# 6주차 — 데카르트 곱, 첨자 집합 + 1부 총정리

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 좌표평면은 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$이라는 집합이다.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 6주차. 1부(집합)의 마지막 주 — 데카르트 곱과 첨자 집합을 더하고, 총정리 모의시험으로 3~6주차를 닫는다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 1.2, 1.8, 1.10(읽을거리) — 병행자 참고용. 원서 없이 읽을 수 있다.
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## 이번 주 목표

1. 순서쌍과 $A \times B$의 정의를 쓰고, $\{a,b\}$와 $(a,b)$를 상등 기준으로 구분한다.
1. $|A \times B| = |A| \cdot |B|$를 사용한다.
1. 첨자 집합 $\bigcup_{i \in I} A_i$, $\bigcap_{i \in I} A_i$ 표기를 "적어도 하나/모든"으로 읽는다.
1. 1부(집합) 총정리 모의시험으로 3~6주차 내용을 자가 평가한다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (5주차 복습)

1. $A - B$의 정의를 조건제시법으로 쓰시오.
1. 드모르간 법칙 두 개를 쓰시오.
1. $[1, 3) \cap (2, 5]$를 구하시오.

답은 §6 해설 맨 앞에 있다. 채점까지 마친 뒤 본문으로 들어간다.

### 자주 나오는 답 — 세 유형

채점 결과는 대개 다음 세 유형 중 하나로 갈린다. 셋 다 5주차 내용을 절반 이상 소화한 상태이고, 셋 다 이번 주 모의시험 전에 메워야 할 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 말로는 되는데 조건제시법이 안 나온다.** "$A$에는 있고 $B$에는 없는

원소들"이라고 적는다. 내용은 옳다. 간격은 형식이다 — $\{x : x \in A \text{ 그리고 } x \notin B\}$ 라는 조건제시법 틀이 나와야 증명(문제 9, 19)에서 정의를 풀어 쓸 수 있다. 이번 주 문제 1이 정확히 이 형식을 묻는다.

- **유형 2 — 드모르간에서 기호가 뒤집히지 않는다.** $(A \cup B)^c = A^c \cup B^c$로

적는 경우가 많다. 여집합이 괄호를 그대로 통과한다는 습관 — 분배법칙의 과잉 일반화다. 수치 반례 하나로 잡힌다: $U = \{1,2\}$, $A = \{1\}$, $B = \{2\}$이면 좌변은 $\emptyset$, 오른쪽 식은 $\{1,2\}$. 진술과 수치 확인이 이번 주의 요구 수준이고, 증명은 27주차에서 한다.

- **유형 3 — 끝점이 틀린다.** $[1,3) \cap (2,5]$를 $(2, 3]$로 적는 경우가 많다.

구간의 모양(둥근/각진 괄호)만 보고 답의 모양을 정한 것이 원인이다. 끝점 3이 **왼쪽 구간에 속하는지**를 심문하면 — $3 \notin [1,3)$ — 답의 오른쪽 끝이 열려야 함이 정해진다. 끝점마다 소속을 심문하는 것이 구간 연산의 전부다.

## 개념 — 순서쌍, 데카르트 곱, 첨자 집합

### 1 집합에 좌표를 담으면 어디서 무너지는가

지금까지의 도구는 집합 하나다. 이 도구로 좌표평면의 점을 담아 보자.

:::{admonition} 시도 — 점을 집합으로 적기
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좌표평면의 점 "가로 1, 세로 2"를 $\{1, 2\}$로, 점 "가로 2, 세로 1"을 $\{2, 1\}$로 적는다.

그런데 3주차의 상등 기준 — 원소만 같으면 같은 집합 — 에 의해 $\{1, 2\} = \{2, 1\}$이다.

서로 다른 두 점이 같은 대상이 되었다.
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여기서 멈춘다. 순서 정보가 집합에 실리지 않는다.

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**확인 1.** 이 방식이 무너뜨리는 점이 한 부류 더 있다. 대각선 위의 점

"가로 3, 세로 3"을 집합으로 적으면 $\{3, 3\} = \underline{\quad}$ — 이번에는 어떤 정보가 사라지는가?
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:::{admonition} 답
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$\{3, 3\} = \{3\}$ — 원소 하나짜리 집합이 된다. 좌표가 **두 개**라는 사실

자체가 사라진다. 집합은 순서를 무시하고 중복을 흡수한다 — 3~5주차 내내

편리하던 두 성질이, 좌표를 담는 일에서는 정확히 결함이 된다.

필요한 것은 순서와 자리를 기억하는 새 대상이다.
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### 2 순서를 기억하는 대상 — 표부터 채우기

괄호를 바꿔 $(1, 2)$로 적고, 첫째 자리와 둘째 자리를 구별하기로 하자. 이 표기가 실제로 어떤 판정을 내려야 하는지 표로 확인한다. 기준은 좌표평면에서 늘 쓰던 그대로다 — 두 점이 같으려면 가로끼리 같고 세로끼리 같아야 한다.

| **두 대상** | **같은가** | **판정 근거** |
|---|---|---|
| $(1, 2)$와 $(2, 1)$ | 아니다 | 첫째 성분이 $1 \neq 2$ |
| $(5, 5)$와 $(5, 5)$ | 같다 | 첫째끼리, 둘째끼리 모두 같다 |
| $(1, 2)$와 $(1, 3)$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| $\{1, 2\}$와 $\{2, 1\}$ | 같다 | 집합 — 원소 목록만 대조한다 (3주차) |

:::{container} quotebox
**확인 2.** 표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) 아니다  (2) 둘째 성분이 $2 \neq 3$.

첫째 성분이 같아도 둘째가 다르면 다른 순서쌍이다. 판정은 언제나 성분 비교

**두 번** — 이것이 순서쌍의 상등 기준이 된다.
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이런 쌍을 한꺼번에 모으면 어떻게 되는가. $A = \{1, 2\}$에서 첫째 성분을, $B = \{x, y, z\}$에서 둘째 성분을 골라 만들 수 있는 순서쌍 전부를 격자에 채워 보자.

|  | **$x$** | **$y$** | **$z$** |
|---|---|---|---|
| $1$ | $(1, x)$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| $2$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $(2, y)$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 3.** 격자의 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 만들어진 순서쌍의 개수를 세어 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) $(1, y)$  (2) $(1, z)$  (3) $(2, x)$  (4) $(2, z)$ — 모두 6개다.

행이 2줄($A$의 원소 수), 열이 3칸($B$의 원소 수)이므로 $2 \times 3 = 6$.

첫째 성분은 $A$에서, 둘째 성분은 $B$에서 — 가능한 조합 전부를 모은 이

집합에 이름을 붙일 차례다.
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이 관찰에 정식 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 판정(성분 비교)과 나열(격자 채우기)을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

### 정의 6.1 — 순서쌍과 데카르트 곱 (ordered pair, Cartesian product) [백지 암기 대상]

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**순서쌍** $(a, b)$는 순서가 있는 두 대상의 나열이다: $(a, b) = (c, d) \iff a = c$ 그리고 $b = d$.

집합 $A, B$의 **데카르트 곱**은

$$
A \times B = \{(a, b) : a \in A,\ b \in B\}
$$
:::

읽는 법 — $A \times B$는 "에이 크로스 비"로 읽는다. 기호 $\iff$는 "왼쪽이 성립하는 것과 오른쪽이 성립하는 것은 같은 말이다"로 읽는다(정밀한 정의는 2부 논리에서 다룬다). 읽는 법까지가 정의다.

### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

| **조각** | **하는 일** | **계산$\cdot$증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| "순서가 있는 나열 $(a, b)$" | 새 대상의 선언 | 첫째 자리와 둘째 자리가 구별된다 — $\{a, b\}$가 못 하던 일 |
| "$(a,b) = (c,d) \iff a = c$ 그리고 $b = d$" | 상등 기준 제공 | 순서쌍에 관한 모든 판정이 성분 비교 두 번으로 환원된다 |
| "$\{(a, b) : \dots\}$" | 조건제시법 포장 (3주차) | $A \times B$는 새 종류의 대상이 아니라 **집합**이다 — $\in$, $\subseteq$, 멱집합, 크기 등 3~5주차 도구가 전부 적용된다 |
| "$a \in A,\ b \in B$" | 성분의 자격 제한 | 첫째 성분의 출신은 $A$, 둘째 성분의 출신은 $B$ — 곱의 순서가 성분의 순서를 정한다 |

**조각 삭제 실험.** 상등 기준에서 "$a = c$"를 지워 보자. 둘째 성분만 같으면 같은 순서쌍이 되어 $(1, 5) = (2, 5)$ — 가로 좌표 정보가 통째로 사라지고, 한 수평선 위의 점 전부가 한 점으로 뭉개진다. §1.1의 붕괴가 방향만 바꿔 재연되는 것이다. 상등 기준의 두 조각 "$a = c$"와 "$b = d$"가 각각 좌표 하나씩을 지키고 있다.

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**확인 4.** 상등 기준은 판정에만 쓰는 것이 아니라 정보를 꺼내는 데도 쓴다.

등식 $(x, y) = (3, 7)$이 주는 정보를 등식으로 전부 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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$x = 3$ 그리고 $y = 7$. 순서쌍 등식 **하나**가 보통 등식 **두 개**와 같은 말이다.

(이 꺼내기가 28주차에서 집합 등식 증명의 부품으로 쓰인다.)
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### 4 크기 — 지금은 인정하고 쓴다

**사실 (곱셈 원리의 예고).** $|A \times B| = |A| \cdot |B|$.

확인 3의 격자가 이유를 이미 보여 준다 — 행마다 $|B|$개씩 $|A|$줄. 일반적인 증명은 12주차 곱셈 원리에서 한다. 지금은 인정하고 쓴다.

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**확인 5.** $|A| = 4$, $|B| = 25$이면 $|A \times B|$와 $|B \times A|$는 각각 얼마인가.

두 값이 같은 이유를 확인 3의 격자(행$\cdot$열)로 설명해 보자.
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:::{admonition} 답
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둘 다 $4 \cdot 25 = 100$. 이유 — $A \times B$의 격자는 행 $4$줄에 열 $25$칸이고,

$B \times A$의 격자는 행 $25$줄에 열 $4$칸이다. 행과 열의 역할만 서로 바뀌었을

뿐 칸의 총수는 수의 곱셈 $4 \cdot 25 = 25 \cdot 4$이므로 같다.

그렇다면 집합 $A \times B$와 $B \times A$ **자체**도 같은가 — 이 물음은

예제 2.2에서 상등 기준으로 판정한다.
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### 5 좌표평면의 정체

$\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{R}\}$ — 중학교 이후 늘 쓰던 좌표평면이 바로 이 집합이다. $\mathbb{R}^2$("알 제곱")로 줄여 쓴다. 같은 방식으로 $\mathbb{R}^3$(공간), $A \times B \times C$(순서 3중쌍 $(a,b,c)$들의 집합)도 정의된다.

부분집합끼리의 곱은 좌표평면의 영역이 된다:

$$
[1, 3] \times [0, 2] = \{(x, y) : 1 \le x \le 3,\ 0 \le y \le 2\}
$$

— 가로 $[1, 3]$, 세로 $[0, 2]$인 직사각형 영역이다.

:::{container} quotebox
**확인 6.** 점 $(2, 1)$과 점 $(0, 1)$은 각각 $[1, 3] \times [0, 2]$의 원소인가.

정의의 두 조건("첫째 성분 $\in [1,3]$ 그리고 둘째 성분 $\in [0,2]$")으로 판정해 보자.
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:::{admonition} 답
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$(2, 1)$: $2 \in [1, 3]$ 그리고 $1 \in [0, 2]$ — 원소다.

$(0, 1)$: $1 \in [0, 2]$이지만 $0 \notin [1, 3]$ — 원소가 아니다.

두 조건 중 하나만 탈락해도 순서쌍 전체가 탈락한다. 5주차 교집합에서 쓰던

"그리고"의 판정법이 그대로 작동한다.
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### 6 집합이 여러 개 — 첨자 집합

집합 두 개면 $A \cup B$로 충분했다. 그런데 집합이 다섯 개, 백 개, 자연수만큼 무한히 많다면 —

:::{admonition} 시도 — 점점점으로 밀어붙이기
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$A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_{100}$, 나아가 $A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots$

백 개까지는 손이 아플 뿐이다. 무한 개가 되면 다른 문제가 생긴다 —

"$\cdots$"는 어떤 $x$가 이 합집합에 속하는지 **판정 기준**을 주지 않는다.

$x$가 원소인지 물으면, 정확히 무엇을 확인하라는 것인가?
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:::{container} quotebox
**확인 7.** $x \in A \cup B$의 판정 기준은 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"였다(5주차).

집합이 $A_1, \dots, A_{100}$으로 백 개라면 이 기준은 어떤 문장이 되어야 하는가.

"또는"을 백 번 쓰지 말고 한 문장으로 적어 보자.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"백 개 중 **적어도 하나**의 $A_i$에 대해 $x \in A_i$이다."

"또는"의 사슬 전체를 "적어도 하나"라는 낱말 하나가 대신한다. 같은 요령으로

"그리고"의 사슬은 "**모든**"이 대신한다. 이 두 문장을 조건제시법에 넣으면

정의가 완성된다.
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집합마다 첨자 $i$를 붙이고($A_i$는 "에이 아이"로 읽는다 — $i$번째 집합), 번호들을 모아 둔 집합 $I$(첨자 집합, index set)를 둔다.

### 정의 6.2 — 첨자 집합의 합집합과 교집합 (indexed sets) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
$$
\bigcup_{i \in I} A_i = \{x : \text{적어도 하나의 } i \in I\text{에 대해 } x \in A_i\}
$$

$$
\bigcap_{i \in I} A_i = \{x : \text{모든 } i \in I\text{에 대해 } x \in A_i\}
$$
:::

$I$는 첨자들의 집합이다(예: $I = \{1, 2, 3\}$, $I = \mathbb{N}$). $I = \{1, \dots, n\}$이면 $\bigcup_{i=1}^{n} A_i$로도 쓴다. 읽는 법 — $\bigcup_{i \in I} A_i$는 "$I$의 $i$에 걸친 $A_i$들의 합집합"으로 읽고, 원소 판정은 "적어도 하나", $\bigcap$은 "모든"으로 한다.

| **조각** | **하는 일** | **계산에서의 역할** |
|---|---|---|
| 첨자 $i$, 첨자 집합 $I$ | 집합들에 첨자를 붙인다 | 집합이 몇 개든 — $I$가 무한이어도 — 한꺼번에 가리킨다 |
| "적어도 하나의 $i$" | $\bigcup$의 판정 기준 | $x$가 들어오려면 $A_i$ **하나**만 대면 된다 |
| "모든 $i$" | $\bigcap$의 판정 기준 | $x$가 살아남으려면 **전부**를 통과해야 한다 — 하나에서만 탈락해도 끝이다 |

**예.** $A_i = \{i, i+1\}$ ($i \in \{1, 2, 3\}$)로 두 기준을 실제로 돌려 보자.

:::{container} quotebox
**확인 8.** $A_1, A_2, A_3$을 나열하고 $\bigcup_{i=1}^{3} A_i$와 $\bigcap_{i=1}^{3} A_i$를

구해 보자. 교집합에서는 후보 하나하나에 "모든 $A_i$에 들어 있는가"를 심문한다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$A_1 = \{1,2\}$, $A_2 = \{2,3\}$, $A_3 = \{3,4\}$.

합집합: 셋 중 하나에라도 든 수 전부 — $\{1, 2, 3, 4\}$.

교집합: $1$은 $A_2$에서, $2$는 $A_3$에서, $3$은 $A_1$에서, $4$는 $A_1$에서 탈락 —

셋 모두에 든 수가 없으므로 $\emptyset$.

이웃끼리는 겹치는데($A_1 \cap A_2 = \{2\}$) 전체의 공통은 비었다 —

"모든"은 짝끼리의 겹침보다 훨씬 강한 요구다.
:::

"적어도 하나 = 또는의 확장", "모든 = 그리고의 확장" — 이 두 낱말은 10주차에서 양화사($\exists$, $\forall$)라는 기호를 얻는다. 이 정의가 그 예고편이다.

### 7 읽을거리 — 러셀의 역설 (Russell's Paradox)

"모든 집합의 집합"처럼 아무 모임이나 집합으로 인정하면 모순이 생긴다. $R = \{X : X \notin X\}$ — 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 모임 — 라 하자. $R$은 자기 자신의 원소인가. $R \in R$이라 하면 $R$은 조건 "$X \notin X$"를 만족해야 하므로 $R \notin R$이고, $R \notin R$이라 하면 조건을 만족하므로 $R \in R$이다. 어느 쪽을 골라도 모순이다. 이 발견(1901) 때문에 현대 수학은 집합을 공리로 엄격히 관리한다. 시험 범위 밖의 읽을거리다 — 49주차(칸토어의 정리)에서 이 자기 참조 구조와 재회한다.