6주차 — 데카르트 곱, 첨자 집합 + 1부 총정리

내용

6주차 — 데카르트 곱, 첨자 집합 + 1부 총정리#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 좌표평면은 \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\)이라는 집합이다.

이 주의 위치: 50주 과정의 6주차. 1부(집합)의 마지막 주 — 데카르트 곱과 첨자 집합을 더하고, 총정리 모의시험으로 3~6주차를 닫는다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 1.2, 1.8, 1.10(읽을거리) — 병행자 참고용. 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

순서쌍과 \(A \times B\)의 정의를 쓰고, \(\{a,b\}\)와 \((a,b)\)를 상등 기준으로 구분한다.
\(|A \times B| = |A| \cdot |B|\)를 사용한다.
첨자 집합 \(\bigcup_{i \in I} A_i\), \(\bigcap_{i \in I} A_i\) 표기를 “적어도 하나/모든”으로 읽는다.
1부(집합) 총정리 모의시험으로 3~6주차 내용을 자가 평가한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (5주차 복습)#

\(A - B\)의 정의를 조건제시법으로 쓰시오.
드모르간 법칙 두 개를 쓰시오.
\([1, 3) \cap (2, 5]\)를 구하시오.

답은 §6 해설 맨 앞에 있다. 채점까지 마친 뒤 본문으로 들어간다.

자주 나오는 답 — 세 유형#

채점 결과는 대개 다음 세 유형 중 하나로 갈린다. 셋 다 5주차 내용을 절반 이상 소화한 상태이고, 셋 다 이번 주 모의시험 전에 메워야 할 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 말로는 되는데 조건제시법이 안 나온다. “\(A\)에는 있고 \(B\)에는 없는

원소들”이라고 적는다. 내용은 옳다. 간격은 형식이다 — \(\{x : x \in A \text{ 그리고 } x \notin B\}\) 라는 조건제시법 틀이 나와야 증명(문제 9, 19)에서 정의를 풀어 쓸 수 있다. 이번 주 문제 1이 정확히 이 형식을 묻는다.

유형 2 — 드모르간에서 기호가 뒤집히지 않는다. \((A \cup B)^c = A^c \cup B^c\)로

적는 경우가 많다. 여집합이 괄호를 그대로 통과한다는 습관 — 분배법칙의 과잉 일반화다. 수치 반례 하나로 잡힌다: \(U = \{1,2\}\), \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\)이면 좌변은 \(\emptyset\), 오른쪽 식은 \(\{1,2\}\). 진술과 수치 확인이 이번 주의 요구 수준이고, 증명은 27주차에서 한다.

유형 3 — 끝점이 틀린다. \([1,3) \cap (2,5]\)를 \((2, 3]\)로 적는 경우가 많다.

구간의 모양(둥근/각진 괄호)만 보고 답의 모양을 정한 것이 원인이다. 끝점 3이 왼쪽 구간에 속하는지를 심문하면 — \(3 \notin [1,3)\) — 답의 오른쪽 끝이 열려야 함이 정해진다. 끝점마다 소속을 심문하는 것이 구간 연산의 전부다.

개념 — 순서쌍, 데카르트 곱, 첨자 집합#

1 집합에 좌표를 담으면 어디서 무너지는가#

지금까지의 도구는 집합 하나다. 이 도구로 좌표평면의 점을 담아 보자.

시도 — 점을 집합으로 적기

좌표평면의 점 “가로 1, 세로 2”를 \(\{1, 2\}\)로, 점 “가로 2, 세로 1”을 \(\{2, 1\}\)로 적는다.

그런데 3주차의 상등 기준 — 원소만 같으면 같은 집합 — 에 의해 \(\{1, 2\} = \{2, 1\}\)이다.

서로 다른 두 점이 같은 대상이 되었다.

여기서 멈춘다. 순서 정보가 집합에 실리지 않는다.

확인 1. 이 방식이 무너뜨리는 점이 한 부류 더 있다. 대각선 위의 점

“가로 3, 세로 3”을 집합으로 적으면 \(\{3, 3\} = \underline{\quad}\) — 이번에는 어떤 정보가 사라지는가?

답

\(\{3, 3\} = \{3\}\) — 원소 하나짜리 집합이 된다. 좌표가 두 개라는 사실

자체가 사라진다. 집합은 순서를 무시하고 중복을 흡수한다 — 3~5주차 내내

편리하던 두 성질이, 좌표를 담는 일에서는 정확히 결함이 된다.

필요한 것은 순서와 자리를 기억하는 새 대상이다.

2 순서를 기억하는 대상 — 표부터 채우기#

괄호를 바꿔 \((1, 2)\)로 적고, 첫째 자리와 둘째 자리를 구별하기로 하자. 이 표기가 실제로 어떤 판정을 내려야 하는지 표로 확인한다. 기준은 좌표평면에서 늘 쓰던 그대로다 — 두 점이 같으려면 가로끼리 같고 세로끼리 같아야 한다.

두 대상	같은가	판정 근거
\((1, 2)\)와 \((2, 1)\)	아니다	첫째 성분이 \(1 \neq 2\)
\((5, 5)\)와 \((5, 5)\)	같다	첫째끼리, 둘째끼리 모두 같다
\((1, 2)\)와 \((1, 3)\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(\{1, 2\}\)와 \(\{2, 1\}\)	같다	집합 — 원소 목록만 대조한다 (3주차)

확인 2. 표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자.

답

(1) 아니다 (2) 둘째 성분이 \(2 \neq 3\).

첫째 성분이 같아도 둘째가 다르면 다른 순서쌍이다. 판정은 언제나 성분 비교

두 번 — 이것이 순서쌍의 상등 기준이 된다.

이런 쌍을 한꺼번에 모으면 어떻게 되는가. \(A = \{1, 2\}\)에서 첫째 성분을, \(B = \{x, y, z\}\)에서 둘째 성분을 골라 만들 수 있는 순서쌍 전부를 격자에 채워 보자.

	\(x\)	\(y\)	\(z\)
\(1\)	\((1, x)\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(2\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\((2, y)\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 3. 격자의 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 만들어진 순서쌍의 개수를 세어 보자.

답

(1) \((1, y)\) (2) \((1, z)\) (3) \((2, x)\) (4) \((2, z)\) — 모두 6개다.

행이 2줄(\(A\)의 원소 수), 열이 3칸(\(B\)의 원소 수)이므로 \(2 \times 3 = 6\).

첫째 성분은 \(A\)에서, 둘째 성분은 \(B\)에서 — 가능한 조합 전부를 모은 이

집합에 이름을 붙일 차례다.

이 관찰에 정식 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 판정(성분 비교)과 나열(격자 채우기)을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 6.1 — 순서쌍과 데카르트 곱 (ordered pair, Cartesian product) [백지 암기 대상]#

순서쌍 \((a, b)\)는 순서가 있는 두 대상의 나열이다: \((a, b) = (c, d) \iff a = c\) 그리고 \(b = d\).

집합 \(A, B\)의 데카르트 곱은

\[ A \times B = \{(a, b) : a \in A,\ b \in B\} \]

읽는 법 — \(A \times B\)는 “에이 크로스 비”로 읽는다. 기호 \(\iff\)는 “왼쪽이 성립하는 것과 오른쪽이 성립하는 것은 같은 말이다”로 읽는다(정밀한 정의는 2부 논리에서 다룬다). 읽는 법까지가 정의다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

조각	하는 일	계산\(\cdot\)증명에서의 역할
“순서가 있는 나열 \((a, b)\)”	새 대상의 선언	첫째 자리와 둘째 자리가 구별된다 — \(\{a, b\}\)가 못 하던 일
“\((a,b) = (c,d) \iff a = c\) 그리고 \(b = d\)”	상등 기준 제공	순서쌍에 관한 모든 판정이 성분 비교 두 번으로 환원된다
“\(\{(a, b) : \dots\}\)”	조건제시법 포장 (3주차)	\(A \times B\)는 새 종류의 대상이 아니라 집합이다 — \(\in\), \(\subseteq\), 멱집합, 크기 등 3~5주차 도구가 전부 적용된다
“\(a \in A,\ b \in B\)”	성분의 자격 제한	첫째 성분의 출신은 \(A\), 둘째 성분의 출신은 \(B\) — 곱의 순서가 성분의 순서를 정한다

조각 삭제 실험. 상등 기준에서 “\(a = c\)”를 지워 보자. 둘째 성분만 같으면 같은 순서쌍이 되어 \((1, 5) = (2, 5)\) — 가로 좌표 정보가 통째로 사라지고, 한 수평선 위의 점 전부가 한 점으로 뭉개진다. §1.1의 붕괴가 방향만 바꿔 재연되는 것이다. 상등 기준의 두 조각 “\(a = c\)”와 “\(b = d\)”가 각각 좌표 하나씩을 지키고 있다.

확인 4. 상등 기준은 판정에만 쓰는 것이 아니라 정보를 꺼내는 데도 쓴다.

등식 \((x, y) = (3, 7)\)이 주는 정보를 등식으로 전부 적어 보자.

답

\(x = 3\) 그리고 \(y = 7\). 순서쌍 등식 하나가 보통 등식 두 개와 같은 말이다.

(이 꺼내기가 28주차에서 집합 등식 증명의 부품으로 쓰인다.)

4 크기 — 지금은 인정하고 쓴다#

사실 (곱셈 원리의 예고). \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\).

확인 3의 격자가 이유를 이미 보여 준다 — 행마다 \(|B|\)개씩 \(|A|\)줄. 일반적인 증명은 12주차 곱셈 원리에서 한다. 지금은 인정하고 쓴다.

확인 5. \(|A| = 4\), \(|B| = 25\)이면 \(|A \times B|\)와 \(|B \times A|\)는 각각 얼마인가.

두 값이 같은 이유를 확인 3의 격자(행\(\cdot\)열)로 설명해 보자.

답

둘 다 \(4 \cdot 25 = 100\). 이유 — \(A \times B\)의 격자는 행 \(4\)줄에 열 \(25\)칸이고,

\(B \times A\)의 격자는 행 \(25\)줄에 열 \(4\)칸이다. 행과 열의 역할만 서로 바뀌었을

뿐 칸의 총수는 수의 곱셈 \(4 \cdot 25 = 25 \cdot 4\)이므로 같다.

그렇다면 집합 \(A \times B\)와 \(B \times A\) 자체도 같은가 — 이 물음은

예제 2.2에서 상등 기준으로 판정한다.

5 좌표평면의 정체#

\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{R}\}\) — 중학교 이후 늘 쓰던 좌표평면이 바로 이 집합이다. \(\mathbb{R}^2\)(“알 제곱”)로 줄여 쓴다. 같은 방식으로 \(\mathbb{R}^3\)(공간), \(A \times B \times C\)(순서 3중쌍 \((a,b,c)\)들의 집합)도 정의된다.

부분집합끼리의 곱은 좌표평면의 영역이 된다:

\[ [1, 3] \times [0, 2] = \{(x, y) : 1 \le x \le 3,\ 0 \le y \le 2\} \]

— 가로 \([1, 3]\), 세로 \([0, 2]\)인 직사각형 영역이다.

확인 6. 점 \((2, 1)\)과 점 \((0, 1)\)은 각각 \([1, 3] \times [0, 2]\)의 원소인가.

정의의 두 조건(“첫째 성분 \(\in [1,3]\) 그리고 둘째 성분 \(\in [0,2]\)”)으로 판정해 보자.

답

\((2, 1)\): \(2 \in [1, 3]\) 그리고 \(1 \in [0, 2]\) — 원소다.

\((0, 1)\): \(1 \in [0, 2]\)이지만 \(0 \notin [1, 3]\) — 원소가 아니다.

두 조건 중 하나만 탈락해도 순서쌍 전체가 탈락한다. 5주차 교집합에서 쓰던

“그리고”의 판정법이 그대로 작동한다.

6 집합이 여러 개 — 첨자 집합#

집합 두 개면 \(A \cup B\)로 충분했다. 그런데 집합이 다섯 개, 백 개, 자연수만큼 무한히 많다면 —

시도 — 점점점으로 밀어붙이기

\(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_{100}\), 나아가 \(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots\)

백 개까지는 손이 아플 뿐이다. 무한 개가 되면 다른 문제가 생긴다 —

“\(\cdots\)”는 어떤 \(x\)가 이 합집합에 속하는지 판정 기준을 주지 않는다.

\(x\)가 원소인지 물으면, 정확히 무엇을 확인하라는 것인가?

확인 7. \(x \in A \cup B\)의 판정 기준은 “\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)”였다(5주차).

집합이 \(A_1, \dots, A_{100}\)으로 백 개라면 이 기준은 어떤 문장이 되어야 하는가.

“또는”을 백 번 쓰지 말고 한 문장으로 적어 보자.

답

“백 개 중 적어도 하나의 \(A_i\)에 대해 \(x \in A_i\)이다.”

“또는”의 사슬 전체를 “적어도 하나”라는 낱말 하나가 대신한다. 같은 요령으로

“그리고”의 사슬은 “모든”이 대신한다. 이 두 문장을 조건제시법에 넣으면

정의가 완성된다.

집합마다 첨자 \(i\)를 붙이고(\(A_i\)는 “에이 아이”로 읽는다 — \(i\)번째 집합), 번호들을 모아 둔 집합 \(I\)(첨자 집합, index set)를 둔다.

정의 6.2 — 첨자 집합의 합집합과 교집합 (indexed sets) [백지 암기 대상]#

\[ \bigcup_{i \in I} A_i = \{x : \text{적어도 하나의 } i \in I\text{에 대해 } x \in A_i\} \]

\[ \bigcap_{i \in I} A_i = \{x : \text{모든 } i \in I\text{에 대해 } x \in A_i\} \]

\(I\)는 첨자들의 집합이다(예: \(I = \{1, 2, 3\}\), \(I = \mathbb{N}\)). \(I = \{1, \dots, n\}\)이면 \(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\)로도 쓴다. 읽는 법 — \(\bigcup_{i \in I} A_i\)는 “\(I\)의 \(i\)에 걸친 \(A_i\)들의 합집합”으로 읽고, 원소 판정은 “적어도 하나”, \(\bigcap\)은 “모든”으로 한다.

조각	하는 일	계산에서의 역할
첨자 \(i\), 첨자 집합 \(I\)	집합들에 첨자를 붙인다	집합이 몇 개든 — \(I\)가 무한이어도 — 한꺼번에 가리킨다
“적어도 하나의 \(i\)”	\(\bigcup\)의 판정 기준	\(x\)가 들어오려면 \(A_i\) 하나만 대면 된다
“모든 \(i\)”	\(\bigcap\)의 판정 기준	\(x\)가 살아남으려면 전부를 통과해야 한다 — 하나에서만 탈락해도 끝이다

예. \(A_i = \{i, i+1\}\) (\(i \in \{1, 2, 3\}\))로 두 기준을 실제로 돌려 보자.

확인 8. \(A_1, A_2, A_3\)을 나열하고 \(\bigcup_{i=1}^{3} A_i\)와 \(\bigcap_{i=1}^{3} A_i\)를

구해 보자. 교집합에서는 후보 하나하나에 “모든 \(A_i\)에 들어 있는가”를 심문한다.

답

\(A_1 = \{1,2\}\), \(A_2 = \{2,3\}\), \(A_3 = \{3,4\}\).

합집합: 셋 중 하나에라도 든 수 전부 — \(\{1, 2, 3, 4\}\).

교집합: \(1\)은 \(A_2\)에서, \(2\)는 \(A_3\)에서, \(3\)은 \(A_1\)에서, \(4\)는 \(A_1\)에서 탈락 —

셋 모두에 든 수가 없으므로 \(\emptyset\).

이웃끼리는 겹치는데(\(A_1 \cap A_2 = \{2\}\)) 전체의 공통은 비었다 —

“모든”은 짝끼리의 겹침보다 훨씬 강한 요구다.

“적어도 하나 = 또는의 확장”, “모든 = 그리고의 확장” — 이 두 낱말은 10주차에서 양화사(\(\exists\), \(\forall\))라는 기호를 얻는다. 이 정의가 그 예고편이다.

7 읽을거리 — 러셀의 역설 (Russell’s Paradox)#

“모든 집합의 집합”처럼 아무 모임이나 집합으로 인정하면 모순이 생긴다. \(R = \{X : X \notin X\}\) — 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 모임 — 라 하자. \(R\)은 자기 자신의 원소인가. \(R \in R\)이라 하면 \(R\)은 조건 “\(X \notin X\)”를 만족해야 하므로 \(R \notin R\)이고, \(R \notin R\)이라 하면 조건을 만족하므로 \(R \in R\)이다. 어느 쪽을 골라도 모순이다. 이 발견(1901) 때문에 현대 수학은 집합을 공리로 엄격히 관리한다. 시험 범위 밖의 읽을거리다 — 49주차(칸토어의 정리)에서 이 자기 참조 구조와 재회한다.