47주차 — 함수 극한의 ε-δ와 연속

47주차 — 함수 극한의 ε-δ와 연속#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 입력 반경 \(\delta\)로 출력 오차 \(\varepsilon\)에 답한다 — 제시하는 것이 문턱에서 반경으로 바뀐다.

이 주의 위치: 50주 과정의 47주차, 10부(해석학 입문)의 마지막 주. 45주차의 \(\varepsilon\)-N을 함수로 옮기고, 9주차 문제 10에서 증명 없이 인정하고 썼던 “\(|x|\)는 0에서 연속”을 갚는다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 13장 후반부. 병행자 참고용이며, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

  1. \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)의 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 정의를 백지에 쓰고, “\(0 < |x - a|\)”를 포함한 각 조각이 무엇을

요구하는지 말할 수 있다.

  1. 일차함수의 극한을 네 걸음 서식으로 증명하고, 남는 인수를 상수로 누르는 min 트릭을 익힌다.

  2. 연속의 정의를 익히고 \(|x|\)의 연속성(9주차 문제 10의 빚)을 증명한다.

  3. 정의의 부정으로 불연속을 증명한다 — 11주차의 층별 부정이 실전에 쓰이는 자리다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (46주차까지의 복습)#

  1. 정의 45.1(수렴)을 백지에 쓰시오 — 양화사 세 개의 순서까지.

  2. 46주차 예제 2.1의 \(\varepsilon\)/2 트릭에서 쓴 세 부품을 말로 재현하시오.

  3. \(|x - 3| < \delta \iff \underline{\qquad}\) (18주차 문제 11의 일반형).

  4. “\(x\)가 3에 다가갈 때 \(2x + 1\)은 7에 다가간다”를 참\(\cdot\)거짓을 판정할 수 있는 문장으로 다시 쓰시오.

답

1. \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon)\).

2. ① 삼각부등식으로 최종 오차를 두 조각으로 분리한다 ② 각 수열의 수렴 정의를

\(\frac{\varepsilon}{2}\)로 발동해 문턱 \(N_1\), \(N_2\)를 받는다 ③ \(N = \max(N_1, N_2)\)로 두 조건을

동시에 성립시킨다.

3. \(3 - \delta < x < 3 + \delta\), 곧 \(x \in (3 - \delta,\ 3 + \delta)\). 18주차 문제 11이

\(\delta = 2\)인 사례였고, 그때 증명한 보조정리가 \(\delta\)가 문자여도 그대로 작동한다.

4. 바로 아래의 유형 분석이 답을 대신한다 — 자신의 답이 세 유형 중 어느 것인지 대조한 뒤,

§1.2의 확인 2에서 판정 가능한 문장을 완성한다.

자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 대입으로 확인. “\(x = 3\)을 넣으면 \(2 \cdot 3 + 1 = 7\)이다. 따라서 극한은 7이다.”

계산은 옳고, 이번 주의 예제에서도 답을 짐작하는 데는 이 계산을 쓴다. 문제는 이것이 극한의 판정 절차가 되지 못한다는 점이다. \(h(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)는 \(x = 2\)에서 값 자체가 없고, 문제 14의 \(g\)는 값이 극한과 다르다. 대입이 답을 주지 못하거나 틀린 답을 주는 함수가 있으므로, 대입은 정의가 될 수 없다.

  • 유형 2 — 움직임의 서술. “\(x\)가 3에 가까워질수록 \(2x + 1\)이 7에 가까워진다.” 관찰은

정확하다. 빠진 것은 판정 절차다 — “가까워진다”에는 확인할 부등식이 하나도 없어서 참인지 거짓인지를 계산으로 확정할 수 없다. 45주차 §1.1에서 수열을 두고 만난 것과 같은 자리다.

  • 유형 3 — \(\varepsilon\)-N을 그대로 옮기기. 정의 45.1의 \(n\) 자리에 \(x\)를 넣어 “\(x > N\)인 모든 \(x\)에

대해 \(|f(x) - 7| < \varepsilon\)”이라고 적는다. 이미 만든 정의를 옮겨 오려는 방향은 옳고, 이번 주가 하는 일이 정확히 그 이식이다. 문제는 “\(x > N\)”이 “\(x\)가 3에 다가간다”가 아니라 “\(x\)가 무한히 커진다”를 뜻한다는 점이다. 접근 지점 \(a\)가 유한한 수일 때 “그 뒤 전부”를 대신할 조각을 새로 만들어야 하고, §1.1이 그 조각을 찾는 자리다.

개념 — 접근을 판정 가능한 문장으로#

1 이미 가진 도구로 밀어붙이면 어디서 막히는가#

45주차의 정의 45.1을 손에 쥐고 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자.

시도 — \(\varepsilon\)-N을 그대로 옮기기

명제: \(\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7\).

“\(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하자. 문턱 \(N\)을 잡아 \(x > N\)인 모든 \(x\)에 대해

\(|(2x+1) - 7| < \varepsilon\)임을 보이면 된다. 그런데 \(x\)가 커지면 \(2x + 1\)은 …”

여기서 멈춘다. \(x\)를 크게 하면 \(2x + 1\)은 7에서 멀어진다. 수열에서 “\(n > N\)”이 하던 일은 “접근 목표에 충분히 다가간 항 전부”를 지정하는 것이었고, 수열의 접근 목표는 언제나 무한대 방향이었다. 함수의 극한에서 접근 목표는 유한한 수 \(a\)이므로 그 조각을 다시 만들어야 한다. 자연스러운 후보는 거리 \(|x - a|\)이고, 채택하기 전에 거리를 쓰지 않는 두 말투가 어디서 무너지는지 먼저 본다.

실패 사례 ① — “대입한다”는 대상을 지정하지 못한다. \(h(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\)를 보자. \(x \neq 2\)이면 \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)이므로 \(h(x) = x + 2\)이고, \(x\)가 2 근처면 \(h(x)\)는 4 근처의 값이다. 그런데 \(h(2)\)는 분모가 0이라 정의되지 않는다. 대입이 극한의 정의라면 이 함수에는 극한이 없다고 해야 하는데, 값들이 4로 모이는 현상은 실재한다.

실패 사례 ② — “가까우면 가깝다”는 기준이 없다. 계단함수 \(H(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ 1 & (x \ge 0) \end{cases}\) 를 \(a = 0\)에서 보자. “\(x\)가 0에 가까우면 \(H(x)\)가 0에 가깝다”는 \(x < 0\)인 쪽만 보면 성립하고, “\(H(x)\)가 1에 가깝다”는 \(x \ge 0\)인 쪽만 보면 성립한다. 기준 없는 “가깝다”는 편한 쪽만 보게 하고, 그러면 극한이 0이면서 동시에 1이 된다. 45주차 §1.1의 수열 \(e_n\)에서 본 붕괴와 같은 꼴이다.

확인 1. 두 실패를 동시에 막으려면 정의에 어떤 조각이 필요한가.

“\(x\)가 \(a\)에서 거리 \(\underline{\quad}\) 이내에 있되 \(x \neq \underline{\quad}\)인

\(\underline{\quad}\) \(x\)에 대해 \(f(x)\)가 \(L\)에서 거리 \(\underline{\quad}\) 이내”

꼴로 짐작해 보자.

답

“\(x\)가 \(a\)에서 거리 \(\delta\) 이내에 있되 \(x \neq\) **\(a\)**인 모든 \(x\)에 대해

\(f(x)\)가 \(L\)에서 거리 \(\varepsilon\) 이내.” 조각이 셋이다 —

① 출력 오차 한계 \(\varepsilon\), ② 입력 반경 \(\delta\), ③ 반경 안 “모든” \(x\)(단 \(a\) 자신은 제외).

③의 “모든”이 실패 사례 ②를 막고(편한 쪽만 볼 수 없다), “\(a\) 제외”가 실패 사례 ①을 막는다

(\(h(2)\)를 묻지 않으므로 값이 없어도 극한을 논할 수 있다).

2 반경으로 답하기 — 표를 채워 정의 만들기#

허용 오차 \(\varepsilon\)은 45주차에서 쓰던 것 그대로이고, 새로 등장하는 \(\delta\)는 그리스 문자 델타이며 이 교재에서 언제나 양수인 입력 반경을 가리킨다. \(f(x) = 2x + 1\), \(a = 3\), \(L = 7\)에 대해 오차마다 “이 반경 안이면 전부 오차 안”이 되는 \(\delta\)를 찾아보자. 조건은

\[ |(2x+1) - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3| < \varepsilon \]

이므로, \(|x - 3| < \dfrac{\varepsilon}{2}\)이면 된다.

오차 한계 \(\varepsilon\)

조건을 \(\lvert x - 3 \rvert\)에 대해 풀면

반경 \(\delta\)의 한 예

\(0.1\)

\(\lvert x - 3 \rvert < 0.05\)

\(\delta = 0.05\)

\(0.01\)

\(\lvert x - 3 \rvert < \underline{\quad(1)\quad}\)

\(\delta = \underline{\qquad}\)

\(0.002\)

\(\lvert x - 3 \rvert < \underline{\quad(2)\quad}\)

\(\delta = \underline{\qquad}\)

임의의 \(\varepsilon > 0\)

\(\lvert x - 3 \rvert < \underline{\quad(3)\quad}\)

\(\delta = \underline{\qquad}\)

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 지금까지의 관찰을 한 문장으로 모아 보자.

“\(x \to a\)일 때 \(f(x)\)의 극한이 \(L\)”이라는 것은, \(\underline{\qquad}\) 오차 \(\varepsilon > 0\)에

대해 \(\underline{\qquad}\) 반경 \(\delta > 0\)이 있어서, \(0 < |x - a| < \delta\)인

\(\underline{\qquad}\) \(x\)에 대해 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)이라는 뜻이다.

답

(1) \(0.005\) (2) \(0.001\) (3) \(\frac{\varepsilon}{2}\). 반경 칸은 차례로 \(0.005\), \(0.001\),

\(\frac{\varepsilon}{2}\)이며, 더 작은 양수를 적어도 전부 맞다 — 반경은 하나만 대면 된다.

검산: \(|x - 3| < 0.005\)이면 \(|(2x+1)-7| = 2|x-3| < 0.01\) ✓.

모은 문장은 “모든 오차 \(\varepsilon > 0\)에 대해 어떤 반경 \(\delta > 0\)이 있어서,

\(0 < |x - a| < \delta\)인 모든 \(x\)에 대해 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)이다.”

양화사가 \(\forall, \exists, \forall\) 세 개, 45주차와 같은 순서로 붙는다.

이 관찰에 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일(오차마다 반경 찾기)을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 47.1 — 함수의 극한 (ε-δ) [백지 암기 대상]#

\(a\)를 포함하는 어떤 구간에서 (\(a\) 자신은 빼고) 정의된 함수 \(f\)와 실수 \(L\)에 대해,

\(x \to a\)일 때 \(f\)의 극한이 \(L\)이라는 것은 다음이 성립한다는 뜻이다.

\[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \big(0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\big) \]

이때 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\)로 쓴다.

읽는 법 — \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\)은 “엑스가 에이로 갈 때 에프 엑스의 극한은 엘”로 읽는다. \(\delta\)는 “델타”이고, \(\varepsilon\)과 마찬가지로 언제나 양수로만 쓴다. \(f\)가 \(a\) 근처에서 정의되어 있어야 문장이 뜻을 갖는다는 조건은 정의 첫 줄에 적어 두었고, 이번 주의 함수는 전부 그 조건을 만족하므로 따로 확인하지 않는다.

17주차 문제 11의 보조정리(18주차 문제 11에서 재확인)에 의해 거리 조건은 구간 조건으로 바꿔 읽을 수 있다.

\[ 0 < |x - a| < \delta \iff x \in (a - \delta,\ a) \cup (a,\ a + \delta), \qquad |f(x) - L| < \varepsilon \iff f(x) \in (L - \varepsilon,\ L + \varepsilon) \]

두 역할로 읽기. 한쪽은 출력 오차 한계 \(\varepsilon > 0\)을 아무리 작게 정해 내밀고 (\(\forall \varepsilon\)), 다른 쪽은 그 \(\varepsilon\)을 보고 입력 반경 \(\delta > 0\)을 하나 제시하며(\(\exists \delta\)), 반경 안의 모든 입력이 오차 안의 출력을 내는지 확인한다 (\(\forall x\)). 어떤 \(\varepsilon\)에 대해서도 \(\delta\)를 제시할 수 있으면 극한이 \(L\)이고, \(\delta\)를 제시할 수 없는 \(\varepsilon\)이 하나라도 있으면 극한은 \(L\)이 아니다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

조각

하는 일

증명에서의 역할

\(\forall \varepsilon > 0\)

출력 오차를 상대가 정한다

첫 줄 — “\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자”

\(\exists \delta > 0\)

\(\varepsilon\)을 보고 입력 반경을 제시한다

\(\varepsilon\)의 식으로 \(\delta\)를 선언하고 \(\delta > 0\)을 확인한다

\(\forall x\)

반경 안 전부를 요구한다

점 하나가 아니라 뚫린 구간 전체

\(0 < \lvert x - a \rvert\)

\(x = a\)를 심사에서 제외한다

극한을 함숫값과 분리한다

\(\lvert x - a \rvert < \delta\)

입력이 반경 안임을 가정한다

“\(0 < \lvert x - a \rvert < \delta\)라 하자”

\(\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon\)

출력이 오차 안임을 요구한다

부등식 사슬을 만들어 끝을 \(\varepsilon\)에 맞춘다

조각 삭제 실험 ①. 넷째 조각 “\(0 <\)”를 지워 보자. 그러면 조건이 \(|x - a| < \delta\)가 되어 \(x = a\)도 심사 대상이 된다. §1.1의 \(h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\)에서는 \(|h(2) - 4|\)라는 계산할 수 없는 식이 요구되고, 값이 있되 엉뚱한 함수(문제 14의 \(g\), \(g(2) = 7\))에서는 \(|g(2) - 4| = 3 < \varepsilon\)이 모든 \(\varepsilon\)에 대해 요구된다.

확인 3. 조각 삭제 실험 ①에서 정확히 무엇이 무너지는가?

(\(\varepsilon = 1\)을 잡아 문제 14의 \(g\)에 적용해 보자.)

답

극한과 함숫값의 분리가 무너진다. \(\varepsilon = 1\)이면 \(|g(2) - 4| = 3 < 1\)은 거짓이므로

어떤 \(\delta\)를 잡아도 조건이 깨지고, \(\lim_{x \to 2} g(x) = 4\)가 거짓으로 판정된다. 그런데

\(x \neq 2\)인 모든 점에서 \(g(x) = x^2\)이므로 값들은 실제로 4에 모인다. “\(0 <\)”가 없으면

“함숫값이 엉뚱하면 극한도 없다”는 다른 개념을 정의한 셈이 된다. 이 붕괴를 문제 14와 문제

17에서 다시 다룬다.

조각 삭제 실험 ②. 셋째 조각 \(\forall x\)를 \(\exists x\)로 바꾸면, §1.1의 계단함수 \(H\)가 \(a = 0\)에서 통과한다. 어떤 \(\varepsilon\)과 \(\delta\)에 대해서도 \(x = -\frac{\delta}{2}\)를 잡으면 \(|H(x) - 0| = 0 < \varepsilon\)이므로 극한이 0이 되고, \(x = \frac{\delta}{2}\)를 잡으면 \(|H(x) - 1| = 0 < \varepsilon\)이므로 극한이 1도 된다.

확인 4. 조각 삭제 실험 ②가 보여 주는 것을 한 문장으로 적어 보자.

이 붕괴는 45주차의 어떤 실험과 같은 꼴인가?

답

극한의 유일성이 무너진다. 한 함수가 같은 점에서 0으로도 1로도 수렴하면

\(\lim_{x \to a} f(x)\)라는 표기가 대상을 지정하지 못한다. 45주차 §1.3의 조각 삭제 실험 ①과

같은 꼴이다 — 그때는 “\(n > N\)인 모든 항”을 “어떤 항”으로 바꾸어 수열 \(e_n\)이 통과했다.

\(\forall\)를 \(\exists\)로 바꿔치는 것이 정의를 무너뜨리는 대표적인 방식이다.

4 뚫린 구간 — “\(0 < |x - a|\)”의 기하#

\(0 < |x - a| < \delta\)를 만족하는 \(x\)의 모임은 반경 \(\delta\)의 구간에서 중심 하나를 빼낸 \((a - \delta,\ a) \cup (a,\ a + \delta)\)다.

확인 5. \(a = 3\), \(\delta = 0.5\)일 때 이 모임을 구간으로 적어 보자.

\(x = 3\)은 왜 빠지는가?

답

\((2.5,\ 3) \cup (3,\ 3.5)\). \(x = 3\)이 빠지는 이유는 극한이 “\(a\)에 다가갈 때”의 이야기이지

“\(a\)에서의 값”이 아니기 때문이다. \(h(2)\)처럼 값이 없어도, 문제 14의 \(g(2) = 7\)처럼 값이

엉뚱해도 극한은 존재할 수 있다. 이 구분이 §1.6에서 연속을 정의할 때 정확히 사라진다.

45주차와 나란히 놓으면 무엇이 바뀌고 무엇이 그대로인지 한눈에 보인다.

\(\varepsilon\)-N (45주차)

\(\varepsilon\)-\(\delta\) (이번 주)

상대가 던지는 것

출력 오차 \(\varepsilon > 0\)

출력 오차 \(\varepsilon > 0\) (그대로)

내가 제시하는 것

문턱 \(N\) (자연수)

반경 \(\delta\) (양수)

검증 범위

\(n > N\)인 모든 항

\(0 < \lvert x - a \rvert < \delta\)인 모든 \(x\)

안전한 방향

\(N\)은 크게 잡을수록 안전

\(\delta\)는 작게 잡을수록 안전

제시한 것의 존재 근거

아르키메데스 성질이 필요하다

필요 없다 — \(\varepsilon\)으로 만든 양수 자체가 \(\delta\)다

마지막 행이 이번 주가 45주차보다 가벼운 유일한 지점이다. \(N\)은 자연수여야 했으므로 아르키메데스 성질이 필요했지만, \(\delta\)는 양수이기만 하면 되므로 \(\frac{\varepsilon}{2}\) 같은 식을 그대로 쓴다.

5 증명 서식과 연습장의 분리#

백지 암기 대상

\(\varepsilon\)-\(\delta\) 증명의 네 걸음

① \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자.

② \(\delta = (\varepsilon\)으로 만든 식\()\)으로 잡자. (\(\delta > 0\)임을 확인한다.)

③ \(0 < |x - a| < \delta\)라 하자.

④ 그러면 \(|f(x) - L| = (\text{계산과 사슬}) < \varepsilon\)이다. 따라서 정의 47.1에 의해 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)이다.

②의 “\(\varepsilon\)으로 만든 식”은 저절로 나오지 않는다. 연습장에서 목표 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)을 \(|x - a|\)에 대해 거꾸로 풀어 \(\delta\)를 발견하고, 본문에서는 그 \(\delta\)를 “잡자”로 선언한 뒤 순방향으로 검증한다. 45주차 §1.6에서 세운 규율 그대로이며, 역산을 본문에 섞어 적으면 결론에서 출발한 논증이 된다. 역산의 핵심 기술은 하나다 — \(|f(x) - L|\)을 \(|x - a|\)가 겉으로 보이도록 인수분해하는 것이고(\(|2x-6| = 2|x-3|\)이 전형), 그 근거는 17주차 문제 10의 \(|xy| = |x|\,|y|\)다.

확인 6. “\(\delta = \frac{\varepsilon}{2}\)로 잡자”라고만 쓰면 무엇이 빠지는가?

45주차에서 같은 자리에 무엇을 적었는지 함께 떠올려 보자.

답

\(\delta > 0\)이라는 확인이 빠진다. 정의 47.1은 \(\exists \delta > 0\)을 요구하므로 제시한

것이 양수임을 밝혀야 한다. 근거는 짧다 — \(\varepsilon > 0\)이므로 \(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이다

(근거 ②). 45주차에서는 같은 자리에 “그런 자연수가 존재한다”는 아르키메데스 성질을 적어야

했다. 요구되는 자격이 자연수에서 양수로 낮아졌으므로 근거도 한 줄로 줄었다.

6 연속 — 극한과 함숫값이 만나는 자리#

극한은 \(x = a\)를 심사에서 뺐다. 뺀 자리를 다시 채워 “값까지 일치한다”를 요구하면 연속이 된다.

정의 47.2 — 연속 (continuity) [백지 암기 대상]#

함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 연속이라는 것은 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)라는 뜻이다.

풀어 쓰면 다음과 같다.

\[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \big(|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon\big) \]

풀어 쓴 문장에는 “\(0 <\)”가 없다. 연속에서는 극한값이 함숫값과 같다고 이미 요구했으므로 \(x = a\)를 심사에 넣어도 새로 요구되는 것이 없기 때문이며, 이 주장을 문제 17에서 정확히 논증한다.

고등학교의 “끊기지 않고 이어져 있다”는 이 정의 안에서 세 조건으로 분해된다.

조건

내용

이 조건만 깨지는 사례

① 함숫값의 존재

\(f(a)\)가 정의된다

\(h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\), \(a = 2\) — 극한은 4인데 값이 없다

② 극한의 존재

\(\lim_{x \to a} f(x)\)가 존재한다

계단함수 \(H\), \(a = 0\) — 값은 1인데 극한이 없다(§1.7의 상자)

③ 둘의 일치

극한값 \(= f(a)\)

문제 14의 \(g\), \(a = 2\) — 극한은 4, 값은 7

② 행에는 근거가 하나 더 필요하다. 예제 2.3은 \(H\)가 0에서 연속이 아님만 보이는데, 불연속은 ③만 깨져도 성립하므로 그것만으로는 “②가 깨진 사례”임이 확정되지 않는다. 극한 자체가 없다는 것은 정의 47.1의 부정으로 따로 보여야 하고, 그 부정을 §1.7에서 만든 뒤 상자로 확인한다.

확인 7. 세 조건 중 하나만 깨져도 불연속이다. 그렇다면 “연속임을 증명하라”는 문제에서

실제로 해야 할 일은 무엇인가? 문제 6(\(f(x) = c\))을 예로 한 문장으로 적어 보자.

답

\(f(a)\)를 먼저 계산해 두고, 그 값을 \(L\) 자리에 넣은 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 증명을 쓰면 된다. 세 조건을 따로

검사할 필요가 없다 — \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) 하나를 증명하면 ②와 ③이 동시에 확보되고,

\(f(a)\)를 적는 순간 ①도 확인된다. 문제 6이면 \(f(a) = c\)이므로

“\(\lim_{x \to a} c = c\)”를 증명하는 것이 전부다.

7 불연속 — 정의의 부정을 만든다#

“연속이 아니다”를 증명하려면 정의 47.2를 부정해야 한다. 11주차의 층별 절차대로 바깥 층부터 차례로 뒤집는다.

층

원래

부정

1

\(\forall \varepsilon > 0\)

\(\exists \varepsilon > 0\)

2

\(\exists \delta > 0\)

\(\forall \delta > 0\)

3

\(\forall x\)

\(\exists x\)

4

\(P \Rightarrow Q\)

\(P \land \lnot Q\)

넷째 층까지 적용하면 다음이 나온다 (극한의 부정도 같은 절차이며 조건에 “\(0 <\)”가 붙을 뿐이다).

\[ \exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ \big(|x - a| < \delta \ \land\ |f(x) - f(a)| \ge \varepsilon\big) \]

확인 8. 넷째 층에서 \(|f(x) - f(a)| < \varepsilon\)의 부정이 왜 \(\le\)가 아니라 \(\ge\)인가?

그리고 이 문장에서 내가 만들어 내야 하는 대상은 무엇인가?

답

“\(<\)”의 부정은 “\(\ge\)”다 — 두 실수는 \(<\), \(=\), \(>\) 중 정확히 하나이므로 “미만이 아니다”는

“같거나 크다”이다. 만들어 내야 하는 것은 두 가지다: 오차 \(\varepsilon\) 하나(\(\exists\)이므로

제시 책임이 내게 있다)와, 상대가 내미는 각 \(\delta\)마다 그 반경 안에서 조건을 깨는 점 \(x\)

하나(\(\forall \delta\) 뒤의 \(\exists x\)이므로 \(x\)는 \(\delta\)의 식이어도 된다). 극한 정의에서

역할이 정반대로 뒤집혔다 — 45주차 예제 2.3의 발산 증명과 같은 구조다.

방금 만든 부정을 극한 쪽에 한 번 써 둔다. §1.6의 세 조건 표에서 ② 행이 요구한 것이 이 논증이다.

계단함수 \(H\)는 \(0\)에서 어떤 극한도 갖지 않는다

\(L\)을 임의의 실수라 하자. \(\varepsilon = \frac{1}{2}\)로 잡고, \(\delta > 0\)을 임의로 받았다고

하자. \(x_+ = \frac{\delta}{2}\), \(x_- = -\frac{\delta}{2}\)로 두면 둘 다

\(0 < |x - 0| < \delta\)를 만족하고, \(H(x_+) = 1\), \(H(x_-) = 0\)이다. 삼각부등식(근거 ④)에 의해

\[ 1 = |1 - 0| = |(1 - L) + (L - 0)| \le |1 - L| + |L - 0| \]

이므로 두 항 중 적어도 하나는 \(\frac12\) 이상이다. \(|1 - L| \ge \frac12\)이면

\(|H(x_+) - L| = |1 - L| \ge \varepsilon\)이므로 \(x_+\)가, \(|L - 0| \ge \frac12\)이면

\(|H(x_-) - L| = |0 - L| = |L - 0| \ge \varepsilon\)이므로(\(|-t| = |t|\) — 17주차 문제 4)

\(x_-\)가 정의 47.1의 부정이 요구하는 \(x\)다. \(L\)이 임의였으므로 \(\lim_{x \to 0} H(x)\)는 어떤

실수와도 같지 않다 — 극한이 존재하지 않는다.

8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 이번 주의 정의 둘이 추가되고, ② 칸에 최솟값에 관한 한 줄이 붙으며, ④ 칸에 이번 주 증명이 실제로 인용하는 항목이 명시될 뿐이다.

근거

내용

이번 주에는 이렇게 쓴다

① 정의

지금까지의 정의들 + 정의 47.1(함수의 극한), 정의 47.2(연속)

“\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)”과 \(\forall\exists\forall\) 문장 사이를 양방향으로 번역한다

② 닫힘성

양수의 합\(\cdot\)곱\(\cdot\)역수는 양수, 두 양수의 최솟값도 양수(이번 주 추가)

\(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)과 \(\min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right) > 0\)을 설명 없이 쓴다

③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질

대입\(\cdot\)전개\(\cdot\)묶기 + 부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)(16주차)

사슬을 (W6)으로 잇고, 양변에 양수를 곱한다((W3))

④ 이미 증명한 명제

삼각부등식(17주차 문제 12), 역삼각부등식(17주차 문제 16), \(\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \lvert y \rvert\)(17주차 문제 10), \(\lvert x \rvert \ge 0\)(17주차 문제 3), \(\lvert -t \rvert = \lvert t \rvert\)(17주차 문제 4), 절댓값 보조정리(17주차 문제 11)와 구간 번역(18주차 문제 11), 층별 부정 절차(11주차 문제 15)

인수분해로 \(\lvert x-a \rvert\)를 노출하고, 두 오차의 결합은 삼각부등식으로 정당화한다

목록 밖의 것은 근거가 되지 않는다. “\(x\)를 \(a\)에 충분히 가깝게 잡으면”은 목록에 없다 — 같은 내용을 “\(|x - a| < 1\)이면”이라는 부등식(근거 ③)으로 바꿔 적어야 근거가 된다.

확인 9. 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(\min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right) > 0\)이므로”

(나) “\(|x - 2|\,|x + 2| = |x^2 - 4|\)이므로”

(다) “\(x\)가 2에 아주 가까우면 \(|x + 2|\)는 4쯤이므로”

답

(가) 허용 — 근거 ②. 1과 \(\frac{\varepsilon}{5}\)이 모두 양수이므로 최솟값도 양수다.

(나) 허용 — 근거 ④, 17주차 문제 10의 \(|xy| = |x|\,|y|\)를 오른쪽에서 왼쪽으로 쓴 것이다.

(다) 불허. “아주 가까우면”과 “4쯤”은 검사할 부등식이 아니다. 같은 취지를 “\(|x - 2| < 1\)이면

\(|x + 2| < 5\)이다”로 적으면 근거 ③이 되어 허용되고, 그 변형이 예제 2.2의 min 트릭이다.

내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다.

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 47.1은 §1.3의 조각별 역할과 함께 외운다. 순서를 잊어도 역할에서 재구성할 수 있다.