16주차 — 직접 증명 확장: 부등식

16주차 — 직접 증명 확장: 부등식#

이 주의 길잡이

핵심 문장: \(A \ge B\)를 보이려면 차 \(A - B\)가 0 이상임을 보인다 — 그리고 “0 이상”의 근원은 거의 언제나 제곱이다.

이 주의 위치: 50주 과정의 16주차. 4부(증명 기법)의 두 번째 주. 15주차에서 굳힌 직접 증명의 서식을 부등식이라는 새 소재에 적용한다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 4장 연습문제의 부등식 소재. 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표#

  1. 대소 관계의 정의(\(a < b\)는 차 \(b - a\)가 양수라는 뜻)를 백지에 쓰고, 부등식 증명이 왜 차의 부호 판정으로 바뀌는지 설명할 수 있다.

  2. 증명에서 근거로 인용할 부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)을 백지에 쓰고, 각각이 어디서 나오는지 말할 수 있다.

  3. 차–제곱 전략 3단계로 부등식을 증명하고, 등호 조건까지 함께 밝힐 수 있다.

  4. 산술–기하 평균 부등식(AM–GM)을 등호 조건까지 증명하고 다른 문제의 부품으로 쓴다.

  5. “결론에서 출발”하는 답안이 왜 증명이 아닌지 진단하고, 순방향으로 고쳐 쓸 수 있다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (15주차 복습)#

  1. 유리수의 정의를 쓰고, “두 유리수의 합은 유리수”의 증명 첫 두 문장을 쓰시오.

  2. 소수와 합성수의 정의를 쓰시오.

  3. \(x\)가 짝수이면 \(x^2 - 6x + 5\)가 홀수임을 안 보고 증명하시오. (15주차 문제 7이다. 막히면 15주차 §2의 서식으로 돌아갔다가 다시 시도한다.)

자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

  • 유형 1 — 대입 확인. \(x = 2, 4, 6\)을 넣어 \(-3, -3, 5\)가 전부 홀수임을 확인하고

끝낸다. 계산은 옳다. 빠진 것은 나머지 전부다 — 짝수는 무한히 많고, 확인하지 않은 사례를 보장하는 것은 확인이 아니라 문자다(1주차 §0의 진단이 이 자리였다).

  • 유형 2 — 전개 후 정지. \(x = 2k\)로 잡고 \(4k^2 - 12k + 5\)까지 전개한 뒤 멈춘다.

재료는 다 모였다. 남은 것은 도착점의 확인이다 — 홀수의 정의가 요구하는 꼴이 \(2(\text{정수}) + 1\)이므로, \(5 = 4 + 1\)로 쪼개 \(2(2k^2 - 6k + 2) + 1\)까지 가야 닫힌다.

  • 유형 3 — 기호 나열. “\(x = 2k\). \(x^2 - 6x + 5 = 4k^2 - 12k + 5\). 홀수.” 계산은

옳지만 문장이 없다 — 15주차 규범 1이 지적한 간격이다. 이번 주의 부등식 증명은 줄마다 근거가 다르므로, 접속이 빠지면 읽는 쪽이 근거를 추측해야 한다.

개념 — 부등식을 등식의 언어로#

1 15주차의 서식으로 밀어붙이면 어디서 막히는가#

15주차에서 굳힌 직접 증명의 서식 — 오프닝 \(\to\) 정의 풀어쓰기 \(\to\) 목표 꼴로 변형 \(\to\) 마감 — 을 이번 주의 대표 명제에 그대로 적용해 보자.

시도 — 15주차 서식으로 밀어붙이기

명제: 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)이다.

“\(x, y\)를 임의의 실수라 하자. 정의에 의해 \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)는 …”

둘째 문장에서 멈춘다. 서식의 2단계는 “정의를 풀어 쓴다”인데, 풀어 쓸 정의가 손에 없다. 1주차의 “짝수”에는 \(n = 2k\)가, 2주차의 “\(a \mid b\)”에는 \(b = ak\)가 있었다. 기호 \(\ge\)에 대응하는 등식이 없으므로 계산이 시작되지 않는다. 막힘은 하나 더 있다 — \(\ge\)의 양쪽에 서로 다른 두 식이 있어, 어느 쪽을 건드려야 할지조차 정해지지 않는다.

확인 1. 1주차에서 “짝수”를 등식 \(n = 2k\)로 바꾼 방식을 흉내 내면,

“\(A \ge B\)”는 몇 개의 수에 관한 어떤 종류의 문장으로 바꿔야 계산이

시작되겠는가. 한 구절로 적어 보자.

답

수 하나에 관한 부호 문장으로 바꿔야 한다 — 두 수의 비교를 한 수의

부호 판정으로 압축하는 것이다. 그 한 수의 후보는 차 \(A - B\)이다. 차가

정해지면 건드릴 대상이 하나로 확정되고, “양수인가”라는 판정 하나만 남는다.

이 번역이 §1.2에서 정의가 된다.

2 부호로 — 정의를 만들어 보기#

구체 사례부터 채워 보자. 각 행에서 차 \(b - a\)를 계산하고 그 부호를 적는다. “\(a < b\)가 참인가”는 초등학교부터 쓰던 감각으로 판정하면 된다.

\(a\)

\(b\)

“\(a < b\)”가 참인가

차 \(b - a\)

차의 부호

\(2\)

\(7\)

예

\(5\)

양수

\(-5\)

\(-1\)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

\(3\)

\(3\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

\(4\)

\(-2\)

\(\underline{\quad(5)\quad}\)

\(\underline{\quad(6)\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)~(6)과 부호 칸을 채우고, 셋째 열과 다섯째 열의 관계를

한 문장으로 적어 보자.

답

(1) 예 (2) \(4\), 양수 (3) 아니오 (4) \(0\), 0 (5) 아니오 (6) \(-6\), 음수.

셋째 열이 “예”인 행과 다섯째 열이 “양수”인 행이 정확히 일치한다. 음수끼리

비교하든 부호가 섞이든 예외가 없다 — “작다”라는 감각 전체가 “차가 양수다”라는

한 문장에 담긴다. 이 관찰이 정의의 전부다.

이 관찰에 정식 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 16.1 — 대소 관계 (order) [백지 암기 대상]#

실수 \(a, b\)에 대해, **\(a < b\)**는 차 \(b - a\)가 양수라는 뜻이다.

**\(a \le b\)**는 차 \(b - a\)가 양수이거나 0이라는 뜻이다(즉 “\(a < b\) 또는 \(a = b\)”).

\(a > b\)는 \(b < a\)의, \(a \ge b\)는 \(b \le a\)의 다른 표기다.

기호 \(\le\)는 “작거나 같다”, \(\ge\)는 “크거나 같다”로 읽는다. 막대 하나가 등호의 허용을 뜻한다 — \(<\)에는 없고 \(\le\)에는 있다. 읽는 법까지가 정의다. 정의가 “양수”라는 말에 기대고 있으므로 그 말의 지위를 못 박아 둔다.

인정하고 쓰는 사실 — 실수의 삼분법

임의의 실수 \(t\)는 양수이거나, 0이거나, 음수이거나 셋 중 정확히 하나다.

(“정확히 하나”는 세 경우가 전체를 덮고 서로 겹치지 않는다는 뜻이다.)

\(t\)가 음수라는 것과 \(-t\)가 양수라는 것은 같은 말로 둔다. 이 사실은 실수

체계의 출발점이어서, 이 과정에서는 어느 주차에서도 증명하지 않고 끝까지

인정하고 쓴다. 뒤에 증명이 오기를 기다릴 항목이 아니다.

인정하고 쓰는 사실 — 곱이 0이 되는 경우

실수 \(u, v\)에 대해 \(uv = 0\)인 것은 \(u = 0\)이거나 \(v = 0\)일 때뿐이다.

이것도 실수 체계의 출발점으로, 이 과정에서는 증명하지 않고 인정하고 쓴다.

등호 조건을 인수의 곱에서 읽어 낼 때 쓴다(문제 16(c)).

인정하고 쓰는 사실 — 제곱근

\(a \ge 0\)이면 \(t^2 = a\)인 \(t \ge 0\)이 정확히 하나 존재하고, 이를 \(\sqrt a\)로

쓴다. 따라서 \(\sqrt a \ge 0\)이고 \((\sqrt a)^2 = a\)이며, \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)일 때

\(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\)이다. 기호 \(\sqrt a\)는 “루트 에이”로 읽는다.

이 사실들도 실수 체계의 출발점으로, 이 과정에서는 증명하지 않고 인정하고

쓴다. 예제 2.2와 문제 9\(\cdot\)17\(\cdot\)18이 이 상자에 기댄다.

예. \(-5 < -1\): 차 \(4\)가 양수이므로 참. \(3 \le 3\): 차 \(0\)을 정의가 허용하므로 참. \(4 < -2\): 차 \(-6\)이 음수이므로 거짓.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

정의 16.1은 세 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.

조각

하는 일

증명에서의 역할

“차 \(b - a\)”

두 수의 비교를 한 수로 압축

계산이 시작되는 지점 — §1.1의 막힘이 풀리는 자리

“양수이다”

비교를 부호 판정으로 바꿈

판정 근거가 (W1)~(W6)으로 유한하게 정해진다

“이거나 0” (\(\le\)의 조각)

등호를 허용

등호 조건을 추적하는 자리 — 최솟값 주장의 근거

조각 삭제 실험. 셋째 조각 “이거나 0”을 지우면 \(\le\)와 \(<\)가 같아지고, \(3 \le 3\)이 거짓이 된다. 무너지는 것은 이 한 사례가 아니다.

확인 3. “이거나 0”을 지우면 (W1)에 해당하는 명제 “모든 실수 \(x\)에 대해

\(x^2 \ge 0\)”은 어떻게 되는가. 무너뜨리는 \(x\)를 하나 대 보자.

답

거짓이 된다. \(x = 0\)이면 \(x^2 = 0\)인데 등호가 금지되면 \(0 \ge 0\)이 거짓이므로,

\(x = 0\)이 반례가 된다. 이번 주 증명의 대부분이 (W1)에서 “0 이상”을 받아

오는데 그 통로가 통째로 막히는 셈이다. 조각 하나가 명제 하나의 참\(\cdot\)거짓을

뒤집는다.

4 근거로 쓸 부등식의 기본 성질 [백지 암기 대상]#

증명의 몸통에서 근거로 인용해도 되는 실수의 성질을 여섯 개로 모아 둔다.

백지 암기 대상

부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)

(W1) 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이다. 등호는 \(x = 0\)일 때만 성립한다.

(W2) \(a \le b\)이면 임의의 실수 \(c\)에 대해 \(a + c \le b + c\)이다. 부등호가 \(<\)일 때도 같다 — \(a < b\)이면 \(a + c < b + c\)이다.

(W3) \(a \le b\)이고 \(c > 0\)이면 \(ac \le bc\)이다. \(a \le b\)이고 \(c < 0\)이면 \(ac \ge bc\)이다 (방향 반전). 부등호가 \(<\)일 때도 같다. \(c > 0\)일 때 양변을 \(c\)로 나누는 것은 \(\frac1c\)을 곱하는 것이고 (W5)에 의해 \(\frac1c > 0\)이므로, 나눗셈에서도 방향이 유지된다.

(W4) \(a > 0\)이고 \(b > 0\)이면 \(a + b > 0\)이고 \(ab > 0\)이다. \(a \ge 0\)이고 \(b \ge 0\)이면 \(a + b \ge 0\)이고 \(ab \ge 0\)이다.

(W5) \(c > 0\)이면 \(\frac1c > 0\)이다. 따라서 몫 \(\frac uc\)는 곱 \(u \cdot \frac1c\)로 읽어 (W4)에 넘긴다 — \(u \ge 0\)이고 \(c > 0\)이면 몫은 0 이상, \(u > 0\)이고 \(c > 0\)이면 몫은 양수다.

(W6) (추이성) \(a < b\)이고 \(b < c\)이면 \(a < c\)이다. 부등호 하나가 \(\le\)로 바뀌어도 같다.

여섯 개가 하늘에서 떨어진 것이 아님을 확인해 둔다. (W4)의 앞 절반(양수끼리의 합과 곱이 다시 양수)과 (W5)는 삼분법과 함께 인정하고 쓰는 기본 성질이다 — 삼분법과 마찬가지로 실수 체계의 출발점이어서 이 과정에서는 끝까지 증명하지 않는다. 나머지는 정의 16.1과 이 둘에서 나온다.

(W2)가 나오는 자리. 양변에 \(c\)를 더해도 차가 바뀌지 않는다 — \((b + c) - (a + c) = b - a\)이므로, 가정에서 양수이거나 0이던 차가 그대로다. 정의 16.1에 의해 \(a + c \le b + c\)이다. 가정이 \(a < b\)였다면 차는 양수였고 그 양수가 그대로 남으므로 결론도 \(a + c < b + c\)이다 — 두 판본이 같은 한 줄에서 동시에 나온다.

(W3)이 나오는 자리. 차는 \(bc - ac = (b - a)c\)이다. \(c > 0\)이고 \(b - a\)가 양수이면 (W4)에 의해 곱도 양수 — 방향이 유지된다. \(c < 0\)이면 \(-c\)가 양수이므로 \((b-a)(-c)\)가 양수, 즉 \((b-a)c\)가 음수가 되어 부등호가 뒤집힌다. 방향 반전은 규칙의 예외가 아니라 (W4)의 직접적 결과다. 차가 0인 경우, 즉 \(a = b\)이면 \((b-a)c = 0\)이므로 \(ac = bc\)가 되어 두 결론이 \(\le\)\(\cdot\)\(\ge\)로 그대로 성립한다. 따라서 차가 양수인 경우와 0인 경우가 모두 덮이고, 차가 양수인 경우만 모으면 \(<\) 판본이 그대로 나온다.

(W4)의 뒷 절반이 나오는 자리. \(a \ge 0\), \(b \ge 0\)이면 각각은 양수이거나 0이다. 둘 다 양수면 앞 절반이 그대로 쓰이고, 어느 하나가 0이면 합은 나머지 하나(0 이상)와 같고 곱은 0이다. 어느 경우에도 합과 곱이 0 이상이다.

(W6)이 나오는 자리. \(a < b\)이고 \(b < c\)이면 정의 16.1에 의해 두 차 \(b - a\)와 \(c - b\)가 모두 양수이고, (W4)에 의해 그 합도 양수다. 그런데 \((b - a) + (c - b) = c - a\)이므로 차 \(c - a\)가 양수이고, 정의 16.1에 의해 \(a < c\)이다. 부등호 하나가 \(\le\)이면 대응하는 차가 0일 수 있는데, 그때는 그 차가 0이므로 합이 다른 쪽 양수 그대로이고, 0이 아니면 양수 둘의 합이다 — 어느 경우에도 합은 양수다.

확인 4. \(2 \le 5\)의 양변에 \(c = -3\)을 곱하면 어떤 부등식이 되는가.

실제 수로 확인해 보자.

답

\(2 \times (-3) = -6\), \(5 \times (-3) = -15\)이므로 \(-6 \ge -15\)이다. 차로 확인하면

\((-6) - (-15) = 9\)가 양수 — 방향이 실제로 뒤집혔다. 부등식의 양변에 무엇을

곱할 때는 그 수의 부호를 먼저 말한다는 습관이 여기서 생긴다. 부호를 말하지

않고 곱한 답안은 두 결론 중 어느 쪽인지 정하지 못한 상태다.

(W1)이 나오는 자리. 삼분법으로 \(x\)를 세 경우로 가른다. \(x > 0\)이면 (W4)에 의해 \(x \cdot x > 0\)이다. \(x < 0\)이면 \(-x > 0\)이므로 (W4)에 의해 \((-x)(-x) > 0\)이고, \((-x)(-x) = x^2\)이므로 역시 \(x^2 > 0\)이다. \(x = 0\)이면 \(x^2 = 0\)이다. 세 경우가 전체를 덮고 어느 경우에도 \(x^2 \ge 0\)이며, 등호가 나오는 것은 셋째 경우뿐이다.

확인 5. 위 논증에서 \(x < 0\)인 경우에 (W4)를 쓸 수 있는 이유는 무엇인가.

\(x\) 자체는 양수가 아닌데도 (W4)가 적용되는 자리를 짚어 보자.

답

(W4)에 넣은 것은 \(x\)가 아니라 \(-x\)이다. \(x < 0\)이면 삼분법의 약속대로 \(-x\)가

양수이므로, 양수 두 개 \(-x\)와 \(-x\)의 곱에 (W4)를 적용한 것이다. 부호가

불리한 수는 부호를 뒤집어 양수로 만든 뒤 성질을 적용하고 결과를 원래 식으로

되돌린다 — 이번 주 내내 반복되는 조작이다.

경우를 나누어 쓰는 이 서술 방식은 1주차 문제 16에서 이미 한 번 썼고, 17주차에서 정식 도구로 규격화한다. 이번 주에는 (W1)의 유도에서만 쓴다.

5 표준 전략 — 차–제곱 전략 [백지 암기 대상]#

정의 16.1과 (W1)을 이으면 부등식 증명의 표준 절차가 나온다.

백지 암기 대상

차–제곱 전략

\(A \ge B\)를 증명하려면:

① 차 \(A - B\)(또는 그 양수 배)를 계산한다.

② 그것을 제곱(들의 합, 또는 제곱의 양수 배\(\cdot\)양수 분모 몫)으로 정리한다.

③ (W1)\(\cdot\)(W4)\(\cdot\)(W5)로 “0 이상”을 선언하고(양수 배를 다루었다면 (W3)으로 되돌리고), 정의 16.1로 \(A \ge B\)를 읽는다.

이 세 단계를 거치면 부등식 증명이 대수 변형 문제로 바뀐다. 판정할 것이 하나뿐이고 판정 근거도 (W1) 하나로 고정되므로, 중학교에서 배운 완전제곱 만들기가 이번 주의 중심 기술로 올라선다. ②에서 쓰는 변형은 하나뿐이다:

\[ x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} \]

확인 6. 위 변형으로 \(x^2 - 6x + 10\)을 정리해 보자.

\(x^2 - 6x + 10 = (x - \underline{\quad(1)\quad})^2 + \underline{\quad(2)\quad}\)

답

(1) \(3\) (2) \(1\). \(p = -6\)이므로 \(\frac p2 = -3\)이고 \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\),

여기에 \(10\)을 더하면 \((x-3)^2 + 1\)이다. 제곱 하나와 상수 하나로 갈라지면 부호

판정이 끝난다 — 제곱은 (W1)로 0 이상, 상수 1은 양수이므로 합은 항상 양수다.

문제 1(a)(b)와 문제 5가 이 변형 하나로 풀리고, 문제 1(c)는 \(x^2\)의 계수가

1이 아니므로 앞의 두 항에서 그 계수를 먼저 묶어 괄호 안을 계수 1로 만든 뒤

같은 변형을 쓴다 — 계수 묶기가 한 단계 앞에 붙는다.

6 등호 조건, 그리고 최솟값#

\(A \ge B\) 꼴의 정리는 “언제 등호가 성립하는가”까지 말해야 완전하다. 차–제곱 전략에서는 이 정보가 따로 애쓰지 않아도 나온다. 차를 제곱들의 합으로 정리해 두었으므로, 차가 0이 되는 것은 (W1)의 등호 조건에 의해 각 제곱이 전부 0일 때뿐이기 때문이다.

확인 7. 차가 \((x - y)^2\)으로 정리되었다면 등호는 언제 성립하는가.

차가 \(\dfrac{(a-1)^2}{a}\)(\(a > 0\))로 정리되었다면 어떤가.

답

앞의 경우: \((x-y)^2 = 0 \iff x = y\). 뒤의 경우: 몫은 \((a-1)^2 \cdot \frac1a\)이고

(W5)에 의해 \(\frac1a \neq 0\)이므로, §1.2의 인정 사실 “곱이 0이 되는 경우”에 의해

몫이 0이 되려면 분자가 0이어야 한다 — \((a-1)^2 = 0\), 즉 \(a = 1\). 등호 조건을 찾는

작업이 따로 있는 것이 아니라, 이미 만들어 둔 제곱을 0으로 놓고 읽으면 된다.

등호 조건이 실제로 일을 하는 자리는 최솟값\(\cdot\)최댓값 주장이다. 그 주장이 무엇을 요구하는지 정의로 못 박아 둔다.

정의 16.2 — 최솟값 (minimum) [백지 암기 대상]#

실수들의 모임 \(S\)와 실수 \(m\)에 대해, \(m\)이 \(S\)의 최솟값이다라는 것은

① \(S\)의 모든 원소 \(s\)에 대해 \(m \le s\)이고, ② \(m\) 자신이 \(S\)의 원소라는 뜻이다.

①만 만족하는 \(m\)은 \(S\)의 하계(lower bound)라 한다.

정의 해부. 정의 16.2는 두 조각으로 되어 있고, 이 정의는 계산의 재료가 아니라 판정 기준으로 쓰이므로 해부 표의 셋째 열도 그에 맞춘다.

조각

하는 일

판정에서의 역할

① 모든 \(s\)에 대해 \(m \le s\)

아래로 막는다

부등식 하나를 증명하는 부분 — 하계까지만 확보한다

② \(m \in S\)

값을 하나로 지목한다

등호를 실제로 달성하는 값을 제시하는 부분 — 하계 여럿 중 하나를 고른다

조각 삭제 실험. 조각 ②를 지우면 하계가 전부 최솟값이 된다. \(x > 0\)에서 \(x + \frac{9}{x}\)가 만드는 값들의 모임에서는 \(6\)도, \(5\)도, \(-100\)도 ①을 만족한다 — “최솟값”이라는 말이 값을 하나로 지목하지 못하게 된다.

확인 8. 위 모임에 대해 “최솟값은 5이다”라는 주장은 정의 16.2의 어느

조각에서 무너지는가.

답

조각 ②에서 무너진다. 모든 \(x > 0\)에 대해 \(x + \frac9x \ge 5\)는 참이지만,

\(x + \frac9x = 5\)가 되는 \(x > 0\)은 없으므로 5는 그 모임의 원소가 아니다.

부등식 하나만 증명한 답안은 ①까지만 한 답안이고, ②를 위해서는 등호를 실제로

달성하는 값을 제시해야 한다. 문제 18이 두 단계를 모두 요구한다.

7 위험 구역 — 결론에서 출발하기#

부등식 문제에서 자주 나오는 답안 형태가 하나 있다. 증명할 부등식을 먼저 적어 놓고 변형해서 참인 식에 도달한 뒤 “따라서 참”이라고 닫는 방식이다. 이 방식이 왜 증명이 아닌지, 실제로 무너지는 사례로 확인한다.

무너지는 사례

“증명할 것: \(-1 = 1\).

풀이: 양변을 제곱하면 \(1 = 1\). 이것은 참이다. 따라서 \(-1 = 1\)이다.”

거짓인 명제에서 출발해 참인 식에 도달했다. 8주차 진리표에서 확인한 대로 \(F \Rightarrow T\)는 참이므로, “도달한 식이 참”이라는 사실은 출발점의 참을 전혀 보증하지 않는다. 15주차 규범 3이 금지한 것이 정확히 이 방향이다.

확인 9. 위 사례에서 방향을 뒤집어 “\(1 = 1\)에서 출발해 \(-1 = 1\)로 간다”고

하면 어느 단계가 막히는가.

답

“양변을 제곱한다”의 역방향, 즉 “양변에 제곱근을 취한다”가 막힌다. \(1 = 1\)에서

제곱근을 취해도 부호가 두 갈래이므로 \(-1 = 1\)은 나오지 않는다. 순방향으로

되돌아가지 못하는 변형이 하나라도 끼면 논증은 복구되지 않는다. 거꾸로 쓴

답안이 구제되는 경우는 각 단계가 동치 변형(\(\iff\))임을 일일이 확인했을

때뿐이고(문제 19), 그 확인 없이 화살표를 뒤집으면 위와 같은 붕괴가 남는다.

안전한 습관은 처음부터 차–제곱 전략으로 순방향 서술하는 것이다. 거꾸로 가는 탐색은 연습장에서 답을 발견하는 데 쓰고, 답안에는 발견한 것을 순방향으로 다시 적는다.

8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개#

1~2주차에서 세운 근거 ①~④에 이번 주의 항목이 들어간다. 칸의 개수는 늘지 않는다 — 각 칸의 내용물이 실수와 부등식으로 넓어질 뿐이다.

근거

내용

이번 주에는 이렇게 쓴다

① 정의

기존 정의들 + 정의 16.1(대소 관계), 정의 16.2(최솟값)

“\(A \ge B\)”와 “\(A - B \ge 0\)” 사이를 번역한다

② 닫힘성

정수의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱은 정수 + 양수의 합\(\cdot\)곱은 양수, 0 이상인 것의 합\(\cdot\)곱은 0 이상, 양수의 역수는 양수((W4)(W5))

“\(x > 0\)이고 \(x - 1 > 0\)이므로 곱도 양수”, “분자가 0 이상이고 분모가 양수이므로 몫도 0 이상”

③ 등식의 성질

대입\(\cdot\)전개\(\cdot\)묶기\(\cdot\)양변 연산 + 부등식의 양변 연산((W2)(W3)) + 추이성((W6))

양변에 같은 수를 더하고, 양수로 나누고, 두 부등식을 잇는다

④ 이미 증명한 명제

15주차까지의 결과 + (W1) + §1.2의 인정 사실(삼분법\(\cdot\)곱이 0이 되는 경우\(\cdot\)제곱근) + 이번 주의 예제

예제 2.3을 문제 13의 부품으로 인용하고, \(\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}\)를 예제 2.2에서 쓴다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “그래프를 그려 보면 보인다”, “큰 수를 넣어 보니 성립한다”는 목록에 없다 — 관찰은 차를 계산하는 방향을 정할 때 쓰고, 답안에는 차와 제곱과 (W1)만 남긴다.

확인 10. 어떤 증명에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가.

허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\((x - y)^2 \ge 0\)이므로” (나) “양변을 \(2\)로 나누면 방향은 그대로이므로”

(다) “\(x = 1, 2, 3\)에서 성립하므로 항상 성립한다”

답

(가) 허용 — 근거 ④((W1)). 실수의 제곱은 0 이상이라는 이미 확인한 명제다.

(나) 허용 — 근거 ③((W3)). (W3)이 나눗셈까지 덮는 것은 양변을 \(2\)로 나누는 것이

\(\frac12\)을 곱하는 것이고 (W5)에 의해 \(\frac12 > 0\)이기 때문이다. 다만

“\(2 > 0\)이므로”라는 부호 언급이 있어야 완결이다. 부호를 말하지 않으면 방향

유지의 근거가 비어 있다.

(다) 불허 — 유한한 사례 확인은 목록에 없다. 1주차 문제 18에서 사례 확인이

실제로 무너지는 예를 보았다. 같은 관찰을 근거로 만들려면 차를 계산해 제곱으로

정리해야 한다.

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. (W1)~(W6)도 같은 대상이고, 문장만이 아니라 §1.4에서 각각이 나온 자리와 함께 외운다.