# 47주차 — 함수 극한의 ε-δ와 연속

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 입력 반경 $\delta$로 출력 오차 $\varepsilon$에 답한다 — 제시하는 것이 문턱에서 반경으로 바뀐다.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 47주차, 10부(해석학 입문)의 마지막 주. 45주차의 $\varepsilon$-N을 함수로 옮기고, 9주차 문제 10에서 증명 없이 인정하고 썼던 "$|x|$는 0에서 연속"을 갚는다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 13장 후반부. 병행자 참고용이며, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.
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## 이번 주 목표

1. $\lim_{x \to a} f(x) = L$의 $\varepsilon$-$\delta$ 정의를 백지에 쓰고, "$0 < |x - a|$"를 포함한 각 조각이 무엇을

요구하는지 말할 수 있다.

1. 일차함수의 극한을 네 걸음 서식으로 증명하고, 남는 인수를 상수로 누르는 **min 트릭**을 익힌다.
1. 연속의 정의를 익히고 $|x|$의 연속성(9주차 문제 10의 빚)을 증명한다.
1. 정의의 부정으로 불연속을 증명한다 — 11주차의 층별 부정이 실전에 쓰이는 자리다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (46주차까지의 복습)

1. 정의 45.1(수렴)을 백지에 쓰시오 — 양화사 세 개의 순서까지.
1. 46주차 예제 2.1의 $\varepsilon$/2 트릭에서 쓴 세 부품을 말로 재현하시오.
1. $|x - 3| < \delta \iff \underline{\qquad}$ (18주차 문제 11의 일반형).
1. "$x$가 3에 다가갈 때 $2x + 1$은 7에 다가간다"를 참$\cdot$거짓을 판정할 수 있는 문장으로 다시 쓰시오.

:::{admonition} 답
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**1.** $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon)$.

**2.** ① 삼각부등식으로 최종 오차를 두 조각으로 분리한다 ② 각 수열의 수렴 정의를

$\frac{\varepsilon}{2}$로 발동해 문턱 $N_1$, $N_2$를 받는다 ③ $N = \max(N_1, N_2)$로 두 조건을

동시에 성립시킨다.

**3.** $3 - \delta < x < 3 + \delta$, 곧 $x \in (3 - \delta,\ 3 + \delta)$. 18주차 문제 11이

$\delta = 2$인 사례였고, 그때 증명한 보조정리가 $\delta$가 문자여도 그대로 작동한다.

**4.** 바로 아래의 유형 분석이 답을 대신한다 — 자신의 답이 세 유형 중 어느 것인지 대조한 뒤,

§1.2의 확인 2에서 판정 가능한 문장을 완성한다.
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### 자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 대입으로 확인.** "$x = 3$을 넣으면 $2 \cdot 3 + 1 = 7$이다. 따라서 극한은 7이다."

계산은 옳고, 이번 주의 예제에서도 답을 짐작하는 데는 이 계산을 쓴다. 문제는 이것이 극한의 **판정 절차가 되지 못한다**는 점이다. $h(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$는 $x = 2$에서 값 자체가 없고, 문제 14의 $g$는 값이 극한과 다르다. 대입이 답을 주지 못하거나 틀린 답을 주는 함수가 있으므로, 대입은 정의가 될 수 없다.

- **유형 2 — 움직임의 서술.** "$x$가 3에 가까워질수록 $2x + 1$이 7에 가까워진다." 관찰은

정확하다. 빠진 것은 판정 절차다 — "가까워진다"에는 확인할 부등식이 하나도 없어서 참인지 거짓인지를 계산으로 확정할 수 없다. 45주차 §1.1에서 수열을 두고 만난 것과 같은 자리다.

- **유형 3 — $\varepsilon$-N을 그대로 옮기기.** 정의 45.1의 $n$ 자리에 $x$를 넣어 "$x > N$인 모든 $x$에

대해 $|f(x) - 7| < \varepsilon$"이라고 적는다. 이미 만든 정의를 옮겨 오려는 방향은 옳고, 이번 주가 하는 일이 정확히 그 이식이다. 문제는 "$x > N$"이 "$x$가 3에 다가간다"가 아니라 "$x$가 무한히 커진다"를 뜻한다는 점이다. 접근 지점 $a$가 유한한 수일 때 "그 뒤 전부"를 대신할 조각을 새로 만들어야 하고, §1.1이 그 조각을 찾는 자리다.

## 개념 — 접근을 판정 가능한 문장으로

### 1 이미 가진 도구로 밀어붙이면 어디서 막히는가

45주차의 정의 45.1을 손에 쥐고 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자.

:::{admonition} 시도 — $\varepsilon$-N을 그대로 옮기기
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명제: $\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1) = 7$.

"$\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자. 문턱 $N$을 잡아 $x > N$인 모든 $x$에 대해

$|(2x+1) - 7| < \varepsilon$임을 보이면 된다. 그런데 $x$가 커지면 $2x + 1$은 …"
:::

여기서 멈춘다. $x$를 크게 하면 $2x + 1$은 7에서 **멀어진다**. 수열에서 "$n > N$"이 하던 일은 "접근 목표에 충분히 다가간 항 전부"를 지정하는 것이었고, 수열의 접근 목표는 언제나 무한대 방향이었다. 함수의 극한에서 접근 목표는 유한한 수 $a$이므로 그 조각을 다시 만들어야 한다. 자연스러운 후보는 거리 $|x - a|$이고, 채택하기 전에 거리를 쓰지 않는 두 말투가 어디서 무너지는지 먼저 본다.

**실패 사례 ① — "대입한다"는 대상을 지정하지 못한다.** $h(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$를 보자. $x \neq 2$이면 $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$이므로 $h(x) = x + 2$이고, $x$가 2 근처면 $h(x)$는 4 근처의 값이다. 그런데 $h(2)$는 분모가 0이라 정의되지 않는다. 대입이 극한의 정의라면 이 함수에는 극한이 없다고 해야 하는데, 값들이 4로 모이는 현상은 실재한다.

**실패 사례 ② — "가까우면 가깝다"는 기준이 없다.** 계단함수 $H(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ 1 & (x \ge 0) \end{cases}$ 를 $a = 0$에서 보자. "$x$가 0에 가까우면 $H(x)$가 0에 가깝다"는 $x < 0$인 쪽만 보면 성립하고, "$H(x)$가 1에 가깝다"는 $x \ge 0$인 쪽만 보면 성립한다. 기준 없는 "가깝다"는 편한 쪽만 보게 하고, 그러면 극한이 0이면서 동시에 1이 된다. 45주차 §1.1의 수열 $e_n$에서 본 붕괴와 같은 꼴이다.

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**확인 1.** 두 실패를 동시에 막으려면 정의에 어떤 조각이 필요한가.

"$x$가 $a$에서 거리 $\underline{\quad}$ 이내에 있되 $x \neq \underline{\quad}$인

$\underline{\quad}$ $x$에 대해 $f(x)$가 $L$에서 거리 $\underline{\quad}$ 이내"

꼴로 짐작해 보자.
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:::{admonition} 답
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"$x$가 $a$에서 거리 **$\delta$** 이내에 있되 $x \neq$ **$a$**인 **모든** $x$에 대해

$f(x)$가 $L$에서 거리 **$\varepsilon$** 이내." 조각이 셋이다 —

① 출력 오차 한계 $\varepsilon$, ② 입력 반경 $\delta$, ③ 반경 안 "모든" $x$(단 $a$ 자신은 제외).

③의 "모든"이 실패 사례 ②를 막고(편한 쪽만 볼 수 없다), "$a$ 제외"가 실패 사례 ①을 막는다

($h(2)$를 묻지 않으므로 값이 없어도 극한을 논할 수 있다).
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### 2 반경으로 답하기 — 표를 채워 정의 만들기

허용 오차 $\varepsilon$은 45주차에서 쓰던 것 그대로이고, 새로 등장하는 $\delta$는 그리스 문자 델타이며 이 교재에서 언제나 양수인 **입력 반경**을 가리킨다. $f(x) = 2x + 1$, $a = 3$, $L = 7$에 대해 오차마다 "이 반경 안이면 전부 오차 안"이 되는 $\delta$를 찾아보자. 조건은

$$
|(2x+1) - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3| < \varepsilon
$$

이므로, $|x - 3| < \dfrac{\varepsilon}{2}$이면 된다.

| **오차 한계 $\varepsilon$** | **조건을 $\lvert x - 3 \rvert$에 대해 풀면** | **반경 $\delta$의 한 예** |
|---|---|---|
| $0.1$ | $\lvert x - 3 \rvert < 0.05$ | $\delta = 0.05$ |
| $0.01$ | $\lvert x - 3 \rvert < \underline{\quad(1)\quad}$ | $\delta = \underline{\qquad}$ |
| $0.002$ | $\lvert x - 3 \rvert < \underline{\quad(2)\quad}$ | $\delta = \underline{\qquad}$ |
| 임의의 $\varepsilon > 0$ | $\lvert x - 3 \rvert < \underline{\quad(3)\quad}$ | $\delta = \underline{\qquad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 지금까지의 관찰을 한 문장으로 모아 보자.

"$x \to a$일 때 $f(x)$의 극한이 $L$"이라는 것은, $\underline{\qquad}$ 오차 $\varepsilon > 0$에

대해 $\underline{\qquad}$ 반경 $\delta > 0$이 있어서, $0 < |x - a| < \delta$인

$\underline{\qquad}$ $x$에 대해 $|f(x) - L| < \varepsilon$이라는 뜻이다.
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:::{admonition} 답
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(1) $0.005$  (2) $0.001$  (3) $\frac{\varepsilon}{2}$. 반경 칸은 차례로 $0.005$, $0.001$,

$\frac{\varepsilon}{2}$이며, 더 작은 양수를 적어도 전부 맞다 — 반경은 **하나만** 대면 된다.

검산: $|x - 3| < 0.005$이면 $|(2x+1)-7| = 2|x-3| < 0.01$ ✓.

모은 문장은 "**모든** 오차 $\varepsilon > 0$에 대해 **어떤** 반경 $\delta > 0$이 있어서,

$0 < |x - a| < \delta$인 **모든** $x$에 대해 $|f(x) - L| < \varepsilon$이다."

양화사가 $\forall, \exists, \forall$ 세 개, 45주차와 같은 순서로 붙는다.
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이 관찰에 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일(오차마다 반경 찾기)을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

### 정의 47.1 — 함수의 극한 (ε-δ) [백지 암기 대상]

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$a$를 포함하는 어떤 구간에서 ($a$ 자신은 빼고) 정의된 함수 $f$와 실수 $L$에 대해,

$x \to a$일 때 $f$의 **극한**이 $L$이라는 것은 다음이 성립한다는 뜻이다.

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \big(0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\big)
$$

이때 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$로 쓴다.
:::

읽는 법 — $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$은 "엑스가 에이로 갈 때 에프 엑스의 극한은 엘"로 읽는다. $\delta$는 "델타"이고, $\varepsilon$과 마찬가지로 언제나 양수로만 쓴다. $f$가 $a$ 근처에서 정의되어 있어야 문장이 뜻을 갖는다는 조건은 정의 첫 줄에 적어 두었고, 이번 주의 함수는 전부 그 조건을 만족하므로 따로 확인하지 않는다.

17주차 문제 11의 보조정리(18주차 문제 11에서 재확인)에 의해 거리 조건은 구간 조건으로 바꿔 읽을 수 있다.

$$
0 < |x - a| < \delta \iff x \in (a - \delta,\ a) \cup (a,\ a + \delta), \qquad |f(x) - L| < \varepsilon \iff f(x) \in (L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)
$$

**두 역할로 읽기.** 한쪽은 출력 오차 한계 $\varepsilon > 0$을 아무리 작게 정해 내밀고 ($\forall \varepsilon$), 다른 쪽은 그 $\varepsilon$을 보고 입력 반경 $\delta > 0$을 하나 제시하며($\exists \delta$), 반경 안의 모든 입력이 오차 안의 출력을 내는지 확인한다 ($\forall x$). 어떤 $\varepsilon$에 대해서도 $\delta$를 제시할 수 있으면 극한이 $L$이고, $\delta$를 제시할 수 없는 $\varepsilon$이 하나라도 있으면 극한은 $L$이 아니다.

### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| $\forall \varepsilon > 0$ | 출력 오차를 상대가 정한다 | 첫 줄 — "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자" |
| $\exists \delta > 0$ | $\varepsilon$을 보고 입력 반경을 제시한다 | $\varepsilon$의 식으로 $\delta$를 선언하고 $\delta > 0$을 확인한다 |
| $\forall x$ | 반경 안 전부를 요구한다 | 점 하나가 아니라 뚫린 구간 전체 |
| $0 < \lvert x - a \rvert$ | $x = a$를 심사에서 제외한다 | 극한을 함숫값과 분리한다 |
| $\lvert x - a \rvert < \delta$ | 입력이 반경 안임을 가정한다 | "$0 < \lvert x - a \rvert < \delta$라 하자" |
| $\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$ | 출력이 오차 안임을 요구한다 | 부등식 사슬을 만들어 끝을 $\varepsilon$에 맞춘다 |

**조각 삭제 실험 ①.** 넷째 조각 "$0 <$"를 지워 보자. 그러면 조건이 $|x - a| < \delta$가 되어 $x = a$도 심사 대상이 된다. §1.1의 $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$에서는 $|h(2) - 4|$라는 계산할 수 없는 식이 요구되고, 값이 있되 엉뚱한 함수(문제 14의 $g$, $g(2) = 7$)에서는 $|g(2) - 4| = 3 < \varepsilon$이 **모든** $\varepsilon$에 대해 요구된다.

:::{container} quotebox
**확인 3.** 조각 삭제 실험 ①에서 정확히 무엇이 무너지는가?

($\varepsilon = 1$을 잡아 문제 14의 $g$에 적용해 보자.)
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:::{admonition} 답
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**극한과 함숫값의 분리**가 무너진다. $\varepsilon = 1$이면 $|g(2) - 4| = 3 < 1$은 거짓이므로

어떤 $\delta$를 잡아도 조건이 깨지고, $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$가 거짓으로 판정된다. 그런데

$x \neq 2$인 모든 점에서 $g(x) = x^2$이므로 값들은 실제로 4에 모인다. "$0 <$"가 없으면

"함숫값이 엉뚱하면 극한도 없다"는 다른 개념을 정의한 셈이 된다. 이 붕괴를 문제 14와 문제

17에서 다시 다룬다.
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**조각 삭제 실험 ②.** 셋째 조각 $\forall x$를 $\exists x$로 바꾸면, §1.1의 계단함수 $H$가 $a = 0$에서 통과한다. 어떤 $\varepsilon$과 $\delta$에 대해서도 $x = -\frac{\delta}{2}$를 잡으면 $|H(x) - 0| = 0 < \varepsilon$이므로 극한이 0이 되고, $x = \frac{\delta}{2}$를 잡으면 $|H(x) - 1| = 0 < \varepsilon$이므로 극한이 1도 된다.

:::{container} quotebox
**확인 4.** 조각 삭제 실험 ②가 보여 주는 것을 한 문장으로 적어 보자.

이 붕괴는 45주차의 어떤 실험과 같은 꼴인가?
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

극한의 **유일성**이 무너진다. 한 함수가 같은 점에서 0으로도 1로도 수렴하면

$\lim_{x \to a} f(x)$라는 표기가 대상을 지정하지 못한다. 45주차 §1.3의 조각 삭제 실험 ①과

같은 꼴이다 — 그때는 "$n > N$인 모든 항"을 "어떤 항"으로 바꾸어 수열 $e_n$이 통과했다.

$\forall$를 $\exists$로 바꿔치는 것이 정의를 무너뜨리는 대표적인 방식이다.
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### 4 뚫린 구간 — "$0 < |x - a|$"의 기하

$0 < |x - a| < \delta$를 만족하는 $x$의 모임은 반경 $\delta$의 구간에서 중심 하나를 빼낸 $(a - \delta,\ a) \cup (a,\ a + \delta)$다.

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**확인 5.** $a = 3$, $\delta = 0.5$일 때 이 모임을 구간으로 적어 보자.

$x = 3$은 왜 빠지는가?
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$(2.5,\ 3) \cup (3,\ 3.5)$. $x = 3$이 빠지는 이유는 극한이 "$a$에 다가갈 때"의 이야기이지

"$a$에서의 값"이 아니기 때문이다. $h(2)$처럼 값이 없어도, 문제 14의 $g(2) = 7$처럼 값이

엉뚱해도 극한은 존재할 수 있다. 이 구분이 §1.6에서 연속을 정의할 때 정확히 사라진다.
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45주차와 나란히 놓으면 무엇이 바뀌고 무엇이 그대로인지 한눈에 보인다.

|  | **$\varepsilon$-N (45주차)** | **$\varepsilon$-$\delta$ (이번 주)** |
|---|---|---|
| 상대가 던지는 것 | 출력 오차 $\varepsilon > 0$ | 출력 오차 $\varepsilon > 0$ (그대로) |
| 내가 제시하는 것 | 문턱 $N$ (자연수) | 반경 $\delta$ (양수) |
| 검증 범위 | $n > N$인 모든 항 | $0 < \lvert x - a \rvert < \delta$인 모든 $x$ |
| 안전한 방향 | $N$은 크게 잡을수록 안전 | $\delta$는 작게 잡을수록 안전 |
| 제시한 것의 존재 근거 | 아르키메데스 성질이 필요하다 | 필요 없다 — $\varepsilon$으로 만든 양수 자체가 $\delta$다 |

마지막 행이 이번 주가 45주차보다 가벼운 유일한 지점이다. $N$은 자연수여야 했으므로 아르키메데스 성질이 필요했지만, $\delta$는 양수이기만 하면 되므로 $\frac{\varepsilon}{2}$ 같은 식을 그대로 쓴다.

### 5 증명 서식과 연습장의 분리

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**$\varepsilon$-$\delta$ 증명의 네 걸음**

① $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자.

② $\delta = (\varepsilon$으로 만든 식$)$으로 잡자. ($\delta > 0$임을 확인한다.)

③ $0 < |x - a| < \delta$라 하자.

④ 그러면 $|f(x) - L| = (\text{계산과 사슬}) < \varepsilon$이다. 따라서 정의 47.1에 의해 $\lim_{x \to a} f(x) = L$이다.
:::

②의 "$\varepsilon$으로 만든 식"은 저절로 나오지 않는다. **연습장**에서 목표 $|f(x) - L| < \varepsilon$을 $|x - a|$에 대해 거꾸로 풀어 $\delta$를 발견하고, **본문**에서는 그 $\delta$를 "잡자"로 선언한 뒤 순방향으로 검증한다. 45주차 §1.6에서 세운 규율 그대로이며, 역산을 본문에 섞어 적으면 결론에서 출발한 논증이 된다. 역산의 핵심 기술은 하나다 — $|f(x) - L|$을 **$|x - a|$가 겉으로 보이도록** 인수분해하는 것이고($|2x-6| = 2|x-3|$이 전형), 그 근거는 17주차 문제 10의 $|xy| = |x|\,|y|$다.

:::{container} quotebox
**확인 6.** "$\delta = \frac{\varepsilon}{2}$로 잡자"라고만 쓰면 무엇이 빠지는가?

45주차에서 같은 자리에 무엇을 적었는지 함께 떠올려 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$\delta > 0$**이라는 확인**이 빠진다. 정의 47.1은 $\exists \delta > 0$을 요구하므로 제시한

것이 양수임을 밝혀야 한다. 근거는 짧다 — $\varepsilon > 0$이므로 $\frac{\varepsilon}{2} > 0$이다

(근거 ②). 45주차에서는 같은 자리에 "그런 **자연수**가 존재한다"는 아르키메데스 성질을 적어야

했다. 요구되는 자격이 자연수에서 양수로 낮아졌으므로 근거도 한 줄로 줄었다.
:::

### 6 연속 — 극한과 함숫값이 만나는 자리

극한은 $x = a$를 심사에서 뺐다. 뺀 자리를 다시 채워 "값까지 일치한다"를 요구하면 연속이 된다.

### 정의 47.2 — 연속 (continuity) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
함수 $f$가 점 $a$에서 **연속**이라는 것은 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$라는 뜻이다.

풀어 쓰면 다음과 같다.

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \big(|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon\big)
$$
:::

풀어 쓴 문장에는 "$0 <$"가 없다. 연속에서는 극한값이 함숫값과 같다고 이미 요구했으므로 $x = a$를 심사에 넣어도 새로 요구되는 것이 없기 때문이며, 이 주장을 문제 17에서 정확히 논증한다.

고등학교의 "끊기지 않고 이어져 있다"는 이 정의 안에서 **세 조건**으로 분해된다.

| **조건** | **내용** | **이 조건만 깨지는 사례** |
|---|---|---|
| ① 함숫값의 존재 | $f(a)$가 정의된다 | $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$, $a = 2$ — 극한은 4인데 값이 없다 |
| ② 극한의 존재 | $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재한다 | 계단함수 $H$, $a = 0$ — 값은 1인데 극한이 없다(§1.7의 상자) |
| ③ 둘의 일치 | 극한값 $= f(a)$ | 문제 14의 $g$, $a = 2$ — 극한은 4, 값은 7 |

② 행에는 근거가 하나 더 필요하다. 예제 2.3은 $H$가 0에서 연속이 아님만 보이는데, 불연속은 ③만 깨져도 성립하므로 그것만으로는 "②가 깨진 사례"임이 확정되지 않는다. 극한 자체가 없다는 것은 정의 47.1의 부정으로 따로 보여야 하고, 그 부정을 §1.7에서 만든 뒤 상자로 확인한다.

:::{container} quotebox
**확인 7.** 세 조건 중 하나만 깨져도 불연속이다. 그렇다면 "연속임을 증명하라"는 문제에서

실제로 해야 할 일은 무엇인가? 문제 6($f(x) = c$)을 예로 한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$f(a)$를 먼저 계산해 두고, **그 값을 $L$ 자리에 넣은 $\varepsilon$-$\delta$ 증명**을 쓰면 된다. 세 조건을 따로

검사할 필요가 없다 — $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 하나를 증명하면 ②와 ③이 동시에 확보되고,

$f(a)$를 적는 순간 ①도 확인된다. 문제 6이면 $f(a) = c$이므로

"$\lim_{x \to a} c = c$"를 증명하는 것이 전부다.
:::

### 7 불연속 — 정의의 부정을 만든다

"연속이 아니다"를 증명하려면 정의 47.2를 부정해야 한다. 11주차의 층별 절차대로 바깥 층부터 차례로 뒤집는다.

| **층** | **원래** | **부정** |
|---|---|---|
| 1 | $\forall \varepsilon > 0$ | $\exists \varepsilon > 0$ |
| 2 | $\exists \delta > 0$ | $\forall \delta > 0$ |
| 3 | $\forall x$ | $\exists x$ |
| 4 | $P \Rightarrow Q$ | $P \land \lnot Q$ |

넷째 층까지 적용하면 다음이 나온다 (극한의 부정도 같은 절차이며 조건에 "$0 <$"가 붙을 뿐이다).

$$
\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ \big(|x - a| < \delta \ \land\ |f(x) - f(a)| \ge \varepsilon\big)
$$

:::{container} quotebox
**확인 8.** 넷째 층에서 $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$의 부정이 왜 $\le$가 아니라 $\ge$인가?

그리고 이 문장에서 **내가 만들어 내야 하는 대상**은 무엇인가?
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"$<$"의 부정은 "$\ge$"다 — 두 실수는 $<$, $=$, $>$ 중 정확히 하나이므로 "미만이 아니다"는

"같거나 크다"이다. 만들어 내야 하는 것은 두 가지다: 오차 $\varepsilon$ **하나**($\exists$이므로

제시 책임이 내게 있다)와, 상대가 내미는 **각** $\delta$마다 그 반경 안에서 조건을 깨는 점 $x$

하나($\forall \delta$ 뒤의 $\exists x$이므로 $x$는 $\delta$의 식이어도 된다). 극한 정의에서

역할이 정반대로 뒤집혔다 — 45주차 예제 2.3의 발산 증명과 같은 구조다.
:::

방금 만든 부정을 극한 쪽에 한 번 써 둔다. §1.6의 세 조건 표에서 ② 행이 요구한 것이 이 논증이다.

:::{admonition} 계단함수 $H$는 $0$에서 어떤 극한도 갖지 않는다
:class: quotebox

$L$을 임의의 실수라 하자. $\varepsilon = \frac{1}{2}$로 잡고, $\delta > 0$을 임의로 받았다고

하자. $x_+ = \frac{\delta}{2}$, $x_- = -\frac{\delta}{2}$로 두면 둘 다

$0 < |x - 0| < \delta$를 만족하고, $H(x_+) = 1$, $H(x_-) = 0$이다. 삼각부등식(근거 ④)에 의해

$$
1 = |1 - 0| = |(1 - L) + (L - 0)| \le |1 - L| + |L - 0|
$$

이므로 두 항 중 적어도 하나는 $\frac12$ 이상이다. $|1 - L| \ge \frac12$이면

$|H(x_+) - L| = |1 - L| \ge \varepsilon$이므로 $x_+$가, $|L - 0| \ge \frac12$이면

$|H(x_-) - L| = |0 - L| = |L - 0| \ge \varepsilon$이므로($|-t| = |t|$ — 17주차 문제 4)

$x_-$가 정의 47.1의 부정이 요구하는 $x$다. $L$이 임의였으므로 $\lim_{x \to 0} H(x)$는 어떤

실수와도 같지 않다 — 극한이 존재하지 않는다.
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### 8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 이번 주의 정의 둘이 추가되고, ② 칸에 최솟값에 관한 한 줄이 붙으며, ④ 칸에 이번 주 증명이 실제로 인용하는 항목이 명시될 뿐이다.

| **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 지금까지의 정의들 + **정의 47.1(함수의 극한)**, **정의 47.2(연속)** | "$\lim_{x \to a} f(x) = L$"과 $\forall\exists\forall$ 문장 사이를 양방향으로 번역한다 |
| ② 닫힘성 | 양수의 합$\cdot$곱$\cdot$역수는 양수, **두 양수의 최솟값도 양수**(이번 주 추가) | $\frac{\varepsilon}{2} > 0$과 $\min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right) > 0$을 설명 없이 쓴다 |
| ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 대입$\cdot$전개$\cdot$묶기 + 부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)(16주차) | 사슬을 (W6)으로 잇고, 양변에 양수를 곱한다((W3)) |
| ④ 이미 증명한 명제 | 삼각부등식(17주차 문제 12), 역삼각부등식(17주차 문제 16), $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \lvert y \rvert$(17주차 문제 10), $\lvert x \rvert \ge 0$(17주차 문제 3), $\lvert -t \rvert = \lvert t \rvert$(17주차 문제 4), 절댓값 보조정리(17주차 문제 11)와 구간 번역(18주차 문제 11), 층별 부정 절차(11주차 문제 15) | 인수분해로 $\lvert x-a \rvert$를 노출하고, 두 오차의 결합은 삼각부등식으로 정당화한다 |

목록 밖의 것은 근거가 되지 않는다. "$x$를 $a$에 충분히 가깝게 잡으면"은 목록에 없다 — 같은 내용을 "$|x - a| < 1$이면"이라는 부등식(근거 ③)으로 바꿔 적어야 근거가 된다.

:::{container} quotebox
**확인 9.** 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) "$\min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right) > 0$이므로"

(나) "$|x - 2|\,|x + 2| = |x^2 - 4|$이므로"

(다) "$x$가 2에 아주 가까우면 $|x + 2|$는 4쯤이므로"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 허용 — 근거 ②. 1과 $\frac{\varepsilon}{5}$이 모두 양수이므로 최솟값도 양수다.

(나) 허용 — 근거 ④, 17주차 문제 10의 $|xy| = |x|\,|y|$를 오른쪽에서 왼쪽으로 쓴 것이다.

(다) 불허. "아주 가까우면"과 "4쯤"은 검사할 부등식이 아니다. 같은 취지를 "$|x - 2| < 1$이면

$|x + 2| < 5$이다"로 적으면 근거 ③이 되어 허용되고, 그 변형이 예제 2.2의 min 트릭이다.

내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다.
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정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 47.1은 §1.3의 조각별 역할과 함께 외운다. 순서를 잊어도 역할에서 재구성할 수 있다.