2주차 — 나누어떨어짐 (Divisibility)

이 주의 길잡이

핵심 문장: \(a \mid b\)는 수가 아니라 문장(명제)이다.

이 주의 위치: 50주 과정의 2주차. 구체적인 숫자가 하나도 없는 첫 추상 증명(추이성)을 쓴다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 4.2 (Definition 4.4) — 본격 활용은 15주차. 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표

1. \(a \mid b\)의 정의를 백지에 수식으로 쓰고, \(a \mid b\)(명제)와 \(\dfrac{b}{a}\)(수)를 구분할 수 있다.

2. 구체적인 수가 아닌 문자만으로 진행되는 첫 추상 증명(추이성)을 3단계 틀로 쓸 수 있다.

3. 증명 시작 전에 가정과 결론을 If–Then 분해표로 번역하는 루틴을 익히고, 거짓 명제를 반례로 반박한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (1주차 복습)

1. 홀수의 정의를 백지에 쓰시오.

2. “홀수 \(\times\) 홀수 = 홀수”를 안 보고 증명하시오. (1주차 문제 8이다. 막히면 1주차 예제 2.3으로 돌아갔다가 다시 시도한다.)

3. 두 짝수를 \(n = 2a\)와 \(m = 2a\)로 표현하면 안 되는 이유를 한 문장으로 쓰시오.

자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 결과만 선언. “홀수끼리 곱하면 항상 홀수다”라고 적고 끝낸다. 명제

자체는 옳다. 빠진 것은 근거다 — 1주차의 채점 기준대로, 정의를 풀고 목표 꼴 \(2(\text{정수}) + 1\)을 실제로 만들어 보이는 과정이 점수의 전부다.

• 유형 2 — 문자 재사용. \(m = 2a+1\), \(n = 2a+1\)로 잡고 전개한다. 전개 계산은

옳다. 문제는 같은 문자 \(a\)를 쓰는 순간 \(m = n\)을 몰래 가정한 것이 된다는 점이다(1주차 문제 6에서 해부했다). 준비 운동 3번이 정확히 이 지점을 묻는다.

• 유형 3 — 전개 후 정지. \(4ab + 2a + 2b + 1\)까지 전개하고 멈춘다. 재료는 다

모였다. 남은 것은 도착점의 확인이다 — \(+1\)만 남기고 나머지에서 2를 묶으면 \(2(2ab + a + b) + 1\)이 된다. 시작 전에 도착점을 적어 두는 습관(이번 주 예제 2.3의 분해표)이 이 정지를 막는다.

개념 — 나누어떨어짐의 정의

1 나눗셈으로 증명을 시도하면 어디서 막히는가

이번 주의 소재는 “나누어떨어진다”이다. 이미 아는 말 — “\(b\)가 \(a\)로 나누어떨어진다는 것은 \(b \div a\)가 정수라는 뜻” — 만으로 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자.

시도 — 나눗셈 풀이로 밀어붙이기

명제: \(a\)가 \(b\)를 나누고 \(b\)가 \(c\)를 나누면, \(a\)는 \(c\)를 나눈다.

“\(b \div a\)는 정수이고, \(c \div b\)도 정수이다. 따라서 \(c \div a\)는 … “

여기서 멈춘다. \(c \div a\)를 앞의 두 정보와 이어 줄 등식이 손에 없다. 나눗셈 기호가 주는 것은 “계산하라”는 지시이지, 변형의 재료가 되는 등식이 아니다. 분수로 잇는 길 — \(\frac{c}{a} = \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{a}\) — 이 보일 수도 있다. 그 계산은 정수 세계를 떠나 분수 세계를 경유하고, \(a\)나 \(b\)가 0인 순간 아예 정의되지 않는다(0으로 나누기). 1주차 §1.1에서 만난 것과 같은 자리다: 개념이 등식이 되어야 계산이 시작된다.

확인 1. 1주차에서 “짝수”를 등식 \(n = 2k\)로 바꾼 방식을 흉내 내면,

“\(a\)가 \(b\)를 나눈다”는 나눗셈 없이 어떤 곱셈 등식으로 적을 수 있는가?

“\(b = \underline{\quad}\)” 꼴로 짐작해 보자.

답

\(b = a \times (\text{정수})\) — 곧 “\(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다”이다.

(바로 위 명제가 \(a, b, c\)를 이미 쓰고 있으므로, 몫의 문자는 겹치지 않게

\(k\)로 잡았다 — 서로 다른 대상에는 서로 다른 문자다.)

나눗셈 대신 곱셈으로 적으면 정수 세계를 떠나지 않고, \(a = 0\)인 사례까지

같은 규칙 하나로 다룰 수 있다(§1.5와 문제 2에서 확인한다).

이 번역이 §1.2에서 정의가 된다.

2 곱셈 등식으로 — 정의를 만들어 보기

구체 사례부터 채워 보자. 각 행에서 “\(b = a \times (\text{무엇})\)”의 괄호를 채우고, 그 수가 정수인지 판정한다.

\(a\)	\(b\)	\(b = a \times (\text{무엇})\)	곱하는 수가 정수인가
\(6\)	\(18\)	\(6 \times 3\)	예
\(5\)	\(-35\)	\(5 \times \underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)
\(7\)	\(7\)	\(7 \times \underline{\quad(2)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)
\(4\)	\(10\)	\(4 \times \underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 마지막 행이 앞의 세 행과 다른 점을

한 문장으로 적어 보자.

답

(1) \(-7\) (2) \(1\) (3) \(2.5\). 앞의 세 행은 곱하는 수가 정수이고, 마지막

행만 정수가 아니다. “나누어떨어진다 / 아니다”의 경계가 정확히 “그런 정수의

존재 여부”와 일치한다 — 18은 6으로 나누어떨어지고, 10은 4로 나누어떨어지지

않는다. 이 관찰이 정의의 전부다.

이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 2.1 — 나누어떨어짐 (divides) [백지 암기 대상]

정수 \(a, b\)에 대해, \(a\)가 \(b\)를 나눈다(\(a \mid b\)로 표기)는 것은 \(b = ac\)인 정수 \(c\)가 존재한다는 뜻이다.

이때 \(a\)를 \(b\)의 약수(divisor), \(b\)를 \(a\)의 배수(multiple)라 한다.

\(a\)가 \(b\)를 나누지 않으면 \(a \nmid b\)로 쓴다.

기호 \(a \mid b\)는 “\(a\)는 \(b\)를 나눈다”로 읽는다. “\(b\)는 \(a\)로 나누어떨어진다”, “\(b\)는 \(a\)의 배수다”도 전부 같은 명제의 다른 읽기다. \(\nmid\)는 막대에 빗금을 그은 것 — “나누지 않는다”이다. 읽는 법까지가 정의다.

예. 정의로 네 사례를 판정해 보면 —

• \(6 \mid 18\): \(18 = 6 \times 3\)이고 \(3 \in \mathbb{Z}\). 참.

• \(5 \mid -35\): \(-35 = 5 \times (-7)\)이고 \(-7 \in \mathbb{Z}\). 참.

• \(4 \nmid 10\): \(10 = 4c\)를 만족하는 정수 \(c\)가 없다 (\(c = 2.5\)는 정수가 아니다).

• \(7 \mid 7\): \(7 = 7 \times 1\). 참 — 모든 정수는 자기 자신을 나눈다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.

조각	하는 일	증명에서의 역할
“정수 \(a, b\)에 대해”	무대의 선언	판정은 정수 세계 안에서 한다 — 분수를 경유하지 않는다
“\(b = ac\)인”	등식 제공	계산이 시작되는 지점 — 1.1의 막힘이 풀리는 자리
“정수 \(c\)가”	\(c\)의 자격 제한	이 조각이 빠지면 정의가 무너진다 (아래 실험)
“존재한다”	요구 조건의 명시	그런 \(c\)를 하나만 제시하면 조건이 성립한다

정의 문장의 \(c\)는 자리 이름일 뿐이다. 증명에서는 \(k\), \(l\) 등 아무 문자나 쓴다 — “\(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다”도 같은 정의다.

조각 삭제 실험. 셋째 조각의 “정수”를 지워 보자. 그러면 \(10 = 4 \times 2.5\)이므로 — \(c = 2.5\)가 허용되므로 — \(4 \mid 10\)이 참이 된다.

확인 3. “정수”라는 조각을 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가?

(\(4 \mid 10\)만의 문제인지, \(a \neq 0\)인 임의의 \(a, b\)는 어떤지 함께 생각해 보자.)

답

\(a \neq 0\)이면 모든 \(b\)에 대해 \(a \mid b\)가 되어 버린다

(임의의 \(b\)를 \(b = a \times \frac{b}{a}\)로 쓸 수 있다). 어느 수든 어느 수를

나눈다면 “나눈다”라는 말은 아무것도 구별하지 못한다 — 1주차 §1.3에서

“짝수”가 무너진 것과 같은 붕괴다. 정의의 조각 하나하나가 이 붕괴를 막는

조건이다.

“존재한다”는 방향에 따라 다르게 작동한다. 1주차 §1.3의 표와 같은 구분이다.

상황	“존재한다”가 하는 일
가정에 “\(a \mid b\)”가 있을 때	\(b = ak\)인 정수 \(k\)를 받아서 쓴다
목표가 “\(a \mid b\)”일 때	\(b = a \times (\text{정수})\) 꼴을 실제로 만들어 제시해야 한다

이 구분이 곧 예제 2.1의 설계에서 그대로 쓰인다.

4 막대의 방향, 그리고 명제라는 정체

방향. 정의에서 \(a \mid b\)의 \(a\)는 곱해지는 쪽(약수)이다. 좌우를 바꾸면 완전히 다른 명제가 된다.

확인 4. \(3 \mid 12\)와 \(12 \mid 3\)을 각각 정의로 판정해 보자.

답

\(3 \mid 12\): \(12 = 3 \times 4\)이고 \(4 \in \mathbb{Z}\)이므로 참.

\(12 \mid 3\): \(3 = 12c\)인 정수 \(c\)가 필요한데 \(c = \frac{1}{4}\)은 정수가 아니므로

거짓. 같은 두 수라도 막대의 방향이 바뀌면 참\(\cdot\)거짓이 뒤집힌다.

(문제 3이 이 판정을 일반적인 설명으로 완성하는 자리다.)

정체. \(a \mid b\)와 \(\dfrac{b}{a}\)는 생김새가 비슷하지만 정체가 다르다.

	\(a \mid b\)	\(b / a\)
정체	명제 (참 또는 거짓)	수 (계산 결과)
예	\(4 \mid 10\)은 거짓이다	\(10 / 4 = 2.5\)
방향	약수가 왼쪽	분자가 위

이 주 전체의 기준

\(a \mid b\)는 수가 아니라 문장(명제)이다. 계산하는 것이 아니라 참\(\cdot\)거짓을

판정한다. 판정 기준은 단 하나 — \(b = a \times (\text{정수})\)인 등식의 존재다.

확인 5. 어떤 답안에 “\(6 \mid 18 = 3\)”이라고 적혀 있다. 무엇이 잘못인가?

답

\(6 \mid 18\)은 명제이므로 값을 갖지 않는다 — “참 \(= 3\)”이라고 적은 셈이다.

값 3을 갖는 것은 수 \(18 / 6\)이다. 명제에는 참\(\cdot\)거짓을, 수에는 등호를 붙인다.

이 문법이 헷갈리는 표현들을 문제 6에서 전부 판별한다.

5 애매하면 정의로 — 0이 얽힌 사례

확인 6. \(3 \mid 0\)은 참인가. 느낌으로 답하지 말고 정의로 판정해 보자:

\(0 = 3 \times (\,\underline{\quad}\,)\)인 정수가 존재하는가?

답

존재한다: \(0 = 3 \times 0\)이고 \(0 \in \mathbb{Z}\). 따라서 \(3 \mid 0\)은 참이다.

“0이 끼면 애매하다”는 느낌은 정의 앞에서 사라진다 — 1주차 §1.5에서 세운

애매하면 정의로 돌아간다가 두 번째로 발동했다. 나머지 0 사례들

(\(0 \mid 7\), \(0 \mid 0\) 등)은 문제 2에서 같은 기준으로 직접 판정한다.

6 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개

1주차 §1.6에서 근거 ①~③을 세웠고, 근거 ④(이미 증명한 명제)를 예고했다. 이번 주에 목록이 다음처럼 갱신된다. 칸의 개수는 늘지 않는다 — ① 칸에 정의가 하나 추가되고, ④ 칸이 정식으로 쓰이기 시작할 뿐이다.

근거	내용	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	정의 1.1, 1.2, 2.1	“\(a \mid b\)” \(\leftrightarrow\) “\(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재” 사이를 번역한다
② 닫힘성	정수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 정수	“\(kl\)은 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다
③ 등식의 성질	대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산	\(c = bl\)에 \(b = ak\)를 대입한다
④ 이미 증명한 명제	1주차의 문제들, 이번 주의 예제\(\cdot\)문제	예제 2.2의 결과를 문제 11의 부품으로 쓴다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 나눗셈 계산(”\(18 \div 6 = 3\)이니까”)은 목록에 없다 — 그 관찰은 곱셈 등식 “\(18 = 6 \times 3\)”(근거 ①의 꼴)으로 바꿔 적어야 근거가 된다.

확인 7. 어떤 증명에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가?

허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(kl\)은 정수이므로” (나) “정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다”

(다) “\(40 \div 8 = 5\)이니까 당연히 나누어떨어진다”

답

(가) 허용 — 근거 ② 닫힘성. 정수 \(k, l\)의 곱은 정수다.

(나) 허용 — 근거 ① 정의. 가정의 “\(a \mid b\)”를 등식으로 푼 것이다.

(다) 불허 — 나눗셈 계산은 목록 밖이다. 같은 내용을 “\(40 = 8 \times 5\)이고

\(5 \in \mathbb{Z}\)”로 적으면 근거 ①이 되어 허용된다. 내용이 아니라 꼴이

근거의 자격을 정한다.

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 문장을 통째로만 외우지 말고 §1.3의 조각별 이유와 함께 외운다. 조각을 잊어도 이유에서 재구성할 수 있다.