# 40주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 판정과 치역 계산을 함께 만들기 완성된 답안을 먼저 보이지 않는다. 백지에서 시작해 한 줄씩 만들되, 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 함수인가? 판정 3연전 $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{x, y\}$. 다음 관계들이 $A$에서 $B$로의 함수인지 판정하시오. $$ R_1 = \{(1,x), (2,y)\}, \qquad R_2 = \{(1,x), (1,y), (2,x), (3,y)\}, \qquad R_3 = \{(1,y), (2,y), (3,x)\} $$ **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 판정 문제에서도 출발점과 도착점을 먼저 정한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 주어진 것 (출발점) | 관계 $R \subseteq A \times B$ | 순서쌍들의 목록 | | 물어진 것 (도착점) | "$A$에서 $B$로의 함수인가" | $\underline{\qquad(?)\qquad}$ | :::{container} quotebox **확인 11.** 도착점 칸의 빈칸을 채워 보자. "함수인가"를 정의 40.1로 번역하면 무엇을 몇 번 검사해야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "각 $a \in A$에 대해 $(a, b) \in R$인 $b$가 **정확히 하나**인지를, 세 입력 $1, 2, 3$ 각각에서 검사한다." 정의역이 원소 세 개짜리 유한집합이므로 검사도 세 번이면 끝난다. 정의역이 무한집합이면 전수 검사가 불가능하고, 그때는 규칙의 일반 논증이 필요하다(예제 2.3). ::: **1단계 — $R_1$을 검사한다.** 세 입력을 차례로 훑는다. :::{container} quotebox **확인 12.** $R_1 = \{(1,x), (2,y)\}$에서 입력 $1, 2, 3$의 순서쌍 개수는 각각 몇인가. 판정과 함께 위반 조건의 **이름**까지 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $1$개, $1$개, $0$개. 입력 $3$에 대해 $(3, b) \in R_1$인 $b$가 없으므로 함수가 아니다 — **전체성 위반**이다. 답안에는 "입력 3의 순서쌍이 없다"를 반드시 적는다. "3이 빠졌다"만으로는 어느 조건을 어겼는지가 드러나지 않는다. ::: **2단계 — $R_2$를 검사한다.** 이번에는 개수가 넘치는 자리를 찾는다. :::{container} quotebox **확인 13.** $R_2 = \{(1,x), (1,y), (2,x), (3,y)\}$에서 조건을 어기는 입력은 무엇이고, 위반을 확정하려면 어떤 순서쌍 **두 개**를 나란히 제시해야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 입력 $1$이다. $(1, x) \in R_2$이고 $(1, y) \in R_2$이며 $x \neq y$이므로 출력이 둘이다 — **유일성 위반**이다. 위반 제시의 완결 조건은 셋이다: 같은 입력의 순서쌍 두 개, 두 출력이 서로 다름, 어긴 조건의 이름. ::: **3단계 — $R_3$을 검사한다.** 통과 판정은 세 입력 전부를 훑었음을 보여야 한다. :::{container} quotebox **확인 14.** $R_3 = \{(1,y), (2,y), (3,x)\}$에서 출력 $y$가 두 번 나온다. 이것은 정의 40.1의 조건을 어기는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 어기지 않는다. 정의 40.1의 조건은 "모든 $a \in A$에 대해"로 시작하므로 **입력** 쪽에만 걸려 있고, 출력이 겹치는지는 조건에 없다. 출력의 중복을 금지하는 조건은 41주차의 **단사**가 따로 맡는다 — 지금 그것을 요구하면 정의에 없는 조건을 추가한 것이 된다. 따라서 $R_3$은 함수다. ::: **완성본.** 방금 만든 판정을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $R_1$은 함수가 아니다. 입력 $3$에 대해 $(3, b) \in R_1$인 $b$가 존재하지 않으므로 전체성 위반이다. | 위반은 순서쌍 수준에서 지목한다(근거 ①). 조건의 이름까지 적어야 판정이 닫힌다. | | $R_2$는 함수가 아니다. $(1, x) \in R_2$이고 $(1, y) \in R_2$이며 $x \neq y$이므로, 입력 $1$에 출력이 둘이다 — 유일성 위반이다. | "유일하게"라는 조각이 요구하는 것은 출력이 하나라는 것이다. 순서쌍 두 개를 나란히 제시하면 위반이 확정된다. | | $R_3$은 함수이다. 입력 $1, 2, 3$ 각각에 대해 순서쌍이 정확히 하나씩 있다: $f(1) = y$, $f(2) = y$, $f(3) = x$. | 통과 판정은 정의역의 원소 전부를 훑었음을 보여야 한다. 세 값을 적는 것이 그 증거다. | | 출력 $y$가 두 번 나오는 것은 위반이 아니다. 정의 40.1의 조건은 입력 쪽에만 걸려 있다. | 정의에 없는 조건을 추가하지 않는다는 선언이다. 출력 중복 금지는 41주차 단사의 몫이다. | **대입 시뮬레이션.** $R_3$을 함수 $f : A \to B$로 보면 $f(1) = y$, $f(2) = y$, $f(3) = x$이고, 이 세 등식은 각각 $(1, y), (2, y), (3, x) \in R_3$을 다시 적은 것일 뿐이다. $f(a)$ 표기와 순서쌍 소속은 같은 사실의 두 표기이며, 이 왕복이 내내 쓰인다. ### 예제 2.2 — 치역의 계산은 집합 상등 증명 **명제.** $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 2n + 1$의 치역은 홀수 전체다: $f(\mathbb{Z}) = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$. 이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 15.** 번역표를 채워 보자. 증명할 것: 두 집합 $f(\mathbb{Z})$와 $\{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$의 $\underline{\quad(1)\quad}$. 그러므로 보일 것은 $\underline{\quad(2)\quad}$ 방향과 $\underline{\quad(3)\quad}$ 방향의 포함 두 개. ($\supseteq$) 방향에서 임의의 홀수 $y$를 잡았을 때 만들어 제시해야 하는 것은 $\underline{\quad(4)\quad}$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 상등 (2) $\subseteq$ (3) $\supseteq$ (4) $f(k) = y$가 되는 정의역의 원소 $k$ — 곧 **증인**. 치역 계산은 새 기술이 아니라 27주차의 집합 상등 서식을 함수 세계에 그대로 적용하는 일이다. ($\supseteq$) 방향이 본체다 — 그 방향은 "$y$를 출력하는 입력이 실제로 있다"는 **존재 증명**이고, 존재 증명의 표준 수단은 증인 제작(26주차)이다. ::: | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | ($\subseteq$) $y \in f(\mathbb{Z})$라 하자. | 집합 상등은 양방향 포함으로 증명한다(27주차 서식). 포함 증명은 왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는 문장으로 시작한다. | | 치역의 정의에 의해 $y = f(n) = 2n + 1$인 정수 $n$이 존재한다. | 정의 40.2를 풀어 등식을 받는다(근거 ①). 가정 쪽의 "존재한다"에서는 받아서 쓴다. | | 따라서 $y$는 $2 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴이므로 $y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$이다. | 도착점은 오른쪽 집합의 조건이다. 받은 $n$이 그대로 $k$ 자리에 들어간다. | | ($\supseteq$) 이번에는 $y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$라 하자. | 반대 방향의 출발. 방향이 바뀌면 잡는 원소도 바뀐다. | | 조건에 의해 $y = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. | 조건제시법의 조건을 등식으로 받는다(근거 ①). | | $k \in \mathbb{Z}$이므로 $k$는 $f$의 정의역에 속하고, $f(k) = 2k + 1 = y$이다. | **증인 제작.** 증인이 정의역에 속함을 확인하는 구절이 빠지면 안 된다 — 정의역 밖의 값은 입력이 될 수 없다. | | 그러므로 $y$는 $f$의 출력이다: $y \in f(\mathbb{Z})$. | 정의 40.2를 반대 방향으로 인용해 이 방향을 닫는다. | | 양방향 포함이 모두 성립하므로 $f(\mathbb{Z}) = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$이다. $\blacksquare$ | 집합 상등의 결론 선언. | **구조 읽기.** ($\subseteq$)는 받은 것을 옮겨 적는 일이라 짧고, ($\supseteq$)는 없던 것을 만들어 내는 일이라 길다. 어렵게 느껴지는 자리는 언제나 ($\supseteq$)이고, 그 자리에서 할 일은 하나 — $y$를 놓고 $f(x) = y$를 $x$에 관해 푸는 것이다. 문제 8과 문제 17이 같은 자리를 각각 쉬운 판과 어려운 판으로 다룬다. ### 예제 2.3 — $\mathbb{Z}_4$ 위의 함수와 잘 정의됨 $\varphi : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4$를 $\varphi([a]) = [a^2]$으로 정의하려 한다. 기호 $\varphi$는 그리스 문자 "파이"로 읽는다. 이 주에서 함수 이름으로 쓰는 나머지 그리스 문자는 $\theta$ "세타"(훈련 3), $\psi$ "프사이"(문제 11), $\chi$ "카이"(문제 16)다. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 16.** 이 규칙에 대해 **가장 먼저** 해야 할 일은 무엇인가. 그 일이 끝난 뒤에 남는 일은 무엇인가. 두 가지를 순서대로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 먼저 **잘 정의됨 검문**이다 — 정의역 $\mathbb{Z}_4$의 원소가 동치류이므로, 대표원을 바꿔 잡아도 같은 방이 나오는지 확인하기 전에는 함수라고 부를 수 없다. 통과한 뒤에 남는 일은 네 입력의 값을 계산하고 치역을 읽는 것이다. 순서를 뒤집어 값부터 계산하면 그 값들이 대표원 선택에 의존하는지가 여전히 미결로 남는다. ::: **풀이.** (잘 정의됨) $[a] = [a']$이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 $a \equiv a' \pmod 4$이다. (C5)를 $a \equiv a'$과 $a \equiv a'$에 적용하면 $a^2 \equiv a'^2 \pmod 4$이고, 다시 핵심 정리로 $[a^2] = [a'^2]$이다. 따라서 규칙의 값은 대표원 선택에 의존하지 않는다 — 잘 정의된다(39주차 문제 19(a)). (함수 자격) 정의역의 네 원소 각각에 대해 값이 하나씩 확정되었으므로 전체성과 유일성이 모두 성립한다. 곧 $\varphi$는 함수다. (값 계산) $\varphi([0]) = [0]$, $\varphi([1]) = [1]$, $\varphi([2]) = [4] = [0]$, $\varphi([3]) = [9] = [1]$이다. 순서쌍 집합으로 적으면 $$ \varphi = \{([0],[0]),\ ([1],[1]),\ ([2],[0]),\ ([3],[1])\} $$ 이고, 치역은 $\varphi(\mathbb{Z}_4) = \{[0], [1]\}$이다. 공역 $\mathbb{Z}_4$보다 작다. 이번 풀이는 표 없이 **산문**으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 답안은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 몫 세계 위의 함수 선언은 언제나 세 걸음이다 — 규칙 제시 $\to$ 잘 정의됨 검문 $\to$ 통과 후 함수 자격. 이 절차는 대학의 대수학과 위상수학에서 반복해서 쓰인다. ### 관찰 — 세 예제의 같은 뼈대 예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재가 다르지만 밟은 걸음이 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **단계** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** | |---|---|---|---| | ① 무대 확인 | 정의역 $A$, 공역 $B$ (유한집합) | 정의역$\cdot$공역 모두 $\mathbb{Z}$ | 정의역 $\mathbb{Z}_4$ — 원소가 $\underline{\quad(1)\quad}$이므로 검문 필요 | | ② 조건 검사 | 세 입력의 순서쌍 개수 | 선언에서 이미 함수 | $\underline{\quad(2)\quad}$ 검문 통과 후 네 값 확정 | | ③ 치역 | 문항에 없음 | $\underline{\quad(3)\quad}$ 포함으로 증명 | 네 값을 모아 나열 | :::{container} quotebox **확인 17.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 예제에서 ①이 언제나 ②보다 먼저 오는 이유를 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 동치류(방) (2) 잘 정의됨 (3) 양방향. ①이 먼저인 이유는 검사할 조건의 내용이 무대에 따라 달라지기 때문이다 — 정의역이 유한집합이면 전수 검사로 끝나고, 원소가 동치류이면 잘 정의됨 검문이 먼저 붙는다. 무대를 확인하지 않고 검사부터 시작하면 검문을 통째로 빠뜨리게 된다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **함수 다루기의 3단 절차** ① 무대를 확인한다 — 정의역과 공역이 무엇인가. 정의역의 원소가 동치류이면 잘 정의됨 검문부터. ② 두 조건을 검사한다 — 전체성(빠진 입력 없음)과 유일성(한 입력에 두 출력 없음). ③ 치역은 따로 계산한다 — 집합 상등이므로 양방향 포함으로. ::: 이 절차는 9부 내내 쓰는 기본형이다. 41주차의 단사$\cdot$전사도 ②의 자리에 조건을 하나씩 더 얹는 방식으로 들어온다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$에 대해 다음을 채운다. (1) 정의역: $\underline{\quad}$, 공역: $\underline{\quad}$ (2) 치역: $f(\mathbb{R}) = \underline{\qquad}$ (구간 표기) (3) 그래프로서의 $f$: $f = \{(x, \underline{\quad}) : x \in \mathbb{R}\}$ (4) $(3, 9) \underline{\ \in / \notin\ } f$, $(-3, 9) \underline{\ \in / \notin\ } f$, $(9, 3) \underline{\ \in / \notin\ } f$ (5) 치역과 공역이 $\underline{\quad}$ 않으므로, 41주차의 언어로 이 함수는 전사가 아니다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 5n$의 치역은 $\{5k : k \in \mathbb{Z}\}$이다. **증명.** ($\subseteq$) $y \in f(\mathbb{Z})$라 하자. $\underline{\quad(1)\quad}$의 정의에 의해 $y = f(n) = \underline{\quad(2)\quad}$인 정수 $n$이 존재한다. 따라서 $y \in \{5k : k \in \mathbb{Z}\}$이다. ($\supseteq$) $y \in \{5k : k \in \mathbb{Z}\}$라 하자. 조건에 의해 $y = \underline{\quad(3)\quad}$인 정수 $k$가 존재한다. 이때 $k$는 $f$의 $\underline{\quad(4)\quad}$에 속하므로 입력으로 쓸 수 있고, $$ f(k) = 5k = y $$ 이다. 곧 $y \in f(\mathbb{Z})$이다. $\underline{\quad(5)\quad}$가 모두 성립하므로 두 집합은 같다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 3단 절차의 각 칸을 통째로 채운다. **명제.** $\theta : \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5$, $\theta([a]) = [a + 2]$는 잘 정의된 함수이고, 그 치역은 $\mathbb{Z}_5$ 전체다. **답안의 뼈대.** - ① 무대 확인과 검문: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 함수 자격 선언: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 값 계산과 치역: $\underline{\quad(3)\quad}$ (이 훈련이 문제 11의 예행연습이다 — 법과 규칙만 바뀐다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "$R_2$는 함수가 아니다(맞음)"는 0점이고, "$(1,x)$와 $(1,y)$가 둘 다 $R_2$에 속하고 $x \neq y$이므로 유일성 위반"이 만점이다. 치역 문제는 답만 적으면 0점이다 — 양방향 포함이 점수다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] 함수의 정의($\exists!$ 조건 포함), 정의역$\cdot$공역$\cdot$치역, 함수 상등의 기준을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의 40.1, 정의 40.2, §1.6의 상자 세 개다. 상등 기준을 두 개(정의역, 값)만 적기 쉬우니 §1.6이 왜 세 개인지도 함께 떠올린다. ::: **2.** $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a, b, c\}$. 다음 각각이 함수인지 판정하시오 (아니면 위반 조건). (a) $\{(1,a),(2,b),(3,c)\}$ (b) $\{(1,a),(2,a),(3,a)\}$ (c) $\{(1,a),(2,b)\}$ (d) $\{(1,a),(2,b),(2,c),(3,a)\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 항목마다 물을 것은 하나 — 입력 $1, 2, 3$의 순서쌍이 각각 몇 개인가. (b)에서 출력이 전부 같다는 사실에 흔들리지 않는다. 조건은 입력 쪽에만 있다. ::: **3.** 다음 그래프(순서쌍 집합)가 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수인지 수직선 테스트의 언어로 판정하시오. (a) $\{(x, 3x - 1) : x \in \mathbb{R}\}$ (b) $\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1\}$ (단위원) (c) $\{(x, y) : y = |x|\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세로선 $x = c$와의 교점 개수를 $c$에 따라 센다. (b)는 $c = 0$일 때와 $c = 2$일 때 개수가 어떻게 다른지 각각 확인한다 — 두 조건 모두 볼 일이 있다. ::: **4.** $f : \{1,2,3,4\} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = n^2 - 3$의 치역을 나열하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의역이 유한하므로 양방향 포함 증명이 필요 없다 — 네 값을 전부 계산해 모으면 그것이 곧 정의 40.2의 $\{f(a) : a \in A\}$다. ::: **5.** 훈련 1($x^2$)을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (2)의 치역은 "제곱해서 나올 수 있는 실수 전부"다. 음수가 나오는지, $0$이 나오는지를 각각 판정하면 구간의 두 끝이 정해진다. ::: **6.** 예제 2.1을 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 판정 각각에 ① 결론 ② 순서쌍 수준의 근거 ③ 조건의 이름이 다 들어갔는지 확인한다. $R_3$의 출력 중복에 대한 논평까지가 답안이다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 예제 2.2(치역 = 홀수 전체)를 백지에 재현하시오. **8.** $g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $g(n) = 3n - 1$의 치역을 조건제시법으로 쓰고, 치역 상등을 양방향 포함으로 증명하시오. (힌트: $\{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}$ — 27주차 예제 2.3의 부품을 그대로 재사용한다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.2와 뼈대가 같다. ($\supseteq$)에서 $y = 3k - 1$이라 할 때의 증인은 $g(x) = y$를 $x$에 관해 풀면 바로 나온다. ::: **9.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$와 $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = \sqrt{x^2}$이 **같은 함수**임을 증명하시오. (정의역$\cdot$공역 일치 확인 + 모든 $x$에서 값 일치 — 케이스, 17주차) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 상등 기준 세 개를 순서대로 밟는다. 셋째 기준에서 $x \ge 0$과 $x < 0$으로 나누고, 각 경우에서 "$\sqrt{\ }$는 음이 아닌 제곱근"이라는 16주차의 인정 사실을 근거로 쓴다. ::: **10.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$과 $g : [0, \infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$은 같은 함수인가? 판정하고 근거를 쓰시오. **11.** $\psi : \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\psi([a]) = [3a]$가 잘 정의된 함수임을 증명하고, 여섯 입력의 값을 전부 계산해 치역을 구하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 3과 같은 뼈대다. 검문에서 쓸 근거는 "합동의 양변에 같은 정수를 곱해도 합동이 유지된다"이고, 이것은 20주차 문제 9(b)에서 증명이 끝났다. ::: **12.** 다음 규칙이 함수가 되도록 정의역 또는 공역을 손보시오 (두 가지 방법 이상 제시). "$h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x) = \dfrac{1}{x}$" — 무엇이 문제이고, 어떻게 고치는가? :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 먼저 어느 조건이 어디서 깨지는지 입력 하나를 지목한다(§1.3의 삭제 실험 2와 같은 자리다). 수리법은 둘이다 — 그 입력을 정의역에서 빼거나, 그 입력에도 값을 주도록 규칙을 보완하거나. ::: **13.** $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_4$, $f(n) = [n]$ (자기 동치류로 보내는 함수)에 대해: (a) 함수임을 확인하시오 (전체성$\cdot$유일성 — 유일성의 근거는 무엇인가?). (b) 치역을 구하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의역이 $\mathbb{Z}$이므로 검문은 필요 없다 — 입력에 이름이 하나뿐이다. 유일성의 근거는 "한 정수가 두 동치류에 동시에 들어가지 않는다"이고, 그 정리는 37주차에 있다. ::: **14.** 관계 $R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : y^2 = x\}$가 함수가 아님을 두 조건 각각의 위반 사례로 보이시오 (전체성 위반 하나, 유일성 위반 하나). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $x$를 음수로 잡을 때와 양수로 잡을 때 $y^2 = x$의 실수 해가 각각 몇 개인지 센다. 사례에는 구체적인 수와 순서쌍까지 적는다. ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} 이 구간이 쓰는 두 도구 :class: quotebox ① **곱셈 원리**(12주차): 독립적인 선택이 차례로 있을 때 전체 경우의 수는 각 단계의 선택지 수의 곱이다. 문제 15가 이것을 함수 세기에 쓴다. ② **증인 제작의 두 의무**(26주차 + 예제 2.2): 존재를 보이려고 증인을 제시할 때는 두 가지를 확인해야 한다 — 증인이 **정의역에 속하는가**, 그리고 대입했을 때 **실제로 그 값이 나오는가**. 예제 2.2에서는 첫째 의무가 "$k \in \mathbb{Z}$" 한 마디로 끝났지만, 정의역에 구멍이 있으면 확인이 계산 한 줄만큼 길어진다. 문제 17이 그 경우다. ::: **15.** $f : A \to B$에서 $|A| = 3$, $|B| = 4$일 때 가능한 함수의 총수는? 일반으로 $|A| = m$, $|B| = n$이면? (12주차 문제 18의 회수 — 함수 = "출력 목록") :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 함수를 하나 정하는 일은 "$A$의 원소마다 출력을 하나씩 고르는" 일이다 — 정의 40.1의 "각 입력에 정확히 하나"가 곧 "각 입력마다 한 번 고른다"이다. 선택 횟수와 각 선택의 선택지 수를 세면 곱셈 원리가 적용된다. ::: **16.** $\chi : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4$를 $\chi([a]) = [3^a]$로 정의하려 한다. 잘 정의되는지 판정하시오. (힌트: $[0] = [4]$에서 $3^0 = 1$과 $3^4 = 81$ — mod 4로 비교) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 지수 자리라고 준비 운동 3번과 같은 결말이라 단정하지 않는다. 문제의 힌트대로 $[0]$과 $[4]$를 실제로 비교하고, 통과하면 다른 이름 쌍도 시험한 뒤 이유를 찾는다 — $3$을 mod 4에서 더 다루기 쉬운 수로 바꿔 적으면 $3^a$가 $a$의 무엇에만 의존하는지 보인다. (거듭제곱이 정수로 정의되도록 대표원은 음이 아닌 정수로 잡는다.) ::: **17.** $f : \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$의 치역이 $\mathbb{R} - \{1\}$임을 증명하시오. (($\supseteq$): $y \neq 1$에 대해 $f(x) = y$를 $x$에 관해 풀어 증인 제작 — 그 증인이 정의역에 속하는지($x \neq 2$)까지 검증. ($\subseteq$): $f(x) = 1$이 불가능함을 보이기) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown ($\subseteq$)는 짧다 — $f(x) = 1$이라 두고 분모를 곱하면 곧바로 모순이 나온다. ($\supseteq$)는 $y(x-2) = x+1$에서 $x$가 든 항을 한쪽에 모아 $x(y-1) = 2y+1$을 만든다 ($y \neq 1$이 나눗셈을 허가한다). 만든 증인에 도입 상자의 두 의무를 각각 확인한다. ::: **18.** (진단) 다음 주장의 결함을 지적하시오. :::{container} quotebox "함수 $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$를 $f\left(\frac{a}{b}\right) = a + b$로 정의한다. 예컨대 $f\left(\frac12\right) = 3$이다." (힌트: $\frac12 = \frac24$ — 37주차 예제 2.3에서 유리수가 무엇이었는지. 이 규칙은 어느 조건을 위반하는가?) ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 유리수 하나에 분수 표기가 여러 개 붙어 있다는 사실이 열쇠다. $\mathbb{Z}_n$의 방에 이름이 여러 개였던 것과 같은 상황이므로, 같은 입력의 두 이름을 잡아 값을 비교한다. ::: **19.** 고교 교과서의 "함수의 그래프" 정의(좌표평면 위 점들의 모임)와 이번 주 정의(함수 = 순서쌍 집합)의 관계를 서술하고, "그래프를 그린다"가 집합론적으로 무엇을 하는 일인지 두 문장 이내로 쓰시오. **20.** (서술) (a) 함수 정의의 $\exists!$가 26주차의 존재$\cdot$유일 2단 의무와 어떻게 대응하는지 (전체성 = 존재, 유일성 = 유일). (b) $\mathbb{Z}_n$ 위의 함수 선언에서 잘 정의됨 검문이 유일성 조건의 특수형인 이유를 두 문장 이내로. ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 함수 다루기의 3단 절차(§2 관찰)와 근거 목록(§1.8)만 펴 놓고, 예제 2.2(치역 = 홀수 전체)를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 함수의 정의($f \subseteq A \times B$ + $\exists!$)를 조각 그대로 백지에 썼다. - [ ] 전체성 위반과 유일성 위반의 사례를 순서쌍 수준에서 각각 하나씩 제시했다. - [ ] 치역 계산이 집합 상등 증명이며, ($\supseteq$) 방향이 증인 제작임을 설명했다. - [ ] 함수 상등의 기준 **세 개**를 쓰고, 공역이 왜 따로 필요한지 한 문장으로 답했다. - [ ] "정의역이 다르면 다른 함수"와 "$|x|$와 $\sqrt{x^2}$은 같은 함수"를 함께 설명했다. - [ ] $\mathbb{Z}_4$ 위 함수의 잘 정의됨 검문(예제 2.3)을 네 걸음 그대로 재현했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 정의가 정확히 기억나지 않는다 | §1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다 | | 함수인지 아닌지 판정이 흔들린다 | §1.2의 개수 표 — 입력마다 순서쌍을 세는 자리로 돌아간다 | | 치역 증명에서 어느 방향부터 쓸지 모르겠다 | 예제 2.2의 설계(확인 15) — 양방향을 먼저 적어 놓고 시작한다 | | ($\supseteq$) 방향에서 증인이 나오지 않는다 | 예제 2.2의 완성본 — $f(x) = y$를 $x$에 관해 푸는 계산이 증인 제작이다 | | 몫 세계 위의 규칙에서 무엇부터 할지 모르겠다 | 예제 2.3과 §1.7 — 검문이 값 계산보다 먼저다 | | 두 함수가 같은지 판정이 흔들린다 | §1.6 — 정의역 $\to$ 공역 $\to$ 값의 순서로 검사한다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}$ (2) $[0, \infty)$ (3) $x^2$ (4) $\in$, $\in$, $\notin$ (5) 같지 ※ (2)의 근거는 두 방향이다: 모든 실수에 대해 $x^2 \ge 0$이고(16주차 (W1)), 음이 아닌 임의의 $c$에 대해 $\sqrt c$가 증인이 되어 $f(\sqrt c) = c$이다(16주차 인정 사실 '제곱근'). (4)의 셋째가 $\notin$인 이유는 $9^2 = 81 \neq 3$이기 때문이다 — 순서쌍의 좌우를 바꾸면 다른 순서쌍이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 치역 (2) $5n$ (3) $5k$ (4) 정의역 (5) 양방향 포함 ※ (4)가 이 훈련의 핵심이다. 증인 $k$가 정의역에 속한다는 확인이 없으면 정의역에 없는 값을 입력으로 쓴 셈이 된다. 정의역이 $\mathbb{Z}$처럼 넉넉하면 한 마디로 끝나지만, 문제 17에서는 이 확인에 계산이 필요하다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 정의역이 $\mathbb{Z}_5$이므로 잘 정의됨 검문부터 한다. $[a] = [a']$이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 $a \equiv a' \pmod 5$이다. 또 $2 \equiv 2 \pmod 5$이므로 (C4)에 의해 $a + 2 \equiv a' + 2 \pmod 5$이고, 핵심 정리로 $[a+2] = [a'+2]$이다. 따라서 값이 대표원 선택에 의존하지 않는다. (2) 정의역의 다섯 원소 각각에 값이 하나씩 확정되므로 전체성과 유일성이 성립한다. 곧 $\theta$는 함수다. (3) $\theta([0]) = [2]$, $\theta([1]) = [3]$, $\theta([2]) = [4]$, $\theta([3]) = [5] = [0]$, $\theta([4]) = [6] = [1]$. 다섯 값이 전부 다르므로 치역 $= \mathbb{Z}_5$이며 공역과 일치한다. $\blacksquare$ ※ 문제 11의 $\psi$는 치역이 두 개짜리로 접힌다. 같은 절차에서 결과가 갈리는 이유는 곱해지는 수와 법의 공통 인수에 있고(문제 11의 복기에서 확인한다), 41주차의 전사 판정이 이 차이를 정면으로 다룬다. ### 문제 1 **접근.** §1의 상자 세 개(정의 40.1, 정의 40.2, 함수 상등)를 재현하는 문항이다. 옮겨 적는 데서 끝내지 말고, 각 조각이 무엇을 막는지(§1.3의 해부 표)를 한 줄씩 붙여 자가 채점한다. **풀이.** (정의) 집합 $A$에서 $B$로의 함수 $f$란, "모든 $a \in A$에 대해 $(a,b) \in f$인 $b \in B$가 유일하게 존재한다"를 만족하는 관계 $f \subseteq A \times B$이며, 그 유일한 $b$를 $f(a)$로 쓴다. (세 이름) $A$가 정의역, $B$가 공역, $f(A) = \{f(a) : a \in A\}$가 치역이고 언제나 $f(A) \subseteq B$이다. (상등) $f = g$인 것은 정의역이 같고, 공역이 같고, 모든 $a$에 대해 $f(a) = g(a)$인 것과 같다. **복기.** 자주 빠지는 두 곳은 정해져 있다. 정의의 "유일하게"가 빠지면 $f(a)$ 표기가 무의미해지고(확인 3), 상등의 "공역이 같고"가 빠지면 순서쌍은 같은데 다른 함수인 두 대상을 구별하지 못한다(§1.6). ### 문제 2 **접근.** 정의역이 원소 세 개짜리이므로 전수 검사로 끝난다. 항목마다 입력 $1, 2, 3$의 순서쌍 개수를 세고, $0$이면 전체성 위반, $2$ 이상이면 유일성 위반으로 이름을 붙인다. 출력이 겹치는지는 보지 않는다. **풀이.** (a) 개수는 $1, 1, 1$ — 세 입력 모두 정확히 하나이므로 **함수다**. (b) 개수는 $1, 1, 1$ — 출력이 전부 $a$로 겹치지만 조건은 입력 쪽에만 걸려 있으므로 **함수다**(상수함수). (c) 개수는 $1, 1, 0$ — 입력 $3$의 순서쌍이 하나도 없으므로 **함수가 아니다**(전체성 위반). (d) 개수는 $1, 2, 1$ — $(2, b)$와 $(2, c)$가 둘 다 속하고 $b \neq c$이므로 **함수가 아니다**(유일성 위반). **복기.** 판정 답안의 완결 조건은 셋이다: 결론, 순서쌍 수준의 근거, 조건의 이름. (b)에서 흔들리는 원인은 정의에 없는 조건(출력이 서로 달라야 한다)을 무의식적으로 추가한 데 있고, 그 조건은 41주차의 단사에 속한다. ### 문제 3 **접근.** 수직선 테스트는 §1.4에서 본 대로 "세로선 $x = c$와의 교점 개수"를 세는 절차다. 교점이 둘 이상이면 유일성 위반, 하나도 없으면 전체성 위반이다. $c$의 값에 따라 개수가 달라질 수 있으므로, 위반이 의심되면 $c$를 구체적으로 잡는다. **풀이.** (a) 임의의 실수 $c$에 대해 교점은 $(c, 3c-1)$ 하나뿐이고 $3c - 1$은 $c$마다 하나로 확정되므로, 개수가 항상 $1$이다. **함수다**. (b) $c = 0$일 때 $0^2 + y^2 = 1$에서 $y = 1$과 $y = -1$이 모두 해이므로 $(0,1)$과 $(0,-1)$이 둘 다 속한다 — 교점 두 개, 유일성 위반이다. $c = 2$일 때는 $4 + y^2 = 1$에서 $y^2 = -3$이 되어 실수 해가 없으므로 교점이 없다 — 전체성 위반이다. 두 조건 모두 어기므로 **함수가 아니다**. (c) 임의의 실수 $c$에 대해 $|c|$가 하나로 확정되므로 교점은 $(c, |c|)$ 하나뿐이다. **함수다**. **복기.** (b)에서 하나만 지적해도 결론은 나오지만 둘 다 적는 이유는 조건이 독립임을 확인하기 위해서다 — 전체성만 고쳐 정의역을 $[-1,1]$로 줄여도 유일성 위반은 남는다. ### 문제 4 **접근.** 정의 40.2의 $f(A) = \{f(a) : a \in A\}$를 유한집합에서 그대로 실행한다. 정의역이 네 원소뿐이므로 양방향 포함 증명이 필요 없고, 네 값을 계산해 모으면 그것이 곧 치역이다. **풀이.** 네 입력을 차례로 대입한다. $$ f(1) = 1 - 3 = -2, \quad f(2) = 4 - 3 = 1, \quad f(3) = 9 - 3 = 6, \quad f(4) = 16 - 3 = 13 $$ 따라서 치역은 $f(\{1,2,3,4\}) = \{-2, 1, 6, 13\}$이다. **복기.** 정의역이 유한하면 치역 계산은 전수 대입이고 무한하면 집합 상등 증명이다 (예제 2.2). 어느 쪽인지는 무대를 확인하는 ① 단계에서 정해진다. (검산: 네 값이 서로 달라 원소 네 개짜리이며, 공역 $\mathbb{Z}$보다 훨씬 작다.) ### 문제 5 **접근.** 훈련 1의 다섯 항목을 백지에서 다시 채우는 문항이다. (2)의 치역만 계산이 필요하고 나머지는 정의의 인용이다. (4)는 순서쌍의 순서에 주의한다. **풀이.** (1) 정의역 $\mathbb{R}$, 공역 $\mathbb{R}$ — 선언에 적힌 그대로다. (2) $f(\mathbb{R}) = [0, \infty)$. 근거는 두 방향이다: 16주차 (W1)에 의해 임의의 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$이므로 치역이 $[0,\infty)$에 포함되고, 임의의 $c \ge 0$에 대해 $\sqrt c$가 실수이고(16주차 인정 사실 '제곱근') $f(\sqrt c) = c$이므로 $[0,\infty)$가 치역에 포함된다. (3) $f = \{(x, x^2) : x \in \mathbb{R}\}$. (4) $(3, 9) \in f$, $(-3, 9) \in f$($(-3)^2 = 9$), $(9, 3) \notin f$($9^2 = 81 \neq 3$). (5) 치역 $[0,\infty)$와 공역 $\mathbb{R}$이 같지 않다. **복기.** (4)의 앞 두 항목이 함께 참이라는 것이 요점이다. 서로 다른 입력 $3$과 $-3$이 같은 출력 $9$를 갖는 것은 정의 40.1에 어긋나지 않으며, 이 순서쌍 두 개가 41주차에서 "$f$는 단사가 아니다"의 근거가 된다. ### 문제 6 **접근.** 세 판정을 재현하되, 각 판정에 ① 결론 ② 순서쌍 수준의 근거 ③ 조건의 이름이 모두 들어갔는지 자가 채점한다. $R_3$의 출력 중복에 대한 논평까지가 답안이다. **풀이.** $R_1$은 함수가 아니다 — 입력 $3$에 대해 $(3, b) \in R_1$인 $b$가 존재하지 않으므로 전체성 위반이다. $R_2$는 함수가 아니다 — $(1, x)$와 $(1, y)$가 모두 $R_2$에 속하고 $x \neq y$이므로 입력 $1$에 출력이 둘이며, 유일성 위반이다. $R_3$은 함수다 — 입력 $1, 2, 3$ 각각에 순서쌍이 정확히 하나씩 있고 $f(1) = y$, $f(2) = y$, $f(3) = x$이다. 출력 $y$가 두 번 나오는 것은 위반이 아니다. 정의 40.1의 조건이 입력 쪽에만 걸려 있기 때문이다. **복기.** 재현이 막히는 자리는 대개 셋째 판정이다. 통과 판정에 "위반이 없다"만 적기 쉬운데 그것은 검사했다는 증거가 되지 않는다 — 세 입력의 값을 실제로 적는 것이 증거다. ### 문제 7 **접근.** 예제 2.2의 재현이다. ($\subseteq$)는 받은 등식을 옮겨 적는 짧은 방향, ($\supseteq$)는 증인을 만드는 긴 방향이라는 비대칭을 기억하고 시작한다. 증인을 제시한 뒤 정의역 소속을 확인하는 구절이 들어갔는지 자가 채점한다. **풀이.** ($\subseteq$) $y \in f(\mathbb{Z})$라 하자. 치역의 정의에 의해 $y = f(n) = 2n+1$인 정수 $n$이 존재한다. 곧 $y$는 $2 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴이므로 $y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$이다. ($\supseteq$) $y \in \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$라 하자. 조건에 의해 $y = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. $k \in \mathbb{Z}$이므로 $k$는 $f$의 정의역에 속하고, $$ f(k) = 2k + 1 = y $$ 이다. 따라서 $y \in f(\mathbb{Z})$이다. 양방향 포함이 성립하므로 $f(\mathbb{Z}) = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 방향에서 하는 일이 정반대다. ($\subseteq$)는 정의를 **풀어** 등식을 받고, ($\supseteq$)는 정의를 **만족시키려** 입력을 제작한다 — "존재한다는 방향에 따라 다르게 작동한다"(1주차 §1.3)가 치역 증명에서 그대로 재연된다. ### 문제 8 **접근.** 예제 2.2와 뼈대가 같고 계수만 다르다. 먼저 치역을 추측해 적는다 — 출력의 일반형이 $3n - 1$이므로 $\{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}$가 후보다. 그다음 양방향 포함으로 그 추측을 증명한다. ($\supseteq$)의 증인은 $g(x) = y$를 $x$에 관해 풀어서 얻는다. **풀이.** 치역은 $g(\mathbb{Z}) = \{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, -7, -4, -1, 2, 5, \dots\}$이다. ($\subseteq$) $y \in g(\mathbb{Z})$라 하자. 치역의 정의에 의해 $y = g(n) = 3n - 1$인 정수 $n$이 존재한다. 곧 $y$는 $3 \times (\text{정수}) - 1$ 꼴이므로 $y \in \{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}$이다. ($\supseteq$) $y \in \{3k - 1 : k \in \mathbb{Z}\}$라 하자. 조건에 의해 $y = 3k - 1$인 정수 $k$가 존재한다. $k \in \mathbb{Z}$이므로 $k$는 정의역에 속하고, $$ g(k) = 3k - 1 = y $$ 이다. 따라서 $y \in g(\mathbb{Z})$이다. 양방향 포함으로 상등이 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 같은 집합을 조건형으로도 적을 수 있고, 그 등호도 양방향으로 확인한다. $3k - 1 = 3(k-1) + 2$이므로(생성식의 매개변수를 옮겨 적는 이 기술이 27주차 예제 2.3의 것이다) 이 집합의 원소는 모두 3으로 나눈 나머지가 2인 정수다. 역으로 $y \equiv 2 \pmod 3$이면 $y = 3m + 2$인 정수 $m$이 존재하고(20주차 합동의 정의) $y = 3(m+1) - 1$이므로 $y$도 이 집합의 원소다. 양방향이 확인되었으므로 $\{3k-1 : k \in \mathbb{Z}\} = \{y \in \mathbb{Z} : y \equiv 2 \pmod 3\}$이다. (검산: $k = 0, 1, 2$에서 $-1, 2, 5$가 나오고 셋 다 3으로 나눈 나머지가 2다.) ### 문제 9 **접근.** 상등 기준 세 개를 순서대로 밟는다. 정의역과 공역은 선언에 적혀 있으므로 확인만 하면 되고, 승부는 셋째 기준(모든 $x$에서 값 일치)이다. $\sqrt{x^2}$의 값을 결정하려면 $x$의 부호를 알아야 하므로 경우를 나눈다(17주차). **풀이.** 두 함수 모두 정의역이 $\mathbb{R}$이고 공역이 $\mathbb{R}$이므로 첫째와 둘째 기준을 통과한다. 값의 일치를 임의의 실수 $x$에 대해 보인다. **경우 1: $x \ge 0$.** 이때 $|x| = x$이다. 한편 $\sqrt{x^2}$은 제곱해서 $x^2$이 되는 음이 아닌 유일한 실수이고(16주차 인정 사실 '제곱근'), $x \ge 0$이고 $x \cdot x = x^2$ 이므로 $x$가 바로 그 수다. 따라서 $\sqrt{x^2} = x = |x|$이다. **경우 2: $x < 0$.** 이때 $|x| = -x$이다. 한편 $-x > 0$이고 $(-x)^2 = x^2$이므로 $-x$가 제곱해서 $x^2$이 되는 음이 아닌 실수이고, 그런 실수는 하나뿐이다(16주차 인정 사실 '제곱근'). 따라서 $\sqrt{x^2} = -x = |x|$이다. 모든 실수가 두 경우 중 하나에 속하므로 모든 $x$에서 $f(x) = g(x)$이고, 세 기준을 모두 통과했으므로 $f = g$이다. $\blacksquare$ **복기.** 식의 생김새는 상등 기준에 없다 — 비교하는 것은 언제나 정의역$\cdot$공역$\cdot$값 세 가지뿐이다. 문제 10이 정확히 반대 사례다(식은 같은데 다른 함수). (검산: $x = -3$에서 $|{-3}| = 3$이고 $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt 9 = 3$으로 일치한다.) ### 문제 10 **접근.** 상등 기준의 첫째에서 판정이 끝난다. 판정만 적으면 근거가 없으므로, 순서쌍 하나를 제시해 두 집합이 실제로 다름까지 보인다. **풀이.** **다른 함수다.** 첫째 기준에서 갈린다 — $f$의 정의역은 $\mathbb{R}$이고 $g$의 정의역은 $[0, \infty)$인데 $-1 \in \mathbb{R}$이고 $-1 \notin [0,\infty)$이므로 $\mathbb{R} \neq [0, \infty)$이다. 순서쌍 집합으로 확인해도 같은 결론이 나온다. $(-1, 1) \in f$이지만, $-1$이 $g$의 정의역에 속하지 않으므로 $(-1, 1) \notin g$이다. 두 집합의 원소가 다르므로 집합으로서도 다르다. $\blacksquare$ **복기.** 정의역이 좁아지면 순서쌍이 줄어들고, 줄어든 순서쌍이 성질을 바꾼다. 문제 5의 복기에서 본 $(3,9)$와 $(-3,9)$ 중 뒤의 것이 $g$에서는 사라지므로 41주차의 언어로 $g$는 단사이고 $f$는 단사가 아니다 — 41주차 문제 9가 정의역을 $\mathbb{N}$과 $\mathbb{Z}$로 바꾼 같은 구조의 명제를 다룬다. ### 문제 11 **접근.** 훈련 3과 같은 뼈대다. 정의역이 $\mathbb{Z}_6$이므로 ① 잘 정의됨 검문 $\to$ ② 함수 자격 선언 $\to$ ③ 값 계산과 치역의 순서로 간다. 검문에서 쓸 근거는 "합동의 양변에 같은 정수를 곱해도 합동이 유지된다"이고, 20주차 문제 9(b)에서 증명이 끝났다. **풀이.** (잘 정의됨) $[a] = [a']$이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 $a \equiv a' \pmod 6$이다. 양변에 $3$을 곱해도 합동이 유지되므로(20주차 문제 9(b), 또는 $3 \equiv 3$과 (C5)) $3a \equiv 3a' \pmod 6$이고, 다시 핵심 정리로 $[3a] = [3a']$이다. 따라서 값이 대표원 선택에 의존하지 않는다. (함수 자격) 정의역의 여섯 원소 각각에 값이 하나씩 확정되므로 전체성과 유일성이 성립한다. 곧 $\psi$는 함수다. (값 계산) $\psi([0]) = [0]$, $\psi([1]) = [3]$, $\psi([2]) = [6] = [0]$, $\psi([3]) = [9] = [3]$, $\psi([4]) = [12] = [0]$, $\psi([5]) = [15] = [3]$이다. 따라서 치역은 $\psi(\mathbb{Z}_6) = \{[0], [3]\}$이다. $\blacksquare$ **복기.** 여섯 개짜리 정의역이 두 개짜리 치역으로 접혔다. 접히는 정도는 규칙과 법의 관계가 정한다 — 곱해지는 수 $3$과 법 $6$의 공통 인수가 $3$이라 치역이 $6/3 = 2$개로 줄었고, 훈련 3의 $\theta$(덧셈 규칙)에서는 접힘이 전혀 없었다. (검산: $[3a]$는 언제나 $3$의 배수이므로 $\mathbb{Z}_6$에서 $[0]$ 또는 $[3]$뿐이다.) ### 문제 12 **접근.** 먼저 어느 조건이 어디서 깨지는지 입력 하나를 지목한다. $x = 0$에서 $\frac10$이 정의되지 않으므로 순서쌍 $(0, b)$가 하나도 없다 — 전체성 위반이다 (§1.3의 삭제 실험 2와 같은 자리다). 수리 방향은 둘이다: 문제가 되는 입력을 정의역에서 빼거나, 그 입력에도 값을 주도록 규칙을 보완하거나. **풀이.** (문제점) 정의역이 $\mathbb{R}$이므로 $0$도 입력이어야 하는데 $\frac{1}{0}$이 정의되지 않아 $(0, b) \in h$인 $b$가 존재하지 않는다. 전체성 위반이며, 주어진 선언은 함수가 아니다. (수리 1 — 정의역 축소) $h : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$, $h(x) = \frac1x$로 선언한다. 정의역의 모든 원소에서 $\frac1x$가 정의되므로 전체성이 회복되고, 값은 하나로 확정되므로 유일성도 성립한다. 함수다. (수리 2 — 규칙 보완) $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 "$x \neq 0$이면 $h(x) = \frac1x$, $x = 0$이면 $h(0) = 0$"으로 선언한다. 두 경우가 겹치지 않고 전체를 덮으므로 모든 입력에 값이 정확히 하나 확정된다. 함수다(17주차의 절댓값 정의와 같은 꼴). (공역 손질은 소용없음) 공역을 어떻게 바꾸어도 $x = 0$의 출력이 생기지는 않는다. 전체성은 정의역 쪽 조건이므로 수리도 정의역이나 규칙에서 한다. **복기.** "정의역이 명시되지 않으면 식이 정의되는 최대 범위로 본다"는 고교의 관례는 수리 1을 자동으로 적용하는 약속이었다. 이번 주의 관점에서 그것은 관례가 아니라 전체성 조건을 맞추기 위한 필수 절차다. ### 문제 13 **접근.** 정의역이 $\mathbb{Z}$이므로 잘 정의됨 검문은 필요 없다 — 입력 $n$에는 이름이 하나뿐이다. 대신 두 조건을 각각 확인한다. 전체성은 "모든 정수가 어떤 동치류에 들어간다", 유일성은 "한 정수가 두 동치류에 동시에 들어가지 않는다"이고, 뒤의 것을 주는 정리가 37주차에 있다. **풀이.** (a) (전체성) 임의의 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $[n]$은 $n$을 포함하는 동치류이므로 $[n] \in \mathbb{Z}_4$이고 $(n, [n]) \in f$이다. 곧 모든 입력이 출력을 가진다. (유일성) $n$이 속하는 동치류가 둘이라면 그 둘이 원소 $n$을 공유하게 된다. 그런데 37주차 문제 8(분할 정리)에 의해 동치류들은 $\mathbb{Z}$의 분할을 이루므로 서로 다른 두 동치류는 서로소이고, 모든 원소는 정확히 한 조각에만 속한다. 따라서 $n$이 속하는 동치류는 하나뿐이며 출력이 하나로 확정된다. 두 조건이 모두 성립하므로 $f$는 함수다. (b) $r = 0, 1, 2, 3$ 각각에 대해 $f(r) = [r]$이므로 $\mathbb{Z}_4$의 네 원소가 모두 출력된다. 치역은 $f(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_4$이며 공역과 일치한다. **복기.** 이 $f$는 각 원소를 자기가 속한 방으로 보내는 함수이며 몫 사영이라 부른다. 유일성의 근거가 분할 정리라는 점이 요점이다 — 잘 정의됨은 "방을 입력으로 받을 때" 필요한 검문이고, 여기서는 정수를 입력으로 받으므로 분할 정리가 그 자리를 대신한다. ### 문제 14 **접근.** $y^2 = x$에서 $x$를 고정하고 실수 해 $y$가 몇 개인지 센다. $x$가 음수면 $y^2 = x$를 만족하는 실수가 없고($y^2 \ge 0$), $x$가 양수면 $\pm\sqrt x$ 두 개가 나온다. 두 조건의 위반 사례를 각각 구체적인 수로 잡아 순서쌍까지 적는다. **풀이.** (전체성 위반) $x = -1$을 잡는다. 16주차 (W1)에 의해 임의의 실수 $y$에 대해 $y^2 \ge 0 > -1$이므로 $y^2 = -1$인 실수 $y$는 없다. 따라서 $(-1, y) \in R$인 $y$가 존재하지 않으며 입력 $-1$이 출력을 갖지 못한다. (유일성 위반) $x = 4$를 잡는다. $2^2 = 4$이고 $(-2)^2 = 4$이므로 $(4, 2) \in R$이고 $(4, -2) \in R$이며 $2 \neq -2$이다 — 입력 $4$에 출력이 둘이다. 두 조건 중 하나만 어겨도 함수가 아니므로, $R$은 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수가 아니다. $\blacksquare$ **복기.** 이 관계의 그래프는 가로로 누운 포물선이고 수직선 테스트의 표준 반례다. 정의역을 $[0, \infty)$로 줄이면 전체성은 회복되지만 유일성은 그대로 깨져 있다 — 유일성을 회복하려면 규칙 쪽에서 $y \ge 0$인 해만 고르도록 손질해야 한다. ### 문제 15 **접근.** 함수 하나를 정하는 일이 무엇인지부터 번역한다. 정의 40.1은 "각 입력에 출력이 정확히 하나"라고 했으므로, 함수를 만드는 일은 $A$의 원소마다 출력을 하나씩 고르는 일이다. 선택 횟수와 각 선택의 선택지 수를 세면 곱셈 원리가 적용된다. **풀이.** $|A| = 3$이므로 고를 입력이 세 개다. $A$의 각 원소에 대해 출력은 $B$의 원소 중 하나이므로 선택지가 $|B| = 4$개이고, 세 선택은 서로 영향을 주지 않는다. 12주차의 곱셈 원리에 의해 함수의 총수는 $$ 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64 $$ 이다. 일반으로 $|A| = m$, $|B| = n$이면 선택이 $m$번, 각 선택의 선택지가 $n$개이므로 함수의 총수는 $n^m$이다. **복기.** 12주차 문제 18에서 "$A$의 각 원소에 $B$의 원소를 하나씩 배정하는 방법"을 셌던 것이 이 계산이었고, 그때 미뤄 둔 "그 배정이 곧 함수다"가 정의 40.1로 회수되었다. "$A$에서 $B$로의 함수 전체의 집합"을 $B^A$로 적는 관례도 여기서 나왔다. (검산: $m = 1$이면 $n^1 = n$이고, 입력이 하나뿐인 함수는 그 출력을 고르는 방법 수만큼 있으므로 $n$개가 맞다.) ### 문제 16 **접근.** 지수 자리라고 준비 운동 3번과 같은 결말이라 단정하지 않는다 — 검문은 선입견이 아니라 계산으로 한다. 힌트대로 $[0] = [4]$를 먼저 시험하고, 통과하면 다른 이름 쌍도 시험한 뒤 이유를 찾는다. mod 4에서 $3$을 더 다루기 쉬운 수로 바꿔 적는 것이 열쇠다. (거듭제곱이 정수가 되도록 대표원은 음이 아닌 정수로 잡는다.) **풀이.** **잘 정의된다.** (시험) $[0] = [4]$에서 $3^0 = 1$이고 $3^4 = 81 = 4 \cdot 20 + 1$이므로 $[3^0] = [1] = [3^4]$이다. 통과한다. $[1] = [5]$에서도 $3^1 = 3$이고 $3^5 = 243 = 4 \cdot 60 + 3$이므로 $[3] = [3]$으로 통과한다. (증명) $3 = 4 - 1$이므로 $3 \equiv -1 \pmod 4$이다. 31주차 문제 13(거듭제곱 보존)에 의해 모든 자연수 $a$에 대해 $3^a \equiv (-1)^a \pmod 4$이고, $a = 0$일 때는 $3^0 = 1 = (-1)^0$으로 직접 확인된다. 따라서 모든 음이 아닌 정수 $a$에 대해 $3^a \equiv (-1)^a \pmod 4$이다. 이제 $[a] = [a']$이라 하자. 37주차 핵심 정리에 의해 $a \equiv a' \pmod 4$이므로 $a - a'$은 $4$의 배수이고, 특히 $2$의 배수이므로 $a \equiv a' \pmod 2$이다(정의 20.1). 이때 $a$와 $a'$은 홀짝이 같다 — $a - a' = 2k$인 정수 $k$를 잡으면 $a = a' + 2k$이고, $a'$은 짝수이거나 홀수이므로(17주차 나눗셈 정리) $a' = 2m$이면 $a = 2(m + k)$로 짝수이고 $a' = 2m + 1$이면 $a = 2(m + k) + 1$로 홀수다(정의 1.1$\cdot$1.2와 근거 ②). 그리고 홀짝이 같으면 $(-1)^a = (-1)^{a'}$이다 — 둘 다 짝수면 양쪽이 $1$이고, 둘 다 홀수면 양쪽이 $-1$이다. (25주차 문제 17이 같은 자리를 합동의 언어로 다룬다.) 그러면 $$ 3^a \equiv (-1)^a = (-1)^{a'} \equiv 3^{a'} \pmod 4 $$ 이고, 핵심 정리로 $[3^a] = [3^{a'}]$이다. 따라서 값이 대표원 선택에 의존하지 않으며 $\chi$는 잘 정의된다. $\blacksquare$ (값) $\chi([0]) = [1]$, $\chi([1]) = [3]$, $\chi([2]) = [9] = [1]$, $\chi([3]) = [27] = [3]$이다. 치역은 $\{[1], [3]\}$이다. **복기.** 준비 운동 3번의 $2^a$와 이 문제의 $3^a$가 갈리는 지점은 밑의 거듭제곱 주기와 법의 관계다. $3^a$는 mod 4에서 주기가 $2$이고 $2 \mid 4$이므로 지수를 mod 4로 바꿔도 필요한 정보(홀짝)가 보존되지만, $2^a$는 mod 4에서 $1, 2, 0, 0, \dots$으로 주기 구조가 깨져 있어 같은 논증이 통하지 않는다. 검문의 결론은 겉모습이 아니라 계산이 정한다. ### 문제 17 **접근.** 치역이 $\mathbb{R} - \{1\}$이라는 것은 두 문장이다: 출력에 $1$은 없고($\subseteq$), $1$이 아닌 모든 실수는 출력이다($\supseteq$). ($\subseteq$)는 $f(x) = 1$을 가정해 모순을 끌어내면 되고 짧다. ($\supseteq$)는 $y$를 고정해 $f(x) = y$를 $x$에 관해 푸는 증인 제작이며, 도입 상자의 두 의무를 각각 확인해야 한다 — 증인이 정의역에 속하는가 ($x \neq 2$), 대입하면 실제로 $y$가 나오는가. **풀이.** ($\subseteq$) 어떤 $x \in \mathbb{R} - \{2\}$에 대해 $f(x) = 1$이라고 하자. 그러면 $\frac{x+1}{x-2} = 1$이고, $x \neq 2$이므로 양변에 $x - 2$를 곱할 수 있어 $x + 1 = x - 2$, 곧 $1 = -2$이다. 모순이다. 따라서 $1$은 $f$의 출력이 아니며 $f(\mathbb{R} - \{2\}) \subseteq \mathbb{R} - \{1\}$이다. ($\supseteq$) $y \in \mathbb{R} - \{1\}$이라 하자. $f(x) = y$를 $x$에 관해 푼다. $$ \frac{x+1}{x-2} = y \iff x + 1 = y(x-2) \iff x - yx = -2y - 1 \iff x(1 - y) = -(2y+1) $$ $y \neq 1$이므로 $1 - y \neq 0$이고 양변을 $1 - y$로 나눌 수 있다: $$ x = \frac{-(2y+1)}{1-y} = \frac{2y+1}{y-1} $$ 이 $x$를 증인으로 제시한다. (의무 ① 정의역 소속) $x = 2$라고 하면 $\frac{2y+1}{y-1} = 2$에서 $2y + 1 = 2y - 2$, 곧 $1 = -2$로 모순이다. 따라서 $x \neq 2$이고 $x \in \mathbb{R} - \{2\}$이다. (의무 ② 대입 확인) 분자와 분모를 각각 계산하면 $$ x + 1 = \frac{2y+1}{y-1} + 1 = \frac{2y+1+y-1}{y-1} = \frac{3y}{y-1}, \qquad x - 2 = \frac{2y+1-2(y-1)}{y-1} = \frac{3}{y-1} $$ 이므로 $$ f(x) = \frac{x+1}{x-2} = \frac{3y/(y-1)}{3/(y-1)} = y $$ 이다. 따라서 $y \in f(\mathbb{R} - \{2\})$이다. 양방향 포함이 성립하므로 $f(\mathbb{R} - \{2\}) = \mathbb{R} - \{1\}$이다. $\blacksquare$ **복기.** 정의역에 구멍이 있으면 증인 제작의 첫째 의무가 계산 한 줄로 늘어난다. 예제 2.2에서는 "$k$는 정수이므로"로 끝났지만 여기서는 $x \neq 2$를 따로 증명해야 한다. 고교의 "$y = \frac{x+1}{x-2}$의 점근선은 $y = 1$"이라는 사실의 정체가 이 증명이다 — 치역에서 빠지는 단 하나의 값이 $1$이라는 것. (검산: $y = 0$이면 증인은 $x = -1$이고 $f(-1) = \frac{0}{-3} = 0$이다.) ### 문제 18 **접근.** 유리수 $\frac12$에 붙은 표기가 하나가 아니라는 사실이 열쇠다. 37주차 예제 2.3에서 유리수는 분수 표기들의 동치류로 정의되었으므로, $\mathbb{Z}_n$의 방에 이름이 여러 개였던 것과 같은 상황이다. 같은 입력의 두 이름을 잡고 값을 비교한다. **풀이.** 결함은 **잘 정의되지 않음**, 곧 정의 40.1의 유일성 위반이다. $\frac12$와 $\frac24$는 같은 유리수의 두 표기다($1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$이므로 37주차의 동치 조건을 만족한다). 그런데 주어진 규칙을 각 표기에 적용하면 $$ f\left(\frac12\right) = 1 + 2 = 3, \qquad f\left(\frac24\right) = 2 + 4 = 6 $$ 이고 $3 \neq 6$이다. 곧 같은 입력에 두 출력이 배정되므로, 순서쌍으로는 $\left(\frac12, 3\right)$과 $\left(\frac12, 6\right)$이 동시에 들어가는 셈이다. 따라서 이 규칙은 $\mathbb{Q}$ 위의 함수를 정의하지 못한다. $\blacksquare$ **복기.** 수리 방향은 둘이다. 하나는 대표원의 표준화다 — "기약분수 표기이고 분모가 양수인 $\frac ab$에 대해 $a + b$"로 고치면 표기가 하나로 확정되어 잘 정의된다. 다른 하나는 애초에 표기에 의존하지 않는 규칙만 쓰는 것이다. 검문이 필요한 조건은 "$\mathbb{Z}_n$이라서"가 아니라 "입력에 이름이 여러 개라서"임이 이 문제의 요지다. ### 문제 19 **접근.** 고교의 그래프는 함수를 시각화한 부산물이었고, 이번 주의 정의에서는 그래프가 함수 자신이다. 이 동일시를 먼저 선언한 뒤 "그린다"는 행위가 집합의 어떤 조작인지로 옮긴다. **풀이.** (예시 답안) 고교 교과서에서 그래프는 함수 $f$로부터 만들어 낸 그림, 곧 함수와 별개의 부산물처럼 다루어지지만, 정의 40.1에서는 순서쌍들의 집합 $\{(x, f(x)) : x \in A\}$ 자체가 함수이므로 그래프는 함수의 표현이 아니라 함수의 **정체**다. 따라서 "그래프를 그린다"는 것은 새 대상을 만드는 일이 아니라, 이미 함수인 그 집합의 원소들을 좌표평면(곧 곱집합 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, 6주차)에 점으로 표시하는 일이다 — 집합을 나열해 보이는 일(3주차)의 기하판이다. **복기.** 이 동일시가 하는 일은 둘이다. 수직선 테스트가 정의의 기하 번역임이 드러나고(§1.4), 두 함수가 같은지를 그림의 겹침이 아니라 집합의 상등으로 판정할 수 있게 된다 — 문제 10에서 정의역이 다른 두 함수를 순서쌍으로 구별한 것이 그 예다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 정의 40.1의 문장을 26주차 정의 26.4의 두 의무와 나란히 놓고 대응을 지목하면 된다. (b)는 §1.7의 결론을 자기 문장으로 쓰는 문항이며, 핵심은 "$[a] = [a']$은 두 입력이 아니라 한 입력의 두 이름"이라는 사실이다. **풀이.** (예시 답안) (a) 정의 40.1의 조건은 "모든 $a \in A$에 대해 $(a,b) \in f$인 $b$가 유일하게 존재한다"이다. 여기서 **존재** 파트("적어도 하나 있다")가 전체성에 해당하고, 이것이 깨지면 출력이 없는 입력이 생긴다. **유일** 파트("그런 것이 둘이면 사실은 같다")가 유일성에 해당하고, 이것이 깨지면 $f(a)$가 어느 값인지 정해지지 않는다. 곧 함수 정의는 $\exists!$의 2단 의무를 정의역의 모든 원소에 대해 요구한 것이며, 그래서 함수 판정도 언제나 두 번 한다. (b) $\mathbb{Z}_n$에서 $[a] = [a']$은 서로 다른 두 입력이 아니라 **한 입력에 붙은 두 이름**이므로, 대표원에 따라 계산 결과가 갈리면 그것은 한 입력에 두 출력이 배정된 것과 같다 — 곧 유일성 위반이다. 따라서 잘 정의됨 검문은 새로 추가된 조건이 아니라 이름이 여러 개인 세계에서 유일성을 확인하는 절차이며, 이름이 하나뿐인 세계(문제 13의 정의역 $\mathbb{Z}$)에서는 검문 자체가 필요하지 않다. **복기.** (b)의 마지막 문장이 문제 13과 문제 18을 하나로 묶는다. 검문의 필요를 정하는 것은 무대의 이름이 아니라 "입력에 이름이 몇 개인가"이며, $\mathbb{Q}$에서도(문제 18) 같은 이유로 검문이 필요했다. 이 판단이 §2 관찰의 3단 절차에서 ①이 ②보다 먼저 오는 이유이기도 하다. --- **다음 주 예고:** 함수의 두 가지 품질을 다룬다 — **단사**(injective, 서로 다른 입력은 서로 다른 출력)와 **전사**(surjective, 공역의 모든 원소가 출력됨). "$f(a) = f(b)$라 하자"로 시작하는 단사 증명의 서식을 세우고, 이번 주의 치역 계산이 그대로 전사 증명으로 승격되는 과정을 확인한다 — 예제 2.2의 ($\supseteq$) 방향이 새 이름을 얻는다.