S3주차 — 전진 과정과 만남: 압축된 증명 읽는 법

S3주차 — 전진 과정과 만남: 압축된 증명 읽는 법#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 교과서의 증명은 사고의 기록이 아니라 사고를 지운 압축본이다 — 읽기란 지워진 것을 복원하는 일이다.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S3주차. S2에서 만든 후진 사슬에 반대 방향의 걸음을 접속해 증명을 완성하고, 그 완성본에서 무엇이 지워졌는지를 되짚는다. 1권 15주차(직접 증명의 서식)\(\cdot\)20주차(글쓰기 6조)\(\cdot\)25주차(동치 변형 사슬)가 여기서 다시 쓰인다.

원서 대응: Solow 2장 후반 — 전진 과정과 증명 읽기. 이번 주로 2장이 완결된다.

이번 주 목표#

  1. 전진 과정(forward process)의 절차 세 걸음을 백지에 쓰고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 말할 수 있다.

  2. 조준 규칙을 지켜 전진 걸음을 고르고, 전진 목록과 후진 사슬이 만나는 지점을 판정해 완성 증명을 조립할 수 있다.

  3. 압축된 증명 한 편을 읽고 각 줄의 ① 출신(전진인가 후진인가) ② 지워진 핵심 질문 ③ 생략된 근거를 복원할 수 있다.

  4. 분석표(후진 기록 + 전진 기록)와 제출용 산문의 관계를 알고, 둘을 섞지 않는다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S2주차 복습)#

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

  1. 후진 한 걸음의 절차 세 단계와 방향 검사 규칙을 쓰시오.

  2. S2주차 예제 2.1의 후진 사슬(B: \(x = 1\)에서 B3: \(x^2 - 2x + 1 = 0\)까지)을 재현하시오.

  3. S2주차 예제 2.2(기하)의 사슬 종착역이 무엇이었는지 쓰시오. (답: B3 — SSS가 요구하는 세 등식 \(AB = AC\), \(BD = DC\), \(AD = AD\))

자주 나오는 세 가지 답#

2번을 재현한 뒤 “그래서 증명을 어떻게 쓰는가”에 답해 보면, 대개 다음 세 가지 중 하나가 나온다. 셋 다 후진을 제대로 배운 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 사슬만 적고 멈춘다. “B \(\Leftarrow\) B1 \(\Leftarrow\) B2 \(\Leftarrow\) B3. 여기까지 왔다”에서 끝낸다.

사슬 자체는 옳다. 문제는 B3이 아직 참임이 확인되지 않은 문장이라는 것이다. 사슬은 “B3이 참이면 B도 참”만 말할 뿐, B3이 참이라는 말은 어디에도 없다. 그 참을 확보하는 반대 방향의 걸음이 §1에서 이름을 얻는다.

  • 유형 2 — 사슬을 거꾸로 옮겨 적는다. “\(x^2 - 2x + 1 = 0\)이므로 \((x-1)^2 = 0\)이고,

따라서 \(x - 1 = 0\), 곧 \(x = 1\)이다”로 쓴다. 이 답은 완성본에 매우 가깝다 — 실제로 뒷부분은 그대로 쓸 수 있다. 빠진 것은 첫 줄이다. \(x^2 - 2x + 1 = 0\)은 가정이 아닌데 가정처럼 놓여 있다. 가정에서 이 식까지 오는 걸음이 통째로 없다.

  • 유형 3 — 가정에서 아무 방향으로나 전개한다. \(x + \frac1x = 2\)에서 양변을

제곱하고, 세제곱하고, 3을 곱한다. 유도된 식은 전부 참이다. 문제는 그중 어느 것도 B3에 가까워지지 않는다는 것이다. 참인 것과 쓸모 있는 것은 다르다 — 이 구분을 만드는 규칙이 §1.4다.

개념 — 전진 과정과 만남#

1 후진만으로는 어디서 막히는가#

S2주차의 도구만 가지고 한 걸음 더 밀어붙여 본다. 사슬은 B3까지 내려와 있다.

\[ x = 1 \Leftarrow x - 1 = 0 \Leftarrow (x-1)^2 = 0 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \]

후진을 한 걸음 더 두려면 B3에 핵심 질문을 던져야 한다. “어떤 이차식이 0임을 어떻게 보이는가?” 답 후보를 훑어본다.

  • “근을 구한다” — 근을 구하는 것이 곧 원래 명제이므로 제자리로 돌아온다.

  • “인수분해해서 영인수 성질을 쓴다” — 방금 지나온 B2로 되돌아간다.

  • “판별식을 본다” — 판별식이 0이면 이 이차식의 중근이 1임까지 나온다. 그러나

B3이 요구하는 것은 “이 다항식의 근이 1이다”가 아니라 “가정이 준 그 \(x\)가 이 식을 0으로 만든다”이다. 판별식은 다항식의 근에 대해 말할 뿐, 가정에서 온 그 \(x\)에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.

확인 1. 위 세 후보가 전부 실패하는 공통 원인은 무엇인가. 사슬에 없고 아직 손대지 않은 것이 무엇인지 한 구절로 적어 보자.

답

셋 다 결론 쪽에서만 움직인다는 것이 공통 원인이다. 손대지 않은 것은

가정 \(x > 0\), \(x + \frac1x = 2\)이다. B3은 결론 쪽에서 만들어 낼 수 있는

문장이 아니라 가정 쪽에서 도착해야 하는 문장이다.

필요한 것은 A에서 출발해 B3으로 가는, 지금까지와 반대 방향의 걸음이다.

이 주 전체의 기준

후진은 도착점을 옮겨 놓을 뿐, 어떤 문장도 참으로 만들지 못한다.

참을 만드는 것은 가정에서 출발하는 걸음뿐이다.

2 가정에서 무엇이 나오는가 — 사례 표를 채워 보기#

가정 \(x > 0\), \(x + \dfrac1x = 2\)에 등식의 성질(근거 ③)을 적용해 얻는 사실들을 적어 본다. 표의 빈칸을 채운다.

적용한 조작

얻는 사실

양변에 \(x\)를 곱한다 (\(x \neq 0\) 확인 후)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

양변에서 2를 뺀다

\(x + \frac1x - 2 = 0\)

양변을 제곱한다

\(x^2 + 2 + \frac1{x^2} = 4\), 곧 \(\underline{\quad(2)\quad}\)

양변에 3을 곱한다

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

양변에 \(x - 1\)을 곱한다

\((x-1)\left(x + \frac1x\right) = 2(x-1)\)

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 다섯 줄 가운데 과녁 B3(\(x^2 - 2x + 1 = 0\))에 가까워지는 것이 어느 줄인지 고르자. 고른 이유도 한 마디로 적는다.

답

(1) \(x^2 + 1 = 2x\) (2) \(x^2 + \frac1{x^2} = 2\) (3) \(3x + \frac3x = 6\).

과녁에 가까워지는 것은 첫째 줄이다. 이유: B3에는 분모가 없고 \(x^2\)항이

있는데, 양변에 \(x\)를 곱하는 조작이 정확히 분모를 없애고 \(x^2\)을 만든다.

나머지 넷은 전부 참이지만 분모가 그대로 남거나(\(3x + \frac3x = 6\)),

차수가 어긋나거나(\(x^2 + \frac1{x^2} = 2\)), 식이 더 복잡해진다.

확인 3. 위와 같은 표를 계속 늘려 갈 수 있는가. 늘릴 수 있다면 몇 줄까지 가능한가.

답

무한히 늘릴 수 있다. 양변에 곱할 수 있는 수가 무한히 많고, 얻은 사실에 다시

같은 조작을 할 수 있기 때문이다. 그러므로 이 절차의 어려움은 “사실을 만들어

내는 일”이 아니라 어느 사실을 만들지 고르는 일이다.

두 절차에 이름을 붙인다. 사실을 만들어 내는 쪽이 전진 과정이고, 고르는 기준이 조준 규칙이다. 식이나 절차 자체에 새로운 것은 없다 — 표에서 한 일은 1권 1주차부터 써 온 등식의 성질(근거 ③)이 전부이고, 새로운 것은 그 조작을 어디에 쓸지 정하는 규칙뿐이다.

3 전진 과정 — 절차와 해부#

백지 암기 대상

전진 과정 (한 걸음의 절차)

① 현재 사실 목록(가정 A와 지금까지 유도한 \(A_1, \ldots, A_k\))을 본다.

② 목록의 사실에 정의\(\cdot\)정리\(\cdot\)대수 조작을 적용해 **새로운 참인 사실 \(A_{k+1}\)**을 유도한다.

(방향: \(A_k \Rightarrow A_{k+1}\) — 후진과 반대다.)

③ 새 사실을 목록에 추가한다.

\(A_k\)는 “에이 케이”로 읽고, 가정에서 \(k\)번째로 유도한 사실을 가리킨다. 후진 쪽의 \(B_k\)(“비 케이”)가 \(k\)번 갈아치운 목표를 가리키는 것과 짝을 이룬다. 화살표 \(B \Leftarrow B_1\)은 “\(B\)는 \(B_1\)에서 따라온다”로 읽고, \(A \Rightarrow A_1\)은 “\(A\)에서 \(A_1\)이 따라온다”로 읽는다. 두 화살표는 같은 관계를 반대편에서 적은 것이므로, 사슬을 이어 붙일 때 방향만 맞추면 된다.

절차 해부. 세 걸음이 각각 다른 일을 한다.

걸음

하는 일

이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가

① 목록을 본다

쓸 수 있는 재료의 범위를 확정한다

목록에 없는 사실을 몰래 쓰게 된다 — 아래 삭제 실험

② 참인 사실을 유도한다

참을 다음 줄로 옮긴다

참이 보존되지 않으면 사슬 전체가 무의미해진다

③ 목록에 추가한다

다음 걸음의 재료를 늘린다

매번 A에서만 출발하게 되어 두 걸음 이상의 유도가 불가능해진다

걸음 삭제 실험 — ①을 뺀 경우. 명제 “실수 \(x\)에 대해, \(x^2 = 1\)이면 \(x = 1\)이다”를 목록을 보지 않고 다루면 다음 줄이 나온다.

\(x^2 = 1\)의 양변에서 1을 빼면 \(x^2 - 1 = 0\), 인수분해하면 \((x-1)(x+1) = 0\),

따라서 \(x - 1 = 0\), 곧 \(x = 1\)이다.

이 결론은 거짓이다(\(x = -1\)). 무너진 자리는 마지막 걸음이다. 곱이 0인 식에서 인수 \(x + 1\)을 지우고 \(x - 1 = 0\)만 남기려면 \(x + 1 \neq 0\)이어야 하는데, 그 사실은 목록에 없다. 그런데 명제가 “실수 \(x\)에 대해, \(x > 0\)이고 \(x^2 = 1\)이면 \(x = 1\)이다” 였다면 똑같은 계산이 그대로 유효하다 — 목록의 \(x > 0\)에서 \(x + 1 > 0\)이 나와 소거의 조건이 확보되기 때문이다. 두 유도는 글자까지 같은데 하나는 거짓이고 하나는 참이다. 가르는 것은 계산이 아니라 목록이다.

확인 4. 위 실험에서 목록 확인이 막아 주는 것은 무엇인가. 두 명제(\(x^2 = 1\)만 가정한 판과 \(x > 0\)을 함께 가정한 판)의 차이를 한 문장으로 적어 보자.

답

목록 확인이 막아 주는 것은 가정이 보장하지 않는 조건을 슬쩍 쓰는 일이다.

두 판의 차이: 뒤의 판은 목록에 \(x > 0\)이 있어서 \(x + 1 \neq 0\)을 말할 수 있고,

앞의 판은 목록에 그런 사실이 없는데도 인수를 지워서 결론이 거짓이 됐다.

계산이 같아도 목록이 다르면 결과가 다르다 — 그래서 ①이 첫 걸음이다.

걸음 삭제 실험 — ②의 “참인”을 뺀 경우. 결론 \(x = 1\)을 목록에 넣고 시작하면 \(x + \frac1x = 2\)가 즉시 유도된다. 유도 자체는 옳지만 얻은 것은 가정을 되찾은 것뿐이고, 목표는 하나도 확보되지 않았다. 목록에는 가정에서 실제로 따라 나온 것만 들어간다. 1권 15주차 서식의 “결론을 가정하지 않는다”가 여기서는 목록의 입장 규정으로 나타난다.

4 조준 규칙 — 무한한 참 중에서 고르기#

§1.2에서 확인한 대로 유도 가능한 사실은 무한히 많다. 고르는 기준이 없으면 전진은 표를 늘리기만 한다(§0 유형 3).

백지 암기 대상

조준 규칙

전진은 후진 사슬의 마지막 결론 \(B_k\)를 과녁으로 삼아, 그 과녁에 가까워지는

유도만 고른다. 가까워졌는지의 판단 기준은 과녁의 겉모양이다 — 분모의 유무,

차수, 등장하는 문자, 좌우변의 배치.

이것이 후진을 먼저 두는 이유다. 후진 없이 하는 전진에는 과녁이 없고, 과녁이 없으면 고를 기준도 없다.

1권에서 감각으로 하던 일이 여기서 이름을 얻는다. 1권 1주차 예제 2.1의 번역표는 증명을 쓰기 전에 “도착점”을 먼저 정하고, 그 도착점의 꼴(\(2 \times\)정수)이 나오도록 계산 방향을 잡게 했다. 그 “도착점을 보고 변형 방향을 정한다”가 조준 규칙이고, 그때는 도착점이 결론 자체였지만 이제는 후진이 내려 준 \(B_k\)가 도착점을 대신한다.

확인 5. 과녁이 B3: \(x^2 - 2x + 1 = 0\)일 때, 다음 두 유도 중 어느 쪽을 고르는가. (가) 양변에 \(x\)를 곱해 \(x^2 + 1 = 2x\) (나) 양변을 제곱해 \(x^2 + \frac1{x^2} = 2\)

답

(가). 과녁에는 분모가 없고 \(x\)의 이차식만 있다. (가)는 분모를 없애고 이차식을

만들지만, (나)는 \(\frac1{x^2}\)이라는 새 분모를 만들어 과녁에서 멀어진다.

판단에 쓴 것은 계산의 난이도가 아니라 과녁의 겉모양이다.

5 만남 — 증명이 완성되는 순간#

백지 암기 대상

만남

전진 목록의 어떤 \(A_m\)이 후진 사슬의 마지막 결론 \(B_k\)와 일치하거나 즉시

함의하는 순간, 설계가 끝난다.

\[ A \Rightarrow A_1 \Rightarrow \cdots \Rightarrow A_m = B_k \Rightarrow B_{k-1} \Rightarrow \cdots \Rightarrow B_1 \Rightarrow B \]

완성 증명은 이 사슬을 왼쪽에서 오른쪽으로, 곧 전진 방향으로만 읽어 문장으로 옮긴 것이다.

여기서 착시가 하나 생긴다. 완성본에서는 후진 걸음들(\(B_k \Rightarrow \cdots \Rightarrow B\))도 전부 전진 방향의 함의로 서술된다. 후진 때 방향 검사(\(B_{i+1} \Rightarrow B_i\))를 해 둔 것이 바로 이 순간을 위해서였다.

확인 6. S2주차의 방향 검사를 통과하지 못한 사슬을 위 그림에 끼워 넣으면 무엇이 무너지는가. B가 “\(x = 2\)”, B1이 “\(x^2 = 4\)”인 경우로 확인해 보자.

답

화살표가 끊긴다. 방향 검사를 통과하지 못했다는 것은 \(B_1 \Rightarrow B\)가

거짓이라는 뜻이므로, 사슬의 그 자리에서 오른쪽으로 넘어갈 수 없다.

예의 경우 \(x^2 = 4\)까지는 도달해도 거기서 \(x = 2\)로 갈 수 없다(\(x = -2\)).

전진이 아무리 잘 진행돼도 후진 쪽 이음매가 하나 끊겨 있으면 증명은 완성되지

않는다 — 방향 검사는 후진 때의 형식 절차가 아니라 완성본의 이음매 검사다.

6 압축된 증명 — 무엇이 지워지는가#

교과서와 논문의 증명은 분석표가 아니라 압축본이다. 설계에서 쓴 것 대부분이 제출 단계에서 지워진다.

지워지는 것

남는 것

핵심 질문들(“두 실수가 같음을 보이려면?”)

질문의 답만 등장한다(“차가 0임을 보인다”), 그것도 종종 생략된다

전진이었는지 후진이었는지의 방향 표시

전부 전진 방향 산문(“따라서”, “그러므로”)

갈림길에서 버린 가지(SSS 대신 검토한 다른 경로)

채택된 한 갈래만

시행착오와 막힘, 수정

매끈한 일직선

걸음마다의 근거 일부(독자가 알 것으로 간주된 것)

“쉽게 알 수 있듯이”, 또는 언급 없음

따라서 증명 읽기는 압축 해제다. 한 줄마다 세 가지를 복원한다.

복원 항목

묻는 말

① 출신

이 줄은 전진의 산물인가, 지워진 후진의 흔적인가

② 질문

어떤 핵심 질문에 대한 답으로 이 줄이 선택되었는가

③ 근거

어떤 정의\(\cdot\)정리\(\cdot\)조작이 생략되었는가

1권의 필사 규칙(“왜?”에 답하지 못하면 다음 줄로 넘어가지 않는다)은 ③의 훈련이었다. 이번 주부터 ①과 ②가 추가된다.

확인 7. 압축본의 어떤 줄이 “왜 하필 이 조작을 하는지” 도무지 짐작되지 않을 때, 세 복원 항목 중 어느 것이 비어 있을 가능성이 가장 큰가.

답

②(지워진 핵심 질문)이다. 조작 자체의 근거(③)는 대개 계산을 따라가면 확인되고,

출신(①)도 앞뒤 줄과 비교하면 짐작된다. 짐작되지 않는 것은 “왜 다른 조작이

아니라 이 조작인가”이며, 그 답은 조준시킨 과녁 — 곧 지워진 후진 질문 — 에 있다.

7 분석표 — 설계 기록의 형식#

설계 단계에서 쓰는 2열 기록을 분석표라 한다.

후진 기록 (목표 쪽)

전진 기록 (가정 쪽)

B: … / 핵심 질문: … / B1: … / 방향 검사 ✓

A: … / \(A_1\): … (근거)

B2: … / 방향 검사 ✓

\(A_2\): … (근거, 조준)

만남: \(A_2 = B_2\)

설계가 끝나면 분석표를 접고 산문을 쓴다(1권 20주차 글쓰기 6조를 지킨다). 분석표는 설계용 기록이고 산문은 제출물이다. 이 구분이 무너지면 두 가지 증상이 나타난다. 분석표 없이 산문부터 쓰려 하면 “증명을 어떻게 시작할지 모르겠다”가 되고 (§0 유형 1의 다음 단계), 분석표를 그대로 제출하면 채점자가 읽을 수 없는 답안이 된다(문제 13에서 진단한다).

확인 8. 분석표를 그대로 제출하면 안 되는 이유를 한 문장으로 적어 보자. “규칙이니까”가 아닌 이유로.

답

분석표에는 아직 참임이 확인되지 않은 문장(B, B1, B2 …)이 참인 것처럼 적혀

있기 때문이다. 읽는 사람은 어느 줄이 확보된 참이고 어느 줄이 목표인지 구별할

수 없다. 산문은 확보된 참만 확보된 순서대로 적은 것이므로 그 구별이 필요 없다.

8 근거 목록 갱신#

이번 주에 목록의 칸이 늘지는 않는다. 채워지는 것은 ④다.

근거

이번 주에 추가되는 것

이번 주에는 이렇게 쓴다

① 정의

변화 없음

후진의 표준 답이자 전진의 첫 걸음으로 계속 쓴다

② 닫힘성

변화 없음

“정수의 곱은 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다

③ 등식의 성질

전진 걸음의 대부분이 여기서 나온다 — 양변 연산\(\cdot\)전개\(\cdot\)묶기\(\cdot\)이항

조작을 적을 때 조작의 유효 조건(0으로 나누지 않았는가)을 목록에서 확인한다

④ 이미 증명한 명제

1권 16주차 (W1)~(W6), 1권 25주차 문제 13에 딸린 영인수 성질, S1주차\(\cdot\)S2주차의 결과

“(W4)에 의해”, “영인수 성질에 의해”로 한 줄에 끝낸다