# 20주차 — 정수의 합동 (Congruence)과 수학적 글쓰기 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: $\equiv$는 나머지의 세계에서의 등호이고, 그 등호의 정의는 $n \mid (a - b)$ 한 줄뿐이다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 20주차. 2주차에서 조립해 둔 나누어떨어짐의 정리들이 기호 하나로 재포장되어, 큰 수의 나머지 계산과 배수 판정법이 증명 가능한 명제가 된다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 5.2 (Congruence of Integers), 5.3 (Mathematical Writing) — 병행자를 위한 표기이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. $a \equiv b \pmod n$의 **정의**를 백지에 쓰고, 2주차의 정리들로 기본 성질 (C1)~(C5)를 증명한다. 1. 합동 산술로 큰 수의 나머지(일의 자리, 요일)를 계산한다. 1. "9의 배수 판정법"을 증명한다 — 중학교에서 외운 규칙의 근거를 회수한다. 1. 수학적 글쓰기 규칙 6조를 익히고, 자기 답안을 그 여섯 조항으로 점검한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (19주차 복습) 1. "$3 \mid n^2$이면 $3 \mid n$"의 증명 구조(대우 + 경우 나누기)를 말로 재현하시오. (19주차 예제 2.2) 1. $a \mid b$이고 $a \mid c$이면 $a \mid (b + c)$임을 안 보고 증명하시오. (2주차 예제 2.2이고, 이번 주 거의 모든 증명의 몸통이 된다.) 1. 대우 증명의 첫 문장은 무엇으로 시작하는지 쓰시오. ### 자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 구체적인 수로 확인.** "$a = 3$, $b = 6$, $c = 9$이면 $b + c = 15$가 3의 배수다"라고 적는다. 계산은 옳고, 명제가 참이라는 심증도 옳다. 빠진 것은 범위다 — 확인한 것은 세 수 한 벌뿐이고, 명제는 모든 정수 $a, b, c$를 주장한다. 문자로 잡아야 무한 개의 사례가 한 번에 처리된다(2주차 예제 2.1). - **유형 2 — 나눗셈으로 서술.** "$b/a$와 $c/a$가 정수이므로 $(b+c)/a$도 정수다"로 적는다. 방향은 맞다. 문제는 근거의 꼴이다 — 나눗셈은 정수 세계를 떠나고, $a = 0$에서는 아예 정의되지 않는다. 2주차 §1.1에서 정의를 곱셈 등식으로 잡은 이유가 이것이고, 근거 목록에도 나눗셈 계산은 들어 있지 않다. - **유형 3 — 같은 문자 재사용.** $b = ak$, $c = ak$로 잡고 $b + c = 2ak$를 얻는다. 전개는 옳다. 그러나 두 몫에 같은 문자를 쓰는 순간 $b = c$를 몰래 가정한 것이 되어, 증명된 범위가 "$b = c$인 경우"로 줄어든다. 서로 다른 대상에는 서로 다른 문자 — $b = ak$, $c = al$이다. ## 개념 — 나머지가 같다를 등식으로 ### 1 "나머지가 같다"만으로 증명을 시도하면 어디서 막히는가 이번 주의 소재는 "$n$으로 나눈 나머지가 같다"이다. 17주차부터 써 온 나눗셈 정리의 표현으로 이 말을 그대로 옮기면, 정수 $a, b$와 자연수 $n$에 대해 $$ a = nq_1 + r, \qquad b = nq_2 + r \qquad (0 \le r < n) $$ 인 정수 $q_1, q_2, r$이 존재한다는 뜻이 된다. 이 표현을 정의로 삼고, 이번 주가 목표로 하는 대표 명제를 밀어붙여 보자. :::{admonition} 시도 — 나머지 표현으로 밀어붙이기 :class: quotebox 명제: $a$와 $b$의 나머지가 같고 $c$와 $d$의 나머지가 같으면, $a + c$와 $b + d$의 나머지도 같다. "$a = nq_1 + r$, $b = nq_2 + r$, $c = nq_3 + s$, $d = nq_4 + s$라 하자. 그러면 $a + c = n(q_1 + q_3) + (r + s)$이고 $b + d = n(q_2 + q_4) + (r + s)$이므로, 두 나머지는 똑같이 $r + s$이다 — " ::: 여기서 멈춘다. $r + s$가 나머지 노릇을 하려면 $0 \le r + s < n$이어야 하는데, 가정이 보장하는 것은 $0 \le r < n$과 $0 \le s < n$뿐이다. :::{container} quotebox **확인 1.** $r + s \ge n$이 되면 위 논증의 어느 문장이 거짓이 되는가. $n = 6$, $a = 10$, $b = 4$, $c = 11$, $d = 5$를 실제로 넣어 확인해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 마지막 문장 "두 나머지는 똑같이 $r + s$이다"가 거짓이 된다. $10 = 6 \times 1 + 4$, $4 = 6 \times 0 + 4$이므로 $r = 4$이고, $11 = 6 \times 1 + 5$, $5 = 6 \times 0 + 5$이므로 $s = 5$이다. 그런데 $a + c = 21 = 6 \times 3 + 3$, $b + d = 9 = 6 \times 1 + 3$ — 나머지는 둘 다 3이지 $r + s = 9$가 아니다. 결론 자체는 성립하지만 논증이 그 결론에 닿지 못한다. 제대로 하려면 $r + s < n$인 경우와 $r + s \ge n$인 경우로 나누고, 후자에서 $r + s - n$이 새 나머지임을 다시 확인해야 한다. 곱 보존을 같은 방식으로 다루면 $rs$의 나머지를 또 구해야 해서 갈래가 더 늘어난다. ::: 갈래가 늘어나는 원인은 하나다 — 나머지 $r$을 **계산해서** 비교하기 때문이다. 나머지를 계산하지 않고 두 수만으로 "나머지가 같다"를 적을 수 있으면 이 갈래는 통째로 사라진다. :::{container} quotebox **확인 2.** $a = nq_1 + r$과 $b = nq_2 + r$을 변끼리 빼면 $r$이 사라진다. 무엇이 남는가. "$a - b = \underline{\quad}$" 꼴로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $a - b = n(q_1 - q_2)$. $q_1 - q_2$는 정수이므로(근거 ②), 이 등식은 2주차 정의 2.1의 꼴 그대로이고 곧 $n \mid (a - b)$를 뜻한다. 나머지 $r$은 한 번도 계산하지 않았는데 식에서 사라졌다 — 두 수의 **차가 $n$의 배수**라는 조건 하나에 "나머지가 같다"가 전부 담긴 것이다. 게다가 $n \mid (a-b)$는 2주차의 정리들이 그대로 작동하는 꼴이다. ::: ### 2 두 판정이 언제나 일치하는가 — 표로 확인 정수 $a, b$와 법 $n$이 주어질 때 두 가지를 각각 판정해 보자. 왼쪽은 나눗셈 정리로 나머지를 구해 비교하는 판정이고, 오른쪽은 차 $a - b$가 $n$의 배수인지 보는 판정이다. 빈칸을 채운 뒤 두 판정 열을 비교한다. | **$n$** | **$a$** | **$b$** | **$a$의 나머지** | **$b$의 나머지** | **나머지가 같은가** | **$a - b$** | **$n \mid (a-b)$인가** | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $6$ | $17$ | $5$ | $5$ | $5$ | 예 | $12$ | 예 | | $9$ | $58$ | $5$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $5$ | $\underline{\quad}$ | $53$ | $\underline{\quad}$ | | $5$ | $-3$ | $7$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $2$ | $\underline{\quad}$ | $-10$ | $\underline{\quad}$ | | $8$ | $21$ | $7$ | $5$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | $14$ | $\underline{\quad}$ | | $12$ | $15$ | $3$ | $3$ | $3$ | 예 | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 3.** 빈칸 (1)~(4)를 채우고, "나머지가 같은가" 열과 "$n \mid (a-b)$인가" 열을 나란히 읽어 보자. 어긋나는 행이 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $58 = 9 \times 6 + 4$이므로 4 — 5와 다르고, $53 = 9 \times 5 + 8$이므로 $9 \nmid 53$. 두 열 모두 "아니오". (2) $-3 = 5 \times (-1) + 2$이므로 2 — 2와 같고, $-10 = 5 \times (-2)$이므로 $5 \mid (-10)$. 두 열 모두 "예". 음수가 끼어도 판정은 그대로 작동한다. (3) $7 = 8 \times 0 + 7$이므로 7 — 5와 다르고, $8 \nmid 14$. 두 열 모두 "아니오". (4) $15 - 3 = 12$이고 $12 \mid 12$이므로 "예" — 나머지 열도 "예". 어긋나는 행은 없다. 다섯 행 전부에서 두 판정이 같은 답을 냈고, 오른쪽 판정은 나머지를 구하지 않고 뺄셈 한 번으로 끝난다. ::: 이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표의 오른쪽 두 열에서 한 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 20.1 — 합동 (congruence) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 정수 $a, b$와 자연수 $n$에 대해, $$ a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) $$ 이때 "$a$와 $b$는 법 $n$에 대해 합동"이라 읽는다. 합동이 아니면 $a \not\equiv b \pmod n$. ::: 기호를 읽는 법까지가 정의다. $\equiv$는 등호에 막대를 하나 더 그은 기호이고, "합동이다"로 읽는다. $\pmod n$은 "법 $n$에 대하여"로 읽으며, 이때 $n$을 **법**(modulus)이라 부른다. $\not\equiv$는 $\equiv$에 빗금을 그은 것 — "합동이 아니다"이다. 그러므로 $17 \equiv 5 \pmod 6$은 "17은 법 6에 대해 5와 합동이다"로 읽는다. **예.** 정의로 네 사례를 판정해 보면 — - $17 \equiv 5 \pmod 6$: $17 - 5 = 12 = 6 \times 2$이므로 $6 \mid 12$. 참. - $-3 \equiv 7 \pmod 5$: $-3 - 7 = -10 = 5 \times (-2)$이므로 $5 \mid (-10)$. 참 — 음수도 정의가 그대로 처리한다. - $15 \equiv 3 \pmod{12}$: $15 - 3 = 12$이므로 참. 시계에서 15시가 오후 3시인 것이 이 합동이다. - $n \equiv 0 \pmod 2$: $2 \mid (n - 0)$, 곧 $n$이 짝수라는 뜻이다. 1주차의 짝$\cdot$홀 세계 전체가 법 2의 합동으로 흡수된다. ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정과 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명(판정)에서의 역할** | |---|---|---| | "정수 $a, b$에 대해" | 무대의 선언 | $a, b$는 음수여도 되고 크기 순서도 상관없다 — 나머지를 따로 구하지 않으므로 부호 갈래가 생기지 않는다 | | "자연수 $n$에 대해" | 법의 자격 제한 | 법은 1 이상 — $n = 0$이면 $0 \mid (a-b)$가 되어 $a = b$일 때만 참인 시시한 관계로 붕괴한다 | | "$n \mid (a - b)$" | **등식** 제공 | 계산이 시작되는 지점. 한 겹 더 풀면 $a - b = nk$인 정수 $k$가 존재한다(정의 2.1). 차의 순서가 $a - b$로 고정되어 있는데도 순서를 바꿔 써도 되는 근거는 대칭성 (C2)이고, 그 증명은 문제 5다 | | "$\pmod n$" 표기 | 법을 식에 달고 다닌다 | 이 표기가 빠지면 참$\cdot$거짓이 정해지지 않는다 (아래 실험) | **조각 삭제 실험.** 마지막 조각 "$\pmod n$"을 지우고 "$17 \equiv 5$"라고만 써 보자. :::{container} quotebox **확인 4.** $17 \equiv 5 \pmod n$이 참이 되는 자연수 $n$을 모두 찾아보자. 그리고 법 표기를 지우면 정확히 무엇이 무너지는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $17 - 5 = 12$이므로 $n \mid 12$인 $n$, 곧 $n = 1, 2, 3, 4, 6, 12$에서 참이고 그 밖의 $n$(예: $5, 7, 8$)에서는 거짓이다. 법을 지운 "$17 \equiv 5$"는 참인 경우와 거짓인 경우를 동시에 가지므로 참$\cdot$거짓이 정해지지 않는다 — 명제가 아니게 된다. 2주차 §1.4에서 확인한 기준 그대로다: 참$\cdot$거짓을 물을 수 있어야 명제이고, 명제여야 증명의 재료가 된다. 그래서 답안에서는 $\pmod n$을 한 번도 빠뜨리지 않는다. ::: ### 4 나머지 관점과의 다리 정의는 $n \mid (a-b)$이지만, 계산할 때 머릿속에서 쓰는 그림은 여전히 "나머지가 같다"이다. 둘의 관계를 정리해 둔다. §1.1의 확인 2에서 한 방향은 이미 증명했다 — $a$와 $b$의 나머지가 같으면 $a - b = n(q_1 - q_2)$이므로 $a \equiv b \pmod n$이다. 반대 방향 ($n \mid (a-b)$이면 두 나머지가 같다)은 나눗셈 정리의 몫$\cdot$나머지가 유일하다는 사실이 필요하고, 25주차에서 정리로 증명한다. 지금은 증명 없이 인정하고 **계산과 직관의 도구로만** 쓴다. 그러므로 이번 주의 규칙은 하나다: 답안에서 증명의 출발점은 언제나 정의 $n \mid (a-b)$이고, "나머지가 같으니까"는 연습장에서만 쓴다. :::{container} quotebox **확인 5.** $-3 \equiv 7 \pmod 5$을 두 방식으로 각각 확인해 보자. (가) 정의로 (나) 나머지 관점으로. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) $-3 - 7 = -10$이고 $-10 = 5 \times (-2)$이므로 $5 \mid (-10)$, 따라서 $-3 \equiv 7 \pmod 5$이다. (나) $-3 = 5 \times (-1) + 2$이므로 나머지 2, $7 = 5 \times 1 + 2$이므로 나머지 2 — 같다. 두 방식이 같은 답을 주지만, 답안에 적는 것은 (가)다. (나)에서 $-3$의 나머지를 $-3$이나 $3$으로 적는 착오가 자주 나오는데, 나눗셈 정리가 요구하는 것은 $0 \le r < 5$이므로 몫을 $-1$까지 내려야 한다. (가)에는 이런 갈래가 없다. ::: ### 5 기본 성질 다섯 가지 — 전부 2주차에서 조립된다 [백지 암기 대상] 임의의 정수 $a, b, c, d$와 자연수 $n$에 대해 다음이 성립한다. :::{container} quotebox (C1) **반사**: $a \equiv a \pmod n$ (C2) **대칭**: $a \equiv b$이면 $b \equiv a \pmod n$ (C3) **추이**: $a \equiv b$이고 $b \equiv c$이면 $a \equiv c \pmod n$ (C4) **합 보존**: $a \equiv b$, $c \equiv d$이면 $a + c \equiv b + d \pmod n$ (C5) **곱 보존**: $a \equiv b$, $c \equiv d$이면 $ac \equiv bd \pmod n$ ::: 다섯 개 전부가 이번 주 안에서 증명된다 — (C1)은 문제 4, (C2)는 문제 5, (C3)은 훈련 2와 문제 7, (C4)는 예제 2.2와 문제 8, (C5)는 문제 17이다. 새 공리를 도입하는 것이 아니라, 2주차에서 만든 부품(배수의 합, 부호 뒤집기, 배수에 정수 곱하기)을 정의 20.1로 번역해 재조립하는 것뿐이다. :::{container} quotebox **확인 6.** (C1)~(C3)을 두고 "$\equiv$가 등호처럼 행동한다"고 말한다. 등호 $=$가 가진 어떤 세 성질을 가리키는 말인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 등호는 $a = a$(반사), $a = b$이면 $b = a$(대칭), $a = b$이고 $b = c$이면 $a = c$(추이)를 만족한다. (C1)~(C3)은 그 셋을 $\equiv$가 그대로 가진다는 진술이다. 그래서 합동식은 등식처럼 좌우를 바꿔 쓰거나 사슬로 이어 쓸 수 있다. 이 세 성질을 가진 관계에 **동치관계**라는 이름이 붙는 것은 36주차이고, 36주차 예제 2.2가 정확히 (C1)(C2)(C3)을 그 정의에 대응시킨다. ::: **닮았다고 해서 같은 것은 아니다.** 등호에서 자유롭게 쓰던 조작 하나가 $\equiv$에서는 무너진다. :::{container} quotebox **확인 7.** $2 \times 3 \equiv 2 \times 8 \pmod{10}$인지 정의로 확인해 보자. 그렇다면 양변을 2로 나눈 $3 \equiv 8 \pmod{10}$도 참인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $2 \times 3 = 6$, $2 \times 8 = 16$이고 $6 - 16 = -10$이므로 $10 \mid (-10)$ — 참이다. 그러나 $3 - 8 = -5$이고 $10 \nmid (-5)$이므로 $3 \not\equiv 8 \pmod{10}$이다. 곧 **합동식의 양변을 공통 인수로 나누는 조작은 허용되지 않는다.** 곱하기는 (C5)로 보장되지만 나누기는 보장되지 않는다 — 문제 9(b)(양변에 정수를 곱해도 합동)의 역이 성립하지 않는 것이고, 어떤 조건에서 나눌 수 있는지는 정수론의 별도 주제다. 이번 주 답안에서는 합동식을 나누지 않는다. (문제 20에서 이 차이를 언어로 정리한다.) ::: ### 6 계산 기술 — 큰 수를 작은 수로 갈아 끼우기 (C5)의 증명은 §2 예제 2.2 말미에서 완성되고, 답안 형태로 적는 것은 문제 17이다. 이 절의 계산에서는 그 결과를 앞당겨 인정하고 쓴다. (C5)를 자기 자신에 두 번, 세 번 반복 적용하면 $a \equiv b \Rightarrow a^2 \equiv b^2 \Rightarrow a^3 \equiv b^3$ 식으로 이어진다. 일반형 "$a \equiv b$이면 모든 자연수 $m$에 대해 $a^m \equiv b^m \pmod n$"의 엄밀한 증명은 반복 자체를 정당화하는 도구가 필요해서 31주차 귀납법의 몫이다 (31주차 문제 13). 지금은 유한 번 반복으로 납득하고 인정하며 쓴다. 이 갈아 끼우기가 무엇을 해 주는지 구체적으로 본다. 일의 자리는 10으로 나눈 나머지이므로 법 10의 세계다. $3^k$의 값을 법 10에서 줄여 보자. | **$k$** | **$3^k$** | **$\pmod{10}$에서** | |---|---|---| | $1$ | $3$ | $3$ | | $2$ | $9$ | $9$ | | $3$ | $27$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $4$ | $81$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 8.** 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. 그리고 $k = 5$부터는 왜 새로 계산할 필요가 없는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $27 - 7 = 20$이므로 $27 \equiv 7 \pmod{10}$. (2) $81 - 1 = 80$이므로 $81 \equiv 1 \pmod{10}$. $3^4 \equiv 1$이 나온 순간, $3^5 = 3^4 \cdot 3 \equiv 1 \cdot 3 = 3$이 (C5)로 바로 나온다. 그다음도 $9, 7, 1$이 반복된다 — 값들이 주기 4로 순환하므로 새 계산이 필요 없다. 이 밑에서는 **1이 나오는 지수를 찾는 것**이 계산의 목표다. 다만 1이 돌아오지 않는 밑도 있다 — 법 10에서 2의 거듭제곱은 2, 4, 8, 6이 반복될 뿐 1이 나오지 않는다. 그때는 1 대신 앞서 나온 값이 다시 나오는 지점을 주기로 잡는다. ::: :::{container} quotebox **확인 9.** $3^{100}$의 일의 자리를 구해 보자. $100$을 4로 나눈 나머지부터 본다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $100 = 4 \times 25$이므로 $3^{100} = (3^4)^{25}$이다. $3^4 \equiv 1 \pmod{10}$이고 거듭제곱 보존에 의해 $(3^4)^{25} \equiv 1^{25} = 1 \pmod{10}$이다. 따라서 $3^{100}$의 일의 자리는 1이다. 48자리 수를 직접 계산하지 않고, 법 10에서 값을 한 자리 수로 갈아 끼워 답을 얻었다 — 이것이 합동 계산의 실제 쓸모다. ::: ### 7 수학적 글쓰기 규칙 6조 [백지 암기 대상] 15주차 §1.8에서 세운 글쓰기 규범 세 가지(문장으로 쓴다 / 문자를 소개한다 / 결론을 가정하지 않는다)를, 답안에서 실제로 어긋나는 지점까지 내려가 여섯 조항으로 세분한다. 규범 3(결론 가정 금지)은 이미 서식의 오프닝으로 굳어져 있으므로 아래 목록에는 나오지 않는다. :::{admonition} 글쓰기 규칙 6조 :class: quotebox 1. **문장을 수식 기호로 시작하지 않는다.** "$x^2 \ge 0$이므로 …"($\times$) $\to$ "모든 실수의 제곱은 0 이상이므로 …" 또는 "부등식 $x^2 \ge 0$에 의해 …"($\circ$) 2. **모든 기호는 소개한 뒤에 사용한다.** (15주차 규범 2) "$n = 2k+1$"이 아니라 "$n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다". 3. **등호는 같은 대상 사이에만 쓴다.** "$4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1 = $ 홀수"($\times$) — "홀수"는 수가 아니므로 등호로 이을 수 없다. 4. **$\Rightarrow$를 접속사로 남용하지 않는다.** 산문에서는 "그러므로/따라서/이므로"를 쓰고, $\Rightarrow$는 명제 안에서만 쓴다. 5. **기호보다 말이 명확하면 말로 쓴다.** 증명은 사람이 읽는 글이고, 기호 나열은 근거 사슬을 감춘다. 6. **증명의 시작과 끝을 표시한다.** "증명."으로 열고 $\blacksquare$로 닫는다. ::: :::{container} quotebox **확인 10.** 다음 세 조각은 각각 몇 조를 어긴 것인가. (가) "$n \mid (a-b) \Rightarrow a - b = nk \Rightarrow \dots$" (나) "$a - b = nk$이므로 …" (앞에 $k$에 대한 언급 없음) (다) "$3k$ = 짝수" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 4조 — $\Rightarrow$를 접속사로 늘어놓았다. "정의에 의해 …이므로 …이다"로 고쳐 쓴다. 문장이 기호로 시작하므로 1조도 함께 어기고, 또한 $k$가 선언 없이 등장하므로 2조도 어긴다. (나) 2조 — $k$가 어디서 온 문자인지 선언이 없다. "$a - b = nk$인 정수 $k$가 존재한다"가 되어야 한다. (다) 3조 — 수 $3k$와 성질 "짝수"를 등호로 이었다. "$3k$는 짝수이다"로 적는다. 세 조각 모두 계산은 옳고 서술만 틀렸다. 이 여섯 조항으로 답안을 고쳐 쓰는 훈련이 문제 19다. ::: ### 8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 1주차 §1.6에서 세 칸으로 시작해 2주차 §1.6에서 네 칸이 된 근거 목록은 이번 주에도 네 칸이다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다. | **근거** | **이번 주에 추가되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **정의 20.1**(합동) | "$a \equiv b \pmod n$" $\leftrightarrow$ "$n \mid (a-b)$" 사이를 번역한다. 증명의 첫 줄과 마지막 줄이 이 번역이다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | "$k + l$은 정수이므로", "$ck + bl$은 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 변화 없음. 다만 **빼고 더하기**(같은 항을 더했다 빼서 덩어리를 만드는 변형)가 본격적으로 쓰인다 | $ac - bd$에 $-bc + bc$를 삽입해 두 덩어리로 쪼갠다(예제 2.2, 문제 17) | | ④ 이미 증명한 명제 | 2주차 예제 2.2(배수의 합), 2주차 문제 8(부호 뒤집기), 2주차 훈련 1(배수에 정수 곱하기), 그리고 증명이 끝난 순서대로 **(C1)~(C5)** | "(C4)에 의해", "(C5)에 의해"가 이번 주 답안의 표준 문구가 된다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 "나머지가 같으니까"는 목록에 없다 — §1.4에서 정한 대로 그 관점은 연습장용이고, 답안에서는 $n \mid (a-b)$로 적어야 근거 ①이 된다. :::{container} quotebox **확인 11.** 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "정의에 의해 $n \mid (a-b)$이므로 $a - b = nk$인 정수 $k$가 존재한다." (나) "17과 5는 6으로 나눈 나머지가 둘 다 5이므로 $17 \equiv 5 \pmod 6$이다." (다) "(C4)에 의해 $a + c \equiv b + d \pmod n$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ①. 정의 20.1로 한 번, 정의 2.1로 한 번, 두 겹을 연달아 푼 것이다. (나) 불허 — 나머지 관점은 근거 목록에 없다(§1.4). 같은 내용을 "$17 - 5 = 12 = 6 \times 2$이므로 $6 \mid 12$, 정의에 의해 $17 \equiv 5 \pmod 6$"로 적으면 근거 ①이 되어 허용된다. 내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다. (다) 허용 — 근거 ④. 단, (C4)가 이미 증명된 뒤에만 인용할 수 있다. 예제 2.2가 그 증명이고, 그 전에 인용하면 아직 갚지 않은 빚을 쓰는 셈이 된다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 20.1은 문장을 통째로 외우는 것보다 §1.3의 조각별 이유와 함께 외우는 편이 안전하다.