# C2주차 — 집합: 두 번째 언어로 다시

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 이번 주의 정의 셋은 모두 1권에 대응이 있다 — 새로 얻는 것은 수학이 아니라, 흩어져 있던 것을 한 장에 모으고 각각에 판정 가능한 조건을 붙이는 일이다.

**이 주의 위치**: 2학기(Chartrand) 20주의 C2주차. C1주차가 답안의 전달 규칙을 확정했다면, 이번 주는 그 규칙으로 적을 첫 소재를 받는다. 1권 3~6주차의 집합, 1권 27~28주차의 증명 서식, 1권 37주차의 분할이 여기서 한 장에 모이고, 그중 분할은 C11주차 동치관계의 씨앗이 된다.

**원서 대응**: Chartrand 1장(Sets). 주간 루틴 1일차에 원서 1장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.
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## 이번 주 목표

1. 집합의 기본(원소$\cdot$부분집합$\cdot$상등$\cdot$멱집합$\cdot$연산$\cdot$데카르트 곱)을 Chartrand의 표기로 재확립하고, 그중 1권과 표기가 실제로 갈리는 다섯 항목을 대조표로 정리한다.
1. **집합-생성 표기법** $\{x \in S : P(x)\}$를 정확히 읽고 쓰며, 모집단 조각 $\in S$가 하는 일을 삭제 실험으로 말할 수 있다.
1. **인덱스 집합족** $\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}$과 그 합집합$\cdot$교집합을 $\exists$$\cdot$$\forall$로 번역하고, 인덱스가 무한일 때도 같은 정의가 작동함을 보일 수 있다.
1. **집합의 분할**을 세 조건(비공집합$\cdot$쌍마다 서로소$\cdot$덮음)으로 정의하고, 주어진 모임이 분할인지 네 걸음으로 판정할 수 있다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (C1주차·1권 3~6주차·1권 27주차 복습)

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

1. C1주차 §1.3의 기호 사용 10원칙 중 세 개를 골라 원칙 번호와 함께 쓰시오. 이번 주의 모든 답안이 그 목록의 검사를 받는다.
1. 1권 3~6주차의 집합 기호를 백지에 쓰시오: $\in$, $\subseteq$, $\emptyset$, $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$, $A^c$, $\mathcal{P}(A)$, $A \times B$, $|A|$.
1. 1권 27주차 §1.5의 원소 추적 세 걸음을 쓰시오. 이번 주의 증명은 전부 그 세 걸음 위에 얹힌다.

### 자주 나오는 세 가지 답

세 문제를 적은 뒤 "그래서 이번 주에 새로 배우는 것이 무엇인가"에 답해 보면, 대개 다음 세 가지 중 하나가 나온다. 셋 다 1권을 끝낸 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 새로 배우는 것이 없다.** "집합은 1권 3~6주차에서 다 했다." 옳은

부분이 크다. 이번 주가 세우는 정의 셋은 전부 1권에 대응이 있고, 기호도 거의 같다. 간격은 **배치**에 있다. 1권에서 이 셋은 세 곳에 흩어져 서로 다른 목적으로 등장했다 — 조건제시법은 1권 3주차의 표기 훈련, 첨자 집합은 1권 6주차의 표기 소개, 분할은 1권 37주차의 동치관계 마무리였다. 흩어져 있는 동안에는 셋을 한 문제에서 함께 쓰는 일이 요구된 적이 없다. §1.1이 그 요구가 처음 생기는 자리다.

- **유형 2 — 기호 대조표만 외우면 된다.** "$A^c$가 $\overline{A}$로 바뀌는 정도다."

이 관찰도 옳다. §1.2의 대조표를 채워 보면 수학이 달라진 행이 하나도 없다. 간격은 대조표가 표기의 차이만 적을 뿐 그 표기가 지는 하중까지는 적지 못한다는 데 있다. 모집단 조각 $\in S$는 1권 정의 3.3에도 이미 있었고, 1권 3주차의 무대 조각 삭제 실험은 그 조각을 빼면 어느 집합인지 정해지지 않는다는 모호성까지를 짚었다. 이번 주는 같은 조각을 빼면 모순이 나온다는 데까지 간다(§1.3 삭제 실험 1). 표기의 세부로 보이던 것이 실은 공리 층의 조각인 경우다.

- **유형 3 — 분할은 1권 37주차에서 증명까지 했다.** 1권 정의 37.3과 이번 주의

정의는 세 조건이 같으므로 이 답도 옳다. 1권 37주차 §1.6도 관계를 쓰지 않고 던져진 부분집합 모임 넷을 판정시킨 뒤 정의를 세웠으므로, 판정이 처음이라고 말할 수도 없다. 간격은 **조각의 개수**에 있다. 1권이 다룬 분할은 조각이 유한한 것뿐이었고, 조각이 무한히 많은 분할이 여기서 처음 들어온다(문제 15). 그에 맞춰 조건 ③도 말로 적던 "조각들의 합집합"에서 인덱스 합집합 $\bigcup_{X \in \mathcal{S}} X = A$라는 한 줄로 바뀐다.

## 개념 — 모아 두는 언어

### 1 이항 연산만으로는 적을 수 없는 주장

이번 주의 도구가 왜 필요한지부터 확인한다. 1권 5주차의 집합 연산만 손에 쥐고 다음 과제를 처리해 보자.

:::{admonition} 과제 — 나눔을 적어 보기
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$r = 0, 1, 2$에 대해 $[r] = \{n \in \mathbb{Z} : n \equiv r \pmod 3\}$이라 하고 모임 $\mathcal{S} = \{[0], [1], [2]\}$을 놓는다. "$\mathcal{S}$가 $\mathbb{Z}$를 겹침 없이 빠짐없이 나눈다"는 주장을 이항 연산 $\cup$, $\cap$만으로 적어 보자.
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가장 먼저 나오는 시도는 다음 한 줄이다.

**시도 1.** "$[0] \cup [1] \cup [2] = \mathbb{Z}$이고 $[0] \cap [1] \cap [2] = \emptyset$이다."

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**확인 1.** 시도 1의 두 줄은 원래 주장을 담고 있는가. 담지 못한다면, 두 줄을 전부 만족하면서도 조각이 겹치는 예를 하나 만들어 보자.
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:::{admonition} 답
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담지 못한다. 반례는 $A = \{1,2\}$, $B = \{2,3\}$, $C = \{1,3\}$이다. 합집합은

$\{1,2,3\}$이므로 덮음은 성립하고, 세 집합에 동시에 속하는 원소는 없으므로

$A \cap B \cap C = \emptyset$도 성립한다. 그런데 세 쌍이 모두 겹친다 —

$A \cap B = \{2\}$, $B \cap C = \{3\}$, $A \cap C = \{1\}$이다.

삼중 교집합이 비었다는 조건은 겹침 없음보다 훨씬 약하다.
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**시도 2.** 겹침 없음을 쌍 단위로 적는다 — "$[0] \cap [1] = \emptyset$이고 $[0] \cap [2] = \emptyset$이고 $[1] \cap [2] = \emptyset$이다."

이번에는 주장이 담긴다. 조각이 세 개이므로 세 줄이면 된다. 그러나 조각의 개수가 $k$이면 줄은 $\binom{k}{2}$개로 늘고, 조각이 무한히 많으면 나열 자체가 끝나지 않는다. 조각이 무한한 나눔은 드물지 않다 — 실수 전체를 반개구간 $[n, n+1)$들로 나누면 조각이 정수 개수만큼 있다(문제 15).

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**확인 2.** 조각이 무한히 많을 때 시도 2가 막히는 이유를 한 문장으로 적고, 그 막힘을 풀려면 표기와 조건 각각에 무엇이 필요한지 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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이항 연산은 집합 두 개를 받아 하나를 내놓는 규칙이므로 유한 번만 반복되고,

조각이 무한하면 나열이 끝나지 않는다. 필요한 것은 둘이다. 표기 쪽에서는

조각들의 **모임 전체**를 한 이름으로 부르고 그 합집합을 한 기호로 적는 장치가

필요하고(§1.4의 인덱스 집합족), 조건 쪽에서는 조각을 하나씩 세는 대신 "서로

다른 두 조각"에 한 번에 거는 전칭 조건이 필요하다(§1.5의 조건 ②).
:::

한 가지가 더 걸린다. $\mathcal{S}$의 원소는 정수가 아니라 정수의 **집합**이다. $2 \in [2]$이고 $[2] \in \mathcal{S}$이지만 $2 \in \mathcal{S}$는 거짓이다. 원소와 조각은 층이 하나 다르고, 이번 주의 판정은 늘 이 층위 확인에서 시작한다.

### 2 표기를 나란히 놓고 — 무엇이 달라지는가

도구를 받기 전에, 달라지는 것이 무엇인지부터 관찰한다. 아래 각 행의 왼쪽과 오른쪽은 **같은 대상**을 가리킨다. 셋째 열을 채워 보자.

| **1권에서 쓴 것** | **Chartrand 1장의 표기** | **무엇이 달라졌는가** |
|---|---|---|
| 조건제시법 $\{x \in S : P(x)\}$ (1권 정의 3.3, 무대 조각 포함) | $\{x \in S : P(x)\}$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| 첨자 집합 $\{A_i\}_{i \in I}$ (1권 정의 6.2) | 인덱스 집합족 $\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| 여집합 $A^c$ (1권 5주차) | $\overline{A}$ 또는 $A^c$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ |
| 차집합 $A - B$ (1권 5주차) | $A - B$ 또는 $A \setminus B$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ |
| 분할 (1권 정의 37.3, §1.6에서 판정으로 도입) | 분할 (같은 세 조건, ③을 인덱스 합집합으로) | $\underline{\quad(5)\quad}$ |

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**확인 3.** 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) 달라진 것이 없다 — 1권 정의 3.3이 이미 모집단을 요구했고, 그 무대 조각이

지는 하중도 1권 3주차가 삭제 실험으로 짚었다. (2) 이름만 바뀌었다 — 기호도

정의도 같고, 인덱스 문자가 $i$에서 $\alpha$로 바뀐 것은 관례의 차이다.

(3) 윗줄 표기 $\overline{A}$가 추가됐다. (4) 역슬래시 표기 $A \setminus B$가

추가됐다. (5) 세 조건이 같다. 달라진 것은 조건 ③을 적는 표기다 — 1권은 조각들의

합집합을 말로 적었고, 여기서는 인덱스 합집합 $\bigcup_{X \in \mathcal{S}} X = A$로

적는다. 그 표기 덕에 조각이 무한한 분할도 같은 한 줄로 다뤄진다.
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:::{container} quotebox
**확인 4.** 다섯 행 중 수학이 실제로 달라진 행은 몇 개인가. 그리고 그 답이 이번 주의 성격에 대해 무엇을 말하는가.
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:::{admonition} 답
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하나도 없다. 다섯 행 전부 같은 대상을 가리킨다. 달라진 것은 표기의 세부와

그 표기가 감당하는 범위뿐이다. 그러므로 이번 주가 더하는 것은 새 수학이 아니라,

흩어져 있던 것을 한 장에 모으고 각각에 **판정 가능한 조건**을 붙이는 일이다.

다만 (1)의 모집단 조각은 1권과 같은 조각이면서도 지는 하중이 더 밝혀진다 —

1권 3주차는 그것을 빼면 어느 집합인지 정해지지 않는다는 데까지 짚었고,

§1.3에서는 빼면 모순이 나온다는 데까지 간다.
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:::{admonition} 표기 — 이 과정의 수 집합 규약
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이 과정에서 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$이고 $0 \notin \mathbb{N}$이다(1권 3주차 §1.4의 약속과 같고, Chartrand도 같다). 따라서 $1$이 $\mathbb{N}$의 최소 원소이며, 인덱스 집합이 $\mathbb{N}$일 때 "인덱스 $1$에 특수화한다"는 줄이 여러 번 쓰인다. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$의 뜻과 표기도 1권 3주차와 같다.
:::

1권에서 감각으로 하던 것이 여기서 이름을 얻는다 — 1권 17주차의 경우 나누기에서 "빠짐없음"을 채점 기준 ①로 확인하던 습관이 여기서 분할의 조건 ③(덮음)이라는 이름을 얻고, 같은 자리에서 조건 ②(쌍마다 서로소)가 짝으로 붙는다.

### 3 집합-생성 표기

대조표의 첫 행이 가리킨 표기를 이번 주의 번호로 다시 세운다. 식은 1권 정의 3.3과 글자 그대로 같고, 새로 붙는 것은 이 번호와 아래 두 삭제 실험이다.

### 정의 2.1 — 집합-생성 표기 (set-builder notation) [백지 암기 대상]

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집합 $S$와 $S$의 원소에 대한 조건 $P$가 주어졌을 때

$$
\{x \in S : P(x)\}
$$

는 "$S$의 원소 중 $P(x)$가 참인 것 전부"를 모은 집합이다. 곧 임의의 $a$에 대해 $a \in \{x \in S : P(x)\}$인 것은 $a \in S$이고 $P(a)$가 참인 것과 같다.
:::

:::{admonition} 표기 — 읽는 법
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콜론은 "그러한 것은"(such that)으로 읽는다. $\{x \in S : P(x)\}$은 "$S$에 속하는 $x$ 중 $P(x)$인 것들의 집합"으로 읽는다. 원서는 콜론 대신 세로 막대 $\mid$ 를 쓰기도 하며 뜻은 같다 — 이 교안은 콜론으로 통일한다.
:::

정의가 하는 일을 조각별로 나눈다.

| **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** |
|---|---|---|
| 변수 $x$ | 모을 대상에 이름을 붙인다 | 조건 $P$ 안의 문자와 같아야 조건이 걸린다 |
| 모집단 $\in S$ | 후보를 이미 존재하는 집합 안으로 제한한다 | 소속 판정을 두 걸음으로 나눈다 — 먼저 $S$의 원소인가, 다음 $P$를 만족하는가 |
| 콜론 | 후보 서술과 조건의 경계를 표시한다 | 경계가 없으면 어디까지가 후보 서술인지 정해지지 않는다 |
| 조건 $P(x)$ | 후보를 거르는 필터다 | 원소 판정이 $P(a)$의 참$\cdot$거짓 판정으로 환원된다 |

:::{container} quotebox
**확인 5.** $\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 4\}$에 대해 $-3$, $1$, 집합 $\{0\}$의 소속을 각각 두 걸음으로 판정해 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$-3$: 걸음 ① 실수이므로 통과. 걸음 ② $(-3)^2 = 9 < 4$가 거짓이므로 탈락 —

원소가 아니다. $1$: 걸음 ① 통과, 걸음 ② $1 < 4$가 참이므로 통과 — 원소다.

$\{0\}$: 걸음 ①에서 탈락한다. 집합 $\{0\}$은 실수가 아니므로 걸음 ②를 볼

필요가 없고, $\{0\}$의 제곱이 무엇인지 물을 필요도 없다. 모집단 조각이 판정을

여기서 끊는다.
:::

**조각 삭제 실험 1 — 모집단 $\in S$를 빼면.** 모집단 없이 $\{x : P(x)\}$를 허용하면 조건 $P(x)$를 "$x \notin x$"로 잡을 수 있다. 그렇게 만든 $R = \{x : x \notin x\}$에 대해 $R \in R$인지 물으면, 정의에 의해 $R \in R$인 것은 $R \notin R$인 것과 같아 모순이 나온다(S19주차 문제 14). 모집단 조각은 예의가 아니라 그런 표기가 실제로 집합을 정의한다는 **보장**이고, 그 보장을 공리로 적은 것이 S19주차의 분출 공리다.

:::{container} quotebox
**확인 6.** 그렇다면 $T = \{x \in \mathbb{Z} : x \notin x\}$에서도 같은 모순이 나오는가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

나오지 않는다. $T$는 정수들의 집합이므로 $T \in \mathbb{Z}$가 거짓이고, 따라서

$T$는 자기 자신의 원소가 될 자격 심사(걸음 ①)를 통과하지 못한다. 곧 $T \notin T$이고

모순이 없다. (정수 $n$ 자체가 자기 원소가 되는 일은 없으므로 실은 $T = \mathbb{Z}$인데,

그 사실의 근거는 정수를 어떤 집합으로 구성했는지에 있고 이 과정에서는 다루지 않는다.)

모집단 한 조각이 자기 참조의 고리를 끊는다.
:::

**조각 삭제 실험 2 — 조건의 변수가 어긋나면.** $\{x \in \mathbb{Z} : y > 0\}$처럼 조건이 $x$를 언급하지 않으면 표기가 집합을 정하지 못한다. $y$가 무엇이냐에 따라 이 표기는 $\mathbb{Z}$ 전체이거나 $\emptyset$이고, 둘 중 어느 쪽인지 지면이 말하지 않는다. 조건 안의 문자를 그 자리에서 소개하라는 C1주차 원칙 8이 여기서도 걸린다.

### 4 인덱스 집합족

§1.1에서 표기가 막힌 자리를 여기서 연다.

### 정의 2.2 — 인덱스 집합족과 그 합집합·교집합 (indexed family of sets) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
인덱스 집합 $I$의 각 원소 $\alpha$에 집합 $S_\alpha$가 하나씩 대응할 때, 그 모임을 $\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}$로 적고 **인덱스 집합족**이라 한다. 그 합집합과 교집합은 다음과 같다.

$$
\bigcup_{\alpha \in I} S_\alpha = \{x : \text{어떤 } \alpha \in I \text{에 대해 } x \in S_\alpha\}
$$

$$
\bigcap_{\alpha \in I} S_\alpha = \{x : \text{모든 } \alpha \in I \text{에 대해 } x \in S_\alpha\}
$$
:::

:::{admonition} 표기 — 이번 주에 처음 나오는 기호
:class: quotebox

$\{S_\alpha\}_{\alpha \in I}$는 "인덱스 집합 $I$에 걸친 집합족 에스 알파"로 읽는다. $\alpha$는 그리스 문자 알파이고 인덱스 자리에 관례로 쓴다 — 1권 6주차가 쓰던 $i$와 하는 일이 같다. $\bigcup_{\alpha \in I}$는 "$I$에 속하는 모든 $\alpha$에 대한 합집합"으로 읽는다.

$\mathcal{S}$처럼 필기체를 쓰는 것은 집합을 원소로 갖는 모임이라는 표시다 — §1.1에서 확인한 층위를 문자 모양으로 구별한다.

C1주차 원칙 3에서 옛 약호로만 언급한 $\ni$의 표준 용법이 여기서 정해진다. $A \ni x$는 $\in$을 뒤집은 기호로 "$A$가 $x$를 원소로 갖는다"로 읽고, $x \in A$와 같은 뜻이다.

$\mathbb{R}^{+}$는 "알 플러스"로 읽고 양의 실수 전체의 집합, 곧 $\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$을 뜻한다. 인덱스 집합이 $\mathbb{N}$이나 $\mathbb{Z}$ 같은 셀 수 있는 집합이 아닌 경우를 문제 8에서 쓴다.
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정의의 우변에는 개수가 등장하지 않고 양화사만 등장한다. 그래서 인덱스가 유한이든 무한이든 정의가 그대로 작동한다. $I = \{1, 2\}$이면 우변은 "$x \in S_1$이거나 $x \in S_2$"가 되어 1권 5주차의 이항 합집합과 일치한다. §1.1에서 막힌 것은 정의가 부족해서가 아니라 표기가 유한 나열에 묶여 있었기 때문이다.

정의를 쓰는 자리는 넷뿐이고, 1권 28주차 정의 28.3의 번역 규칙이 그대로 재사용된다.

| **만난 자리** | **번역** | **손이 할 일** |
|---|---|---|
| 과녁이 $x \in \bigcup_{\alpha} S_\alpha$ | 어떤 $\alpha$에 대해 $x \in S_\alpha$ | 인덱스 하나를 제시한다 — 구성법(S5주차) |
| 가정이 $x \in \bigcup_{\alpha} S_\alpha$ | 그런 $\alpha$가 존재한다 | 이름을 붙여 받고 그 뒤로 쓴다 |
| 과녁이 $x \in \bigcap_{\alpha} S_\alpha$ | 모든 $\alpha$에 대해 $x \in S_\alpha$ | 인덱스를 임의로 잡는다 — 선택법(S6주차) |
| 가정이 $x \in \bigcap_{\alpha} S_\alpha$ | 모든 $\alpha$에 대해 $x \in S_\alpha$ | 내가 고른 인덱스에 적용한다 — 특수화(S7주차) |

:::{container} quotebox
**확인 7.** 각 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $A_n = \left(-\frac1n, \frac1n\right)$이라 하자. 가정으로 $x \in \bigcap_{n} A_n$을 받았을 때, 인덱스 $5$를 골라 얻을 수 있는 문장을 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$x \in A_5$, 곧 $-\frac15 < x < \frac15$이다. 전칭 가정을 손에 들었을 때 할 수

있는 일은 하나다 — 무대 안의 인덱스를 하나 골라 적용한다(S7주차 특수화).

인덱스가 무한히 많아도 한 번에 쓰는 것은 하나뿐이다.
:::

:::{container} quotebox
**확인 8.** $x = 10^{100}$이 $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} [0, n]$에 속함을 보이려면 무엇을 제시해야 하는가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

인덱스 하나다. $n = 10^{100}$을 제시하면 $0 \le x \le n$이므로 $x \in [0, n]$이고,

정의에 의해 $x \in \bigcup_n [0, n]$이다. 구성법(S5주차)이고, 인덱스가 무한이어도

하는 일은 증인 하나를 대는 것뿐이다.
:::

:::{container} quotebox
**확인 9.** 인덱스가 무한하면 위 네 줄의 번역 규칙 중 달라지는 줄이 있는가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

없다. 정의에 개수가 등장하지 않기 때문이다. 달라지는 것은 증명의 난도뿐이다 —

인덱스가 무한할 때는 "제시할 인덱스"를 공식으로 만들어야 하고(문제 8), "임의로

잡은 인덱스"에 대해 계산을 일반적으로 해야 한다(문제 15).
:::

### 5 분할

§1.1의 과제가 요구한 조건이 여기서 정의가 된다.

### 정의 2.3 — 분할 (partition) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
공집합이 아닌 집합 $A$에 대해, $A$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{S}$가 다음 세 조건을 모두 만족하면 $\mathcal{S}$를 $A$의 **분할**이라 한다.

① **비공집합** — $\mathcal{S}$의 각 원소는 공집합이 아니다.

② **쌍마다 서로소** — $\mathcal{S}$의 서로 다른 두 원소 $X$, $Y$에 대해 $X \cap Y = \emptyset$이다.

③ **덮음** — $\bigcup_{X \in \mathcal{S}} X = A$이다.
:::

조건 ③이 §1.4의 인덱스 합집합으로 적혀 있다는 점을 짚어 둔다. 조각이 무한히 많아도 이 한 줄이 그대로 쓰이고, 조건 ②는 "서로 다른 두 원소"라는 전칭이므로 역시 개수와 무관하다. §1.1의 시도 2가 무한에서 막힌 자리가 두 조건 모두에서 풀린다.

세 조건을 한 문장으로 줄이면 "$A$의 모든 원소가 $\mathcal{S}$의 **정확히 하나**의 원소에 속한다"가 된다. ③이 "적어도 하나"(존재)를, ②가 "많아야 하나"(유일)를 담당한다 — S13주차가 나눈 존재와 유일 그대로다. 이 압축이 정말 성립하는지는 §3의 훈련 3에서 증명한다.

정의를 조각별로 나눈다.

| **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** |
|---|---|---|
| "$A$의 부분집합들의 모임" | 층위를 고정한다 | $\mathcal{S}$의 원소는 $A$의 원소가 아니라 $A$의 부분집합이다 — 판정 대상을 확정한다 |
| ① 비공집합 | 빈 조각을 목록에서 배제한다 | 같은 나눔의 판본이 여럿 세어지는 것을 막는다 |
| ② 쌍마다 서로소 | 겹침을 금지한다 | "많아야 한 조각"을 담당한다. 쌍 단위 전칭이므로 조각이 무한이어도 걸린다 |
| ③ 덮음 | 빠짐을 금지한다 | "적어도 한 조각"을 담당한다 |

**조각 삭제 실험 1 — ①을 빼면.** $\{1,2,3,4\}$에 대해 $\{\{1,2\},\{3,4\}\}$와 $\{\{1,2\},\{3,4\},\emptyset\}$은 같은 나눔을 적은 것인데 조각 목록이 다르다. ①이 없으면 두 판본이 따로 세어지고, 1권 37주차 문제 19가 쓰는 "동치관계의 개수와 분할의 개수는 같다"는 대응이 깨진다. 문제 18의 세기가 그 대응 위에 있다.

**조각 삭제 실험 2 — ②를 빼면.** $\{1,2,3\}$에 대해 $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$을 분할로 허용하면 "$2$가 속한 조각"이라는 말이 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다. 조각을 대표원으로 부르는 일도, 조각마다 값을 하나씩 정하는 일도 불가능해진다 — C11주차의 동치류와 C12주차의 함수가 모두 이 유일성 위에 세워진다.

**조각 삭제 실험 3 — ③을 빼면.** $\{1,2,3\}$에 대해 $\{\{1\},\{2\}\}$를 분할로 허용하면 $3$이 어느 조각에도 없다. 1권 17주차의 경우 나누기에서 채점 기준 ①(빠짐없음)이 무너진 답안과 같은 붕괴다 — 남은 대상이 있는데 논증이 끝난 것으로 처리된다.

:::{container} quotebox
**확인 10.** $\mathcal{S} = \{\{1,2\}, \{3\}, \{1,2\}\}$은 $\{1,2,3\}$의 분할인가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

분할이다. 모임도 집합이므로 같은 원소를 두 번 적어도 원소가 늘지 않는다 —

$\mathcal{S}$는 $\{\{1,2\},\{3\}\}$과 같은 모임이고 원소는 둘뿐이다. 조건 ②는

**서로 다른** 두 원소에만 걸리므로 $\{1,2\}$와 자기 자신은 대상이 아니다.

조건 ②에 붙은 "서로 다른"이라는 낱말이 하는 일이 이것이다.
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:::{container} quotebox
**확인 11.** 조건 ②에서 "서로 다른"을 빼고 "$\mathcal{S}$의 두 원소 $X$, $Y$에 대해 $X \cap Y = \emptyset$이다"로 적으면 무엇이 무너지는가.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$X = Y$인 경우까지 걸려 $X \cap X = X = \emptyset$을 요구하게 되고, 이는 조건 ①과

정면으로 충돌한다. 그 결과 원소를 하나라도 가진 모임은 전부 분할이 아니게 되어

정의가 비어 버린다. 낱말 하나가 정의 전체를 무너뜨리는 자리다.
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### 6 분할 판정의 네 걸음

정의 2.3을 손으로 쓰는 절차로 바꾼다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**분할 판정의 네 걸음**

⓪ **층위 확인** — $\mathcal{S}$의 각 원소가 $A$의 부분집합인지 본다.

① **비공집합 확인** — 각 조각에서 원소를 하나씩 제시한다.

② **서로소 확인** — 서로 다른 두 조각을 임의로 잡아 공통 원소가 없음을 보인다.

③ **덮음 확인** — $A$의 원소를 임의로 잡아 그것이 속하는 조각을 제시한다.
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걸음마다 무엇을 막는지 정리하면 다음과 같다.

| **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** |
|---|---|---|
| ⓪ 층위 | 판정 대상을 확정한다 | $\{1,2,3\}$의 분할을 묻는데 원소들의 목록을 답으로 내게 된다 |
| ① 비공집합 | 빈 조각을 배제한다 | 삭제 실험 1 — 같은 나눔의 판본이 여럿 세어진다 |
| ② 서로소 | 겹침을 배제한다 | 삭제 실험 2 — "그 원소의 조각"이 정해지지 않는다 |
| ③ 덮음 | 빠짐을 배제한다 | 삭제 실험 3 — 1권 17주차 채점 기준 ①의 붕괴 |

**걸음 삭제 실험 — ②를 빼고 ③만 확인한 경우.** $\{1,2,3,4,5\}$에 대해 $\mathcal{S} = \{\{1,2\},\{3,4\},\{4,5\}\}$을 보자. 걸음 ③은 통과한다 — 다섯 원소가 모두 어떤 조각에 속한다. 걸음 ①도 통과한다. 그럼에도 분할이 아니다. $4$가 $\{3,4\}$와 $\{4,5\}$ 두 조각에 속하기 때문이다. 덮음만 확인하고 분할이라 선언한 답안이 문제 10의 진단 대상이다.

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**확인 12.** 조각이 무한히 많을 때 걸음 ②를 어떻게 수행하는가.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

쌍을 하나씩 세지 않는다. 서로 다른 두 조각을 임의로 잡고 그 교집합이 공집합임을

한 번 증명한다 — 선택법(S6주차)이다. 인덱스로 적을 때는 한 가지를 먼저 확인해야

한다. 조건 ②가 걸리는 것은 모임 $\mathcal{S}$의 서로 다른 두 **원소**이지 서로

다른 두 인덱스가 아니다(확인 10). 서로 다른 두 인덱스가 언제나 서로 다른 조각을

주는 경우, 곧 $\alpha \ne \beta$이면 $S_\alpha \ne S_\beta$인 경우에만

"$\alpha \ne \beta$를 임의로 잡는다"로 열어도 되고, 그렇지 않으면

$S_\alpha \ne S_\beta$를 가정하고 시작해야 한다. 무한한 나열을 한 줄의 전칭

증명으로 바꾸는 것이 §1.1에서 막혔던 자리의 해법이고, 문제 15가 그 실행이다.
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### 7 근거 목록 — 칸은 넷 그대로

1권 1주차에서 세 칸으로 시작해 네 칸이 된 근거 목록은 이번 주에도 네 칸이다. 바뀌는 것은 각 칸에 들어오는 항목이다.

| **근거** | **이번 주에 더해지는 것** | **인용하는 형태** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 정의 2.1(집합-생성 표기), 정의 2.2(인덱스 합집합$\cdot$교집합), 정의 2.3(분할의 세 조건), 상등 판정(1권 정의 27.1) | "분할의 조건 ②에 의해", "인덱스 교집합의 정의에 의해", "1권 정의 27.1에 의해" |
| ② 닫힘성 | 새로 더해지는 것이 없다 | 조각 안의 계산에서 그대로 쓴다 |
| ③ 등식의 성질 | 새로 더해지는 것이 없다 | 조건 안의 부등식을 고쳐 쓸 때 그대로 쓴다 |
| ④ 이미 증명한 명제 | 나눗셈 정리(1권 17주차), 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14), 짝수이며 홀수인 정수는 없음(1권 22주차 문제 5), $\lvert x \rvert^2 = x^2$ (1권 17주차 예제 2.2), 첨자 드모르간(1권 28주차 예제 2.3 — 단, 문제 12에서는 이 명제 자체가 과녁이므로 근거로 인용할 수 없고 Chartrand 표기로 다시 증명한다) | "S5주차 문제 14에 의해" |

:::{container} quotebox
**확인 13.** 다음 한 줄은 근거 목록의 어느 칸을 쓰고 있고, 이번 주의 기준으로 어디가 미달인가. "$0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$이다. (단 $A_n = \left(-\frac1n, \frac1n\right)$)"
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

근거 ①(인덱스 교집합의 정의)을 쓰고 있다. 미달은 두 곳이다. 첫째, 문장이 기호로

시작한다(C1주차 원칙 1). 둘째, 정의가 요구하는 전칭 확인이 적히지 않았다 —

정의에 따르면 $0 \in \bigcap_n A_n$은 "모든 자연수 $n$에 대해 $0 \in A_n$"과 같은

뜻인데, 그 문장이 지면에 없다. 고치면 이렇게 된다 — "자연수 $n$을 임의로 잡으면

$\frac1n > 0$이므로 $-\frac1n < 0 < \frac1n$이고 따라서 $0 \in A_n$이다. 인덱스

교집합의 정의에 의해 $0 \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$이다."
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