# 2주차 — 나누어떨어짐 (Divisibility)

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: $a \mid b$는 수가 아니라 문장(명제)이다.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 2주차. 구체적인 숫자가 하나도 없는 첫 추상 증명(추이성)을 쓴다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 4.2 (Definition 4.4) — 본격 활용은 15주차. 원서 없이 읽을 수 있다.
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## 이번 주 목표

1. $a \mid b$의 **정의**를 백지에 수식으로 쓰고, $a \mid b$(명제)와 $\dfrac{b}{a}$(수)를 구분할 수 있다.
1. 구체적인 수가 아닌 **문자만으로** 진행되는 첫 추상 증명(추이성)을 3단계 틀로 쓸 수 있다.
1. 증명 시작 전에 가정과 결론을 If–Then 분해표로 번역하는 루틴을 익히고, 거짓 명제를 반례로 반박한다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (1주차 복습)

1. 홀수의 정의를 백지에 쓰시오.
1. "홀수 $\times$ 홀수 = 홀수"를 안 보고 증명하시오. (1주차 문제 8이다. 막히면 1주차 예제 2.3으로 돌아갔다가 다시 시도한다.)
1. 두 짝수를 $n = 2a$와 $m = 2a$로 표현하면 안 되는 이유를 한 문장으로 쓰시오.

### 자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 결과만 선언.** "홀수끼리 곱하면 항상 홀수다"라고 적고 끝낸다. 명제

자체는 옳다. 빠진 것은 근거다 — 1주차의 채점 기준대로, 정의를 풀고 목표 꼴 $2(\text{정수}) + 1$을 실제로 만들어 보이는 과정이 점수의 전부다.

- **유형 2 — 문자 재사용.** $m = 2a+1$, $n = 2a+1$로 잡고 전개한다. 전개 계산은

옳다. 문제는 같은 문자 $a$를 쓰는 순간 $m = n$을 몰래 가정한 것이 된다는 점이다(1주차 문제 6에서 해부했다). 준비 운동 3번이 정확히 이 지점을 묻는다.

- **유형 3 — 전개 후 정지.** $4ab + 2a + 2b + 1$까지 전개하고 멈춘다. 재료는 다

모였다. 남은 것은 도착점의 확인이다 — $+1$만 남기고 나머지에서 2를 묶으면 $2(2ab + a + b) + 1$이 된다. 시작 전에 도착점을 적어 두는 습관(이번 주 예제 2.3의 분해표)이 이 정지를 막는다.

## 개념 — 나누어떨어짐의 정의

### 1 나눗셈으로 증명을 시도하면 어디서 막히는가

이번 주의 소재는 "나누어떨어진다"이다. 이미 아는 말 — "$b$가 $a$로 나누어떨어진다는 것은 $b \div a$가 정수라는 뜻" — 만으로 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자.

:::{admonition} 시도 — 나눗셈 풀이로 밀어붙이기
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명제: $a$가 $b$를 나누고 $b$가 $c$를 나누면, $a$는 $c$를 나눈다.

"$b \div a$는 정수이고, $c \div b$도 정수이다. 따라서 $c \div a$는 … "
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여기서 멈춘다. $c \div a$를 앞의 두 정보와 이어 줄 등식이 손에 없다. 나눗셈 기호가 주는 것은 "계산하라"는 지시이지, 변형의 재료가 되는 등식이 아니다. 분수로 잇는 길 — $\frac{c}{a} = \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{a}$ — 이 보일 수도 있다. 그 계산은 정수 세계를 떠나 분수 세계를 경유하고, $a$나 $b$가 0인 순간 아예 정의되지 않는다(0으로 나누기). 1주차 §1.1에서 만난 것과 같은 자리다: 개념이 **등식**이 되어야 계산이 시작된다.

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**확인 1.** 1주차에서 "짝수"를 등식 $n = 2k$로 바꾼 방식을 흉내 내면,

"$a$가 $b$를 나눈다"는 나눗셈 없이 어떤 곱셈 등식으로 적을 수 있는가?

"$b = \underline{\quad}$" 꼴로 짐작해 보자.
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:::{admonition} 답
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$b = a \times (\text{정수})$ — 곧 "$b = ak$인 정수 $k$가 존재한다"이다.

(바로 위 명제가 $a, b, c$를 이미 쓰고 있으므로, 몫의 문자는 겹치지 않게

$k$로 잡았다 — 서로 다른 대상에는 서로 다른 문자다.)

나눗셈 대신 곱셈으로 적으면 정수 세계를 떠나지 않고, $a = 0$인 사례까지

같은 규칙 하나로 다룰 수 있다(§1.5와 문제 2에서 확인한다).

이 번역이 §1.2에서 정의가 된다.
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### 2 곱셈 등식으로 — 정의를 만들어 보기

구체 사례부터 채워 보자. 각 행에서 "$b = a \times (\text{무엇})$"의 괄호를 채우고, 그 수가 정수인지 판정한다.

| **$a$** | **$b$** | **$b = a \times (\text{무엇})$** | **곱하는 수가 정수인가** |
|---|---|---|---|
| $6$ | $18$ | $6 \times 3$ | 예 |
| $5$ | $-35$ | $5 \times \underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad}$ |
| $7$ | $7$ | $7 \times \underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad}$ |
| $4$ | $10$ | $4 \times \underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad}$ |

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**확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 마지막 행이 앞의 세 행과 다른 점을

한 문장으로 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) $-7$  (2) $1$  (3) $2.5$. 앞의 세 행은 곱하는 수가 **정수**이고, 마지막

행만 정수가 아니다. "나누어떨어진다 / 아니다"의 경계가 정확히 "그런 정수의

존재 여부"와 일치한다 — 18은 6으로 나누어떨어지고, 10은 4로 나누어떨어지지

않는다. 이 관찰이 정의의 전부다.
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이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

### 정의 2.1 — 나누어떨어짐 (divides) [백지 암기 대상]

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정수 $a, b$에 대해, **$a$가 $b$를 나눈다**($a \mid b$로 표기)는 것은 $b = ac$인 정수 $c$가 존재한다는 뜻이다.

이때 $a$를 $b$의 **약수**(divisor), $b$를 $a$의 **배수**(multiple)라 한다.

$a$가 $b$를 나누지 않으면 $a \nmid b$로 쓴다.
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기호 $a \mid b$는 "$a$는 $b$를 나눈다"로 읽는다. "$b$는 $a$로 나누어떨어진다", "$b$는 $a$의 배수다"도 전부 같은 명제의 다른 읽기다. $\nmid$는 막대에 빗금을 그은 것 — "나누지 않는다"이다. 읽는 법까지가 정의다.

**예.** 정의로 네 사례를 판정해 보면 —

- $6 \mid 18$: $18 = 6 \times 3$이고 $3 \in \mathbb{Z}$. 참.
- $5 \mid -35$: $-35 = 5 \times (-7)$이고 $-7 \in \mathbb{Z}$. 참.
- $4 \nmid 10$: $10 = 4c$를 만족하는 **정수** $c$가 없다 ($c = 2.5$는 정수가 아니다).
- $7 \mid 7$: $7 = 7 \times 1$. 참 — 모든 정수는 자기 자신을 나눈다.

### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| "정수 $a, b$에 대해" | 무대의 선언 | 판정은 정수 세계 안에서 한다 — 분수를 경유하지 않는다 |
| "$b = ac$인" | **등식** 제공 | 계산이 시작되는 지점 — 1.1의 막힘이 풀리는 자리 |
| "정수 $c$가" | $c$의 자격 제한 | 이 조각이 빠지면 정의가 무너진다 (아래 실험) |
| "존재한다" | 요구 조건의 명시 | 그런 $c$를 **하나만** 제시하면 조건이 성립한다 |

정의 문장의 $c$는 자리 이름일 뿐이다. 증명에서는 $k$, $l$ 등 아무 문자나 쓴다 — "$b = ak$인 정수 $k$가 존재한다"도 같은 정의다.

**조각 삭제 실험.** 셋째 조각의 "정수"를 지워 보자. 그러면 $10 = 4 \times 2.5$이므로 — $c = 2.5$가 허용되므로 — $4 \mid 10$이 참이 된다.

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**확인 3.** "정수"라는 조각을 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가?

($4 \mid 10$만의 문제인지, $a \neq 0$인 임의의 $a, b$는 어떤지 함께 생각해 보자.)
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:::{admonition} 답
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$a \neq 0$이면 **모든** $b$에 대해 $a \mid b$가 되어 버린다

(임의의 $b$를 $b = a \times \frac{b}{a}$로 쓸 수 있다). 어느 수든 어느 수를

나눈다면 "나눈다"라는 말은 아무것도 **구별하지 못한다** — 1주차 §1.3에서

"짝수"가 무너진 것과 같은 붕괴다. 정의의 조각 하나하나가 이 붕괴를 막는

조건이다.
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**"존재한다"는 방향에 따라 다르게 작동한다.** 1주차 §1.3의 표와 같은 구분이다.

| **상황** | **"존재한다"가 하는 일** |
|---|---|
| 가정에 "$a \mid b$"가 있을 때 | $b = ak$인 정수 $k$를 **받아서** 쓴다 |
| 목표가 "$a \mid b$"일 때 | $b = a \times (\text{정수})$ 꼴을 실제로 만들어 **제시해야** 한다 |

이 구분이 곧 예제 2.1의 설계에서 그대로 쓰인다.

### 4 막대의 방향, 그리고 명제라는 정체

**방향.** 정의에서 $a \mid b$의 $a$는 곱해지는 쪽(약수)이다. 좌우를 바꾸면 완전히 다른 명제가 된다.

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**확인 4.** $3 \mid 12$와 $12 \mid 3$을 각각 정의로 판정해 보자.
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:::{admonition} 답
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$3 \mid 12$: $12 = 3 \times 4$이고 $4 \in \mathbb{Z}$이므로 참.

$12 \mid 3$: $3 = 12c$인 정수 $c$가 필요한데 $c = \frac{1}{4}$은 정수가 아니므로

거짓. 같은 두 수라도 막대의 방향이 바뀌면 참$\cdot$거짓이 뒤집힌다.

(문제 3이 이 판정을 일반적인 설명으로 완성하는 자리다.)
:::

**정체.** $a \mid b$와 $\dfrac{b}{a}$는 생김새가 비슷하지만 정체가 다르다.

|  | **$a \mid b$** | **$b / a$** |
|---|---|---|
| 정체 | **명제** (참 또는 거짓) | **수** (계산 결과) |
| 예 | $4 \mid 10$은 거짓이다 | $10 / 4 = 2.5$ |
| 방향 | 약수가 왼쪽 | 분자가 위 |

:::{admonition} 이 주 전체의 기준
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$a \mid b$는 수가 아니라 문장(명제)이다. 계산하는 것이 아니라 참$\cdot$거짓을

판정한다. 판정 기준은 단 하나 — $b = a \times (\text{정수})$인 등식의 존재다.
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:::{container} quotebox
**확인 5.** 어떤 답안에 "$6 \mid 18 = 3$"이라고 적혀 있다. 무엇이 잘못인가?
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:::{admonition} 답
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$6 \mid 18$은 명제이므로 값을 갖지 않는다 — "참 $= 3$"이라고 적은 셈이다.

값 3을 갖는 것은 수 $18 / 6$이다. 명제에는 참$\cdot$거짓을, 수에는 등호를 붙인다.

이 문법이 헷갈리는 표현들을 문제 6에서 전부 판별한다.
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### 5 애매하면 정의로 — 0이 얽힌 사례

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**확인 6.** $3 \mid 0$은 참인가. 느낌으로 답하지 말고 정의로 판정해 보자:

$0 = 3 \times (\,\underline{\quad}\,)$인 **정수**가 존재하는가?
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:::{admonition} 답
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존재한다: $0 = 3 \times 0$이고 $0 \in \mathbb{Z}$. 따라서 $3 \mid 0$은 참이다.

"0이 끼면 애매하다"는 느낌은 정의 앞에서 사라진다 — 1주차 §1.5에서 세운

**애매하면 정의로 돌아간다**가 두 번째로 발동했다. 나머지 0 사례들

($0 \mid 7$, $0 \mid 0$ 등)은 문제 2에서 같은 기준으로 직접 판정한다.
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### 6 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개

1주차 §1.6에서 근거 ①~③을 세웠고, 근거 ④(이미 증명한 명제)를 예고했다. 이번 주에 목록이 다음처럼 갱신된다. 칸의 개수는 늘지 않는다 — ① 칸에 정의가 하나 추가되고, ④ 칸이 정식으로 쓰이기 시작할 뿐이다.

| **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 정의 1.1, 1.2, **2.1** | "$a \mid b$" $\leftrightarrow$ "$b = ak$인 정수 $k$가 존재" 사이를 번역한다 |
| ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수 | "$kl$은 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 |
| ③ 등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 | $c = bl$에 $b = ak$를 대입한다 |
| ④ 이미 증명한 명제 | 1주차의 문제들, 이번 주의 예제$\cdot$문제 | 예제 2.2의 결과를 문제 11의 부품으로 쓴다 |

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 나눗셈 계산("$18 \div 6 = 3$이니까")은 목록에 없다 — 그 관찰은 곱셈 등식 "$18 = 6 \times 3$"(근거 ①의 꼴)으로 바꿔 적어야 근거가 된다.

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**확인 7.** 어떤 증명에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가?

허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) "$kl$은 정수이므로"  (나) "정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다"

(다) "$40 \div 8 = 5$이니까 당연히 나누어떨어진다"
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:::{admonition} 답
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(가) 허용 — 근거 ② 닫힘성. 정수 $k, l$의 곱은 정수다.

(나) 허용 — 근거 ① 정의. 가정의 "$a \mid b$"를 등식으로 푼 것이다.

(다) 불허 — 나눗셈 계산은 목록 밖이다. 같은 내용을 "$40 = 8 \times 5$이고

$5 \in \mathbb{Z}$"로 적으면 근거 ①이 되어 허용된다. 내용이 아니라 **꼴**이

근거의 자격을 정한다.
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정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 문장을 통째로만 외우지 말고 §1.3의 조각별 이유와 함께 외운다. 조각을 잊어도 이유에서 재구성할 수 있다.