20주차 — 정수의 합동 (Congruence)과 수학적 글쓰기

내용

20주차 — 정수의 합동 (Congruence)과 수학적 글쓰기#

이 주의 길잡이

핵심 문장: \(\equiv\)는 나머지의 세계에서의 등호이고, 그 등호의 정의는 \(n \mid (a - b)\) 한 줄뿐이다.

이 주의 위치: 50주 과정의 20주차. 2주차에서 조립해 둔 나누어떨어짐의 정리들이 기호 하나로 재포장되어, 큰 수의 나머지 계산과 배수 판정법이 증명 가능한 명제가 된다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 5.2 (Congruence of Integers), 5.3 (Mathematical Writing) — 병행자를 위한 표기이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

\(a \equiv b \pmod n\)의 정의를 백지에 쓰고, 2주차의 정리들로 기본 성질 (C1)~(C5)를 증명한다.
합동 산술로 큰 수의 나머지(일의 자리, 요일)를 계산한다.
“9의 배수 판정법”을 증명한다 — 중학교에서 외운 규칙의 근거를 회수한다.
수학적 글쓰기 규칙 6조를 익히고, 자기 답안을 그 여섯 조항으로 점검한다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (19주차 복습)#

“\(3 \mid n^2\)이면 \(3 \mid n\)”의 증명 구조(대우 + 경우 나누기)를 말로 재현하시오. (19주차 예제 2.2)
\(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이면 \(a \mid (b + c)\)임을 안 보고 증명하시오. (2주차 예제 2.2이고, 이번 주 거의 모든 증명의 몸통이 된다.)
대우 증명의 첫 문장은 무엇으로 시작하는지 쓰시오.

자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 구체적인 수로 확인. “\(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 9\)이면 \(b + c = 15\)가

3의 배수다”라고 적는다. 계산은 옳고, 명제가 참이라는 심증도 옳다. 빠진 것은 범위다 — 확인한 것은 세 수 한 벌뿐이고, 명제는 모든 정수 \(a, b, c\)를 주장한다. 문자로 잡아야 무한 개의 사례가 한 번에 처리된다(2주차 예제 2.1).

유형 2 — 나눗셈으로 서술. “\(b/a\)와 \(c/a\)가 정수이므로 \((b+c)/a\)도 정수다”로

적는다. 방향은 맞다. 문제는 근거의 꼴이다 — 나눗셈은 정수 세계를 떠나고, \(a = 0\)에서는 아예 정의되지 않는다. 2주차 §1.1에서 정의를 곱셈 등식으로 잡은 이유가 이것이고, 근거 목록에도 나눗셈 계산은 들어 있지 않다.

유형 3 — 같은 문자 재사용. \(b = ak\), \(c = ak\)로 잡고 \(b + c = 2ak\)를 얻는다.

전개는 옳다. 그러나 두 몫에 같은 문자를 쓰는 순간 \(b = c\)를 몰래 가정한 것이 되어, 증명된 범위가 “\(b = c\)인 경우”로 줄어든다. 서로 다른 대상에는 서로 다른 문자 — \(b = ak\), \(c = al\)이다.

개념 — 나머지가 같다를 등식으로#

1 “나머지가 같다”만으로 증명을 시도하면 어디서 막히는가#

이번 주의 소재는 “\(n\)으로 나눈 나머지가 같다”이다. 17주차부터 써 온 나눗셈 정리의 표현으로 이 말을 그대로 옮기면, 정수 \(a, b\)와 자연수 \(n\)에 대해

\[ a = nq_1 + r, \qquad b = nq_2 + r \qquad (0 \le r < n) \]

인 정수 \(q_1, q_2, r\)이 존재한다는 뜻이 된다. 이 표현을 정의로 삼고, 이번 주가 목표로 하는 대표 명제를 밀어붙여 보자.

시도 — 나머지 표현으로 밀어붙이기

명제: \(a\)와 \(b\)의 나머지가 같고 \(c\)와 \(d\)의 나머지가 같으면, \(a + c\)와 \(b + d\)의 나머지도 같다.

“\(a = nq_1 + r\), \(b = nq_2 + r\), \(c = nq_3 + s\), \(d = nq_4 + s\)라 하자.

그러면 \(a + c = n(q_1 + q_3) + (r + s)\)이고 \(b + d = n(q_2 + q_4) + (r + s)\)이므로,

두 나머지는 똑같이 \(r + s\)이다 — “

여기서 멈춘다. \(r + s\)가 나머지 노릇을 하려면 \(0 \le r + s < n\)이어야 하는데, 가정이 보장하는 것은 \(0 \le r < n\)과 \(0 \le s < n\)뿐이다.

확인 1. \(r + s \ge n\)이 되면 위 논증의 어느 문장이 거짓이 되는가. \(n = 6\), \(a = 10\), \(b = 4\), \(c = 11\), \(d = 5\)를 실제로 넣어 확인해 보자.

답

마지막 문장 “두 나머지는 똑같이 \(r + s\)이다”가 거짓이 된다.

\(10 = 6 \times 1 + 4\), \(4 = 6 \times 0 + 4\)이므로 \(r = 4\)이고,

\(11 = 6 \times 1 + 5\), \(5 = 6 \times 0 + 5\)이므로 \(s = 5\)이다. 그런데

\(a + c = 21 = 6 \times 3 + 3\), \(b + d = 9 = 6 \times 1 + 3\) — 나머지는 둘 다

3이지 \(r + s = 9\)가 아니다. 결론 자체는 성립하지만 논증이 그 결론에 닿지

못한다. 제대로 하려면 \(r + s < n\)인 경우와 \(r + s \ge n\)인 경우로 나누고,

후자에서 \(r + s - n\)이 새 나머지임을 다시 확인해야 한다. 곱 보존을 같은

방식으로 다루면 \(rs\)의 나머지를 또 구해야 해서 갈래가 더 늘어난다.

갈래가 늘어나는 원인은 하나다 — 나머지 \(r\)을 계산해서 비교하기 때문이다. 나머지를 계산하지 않고 두 수만으로 “나머지가 같다”를 적을 수 있으면 이 갈래는 통째로 사라진다.

확인 2. \(a = nq_1 + r\)과 \(b = nq_2 + r\)을 변끼리 빼면 \(r\)이 사라진다. 무엇이 남는가. “\(a - b = \underline{\quad}\)” 꼴로 적어 보자.

답

\(a - b = n(q_1 - q_2)\). \(q_1 - q_2\)는 정수이므로(근거 ②), 이 등식은 2주차

정의 2.1의 꼴 그대로이고 곧 \(n \mid (a - b)\)를 뜻한다. 나머지 \(r\)은 한 번도

계산하지 않았는데 식에서 사라졌다 — 두 수의 차가 \(n\)의 배수라는 조건

하나에 “나머지가 같다”가 전부 담긴 것이다. 게다가 \(n \mid (a-b)\)는 2주차의

정리들이 그대로 작동하는 꼴이다.

2 두 판정이 언제나 일치하는가 — 표로 확인#

정수 \(a, b\)와 법 \(n\)이 주어질 때 두 가지를 각각 판정해 보자. 왼쪽은 나눗셈 정리로 나머지를 구해 비교하는 판정이고, 오른쪽은 차 \(a - b\)가 \(n\)의 배수인지 보는 판정이다. 빈칸을 채운 뒤 두 판정 열을 비교한다.

\(n\)	\(a\)	\(b\)	\(a\)의 나머지	\(b\)의 나머지	나머지가 같은가	\(a - b\)	\(n \mid (a-b)\)인가
\(6\)	\(17\)	\(5\)	\(5\)	\(5\)	예	\(12\)	예
\(9\)	\(58\)	\(5\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(5\)	\(\underline{\quad}\)	\(53\)	\(\underline{\quad}\)
\(5\)	\(-3\)	\(7\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)	\(2\)	\(\underline{\quad}\)	\(-10\)	\(\underline{\quad}\)
\(8\)	\(21\)	\(7\)	\(5\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)	\(14\)	\(\underline{\quad}\)
\(12\)	\(15\)	\(3\)	\(3\)	\(3\)	예	\(\underline{\quad(4)\quad}\)	\(\underline{\quad}\)

확인 3. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, “나머지가 같은가” 열과 “\(n \mid (a-b)\)인가” 열을 나란히 읽어 보자. 어긋나는 행이 있는가.

답

(1) \(58 = 9 \times 6 + 4\)이므로 4 — 5와 다르고, \(53 = 9 \times 5 + 8\)이므로

\(9 \nmid 53\). 두 열 모두 “아니오”.

(2) \(-3 = 5 \times (-1) + 2\)이므로 2 — 2와 같고, \(-10 = 5 \times (-2)\)이므로

\(5 \mid (-10)\). 두 열 모두 “예”. 음수가 끼어도 판정은 그대로 작동한다.

(3) \(7 = 8 \times 0 + 7\)이므로 7 — 5와 다르고, \(8 \nmid 14\). 두 열 모두 “아니오”.

(4) \(15 - 3 = 12\)이고 \(12 \mid 12\)이므로 “예” — 나머지 열도 “예”.

어긋나는 행은 없다. 다섯 행 전부에서 두 판정이 같은 답을 냈고, 오른쪽 판정은

나머지를 구하지 않고 뺄셈 한 번으로 끝난다.

이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표의 오른쪽 두 열에서 한 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 20.1 — 합동 (congruence) [백지 암기 대상]#

정수 \(a, b\)와 자연수 \(n\)에 대해,

\[ a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) \]

이때 “\(a\)와 \(b\)는 법 \(n\)에 대해 합동”이라 읽는다. 합동이 아니면 \(a \not\equiv b \pmod n\).

기호를 읽는 법까지가 정의다. \(\equiv\)는 등호에 막대를 하나 더 그은 기호이고, “합동이다”로 읽는다. \(\pmod n\)은 “법 \(n\)에 대하여”로 읽으며, 이때 \(n\)을 법(modulus)이라 부른다. \(\not\equiv\)는 \(\equiv\)에 빗금을 그은 것 — “합동이 아니다”이다. 그러므로 \(17 \equiv 5 \pmod 6\)은 “17은 법 6에 대해 5와 합동이다”로 읽는다.

예. 정의로 네 사례를 판정해 보면 —

\(17 \equiv 5 \pmod 6\): \(17 - 5 = 12 = 6 \times 2\)이므로 \(6 \mid 12\). 참.
\(-3 \equiv 7 \pmod 5\): \(-3 - 7 = -10 = 5 \times (-2)\)이므로 \(5 \mid (-10)\). 참 — 음수도 정의가 그대로 처리한다.
\(15 \equiv 3 \pmod{12}\): \(15 - 3 = 12\)이므로 참. 시계에서 15시가 오후 3시인 것이 이 합동이다.
\(n \equiv 0 \pmod 2\): \(2 \mid (n - 0)\), 곧 \(n\)이 짝수라는 뜻이다. 1주차의 짝\(\cdot\)홀 세계 전체가 법 2의 합동으로 흡수된다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정과 증명에서 맡는 역할이 다르다.

조각	하는 일	증명(판정)에서의 역할
“정수 \(a, b\)에 대해”	무대의 선언	\(a, b\)는 음수여도 되고 크기 순서도 상관없다 — 나머지를 따로 구하지 않으므로 부호 갈래가 생기지 않는다
“자연수 \(n\)에 대해”	법의 자격 제한	법은 1 이상 — \(n = 0\)이면 \(0 \mid (a-b)\)가 되어 \(a = b\)일 때만 참인 시시한 관계로 붕괴한다
“\(n \mid (a - b)\)”	등식 제공	계산이 시작되는 지점. 한 겹 더 풀면 \(a - b = nk\)인 정수 \(k\)가 존재한다(정의 2.1). 차의 순서가 \(a - b\)로 고정되어 있는데도 순서를 바꿔 써도 되는 근거는 대칭성 (C2)이고, 그 증명은 문제 5다
“\(\pmod n\)” 표기	법을 식에 달고 다닌다	이 표기가 빠지면 참\(\cdot\)거짓이 정해지지 않는다 (아래 실험)

조각 삭제 실험. 마지막 조각 “\(\pmod n\)”을 지우고 “\(17 \equiv 5\)”라고만 써 보자.

확인 4. \(17 \equiv 5 \pmod n\)이 참이 되는 자연수 \(n\)을 모두 찾아보자. 그리고 법 표기를 지우면 정확히 무엇이 무너지는가.

답

\(17 - 5 = 12\)이므로 \(n \mid 12\)인 \(n\), 곧 \(n = 1, 2, 3, 4, 6, 12\)에서 참이고

그 밖의 \(n\)(예: \(5, 7, 8\))에서는 거짓이다. 법을 지운 “\(17 \equiv 5\)”는 참인

경우와 거짓인 경우를 동시에 가지므로 참\(\cdot\)거짓이 정해지지 않는다 — 명제가

아니게 된다. 2주차 §1.4에서 확인한 기준 그대로다: 참\(\cdot\)거짓을 물을 수 있어야

명제이고, 명제여야 증명의 재료가 된다. 그래서 답안에서는 \(\pmod n\)을 한 번도

빠뜨리지 않는다.

4 나머지 관점과의 다리#

정의는 \(n \mid (a-b)\)이지만, 계산할 때 머릿속에서 쓰는 그림은 여전히 “나머지가 같다”이다. 둘의 관계를 정리해 둔다.

§1.1의 확인 2에서 한 방향은 이미 증명했다 — \(a\)와 \(b\)의 나머지가 같으면 \(a - b = n(q_1 - q_2)\)이므로 \(a \equiv b \pmod n\)이다. 반대 방향 (\(n \mid (a-b)\)이면 두 나머지가 같다)은 나눗셈 정리의 몫\(\cdot\)나머지가 유일하다는 사실이 필요하고, 25주차에서 정리로 증명한다. 지금은 증명 없이 인정하고 계산과 직관의 도구로만 쓴다.

그러므로 이번 주의 규칙은 하나다: 답안에서 증명의 출발점은 언제나 정의 \(n \mid (a-b)\)이고, “나머지가 같으니까”는 연습장에서만 쓴다.

확인 5. \(-3 \equiv 7 \pmod 5\)을 두 방식으로 각각 확인해 보자. (가) 정의로 (나) 나머지 관점으로.

답

(가) \(-3 - 7 = -10\)이고 \(-10 = 5 \times (-2)\)이므로 \(5 \mid (-10)\), 따라서

\(-3 \equiv 7 \pmod 5\)이다.

(나) \(-3 = 5 \times (-1) + 2\)이므로 나머지 2, \(7 = 5 \times 1 + 2\)이므로 나머지

2 — 같다. 두 방식이 같은 답을 주지만, 답안에 적는 것은 (가)다. (나)에서

\(-3\)의 나머지를 \(-3\)이나 \(3\)으로 적는 착오가 자주 나오는데, 나눗셈 정리가

요구하는 것은 \(0 \le r < 5\)이므로 몫을 \(-1\)까지 내려야 한다. (가)에는 이런

갈래가 없다.

5 기본 성질 다섯 가지 — 전부 2주차에서 조립된다 [백지 암기 대상]#

임의의 정수 \(a, b, c, d\)와 자연수 \(n\)에 대해 다음이 성립한다.

(C1) 반사: \(a \equiv a \pmod n\)

(C2) 대칭: \(a \equiv b\)이면 \(b \equiv a \pmod n\)

(C3) 추이: \(a \equiv b\)이고 \(b \equiv c\)이면 \(a \equiv c \pmod n\)

(C4) 합 보존: \(a \equiv b\), \(c \equiv d\)이면 \(a + c \equiv b + d \pmod n\)

(C5) 곱 보존: \(a \equiv b\), \(c \equiv d\)이면 \(ac \equiv bd \pmod n\)

다섯 개 전부가 이번 주 안에서 증명된다 — (C1)은 문제 4, (C2)는 문제 5, (C3)은 훈련 2와 문제 7, (C4)는 예제 2.2와 문제 8, (C5)는 문제 17이다. 새 공리를 도입하는 것이 아니라, 2주차에서 만든 부품(배수의 합, 부호 뒤집기, 배수에 정수 곱하기)을 정의 20.1로 번역해 재조립하는 것뿐이다.

확인 6. (C1)~(C3)을 두고 “\(\equiv\)가 등호처럼 행동한다”고 말한다. 등호 \(=\)가 가진 어떤 세 성질을 가리키는 말인가.

답

등호는 \(a = a\)(반사), \(a = b\)이면 \(b = a\)(대칭), \(a = b\)이고 \(b = c\)이면

\(a = c\)(추이)를 만족한다. (C1)~(C3)은 그 셋을 \(\equiv\)가 그대로 가진다는

진술이다. 그래서 합동식은 등식처럼 좌우를 바꿔 쓰거나 사슬로 이어 쓸 수

있다. 이 세 성질을 가진 관계에 동치관계라는 이름이 붙는 것은 36주차이고,

36주차 예제 2.2가 정확히 (C1)(C2)(C3)을 그 정의에 대응시킨다.

닮았다고 해서 같은 것은 아니다. 등호에서 자유롭게 쓰던 조작 하나가 \(\equiv\)에서는 무너진다.

확인 7. \(2 \times 3 \equiv 2 \times 8 \pmod{10}\)인지 정의로 확인해 보자. 그렇다면 양변을 2로 나눈 \(3 \equiv 8 \pmod{10}\)도 참인가.

답

\(2 \times 3 = 6\), \(2 \times 8 = 16\)이고 \(6 - 16 = -10\)이므로 \(10 \mid (-10)\) —

참이다. 그러나 \(3 - 8 = -5\)이고 \(10 \nmid (-5)\)이므로 \(3 \not\equiv 8 \pmod{10}\)이다.

곧 합동식의 양변을 공통 인수로 나누는 조작은 허용되지 않는다. 곱하기는

(C5)로 보장되지만 나누기는 보장되지 않는다 — 문제 9(b)(양변에 정수를 곱해도

합동)의 역이 성립하지 않는 것이고, 어떤 조건에서 나눌 수 있는지는 정수론의

별도 주제다. 이번 주

답안에서는 합동식을 나누지 않는다. (문제 20에서 이 차이를 언어로 정리한다.)

6 계산 기술 — 큰 수를 작은 수로 갈아 끼우기#

(C5)의 증명은 §2 예제 2.2 말미에서 완성되고, 답안 형태로 적는 것은 문제 17이다. 이 절의 계산에서는 그 결과를 앞당겨 인정하고 쓴다.

(C5)를 자기 자신에 두 번, 세 번 반복 적용하면 \(a \equiv b \Rightarrow a^2 \equiv b^2 \Rightarrow a^3 \equiv b^3\) 식으로 이어진다. 일반형 “\(a \equiv b\)이면 모든 자연수 \(m\)에 대해 \(a^m \equiv b^m \pmod n\)”의 엄밀한 증명은 반복 자체를 정당화하는 도구가 필요해서 31주차 귀납법의 몫이다 (31주차 문제 13). 지금은 유한 번 반복으로 납득하고 인정하며 쓴다.

이 갈아 끼우기가 무엇을 해 주는지 구체적으로 본다. 일의 자리는 10으로 나눈 나머지이므로 법 10의 세계다. \(3^k\)의 값을 법 10에서 줄여 보자.

\(k\)	\(3^k\)	\(\pmod{10}\)에서
\(1\)	\(3\)	\(3\)
\(2\)	\(9\)	\(9\)
\(3\)	\(27\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
\(4\)	\(81\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)

확인 8. 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 그리고 \(k = 5\)부터는 왜 새로 계산할 필요가 없는가.

답

(1) \(27 - 7 = 20\)이므로 \(27 \equiv 7 \pmod{10}\).

(2) \(81 - 1 = 80\)이므로 \(81 \equiv 1 \pmod{10}\).

\(3^4 \equiv 1\)이 나온 순간, \(3^5 = 3^4 \cdot 3 \equiv 1 \cdot 3 = 3\)이 (C5)로

바로 나온다. 그다음도 \(9, 7, 1\)이 반복된다 — 값들이 주기 4로 순환하므로

새 계산이 필요 없다. 이 밑에서는 1이 나오는 지수를 찾는 것이 계산의

목표다. 다만 1이 돌아오지 않는 밑도 있다 — 법 10에서 2의 거듭제곱은

2, 4, 8, 6이 반복될 뿐 1이 나오지 않는다. 그때는 1 대신 앞서 나온 값이

다시 나오는 지점을 주기로 잡는다.

확인 9. \(3^{100}\)의 일의 자리를 구해 보자. \(100\)을 4로 나눈 나머지부터 본다.

답

\(100 = 4 \times 25\)이므로 \(3^{100} = (3^4)^{25}\)이다. \(3^4 \equiv 1 \pmod{10}\)이고

거듭제곱 보존에 의해 \((3^4)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod{10}\)이다. 따라서

\(3^{100}\)의 일의 자리는 1이다. 48자리 수를 직접 계산하지 않고, 법 10에서

값을 한 자리 수로 갈아 끼워 답을 얻었다 — 이것이 합동 계산의 실제 쓸모다.

7 수학적 글쓰기 규칙 6조 [백지 암기 대상]#

15주차 §1.8에서 세운 글쓰기 규범 세 가지(문장으로 쓴다 / 문자를 소개한다 / 결론을 가정하지 않는다)를, 답안에서 실제로 어긋나는 지점까지 내려가 여섯 조항으로 세분한다. 규범 3(결론 가정 금지)은 이미 서식의 오프닝으로 굳어져 있으므로 아래 목록에는 나오지 않는다.

글쓰기 규칙 6조

문장을 수식 기호로 시작하지 않는다. “\(x^2 \ge 0\)이므로 …”(\(\times\)) \(\to\) “모든 실수의 제곱은 0 이상이므로 …” 또는 “부등식 \(x^2 \ge 0\)에 의해 …”(\(\circ\))
모든 기호는 소개한 뒤에 사용한다. (15주차 규범 2) “\(n = 2k+1\)”이 아니라 “\(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다”.
등호는 같은 대상 사이에만 쓴다. “\(4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1 = \) 홀수”(\(\times\)) — “홀수”는 수가 아니므로 등호로 이을 수 없다.
\(\Rightarrow\)를 접속사로 남용하지 않는다. 산문에서는 “그러므로/따라서/이므로”를 쓰고, \(\Rightarrow\)는 명제 안에서만 쓴다.
기호보다 말이 명확하면 말로 쓴다. 증명은 사람이 읽는 글이고, 기호 나열은 근거 사슬을 감춘다.
증명의 시작과 끝을 표시한다. “증명.”으로 열고 \(\blacksquare\)로 닫는다.

확인 10. 다음 세 조각은 각각 몇 조를 어긴 것인가.

(가) “\(n \mid (a-b) \Rightarrow a - b = nk \Rightarrow \dots\)”

(나) “\(a - b = nk\)이므로 …” (앞에 \(k\)에 대한 언급 없음)

(다) “\(3k\) = 짝수”

답

(가) 4조 — \(\Rightarrow\)를 접속사로 늘어놓았다. “정의에 의해 …이므로 …이다”로

고쳐 쓴다. 문장이 기호로 시작하므로 1조도 함께 어기고, 또한 \(k\)가 선언 없이

등장하므로 2조도 어긴다.

(나) 2조 — \(k\)가 어디서 온 문자인지 선언이 없다. “\(a - b = nk\)인 정수 \(k\)가

존재한다”가 되어야 한다.

(다) 3조 — 수 \(3k\)와 성질 “짝수”를 등호로 이었다. “\(3k\)는 짝수이다”로 적는다.

세 조각 모두 계산은 옳고 서술만 틀렸다. 이 여섯 조항으로 답안을 고쳐 쓰는

훈련이 문제 19다.

8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#

1주차 §1.6에서 세 칸으로 시작해 2주차 §1.6에서 네 칸이 된 근거 목록은 이번 주에도 네 칸이다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다.

근거	이번 주에 추가되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	정의 20.1(합동)	“\(a \equiv b \pmod n\)” \(\leftrightarrow\) “\(n \mid (a-b)\)” 사이를 번역한다. 증명의 첫 줄과 마지막 줄이 이 번역이다
② 닫힘성	변화 없음	“\(k + l\)은 정수이므로”, “\(ck + bl\)은 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다
③ 등식의 성질	변화 없음. 다만 빼고 더하기(같은 항을 더했다 빼서 덩어리를 만드는 변형)가 본격적으로 쓰인다	\(ac - bd\)에 \(-bc + bc\)를 삽입해 두 덩어리로 쪼갠다(예제 2.2, 문제 17)
④ 이미 증명한 명제	2주차 예제 2.2(배수의 합), 2주차 문제 8(부호 뒤집기), 2주차 훈련 1(배수에 정수 곱하기), 그리고 증명이 끝난 순서대로 (C1)~(C5)	“(C4)에 의해”, “(C5)에 의해”가 이번 주 답안의 표준 문구가 된다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “나머지가 같으니까”는 목록에 없다 — §1.4에서 정한 대로 그 관점은 연습장용이고, 답안에서는 \(n \mid (a-b)\)로 적어야 근거 ①이 된다.

확인 11. 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “정의에 의해 \(n \mid (a-b)\)이므로 \(a - b = nk\)인 정수 \(k\)가 존재한다.”

(나) “17과 5는 6으로 나눈 나머지가 둘 다 5이므로 \(17 \equiv 5 \pmod 6\)이다.”

(다) “(C4)에 의해 \(a + c \equiv b + d \pmod n\)이다.”

답

(가) 허용 — 근거 ①. 정의 20.1로 한 번, 정의 2.1로 한 번, 두 겹을 연달아 푼

것이다.

(나) 불허 — 나머지 관점은 근거 목록에 없다(§1.4). 같은 내용을

“\(17 - 5 = 12 = 6 \times 2\)이므로 \(6 \mid 12\), 정의에 의해 \(17 \equiv 5 \pmod 6\)”로

적으면 근거 ①이 되어 허용된다. 내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다.

(다) 허용 — 근거 ④. 단, (C4)가 이미 증명된 뒤에만 인용할 수 있다. 예제 2.2가

그 증명이고, 그 전에 인용하면 아직 갚지 않은 빚을 쓰는 셈이 된다.

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 20.1은 문장을 통째로 외우는 것보다 §1.3의 조각별 이유와 함께 외우는 편이 안전하다.