조건이 어디서 깨지는지 입력 하나를 지목한다. \(x = 0\)에서 \(\frac10\)이 정의되지 않으므로 순서쌍 \((0, b)\)가 하나도 없다 — 전체성 위반이다 (§1.3의 삭제 실험 2와 같은 자리다). 수리 방향은 둘이다: 문제가 되는 입력을 정의역에서 빼거나, 그 입력에도 값을 주도록 규칙을 보완하거나.

풀이. (문제점) 정의역이 \(\mathbb{R}\)이므로 \(0\)도 입력이어야 하는데 \(\frac{1}{0}\)이 정의되지 않아 \((0, b) \in h\)인 \(b\)가 존재하지 않는다. 전체성 위반이며, 주어진 선언은 함수가 아니다. (수리 1 — 정의역 축소) \(h : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}\), \(h(x) = \frac1x\)로 선언한다. 정의역의 모든 원소에서 \(\frac1x\)가 정의되므로 전체성이 회복되고, 값은 하나로 확정되므로 유일성도 성립한다. 함수다. (수리 2 — 규칙 보완) \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)를 “\(x \neq 0\)이면 \(h(x) = \frac1x\), \(x = 0\)이면 \(h(0) = 0\)”으로 선언한다. 두 경우가 겹치지 않고 전체를 덮으므로 모든 입력에 값이 정확히 하나 확정된다. 함수다(17주차의 절댓값 정의와 같은 꼴). (공역 손질은 소용없음) 공역을 어떻게 바꾸어도 \(x = 0\)의 출력이 생기지는 않는다. 전체성은 정의역 쪽 조건이므로 수리도 정의역이나 규칙에서 한다.

복기. “정의역이 명시되지 않으면 식이 정의되는 최대 범위로 본다”는 고교의 관례는 수리 1을 자동으로 적용하는 약속이었다. 이번 주의 관점에서 그것은 관례가 아니라 전체성 조건을 맞추기 위한 필수 절차다.

문제 13#

접근. 정의역이 \(\mathbb{Z}\)이므로 잘 정의됨 검문은 필요 없다 — 입력 \(n\)에는 이름이 하나뿐이다. 대신 두 조건을 각각 확인한다. 전체성은 “모든 정수가 어떤 동치류에 들어간다”, 유일성은 “한 정수가 두 동치류에 동시에 들어가지 않는다”이고, 뒤의 것을 주는 정리가 37주차에 있다.

풀이. (a) (전체성) 임의의 \(n \in \mathbb{Z}\)에 대해 \([n]\)은 \(n\)을 포함하는 동치류이므로 \([n] \in \mathbb{Z}_4\)이고 \((n, [n]) \in f\)이다. 곧 모든 입력이 출력을 가진다. (유일성) \(n\)이 속하는 동치류가 둘이라면 그 둘이 원소 \(n\)을 공유하게 된다. 그런데 37주차 문제 8(분할 정리)에 의해 동치류들은 \(\mathbb{Z}\)의 분할을 이루므로 서로 다른 두 동치류는 서로소이고, 모든 원소는 정확히 한 조각에만 속한다. 따라서 \(n\)이 속하는 동치류는 하나뿐이며 출력이 하나로 확정된다. 두 조건이 모두 성립하므로 \(f\)는 함수다. (b) \(r = 0, 1, 2, 3\) 각각에 대해 \(f(r) = [r]\)이므로 \(\mathbb{Z}_4\)의 네 원소가 모두 출력된다. 치역은 \(f(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_4\)이며 공역과 일치한다.

복기. 이 \(f\)는 각 원소를 자기가 속한 방으로 보내는 함수이며 몫 사영이라 부른다. 유일성의 근거가 분할 정리라는 점이 요점이다 — 잘 정의됨은 “방을 입력으로 받을 때” 필요한 검문이고, 여기서는 정수를 입력으로 받으므로 분할 정리가 그 자리를 대신한다.

문제 14#

접근. \(y^2 = x\)에서 \(x\)를 고정하고 실수 해 \(y\)가 몇 개인지 센다. \(x\)가 음수면 \(y^2 = x\)를 만족하는 실수가 없고(\(y^2 \ge 0\)), \(x\)가 양수면 \(\pm\sqrt x\) 두 개가 나온다. 두 조건의 위반 사례를 각각 구체적인 수로 잡아 순서쌍까지 적는다.

풀이. (전체성 위반) \(x = -1\)을 잡는다. 16주차 (W1)에 의해 임의의 실수 \(y\)에 대해 \(y^2 \ge 0 > -1\)이므로 \(y^2 = -1\)인 실수 \(y\)는 없다. 따라서 \((-1, y) \in R\)인 \(y\)가 존재하지 않으며 입력 \(-1\)이 출력을 갖지 못한다. (유일성 위반) \(x = 4\)를 잡는다. \(2^2 = 4\)이고 \((-2)^2 = 4\)이므로 \((4, 2) \in R\)이고 \((4, -2) \in R\)이며 \(2 \neq -2\)이다 — 입력 \(4\)에 출력이 둘이다. 두 조건 중 하나만 어겨도 함수가 아니므로, \(R\)은 \(\mathbb{R}\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 함수가 아니다. \(\blacksquare\)

복기. 이 관계의 그래프는 가로로 누운 포물선이고 수직선 테스트의 표준 반례다. 정의역을 \([0, \infty)\)로 줄이면 전체성은 회복되지만 유일성은 그대로 깨져 있다 — 유일성을 회복하려면 규칙 쪽에서 \(y \ge 0\)인 해만 고르도록 손질해야 한다.

문제 15#

접근. 함수 하나를 정하는 일이 무엇인지부터 번역한다. 정의 40.1은 “각 입력에 출력이 정확히 하나”라고 했으므로, 함수를 만드는 일은 \(A\)의 원소마다 출력을 하나씩 고르는 일이다. 선택 횟수와 각 선택의 선택지 수를 세면 곱셈 원리가 적용된다.

풀이. \(|A| = 3\)이므로 고를 입력이 세 개다. \(A\)의 각 원소에 대해 출력은 \(B\)의 원소 중 하나이므로 선택지가 \(|B| = 4\)개이고, 세 선택은 서로 영향을 주지 않는다. 12주차의 곱셈 원리에 의해 함수의 총수는

\[ 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64 \]

이다. 일반으로 \(|A| = m\), \(|B| = n\)이면 선택이 \(m\)번, 각 선택의 선택지가 \(n\)개이므로 함수의 총수는 \(n^m\)이다.

복기. 12주차 문제 18에서 “\(A\)의 각 원소에 \(B\)의 원소를 하나씩 배정하는 방법”을 셌던 것이 이 계산이었고, 그때 미뤄 둔 “그 배정이 곧 함수다”가 정의 40.1로 회수되었다. “\(A\)에서 \(B\)로의 함수 전체의 집합”을 \(B^A\)로 적는 관례도 여기서 나왔다. (검산: \(m = 1\)이면 \(n^1 = n\)이고, 입력이 하나뿐인 함수는 그 출력을 고르는 방법 수만큼 있으므로 \(n\)개가 맞다.)

문제 16#

접근. 지수 자리라고 준비 운동 3번과 같은 결말이라 단정하지 않는다 — 검문은 선입견이 아니라 계산으로 한다. 힌트대로 \([0] = [4]\)를 먼저 시험하고, 통과하면 다른 이름 쌍도 시험한 뒤 이유를 찾는다. mod 4에서 \(3\)을 더 다루기 쉬운 수로 바꿔 적는 것이 열쇠다. (거듭제곱이 정수가 되도록 대표원은 음이 아닌 정수로 잡는다.)

풀이. 잘 정의된다. (시험) \([0] = [4]\)에서 \(3^0 = 1\)이고 \(3^4 = 81 = 4 \cdot 20 + 1\)이므로 \([3^0] = [1] = [3^4]\)이다. 통과한다. \([1] = [5]\)에서도 \(3^1 = 3\)이고 \(3^5 = 243 = 4 \cdot 60 + 3\)이므로 \([3] = [3]\)으로 통과한다. (증명) \(3 = 4 - 1\)이므로 \(3 \equiv -1 \pmod 4\)이다. 31주차 문제 13(거듭제곱 보존)에 의해 모든 자연수 \(a\)에 대해 \(3^a \equiv (-1)^a \pmod 4\)이고, \(a = 0\)일 때는 \(3^0 = 1 = (-1)^0\)으로 직접 확인된다. 따라서 모든 음이 아닌 정수 \(a\)에 대해 \(3^a \equiv (-1)^a \pmod 4\)이다. 이제 \([a] = [a']\)이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 \(a \equiv a' \pmod 4\)이므로 \(a - a'\)은 \(4\)의 배수이고, 특히 \(2\)의 배수이므로 \(a \equiv a' \pmod 2\)이다(정의 20.1). 이때 \(a\)와 \(a'\)은 홀짝이 같다 — \(a - a' = 2k\)인 정수 \(k\)를 잡으면 \(a = a' + 2k\)이고, \(a'\)은 짝수이거나 홀수이므로(17주차 나눗셈 정리) \(a' = 2m\)이면 \(a = 2(m + k)\)로 짝수이고 \(a' = 2m + 1\)이면 \(a = 2(m + k) + 1\)로 홀수다(정의 1.1\(\cdot\)1.2와 근거 ②). 그리고 홀짝이 같으면 \((-1)^a = (-1)^{a'}\)이다 — 둘 다 짝수면 양쪽이 \(1\)이고, 둘 다 홀수면 양쪽이 \(-1\)이다. (25주차 문제 17이 같은 자리를 합동의 언어로 다룬다.) 그러면

\[ 3^a \equiv (-1)^a = (-1)^{a'} \equiv 3^{a'} \pmod 4 \]

이고, 핵심 정리로 \([3^a] = [3^{a'}]\)이다. 따라서 값이 대표원 선택에 의존하지 않으며 \(\chi\)는 잘 정의된다. \(\blacksquare\) (값) \(\chi([0]) = [1]\), \(\chi([1]) = [3]\), \(\chi([2]) = [9] = [1]\), \(\chi([3]) = [27] = [3]\)이다. 치역은 \(\{[1], [3]\}\)이다.

복기. 준비 운동 3번의 \(2^a\)와 이 문제의 \(3^a\)가 갈리는 지점은 밑의 거듭제곱 주기와 법의 관계다. \(3^a\)는 mod 4에서 주기가 \(2\)이고 \(2 \mid 4\)이므로 지수를 mod 4로 바꿔도 필요한 정보(홀짝)가 보존되지만, \(2^a\)는 mod 4에서 \(1, 2, 0, 0, \dots\)으로 주기 구조가 깨져 있어 같은 논증이 통하지 않는다. 검문의 결론은 겉모습이 아니라 계산이 정한다.

문제 17#

접근. 치역이 \(\mathbb{R} - \{1\}\)이라는 것은 두 문장이다: 출력에 \(1\)은 없고(\(\subseteq\)), \(1\)이 아닌 모든 실수는 출력이다(\(\supseteq\)). (\(\subseteq\))는 \(f(x) = 1\)을 가정해 모순을 끌어내면 되고 짧다. (\(\supseteq\))는 \(y\)를 고정해 \(f(x) = y\)를 \(x\)에 관해 푸는 증인 제작이며, 도입 상자의 두 의무를 각각 확인해야 한다 — 증인이 정의역에 속하는가 (\(x \neq 2\)), 대입하면 실제로 \(y\)가 나오는가.

풀이. (\(\subseteq\)) 어떤 \(x \in \mathbb{R} - \{2\}\)에 대해 \(f(x) = 1\)이라고 하자. 그러면 \(\frac{x+1}{x-2} = 1\)이고, \(x \neq 2\)이므로 양변에 \(x - 2\)를 곱할 수 있어 \(x + 1 = x - 2\), 곧 \(1 = -2\)이다. 모순이다. 따라서 \(1\)은 \(f\)의 출력이 아니며 \(f(\mathbb{R} - \{2\}) \subseteq \mathbb{R} - \{1\}\)이다.

(\(\supseteq\)) \(y \in \mathbb{R} - \{1\}\)이라 하자. \(f(x) = y\)를 \(x\)에 관해 푼다.

\[ \frac{x+1}{x-2} = y \iff x + 1 = y(x-2) \iff x - yx = -2y - 1 \iff x(1 - y) = -(2y+1) \]

\(y \neq 1\)이므로 \(1 - y \neq 0\)이고 양변을 \(1 - y\)로 나눌 수 있다:

\[ x = \frac{-(2y+1)}{1-y} = \frac{2y+1}{y-1} \]

이 \(x\)를 증인으로 제시한다. (의무 ① 정의역 소속) \(x = 2\)라고 하면 \(\frac{2y+1}{y-1} = 2\)에서 \(2y + 1 = 2y - 2\), 곧 \(1 = -2\)로 모순이다. 따라서 \(x \neq 2\)이고 \(x \in \mathbb{R} - \{2\}\)이다. (의무 ② 대입 확인) 분자와 분모를 각각 계산하면

\[ x + 1 = \frac{2y+1}{y-1} + 1 = \frac{2y+1+y-1}{y-1} = \frac{3y}{y-1}, \qquad x - 2 = \frac{2y+1-2(y-1)}{y-1} = \frac{3}{y-1} \]

이므로

\[ f(x) = \frac{x+1}{x-2} = \frac{3y/(y-1)}{3/(y-1)} = y \]

이다. 따라서 \(y \in f(\mathbb{R} - \{2\})\)이다. 양방향 포함이 성립하므로 \(f(\mathbb{R} - \{2\}) = \mathbb{R} - \{1\}\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 정의역에 구멍이 있으면 증인 제작의 첫째 의무가 계산 한 줄로 늘어난다. 예제 2.2에서는 “\(k\)는 정수이므로”로 끝났지만 여기서는 \(x \neq 2\)를 따로 증명해야 한다. 고교의 “\(y = \frac{x+1}{x-2}\)의 점근선은 \(y = 1\)”이라는 사실의 정체가 이 증명이다 — 치역에서 빠지는 단 하나의 값이 \(1\)이라는 것. (검산: \(y = 0\)이면 증인은 \(x = -1\)이고 \(f(-1) = \frac{0}{-3} = 0\)이다.)

문제 18#

접근. 유리수 \(\frac12\)에 붙은 표기가 하나가 아니라는 사실이 열쇠다. 37주차 예제 2.3에서 유리수는 분수 표기들의 동치류로 정의되었으므로, \(\mathbb{Z}_n\)의 방에 이름이 여러 개였던 것과 같은 상황이다. 같은 입력의 두 이름을 잡고 값을 비교한다.

풀이. 결함은 잘 정의되지 않음, 곧 정의 40.1의 유일성 위반이다. \(\frac12\)와 \(\frac24\)는 같은 유리수의 두 표기다(\(1 \cdot 4 = 2 \cdot 2\)이므로 37주차의 동치 조건을 만족한다). 그런데 주어진 규칙을 각 표기에 적용하면

\[ f\left(\frac12\right) = 1 + 2 = 3, \qquad f\left(\frac24\right) = 2 + 4 = 6 \]

이고 \(3 \neq 6\)이다. 곧 같은 입력에 두 출력이 배정되므로, 순서쌍으로는 \(\left(\frac12, 3\right)\)과 \(\left(\frac12, 6\right)\)이 동시에 들어가는 셈이다. 따라서 이 규칙은 \(\mathbb{Q}\) 위의 함수를 정의하지 못한다. \(\blacksquare\)

복기. 수리 방향은 둘이다. 하나는 대표원의 표준화다 — “기약분수 표기이고 분모가 양수인 \(\frac ab\)에 대해 \(a + b\)”로 고치면 표기가 하나로 확정되어 잘 정의된다. 다른 하나는 애초에 표기에 의존하지 않는 규칙만 쓰는 것이다. 검문이 필요한 조건은 “\(\mathbb{Z}_n\)이라서”가 아니라 “입력에 이름이 여러 개라서”임이 이 문제의 요지다.

문제 19#

접근. 고교의 그래프는 함수를 시각화한 부산물이었고, 이번 주의 정의에서는 그래프가 함수 자신이다. 이 동일시를 먼저 선언한 뒤 “그린다”는 행위가 집합의 어떤 조작인지로 옮긴다.

풀이. (예시 답안) 고교 교과서에서 그래프는 함수 \(f\)로부터 만들어 낸 그림, 곧 함수와 별개의 부산물처럼 다루어지지만, 정의 40.1에서는 순서쌍들의 집합 \(\{(x, f(x)) : x \in A\}\) 자체가 함수이므로 그래프는 함수의 표현이 아니라 함수의 정체다. 따라서 “그래프를 그린다”는 것은 새 대상을 만드는 일이 아니라, 이미 함수인 그 집합의 원소들을 좌표평면(곧 곱집합 \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), 6주차)에 점으로 표시하는 일이다 — 집합을 나열해 보이는 일(3주차)의 기하판이다.

복기. 이 동일시가 하는 일은 둘이다. 수직선 테스트가 정의의 기하 번역임이 드러나고(§1.4), 두 함수가 같은지를 그림의 겹침이 아니라 집합의 상등으로 판정할 수 있게 된다 — 문제 10에서 정의역이 다른 두 함수를 순서쌍으로 구별한 것이 그 예다.

문제 20#

접근. (a)는 정의 40.1의 문장을 26주차 정의 26.4의 두 의무와 나란히 놓고 대응을 지목하면 된다. (b)는 §1.7의 결론을 자기 문장으로 쓰는 문항이며, 핵심은 “\([a] = [a']\)은 두 입력이 아니라 한 입력의 두 이름”이라는 사실이다.

풀이. (예시 답안) (a) 정의 40.1의 조건은 “모든 \(a \in A\)에 대해 \((a,b) \in f\)인 \(b\)가 유일하게 존재한다”이다. 여기서 존재 파트(“적어도 하나 있다”)가 전체성에 해당하고, 이것이 깨지면 출력이 없는 입력이 생긴다. 유일 파트(“그런 것이 둘이면 사실은 같다”)가 유일성에 해당하고, 이것이 깨지면 \(f(a)\)가 어느 값인지 정해지지 않는다. 곧 함수 정의는 \(\exists!\)의 2단 의무를 정의역의 모든 원소에 대해 요구한 것이며, 그래서 함수 판정도 언제나 두 번 한다.

(b) \(\mathbb{Z}_n\)에서 \([a] = [a']\)은 서로 다른 두 입력이 아니라 한 입력에 붙은 두 이름이므로, 대표원에 따라 계산 결과가 갈리면 그것은 한 입력에 두 출력이 배정된 것과 같다 — 곧 유일성 위반이다. 따라서 잘 정의됨 검문은 새로 추가된 조건이 아니라 이름이 여러 개인 세계에서 유일성을 확인하는 절차이며, 이름이 하나뿐인 세계(문제 13의 정의역 \(\mathbb{Z}\))에서는 검문 자체가 필요하지 않다.

복기. (b)의 마지막 문장이 문제 13과 문제 18을 하나로 묶는다. 검문의 필요를 정하는 것은 무대의 이름이 아니라 “입력에 이름이 몇 개인가”이며, \(\mathbb{Q}\)에서도(문제 18) 같은 이유로 검문이 필요했다. 이 판단이 §2 관찰의 3단 절차에서 ①이 ②보다 먼저 오는 이유이기도 하다.

다음 주 예고: 함수의 두 가지 품질을 다룬다 — 단사(injective, 서로 다른 입력은 서로 다른 출력)와 전사(surjective, 공역의 모든 원소가 출력됨). “\(f(a) = f(b)\)라 하자”로 시작하는 단사 증명의 서식을 세우고, 이번 주의 치역 계산이 그대로 전사 증명으로 승격되는 과정을 확인한다 — 예제 2.2의 (\(\supseteq\)) 방향이 새 이름을 얻는다.