C2주차 — 집합: 두 번째 언어로 다시

이 주의 길잡이

핵심 문장: 이번 주의 정의 셋은 모두 1권에 대응이 있다 — 새로 얻는 것은 수학이 아니라, 흩어져 있던 것을 한 장에 모으고 각각에 판정 가능한 조건을 붙이는 일이다.

이 주의 위치: 2학기(Chartrand) 20주의 C2주차. C1주차가 답안의 전달 규칙을 확정했다면, 이번 주는 그 규칙으로 적을 첫 소재를 받는다. 1권 3~6주차의 집합, 1권 27~28주차의 증명 서식, 1권 37주차의 분할이 여기서 한 장에 모이고, 그중 분할은 C11주차 동치관계의 씨앗이 된다.

원서 대응: Chartrand 1장(Sets). 주간 루틴 1일차에 원서 1장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표

1. 집합의 기본(원소\(\cdot\)부분집합\(\cdot\)상등\(\cdot\)멱집합\(\cdot\)연산\(\cdot\)데카르트 곱)을 Chartrand의 표기로 재확립하고, 그중 1권과 표기가 실제로 갈리는 다섯 항목을 대조표로 정리한다.

2. 집합-생성 표기법 \(\{x \in S : P(x)\}\)를 정확히 읽고 쓰며, 모집단 조각 \(\in S\)가 하는 일을 삭제 실험으로 말할 수 있다.

3. 인덱스 집합족 \(\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}\)과 그 합집합\(\cdot\)교집합을 \(\exists\)\(\cdot\)\(\forall\)로 번역하고, 인덱스가 무한일 때도 같은 정의가 작동함을 보일 수 있다.

4. 집합의 분할을 세 조건(비공집합\(\cdot\)쌍마다 서로소\(\cdot\)덮음)으로 정의하고, 주어진 모임이 분할인지 네 걸음으로 판정할 수 있다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (C1주차·1권 3~6주차·1권 27주차 복습)

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

1. C1주차 §1.3의 기호 사용 10원칙 중 세 개를 골라 원칙 번호와 함께 쓰시오. 이번 주의 모든 답안이 그 목록의 검사를 받는다.

2. 1권 3~6주차의 집합 기호를 백지에 쓰시오: \(\in\), \(\subseteq\), \(\emptyset\), \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\), \(A^c\), \(\mathcal{P}(A)\), \(A \times B\), \(|A|\).

3. 1권 27주차 §1.5의 원소 추적 세 걸음을 쓰시오. 이번 주의 증명은 전부 그 세 걸음 위에 얹힌다.

자주 나오는 세 가지 답

세 문제를 적은 뒤 “그래서 이번 주에 새로 배우는 것이 무엇인가”에 답해 보면, 대개 다음 세 가지 중 하나가 나온다. 셋 다 1권을 끝낸 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 새로 배우는 것이 없다. “집합은 1권 3~6주차에서 다 했다.” 옳은

부분이 크다. 이번 주가 세우는 정의 셋은 전부 1권에 대응이 있고, 기호도 거의 같다. 간격은 배치에 있다. 1권에서 이 셋은 세 곳에 흩어져 서로 다른 목적으로 등장했다 — 조건제시법은 1권 3주차의 표기 훈련, 첨자 집합은 1권 6주차의 표기 소개, 분할은 1권 37주차의 동치관계 마무리였다. 흩어져 있는 동안에는 셋을 한 문제에서 함께 쓰는 일이 요구된 적이 없다. §1.1이 그 요구가 처음 생기는 자리다.

• 유형 2 — 기호 대조표만 외우면 된다. “\(A^c\)가 \(\overline{A}\)로 바뀌는 정도다.”

이 관찰도 옳다. §1.2의 대조표를 채워 보면 수학이 달라진 행이 하나도 없다. 간격은 대조표가 표기의 차이만 적을 뿐 그 표기가 지는 하중까지는 적지 못한다는 데 있다. 모집단 조각 \(\in S\)는 1권 정의 3.3에도 이미 있었고, 1권 3주차의 무대 조각 삭제 실험은 그 조각을 빼면 어느 집합인지 정해지지 않는다는 모호성까지를 짚었다. 이번 주는 같은 조각을 빼면 모순이 나온다는 데까지 간다(§1.3 삭제 실험 1). 표기의 세부로 보이던 것이 실은 공리 층의 조각인 경우다.

• 유형 3 — 분할은 1권 37주차에서 증명까지 했다. 1권 정의 37.3과 이번 주의

정의는 세 조건이 같으므로 이 답도 옳다. 1권 37주차 §1.6도 관계를 쓰지 않고 던져진 부분집합 모임 넷을 판정시킨 뒤 정의를 세웠으므로, 판정이 처음이라고 말할 수도 없다. 간격은 조각의 개수에 있다. 1권이 다룬 분할은 조각이 유한한 것뿐이었고, 조각이 무한히 많은 분할이 여기서 처음 들어온다(문제 15). 그에 맞춰 조건 ③도 말로 적던 “조각들의 합집합”에서 인덱스 합집합 \(\bigcup_{X \in \mathcal{S}} X = A\)라는 한 줄로 바뀐다.

개념 — 모아 두는 언어

1 이항 연산만으로는 적을 수 없는 주장

이번 주의 도구가 왜 필요한지부터 확인한다. 1권 5주차의 집합 연산만 손에 쥐고 다음 과제를 처리해 보자.

과제 — 나눔을 적어 보기

\(r = 0, 1, 2\)에 대해 \([r] = \{n \in \mathbb{Z} : n \equiv r \pmod 3\}\)이라 하고 모임 \(\mathcal{S} = \{[0], [1], [2]\}\)을 놓는다. “\(\mathcal{S}\)가 \(\mathbb{Z}\)를 겹침 없이 빠짐없이 나눈다”는 주장을 이항 연산 \(\cup\), \(\cap\)만으로 적어 보자.

가장 먼저 나오는 시도는 다음 한 줄이다.

시도 1. “\([0] \cup [1] \cup [2] = \mathbb{Z}\)이고 \([0] \cap [1] \cap [2] = \emptyset\)이다.”

확인 1. 시도 1의 두 줄은 원래 주장을 담고 있는가. 담지 못한다면, 두 줄을 전부 만족하면서도 조각이 겹치는 예를 하나 만들어 보자.

답

담지 못한다. 반례는 \(A = \{1,2\}\), \(B = \{2,3\}\), \(C = \{1,3\}\)이다. 합집합은

\(\{1,2,3\}\)이므로 덮음은 성립하고, 세 집합에 동시에 속하는 원소는 없으므로

\(A \cap B \cap C = \emptyset\)도 성립한다. 그런데 세 쌍이 모두 겹친다 —

\(A \cap B = \{2\}\), \(B \cap C = \{3\}\), \(A \cap C = \{1\}\)이다.

삼중 교집합이 비었다는 조건은 겹침 없음보다 훨씬 약하다.

시도 2. 겹침 없음을 쌍 단위로 적는다 — “\([0] \cap [1] = \emptyset\)이고 \([0] \cap [2] = \emptyset\)이고 \([1] \cap [2] = \emptyset\)이다.”

이번에는 주장이 담긴다. 조각이 세 개이므로 세 줄이면 된다. 그러나 조각의 개수가 \(k\)이면 줄은 \(\binom{k}{2}\)개로 늘고, 조각이 무한히 많으면 나열 자체가 끝나지 않는다. 조각이 무한한 나눔은 드물지 않다 — 실수 전체를 반개구간 \([n, n+1)\)들로 나누면 조각이 정수 개수만큼 있다(문제 15).

확인 2. 조각이 무한히 많을 때 시도 2가 막히는 이유를 한 문장으로 적고, 그 막힘을 풀려면 표기와 조건 각각에 무엇이 필요한지 적어 보자.

답

이항 연산은 집합 두 개를 받아 하나를 내놓는 규칙이므로 유한 번만 반복되고,

조각이 무한하면 나열이 끝나지 않는다. 필요한 것은 둘이다. 표기 쪽에서는

조각들의 모임 전체를 한 이름으로 부르고 그 합집합을 한 기호로 적는 장치가

필요하고(§1.4의 인덱스 집합족), 조건 쪽에서는 조각을 하나씩 세는 대신 “서로

다른 두 조각”에 한 번에 거는 전칭 조건이 필요하다(§1.5의 조건 ②).

한 가지가 더 걸린다. \(\mathcal{S}\)의 원소는 정수가 아니라 정수의 집합이다. \(2 \in [2]\)이고 \([2] \in \mathcal{S}\)이지만 \(2 \in \mathcal{S}\)는 거짓이다. 원소와 조각은 층이 하나 다르고, 이번 주의 판정은 늘 이 층위 확인에서 시작한다.

2 표기를 나란히 놓고 — 무엇이 달라지는가

도구를 받기 전에, 달라지는 것이 무엇인지부터 관찰한다. 아래 각 행의 왼쪽과 오른쪽은 같은 대상을 가리킨다. 셋째 열을 채워 보자.

1권에서 쓴 것	Chartrand 1장의 표기	무엇이 달라졌는가
조건제시법 \(\{x \in S : P(x)\}\) (1권 정의 3.3, 무대 조각 포함)	\(\{x \in S : P(x)\}\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
첨자 집합 \(\{A_i\}_{i \in I}\) (1권 정의 6.2)	인덱스 집합족 \(\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
여집합 \(A^c\) (1권 5주차)	\(\overline{A}\) 또는 \(A^c\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)
차집합 \(A - B\) (1권 5주차)	\(A - B\) 또는 \(A \setminus B\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)
분할 (1권 정의 37.3, §1.6에서 판정으로 도입)	분할 (같은 세 조건, ③을 인덱스 합집합으로)	\(\underline{\quad(5)\quad}\)

확인 3. 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자.

답

(1) 달라진 것이 없다 — 1권 정의 3.3이 이미 모집단을 요구했고, 그 무대 조각이

지는 하중도 1권 3주차가 삭제 실험으로 짚었다. (2) 이름만 바뀌었다 — 기호도

정의도 같고, 인덱스 문자가 \(i\)에서 \(\alpha\)로 바뀐 것은 관례의 차이다.

(3) 윗줄 표기 \(\overline{A}\)가 추가됐다. (4) 역슬래시 표기 \(A \setminus B\)가

추가됐다. (5) 세 조건이 같다. 달라진 것은 조건 ③을 적는 표기다 — 1권은 조각들의

합집합을 말로 적었고, 여기서는 인덱스 합집합 \(\bigcup_{X \in \mathcal{S}} X = A\)로

적는다. 그 표기 덕에 조각이 무한한 분할도 같은 한 줄로 다뤄진다.

확인 4. 다섯 행 중 수학이 실제로 달라진 행은 몇 개인가. 그리고 그 답이 이번 주의 성격에 대해 무엇을 말하는가.

답

하나도 없다. 다섯 행 전부 같은 대상을 가리킨다. 달라진 것은 표기의 세부와

그 표기가 감당하는 범위뿐이다. 그러므로 이번 주가 더하는 것은 새 수학이 아니라,

흩어져 있던 것을 한 장에 모으고 각각에 판정 가능한 조건을 붙이는 일이다.

다만 (1)의 모집단 조각은 1권과 같은 조각이면서도 지는 하중이 더 밝혀진다 —

1권 3주차는 그것을 빼면 어느 집합인지 정해지지 않는다는 데까지 짚었고,

§1.3에서는 빼면 모순이 나온다는 데까지 간다.

표기 — 이 과정의 수 집합 규약

이 과정에서 \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)이고 \(0 \notin \mathbb{N}\)이다(1권 3주차 §1.4의 약속과 같고, Chartrand도 같다). 따라서 \(1\)이 \(\mathbb{N}\)의 최소 원소이며, 인덱스 집합이 \(\mathbb{N}\)일 때 “인덱스 \(1\)에 특수화한다”는 줄이 여러 번 쓰인다. \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)의 뜻과 표기도 1권 3주차와 같다.

1권에서 감각으로 하던 것이 여기서 이름을 얻는다 — 1권 17주차의 경우 나누기에서 “빠짐없음”을 채점 기준 ①로 확인하던 습관이 여기서 분할의 조건 ③(덮음)이라는 이름을 얻고, 같은 자리에서 조건 ②(쌍마다 서로소)가 짝으로 붙는다.

3 집합-생성 표기

대조표의 첫 행이 가리킨 표기를 이번 주의 번호로 다시 세운다. 식은 1권 정의 3.3과 글자 그대로 같고, 새로 붙는 것은 이 번호와 아래 두 삭제 실험이다.

정의 2.1 — 집합-생성 표기 (set-builder notation) [백지 암기 대상]

집합 \(S\)와 \(S\)의 원소에 대한 조건 \(P\)가 주어졌을 때

\[ \{x \in S : P(x)\} \]

는 “\(S\)의 원소 중 \(P(x)\)가 참인 것 전부”를 모은 집합이다. 곧 임의의 \(a\)에 대해 \(a \in \{x \in S : P(x)\}\)인 것은 \(a \in S\)이고 \(P(a)\)가 참인 것과 같다.

표기 — 읽는 법

콜론은 “그러한 것은”(such that)으로 읽는다. \(\{x \in S : P(x)\}\)은 “\(S\)에 속하는 \(x\) 중 \(P(x)\)인 것들의 집합”으로 읽는다. 원서는 콜론 대신 세로 막대 \(\mid\) 를 쓰기도 하며 뜻은 같다 — 이 교안은 콜론으로 통일한다.

정의가 하는 일을 조각별로 나눈다.

조각	하는 일	판정에서의 역할
변수 \(x\)	모을 대상에 이름을 붙인다	조건 \(P\) 안의 문자와 같아야 조건이 걸린다
모집단 \(\in S\)	후보를 이미 존재하는 집합 안으로 제한한다	소속 판정을 두 걸음으로 나눈다 — 먼저 \(S\)의 원소인가, 다음 \(P\)를 만족하는가
콜론	후보 서술과 조건의 경계를 표시한다	경계가 없으면 어디까지가 후보 서술인지 정해지지 않는다
조건 \(P(x)\)	후보를 거르는 필터다	원소 판정이 \(P(a)\)의 참\(\cdot\)거짓 판정으로 환원된다

확인 5. \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 4\}\)에 대해 \(-3\), \(1\), 집합 \(\{0\}\)의 소속을 각각 두 걸음으로 판정해 보자.

답

\(-3\): 걸음 ① 실수이므로 통과. 걸음 ② \((-3)^2 = 9 < 4\)가 거짓이므로 탈락 —

원소가 아니다. \(1\): 걸음 ① 통과, 걸음 ② \(1 < 4\)가 참이므로 통과 — 원소다.

\(\{0\}\): 걸음 ①에서 탈락한다. 집합 \(\{0\}\)은 실수가 아니므로 걸음 ②를 볼

필요가 없고, \(\{0\}\)의 제곱이 무엇인지 물을 필요도 없다. 모집단 조각이 판정을

여기서 끊는다.

조각 삭제 실험 1 — 모집단 \(\in S\)를 빼면. 모집단 없이 \(\{x : P(x)\}\)를 허용하면 조건 \(P(x)\)를 “\(x \notin x\)”로 잡을 수 있다. 그렇게 만든 \(R = \{x : x \notin x\}\)에 대해 \(R \in R\)인지 물으면, 정의에 의해 \(R \in R\)인 것은 \(R \notin R\)인 것과 같아 모순이 나온다(S19주차 문제 14). 모집단 조각은 예의가 아니라 그런 표기가 실제로 집합을 정의한다는 보장이고, 그 보장을 공리로 적은 것이 S19주차의 분출 공리다.

확인 6. 그렇다면 \(T = \{x \in \mathbb{Z} : x \notin x\}\)에서도 같은 모순이 나오는가.

답

나오지 않는다. \(T\)는 정수들의 집합이므로 \(T \in \mathbb{Z}\)가 거짓이고, 따라서

\(T\)는 자기 자신의 원소가 될 자격 심사(걸음 ①)를 통과하지 못한다. 곧 \(T \notin T\)이고

모순이 없다. (정수 \(n\) 자체가 자기 원소가 되는 일은 없으므로 실은 \(T = \mathbb{Z}\)인데,

그 사실의 근거는 정수를 어떤 집합으로 구성했는지에 있고 이 과정에서는 다루지 않는다.)

모집단 한 조각이 자기 참조의 고리를 끊는다.

조각 삭제 실험 2 — 조건의 변수가 어긋나면. \(\{x \in \mathbb{Z} : y > 0\}\)처럼 조건이 \(x\)를 언급하지 않으면 표기가 집합을 정하지 못한다. \(y\)가 무엇이냐에 따라 이 표기는 \(\mathbb{Z}\) 전체이거나 \(\emptyset\)이고, 둘 중 어느 쪽인지 지면이 말하지 않는다. 조건 안의 문자를 그 자리에서 소개하라는 C1주차 원칙 8이 여기서도 걸린다.

4 인덱스 집합족

§1.1에서 표기가 막힌 자리를 여기서 연다.

정의 2.2 — 인덱스 집합족과 그 합집합·교집합 (indexed family of sets) [백지 암기 대상]

인덱스 집합 \(I\)의 각 원소 \(\alpha\)에 집합 \(S_\alpha\)가 하나씩 대응할 때, 그 모임을 \(\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}\)로 적고 인덱스 집합족이라 한다. 그 합집합과 교집합은 다음과 같다.

\[ \bigcup_{\alpha \in I} S_\alpha = \{x : \text{어떤 } \alpha \in I \text{에 대해 } x \in S_\alpha\} \]

\[ \bigcap_{\alpha \in I} S_\alpha = \{x : \text{모든 } \alpha \in I \text{에 대해 } x \in S_\alpha\} \]

표기 — 이번 주에 처음 나오는 기호

\(\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}\)는 “인덱스 집합 \(I\)에 걸친 집합족 에스 알파”로 읽는다. \(\alpha\)는 그리스 문자 알파이고 인덱스 자리에 관례로 쓴다 — 1권 6주차가 쓰던 \(i\)와 하는 일이 같다. \(\bigcup_{\alpha \in I}\)는 “\(I\)에 속하는 모든 \(\alpha\)에 대한 합집합”으로 읽는다.

\(\mathcal{S}\)처럼 필기체를 쓰는 것은 집합을 원소로 갖는 모임이라는 표시다 — §1.1에서 확인한 층위를 문자 모양으로 구별한다.

C1주차 원칙 3에서 옛 약호로만 언급한 \(\ni\)의 표준 용법이 여기서 정해진다. \(A \ni x\)는 \(\in\)을 뒤집은 기호로 “\(A\)가 \(x\)를 원소로 갖는다”로 읽고, \(x \in A\)와 같은 뜻이다.

\(\mathbb{R}^{+}\)는 “알 플러스”로 읽고 양의 실수 전체의 집합, 곧 \(\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}\)을 뜻한다. 인덱스 집합이 \(\mathbb{N}\)이나 \(\mathbb{Z}\) 같은 셀 수 있는 집합이 아닌 경우를 문제 8에서 쓴다.

정의의 우변에는 개수가 등장하지 않고 양화사만 등장한다. 그래서 인덱스가 유한이든 무한이든 정의가 그대로 작동한다. \(I = \{1, 2\}\)이면 우변은 “\(x \in S_1\)이거나 \(x \in S_2\)”가 되어 1권 5주차의 이항 합집합과 일치한다. §1.1에서 막힌 것은 정의가 부족해서가 아니라 표기가 유한 나열에 묶여 있었기 때문이다.

정의를 쓰는 자리는 넷뿐이고, 1권 28주차 정의 28.3의 번역 규칙이 그대로 재사용된다.

만난 자리	번역	손이 할 일
과녁이 \(x \in \bigcup_{\alpha} S_\alpha\)	어떤 \(\alpha\)에 대해 \(x \in S_\alpha\)	인덱스 하나를 제시한다 — 구성법(S5주차)
가정이 \(x \in \bigcup_{\alpha} S_\alpha\)	그런 \(\alpha\)가 존재한다	이름을 붙여 받고 그 뒤로 쓴다
과녁이 \(x \in \bigcap_{\alpha} S_\alpha\)	모든 \(\alpha\)에 대해 \(x \in S_\alpha\)	인덱스를 임의로 잡는다 — 선택법(S6주차)
가정이 \(x \in \bigcap_{\alpha} S_\alpha\)	모든 \(\alpha\)에 대해 \(x \in S_\alpha\)	내가 고른 인덱스에 적용한다 — 특수화(S7주차)

확인 7. 각 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(A_n = \left(-\frac1n, \frac1n\right)\)이라 하자. 가정으로 \(x \in \bigcap_{n} A_n\)을 받았을 때, 인덱스 \(5\)를 골라 얻을 수 있는 문장을 적어 보자.

답

\(x \in A_5\), 곧 \(-\frac15 < x < \frac15\)이다. 전칭 가정을 손에 들었을 때 할 수

있는 일은 하나다 — 무대 안의 인덱스를 하나 골라 적용한다(S7주차 특수화).

인덱스가 무한히 많아도 한 번에 쓰는 것은 하나뿐이다.

확인 8. \(x = 10^{100}\)이 \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} [0, n]\)에 속함을 보이려면 무엇을 제시해야 하는가.

답

인덱스 하나다. \(n = 10^{100}\)을 제시하면 \(0 \le x \le n\)이므로 \(x \in [0, n]\)이고,

정의에 의해 \(x \in \bigcup_n [0, n]\)이다. 구성법(S5주차)이고, 인덱스가 무한이어도

하는 일은 증인 하나를 대는 것뿐이다.

확인 9. 인덱스가 무한하면 위 네 줄의 번역 규칙 중 달라지는 줄이 있는가.

답

없다. 정의에 개수가 등장하지 않기 때문이다. 달라지는 것은 증명의 난도뿐이다 —

인덱스가 무한할 때는 “제시할 인덱스”를 공식으로 만들어야 하고(문제 8), “임의로

잡은 인덱스”에 대해 계산을 일반적으로 해야 한다(문제 15).

5 분할

§1.1의 과제가 요구한 조건이 여기서 정의가 된다.

정의 2.3 — 분할 (partition) [백지 암기 대상]

공집합이 아닌 집합 \(A\)에 대해, \(A\)의 부분집합들의 모임 \(\mathcal{S}\)가 다음 세 조건을 모두 만족하면 \(\mathcal{S}\)를 \(A\)의 분할이라 한다.

① 비공집합 — \(\mathcal{S}\)의 각 원소는 공집합이 아니다.

② 쌍마다 서로소 — \(\mathcal{S}\)의 서로 다른 두 원소 \(X\), \(Y\)에 대해 \(X \cap Y = \emptyset\)이다.

③ 덮음 — \(\bigcup_{X \in \mathcal{S}} X = A\)이다.

조건 ③이 §1.4의 인덱스 합집합으로 적혀 있다는 점을 짚어 둔다. 조각이 무한히 많아도 이 한 줄이 그대로 쓰이고, 조건 ②는 “서로 다른 두 원소”라는 전칭이므로 역시 개수와 무관하다. §1.1의 시도 2가 무한에서 막힌 자리가 두 조건 모두에서 풀린다.

세 조건을 한 문장으로 줄이면 “\(A\)의 모든 원소가 \(\mathcal{S}\)의 정확히 하나의 원소에 속한다”가 된다. ③이 “적어도 하나”(존재)를, ②가 “많아야 하나”(유일)를 담당한다 — S13주차가 나눈 존재와 유일 그대로다. 이 압축이 정말 성립하는지는 §3의 훈련 3에서 증명한다.

정의를 조각별로 나눈다.

조각	하는 일	판정에서의 역할
“\(A\)의 부분집합들의 모임”	층위를 고정한다	\(\mathcal{S}\)의 원소는 \(A\)의 원소가 아니라 \(A\)의 부분집합이다 — 판정 대상을 확정한다
① 비공집합	빈 조각을 목록에서 배제한다	같은 나눔의 판본이 여럿 세어지는 것을 막는다
② 쌍마다 서로소	겹침을 금지한다	“많아야 한 조각”을 담당한다. 쌍 단위 전칭이므로 조각이 무한이어도 걸린다
③ 덮음	빠짐을 금지한다	“적어도 한 조각”을 담당한다

조각 삭제 실험 1 — ①을 빼면. \(\{1,2,3,4\}\)에 대해 \(\{\{1,2\},\{3,4\}\}\)와 \(\{\{1,2\},\{3,4\},\emptyset\}\)은 같은 나눔을 적은 것인데 조각 목록이 다르다. ①이 없으면 두 판본이 따로 세어지고, 1권 37주차 문제 19가 쓰는 “동치관계의 개수와 분할의 개수는 같다”는 대응이 깨진다. 문제 18의 세기가 그 대응 위에 있다.

조각 삭제 실험 2 — ②를 빼면. \(\{1,2,3\}\)에 대해 \(\{\{1,2\},\{2,3\}\}\)을 분할로 허용하면 “\(2\)가 속한 조각”이라는 말이 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다. 조각을 대표원으로 부르는 일도, 조각마다 값을 하나씩 정하는 일도 불가능해진다 — C11주차의 동치류와 C12주차의 함수가 모두 이 유일성 위에 세워진다.

조각 삭제 실험 3 — ③을 빼면. \(\{1,2,3\}\)에 대해 \(\{\{1\},\{2\}\}\)를 분할로 허용하면 \(3\)이 어느 조각에도 없다. 1권 17주차의 경우 나누기에서 채점 기준 ①(빠짐없음)이 무너진 답안과 같은 붕괴다 — 남은 대상이 있는데 논증이 끝난 것으로 처리된다.

확인 10. \(\mathcal{S} = \{\{1,2\}, \{3\}, \{1,2\}\}\)은 \(\{1,2,3\}\)의 분할인가.

답

분할이다. 모임도 집합이므로 같은 원소를 두 번 적어도 원소가 늘지 않는다 —

\(\mathcal{S}\)는 \(\{\{1,2\},\{3\}\}\)과 같은 모임이고 원소는 둘뿐이다. 조건 ②는

서로 다른 두 원소에만 걸리므로 \(\{1,2\}\)와 자기 자신은 대상이 아니다.

조건 ②에 붙은 “서로 다른”이라는 낱말이 하는 일이 이것이다.

확인 11. 조건 ②에서 “서로 다른”을 빼고 “\(\mathcal{S}\)의 두 원소 \(X\), \(Y\)에 대해 \(X \cap Y = \emptyset\)이다”로 적으면 무엇이 무너지는가.

답

\(X = Y\)인 경우까지 걸려 \(X \cap X = X = \emptyset\)을 요구하게 되고, 이는 조건 ①과

정면으로 충돌한다. 그 결과 원소를 하나라도 가진 모임은 전부 분할이 아니게 되어

정의가 비어 버린다. 낱말 하나가 정의 전체를 무너뜨리는 자리다.

6 분할 판정의 네 걸음

정의 2.3을 손으로 쓰는 절차로 바꾼다.

백지 암기 대상

분할 판정의 네 걸음

⓪ 층위 확인 — \(\mathcal{S}\)의 각 원소가 \(A\)의 부분집합인지 본다.

① 비공집합 확인 — 각 조각에서 원소를 하나씩 제시한다.

② 서로소 확인 — 서로 다른 두 조각을 임의로 잡아 공통 원소가 없음을 보인다.

③ 덮음 확인 — \(A\)의 원소를 임의로 잡아 그것이 속하는 조각을 제시한다.

걸음마다 무엇을 막는지 정리하면 다음과 같다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
⓪ 층위	판정 대상을 확정한다	\(\{1,2,3\}\)의 분할을 묻는데 원소들의 목록을 답으로 내게 된다
① 비공집합	빈 조각을 배제한다	삭제 실험 1 — 같은 나눔의 판본이 여럿 세어진다
② 서로소	겹침을 배제한다	삭제 실험 2 — “그 원소의 조각”이 정해지지 않는다
③ 덮음	빠짐을 배제한다	삭제 실험 3 — 1권 17주차 채점 기준 ①의 붕괴

걸음 삭제 실험 — ②를 빼고 ③만 확인한 경우. \(\{1,2,3,4,5\}\)에 대해 \(\mathcal{S} = \{\{1,2\},\{3,4\},\{4,5\}\}\)을 보자. 걸음 ③은 통과한다 — 다섯 원소가 모두 어떤 조각에 속한다. 걸음 ①도 통과한다. 그럼에도 분할이 아니다. \(4\)가 \(\{3,4\}\)와 \(\{4,5\}\) 두 조각에 속하기 때문이다. 덮음만 확인하고 분할이라 선언한 답안이 문제 10의 진단 대상이다.

확인 12. 조각이 무한히 많을 때 걸음 ②를 어떻게 수행하는가.

답

쌍을 하나씩 세지 않는다. 서로 다른 두 조각을 임의로 잡고 그 교집합이 공집합임을

한 번 증명한다 — 선택법(S6주차)이다. 인덱스로 적을 때는 한 가지를 먼저 확인해야

한다. 조건 ②가 걸리는 것은 모임 \(\mathcal{S}\)의 서로 다른 두 원소이지 서로

다른 두 인덱스가 아니다(확인 10). 서로 다른 두 인덱스가 언제나 서로 다른 조각을

주는 경우, 곧 \(\alpha \ne \beta\)이면 \(S_\alpha \ne S_\beta\)인 경우에만

“\(\alpha \ne \beta\)를 임의로 잡는다”로 열어도 되고, 그렇지 않으면

\(S_\alpha \ne S_\beta\)를 가정하고 시작해야 한다. 무한한 나열을 한 줄의 전칭

증명으로 바꾸는 것이 §1.1에서 막혔던 자리의 해법이고, 문제 15가 그 실행이다.

7 근거 목록 — 칸은 넷 그대로

1권 1주차에서 세 칸으로 시작해 네 칸이 된 근거 목록은 이번 주에도 네 칸이다. 바뀌는 것은 각 칸에 들어오는 항목이다.

근거	이번 주에 더해지는 것	인용하는 형태
① 정의	정의 2.1(집합-생성 표기), 정의 2.2(인덱스 합집합\(\cdot\)교집합), 정의 2.3(분할의 세 조건), 상등 판정(1권 정의 27.1)	“분할의 조건 ②에 의해”, “인덱스 교집합의 정의에 의해”, “1권 정의 27.1에 의해”
② 닫힘성	새로 더해지는 것이 없다	조각 안의 계산에서 그대로 쓴다
③ 등식의 성질	새로 더해지는 것이 없다	조건 안의 부등식을 고쳐 쓸 때 그대로 쓴다
④ 이미 증명한 명제	나눗셈 정리(1권 17주차), 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14), 짝수이며 홀수인 정수는 없음(1권 22주차 문제 5), \(\lvert x \rvert^2 = x^2\) (1권 17주차 예제 2.2), 첨자 드모르간(1권 28주차 예제 2.3 — 단, 문제 12에서는 이 명제 자체가 과녁이므로 근거로 인용할 수 없고 Chartrand 표기로 다시 증명한다)	“S5주차 문제 14에 의해”

확인 13. 다음 한 줄은 근거 목록의 어느 칸을 쓰고 있고, 이번 주의 기준으로 어디가 미달인가. “\(0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\)이다. (단 \(A_n = \left(-\frac1n, \frac1n\right)\))”

답

근거 ①(인덱스 교집합의 정의)을 쓰고 있다. 미달은 두 곳이다. 첫째, 문장이 기호로

시작한다(C1주차 원칙 1). 둘째, 정의가 요구하는 전칭 확인이 적히지 않았다 —

정의에 따르면 \(0 \in \bigcap_n A_n\)은 “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(0 \in A_n\)”과 같은

뜻인데, 그 문장이 지면에 없다. 고치면 이렇게 된다 — “자연수 \(n\)을 임의로 잡으면

\(\frac1n > 0\)이므로 \(-\frac1n < 0 < \frac1n\)이고 따라서 \(0 \in A_n\)이다. 인덱스

교집합의 정의에 의해 \(0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\)이다.”