S4주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

S4주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 두 면을 함께 배치해 보기#

예제 2.1 — 정의 한 벌이 다 쓰이는 가장 짧은 판#

명제. 정수 \(n\)이 짝수이면 \(n^2\)도 짝수이다.

§1.1에서 막혔던 그 명제다. 이제 통로가 생겼으므로 처음부터 다시 세운다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것 (도착점)을 먼저 정한다. 이번에는 두 칸이 각각 정의의 어느 면을 부르는지도 적는다.

말

정의의 어느 면인가

가정 (출발점)

\(n\)은 짝수이다

전진면 — 이름을 조건으로 푼다

목표 (도착점)

\(n^2\)은 짝수이다

후진면 — 이름을 만들어야 할 조건으로 바꾼다

확인 9. 도착점 칸을 후진면으로 한 번 갈아치우면 무엇이 되는가. 그 문장을 적어 보자.

답

“\(n^2 = 2 \times (\text{정수})\) 꼴을 만든다”가 된다. 정확히 적으면

“\(n^2 = 2t\)인 정수 \(t\)를 제시한다”이다. 이름으로 된 과녁이 식 꼴의 과녁으로

바뀌었고, 이 교체가 후진 한 걸음이다. 방향 검사도 통과한다 — 그런 \(t\)를

제시하면 정의에 의해 \(n^2\)은 짝수이므로, 새 과녁이 참이면 원래 과녁도 참이다.

1단계 — 전진면으로 이름을 푼다.

확인 10. 첫 전진 걸음 \(A_1\)을 적어 보자. 근거와, 문장 뒤에 반드시 붙여야 하는 한 마디까지 적는다.

답

\(A_1\): 짝수의 정의(전진면, 근거 ①)에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다.

붙여야 하는 한 마디는 **”그런 \(k\)를 하나 잡자”**이다. 존재 문장을 사실

목록에 넣을 때는 잡는 동작까지가 한 세트이며(\(\exists\) 기호 자체는 1권 10주차,

그 잡는 동작을 처음 수행한 자리는 1권 1주차 예제 2.1의 2단계 — 정의를 풀어

정수를 받아 온 줄이다), 그래야 이후 줄에서

\(k\)를 고정된 정수처럼 쓸 수 있다. 잡지 않고 “\(n = 2k\)”만 적으면 \(k\)가 무엇인지

정해지지 않은 채 계산이 진행된다.

2단계 — 과녁을 조준해 계산한다.

확인 11. 과녁은 \(2 \times (\text{정수})\) 꼴이다. \(n^2\)을 어떤 모양까지 정리하는가.

답

\(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\)까지다. 전개만 하면 \(4k^2\)에서 멈추는데,

과녁에 2가 곱해진 꼴이 요구되므로 한 걸음 더 가서 2를 묶는다. 마지막 등호가

조준의 흔적이며, 이 등호를 시킨 것은 가정이 아니라 과녁이다(S3주차 §1.4).

3단계 — 후진면으로 이름을 회수한다.

확인 12. \(n^2 = 2(2k^2)\)까지 왔다. 바로 “따라서 \(n^2\)은 짝수이다”라고 쓸 수 있는가.

답

아직 쓸 수 없다. 정의의 조건은 “\(n^2 = 2t\)인 정수 \(t\)가 존재한다”이므로

\(t = 2k^2\)이 정수라는 것까지 확인해야 조건이 완성된다. \(k\)가 정수이고 정수의

곱은 정수이므로(근거 ②) 확인된다. §1.3 해부 표의 마지막 조각(문자 신분)을

지키는 걸음이 바로 이 한 줄이다.

4단계 — 산문으로 옮긴다.

확인 13. 완성 산문의 첫 문장과 마지막 문장을 적어 보자. 설계표의 어느 칸이 각각 첫 문장과 마지막 문장이 되는가.

답

첫 문장은 “\(n\)이 짝수라 하자”이고 출발점 칸에서 온다. 마지막 문장은

“따라서 \(n^2\)은 짝수이다”이고 도착점 칸에서 온다. 도착점 칸을 후진면으로

갈아치운 문장(확인 9)은 산문에 등장하지 않는다 — 설계에만 있고 제출물에서는

지워지는 줄이다.

완성본. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(n\)이 짝수라 하자.

가정을 선언해 사실 목록을 연다. 이후의 모든 줄은 이 목록에서만 나온다.

짝수의 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그런 \(k\)를 하나 잡자.

정의의 전진면(근거 ①). 이름을 등식으로 바꿔 근거 ③이 작동할 재료를 만든다. “잡자”까지 적어야 다음 줄에서 \(k\)를 고정된 수로 쓸 수 있다.

그러면 \(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\)이다.

전진 계산(근거 ③). 마지막 등호에서 2를 묶은 것은 과녁이 \(2 \times (\text{정수})\) 꼴이기 때문이다 — 조준의 흔적이며, 여기서 멈추면 조건이 완성되지 않는다.

\(k\)가 정수이므로 \(2k^2\)도 정수이다.

닫힘성(근거 ②). 정의의 조건이 요구하는 문자 신분을 검증한다. 이 줄이 없으면 “\(2 \times\)무엇” 꼴만 있고 그 무엇이 정수라는 보장이 없다.

따라서 짝수의 정의에 의해 \(n^2\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)

정의의 후진면(근거 ①). 조건을 전부 갖췄으므로 이름을 회수하고 마감한다.

해부 — 정의는 몇 번 쓰였는가. 완성본에 정의가 명시적으로 인용된 자리는 둘째 줄(전진면)과 마지막 줄(후진면), 두 곳이다. 설계까지 세면 셋이다 — 확인 9에서 과녁을 갈아치운 후진 걸음이 세 번째 사용이고, 그 줄은 산문에서 지워졌다. 다섯 줄짜리 증명의 뼈대가 전부 하나의 정의에서 나온 셈이다.

예제 2.2 — 표현을 고르는 자리#

명제. 두 홀수의 곱은 홀수이다.

이번에는 설계까지만 함께 하고 산문은 완성된 것을 본다.

확인 14. 가정이 둘이다. 두 홀수에 전진면을 각각 쓸 때 반드시 지켜야 하는 것은 무엇인가.

답

문자를 다르게 잡는 것이다. \(m = 2j + 1\), \(n = 2k + 1\)처럼 \(j\)와 \(k\)를

따로 둔다. 둘 다 \(k\)로 쓰면 두 존재 주장이 같은 \(k\)로 실현된다고 몰래 가정한

것이 되어 \(m = n\)인 경우만 다룬 증명이 된다(1권 1주차의 문자 재사용 경보).

존재 주장을 두 번 쓸 때마다 새 문자를 꺼낸다.

확인 15. 과녁 “\(mn\)은 홀수”를 후진면으로 갈아치우면 어떤 꼴을 만들어야 하는가.

답

\(mn = 2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴이다. 정확히는 “\(mn = 2t + 1\)인 정수 \(t\)를

제시한다”. 예제 2.1과 다른 점은 상수항 1이 남아야 한다는 것뿐이고, 조준의

지시도 그만큼만 달라진다 — 전개한 식에서 2를 묶되 1은 밖에 남긴다.

확인 16. 홀수를 표현 2(“짝수가 아니다”)로 골랐다면 첫 걸음이 어떻게 되는가.

답

사실 목록에 부정문 두 개(”\(m\)은 짝수가 아니다”, “\(n\)은 짝수가 아니다”)가

들어오고, 부정문에는 풀어낼 조건이 없으므로 전진면이 작동하지 않는다.

과녁도 “\(mn\)은 짝수가 아니다”라는 부정문이 되어 후진면도 만들 조건을 주지

않는다. 남는 길은 대우나 귀류인데, 이때 필요한 “\(mn\)이 짝수이면 \(m\) 또는

\(n\)이 짝수”는 지금 시점에 증명되지 않은 사실이다. 표현을 바꾸는 것만으로

같은 명제가 훨씬 무거운 게임이 된다.

완성 산문. \(m\)과 \(n\)이 홀수라 하자. 홀수의 정의(전진면)에 의해 \(m = 2j + 1\)인 정수 \(j\)와 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재하므로, 그런 \(j\)와 \(k\)를 잡자. 그러면

\[ mn = (2j+1)(2k+1) = 4jk + 2j + 2k + 1 = 2(2jk + j + k) + 1 \]

이고, \(j\)와 \(k\)가 정수이므로 \(2jk + j + k\)도 정수이다. 따라서 홀수의 정의 (후진면)에 의해 \(mn\)은 홀수이다. \(\blacksquare\)

결론. 표현 선택은 취향이 아니라 전략이다. 긍정문이자 존재문인 표현을 골라야 전진면이 작동한다. 표현 2가 무의미하다는 말이 아니라, 그것을 고르는 순간 다른 기법이 필요한 다른 게임이 된다는 말이다.

예제 2.3 — 처음 보는 정의를 절차로 소화하기#

정의. 양의 정수 \(n\)이 완전수(perfect number)라 함은, \(n\)의 양의 약수 중 \(n\) 자신을 제외한 것들의 합이 \(n\)과 같은 것이다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. §1.8의 절차 ①②③을 노트에서 먼저 실행한 뒤 아래를 읽고 대조한다.

① iff로 재작성. \(n\)은 완전수 \(\iff\) \(\displaystyle\sum_{d \mid n,\ 0 < d < n} d = n\)이다. 조건의 구조를 읽으면, 합의 범위를 정하는 부분에 나누어떨어짐의 정의가 들어 있고 그 위에 등식 하나가 얹혀 있다. 양화사는 겉으로 보이지 않지만 합의 범위 안에 숨어 있다 — “\(n\)을 나누는 모든 \(d\)”가 전칭이다. 문자 \(d\)는 존재를 주장하는 문자가 아니라 범위를 훑는 문자이고, 그래서 이 조건은 존재를 제시하는 조건이 아니라 계산해서 확인하는 조건이다.

② 양면 문장화. 전진면은 이렇다 — “\(n\)이 완전수”가 사실 목록에 있으면 나는 \(n\)의 진약수 합이 \(n\)과 같다는 등식 하나를 잡을 수 있다. 등식은 근거 ③이 곧바로 작동하는 재료이므로, 이 정의의 전진면은 강한 편이다. 후진면은 이렇다 — “\(n\)이 완전수임을 보이려면” 진약수를 빠짐없이 나열하고 합을 계산해 \(n\)과 같음을 확인하면 된다. 여기서 “빠짐없이”가 검증 책임이다. 약수를 하나라도 빠뜨리면 합이 달라져 결론이 무효가 된다.

③ 예와 비예. 예는 두 개를 만든다. \(6\)의 진약수는 \(1, 2, 3\)이고 합이 \(6\)이므로 \(6\)은 완전수다. \(28\)의 진약수는 \(1, 2, 4, 7, 14\)이고 합이 \(28\)이므로 \(28\)도 완전수다. 비예도 두 개를 만들되 실패하는 방향을 서로 다르게 고른다. \(12\)의 진약수는 \(1, 2, 3, 4, 6\)이고 합이 \(16\)이므로 \(n\)을 초과하는 쪽으로 실패하고, \(8\)의 진약수는 \(1, 2, 4\)이고 합이 \(7\)이므로 \(n\)에 미달하는 쪽으로 실패한다. 경계를 양쪽에서 더듬어 두면 이 조건이 등식이라는 것, 곧 부등호 어느 쪽으로도 어긋날 수 있다는 것이 실물로 확인된다.

절차를 한 바퀴 돌리고 나면 이 개념으로 무엇을 묻고 답할 수 있는지가 보인다. 후진면이 “빠짐없는 나열과 계산”이므로 특정한 수가 완전수인지는 언제나 유한한 계산으로 판정되고, 반대로 “완전수가 무한히 많은가”, “홀수인 완전수가 있는가” 같은 물음은 그 계산을 아무리 반복해도 답이 나오지 않는다. 뒤의 두 물음은 실제로 미해결이다. 정의를 소화하는 일과 그 개념의 물음을 만드는 일은 같은 일이다.

관찰 — 같은 뼈대#

예제 2.1과 2.2는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음

예제 2.1

예제 2.2

과녁이 요구하는 꼴

\(2 \times (\text{정수})\)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

전진면 사용 횟수

1회

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

조준 계산의 마지막 동작

2를 묶는다

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

정수성을 검증한 대상

\(2k^2\)

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

후진면 사용 횟수

1회

1회

확인 17. 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자.

답

(1) \(2 \times (\text{정수}) + 1\)

(2) 2회 — 가정이 둘이므로 이름도 둘이고, 문자를 다르게 잡아 각각 푼다.

(3) 2를 묶되 상수항 1은 밖에 남긴다

(4) \(2jk + j + k\)

소재는 짝수와 홀수로 다르지만, 이름을 풀고 과녁의 꼴로 조준하고 문자 신분을

검증한 뒤 이름을 회수하는 순서는 글자까지 같다.

확인 18. 두 예제에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자.

답

① 사실 목록의 이름을 전진면으로 전부 푼다(존재 문자는 잡는 동작까지) \(\to\)

② 과녁이 요구하는 꼴을 겨냥해 계산한다 \(\to\) ③ 문자 신분을 검증하고 후진면으로

이름을 회수한다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

정의 한 벌 쓰기의 표준 배치

① 전진면 전개 — 목록에 있는 이름을 전부 조건으로 푼다. 존재 조건이면 문자를 잡고, 이름이 둘이면 문자를 다르게 잡는다.

② 조준 계산 — 후진면이 지정한 과녁의 꼴을 겨냥해 식을 정리한다. 전개에서 멈추지 않고 그 꼴이 될 때까지 묶는다.

③ 신분 검증과 이름 회수 — 정의가 요구하는 문자 신분(정수인가, 분모가 0이 아닌가)을 확인한 뒤 후진면으로 이름을 붙인다.

이 배치는 S5주차 이후의 기법에서도 그대로 쓰인다. 바뀌는 것은 ①과 ③에 들어오는 정의의 종류뿐이다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

훈련 1 ●○○ — 정의 하나를 양면으로 펼치기#

정의 (1권 4주차 정의 4.1). \(A \subseteq B\)라 함은, 모든 \(x\)에 대해 \(x \in A\)이면 \(x \in B\)인 것이다.

  • ① iff 재작성: \(A \subseteq B \iff \forall x\, (x \in A \Rightarrow \underline{\quad(1)\quad})\) — 조건의 구조는 \(\underline{\quad(2)\quad}\) 양화사에 조건문이 얹힌 꼴이다.

  • ② 전진면: “\(A \subseteq B\)”가 사실 목록에 있고 마침 \(\underline{\quad(3)\quad}\)인 원소 \(x\)를 확보했다면, \(x \in B\)를 공짜로 얻는다. (전칭 사실을 쓰는 법 — S7주차에서 특수화라는 이름을 얻는다.)

  • ② 후진면: “\(A \subseteq B\)임을 보이려면” \(\underline{\quad(4)\quad}\)의 원소 \(x\)를 잡아 \(x \in \underline{\quad(5)\quad}\)임을 보이면 된다. (전칭 과녁을 처리하는 법 — S6주차에서 선택법이라는 이름을 얻는다.)

  • ③ 비예 제작: \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{1, 3\}\)이면 \(A \not\subseteq B\)이고, 그 근거가 되는 원소는 \(x = \underline{\quad(6)\quad}\)이다 (\(A\)에는 있고 \(B\)에는 없다).

훈련 2 ●●○ — 걸음과 근거를 함께#

이번에는 근거 문장도 빈칸이다.

명제. 정수 \(a, b, c\)에 대해, \(a \mid b\)이면 \(a \mid bc\)이다.

  • 후진. B: \(a \mid bc\). 핵심 질문: “\(\underline{\quad(1)\quad}\)”

답: 나누어떨어짐의 후진면 — \(bc = a \times (\text{정수})\) 꼴을 만든다. \(\to\) B1: \(bc = at\)인 정수 \(t\)를 제시한다. 방향 검사 ✓ (정의이므로 \(\iff\)).

  • 전진. A: \(a \mid b\) \(\to\) \(A_1\): \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재한다

(근거: \(\underline{\quad(2)\quad}\)). 그런 \(k\)를 잡는다. \(\to\) \(A_2\): \(bc = \underline{\quad(3)\quad} = a(kc)\) (근거: 대입과 결합법칙 — 근거 ③; 조준: 과녁이 \(a \times (\text{정수})\) 꼴이므로 \(a\)를 앞으로 묶는다) \(\to\) \(A_3\): \(kc\)는 정수 (근거: \(\underline{\quad(4)\quad}\)).

  • 만남. \(A_2\)와 \(A_3\)이 합쳐져 B1이 된다(\(t = kc\)).

  • 산문. \(\underline{\quad(5)\quad}\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 칸을 통째로 채운다.

명제. 정수 \(n\)이 홀수이면 \(n^2 - 1\)은 4의 배수이다.

  • 후진 한 걸음. B: \(n^2 - 1\)은 4의 배수 \(\Leftarrow\) B1: \(\underline{\quad(1)\quad}\).

근거: 나누어떨어짐의 후진면.

  • 전진. A: \(n\)은 홀수 \(\to\) \(A_1\): \(\underline{\quad(2)\quad}\) (근거 ①, 전진면)

\(\to\) \(A_2\): \(n^2 - 1 = \underline{\quad(3)\quad}\) (전개 — 근거 ③) \(\to\) \(A_3\): \(\underline{\quad(4)\quad}\) (조준 — 과녁의 꼴에 맞춰 4를 묶는다) \(\to\) \(A_4\): \(k^2 + k\)는 정수 (근거 ②).

  • 만남. \(\underline{\quad(5)\quad}\).

  • 산문. \(\underline{\quad(6)\quad}\)

  • 검산. \(n = 5\)이면 \(n^2 - 1 = 24 = 4 \times 6\)이고, 이때 \(k = 2\)이므로

\(k^2 + k = 6\) ✓ — 묶어 낸 정수가 실제로 몫과 일치한다.

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 제출물에는 세 가지가 들어가야 한다: ① 정의를 인용한 자리마다 어느 면인지의 표시 ② 정의 꼴을 완성한 직후의 문자 신분 검증(정수인가, 분모가 0이 아닌가, 범위 안에 있는가) ③ 여러 표현 중 하나를 골랐다면 고른 이유 한 마디. 계산이 맞아도 ②가 없으면 조건을 절반만 만든 것이고, ①이 없으면 우연히 맞은 답과 구별되지 않는다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 정의가 쌍조건문인 이유(낱말의 약속)와, 양면(전진면/후진면)이 각각 하는 일을 쓰시오.

힌트

§1.3의 상자와 §1.4의 상자다. 이유 쪽은 “정의는 세계에 대한 주장이 아니라”로

시작하면 나머지가 따라 나온다. 양면 쪽은 각각을 “무엇을 무엇으로 바꾸는가”의

한 문장으로 적는다.

2. 다음 정의를 양면 문장화하시오 (각 면 한 문장). (a) \(a \mid b\) (b) \(n\)은 홀수 (c) \(r\)은 유리수 (d) 집합 \(A\)와 \(B\)는 서로소(\(A \cap B = \emptyset\))

힌트

틀은 고정되어 있다. 전진면은 “…가 사실 목록에 있으면 나는 …를 잡을 수 있다”,

후진면은 “…임을 보이려면 …를 만들면 된다”. (d)만 조건이 부정형이라 이 틀에

그대로 들어가지 않는다 — 무엇을 잡을 수 있는지 먼저 물어본다.

3. 용어 6종(공리\(\cdot\)정의\(\cdot\)명제\(\cdot\)정리\(\cdot\)보조정리\(\cdot\)따름정리)을 뜻과 함께 쓰고, 1권의 예를 하나씩 붙이시오.

힌트

§1.7의 표다. 뜻을 외우기보다 “증명이 필요한가”와 “누구를 위해 존재하는가”의

두 물음으로 갈라 놓으면 여섯이 자리를 잡는다.

4. 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

힌트

§3의 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3 전부를 가리킨다. 훈련 3은 후진 한 걸음과 전진 네 걸음이며,

조준의 자리(4를 묶는 줄)를 빠뜨리지 않는다.

5. 예제 2.3의 소화 절차 ①~③을 정의 “양의 정수 \(n\)이 삼각수(triangular number)라 함은 \(n = 1 + 2 + \cdots + k\)인 양의 정수 \(k\)가 존재하는 것이다”에 실행하시오. (예 2개\(\cdot\)비예 2개 포함; 전진면에서 잡게 되는 것이 **등식 + 존재 문자 \(k\)**임을 명시)

힌트

완전수와 달리 이 조건은 존재 조건이다. ①에서 \(\exists\)를 드러내고, 등차수열의

합 공식(1권 31주차)으로 조건을 닫힌 식으로 바꾸면 ③의 계산이 훨씬 짧아진다.

비예는 두 삼각수 사이의 수를 고르면 된다.

6. 예제 2.1을 백지에 재현하고, 정의 카드가 쓰인 세 지점에 면 이름(전진/후진)을 라벨링하시오.

힌트

세 지점 중 둘은 완성 산문에 있고 하나는 설계에만 있다. 설계에 있는 것은

확인 9에서 과녁을 갈아치운 걸음이다.

표준 ●●○#

7. 명제 “\(6 \mid n\)이면 \(3 \mid n\)”을 증명하시오 — 나누어떨어짐 정의의 전진면(1회)과 후진면(1회)이 쓰이는 지점을 라벨링할 것 (S1주차 문제 7(a)의 게임을 오늘 완성).

8. 정의의 if가 iff인 것과 달리, 정리의 if는 iff가 아니다. “정수 \(n\)에 대해, \(n\)이 4의 배수이면 \(n\)은 짝수이다”(정리)와 “정수 \(n\)이 짝수라 함은 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재하는 것이다”(정의)를 대조해 — 정리의 역이 성립하지 않는 목격자를 대고, “왜 정의만 공짜 쌍조건문인지”를 두 문장으로 설명하시오.

9. “같은 홀짝” 개념의 세 표현(개념 절 표) 중에서, 다음 각 상황에 가장 가까운 것을 고르고 첫 두 걸음을 시연하시오. (a) 가진 사실: “\(m + n\)은 짝수” / 과녁: “\(m\)과 \(n\)은 같은 홀짝” (b) 가진 사실: “\(m\)과 \(n\)은 같은 홀짝” / 과녁: “\(m^2 + n^2\)은 짝수” ((a)에서 표현 2(\(2 \mid (m-n)\))와 “같은 홀짝”의 동치는 지금은 인정하고 쓴다 — 문제 16이 증명한다.)

힌트

판단 기준은 §1.6의 마지막 문장이다. 손에 있는 사실의 겉모양과 과녁의 겉모양을

나란히 적고, 세 표현 중 어느 것이 그 둘과 같은 소재를 쓰는지 본다. (a)와 (b)의

답이 다르다는 것이 이 문제의 요점이다.

10. 다음 학생의 증명 시도를 진단하시오 (정의 오용).

명제. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다.

증명(진단 대상). \(n^2\)이 짝수이므로 \(n^2 = 2k\)인 정수 \(k\)가 있다. 양변에 제곱근을 취하면 \(n = \sqrt{2k}\)이다. 따라서 \(n\)은 짝수이다.

(전진면 전개까지는 유효 — 어디서부터 무엇이 무너졌는가? \(\sqrt{2k}\)가 짝수의 정의 꼴인가? 이 명제의 올바른 증명은 어떤 기법이었는가 — 1권 19주차)

힌트

마지막 줄만 보지 말고 마지막에서 둘째 줄부터 본다. 짝수의 정의가 요구하는

꼴을 옆에 적어 두고 \(\sqrt{2k}\)와 글자 단위로 대조하면 무엇이 없는지 드러난다.

중첩 양화사 — 다음 문제에서 처음 만난다

지금까지 다룬 정의의 조건은 양화사가 하나였다. 극한의 정의는 세 개가 겹쳐

있다: \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists N\), \(\forall n > N\). 이런 조건에서

양면 문장화는 바깥 양화사부터 차례로 벗기며 적는다. 전진면에서는 전칭이

“내가 고를 수 있다”가 되고 존재가 “받는다”가 되며, 후진면에서는 그 역할이

정확히 뒤바뀐다. 겹친 양화사를 체계적으로 다루는 것은 S8주차의 일이고,

여기서는 두 면을 각각 한 문장으로 적는 데까지만 한다.

11. 극한의 정의(1권 45주차) “\(a_n \to L\) \(\iff\) \(\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N: |a_n - L| < \varepsilon\)”을 양면 문장화하시오 — 전진면(수렴한다는 사실이 목록에 생기면 무엇을 잡을 수 있는가: 임의의 \(\varepsilon\)에 문턱이 공급됨)과 후진면(수렴을 보이려면: \(\varepsilon\)을 받고 문턱을 제작). 1권 46주차의 극한 법칙 증명(합의 극한)에서 어느 면이 어디 쓰였는지 한 줄로.

힌트

두 면의 차이는 “누가 \(\varepsilon\)을 고르는가”에 있다. 전진면에서는 \(\varepsilon\)을

내가 고르고 \(N\)을 받으며, 후진면에서는 \(\varepsilon\)을 받고 \(N\)을 내가 만든다.

합의 극한 증명에서 \(\frac\varepsilon2\)을 넣는 자리가 전자, \(\max\)를 잡는 자리가 후자다.

12. 보조정리의 실전: 1권 21주차의 \(\sqrt2\) 무리성 증명이 인용한 보조정리는 무엇이었고(1권 19주차 예제 2.1의 명제), 그 보조정리 없이 본증명 안에서 직접 해결하려 하면 무엇이 불편한지 두 문장으로 쓰시오. (“부품을 미리 깎는” 편집의 이유 — 본증명의 흐름 보존)

힌트

불편함을 구체적으로 적으려면, 보조정리의 증명이 어떤 기법이었는지를 먼저

확인한다. 그 기법이 본증명의 기법과 다르다는 것이 답의 핵심이다.

13. 특성화 정리의 수확: “\(A \subseteq B\) \(\iff\) \(A \cup B = B\)”(S3주차 문제 11이 한 방향을 증명)의 나머지 방향(\(A \cup B = B \Rightarrow A \subseteq B\))을 증명해 특성화를 완성하시오. 그리고 이 특성화가 원정의보다 유리한 상황 예를 하나 드시오 (힌트: 집합 대수 계산 도구(\(\cup\) 법칙들)가 있을 때).

힌트

후진면부터 세운다. 과녁이 \(A \subseteq B\)이므로 “\(A\)의 임의의 원소를 잡아

\(B\)에 있음을 보인다”가 의무이고, 잡은 원소를 \(A \cup B\)로 올린 뒤 가정의

상등을 쓰면 한 줄로 내려온다.

14. 낯선 정의 소화: “함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)가 고정점(fixed point) \(c\)를 갖는다 함은 \(f(c) = c\)인 것이다.” ①~③을 실행하시오 — 예: \(f(x) = x^2\)의 고정점 전부(방정식 \(x^2 = x\)의 해), 비예: 고정점 없는 함수 하나 제작(\(f(x) = x + 1\)이 왜 되는가 — 방정식 꼴로 검증). “고정점의 존재를 보이려면”의 후진면이 방정식 풀기 또는 존재 정리로 이어짐을 명시.

힌트

①에서 \(\exists c\)를 드러내는 것이 관건이다. 그러면 후진면이 “증인을 제시한다”가

되고, 증인 제시는 방정식 \(f(x) = x\)를 푸는 일과 같아진다. 비예에서 “해가 없다”를

보이는 것도 방정식을 풀어 모순을 얻는 일이다.

도전 ●●●#

15. 동치 정의 정리 증명: 홀수의 두 표현 “\(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\) 존재”와 “\(n = 2m - 1\)인 정수 \(m\) 존재”가 동치임을 증명하시오 (양방향 — 각 방향에서 상대 꼴의 문자를 어떻게 제작하는지: \(m = k + 1\)의 발견이 후진면 역산임을 명시).

힌트

각 방향에서 할 일은 “잡은 문자로 상대 쪽 문자를 만들고, 그것이 정수임을

확인하고, 등식이 성립함을 계산으로 보인다”의 셋이다. \(m\)을 어떻게 발견했는지는

두 꼴을 등치해 \(m\)에 대해 풀어 보면 나온다.

합동 기호 복습 — 다음 문제에서 쓴다

\(m \equiv n \pmod 2\)는 “\(m\)과 \(n\)은 법 2에 대해 합동”으로 읽고, 정의는

\(2 \mid (m - n)\)이다(1권 20주차). 곧 이 기호는 위 표의 표현 2를 다르게 적은

것일 뿐이며, 다음 문제가 증명하는 것은 그 표현이 표현 1과도 동치라는 사실이다.

16. 특성화 정리 증명: 정수 \(m, n\)에 대해 “\(m \equiv n \pmod 2\) \(\iff\) (\(m, n\) 둘 다 짝수 \(\lor\) 둘 다 홀수)”를 증명하시오. (\(\Rightarrow\): \(2 \mid (m - n)\)에서 \(m\)의 홀짝 케이스로 \(n\)의 홀짝을 강제 / \(\Leftarrow\): 두 케이스 각각 \(m - n\) 계산. 1권 25주차 문제 9(\(m + n\)이 짝수 \(\iff\) 같은 홀짝)\(\cdot\)문제 17(\(a \equiv b \pmod 2 \iff a + b\)가 짝수)과 짝을 이루는 셋째 특성화를 증명하는 문제)

힌트

양방향 모두 경우 나누기가 들어간다(1권 17주차). \(\Rightarrow\) 방향에서 나누는 대상은

\(m\)의 홀짝이고, 나눈 뒤 \(n = m - 2t\)에 대입해 \(n\)의 꼴을 읽는다.

17. 정의 설계 연습(S19주차 예고편): “정수 \(n\)이 세제곱수(perfect cube)”의 정의를 스스로 작성하고(\(\exists\) 꼴), 소화 절차 ①~③을 실행한 뒤, 명제 “두 세제곱수의 곱은 세제곱수이다”를 증명하시오 — 어느 면이 어디 쓰이는지 라벨링 포함. (\(n = a^3\), \(m = b^3\) \(\to\) \(nm = (ab)^3\) — 문자 분리와 정수성 검증)

힌트

증명의 뼈대는 예제 2.2와 글자까지 같다. 이름 둘을 문자를 달리해 풀고, 과녁의

꼴(정수의 세제곱)을 겨냥해 지수 법칙으로 묶고, 묶어 낸 것이 정수임을 확인한다.

비예를 고를 때는 세제곱수가 음수도 될 수 있다는 점에 주의한다.

조각이 둘인 정의 — 과녁이 둘로 갈라진다

지금까지 다룬 정의의 조건은 하나였다. 조건이 “…이고 …이다”로 연결된 정의에서는

후진면이 과녁을 둘로 갈라 놓는다. 두 과녁은 각각 따로 증명하고, 둘 다

끝나야 이름을 회수한다. 반대로 그 이름을 부정할 때는 둘 중 하나만 무너뜨리면

되며, 어느 쪽을 무너뜨릴지는 후보가 어떤 대상인지에 따라 갈린다. 다만 조각

하나를 먼저 소비해 후보의 범위를 좁히면 남는 경우가 하나로 합쳐지기도 한다 —

다음 문제의 (b)가 그런 판이다. 다음 문제가 두 방향을 모두 요구한다.

18. max의 정의를 두 조각으로: “실수 \(M\)이 집합 \(S\)의 최댓값(maximum)이라 함은 ① \(M \in S\)이고 ② 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M\)인 것이다.” (a) 후진면이 두 과녁(소속 + 지배)으로 갈라짐을 명시하고, \(S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 4\}\)의 최댓값이 2임을 두 과녁 각각 증명하시오. (b) \(S' = \{x \in \mathbb{R} : x^2 < 4\}\)에 최댓값이 없음을 보이시오 — “최댓값이 없다”의 부정 전개(후보 \(M\)마다 ① 또는 ②가 무너짐: \(M \ge 2\)면 ① 위반, \(M < 2\)면 \(M\)과 2 사이의 원소가 ② 위반 — 구체 원소 \(\min\{\frac{M+2}2, \text{(적절한 값)}\}\) 제작). (S16주차 max/min법의 예고편; 1권 16주차 문제 18\(\cdot\)22주차 문제 10의 감각 재활용)

힌트

(b)에서 후보 \(M\)을 잡을 때 \(M \in S'\)이 먼저 나온다는 것을 이용한다. 그러면

\(-2 < M < 2\)가 확보되고, \(M\)과 2 사이의 원소를 만들 재료가 생긴다. 사이의

원소를 만드는 표준 증인은 두 수의 평균이다(1권 15주차 문제 17).

기성 정리를 인용할 때 치르는 요금

산술\(\cdot\)기하 평균 부등식(양수 \(x, y\)에 대해 \(\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}\))은 이

과정에서 증명 없이 인용해도 되는 기성품이다. 부등호가 \(>\)인 판(\(x \neq y\))은

S3주차 문제 9에서 증명했고, \(x = y\)인 경우는 양변이 둘 다 \(x\)가 되어 등호로

성립하므로, 위의 \(\ge\) 판은 그 둘을 합친 것이다. 다만 §1.5에서 확인한 대로 기성

정리에는 전제가 붙어 있고, 인용하려면 그 전제를 갖췄음을 한 줄로 확인해야 한다.

정의를 쓸 때 확인할 것은 대상의 범위 한 줄뿐이라 대개 문맥에서 이미 끝나 있다 —

이 차이를 비용으로 환산해 보는 것이 다음 문제다.

19. 답안지 우선순위의 실증: 명제 “양의 실수 \(a, b\)에 대해 \(\frac ab + \frac ba \ge 2\)”를 (a) 정의\(\cdot\)기본 대수만으로(답안지 ①\(\cdot\)③: 차–제곱, 1권 16주차) (b) AM–GM 인용으로(답안지 ②: \(x = \frac ab, y = \frac ba\)에 적용, \(xy = 1\)) 각각 증명하고, 두 답안의 길이 차와 “②를 쓰려면 치러야 하는 규격 확인 비용”(AM–GM의 전제: 두 수가 양수인가? — \(\frac ab > 0\) 확인)을 비교하시오.

힌트

(a)의 첫 걸음은 후진이다. 과녁이 부등식이므로 “차가 0 이상”으로 갈아치우고

통분한다. (b)에서는 \(x\)와 \(y\)가 양수라는 확인과 \(xy = 1\)이라는 계산이 인용

전에 와야 한다.

20. (서술) (a) “막히면 정의로 돌아가라”(1권)가 이번 주에 어떻게 정밀해졌는지 — 답안지 1번의 어느 면으로 돌아가는 것인지까지 포함해 세 문장 이내로. (b) 예제 2.2(정의 선택이 기법을 바꾼 사례)의 교훈을, 앞으로 낯선 개념의 여러 특성화를 만났을 때의 행동 지침 한 문장으로 압축하시오.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

요일

할 일

1일차

원서 Solow 3장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)

2일차

교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다

3일차

원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 3장 연습문제 몇 개를 직접 시도

4일차

교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항

5일차

백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

3일차의 재독에서 할 일이 이번 주에는 하나 더 있다. 원서 3장이 제시하는 정의 목록을 노트에 옮겨 적되, 각 정의마다 전진면과 후진면을 한 문장씩 붙인다. 이 노트가 이후 주차에서 계속 참조하는 재료가 된다.

1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 정의의 논리 형식, 정의의 두 면, 낯선 정의의 소화 절차. 그 상태에서 예제 2.1의 설계표와 완성 산문을 처음부터 끝까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 정의의 논리 형식(용어 \(\Leftrightarrow\) 조건)과 관례상 if로 적는 이유를 백지에 썼다.

  • 전진면과 후진면이 각각 3단 뼈대의 어느 자리에 들어가는지 말했다.

  • 핵심 질문의 표준 답안지 ①②③을 순서대로 쓰고, ②에 규격 확인 비용이 붙는 이유를 말했다.

  • 다섯 기본 정의(짝수\(\cdot\)홀수\(\cdot\)\(a \mid b\)\(\cdot\)유리수\(\cdot\)\(\subseteq\))의 양면을 문장화했다.

  • 용어 6종을 구분하고 1권의 예를 하나씩 붙였다.

  • 낯선 정의 소화 절차 ①②③을 새 정의 하나(완전수\(\cdot\)삼각수\(\cdot\)고정점 중)에 실행했다.

  • 예제 2.1의 설계표와 완성 산문 다섯 줄을 재현하고, 정의가 쓰인 세 지점을 라벨링했다.

  • 원서 3장을 두 번 읽었고, 3장의 정의 목록에 양면 문장을 붙여 노트에 옮겼다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

정의를 외웠는데 증명의 첫 줄이 안 나온다

§1.8 절차 ② — 전진면 문장을 소리 내어 적는다

계산은 끝났는데 결론을 선언해도 되는지 모르겠다

§1.3 해부 표의 마지막 조각 — 문자 신분을 검증했는지 본다

과녁이 이름이라 후진 질문에 답을 못 대겠다

§1.4 후진면 — 이름을 조건으로 갈아치우는 것이 답이다

어느 표현을 골라야 할지 모르겠다

§1.6 — 손에 있는 사실과 과녁의 겉모양에 가까운 쪽을 고른다

정리를 뒤집어 쓴 것 같다

확인 4 — 정의만 공짜 쌍조건문이고 정리는 각 방향이 별도다

새 정의를 만나면 매번 처음부터 헤맨다

§1.8의 절차를 순서대로 실행한다. ③을 빠뜨리지 않는다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(x \in B\) (2) 전칭(\(\forall\)) (3) \(x \in A\) (4) \(A\)의 임의 (5) \(B\) (6) \(2\)

※ (3)과 (4)(5)를 나란히 놓고 보면 같은 정의가 두 방향으로 전혀 다른 일을 한다는 것이 드러난다. (3)은 이미 가진 원소에 결론을 얹어 주는 일이고, (4)(5)는 아직 없는 원소를 임의로 잡아 오는 일이다. 앞의 것이 S7주차의 특수화, 뒤의 것이 S6주차의 선택법으로 이름을 얻는다. 이번 주에는 두 방향이 하나의 정의에서 나온다는 것만 확인해 두면 된다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) \(a \mid bc\)임을 어떻게 보이는가 (2) 나누어떨어짐의 정의(전진면) — 근거 ① (3) \((ak)c\) (4) 정수의 곱은 정수 — 근거 ②

(5) 산문. \(a \mid b\)라 하자. 나누어떨어짐의 정의에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재하므로, 그런 \(k\)를 하나 잡자. 그러면 \(bc = (ak)c = a(kc)\)이고, \(k\)와 \(c\)가 정수이므로 \(kc\)도 정수이다. 따라서 나누어떨어짐의 정의에 의해 \(a \mid bc\)이다. \(\blacksquare\)

※ 조준의 흔적은 \(a(kc)\)로 묶은 자리다. 대입만 하면 \((ak)c\)에서 멈추는데, 과녁이 \(a \times (\text{정수})\) 꼴이므로 결합법칙으로 \(a\)를 앞에 세우고 나머지를 한 덩어리로 묶는다. 이 묶음을 시킨 것은 가정이 아니라 과녁이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) \(n^2 - 1 = 4t\)인 정수 \(t\)를 제시한다 (2) \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다 (그런 \(k\)를 잡는다) (3) \((2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k\) (4) \(n^2 - 1 = 4(k^2 + k)\) (5) \(A_3\)과 \(A_4\)가 합쳐져 B1이 된다 (\(t = k^2 + k\))

(6) 산문. \(n\)이 홀수라 하자. 홀수의 정의(전진면)에 의해 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재하므로 그런 \(k\)를 잡자. 그러면 \(n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)\)이고, \(k\)가 정수이므로 \(k^2 + k\)도 정수이다. 따라서 나누어떨어짐의 정의(후진면)에 의해 \(n^2 - 1\)은 4의 배수이다. \(\blacksquare\)

※ 이 명제는 예제 2.1과 뼈대가 같고 조준의 목표만 \(2 \times\)정수에서 \(4 \times\)정수로 바뀌었다. 전개한 식 \(4k^2 + 4k\)에서 멈추면 조건이 완성되지 않는다 — 과녁이 요구하는 것은 4가 곱해진 꼴이지 4가 들어 있는 식이 아니기 때문이다.

문제 1#

접근. 두 부분으로 나뉜 문제다. 앞부분(이유)은 §1.3의 상자, 뒷부분(양면)은 §1.4의 상자에서 나온다. 이유를 적을 때는 “정의는 무엇에 대한 문장인가”에서 출발하면 나머지가 따라 나오고, 양면을 적을 때는 각각 “무엇을 무엇으로 바꾸는가”의 한 문장으로 압축하는 것이 안전하다.

풀이. 정의가 쌍조건문인 이유 — 정의는 세계에 대한 사실 주장이 아니라 낱말에 대한 약속이다. 약속이므로 어느 방향을 넣을지는 약속하는 쪽이 정할 수 있고, 한 방향만 약속하면 그 낱말은 절반만 쓸 수 있게 된다. 조건에서 이름으로 가는 방향만 약속하면 이름이 붙은 대상에서 조건을 꺼낼 수 없고, 이름에서 조건으로 가는 방향만 약속하면 조건을 갖춘 대상에 이름을 붙일 수 없다. 그래서 관례상 “if”로 적어도 언제나 iff로 읽는다. 전진면(\(T \Rightarrow C\)) — 사실 목록에 있는 이름을 조건으로 푼다. 이름은 대수 조작의 대상이 아니므로, 이 걸음이 있어야 등식이 생기고 근거 ③이 작동한다. 후진면(\(C \Rightarrow T\)) — 과녁에 붙은 이름을 만들어야 할 조건으로 갈아치운다. 이름으로 된 과녁에는 조준할 겉모양이 없으므로, 이 걸음이 있어야 전진이 겨눌 꼴이 생긴다.

복기. 두 면을 “이름을 식으로”와 “식을 이름으로”의 두 마디로 줄여 두면 하나를 잊어도 반대쪽에서 복구된다. 어느 면인지 헷갈릴 때는 그 이름이 사실 목록에 있는지 과녁에 있는지만 보면 된다.

문제 2#

접근. 네 정의 모두 같은 틀에 넣는다. 전진면은 “…가 사실 목록에 있으면 나는 …를 잡을 수 있다”, 후진면은 “…임을 보이려면 …를 만들면 된다”. (a)(b)(c)는 조건이 존재문이라 틀에 그대로 들어가고, (d)만 조건이 부정문이라 “잡을 수 있는 것”이 달라진다. 그 차이를 발견하는 것이 이 문제의 목적이다.

풀이. (a) \(a \mid b\) — 전진면: “\(a \mid b\)”가 목록에 있으면 \(b = ak\)인 정수 \(k\)를 잡을 수 있다. 후진면: “\(a \mid b\)”임을 보이려면 \(b = a \times (\text{정수})\) 꼴의 표현을 만들고, 그 정수 자리에 온 것이 실제로 정수임을 확인하면 된다. (b) \(n\)은 홀수 — 전진면: “\(n\)은 홀수”가 목록에 있으면 \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)를 잡을 수 있다. 후진면: “\(n\)은 홀수”임을 보이려면 \(n = 2 \times (\text{정수}) + 1\) 꼴을 만들면 된다. (c) \(r\)은 유리수 — 전진면: “\(r\)은 유리수”가 목록에 있으면 \(r = \frac pq\)이고 \(q \neq 0\)인 정수 \(p, q\)를 잡을 수 있다. 후진면: “\(r\)은 유리수”임을 보이려면 그런 분수 표현을 만들면 되며, 분자와 분모가 정수라는 것과 분모가 0이 아니라는 것을 함께 확인해야 한다. (d) \(A\)와 \(B\)는 서로소 — 전진면: “\(A \cap B = \emptyset\)”이 목록에 있으면 “\(x \in A\)이면서 \(x \in B\)인 \(x\)는 없다”를 잡는다. 이것은 원소를 하나도 주지 않는 사실이므로, 실제 사용은 “어떤 \(x\)가 둘 다에 속한다고 하면 곧바로 모순”의 형태가 된다. 후진면: 서로소임을 보이려면 \(A \cap B\)에 원소가 하나도 없음을 보이면 되고, 표준 방식은 \(x \in A \cap B\)인 \(x\)가 있다고 가정해 모순을 얻는 것이다.

복기. 조건이 존재문인 정의는 전진면이 “잡는다”로, 후진면이 “만든다”로 각각 한 동작이 된다. 조건이 부정문인 정의는 두 면 다 곧바로 동작이 되지 않고 귀류로 넘어간다 — 부정문이 나오면 귀류를 떠올리라는 신호가 여기서 처음 나타나며, 정면으로 다루는 것은 S10주차와 S11주차다.

문제 3#

접근. §1.7의 표를 복원하는 문제다. 여섯을 나열로 외우는 대신 두 물음으로 갈라 두면 자리가 잡힌다. 첫째 물음은 “증명이 필요한가”이고 여기서 공리와 정의가 아닌 쪽으로 갈린다. 둘째 물음은 “누구를 위해 존재하는가”이고 여기서 보조정리와 따름정리가 갈린다.

풀이. 공리 — 증명 없이 참으로 약속하는 출발점. 예: 실수의 기본 성질(1권 16주차), 자연수의 최소원리(1권 33주차). 정의 — 낱말의 약속이며 언제나 iff. 예: 짝수, 부분집합, 상등 판정(1권 27주차 정의 27.1), 수열의 극한(1권 45주차). 명제 — 참으로 증명된 진술 가운데 보통 등급의 것. 예: 각 주차의 연습 명제들. 정리 — 증명된 진술 가운데 특히 중요한 것. 예: 나눗셈 정리(1권 33주차 예제 2.2가 존재를, 문제 10이 유일성을 증명한다), 칸토어 정리(1권 49주차 예제 2.3). 보조정리 — 더 큰 증명에 부품으로 쓰려고 미리 떼어 증명한 진술. 예: “\(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수”(1권 19주차 예제 2.1)이며, 1권 21주차의 \(\sqrt2\) 무리성 증명이 이것을 부품으로 쓴다. 따름정리 — 이미 증명한 정리에서 짧게 따라 나오는 진술. 예: 칸토어 정리에서 따라 나오는 무한 위계의 무한성(1권 49주차).

복기. 뒤의 넷은 자격이 같고 편집상의 이름만 다르다. 그러므로 원서에서 Proposition을 인용할 때와 Theorem을 인용할 때 근거의 무게는 같다. 다르게 읽어야 할 것은 무게가 아니라 위치다.

문제 4#

접근. 훈련 1은 정의 하나를 양면으로 펼치는 것, 훈련 2는 걸음에 근거를 붙이는 것, 훈련 3은 칸을 통째로 채우는 것이다. 백지에서 할 때는 훈련 3부터 시도하고 막히면 1과 2로 내려오는 편이 낫다. 훈련 1의 양면 문장과 훈련 2의 조준 걸음이 훈련 3의 부품이기 때문이다.

풀이. 답은 위 세 절(빈칸 사다리 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3)에 있다. 자가 채점 기준은 세 가지다. ① 정의를 인용한 자리마다 전진면인지 후진면인지가 적혀 있는가 ② 정의 꼴을 완성한 직후에 문자 신분 검증(정수인가) 한 줄이 있는가 ③ 조준의 자리, 곧 전개에서 멈추지 않고 한 번 더 묶은 줄이 있는가. 셋 중 하나라도 빠지면 계산은 맞아도 이번 주의 제출물이 아니다.

복기. 세 훈련의 구조는 같고 지지대만 다르다. 훈련 1은 정의만 다루고 증명이 없으며, 훈련 2는 증명이 있되 근거가 절반 주어져 있고, 훈련 3은 전부 스스로 세운다. 세 개를 연달아 하면 “정의를 안다”에서 “정의로 증명한다”까지의 거리가 얼마인지 눈에 보인다.

문제 5#

접근. 완전수와 달리 삼각수의 조건은 존재문이다. ①에서 \(\exists\)를 드러내는 것이 첫 일이고, 그다음 등차수열의 합 공식(1권 31주차)으로 조건을 닫힌 식으로 바꾸면 ③의 계산이 훨씬 짧아진다. 비예는 두 삼각수 사이의 수를 고르면 된다.

풀이. ① iff 재작성 — \(n\)은 삼각수 \(\iff\) \(n = 1 + 2 + \cdots + k\)인 양의 정수 \(k\)가 존재한다. 1권 31주차에서 증명한 합 공식으로 조건을 닫힌 식으로 바꾸면 \(n\)은 삼각수 \(\iff\) \(\exists k \in \mathbb{Z}^+ : n = \dfrac{k(k+1)}2\)이다. 조건의 구조는 존재 양화사 하나에 등식 하나가 얹힌 꼴이며, 문자 \(k\)는 존재를 주장하는 문자이고 범위는 양의 정수다. ② 전진면 — “\(n\)은 삼각수”가 목록에 있으면 그런 \(k\)를 잡아 등식 \(n = \frac{k(k+1)}2\)을 확보할 수 있다. 잡히는 것이 등식 하나와 존재 문자 \(k\) 하나라는 점이 중요하다 — 이후 계산에서 \(k\)는 고정된 양의 정수로 쓰인다. 후진면 — “\(n\)이 삼각수임을 보이려면” 적절한 양의 정수 \(k\)를 제시하고 \(n = \frac{k(k+1)}2\)을 계산으로 확인하면 된다. 증인을 만들어 내미는 일이므로 1권 26주차의 구성적 존재 증명과 같은 동작이다. ③ 예 — \(6\)은 \(k = 3\)에서 \(\frac{3 \cdot 4}2 = 6\)이므로 삼각수이고, \(10\)은 \(k = 4\)에서 \(\frac{4 \cdot 5}2 = 10\)이므로 삼각수다. 비예 — \(5\)는 삼각수가 아니다. \(k = 2\)에서 값이 \(3\)이고 \(k = 3\)에서 \(6\)이며 \(\frac{k(k+1)}2\)은 \(k\)가 커질수록 커지므로, 값이 \(5\)가 되는 양의 정수 \(k\)는 없다. \(8\)도 같은 이유로 아니다 — \(k = 3\)에서 \(6\), \(k = 4\)에서 \(10\)이고 그 사이에 정수 \(k\)가 없다.

복기. 존재 조건인 정의의 비예를 만들 때 쓰는 표준 논법이 여기 있다. 조건을 만족하는 값들을 크기 순으로 늘어놓고, 후보가 이웃한 두 값 사이에 있음을 보이는 것이다. “해당 \(k\)를 못 찾았다”가 아니라 “그런 \(k\)가 없다”까지 가야 비예가 성립한다.

검산. \(k = 4\)를 공식에 넣으면 \(\frac{4 \cdot 5}2 = 10\)이고, 직접 더해도 \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\) ✓

문제 6#

접근. 세 지점 중 둘은 완성 산문에 그대로 있고 하나는 설계에만 있다. 산문만 재현하면 두 개밖에 나오지 않으므로, 설계표까지 함께 적어야 세 지점이 채워진다. 설계에 있는 것은 과녁을 갈아치운 걸음이다.

풀이. 재현한 산문은 다섯 줄이며 라벨은 다음과 같다. 첫째 줄 “\(n\)이 짝수라 하자” — 라벨 없음(가정 선언). 둘째 줄 “짝수의 정의에 의해 \(n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 그런 \(k\)를 하나 잡자” — 전진면. 이름을 등식으로 바꾼 자리다. 셋째 줄 “\(n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\)” — 라벨 없음(근거 ③의 계산). 다만 이 줄에서 2를 묶은 것은 다음 라벨이 시킨 일이다. 넷째 줄 “\(k\)가 정수이므로 \(2k^2\)도 정수이다” — 라벨 없음(근거 ②의 신분 검증). 다섯째 줄 “따라서 \(n^2\)은 짝수이다” — 후진면. 조건을 갖췄으므로 이름을 회수한다. 설계표의 도착점 칸에서 “\(n^2\)은 짝수”를 “\(n^2 = 2t\)인 정수 \(t\)를 제시한다”로 바꾼 걸음 — 후진면(설계에만 있고 산문에서 지워진 세 번째 사용).

복기. 완성본에서 정의 인용이 두 번으로 보이는 것은 세 번째 사용이 지워졌기 때문이다. 압축본을 읽을 때 “이 계산은 왜 이 방향으로 갔는가”를 물으면 지워진 그 한 번이 복원된다(S3주차 §1.6).

문제 7#

접근. 전진면으로 \(n = 6k\)를 확보하고, 과녁이 요구하는 꼴이 \(3 \times (\text{정수})\)임을 확인한 뒤, \(6k\)를 그 꼴로 다시 묶는다. 전진면 1회와 후진면 1회가 각각 어디인지 라벨을 붙이는 것이 이 문제의 제출 요건이다.

풀이. 증명. \(6 \mid n\)이라 하자. 나누어떨어짐의 정의(전진면)에 의해 \(n = 6k\)인 정수 \(k\)가 존재하므로, 그런 \(k\)를 하나 잡자. 그러면 \(n = 6k = 3(2k)\)이고, \(k\)가 정수이므로 \(2k\)도 정수이다(근거 ②). 따라서 나누어떨어짐의 정의(후진면)에 의해 \(3 \mid n\)이다. \(\blacksquare\) 설계 단계에서 한 일까지 적으면 후진면이 한 번 더 쓰였다 — 과녁 “\(3 \mid n\)”을 “\(n = 3 \times (\text{정수})\) 꼴을 만든다”로 갈아치운 걸음이며, 그 걸음이 \(6k = 3(2k)\)라는 묶음의 방향을 정했다.

복기. 이 증명은 S3주차 문제 7(나누어떨어짐의 추이성)의 축소판이다. 거기서는 전진면을 두 번 써서 등식 두 개를 얻고 대입했지만, 여기서는 가진 사실이 하나뿐이라 전진면도 한 번이다. 뼈대는 같다.

검산. \(n = 18\)로 확인한다. \(k = 3\)이고 \(18 = 3 \times 6\)이므로 \(3 \mid 18\) ✓

문제 8#

접근. 목격자를 먼저 찾는다. 짝수이면서 4의 배수가 아닌 정수를 하나만 대면 정리의 역이 거짓임이 확정된다. 그다음 “왜 정의만 공짜인가”를 두 문장으로 적되, 두 문장이 각각 정의 쪽과 정리 쪽을 맡게 배분한다.

풀이. 정리의 역은 “정수 \(n\)이 짝수이면 \(n\)은 4의 배수이다”이며, \(n = 2\)가 목격자다. \(2 = 2 \times 1\)이므로 짝수이고, \(2 = 4k\)인 정수 \(k\)는 없으므로 4의 배수가 아니다. 따라서 정리의 if는 한 방향 주장일 뿐이고 iff로 읽을 수 없다. 왜 정의만 공짜 쌍조건문인가 — 첫째, 정의는 대상에 대해 참\(\cdot\)거짓을 가릴 내용이 없는 명명 행위이므로 “조건 \(\Leftrightarrow\) 이름”을 통째로 약속으로 세울 수 있고, 그 약속에 반대 방향을 넣는 데 아무 비용이 들지 않는다. 둘째, 정리는 이미 뜻이 정해진 두 진술 사이의 사실 관계 주장이므로 각 방향이 별개의 사실이고, 한 방향의 증명은 다른 방향에 대해 아무것도 말하지 않는다.

복기. 원서를 읽을 때 이 구분이 곧바로 쓰인다. Definition 아래의 문장은 어느 방향으로도 인용할 수 있고, Theorem 아래의 문장은 적힌 방향으로만 인용할 수 있다. 정리를 뒤집어 인용하는 것이 1권 9주차에서 다룬 역 오류이며, 문헌 독해에서 가장 자주 밟는 자리다.

문제 9#

접근. 판단 기준은 §1.6의 마지막 문장이다. 손에 있는 사실의 겉모양과 과녁의 겉모양을 나란히 적고, 세 표현 중 어느 것이 그 둘과 같은 소재를 쓰는지 본다. (a)와 (b)의 답이 다르다는 것이 이 문제의 요점이며, 같은 개념이라도 상황이 표현을 정한다는 것을 확인하는 자리다.

풀이. (a) 가진 사실이 “\(m + n\)은 짝수”라는 등식형 사실이므로, 과녁도 등식형인 표현 2(\(2 \mid (m-n)\))를 고른다. 첫 두 걸음은 이렇다. 첫째, 전진면으로 \(m + n = 2k\)인 정수 \(k\)를 잡는다. 둘째, 과녁이 \(m - n\)에 대한 등식이므로 \(m - n\)을 가진 사실로 표현한다: \(m - n = (m + n) - 2n = 2k - 2n = 2(k - n)\). \(k - n\)이 정수이므로 후진면에 의해 \(2 \mid (m-n)\)이고, 특성화(문제 16)에 의해 \(m\)과 \(n\)은 같은 홀짝이다. 사실상 두 걸음으로 끝난다. (b) 가진 사실이 “같은 홀짝”이고 과녁이 \(m^2 + n^2\)에 대한 것이므로, 제곱을 계산하려면 \(m\)과 \(n\)의 꼴이 손에 있어야 한다. 그런 꼴을 주는 것은 표현 1 (둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수)이다. 첫 두 걸음은 경우 나누기다. 경우 1 — 둘 다 짝수: \(m = 2a\), \(n = 2b\)인 정수 \(a, b\)를 잡으면 \(m^2 + n^2 = 4a^2 + 4b^2 = 2(2a^2 + 2b^2)\)이고 \(2a^2 + 2b^2\)이 정수이므로 짝수다. 경우 2 — 둘 다 홀수: \(m = 2a + 1\), \(n = 2b + 1\)인 정수 \(a, b\)를 잡으면 \(m^2 + n^2 = 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 = 2(2a^2 + 2a + 2b^2 + 2b + 1)\)이고 괄호 안이 정수이므로 짝수다. 두 경우가 홀짝을 전부 덮으므로(1권 17주차) 증명이 끝난다.

복기. 표현 3(합동)을 고르면 (b)가 한 줄로 줄어든다. 모든 정수 \(x\)에 대해 \(x^2 \equiv x \pmod 2\)이므로 \(m^2 + n^2 \equiv m + n \pmod 2\)이고, 같은 홀짝이면 \(m + n\)이 짝수이므로 \(m^2 + n^2\)도 짝수다(1권 20주차의 합동 산술). 세 표현 중 어느 것이 짧은지는 그때 손에 있는 도구가 정한다 — 합동 산술을 쓸 수 있으면 표현 3이, 정의만 있으면 표현 1이 짧다.

검산. (b)를 \(m = 3\), \(n = 5\)로 확인한다. 둘 다 홀수이고 \(m^2 + n^2 = 9 + 25 = 34 = 2 \times 17\) ✓

문제 10#

접근. 마지막 줄만 보지 말고 마지막에서 둘째 줄부터 본다. 짝수의 정의가 요구하는 꼴을 옆에 적어 두고 \(\sqrt{2k}\)와 글자 단위로 대조하면 무엇이 없는지 드러난다. 전진면 전개까지는 유효하므로, 무너진 자리를 정확히 짚는 것이 진단의 내용이다.

풀이. 유효한 부분은 둘째 줄까지다. “\(n^2\)이 짝수이므로 \(n^2 = 2k\)인 정수 \(k\)가 있다”는 짝수의 정의를 전진면으로 쓴 것이고 정확하다. 무너지는 곳은 셋째 줄이다. 첫째, 양변에 제곱근을 취하면 얻는 것은 \(|n| = \sqrt{2k}\)이지 \(n = \sqrt{2k}\)가 아니다 — 부호가 누락됐다. 둘째, 그리고 이쪽이 결정적인데, \(\sqrt{2k}\)는 짝수의 정의 꼴이 아니다. 정의가 요구하는 것은 \(n = 2 \times (\text{정수})\)인데 \(\sqrt{2k}\)에는 2가 곱해져 있지 않고, 그 값이 정수라는 보장조차 이 표현에서 나오지 않는다. 그러므로 넷째 줄의 “따라서 \(n\)은 짝수이다”는 조건을 만들지 않은 채 이름만 선언한 것이다. 막힘의 성격은 S2주차 문제 16에서 기록한 것과 같다. 제곱된 식에서 원래의 수를 꺼내려는 시도가 정의 꼴로 이어지지 않는다는 것이다. 올바른 증명은 대우다 (1권 19주차 예제 2.1): 대우 “\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다”를 증명하면 되고, 이쪽은 가정이 긍정문이자 존재문이라 전진면이 즉시 작동한다.

복기. 정의는 만능이 아니라 하나의 공급처다. 후진면이 요구하는 꼴을 만들 길이 보이지 않을 때, 그 막힘 자체가 기법을 바꾸라는 신호다. 이번 경우 신호가 가리킨 것은 대우이고, 이 전환을 정면으로 다루는 것은 S12주차다.

문제 11#

접근. 두 면의 차이는 “누가 \(\varepsilon\)을 고르는가”에 있다. 전진면에서는 \(\varepsilon\)을 내가 고르고 \(N\)을 받으며, 후진면에서는 \(\varepsilon\)을 받고 \(N\)을 내가 만든다. 이 역할 교대를 먼저 잡고 나면 1권 46주차의 증명에서 어느 면이 어디 쓰였는지가 바로 보인다.

풀이. 전진면 — “\(a_n \to L\)”이 사실 목록에 있으면 나는 임의의 \(\varepsilon > 0\)을 골라 넣을 때마다 그에 대응하는 문턱 \(N\)을 공급받을 수 있다. 공급받은 뒤에는 \(n > N\)인 모든 \(n\)에 대해 \(a_n\)과 \(L\)의 거리가 \(\varepsilon\)보다 작다는 사실을 쓸 수 있다. 여기서 \(\varepsilon\)을 고르는 쪽이 나라는 점이 핵심이며, 그래서 \(\varepsilon\) 대신 \(\frac\varepsilon2\)처럼 편한 값을 넣어도 된다. 후진면 — “\(a_n \to L\)임을 보이려면” 상대가 내미는 임의의 \(\varepsilon > 0\)을 받아 그에 맞는 문턱 \(N\)을 제작하고, \(n > N\)인 모든 \(n\)에서 부등식이 성립함을 검증하면 된다. 여기서는 \(\varepsilon\)을 고르는 쪽이 상대이고 \(N\)을 만드는 쪽이 나다. 1권 46주차의 합의 극한 증명에서 두 면이 이렇게 쓰였다. 가진 사실 두 개 (\(a_n \to L\), \(b_n \to M\))에 전진면을 각각 한 번씩 쓰되 \(\varepsilon\) 자리에 \(\frac\varepsilon2\)을 넣어 문턱 \(N_1\)과 \(N_2\)를 공급받았고, 과녁 (\(a_n + b_n \to L + M\))에는 후진면을 써서 \(N = \max\{N_1, N_2\}\)를 제작해 내밀었다.

복기. 전진면과 후진면에서 양화사의 역할이 정확히 뒤바뀐다는 것이 이 문제의 수확이다. 전칭은 전진면에서 “내 마음대로 고른다”가 되고 후진면에서 “무엇이 와도 견뎌야 한다”가 되며, 존재는 그 반대다. 겹친 양화사를 이 규칙으로 벗기는 절차가 S8주차의 주제다.

문제 12#

접근. 불편함을 구체적으로 적으려면 보조정리의 증명이 어떤 기법이었는지를 먼저 확인한다. 그 기법이 본증명의 기법과 다르다는 것이 답의 핵심이다.

풀이. 인용된 보조정리는 “정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)도 짝수이다” (1권 19주차 예제 2.1)이고, 그 자체는 대우로 증명된다. 이것을 떼어 내지 않고 \(\sqrt2\) 무리성 증명 안에서 직접 해결하려 하면, 귀류로 모순을 쫓는 도중에 대우 증명 한 편이 통째로 끼어들어 독자가 지금 어느 게임 중인지를 놓치게 된다. 게다가 이 보조정리는 그 증명 안에서 두 번 쓰이므로(\(a\)가 짝수임을 얻을 때와 \(b\)가 짝수임을 얻을 때), 떼어 내지 않으면 같은 대우 증명이 두 번 반복된다. 보조정리로 분리해 두면 본증명에서는 “보조정리에 의해 \(a\)는 짝수이다”라는 한 줄로 끝나 모순을 쫓는 흐름이 끊기지 않는다.

복기. 보조정리는 논리가 아니라 편집이지만, 그 편집이 독자의 부담을 설계한다 (1권 20주차의 글쓰기 정신). 판단 기준은 두 가지다. 그 부품이 본증명과 다른 기법을 쓰는가, 그리고 본증명에서 두 번 이상 쓰이는가. 둘 중 하나라도 해당하면 떼어 내는 편이 낫다.

문제 13#

접근. 후진면부터 세운다. 과녁이 \(A \subseteq B\)이므로 의무는 “\(A\)의 임의의 원소를 잡아 \(B\)에 속함을 보인다”이고, 잡은 원소를 \(A \cup B\)로 올린 뒤 가정의 상등을 쓰면 한 줄로 내려온다. 유리한 상황을 드는 뒷부분은 “무엇이 이미 손에 있을 때 이 특성화가 이득인가”로 물으면 답이 나온다.

풀이. 증명(\(A \cup B = B \Rightarrow A \subseteq B\)). \(A \cup B = B\)라 하자. 부분집합의 정의(후진면)에 의해 \(A\)의 임의의 원소가 \(B\)에 속함을 보이면 된다. \(x \in A\)를 임의로 잡자. 합집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이면 \(x \in A \cup B\)이므로 \(x \in A \cup B\)이다. 가정에서 \(A \cup B = B\)이므로 \(x \in B\)이다. \(x\)는 \(A\)의 임의의 원소였으므로 \(A \subseteq B\)이다. \(\blacksquare\) S3주차 문제 11이 반대 방향을 증명했으므로, 두 방향을 합치면 특성화 \(A \subseteq B \iff A \cup B = B\)가 완성된다. 유리한 상황의 예 — 집합 대수 계산으로 어떤 등식을 이미 얻어 놓은 경우다. 예를 들어 계산 끝에 \((X \cap Y) \cup Y = Y\)라는 등식을 확보했다면, 특성화를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어 \(X \cap Y \subseteq Y\)를 원소 추적 없이 즉시 얻는다. 원정의로 갔다면 임의의 원소를 잡아 두 조건을 확인하는 걸음이 필요했을 자리다.

복기. 이 특성화가 하는 일은 원소에 대한 진술(\(\subseteq\))을 집합에 대한 등식(\(\cup\))으로 바꾸는 것이다. 원소를 잡는 도구가 손에 있으면 원정의가 편하고, 등식을 다루는 도구가 손에 있으면 특성화가 편하다. 표현 선택의 기준은 언제나 그때 손에 있는 도구다.

문제 14#

접근. ①에서 \(\exists c\)를 드러내는 것이 관건이다. 그러면 후진면이 “증인을 제시한다”가 되고, 증인 제시는 방정식 \(f(x) = x\)를 푸는 일과 같아진다. 비예에서 “고정점이 없다”를 보이는 것도 같은 방정식을 풀어 해가 없음을 확인하는 일이다.

풀이. ① iff 재작성 — \(f\)가 고정점을 갖는다 \(\iff\) \(f(c) = c\)인 실수 \(c\)가 존재한다. 조건의 구조는 존재 양화사 하나에 등식 하나가 얹힌 꼴이고, 문자 \(c\)의 범위는 실수이며 존재를 주장하는 문자다. ② 전진면 — “\(f\)가 고정점을 갖는다”가 목록에 있으면 그런 \(c\)를 잡아 등식 \(f(c) = c\)를 확보할 수 있다. 잡히는 것은 이름 없는 점 하나와 등식 하나다. 후진면 — 고정점의 존재를 보이려면 두 갈래가 있다. 하나는 방정식 \(f(x) = x\)의 해를 직접 구해 증인으로 내미는 것이고(1권 26주차의 구성적 존재 증명), 다른 하나는 해의 존재를 보장하는 정리를 인용하는 것이다(예: 중간값 정리 — 이 과정에서 기성품으로 인용하는 절차는 S5주차 문제 18에서 다룬다). ③ 예 — \(f(x) = x^2\)의 고정점은 방정식 \(x^2 = x\), 곧 \(x(x - 1) = 0\)의 해이므로 \(0\)과 \(1\) 둘이고, 이것이 전부다. \(f(0) = 0\)과 \(f(1) = 1\)로 검증된다. 비예 — \(f(x) = x + 1\)은 고정점을 갖지 않는다. \(x + 1 = x\)이면 양변에서 \(x\)를 빼 \(1 = 0\)이 되어 모순이므로 해가 없기 때문이다. 또 하나는 \(f(x) = x - 3\)이며 같은 방식으로 \(-3 = 0\)이라는 모순이 나와 해가 없다.

복기. 후진면이 두 갈래로 갈리는 것이 이 정의의 특징이다. 증인을 직접 만들 수 있으면 첫째 갈래가 짧고, 만들 수 없지만 존재는 보장되는 상황이면 둘째 갈래가 유일한 길이다. 이 두 얼굴을 정면으로 다루는 것이 S5주차의 구성법이다.

문제 15#

접근. 각 방향에서 할 일은 셋이다. 잡은 문자로 상대 쪽 문자를 만들고, 그것이 정수임을 확인하고, 등식이 성립함을 계산으로 보인다. 상대 쪽 문자를 어떻게 발견했는지는 두 꼴을 등치해 그 문자에 대해 풀어 보면 나온다.

풀이. 증명. (\(\Rightarrow\)) \(n = 2k + 1\)인 정수 \(k\)가 존재한다고 하자. 그런 \(k\)를 잡고 \(m = k + 1\)로 둔다. \(k\)가 정수이므로 \(m\)도 정수이고, \(2m - 1 = 2(k+1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1 = n\)이다. 따라서 \(n = 2m - 1\)인 정수 \(m\)이 존재한다. (\(\Leftarrow\)) \(n = 2m - 1\)인 정수 \(m\)이 존재한다고 하자. 그런 \(m\)을 잡고 \(k = m - 1\)로 둔다. \(m\)이 정수이므로 \(k\)도 정수이고, \(2k + 1 = 2(m-1) + 1 = 2m - 2 + 1 = 2m - 1 = n\)이다. 따라서 \(n = 2k+1\)인 정수 \(k\)가 존재한다. \(\blacksquare\) \(m = k + 1\)의 발견 — 만들어야 할 것은 \(n = 2m - 1\)이고 손에 있는 것은 \(n = 2k + 1\)이므로, 두 식을 등치해 \(2m - 1 = 2k + 1\)을 세우고 \(m\)에 대해 거꾸로 풀면 \(m = k + 1\)이 나온다. 증인 제작은 언제나 이렇게 과녁에서 거꾸로 풀어 얻은 결과이며, 완성 산문에서는 그 역산이 지워지고 “\(m = k+1\)로 둔다”만 남는다.

복기. 동치인 두 표현을 잇는 증명은 양방향 모두 같은 세 걸음으로 이루어진다. 문자를 잡고, 상대 문자를 제작하고, 신분과 등식을 검증한다. 어느 쪽이 어렵다면 그것은 제작 공식을 찾는 역산이 어려운 것이지 구조가 다른 것이 아니다.

검산. \(n = 7\)로 확인한다. \(k = 3\)이고 \(m = k + 1 = 4\)이며 \(2 \times 4 - 1 = 7\) ✓

문제 16#

접근. 양방향 모두 경우 나누기가 들어간다(1권 17주차). \(\Rightarrow\) 방향에서 나누는 대상은 \(m\)의 홀짝이고, 나눈 뒤 \(n = m - 2t\)에 대입해 \(n\)의 꼴을 읽는다. \(\Leftarrow\) 방향은 각 경우에서 \(m - n\)을 계산하기만 하면 된다.

풀이. 증명. (\(\Rightarrow\)) \(m \equiv n \pmod 2\)라 하자. 합동의 정의(1권 20주차)에 의해 \(2 \mid (m - n)\)이고, 나누어떨어짐의 전진면에 의해 \(m - n = 2t\)인 정수 \(t\)가 존재하므로 그런 \(t\)를 잡자. 곧 \(n = m - 2t\)이다. 이제 \(m\)의 홀짝으로 경우를 나눈다. 경우 1 — \(m\)이 짝수: \(m = 2a\)인 정수 \(a\)를 잡으면 \(n = 2a - 2t = 2(a - t)\)이고 \(a - t\)가 정수이므로 \(n\)도 짝수다. 둘 다 짝수다. 경우 2 — \(m\)이 홀수: \(m = 2a + 1\)인 정수 \(a\)를 잡으면 \(n = 2a + 1 - 2t = 2(a - t) + 1\)이고 \(a - t\)가 정수이므로 \(n\)도 홀수다. 둘 다 홀수다. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로(1권 17주차) 두 경우가 전부이고, 어느 경우든 \(m\)과 \(n\)은 같은 홀짝이다. (\(\Leftarrow\)) 두 경우를 각각 계산한다. 경우 1 — 둘 다 짝수: \(m = 2a\), \(n = 2b\)인 정수 \(a, b\)를 잡으면 \(m - n = 2a - 2b = 2(a - b)\)이고 \(a - b\)가 정수이므로 \(2 \mid (m - n)\)이다. 경우 2 — 둘 다 홀수: \(m = 2a + 1\), \(n = 2b + 1\)인 정수 \(a, b\)를 잡으면 \(m - n = (2a + 1) - (2b + 1) = 2a - 2b = 2(a - b)\)이고 같은 이유로 \(2 \mid (m - n)\)이다. 어느 경우든 \(2 \mid (m-n)\), 곧 \(m \equiv n \pmod 2\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 특성화가 발급되고 나면 §1.6 표의 셋째 줄에 있는 세 표현을 언제든 바꿔 쓸 수 있고, 문제 9(a)처럼 상황에 맞는 표현을 고르는 일이 합법이 된다. 특성화 정리를 증명해 두는 일은 표현 선택의 자유를 미리 사 두는 일이다.

검산. \(m = 7\), \(n = 3\)으로 확인한다. \(m - n = 4 = 2 \times 2\)이므로 \(m \equiv n \pmod 2\)이고, 실제로 둘 다 홀수다 ✓

문제 17#

접근. 정의를 존재 꼴로 세우고 나면 증명의 뼈대는 예제 2.2와 글자까지 같다. 이름 둘을 문자를 달리해 풀고, 과녁의 꼴(정수의 세제곱)을 겨냥해 지수 법칙으로 묶고, 묶어 낸 것이 정수임을 확인한다. 비예를 고를 때는 세제곱수가 음수도 될 수 있다는 점에 주의한다.

풀이. 정의 — 정수 \(n\)이 세제곱수라 함은, \(n = a^3\)인 정수 \(a\)가 존재하는 것이다. ① iff 재작성 — \(n\)은 세제곱수 \(\iff\) \(\exists a \in \mathbb{Z} : n = a^3\). 조건은 존재 양화사 하나에 등식 하나이며, 문자 \(a\)의 범위는 정수 전체다. ② 전진면 — “\(n\)은 세제곱수”가 목록에 있으면 그런 \(a\)를 잡아 등식 \(n = a^3\)을 확보할 수 있다. 후진면 — “\(n\)이 세제곱수임을 보이려면” \(n\)을 \((\text{정수})^3\) 꼴로 표현하고 그 밑이 정수임을 확인하면 된다. ③ 예 — \(8 = 2^3\)이고 \(-27 = (-3)^3\)이다. 음수도 세제곱수가 된다는 점이 제곱수와 다르며, 이 차이는 밑의 부호가 세제곱에서 보존되기 때문이다. 비예 — \(4\)는 세제곱수가 아니다. \(1^3 = 1 < 4 < 8 = 2^3\)이고 세제곱은 증가하므로 \(a^3 = 4\)인 정수 \(a\)가 없다. \(2\)도 같은 이유로 아니다. 증명(두 세제곱수의 곱은 세제곱수이다). \(n\)과 \(m\)이 세제곱수라 하자. 세제곱수의 정의(전진면)에 의해 \(n = a^3\)인 정수 \(a\)와 \(m = b^3\)인 정수 \(b\)가 존재하므로, 그런 \(a\)와 \(b\)를 문자를 달리해 잡자. 그러면 지수 법칙에 의해 \(nm = a^3 b^3 = (ab)^3\)이고, \(a\)와 \(b\)가 정수이므로 \(ab\)도 정수이다(근거 ②). 따라서 세제곱수의 정의(후진면)에 의해 \(nm\)은 세제곱수이다. \(\blacksquare\)

복기. 정의를 스스로 설계할 때의 점검표가 여기서 드러난다. 조건이 존재 꼴인가, 문자의 범위가 명시됐는가, 예와 비예가 각각 둘 이상 만들어지는가. 셋을 통과하면 그 정의는 증명에서 쓸 수 있는 정의다. 정의를 짓는 일 자체를 다루는 것은 S19주차다.

검산. \(n = 8\), \(m = -27\)로 확인한다. \(nm = -216 = (-6)^3\)이고 \(ab = 2 \times (-3) = -6\) ✓

문제 18#

접근. (a)는 정의가 조각 둘로 이루어졌으므로 후진면이 과녁을 둘로 갈라 놓는 자리다. 두 과녁을 따로 세우고 각각 증명한다. (b)에서 후보 \(M\)을 잡을 때 \(M \in S'\)이 먼저 나온다는 것을 이용하면 \(-2 < M < 2\)가 확보되고, \(M\)과 2 사이의 원소를 만들 재료가 생긴다. 사이의 원소를 만드는 표준 증인은 두 수의 평균이다 (1권 15주차 문제 17).

풀이. (a) 후진면이 갈라 놓는 두 과녁은 이렇다. 과녁 ①(소속): \(2 \in S\). 과녁 ②(지배): 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le 2\). 둘 다 끝나야 \(\max S = 2\)를 선언할 수 있다. 과녁 ①의 증명 — \(2^2 = 4 \le 4\)이므로 \(S\)의 조건을 만족하고, 따라서 \(2 \in S\)이다. 과녁 ②의 증명 — \(x \in S\)를 임의로 잡자. 그러면 \(x^2 \le 4\)이다. 만약 \(x > 2\)라면 \(0 \le 2 < x\)이므로 1권 16주차 문제 11에 의해 \(4 = 2^2 < x^2\)이 되어 \(x^2 \le 4\)에 어긋난다. 따라서 \(x \le 2\)이다. \(x\)는 \(S\)의 임의의 원소였으므로 과녁 ②가 완성된다. 두 과녁이 모두 끝났으므로 \(\max S = 2\)이다. \(\blacksquare\) (b) 증명. 어떤 실수 \(M\)이 \(S'\)의 최댓값이라고 가정하자. 조각 ①에 의해 \(M \in S'\)이므로 \(M^2 < 4\)이고, 따라서 \(-2 < M < 2\)이다. 문제 진술이 안내한 두 경우 중 \(M \ge 2\)인 경우는 이 한 줄로 미리 제거된다 — 조각 ①을 먼저 소비했으므로 남는 경우는 \(M < 2\) 하나뿐이고, 아래는 그 하나만 다룬다. 이제 \(c = \dfrac{M + 2}2\)로 두자. \(M > -2\)에서 \(M + 2 > 0\)이므로 \(c > 0\)이고, \(M < 2\)에서 \(M + 2 < 4\)이므로 \(c < 2\)이다. 곧 \(0 \le c < 2\)이므로 1권 16주차 문제 11에 의해 \(c^2 < 2^2 = 4\)가 되어 \(c \in S'\)이다. 한편 \(c - M = \dfrac{2 - M}2 > 0\)이므로 \(c > M\)이다. 그러면 \(c\)는 \(S'\)의 원소이면서 \(M\)보다 크므로 조각 ②(지배)가 무너진다. 모순이므로 \(S'\)에는 최댓값이 없다. \(\blacksquare\)

복기. 조각이 둘인 정의는 두 방향에서 비대칭이다. 이름을 얻으려면 두 조각을 모두 세워야 하지만, 이름을 부정하려면 어느 한 조각만 무너뜨리면 된다. (b)에서 무너뜨린 것은 조각 ②였고, 무너뜨릴 원소를 만드는 데 쓴 것은 두 수 사이의 평균이라는 표준 증인이다. 어느 조각을 무너뜨릴지가 처음부터 하나로 정해져 있었던 것은 아니다 — 조각 ①을 먼저 소비해 후보 \(M\)을 \(-2 < M < 2\)로 가둔 덕에 경우가 하나로 합쳐졌다. 최댓값과 최솟값을 정면으로 다루는 것은 S16주차다.

검산. (b)를 \(M = 1\)로 확인한다. \(c = \frac{1+2}2 = 1.5\)이고 \(c^2 = 2.25 < 4\)이므로 \(c \in S'\)이며 \(c > M\) ✓

문제 19#

접근. (a)의 첫 걸음은 후진이다. 과녁이 부등식이므로 “차가 0 이상”으로 갈아치우고 통분한다. (b)에서는 \(x\)와 \(y\)가 양수라는 확인과 \(xy = 1\)이라는 계산이 인용 전에 와야 한다. 두 답안을 나란히 적어 놓고 길이와 확인 비용을 비교하는 것이 이 문제의 목적이다.

풀이. (a) 증명(정의와 기본 대수만으로). \(a, b > 0\)이라 하자. 과녁이 부등식이므로 후진 한 걸음으로 “차가 0 이상”으로 바꾼다. 차를 계산하면

\[ \frac ab + \frac ba - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} \]

이다. 분자 \((a-b)^2\)은 실수의 제곱이므로 0 이상이고(1권 16주차 (W1)), 분모 \(ab\)는 양수끼리의 곱이므로 양수이다((W4)). 따라서 몫은 0 이상이다((W5)). 곧 \(\frac ab + \frac ba - 2 \ge 0\)이고, 양변에 2를 더하면 \(\frac ab + \frac ba \ge 2\)이다. \(\blacksquare\) (b) 증명(산술\(\cdot\)기하 평균 부등식 인용). \(x = \frac ab\), \(y = \frac ba\)로 둔다. 규격 확인 — \(a > 0\)이고 \(b > 0\)이므로 \(x = \frac ab > 0\)이고 \(y = \frac ba > 0\)이며, 이로써 인용할 정리의 전제가 갖춰졌다. 또한 \(xy = \frac ab \cdot \frac ba = 1\)이다. 산술\(\cdot\)기하 평균 부등식에 의해 \(\dfrac{x+y}2 \ge \sqrt{xy} = \sqrt1 = 1\)이므로 \(x + y \ge 2\), 곧 \(\frac ab + \frac ba \ge 2\)이다. \(\blacksquare\) 비교 — (b)가 (a)의 절반 길이다. 대신 (b)에는 (a)에 없는 비용이 있다. 인용할 정리의 전제(두 수가 양수인가)를 확인하는 두 줄, 그리고 그 정리의 진술을 정확히 알고 있어야 한다는 조건이다. (a)의 비용은 계산 노동이고 (b)의 비용은 규격 확인 책임이다. 정의로 가는 길(①\(\cdot\)③)에서는 확인해야 할 전제가 대상의 범위 하나로 최소화된다 — \(a\)와 \(b\)가 실수라는 것뿐이고 그것은 명제 진술에서 이미 끝나 있다. 이것이 §1.5에서 ①을 첫 후보로 둔 이유다.

복기. 답안지 ②를 고를 때 실제로 증명이 끊기는 자리는 결론이 아니라 규격 확인이 빠진 자리다 — 전제를 갖췄음을 보이지 않으면 인용한 정리의 결론을 이 대상에 붙일 근거가 없고, 그러면 마지막 줄은 앞줄에서 따라 나오지 않는다. 기성 정리를 인용하기 전에 그 정리의 가정을 한 줄로 확인하는 습관을 들이면, 원서의 정리를 인용할 때도 같은 자리에서 멈춰 확인하게 된다.

검산. \(a = 2\), \(b = 1\)로 확인한다. \(\frac21 + \frac12 = 2.5 \ge 2\)이고 \(\frac{(2-1)^2}{2 \cdot 1} = 0.5 = 2.5 - 2\) ✓

문제 20#

접근. (a)는 1권의 조언이 어느 지점에서 애매했는지를 먼저 짚고, 이번 주가 그 애매함을 어떻게 둘로 갈랐는지를 적는다. (b)는 예제 2.2에서 실제로 확인한 것을 지침 한 문장으로 압축하되, 판단 기준이 문장 안에 들어가야 쓸모가 있다.

풀이. (예시 답안) (a) 1권의 조언은 “정의로 돌아가라”까지였고, 어느 정의의 어느 쪽으로 돌아가는지는 정해져 있지 않았다. 이번 주로 그것이 둘로 갈렸다 — 사실 목록 쪽에서 막히면 목록에 있는 이름들의 전진면으로 돌아가 이름을 조건으로 풀고, 과녁 쪽에서 막히면 과녁 이름의 후진면으로 돌아가 과녁을 만들 조건으로 갈아치운다. “정의로 돌아가기”는 하나의 조언이 아니라 두 개의 다른 동작이었다. (b) 하나의 개념에 여러 표현이 있으면, 손에 있는 사실과 과녁의 겉모양에 가깝고 긍정문이자 존재문이라 전진면이 즉시 작동하는 표현을 고른다 — 부정문 표현을 고르는 순간 같은 명제가 다른 기법을 요구하는 다른 게임이 된다.

복기. (a)의 두 동작은 진단 도구로도 쓴다. 막혔을 때 “지금 막힌 곳이 목록 쪽인가 과녁 쪽인가”를 먼저 묻고, 그 답이 어느 면을 꺼낼지 정한다. 어느 쪽인지 판단이 서지 않으면 대개 과녁 쪽이 정리되지 않은 것이다 — 후진을 한 걸음 더 두면 막힌 자리가 드러난다.

다음 주 예고 (S5주차). 이번 주에 정의의 후진면이 “조건을 만들면 된다”까지 데려다주었다면, 다음 주는 그 조건이 “…인 것이 존재한다”일 때 실제로 무엇을 어떻게 만드는지를 다룬다. Solow 4장의 구성법이다. 1권 26주차에서 증인을 제시하는 서식을 익혔지만 증인을 어디서 찾는지는 문제마다 달랐는데, 구성법은 그 찾기를 후진 역산\(\cdot\)매개변수 조정\(\cdot\)기성 존재 정리 인용의 세 공급로로 정리한다. 양화사 4부작의 첫 주이며, 1일차에 원서 4장을 통독하고 온다.