# 16주차 — 직접 증명 확장: 부등식 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: $A \ge B$를 보이려면 차 $A - B$가 0 이상임을 보인다 — 그리고 "0 이상"의 근원은 거의 언제나 제곱이다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 16주차. 4부(증명 기법)의 두 번째 주. 15주차에서 굳힌 직접 증명의 서식을 부등식이라는 새 소재에 적용한다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 4장 연습문제의 부등식 소재. 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. 대소 관계의 **정의**($a < b$는 차 $b - a$가 양수라는 뜻)를 백지에 쓰고, 부등식 증명이 왜 차의 부호 판정으로 바뀌는지 설명할 수 있다. 1. 증명에서 근거로 인용할 부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)을 백지에 쓰고, 각각이 어디서 나오는지 말할 수 있다. 1. 차–제곱 전략 3단계로 부등식을 증명하고, 등호 조건까지 함께 밝힐 수 있다. 1. 산술–기하 평균 부등식(AM–GM)을 등호 조건까지 증명하고 다른 문제의 부품으로 쓴다. 1. "결론에서 출발"하는 답안이 왜 증명이 아닌지 진단하고, 순방향으로 고쳐 쓸 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (15주차 복습) 1. 유리수의 정의를 쓰고, "두 유리수의 합은 유리수"의 증명 첫 두 문장을 쓰시오. 1. 소수와 합성수의 정의를 쓰시오. 1. $x$가 짝수이면 $x^2 - 6x + 5$가 홀수임을 안 보고 증명하시오. (15주차 문제 7이다. 막히면 15주차 §2의 서식으로 돌아갔다가 다시 시도한다.) ### 자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 대입 확인.** $x = 2, 4, 6$을 넣어 $-3, -3, 5$가 전부 홀수임을 확인하고 끝낸다. 계산은 옳다. 빠진 것은 나머지 전부다 — 짝수는 무한히 많고, 확인하지 않은 사례를 보장하는 것은 확인이 아니라 문자다(1주차 §0의 진단이 이 자리였다). - **유형 2 — 전개 후 정지.** $x = 2k$로 잡고 $4k^2 - 12k + 5$까지 전개한 뒤 멈춘다. 재료는 다 모였다. 남은 것은 도착점의 확인이다 — 홀수의 정의가 요구하는 꼴이 $2(\text{정수}) + 1$이므로, $5 = 4 + 1$로 쪼개 $2(2k^2 - 6k + 2) + 1$까지 가야 닫힌다. - **유형 3 — 기호 나열.** "$x = 2k$. $x^2 - 6x + 5 = 4k^2 - 12k + 5$. 홀수." 계산은 옳지만 문장이 없다 — 15주차 규범 1이 지적한 간격이다. 이번 주의 부등식 증명은 줄마다 근거가 다르므로, 접속이 빠지면 읽는 쪽이 근거를 추측해야 한다. ## 개념 — 부등식을 등식의 언어로 ### 1 15주차의 서식으로 밀어붙이면 어디서 막히는가 15주차에서 굳힌 직접 증명의 서식 — 오프닝 $\to$ 정의 풀어쓰기 $\to$ 목표 꼴로 변형 $\to$ 마감 — 을 이번 주의 대표 명제에 그대로 적용해 보자. :::{admonition} 시도 — 15주차 서식으로 밀어붙이기 :class: quotebox 명제: 모든 실수 $x, y$에 대해 $x^2 + y^2 \ge 2xy$이다. "$x, y$를 임의의 실수라 하자. 정의에 의해 $x^2 + y^2 \ge 2xy$는 …" ::: 둘째 문장에서 멈춘다. 서식의 2단계는 "정의를 풀어 쓴다"인데, 풀어 쓸 정의가 손에 없다. 1주차의 "짝수"에는 $n = 2k$가, 2주차의 "$a \mid b$"에는 $b = ak$가 있었다. 기호 $\ge$에 대응하는 등식이 없으므로 계산이 시작되지 않는다. 막힘은 하나 더 있다 — $\ge$의 양쪽에 서로 다른 두 식이 있어, 어느 쪽을 건드려야 할지조차 정해지지 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 1주차에서 "짝수"를 등식 $n = 2k$로 바꾼 방식을 흉내 내면, "$A \ge B$"는 **몇 개의 수**에 관한 어떤 종류의 문장으로 바꿔야 계산이 시작되겠는가. 한 구절로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 수 **하나**에 관한 **부호** 문장으로 바꿔야 한다 — 두 수의 비교를 한 수의 부호 판정으로 압축하는 것이다. 그 한 수의 후보는 차 $A - B$이다. 차가 정해지면 건드릴 대상이 하나로 확정되고, "양수인가"라는 판정 하나만 남는다. 이 번역이 §1.2에서 정의가 된다. ::: ### 2 부호로 — 정의를 만들어 보기 구체 사례부터 채워 보자. 각 행에서 차 $b - a$를 계산하고 그 부호를 적는다. "$a < b$가 참인가"는 초등학교부터 쓰던 감각으로 판정하면 된다. | **$a$** | **$b$** | **"$a < b$"가 참인가** | **차 $b - a$** | **차의 부호** | |---|---|---|---|---| | $2$ | $7$ | 예 | $5$ | 양수 | | $-5$ | $-1$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $3$ | $3$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $4$ | $-2$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(6)과 부호 칸을 채우고, 셋째 열과 다섯째 열의 관계를 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 예 (2) $4$, 양수 (3) 아니오 (4) $0$, 0 (5) 아니오 (6) $-6$, 음수. 셋째 열이 "예"인 행과 다섯째 열이 "양수"인 행이 정확히 일치한다. 음수끼리 비교하든 부호가 섞이든 예외가 없다 — "작다"라는 감각 전체가 "차가 양수다"라는 한 문장에 담긴다. 이 관찰이 정의의 전부다. ::: 이 관찰에 정식 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 16.1 — 대소 관계 (order) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 실수 $a, b$에 대해, **$a < b$**는 차 $b - a$가 **양수**라는 뜻이다. **$a \le b$**는 차 $b - a$가 양수이거나 0이라는 뜻이다(즉 "$a < b$ 또는 $a = b$"). $a > b$는 $b < a$의, $a \ge b$는 $b \le a$의 다른 표기다. ::: 기호 $\le$는 "작거나 같다", $\ge$는 "크거나 같다"로 읽는다. 막대 하나가 등호의 허용을 뜻한다 — $<$에는 없고 $\le$에는 있다. 읽는 법까지가 정의다. 정의가 "양수"라는 말에 기대고 있으므로 그 말의 지위를 못 박아 둔다. :::{admonition} 인정하고 쓰는 사실 — 실수의 삼분법 :class: quotebox 임의의 실수 $t$는 **양수이거나, 0이거나, 음수이거나** 셋 중 정확히 하나다. ("정확히 하나"는 세 경우가 전체를 덮고 서로 겹치지 않는다는 뜻이다.) $t$가 음수라는 것과 $-t$가 양수라는 것은 같은 말로 둔다. 이 사실은 실수 체계의 **출발점**이어서, 이 과정에서는 어느 주차에서도 증명하지 않고 끝까지 인정하고 쓴다. 뒤에 증명이 오기를 기다릴 항목이 아니다. ::: :::{admonition} 인정하고 쓰는 사실 — 곱이 0이 되는 경우 :class: quotebox 실수 $u, v$에 대해 $uv = 0$인 것은 $u = 0$이거나 $v = 0$일 때뿐이다. 이것도 실수 체계의 출발점으로, 이 과정에서는 증명하지 않고 인정하고 쓴다. 등호 조건을 인수의 곱에서 읽어 낼 때 쓴다(문제 16(c)). ::: :::{admonition} 인정하고 쓰는 사실 — 제곱근 :class: quotebox $a \ge 0$이면 $t^2 = a$인 $t \ge 0$이 정확히 하나 존재하고, 이를 $\sqrt a$로 쓴다. 따라서 $\sqrt a \ge 0$이고 $(\sqrt a)^2 = a$이며, $a \ge 0$, $b \ge 0$일 때 $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$이다. 기호 $\sqrt a$는 "루트 에이"로 읽는다. 이 사실들도 실수 체계의 출발점으로, 이 과정에서는 증명하지 않고 인정하고 쓴다. 예제 2.2와 문제 9$\cdot$17$\cdot$18이 이 상자에 기댄다. ::: **예.** $-5 < -1$: 차 $4$가 양수이므로 참. $3 \le 3$: 차 $0$을 정의가 허용하므로 참. $4 < -2$: 차 $-6$이 음수이므로 거짓. ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 정의 16.1은 세 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "차 $b - a$" | 두 수의 비교를 한 수로 압축 | 계산이 시작되는 지점 — §1.1의 막힘이 풀리는 자리 | | "양수이다" | 비교를 부호 판정으로 바꿈 | 판정 근거가 (W1)~(W6)으로 유한하게 정해진다 | | "이거나 0" ($\le$의 조각) | 등호를 허용 | 등호 조건을 추적하는 자리 — 최솟값 주장의 근거 | **조각 삭제 실험.** 셋째 조각 "이거나 0"을 지우면 $\le$와 $<$가 같아지고, $3 \le 3$이 거짓이 된다. 무너지는 것은 이 한 사례가 아니다. :::{container} quotebox **확인 3.** "이거나 0"을 지우면 (W1)에 해당하는 명제 "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$"은 어떻게 되는가. 무너뜨리는 $x$를 하나 대 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 거짓이 된다. $x = 0$이면 $x^2 = 0$인데 등호가 금지되면 $0 \ge 0$이 거짓이므로, $x = 0$이 반례가 된다. 이번 주 증명의 대부분이 (W1)에서 "0 이상"을 받아 오는데 그 통로가 통째로 막히는 셈이다. 조각 하나가 명제 하나의 참$\cdot$거짓을 뒤집는다. ::: ### 4 근거로 쓸 부등식의 기본 성질 [백지 암기 대상] 증명의 몸통에서 근거로 인용해도 되는 실수의 성질을 여섯 개로 모아 둔다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)** (W1) 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$이다. 등호는 $x = 0$일 때만 성립한다. (W2) $a \le b$이면 임의의 실수 $c$에 대해 $a + c \le b + c$이다. 부등호가 $<$일 때도 같다 — $a < b$이면 $a + c < b + c$이다. (W3) $a \le b$이고 $c > 0$이면 $ac \le bc$이다. $a \le b$이고 $c < 0$이면 $ac \ge bc$이다 (방향 반전). 부등호가 $<$일 때도 같다. $c > 0$일 때 양변을 $c$로 나누는 것은 $\frac1c$을 곱하는 것이고 (W5)에 의해 $\frac1c > 0$이므로, 나눗셈에서도 방향이 유지된다. (W4) $a > 0$이고 $b > 0$이면 $a + b > 0$이고 $ab > 0$이다. $a \ge 0$이고 $b \ge 0$이면 $a + b \ge 0$이고 $ab \ge 0$이다. (W5) $c > 0$이면 $\frac1c > 0$이다. 따라서 몫 $\frac uc$는 곱 $u \cdot \frac1c$로 읽어 (W4)에 넘긴다 — $u \ge 0$이고 $c > 0$이면 몫은 0 이상, $u > 0$이고 $c > 0$이면 몫은 양수다. (W6) (추이성) $a < b$이고 $b < c$이면 $a < c$이다. 부등호 하나가 $\le$로 바뀌어도 같다. ::: 여섯 개가 하늘에서 떨어진 것이 아님을 확인해 둔다. (W4)의 앞 절반(양수끼리의 합과 곱이 다시 양수)과 (W5)는 삼분법과 함께 인정하고 쓰는 기본 성질이다 — 삼분법과 마찬가지로 실수 체계의 출발점이어서 이 과정에서는 끝까지 증명하지 않는다. 나머지는 정의 16.1과 이 둘에서 나온다. **(W2)가 나오는 자리.** 양변에 $c$를 더해도 차가 바뀌지 않는다 — $(b + c) - (a + c) = b - a$이므로, 가정에서 양수이거나 0이던 차가 그대로다. 정의 16.1에 의해 $a + c \le b + c$이다. 가정이 $a < b$였다면 차는 양수였고 그 양수가 그대로 남으므로 결론도 $a + c < b + c$이다 — 두 판본이 같은 한 줄에서 동시에 나온다. **(W3)이 나오는 자리.** 차는 $bc - ac = (b - a)c$이다. $c > 0$이고 $b - a$가 양수이면 (W4)에 의해 곱도 양수 — 방향이 유지된다. $c < 0$이면 $-c$가 양수이므로 $(b-a)(-c)$가 양수, 즉 $(b-a)c$가 음수가 되어 부등호가 뒤집힌다. 방향 반전은 규칙의 예외가 아니라 (W4)의 직접적 결과다. 차가 0인 경우, 즉 $a = b$이면 $(b-a)c = 0$이므로 $ac = bc$가 되어 두 결론이 $\le$$\cdot$$\ge$로 그대로 성립한다. 따라서 차가 양수인 경우와 0인 경우가 모두 덮이고, 차가 양수인 경우만 모으면 $<$ 판본이 그대로 나온다. **(W4)의 뒷 절반이 나오는 자리.** $a \ge 0$, $b \ge 0$이면 각각은 양수이거나 0이다. 둘 다 양수면 앞 절반이 그대로 쓰이고, 어느 하나가 0이면 합은 나머지 하나(0 이상)와 같고 곱은 0이다. 어느 경우에도 합과 곱이 0 이상이다. **(W6)이 나오는 자리.** $a < b$이고 $b < c$이면 정의 16.1에 의해 두 차 $b - a$와 $c - b$가 모두 양수이고, (W4)에 의해 그 합도 양수다. 그런데 $(b - a) + (c - b) = c - a$이므로 차 $c - a$가 양수이고, 정의 16.1에 의해 $a < c$이다. 부등호 하나가 $\le$이면 대응하는 차가 0일 수 있는데, 그때는 그 차가 0이므로 합이 다른 쪽 양수 그대로이고, 0이 아니면 양수 둘의 합이다 — 어느 경우에도 합은 양수다. :::{container} quotebox **확인 4.** $2 \le 5$의 양변에 $c = -3$을 곱하면 어떤 부등식이 되는가. 실제 수로 확인해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $2 \times (-3) = -6$, $5 \times (-3) = -15$이므로 $-6 \ge -15$이다. 차로 확인하면 $(-6) - (-15) = 9$가 양수 — 방향이 실제로 뒤집혔다. 부등식의 양변에 무엇을 곱할 때는 그 수의 부호를 먼저 말한다는 습관이 여기서 생긴다. 부호를 말하지 않고 곱한 답안은 두 결론 중 어느 쪽인지 정하지 못한 상태다. ::: **(W1)이 나오는 자리.** 삼분법으로 $x$를 세 경우로 가른다. $x > 0$이면 (W4)에 의해 $x \cdot x > 0$이다. $x < 0$이면 $-x > 0$이므로 (W4)에 의해 $(-x)(-x) > 0$이고, $(-x)(-x) = x^2$이므로 역시 $x^2 > 0$이다. $x = 0$이면 $x^2 = 0$이다. 세 경우가 전체를 덮고 어느 경우에도 $x^2 \ge 0$이며, 등호가 나오는 것은 셋째 경우뿐이다. :::{container} quotebox **확인 5.** 위 논증에서 $x < 0$인 경우에 (W4)를 쓸 수 있는 이유는 무엇인가. $x$ 자체는 양수가 아닌데도 (W4)가 적용되는 자리를 짚어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (W4)에 넣은 것은 $x$가 아니라 $-x$이다. $x < 0$이면 삼분법의 약속대로 $-x$가 양수이므로, 양수 두 개 $-x$와 $-x$의 곱에 (W4)를 적용한 것이다. 부호가 불리한 수는 부호를 뒤집어 양수로 만든 뒤 성질을 적용하고 결과를 원래 식으로 되돌린다 — 이번 주 내내 반복되는 조작이다. ::: 경우를 나누어 쓰는 이 서술 방식은 1주차 문제 16에서 이미 한 번 썼고, 17주차에서 정식 도구로 규격화한다. 이번 주에는 (W1)의 유도에서만 쓴다. ### 5 표준 전략 — 차–제곱 전략 [백지 암기 대상] 정의 16.1과 (W1)을 이으면 부등식 증명의 표준 절차가 나온다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **차–제곱 전략** $A \ge B$를 증명하려면: ① 차 $A - B$(또는 그 양수 배)를 계산한다. ② 그것을 제곱(들의 합, 또는 제곱의 양수 배$\cdot$양수 분모 몫)으로 정리한다. ③ (W1)$\cdot$(W4)$\cdot$(W5)로 "0 이상"을 선언하고(양수 배를 다루었다면 (W3)으로 되돌리고), 정의 16.1로 $A \ge B$를 읽는다. ::: 이 세 단계를 거치면 부등식 증명이 **대수 변형 문제**로 바뀐다. 판정할 것이 하나뿐이고 판정 근거도 (W1) 하나로 고정되므로, 중학교에서 배운 완전제곱 만들기가 이번 주의 중심 기술로 올라선다. ②에서 쓰는 변형은 하나뿐이다: $$ x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} $$ :::{container} quotebox **확인 6.** 위 변형으로 $x^2 - 6x + 10$을 정리해 보자. $x^2 - 6x + 10 = (x - \underline{\quad(1)\quad})^2 + \underline{\quad(2)\quad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $3$ (2) $1$. $p = -6$이므로 $\frac p2 = -3$이고 $x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$, 여기에 $10$을 더하면 $(x-3)^2 + 1$이다. 제곱 하나와 상수 하나로 갈라지면 부호 판정이 끝난다 — 제곱은 (W1)로 0 이상, 상수 1은 양수이므로 합은 항상 양수다. 문제 1(a)(b)와 문제 5가 이 변형 하나로 풀리고, 문제 1(c)는 $x^2$의 계수가 1이 아니므로 앞의 두 항에서 그 계수를 먼저 묶어 괄호 안을 계수 1로 만든 뒤 같은 변형을 쓴다 — 계수 묶기가 한 단계 앞에 붙는다. ::: ### 6 등호 조건, 그리고 최솟값 $A \ge B$ 꼴의 정리는 "언제 등호가 성립하는가"까지 말해야 완전하다. 차–제곱 전략에서는 이 정보가 따로 애쓰지 않아도 나온다. 차를 제곱들의 합으로 정리해 두었으므로, 차가 0이 되는 것은 (W1)의 등호 조건에 의해 **각 제곱이 전부 0일 때뿐**이기 때문이다. :::{container} quotebox **확인 7.** 차가 $(x - y)^2$으로 정리되었다면 등호는 언제 성립하는가. 차가 $\dfrac{(a-1)^2}{a}$($a > 0$)로 정리되었다면 어떤가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 앞의 경우: $(x-y)^2 = 0 \iff x = y$. 뒤의 경우: 몫은 $(a-1)^2 \cdot \frac1a$이고 (W5)에 의해 $\frac1a \neq 0$이므로, §1.2의 인정 사실 "곱이 0이 되는 경우"에 의해 몫이 0이 되려면 분자가 0이어야 한다 — $(a-1)^2 = 0$, 즉 $a = 1$. 등호 조건을 찾는 작업이 따로 있는 것이 아니라, 이미 만들어 둔 제곱을 0으로 놓고 읽으면 된다. ::: 등호 조건이 실제로 일을 하는 자리는 최솟값$\cdot$최댓값 주장이다. 그 주장이 무엇을 요구하는지 정의로 못 박아 둔다. ### 정의 16.2 — 최솟값 (minimum) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 실수들의 모임 $S$와 실수 $m$에 대해, **$m$이 $S$의 최솟값이다**라는 것은 ① $S$의 모든 원소 $s$에 대해 $m \le s$이고, ② $m$ 자신이 $S$의 원소라는 뜻이다. ①만 만족하는 $m$은 $S$의 **하계**(lower bound)라 한다. ::: **정의 해부.** 정의 16.2는 두 조각으로 되어 있고, 이 정의는 계산의 재료가 아니라 **판정 기준**으로 쓰이므로 해부 표의 셋째 열도 그에 맞춘다. | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | ① 모든 $s$에 대해 $m \le s$ | 아래로 막는다 | 부등식 하나를 증명하는 부분 — 하계까지만 확보한다 | | ② $m \in S$ | 값을 하나로 지목한다 | 등호를 실제로 달성하는 값을 제시하는 부분 — 하계 여럿 중 하나를 고른다 | **조각 삭제 실험.** 조각 ②를 지우면 하계가 전부 최솟값이 된다. $x > 0$에서 $x + \frac{9}{x}$가 만드는 값들의 모임에서는 $6$도, $5$도, $-100$도 ①을 만족한다 — "최솟값"이라는 말이 값을 하나로 지목하지 못하게 된다. :::{container} quotebox **확인 8.** 위 모임에 대해 "최솟값은 5이다"라는 주장은 정의 16.2의 어느 조각에서 무너지는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 조각 ②에서 무너진다. 모든 $x > 0$에 대해 $x + \frac9x \ge 5$는 참이지만, $x + \frac9x = 5$가 되는 $x > 0$은 없으므로 5는 그 모임의 원소가 아니다. 부등식 하나만 증명한 답안은 ①까지만 한 답안이고, ②를 위해서는 등호를 실제로 달성하는 값을 제시해야 한다. 문제 18이 두 단계를 모두 요구한다. ::: ### 7 위험 구역 — 결론에서 출발하기 부등식 문제에서 자주 나오는 답안 형태가 하나 있다. 증명할 부등식을 먼저 적어 놓고 변형해서 참인 식에 도달한 뒤 "따라서 참"이라고 닫는 방식이다. 이 방식이 왜 증명이 아닌지, 실제로 무너지는 사례로 확인한다. :::{admonition} 무너지는 사례 :class: quotebox "증명할 것: $-1 = 1$. 풀이: 양변을 제곱하면 $1 = 1$. 이것은 참이다. 따라서 $-1 = 1$이다." ::: 거짓인 명제에서 출발해 참인 식에 도달했다. 8주차 진리표에서 확인한 대로 $F \Rightarrow T$는 참이므로, "도달한 식이 참"이라는 사실은 **출발점의 참을 전혀 보증하지 않는다**. 15주차 규범 3이 금지한 것이 정확히 이 방향이다. :::{container} quotebox **확인 9.** 위 사례에서 방향을 뒤집어 "$1 = 1$에서 출발해 $-1 = 1$로 간다"고 하면 어느 단계가 막히는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "양변을 제곱한다"의 역방향, 즉 "양변에 제곱근을 취한다"가 막힌다. $1 = 1$에서 제곱근을 취해도 부호가 두 갈래이므로 $-1 = 1$은 나오지 않는다. 순방향으로 되돌아가지 못하는 변형이 하나라도 끼면 논증은 복구되지 않는다. 거꾸로 쓴 답안이 구제되는 경우는 각 단계가 **동치 변형**($\iff$)임을 일일이 확인했을 때뿐이고(문제 19), 그 확인 없이 화살표를 뒤집으면 위와 같은 붕괴가 남는다. ::: 안전한 습관은 처음부터 차–제곱 전략으로 **순방향** 서술하는 것이다. 거꾸로 가는 탐색은 연습장에서 답을 발견하는 데 쓰고, 답안에는 발견한 것을 순방향으로 다시 적는다. ### 8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 1~2주차에서 세운 근거 ①~④에 이번 주의 항목이 들어간다. 칸의 개수는 늘지 않는다 — 각 칸의 내용물이 실수와 부등식으로 넓어질 뿐이다. | **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 기존 정의들 + **정의 16.1**(대소 관계), **정의 16.2**(최솟값) | "$A \ge B$"와 "$A - B \ge 0$" 사이를 번역한다 | | ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수 + **양수의 합$\cdot$곱은 양수, 0 이상인 것의 합$\cdot$곱은 0 이상, 양수의 역수는 양수**((W4)(W5)) | "$x > 0$이고 $x - 1 > 0$이므로 곱도 양수", "분자가 0 이상이고 분모가 양수이므로 몫도 0 이상" | | ③ 등식의 성질 | 대입$\cdot$전개$\cdot$묶기$\cdot$양변 연산 + **부등식의 양변 연산**((W2)(W3)) + **추이성**((W6)) | 양변에 같은 수를 더하고, 양수로 나누고, 두 부등식을 잇는다 | | ④ 이미 증명한 명제 | 15주차까지의 결과 + **(W1)** + §1.2의 인정 사실(삼분법$\cdot$곱이 0이 되는 경우$\cdot$제곱근) + 이번 주의 예제 | 예제 2.3을 문제 13의 부품으로 인용하고, $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$를 예제 2.2에서 쓴다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 "그래프를 그려 보면 보인다", "큰 수를 넣어 보니 성립한다"는 목록에 없다 — 관찰은 차를 계산하는 방향을 정할 때 쓰고, 답안에는 차와 제곱과 (W1)만 남긴다. :::{container} quotebox **확인 10.** 어떤 증명에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$(x - y)^2 \ge 0$이므로" (나) "양변을 $2$로 나누면 방향은 그대로이므로" (다) "$x = 1, 2, 3$에서 성립하므로 항상 성립한다" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ④((W1)). 실수의 제곱은 0 이상이라는 이미 확인한 명제다. (나) 허용 — 근거 ③((W3)). (W3)이 나눗셈까지 덮는 것은 양변을 $2$로 나누는 것이 $\frac12$을 곱하는 것이고 (W5)에 의해 $\frac12 > 0$이기 때문이다. 다만 "$2 > 0$이므로"라는 부호 언급이 있어야 완결이다. 부호를 말하지 않으면 방향 유지의 근거가 비어 있다. (다) 불허 — 유한한 사례 확인은 목록에 없다. 1주차 문제 18에서 사례 확인이 실제로 무너지는 예를 보았다. 같은 관찰을 근거로 만들려면 차를 계산해 제곱으로 정리해야 한다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. (W1)~(W6)도 같은 대상이고, 문장만이 아니라 §1.4에서 각각이 나온 자리와 함께 외운다.