S16주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

S16주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 두 조각을 함께 세우기#

완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 예제마다 하나씩 빠진다.

예제 2.1 — “\(\max S = c\)”: 두 조각 증명#

명제. \(S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}\)의 최댓값은 3이다.

판정. 목표의 겉모양이 “\(\max S = c\)”이므로 §1.6 판정법 첫째 줄, 2부 서식이다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 수식으로 옮긴다. 도착점은 정의 16.1을 펴서 얻는다.

말

수식 번역

가정 (주어진 것)

\(x\)가 \(S\)의 원소라는 것

\(x^2 \le 9\) — 조건제시법이 준 유일한 사실

목표 조각 ① (만들 것)

3이 달성된다

\(\underline{\quad(?)\quad}\)

목표 조각 ② (만들 것)

3이 천장이다

\(\underline{\quad(?)\quad}\) — 기법은 \(\underline{\quad(?)\quad}\)법

확인 11. 설계 표의 빈칸 세 개를 채워 보자. 그리고 두 조각 중 어느 쪽을 먼저 쓰는 것이 유리한지 생각해 보자.

답

조각 ①: \(3 \in S\), 곧 \(3^2 \le 9\)인지 검사한다.

조각 ②: \(\forall x \in S:\ x \le 3\) — 기법은 선택법(§1.3 첫째 줄).

순서는 자유이지만 조각 ①을 먼저 쓰는 쪽이 낫다. 한 줄로 끝나고, 만약 거짓이면

그 자리에서 명제 자체가 거짓임을 알게 되어 조각 ②의 긴 계산을 하기 전에 멈출 수 있다

(§1.4 삭제 실험의 교훈).

1단계 — 소속을 검증한다. 걸음 ②다. 값을 대입해 조건제시법의 조건을 확인하는 한 줄이다.

확인 12. 첫 문장을 완성해 보자: “\(3^2 = \underline{\quad} \le 9\)이므로 \(\underline{\quad}\)이다.”

답

“\(3^2 = 9 \le 9\)이므로 \(3 \in S\)이다.” 등호가 포함된 \(\le\)라서 통과한다는 것이 요점이다 —

조건이 \(x^2 < 9\)였다면 이 줄이 무너지고 최댓값도 사라진다(예제 2.3 답안 1과 문제 10의 대조).

2단계 — 지배 조각을 개시한다. 걸음 ③이다. 목표가 \(\forall\) 문장이므로 첫 문장은 선언이다.

확인 13. 둘째 문장을 완성해 보자: “\(\underline{\qquad}\)를 잡자. 그러면 가정에 의해 \(\underline{\quad}\)이다.”

답

“임의의 \(x \in S\)를 잡자. 그러면 가정에 의해 \(x^2 \le 9\)이다.”

S6주차 선택법의 서식 그대로다. \(x\)에 붙은 자격은 “\(S\)의 원소”뿐이고, 그 자격이 주는

사실은 조건제시법의 조건 하나뿐이다.

3단계 — 지배 조각을 완결한다. 손에 든 것은 \(x^2 \le 9\)이고 필요한 것은 \(x \le 3\)이다. 제곱을 벗기는 일이므로 1권 16주차의 부품을 부른다.

확인 14. 셋째 문장을 완성해 보자. 1권 16주차 문제 11(”\(0 \le a < b\)이면 \(a^2 < b^2\)”)을 \(a = 3\)에 특수화하면 무엇이 나오는가. 그것을 어떻게 쓰면 \(x \le 3\)이 나오는가.

답

\(a = 3\), \(b = x\)로 특수화하면 “\(3 < x\)이면 \(9 < x^2\)”이다(자격 \(0 \le 3\)은 참).

이 조건문의 대우가 “\(x^2 \le 9\)이면 \(x \le 3\)”이므로(S12주차), 손에 든 \(x^2 \le 9\)에

곧바로 붙어 \(x \le 3\)이 나온다. 귀류로 적어도 같다 — “\(x > 3\)이라 하면 \(x^2 > 9\)가 되어

\(x \in S\)와 충돌한다”(S11주차).

4단계 — 두 조각을 회수한다. 걸음 ④다.

확인 15. 마지막 문장을 완성해 보자: “\(3 \in S\)이고 \(\underline{\qquad}\)이므로 \(\underline{\qquad}\)에 의해 \(\max S = 3\)이다.”

답

“\(3 \in S\)이고 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le 3\)이므로, 정의 16.1에 의해 \(\max S = 3\)이다.”

두 조각의 이름을 문장 안에 그대로 다시 적는 것이 규격이다. 문제 8을 푼 뒤에는

“\(3\)은 상계이고 \(3 \in S\)이므로 문제 8에 의해”로 줄여 쓸 수 있다.

완성본. 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

(소속) \(3^2 = 9 \le 9\)이므로 \(3 \in S\)이다.

걸음 ② — 값이 실제로 달성됨을 보인다. 이 줄이 없으면 상계만 증명한 답안이 되고, 집합 밖의 수도 통과한다(§1.4 삭제 실험).

(상계) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. 가정에 의해 \(x^2 \le 9\)이다.

걸음 ③ 개시 — 목표가 \(\forall\) 문장이므로 첫 문장은 선택법의 선언이다(S6주차). \(x\)가 가진 자격은 “\(S\)의 원소”뿐이다.

\(x > 3\)이라 하면 1권 16주차 문제 11에 의해 \(x^2 > 9\)가 되어 \(x^2 \le 9\)와 충돌한다. 따라서 \(x \le 3\)이다.

제곱을 벗기는 유일한 계산. 부품을 \(a = 3\), \(b = x\)에 특수화해 쓰고(S7주차), 방향은 대우 또는 귀류로 뒤집는다(S11~S12주차).

(종합) \(3 \in S\)이고 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le 3\)이므로, 정의 16.1에 의해 \(\max S = 3\)이다. \(\blacksquare\)

걸음 ④ — 두 조각을 정의에 되돌려 이름을 회수한다. 이 줄이 없으면 사실 두 개가 나열된 채 끝난다.

논평. 네 줄 중 새 기법은 하나도 없다. 첫 줄은 S5주차의 자격 검증, 둘째 줄은 S6주차의 선택법, 셋째 줄은 S7주차의 특수화와 S12주차의 대우, 넷째 줄은 S4주차의 정의 회수다. 이번 주가 한 일은 그 넷을 어느 순서로 놓을지 정한 것뿐이다 — 그것이 서식의 정체다.

예제 2.2 — 하계는 세워지지만 최솟값은 없는 집합#

명제. \(S = \left\{\frac1n : n \in \mathbb{N}\right\}\)에 대해, \(0\)은 \(S\)의 하계이다. 그러나 \(\min S\)는 존재하지 않는다.

이번에는 설계까지만 함께 하고 본문은 완성본으로 본다.

확인 16. 두 주장에 §1.6의 판정법을 각각 적용해 보자. 앞 주장의 겉모양은 무엇이고 첫 문장은 무엇인가. 뒤 주장은 무엇을 무너뜨려야 하는가.

답

앞 주장 “0은 하계”는 \(\forall\) 문장이다(둘째 줄) — 첫 문장은 “임의의 \(x \in S\)를 잡자”.

뒤 주장은 정의 16.1의 두 조각 중 하나라도 무너지는 후보밖에 없음을 보이는 일이다.

후보 \(m\)이 \(S\)의 원소라면 \(m = \frac1n\) 꼴이고, 그때 \(\frac{1}{n+1}\)이 더 작은 원소로

남아 조각 ②(지배)가 무너진다. 곧 이 집합에서는 소속을 만족하는 후보마다 지배가

깨지므로 최솟값이 없다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

(하계) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(S\)의 정의에 의해 \(x = \frac1n\)인 자연수 \(n\)이 존재한다.

\(\forall\) 목표이므로 선택법으로 개시하고, 조건제시법이 준 사실을 소비해 \(x\)의 생김새를 등식으로 받는다.

\(n \ge 1 > 0\)이므로 (W5)에 의해 \(\frac1n > 0\), 곧 \(x > 0 \ge 0\)이다. 따라서 0은 \(S\)의 하계다.

하계의 정의가 요구하는 부등식을 세운다. 양수의 역수가 양수라는 것은 1권 16주차 (W5)이고 근거 ②(닫힘성)다.

(최솟값 부재) \(m = \min S\)가 존재한다고 하자. 조각 ①에 의해 \(m \in S\)이므로 \(m = \frac1n\)인 자연수 \(n\)이 있다.

귀류의 개시(S11주차). 무너뜨릴 대상을 조각으로 펴 두면 충돌 후보가 보인다.

그런데 \(\frac{1}{n+1} \in S\)이고 \(\frac{1}{n+1} < \frac1n = m\)이므로, 조각 ②(“모든 \(x \in S\)에 대해 \(m \le x\)”)가 \(x = \frac{1}{n+1}\)에서 무너진다. 따라서 \(\min S\)는 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

충돌 지점을 구성해 제시한다(S5주차). \(n + 1\)이 자연수라는 것은 근거 ②, \(n < n+1\)에서 역수의 대소가 뒤집히는 것은 (W3)(W5)다.

논평. 0은 하계이지만 최솟값이 아니다. 갈라진 자리는 오직 하나 — 소속 조각이다 (\(0 \notin S\)이다. \(\frac1n = 0\)인 자연수는 없다). 하계\(\cdot\)최솟값\(\cdot\)하한 셋을 가르는 것이 이 조각 하나이고, 실제로 \(\inf S = 0\)이다(문제 15와 같은 계산이 아르키메데스 성질로 최소성을 준다). 1권 22주차 문제 10에서 “최솟값이 없다”고만 적던 상황이 여기서 세 이름으로 분리된다.

예제 2.3 — 진단: 소속 누락과 번역 오류#

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 아래 두 답안을 읽기 전에, 각 명제에 §1.6의 판정법을 적용해 어느 걸음이 필요한지 먼저 정한다.

확인 17. 두 답안을 읽기 전에 판정해 보자. (가) “\(S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}\)의 최댓값은 1이다”는 판정법의 몇째 줄인가. (나) “\(\max S \ge 5\)”는 몇째 줄이며 첫 문장이 무엇인가.

답

(가) 첫째 줄 — 2부 서식. 걸음 ②와 ③을 모두 적어야 한다.

(나) 셋째 줄 — \(\exists\) 문장이므로 구성법이고, 첫 문장은 “\(x_0 = \ldots\)으로 두자”라는 증인

제시다. 이 판정을 먼저 해 두면 아래 두 답안의 병이 무엇인지 읽는 순간 보인다.

답안 1. “명제: \(S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}\)의 최댓값은 1이다. 증명: 임의의 \(x \in S\)에 대해 \(x < 1 \le 1\)이므로 1은 상계다. 따라서 \(\max S = 1\)이다.”

진단 — 소속 누락, 그리고 명제 자체가 거짓. 선택법으로 쓴 첫 문장은 옳고, “1이 상계”라는 결론도 참이다. 무너진 곳은 마지막 줄이다. 정의 16.1은 상계라는 사실 하나에서 최댓값이라는 이름을 내주지 않는다 — 조각 ①(\(1 \in S\))이 함께 있어야 하는데, 조건 \(x < 1\)이 그것을 배제하므로 이 답안의 걸음 ②는 채울 수 없다. 실제로 이 집합에는 최댓값이 없고 (보조 명제 16.A의 대우: \(\sup S = 1 \notin S\)), 답안이 증명한 것은 “1은 상계”까지다. 답안을 참인 명제로 고치는 길은 둘이다 — 주장을 “\(\sup S = 1\)”로 낮추고 최소성 조각을 추가하거나, 집합을 \(\{x : 0 \le x \le 1\}\)로 바꿔 걸음 ②가 채워지게 하거나.

답안 2. “명제: \(\max S \ge 5\)를 보이려면 모든 \(x \in S\)가 \(\ge 5\)임을 보이면 된다.”

진단 — 번역 오류. 번역표 둘째 줄이 걸리는데 셋째 줄의 처리를 붙였다. “\(\max S \ge 5\)”는 \(\exists\) 문장(“5 이상인 원소가 하나 존재한다”)이고, 이 답안이 세우려는 “\(\forall x \in S: x \ge 5\)”는 “\(\min S \ge 5\)”의 번역이다. 곧 max와 min을, \(\le\)와 \(\ge\)를 뒤섞었다. 두 문장의 관계는 대칭이 아니라 포함이다 — 전원이 5 이상이면 최댓값도 5 이상이므로 이 답안이 세우려는 것은 목표보다 강한 명제이고, 대개 거짓이라 증명이 끝나지 않는다(\(S = [0, 9]\)에서 확인 2가 그 사례였다). 올바른 처리는 구성법이다: \(x_0 \in S\)이면서 \(x_0 \ge 5\)인 원소 하나를 제시하고 자격 두 줄을 검증하면, 번역표 둘째 줄에 의해 \(\max S \ge 5\)가 나온다.

두 병의 공통점. 답안 1은 조각을 하나 빠뜨렸고 답안 2는 조각을 잘못 골랐다. 둘 다 계산이 아니라 번역 단계의 사고이고, 그래서 계산을 아무리 검사해도 발견되지 않는다. 답안을 검사할 때 첫 물음이 “\(\max\)인가 \(\min\)인가, 부등호는 어느 쪽인가”인 이유다.

관찰 — 같은 뼈대#

세 예제는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

항목

예제 2.1

예제 2.2 (하계 부분)

예제 2.3 답안 1

목표의 겉모양

\(\max S = c\)

“\(0\)은 하계” (= \(\min S \ge 0\) 꼴)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

펴면 나오는 양화사

소속(\(\exists\) 성격) \(\land\) 지배(\(\forall\))

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

소속 \(\land\) 지배

붙는 기법

구성 + 선택

선택

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

답안에 실제로 있는 조각

두 조각 모두

하계 하나 (그것으로 충분한 목표)

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

결과

최댓값 확정

하계 확정, 최솟값은 별도로 부정

상계까지만 증명됨

확인 18. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 세 예제가 공통으로 지키는 순서를 세 걸음으로 적어 보자.

답

(1) \(\max S = c\) (2) \(\forall\) 문장 하나 (3) 구성 + 선택 (4) 지배(상계) 하나뿐 — 소속이 없다.

공통 순서: ① 명사를 정의로 펴서 어느 양화사인지 판정한다 \(\to\) ② 양화사마다 정해진

기법으로 조각을 하나씩 세운다(\(\forall\)는 선택법, \(\exists\)는 구성법) \(\to\) ③ 세운 조각을 정의에 되돌려

이름을 회수한다.

예제 2.3 답안 1이 실패한 것은 ②에서 조각 하나를 세우지 않고 ③으로 건너뛴 것이다.

뼈대는 예제마다 같고, 달라지는 것은 조각이 몇 개이고 각각이 어느 양화사인가뿐이다.

이 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

최대/최소법

max\(\cdot\)min\(\cdot\)sup을 만나면 ① 정의를 펴서 조각과 양화사를 밝히고 \(\to\) ② 조각마다 정해진 기법으로

각각 증명하고 \(\to\) ③ 정의를 인용해 이름을 회수한다. 새 기법은 없다. 이번 주의 도구는

번역표(§1.3)와 서식(§1.4)뿐이고, 계산은 S5~S8주차의 것을 그대로 쓴다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸#

명제. \(S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 4\}\)의 최댓값은 2이다.

판정. 겉모양이 \(\max S = c\)이므로 §1.6 첫째 줄, \(\underline{\quad(1)\quad}\)부 서식이다.

증명.

(소속) \(2^2 = \underline{\quad(2)\quad} \le 4\)이므로 \(2 \in S\)이다.

(상계) 이 조각의 양화사 번역은 \(\forall x \in S:\ x \le \underline{\quad(3)\quad}\)이고, 기법은 \(\underline{\quad(4)\quad}\)법이다. 임의의 \(x \in S\)를 잡자. 가정에 의해 \(x^2 \le 4\)이다. 만약 \(x > 2\)라면 1권 16주차 문제 11에 의해 \(x^2 > 4\)인데, 이는 \(x \in S\)와 \(\underline{\quad(5)\quad}\)이다. 따라서 \(x \le 2\)이다.

(종합) 두 조각이 모두 성립하므로 정의 16.1에 의해 \(\max S = 2\)이다. \(\blacksquare\)

변형 점검. 집합이 \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 4\}\)(강부등호)였다면 최댓값은 \(\underline{\quad(6)\quad}\)(존재/부재)이고, 무너지는 것은 걸음 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 기법 이름과 근거 문장도 빈칸이다.

명제. \(S = \{2n + 1 : n \in \mathbb{N}\}\)에 대해 \(\min S = 3\)이다.

판정. 겉모양이 \(\min S = c\)이므로 두 조각을 \(\underline{\quad(1)\quad}\) 증명한다.

증명.

(소속) \(n = \underline{\quad(2)\quad}\)로 두면 \(2n + 1 = 3\)이고 그 \(n\)은 자연수이므로 \(3 \in S\)이다. 이 줄이 쓰는 기법은 \(\underline{\quad(3)\quad}\)법이다.

(하계) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(S\)의 정의에 의해 \(x = 2n + 1\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)이므로 \(n \ge 1\)이고, 양변에 2를 곱하면 \(2n \ge 2\)이다 [근거: \(\underline{\quad(4)\quad}\)]. 양변에 1을 더하면 \(x = 2n + 1 \ge \underline{\quad(5)\quad}\)이다 [근거: \(\underline{\quad(6)\quad}\)].

(종합) \(3 \in S\)이고 모든 \(x \in S\)에 대해 \(3 \le x\)이므로 \(\underline{\quad(7)\quad}\)에 의해 \(\min S = 3\)이다. \(\blacksquare\)

연장. 같은 집합에 최댓값이 \(\underline{\quad(8)\quad}\)(존재/부재)하는 이유를 한 문장으로 적는다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 판정부터 스스로 한다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다.

명제. \(S = \left\{-\frac1n : n \in \mathbb{N}\right\}\)에 대해 \(\sup S = 0\)이다.

  • ① 판정과 그 근거 (겉모양이 무엇이고 §1.6의 몇째 줄인가, 조각은 몇 개인가): \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 조각 ①(상계)의 완전한 증명: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 조각 ②(최소성)의 개시문 — 바깥 양화사를 벗기는 첫 문장: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ④ 조각 ②의 증인 제작과 자격 검증 (아르키메데스 성질을 어디에 쓰는지 명시): \(\underline{\quad(4)\quad}\)

  • ⑤ 종합 문장, 그리고 \(\max S\)가 존재하지 않는 이유 한 줄: \(\underline{\quad(5)\quad}\)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 제출 규격은 네 가지다: ① 번역 — max\(\cdot\)min이 든 명제는 먼저 양화사 문장으로 펴고, 번역표의 몇째 줄인지 지목한다 ② 조각 라벨 — “\(\max = c\)” 답안은 (소속)과 (상계)를 라벨해 분리하고, 마지막에 정의로 회수하는 줄을 반드시 적는다 ③ 상계\(\cdot\)하계 주장에는 소속을 주장하지 않는다 — 이름을 max\(\cdot\)min으로 올리려면 소속 줄이 따로 있어야 한다 ④ 존재하지 않음을 주장할 때는 후보마다 두 조각 중 어느 쪽이 무너지는지 지목한다. 상계 계산이 옳아도 ②의 소속 줄이 없으면 그 답안은 상한까지만 증명한 답안으로 읽힌다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] max\(\cdot\)min의 두 조각 정의, 부등식 번역표(4칸), “\(\max = c\)” 2부 서식, max와 sup의 차이를 쓰시오.

힌트

정의 16.1, §1.3의 표, §1.4의 네 걸음, 정의 16.2가 그대로 답이다. 통째로 외우기보다

“max를 위에서 누르는 것과 min을 아래서 받치는 것은 전원 검사”라는 한 문장에서

나머지 세 칸을 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.

2. 다음 부등식을 양화사로 번역하고 기법(선택/구성)을 지정하시오. (a) \(\min S \ge 2\) (b) \(\max S \ge 10\) (c) \(\max S \le 7\) (d) \(\min S \le 3\)

힌트

네 칸을 외워서 고르지 말고, 각 명제에서 “전원을 검사해야 하는가, 하나만 찾으면

되는가”를 그 자리에서 되물어 본다. §1.2의 유한집합 \(\{1,3,5,7\}\)에 대입해 보면

어느 쪽인지 곧바로 갈린다.

3. 예제 2.1을 백지 재현하시오 — 두 조각 라벨.

힌트

네 줄이다. 소속 한 줄, 선택법 개시 한 줄, 제곱 벗기기 한 줄, 종합 한 줄.

셋째 줄에서 인용하는 부품이 무엇이었는지만 기억하면 나머지는 복원된다.

4. 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 1은 예제 2.1의 숫자만 바뀐 것, 훈련 2는 부등호 방향이 뒤집힌 것, 훈련 3은

소속 조각이 최소성 조각으로 교체된 것이다. 세 훈련이 §1.6 판정법 표의 첫째\(\cdot\)첫째\(\cdot\)

다섯째 줄에 각각 대응한다.

5. 예제 2.3의 두 답안을 재현하고 병명(소속 누락 / 번역 오류)을 쓰시오.

힌트

병명만 적고 끝내지 않는다. 각 답안에 대해 “그 답안이 실제로 증명한 명제는 무엇인가”를

한 줄로 적으면 병의 크기가 드러난다 — 답안 1은 참인 명제를 증명했고, 답안 2는 목표보다

강한 명제를 증명하려 했다.

6. \(S = \{1, 3, 5, 7\}\)에 대해 \(\max S = 7\)을 두 조각 서식으로 증명하시오 (유한집합이라 소속\(\cdot\)지배가 직접 확인되므로 서식 연습이다).

힌트

유한집합에서는 선택법의 “임의의 \(x\)”가 네 개의 이름으로 대체된다 — 원소를 나열해

각각 검사하는 것이 곧 \(\forall\)의 증명이다. 그래도 라벨과 종합 줄은 그대로 적는다.

표준 ●●○#

7. \(S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 5x + 6 \le 0\}\)의 최댓값과 최솟값을 구하고 증명하시오.

힌트

먼저 집합을 푼다: \((x-2)(x-3) \le 0\)의 부호를 S15주차의 경우법으로 판정하면

\(S = [2, 3]\)이다. 그다음은 두 번의 2부 서식이고, 소속 줄은 각각 한 줄로 끝난다.

8. “\(c\)가 \(S\)의 상계이고 \(c \in S\)이면 \(c = \max S\)”임을 증명하시오. 이후 max 증명의 근거로 인용할 수 있는 형태로 적으시오.

다음 문제들이 쓰는 도구 — 아르키메데스 성질

문제 9(c)\(\cdot\)14\(\cdot\)15와 훈련 3은 다음 사실을 쓴다. **임의의 양의 실수 \(\varepsilon\)에 대해

\(\frac1n < \varepsilon\)인 자연수 \(n\)이 존재한다.** 이것을 아르키메데스 성질이라 하고,

S5주차 문제 14에서 증인 \(n = \lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1\)을 제작해 이미 증명했으므로

근거 ④로 인용한다. 쓰는 자리는 언제나 같다 — “\(c'\)이 \(c\)보다 작다”에서 얻은 양수

\(c - c'\)을 \(\varepsilon\) 자리에 넣어, 그 간격보다 작은 \(\frac1n\)을 확보하는 자리다.

9. \(S = \{2 - \frac1n : n \in \mathbb{N}\}\)에 대해: (a) 2가 상계임을 증명하시오. (b) \(2\)가 \(S\)의 원소가 아님을 증명하시오. (c) 따라서 max는 없고 \(\sup S = 2\)임을 논하시오.

힌트

(a)는 선택법 한 줄, (b)는 “\(2 = 2 - \frac1n\)이면 \(\frac1n = 0\)”이라는 충돌 한 줄이다.

(c)에서 max가 없다는 결론은 (b)와 보조 명제 16.A의 대우로 한 줄이 되고, 남은 일은

최소성 조각뿐이다.

10. 다음 답안을 진단하시오.

“명제: \(S = \{x \in \mathbb{R} : x \le 5\}\)의 최댓값은 5이다. 증명: \(5 \in S\) (\(5 \le 5\))이고, 임의의 \(x \in S\)는 \(x \le 5\)이므로 5는 상계다. 따라서 \(\max S = 5\)이다.”

이 답안은 사실 옳다 — 왜 옳은지(닫힌 반직선이라 5가 달성된다) 확인하고, 만약 \(S = \{x : x < 5\}\)였다면 어디가 무너지는지 지적하시오.

힌트

먼저 명제의 참\(\cdot\)거짓부터 판정한다 — 조건의 부등호가 \(\le\)인지 \(<\)인지가 걸음 ②의 성패를

정하고, 걸음 ③(상계)은 두 경우에 글자까지 같다.

11. 상계의 특수화 활용: \(M\)이 \(S\)의 상계이고 \(a \in S\)이면 \(a \le M\)임을 보이고, 이를 이용해 “\(7 \in S\)이고 \(M\)이 상계이면 \(M \ge 7\)”을 유도하시오.

힌트

상계는 가정 쪽의 \(\forall\) 문장이므로 §1.6 마지막 줄, S7주차의 특수화다. 세 걸음을 라벨한다 —

값 지정, 자격 검증, 사실 수령. S7주차 문제 8이 같은 작업을 상계 맥락에서 한 번 했다.

12. 두 집합의 max: 최댓값이 존재하는 집합 \(A, B\)에 대해 \(\max(A \cup B) = \max\{\max A, \max B\}\)임을 증명하시오.

힌트

우변을 \(M\)이라는 이름으로 두고 시작하면 목표가 “\(M = \max(A \cup B)\)”라는 익숙한

모양이 된다. 그러면 할 일은 두 조각뿐이고, 지배 조각은 \(x \in A\)인지 \(x \in B\)인지로

갈리는 경우법(S15주차)이다. 마지막 줄은 문제 8을 인용하면 한 줄이다.

13. min의 하계 번역: \(S = \{n^2 - 4n + 7 : n \in \mathbb{Z}\}\)에 대해 \(\min S = 3\)임을 증명하시오.

힌트

하계 조각에서 손에 든 것은 \(x = n^2 - 4n + 7\)이라는 등식 하나다. 이 이차식을

완전제곱으로 정리하면 (W1)이 곧바로 붙는다. 소속 조각은 그 완전제곱이 0이 되는

\(n\)을 찾아 대입하는 한 줄이고, \(n\)이 정수 범위 안에 있는지 확인해야 한다.

14. 상한의 최소성 조각: \(\sup(0, 1) = 1\)을 완전히 증명하시오.

힌트

조각 ①은 한 줄이다. 조각 ②는 “\(c' < 1\)인 \(c'\)을 임의로 잡자”로 시작해 \(c'\)보다 큰

\((0,1)\)의 원소를 만들어야 하는데, \(c'\)이 음수일 수도 있으므로 두 수 사이의 평균

\(\frac{c'+1}{2}\)이 0보다 큰지가 자동으로 보장되지 않는다 — 거기서 경우를 나눈다.

도전 ●●●#

15. \(S = \{\frac{3n+1}{n+1} : n \in \mathbb{N}\}\)의 상한을 구하고 증명하시오.

힌트

분자를 분모의 배수로 쪼개는 변형이 먼저다: \(\frac{3(n+1) - 2}{n+1}\). 그러면 각 항이

\(3\)에서 무엇을 뺀 값인지 보이고, 상계 조각과 최소성 조각이 모두 그 뺀 값 하나로

처리된다. max가 없다는 결론은 문제 9(c)와 같은 한 줄이다.

16. min과 정렬성: 공집합이 아닌 자연수 부분집합 \(S \subseteq \mathbb{N}\)은 항상 최솟값을 가짐을 논하시오. 이것이 실수 부분집합과 다른 점을 대조하고, “정수\(\cdot\)자연수는 min이 보장되나 실수는 아니다”가 왜 귀납\(\cdot\)정수론의 토대인지 두 문장으로 쓰시오.

힌트

앞부분은 1권 33주차의 최소원리를 인용하는 것이 전부이고, 인용 전에 적용 전제

(공집합이 아님, 무대가 자연수)를 확인하는 줄이 필요하다. 대조 사례는 예제 2.2와

S11주차 문제 10에 이미 있다. 마지막 두 문장은 “이산 쪽에는 최소원리, 연속 쪽에는

완비성”이라는 대응으로 정리한다.

17. 최댓값의 유일성 재확인과 활용: \(S\)의 최댓값이 존재하면 유일함을 다시 증명하고, 이를 근거로 “\(\max S\)”라는 표기가 정당함을 논하시오. 이어서 \(\max\{a, b, c\}\)를 \(\max\{\max\{a,b\}, c\}\)로 계산하는 것이 정당한 이유를 문제 12로 뒷받침하시오.

힌트

유일성은 S13주차 얼굴 1이다 — 두 최댓값 \(M_1, M_2\)를 잡고 서로에게 조각 ①과 ②를

교차로 적용하면 두 부등식이 나온다. 뒷부분은 \(\{a,b,c\}\)를 두 집합의 합집합으로 보는

것이 전부이고, 문제 12를 \(A = \{a, b\}\), \(B = \{c\}\)에 적용한다.

다음 문제가 쓰는 도구 — 실수의 완비성 공리

문제 18은 다음 사실을 쓴다. **공집합이 아니고 위로 유계인 실수 부분집합은 반드시

상한을 가진다.** 이것을 실수의 완비성 공리라 한다. 증명하는 정리가 아니라 실수 체계에

얹는 약속이며(유리수 전체에서는 거짓이다 — \(\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}\)에는 유리수

상한이 없다), 이번 주에는 인정하고 쓴다. 이 과정에서는 끝까지 인정하고 쓰며, 공리로

세워 그 귀결들을 정리로 증명하는 자리는 해석학 교재의 첫 장이다.

18. (sup의 위력) 완비성 공리를 인용해 “위로 유계인 증가수열은 수렴한다”의 증명 스케치를 작성하시오. 1권 46주차가 단조수렴정리라는 이름으로 증명 없이 인정하고 쓴 사실이며, 이번에는 상한의 두 조각으로 실제 증명을 세운다.

힌트

수렴의 정의는 1권 45주차 정의 45.1이다 — 목표가 \(\forall\)\(\varepsilon\)\(\exists\)N\(\forall\)n 구조이므로 S8주차의

바깥부터 벗기기가 그대로 적용된다. \(N\)을 만드는 재료는 단 하나, 상한의 최소성

조각뿐이다: \(L - \varepsilon\)은 상계가 아니므로 그것을 넘는 항이 존재한다.

19. (설계) \(S = \{x \in \mathbb{R} : x^3 \le x\}\)의 구조를 분석하시오 — 이 집합은 유계인가, max/min이 있는가.

힌트

집합을 푸는 것이 절반이다: \(x^3 - x = x(x-1)(x+1) \le 0\)의 부호를 네 구간에서 판정한다

(S15주차 경우법). 아래로 유계가 아님을 보이려면 “임의의 후보 하계 \(c\)에 대해 그보다 작은

원소가 존재한다”를 구성해야 하고, 증인을 \(c\)로 만든 식으로 적는 것이 요령이다.

20. (서술) (a) “max\(\cdot\)min은 숨은 양화사 덩어리”를 번역표로 뒷받침하고, 그 덕에 이번 주에 새 기법이 없었음(S5~S8주차 재사용)을 세 문장 이내로 쓰시오. (b) max와 sup의 차이(달성 대 최소상계)를 예제 2.1(max 존재)과 예제 2.3 답안 1(max 없음, sup만)의 대비로 두 문장 이내로 설명하고, “소속 조각의 유무”가 그 경계임을 밝히시오.

힌트

(a)는 번역표 네 줄을 먼저 적고 그 귀결로 “새 기법 없음”을 잇는다. (b)는 예제 2.1과

예제 2.3 답안 1의 상계 조각이 글자까지 같다는 관찰에서 출발한다 — 달라지는 것은

소속 조각 하나뿐이다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이번 주의 5일 루틴. 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

요일

할 일

1일차

원서 Solow 14장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과)

2일차

교안 §0~§3 — 개념\(\cdot\)예제\(\cdot\)빈칸 사다리. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다

3일차

원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 14장의 연습문제 몇 개를 직접 시도

4일차

교안 연습문제 20문항(§4)

5일차

백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 14장은 최대/최소법을 앞 장들의 응용으로 빠르게 지나가므로, §1.3의 번역표를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서 예제의 각 줄이 네 칸 중 어느 칸의 문장인지 짚을 수 있다.

1차 시도 — 틀 카드 허용. 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 정의 16.1, 번역표(§1.3), 2부 서식의 네 걸음(§1.4). 그 상태에서 예제 2.1을 판정부터 종합 문장까지 적고, 이어서 예제 2.2의 하계 부분을 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

  • 정의 16.1의 두 조각을 max\(\cdot\)min 양쪽으로 썼고, 각 조각이 어느 양화사인지 적었다.

  • 번역표 네 칸을 재현하고, 첫째 줄과 둘째 줄을 정의에서 유도했다(확인 5).

  • “\(\max S = c\)”의 2부 서식 네 걸음을 쓰고, 걸음 ②를 지웠을 때 무너지는 사례를 하나 들었다.

  • 예제 2.1을 처음부터 끝까지 재현하고, 소속 줄과 상계 줄을 손가락으로 짚었다.

  • 예제 2.2를 재현하고, 0이 하계이지만 최솟값이 아닌 이유를 조각 이름으로 말했다.

  • 정의 16.2(상한)의 두 조각을 쓰고, 최소성 조각이 \(\forall\)\(\exists\) 겹구조임을 지적했다.

  • 보조 명제 16.A와 그 대우를 쓰고, 대우가 “최댓값이 없다”의 증명을 어떻게 줄이는지 적었다.

  • 예제 2.3의 두 병(소속 누락 / 번역 오류)을 재현하고, 각 답안이 실제로 증명한 명제를 적었다.

  • 원서 14장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

첫 문장이 나오지 않는다

§1.6 판정법 표 — 명사를 펴기 전에는 기법이 붙지 않는다. 겉모양부터 분류한다

\(\forall\)인지 \(\exists\)인지 헷갈린다

§1.2의 유한집합 \(\{1,3,5,7\}\)에 대입해 “전원 검사인가 하나 찾기인가”를 손으로 확인한다

상계는 증명했는데 그다음이 없다

§1.4 걸음 ② — 소속 줄이 빠졌다. 그 줄이 채워지지 않으면 명제가 거짓일 수 있다

최댓값이 없음을 어떻게 적는지 모르겠다

보조 명제 16.A의 대우 — 상한을 먼저 구하고 그것이 집합 밖임을 보인다

최소성 조각에서 증인이 안 만들어진다

§1.5 확인 8 — 증인은 \(c'\)을 재료로 만든다. 두 수 사이의 평균과 아르키메데스 성질이 표준 부품이다

가정에 있는 상계를 못 쓰겠다

§1.6 마지막 줄 — 가정의 \(\forall\)는 재료다. 관심 원소에 특수화한다(S7주차)

집합 자체가 안 풀린다

부호 판정은 S15주차의 경우법이다. 집합을 구간으로 푸는 것이 언제나 첫 작업이다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) 2 (2) \(4\) (3) \(2\) (4) 선택 (5) 모순 (6) 부재 (없음) (7) ②(소속)

※ (7)이 이 훈련의 요점이다. 강부등호로 바뀌면 상계 조각은 그대로 살아남고 소속 조각만 무너진다 — 그래서 최댓값은 사라지지만 상한은 여전히 2다(예제 2.3 답안 1과 같은 구조). S4주차 문제 18(a)에서 두 과녁으로 풀었던 바로 그 집합이고, 변형 점검은 같은 문제 (b)다 — 그때 손으로 하던 판정이 여기서 서식이 된다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 각각 (또는 나눠) (2) \(1\) (3) 구성 (4) (W3) — 양수 \(2\)를 곱해도 부등호 방향이 유지된다 (5) \(3\) (6) (W2) — 양변에 같은 수를 더해도 부등호가 유지된다 (7) 정의 16.1 (8) 부재 — 임의의 원소 \(2n+1\)에 대해 \(2(n+1)+1\)이 \(S\)의 더 큰 원소이므로 지배 조각을 만족하는 원소가 없다.

※ 하계 조각에서 (W3)과 (W2)를 각각 한 번씩 쓴다는 것이 이 훈련의 목적이다. 부등식을 “당연하다”로 넘기지 않고 근거 이름을 붙이는 연습이며, 1권 16주차의 여섯 성질이 이번 주 계산의 거의 전부를 감당한다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 겉모양이 \(\sup S = c\)이므로 §1.6 다섯째 줄이고, 조각은 둘이다 — 상계(\(\forall\))와 최소성(\(\forall\)\(\exists\)). (2) “임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(S\)의 정의에 의해 \(x = -\frac1n\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. \(n \ge 1 > 0\)이므로 \(\frac1n > 0\)이고 (W5), 따라서 \(x = -\frac1n < 0 \le 0\)이다. 곧 0은 \(S\)의 상계다.” (3) “\(c' < 0\)인 실수 \(c'\)을 임의로 잡자. \(c'\)이 상계가 아님을, 곧 \(x > c'\)인 \(x \in S\)가 존재함을 보인다.” (4) “\(-c' > 0\)이므로 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14)에 의해 \(\frac1n < -c'\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 그 \(n\)으로 \(x = -\frac1n\)을 만들면 \(x \in S\)이고(자격 ✓), \(\frac1n < -c'\)의 양변에 \(-1\)을 곱해 방향을 뒤집으면 \(-\frac1n > c'\), 곧 \(x > c'\)이다(자격 ✓).” (5) “두 조각이 모두 성립하므로 정의 16.2에 의해 \(\sup S = 0\)이다. 한편 \(0 \notin S\)이므로 (\(-\frac1n = 0\)인 자연수는 없다) 보조 명제 16.A의 대우에 의해 \(\max S\)는 존재하지 않는다.”

※ 최소성 조각의 골격은 언제나 같다 — 간격 \(c - c'\)을 양수로 확보하고, 아르키메데스로 그 간격보다 작은 \(\frac1n\)을 얻고, 그것으로 증인을 만든다. 문제 14\(\cdot\)15가 같은 골격이다.

문제 1#

접근. 네 덩어리를 재생하는 문제이므로, 외운 문장을 옮기기보다 각 덩어리가 무엇을 막아 주는지 한 줄씩 덧붙이며 적는 쪽이 재현률이 높다. 정의 16.1은 이름의 요구 조건을, 번역표는 기법 선택을, 2부 서식은 답안의 배치를, sup과의 차이는 “달성”이라는 요구의 유무를 각각 맡는다.

풀이. ① 두 조각 정의. \(M = \max S\)란 ① \(M \in S\) ② 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M\). \(m = \min S\)란 ① \(m \in S\) ② 모든 \(x \in S\)에 대해 \(m \le x\). 조각 ①을 지우면 상계가 전부 최댓값이 되고, 조각 ②를 지우면 원소가 전부 최댓값이 된다.

② 번역표. \(\max S \le c\)는 \(\forall x \in S: x \le c\)(선택법), \(\max S \ge c\)는 \(\exists x \in S: x \ge c\)(구성법), \(\min S \ge c\)는 \(\forall x \in S: x \ge c\)(선택법), \(\min S \le c\)는 \(\exists x \in S: x \le c\)(구성법). 한 줄 요약은 “max를 누르는 것과 min을 받치는 것이 전원 검사”다.

③ 2부 서식. ① 후보 지목 \(\to\) ② 소속 검증 \(\to\) ③ 상계(또는 하계) 증명 \(\to\) ④ 정의로 회수. 걸음 ②가 없으면 상한까지만 증명한 답안이 된다.

④ max와 sup의 차이. max는 “상계 + 소속”, sup은 “상계 + 최소성”이다. max는 반드시 집합 안에 있어야 하지만 sup은 밖일 수 있고(\(\sup(0,1) = 1 \notin (0,1)\)), max가 존재하면 둘은 일치한다(보조 명제 16.A).

복기. 네 덩어리 중 실전에서 가장 먼저 쓰이는 것은 ②다. 명제를 양화사로 펴지 못하면 ①의 조각도, ③의 걸음도 배치할 자리가 정해지지 않기 때문이다. 백지에서도 ② \(\to\) ① \(\to\) ③ \(\to\) ④의 순서로 적으면 앞의 것이 뒤의 것을 불러 준다.

문제 2#

접근. 네 칸을 기계적으로 대조하지 말고, 각 명제마다 “이것을 확인하려면 손으로 무엇을 해야 하는가”를 되묻는다. 전원을 훑어야 하면 \(\forall\)이고 선택법, 하나만 찾으면 되면 \(\exists\)이고 구성법이다. §1.2의 유한집합에 대입해 보면 그 자리에서 갈린다.

풀이. (a) \(\min S \ge 2\) \(\to\) \(\forall x \in S:\ x \ge 2\) — 2가 하계라는 뜻이고 선택법. 첫 문장은 “임의의 \(x \in S\)를 잡자”. (b) \(\max S \ge 10\) \(\to\) \(\exists x \in S:\ x \ge 10\) — 구성법. 첫 문장은 증인 제시이고, 이어서 “그 증인이 \(S\)의 원소인가”와 “10 이상인가” 두 줄의 자격 검증이 붙는다. (c) \(\max S \le 7\) \(\to\) \(\forall x \in S:\ x \le 7\) — 7이 상계라는 뜻이고 선택법. (d) \(\min S \le 3\) \(\to\) \(\exists x \in S:\ x \le 3\) — 구성법.

검산. \(S = \{1, 3, 5, 7\}\)에 대입하면 (a) 거짓(\(1 < 2\)), (b) 거짓(10 이상인 원소 없음), (c) 참, (d) 참이다. 번역이 맞다면 번역문의 참\(\cdot\)거짓도 원문과 일치해야 한다 — 번역표를 잘못 쓰면 이 검산에서 곧바로 어긋난다.

문제 3#

접근. 재현 문제이므로 계산보다 배치를 먼저 복원한다. 라벨 두 개(소속\(\cdot\)상계)를 먼저 적어 놓고 그 아래를 채우면, 어느 줄이 비었는지가 눈에 보인다.

풀이. (소속) \(3^2 = 9 \le 9\)이므로 \(3 \in S\)이다. (상계) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. 가정에 의해 \(x^2 \le 9\)이다. 만약 \(x > 3\)이라면 \(0 \le 3 < x\)이므로 1권 16주차 문제 11에 의해 \(9 < x^2\)인데, 이는 \(x^2 \le 9\)와 모순이다. 따라서 \(x \le 3\)이다. (종합) \(3 \in S\)이고 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le 3\)이므로, 정의 16.1에 의해 \(\max S = 3\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 채점자가 먼저 찾는 것은 계산이 아니라 라벨 두 개와 마지막 회수 줄이다. 세 자리가 모두 있으면 가운데 계산이 다소 거칠어도 구조는 통과하고, 라벨이 없으면 계산이 완벽해도 무엇을 증명했는지가 답안에 적혀 있지 않은 상태가 된다.

문제 4#

접근. 훈련마다 지지대가 다르므로 재현의 초점도 다르다. 훈련 1은 서식의 순서, 훈련 2는 근거 이름((W2)(W3)), 훈련 3은 최소성 조각의 골격이다.

풀이. 위의 “빈칸 사다리 — 훈련 1~3” 항목을 답으로 삼아 대조 자가 채점한다. 채점 기준을 하나만 둔다면 다음이다 — 훈련 1에서 (7)을 “②(소속)”라고 적었는가, 훈련 2에서 부등식 두 줄에 근거 이름을 붙였는가, 훈련 3의 (4)에서 아르키메데스 성질을 어느 양수에 적용했는지(\(-c'\)에 적용했다) 명시했는가.

복기. 세 훈련은 같은 뼈대의 세 변주다. 훈련 1과 2는 조각이 소속\(\cdot\)지배로 같고 부등호만 뒤집혔으며, 훈련 3에서 소속 조각이 최소성 조각으로 교체되면서 \(\exists\)가 \(\forall\)\(\exists\)로 한 겹 깊어진다. 그 한 겹이 max와 sup의 난이도 차이 전부다.

문제 5#

접근. 병명을 적는 것으로 끝내면 진단이 아니다. 각 답안에 대해 ㄱ. 어느 조각이 비었거나 잘못 골라졌는가 ㄴ. 그 답안이 실제로 증명한 명제는 무엇인가 ㄷ. 어떻게 고치면 참인 답안이 되는가, 세 가지를 적는다.

풀이. 답안 1 — 소속 누락. 조각 ①(\(1 \in S\))이 비어 있고, 조건 \(x < 1\) 때문에 채울 수도 없다. 실제로 증명된 명제는 “1은 \(S\)의 상계이다”이고 이것은 참이다. 원래 명제 “\(\max S = 1\)”은 거짓이다 — \(\sup S = 1\)이고 \(1 \notin S\)이므로 보조 명제 16.A의 대우에 의해 최댓값이 없다. 수리하려면 주장을 \(\sup S = 1\)로 낮추고 최소성 조각을 추가하거나, 집합의 조건을 \(0 \le x \le 1\)로 바꾼다.

답안 2 — 번역 오류. “\(\max S \ge 5\)”는 번역표 둘째 줄이라 \(\exists\)(구성법)인데, 답안은 셋째 줄의 처리인 \(\forall\)(선택법)를 붙였다. 답안이 세우려는 “\(\forall x \in S: x \ge 5\)”는 “\(\min S \ge 5\)”의 번역이며 원래 목표보다 강한 명제다 — \(S = [0, 9]\)에서 원래 목표는 참이지만 답안의 목표는 거짓이다. 수리하려면 \(x_0 \in S\)이면서 \(x_0 \ge 5\)인 원소 하나를 제시하고 자격 두 줄을 검증한다.

복기. 두 병 모두 계산이 아니라 번역에서 났고, 그래서 계산을 다시 해도 발견되지 않는다. 답안 검사의 첫 물음을 “max인가 min인가, 부등호는 어느 쪽인가”로 고정해 두면 두 병이 같은 자리에서 걸린다.

문제 6#

접근. 유한집합에서는 \(\forall\) 문장의 증명이 원소를 나열해 각각 검사하는 것으로 대체된다. 계산은 눈으로 끝나지만, 이 문제의 목적은 답이 아니라 라벨과 회수 줄을 습관으로 만드는 것이므로 서식을 그대로 적는다.

풀이. (소속) \(S = \{1, 3, 5, 7\}\)의 나열에 \(7\)이 들어 있으므로 \(7 \in S\)이다. (지배) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(S\)가 유한집합이므로 \(x\)는 \(1, 3, 5, 7\) 중 하나이고, \(1 \le 7\), \(3 \le 7\), \(5 \le 7\), \(7 \le 7\)이므로 어느 경우든 \(x \le 7\)이다. (종합) 두 조각이 성립하므로 정의 16.1에 의해 \(\max S = 7\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 지배 조각의 네 줄은 사실 S15주차의 경우법이다 — 분할은 원소 나열이 주고, 전수성은 “\(S\)가 이 네 원소로만 이루어졌다”는 조건제시법 대신의 원소나열법이 보증한다. 유한집합에서 \(\forall\)가 쉬운 이유는 케이스가 유한하기 때문이지 \(\forall\)가 사라져서가 아니다.

문제 7#

접근. 집합이 조건으로만 주어졌으므로 첫 작업은 언제나 집합을 푸는 것이다. 이차부등식은 인수분해한 뒤 각 인수의 부호로 경우를 나눈다(S15주차). 집합이 구간으로 풀리면 그다음은 2부 서식을 두 번 반복하는 일이고, 소속 줄은 각각 대입 한 줄로 끝난다.

풀이. 먼저 집합을 푼다. \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)이므로 조건은 \((x-2)(x-3) \le 0\)이다. 두 인수의 부호로 나누면: \(x < 2\)일 때 두 인수가 모두 음수라 곱은 양수이므로 조건 불만족, \(2 \le x \le 3\)일 때 \(x - 2 \ge 0\)이고 \(x - 3 \le 0\)이라 곱은 0 이하이므로 만족, \(x > 3\)일 때 두 인수가 모두 양수라 불만족이다. 세 경우가 실수 전체를 덮으므로 \(S = \{x \in \mathbb{R} : 2 \le x \le 3\}\)이다.

최댓값. (소속) \(2 \le 3 \le 3\)이므로 \(3 \in S\)이다. (상계) 임의의 \(x \in S\)에 대해 \(S\)의 조건이 곧바로 \(x \le 3\)을 준다. (종합) 정의 16.1에 의해 \(\max S = 3\)이다.

최솟값. (소속) \(2 \le 2 \le 3\)이므로 \(2 \in S\)이다. (하계) 임의의 \(x \in S\)에 대해 조건이 \(x \ge 2\)를 준다. (종합) 정의 16.1에 의해 \(\min S = 2\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 집합을 구간으로 푸는 순간 두 조각이 모두 한 줄이 되었다. 이번 주 문제의 난이도는 max\(\cdot\)min 쪽이 아니라 집합을 푸는 쪽에 있다 — 문제 19가 그 극단이다.

문제 8#

접근. 증명할 것이 정의의 두 조각을 그대로 확인하는 일이므로, 가정을 조각 이름으로 번역하고 정의에 대입하면 끝난다. 다만 이 문제의 목적은 결과를 인용 가능한 정리로 승격시키는 것이므로, 진술과 근거를 답안 끝에 정리해 둔다.

풀이. \(c\)가 \(S\)의 상계이고 \(c \in S\)라 하자. 정의 16.1의 두 조각을 확인한다. ① (소속) \(c \in S\) — 가정에 그대로 있다. ② (지배) \(c\)가 상계라는 것은 정의상 “모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le c\)”이므로 조각 ②가 곧 가정이다. 두 조각이 모두 충족되므로 정의 16.1에 의해 \(c = \max S\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 명제는 이후 모든 max 답안의 마지막 줄을 한 줄로 줄여 준다 — “\(c\)는 상계이고 \(c \in S\)이므로 문제 8에 의해 \(\max S = c\)”. 문제 6\(\cdot\)7이 암묵적으로 쓴 것이 이것이고, 문제 12는 명시적으로 인용한다. 부등호를 뒤집으면 하계판도 같은 증명으로 성립한다.

문제 9#

접근. (a)는 \(\forall\)이므로 선택법, (b)는 부정형이므로 귀류 한 줄, (c)는 (b)와 보조 명제 16.A의 대우로 max 부재를 얻은 뒤 최소성 조각만 남기는 구조다. 세 소문항이 그대로 “상계 \(\to\) 소속 부정 \(\to\) 최소성”이라는 상한 증명의 표준 순서다.

풀이. (a) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(x = 2 - \frac1n\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. \(n \ge 1 > 0\)이므로 \(\frac1n > 0\)이고 (W5), 따라서 \(x = 2 - \frac1n < 2\)이다. 특히 \(x \le 2\)이므로 2는 \(S\)의 상계다. \(\blacksquare\)

(b) \(2 \in S\)라 하자. 그러면 \(2 = 2 - \frac1n\)인 자연수 \(n\)이 존재하고, 양변에서 2를 빼면 \(\frac1n = 0\)이다. 그런데 (a)에서 본 대로 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(\frac1n > 0\)이므로 이는 모순이다. 따라서 \(2 \notin S\)이다. \(\blacksquare\)

(c) 먼저 max가 없음을 보인다. 만약 \(\max S\)가 존재한다면 보조 명제 16.A에 의해 \(\max S = \sup S\)이고, 아래에서 보이듯 \(\sup S = 2\)이므로 \(2 = \max S \in S\)가 되어 (b)와 모순이다. 따라서 최댓값은 존재하지 않는다. 이제 \(\sup S = 2\)를 보인다. 조각 ①(상계)은 (a)다. 조각 ②(최소성): \(c' < 2\)인 \(c'\)을 임의로 잡자. \(2 - c' > 0\)이므로 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14)에 의해 \(\frac1n < 2 - c'\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 그 \(n\)으로 만든 원소 \(x = 2 - \frac1n\)은 \(S\)의 원소이고(자격 ✓), 부등식의 양변을 정리하면 \(x = 2 - \frac1n > 2 - (2 - c') = c'\)이다(자격 ✓). 곧 \(c'\)은 상계가 아니다. 두 조각이 성립하므로 정의 16.2에 의해 \(\sup S = 2\)이다. \(\blacksquare\)

복기. (c)의 골격은 이후 문제 14\(\cdot\)15와 훈련 3에서 그대로 반복된다 — 간격을 양수로 확보하고, 아르키메데스로 그 간격보다 작은 \(\frac1n\)을 얻고, 그것으로 증인을 만든다. S4주차 문제 18(b)에서 후보 \(M\)마다 따로 무너뜨리던 작업이 여기서 “sup을 구하고 소속을 부정한다”는 두 걸음으로 정리된 것도 함께 확인해 둔다.

문제 10#

접근. 함정 문제이므로 먼저 명제 자체의 참\(\cdot\)거짓을 판정한다. 그다음 답안의 각 줄이 서식의 어느 걸음인지 대조하면, 빠진 걸음이 없다는 것이 확인된다. 마지막으로 조건을 \(x < 5\)로 바꿔 같은 대조를 되풀이하면 어느 걸음이 채워지지 않는지가 드러난다.

풀이. 이 답안은 옳다. \(S = \{x \in \mathbb{R} : x \le 5\}\)의 조건이 등호를 포함하므로 \(5 \le 5\)가 참이고 따라서 \(5 \in S\) — 걸음 ②가 채워진다. 임의의 \(x \in S\)는 조건 그대로 \(x \le 5\)이므로 걸음 ③도 채워지고, 마지막 줄이 정의 16.1로 이름을 회수한다. 집합이 위로 무한하지 않다는 점(오른쪽 끝이 닫혀 있다)이 이 답안을 살린다.

\(S = \{x \in \mathbb{R} : x < 5\}\)였다면 걸음 ③(상계)은 그대로 살아남는다 — \(x < 5\)에서 \(x \le 5\)가 따라 나온다. 무너지는 것은 걸음 ②다. \(5 < 5\)가 거짓이므로 \(5 \notin S\)이고, \(\sup S = 5\)이지만 그것이 집합 밖이므로 보조 명제 16.A의 대우에 의해 최댓값은 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

복기. 부등호 하나(\(\le\) 대 \(<\))가 최댓값의 존재를 가른다. 그리고 그 하나가 건드리는 것은 언제나 걸음 ②뿐이다 — 상계 조각은 두 경우에 글자까지 같다. 훈련 1의 (7), 예제 2.3 답안 1, 이 문제가 같은 사실의 세 얼굴이다.

문제 11#

접근. 상계가 가정 쪽에 있으므로 §1.6 마지막 줄이고, S7주차의 특수화다. 특수화는 세 걸음으로 적는다 — 값 지정, 자격 검증, 사실 수령.

풀이. \(M\)이 \(S\)의 상계이고 \(a \in S\)라 하자. 상계의 정의를 펴면 가정에 든 것은 \(\forall\) 문장이다: “모든 \(x \in S\)에 대해 \(x \le M\)”. 이 문장의 \(x\) 자리에 \(a\)를 넣기로 정한다 [값 지정]. \(a\)는 이 문장이 요구하는 자격 “\(S\)의 원소”를 가정에서 그대로 가지고 있다 [자격 검증]. 그러므로 \(a \le M\)이라는 개별 문장을 얻는다 [사실 수령]. \(\blacksquare\)

이제 \(7 \in S\)이고 \(M\)이 상계라 하자. 방금 증명한 것에 \(a = 7\)을 적용하면 \(7 \le M\)이고, 이는 \(M \ge 7\)과 같은 문장이다. \(\blacksquare\)

복기. 결론 쪽의 상계는 선택법으로 만들어야 할 것이고, 가정 쪽의 상계는 특수화로 써먹을 것이다. 같은 낱말이 위치에 따라 정반대의 작업을 부른다는 것이 S6~S7주차의 원리이고, 이번 주는 그 원리가 상계\(\cdot\)하계라는 새 소재에서 반복되는 자리다. S7주차 문제 8이 같은 작업을 한 번 했다.

문제 12#

접근. 목표의 우변을 \(M\)이라는 이름으로 먼저 두면 목표가 “\(M = \max(A \cup B)\)”라는 익숙한 모양이 되고, 할 일은 두 조각뿐이다. 소속 조각은 \(M\)이 \(\max A\) 또는 \(\max B\) 자신이라는 데서 나오고, 지배 조각은 \(x\)가 어느 집합에서 왔는지로 갈리는 경우법이다.

풀이. \(M_A = \max A\), \(M_B = \max B\)라 하고 \(M = \max\{M_A, M_B\}\)로 두자.

(소속) \(M\)은 \(M_A\)이거나 \(M_B\)이다. \(M = M_A\)이면 정의 16.1의 조각 ①에 의해 \(M_A \in A \subseteq A \cup B\)이고, \(M = M_B\)이면 같은 이유로 \(M_B \in B \subseteq A \cup B\)다. 어느 경우든 \(M \in A \cup B\)이다 [경우법 — 두 경우가 전체를 덮는다].

(상계) 임의의 \(x \in A \cup B\)를 잡자. 합집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이거나 \(x \in B\)이다 [가정 쪽의 \(\lor\) — 경우법, S15주차]. \(x \in A\)이면 조각 ②에 의해 \(x \le M_A\)이고, \(M_A \le M\)이므로 추이성 (W6)으로 \(x \le M\)이다. \(x \in B\)이면 같은 방식으로 \(x \le M_B \le M\)이다. 두 경우가 \(A \cup B\) 전체를 덮으므로 모든 \(x \in A \cup B\)에 대해 \(x \le M\)이다.

(종합) \(M\)은 \(A \cup B\)의 상계이고 \(M \in A \cup B\)이므로, 문제 8에 의해 \(\max(A \cup B) = M = \max\{\max A, \max B\}\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(A = \{1, 4\}\), \(B = \{2, 7\}\)로 확인하면 좌변은 \(\max\{1,2,4,7\} = 7\), 우변은 \(\max\{4, 7\} = 7\)로 일치한다. \(A\)와 \(B\)가 겹쳐도(\(A = B\)) 양변이 같다.

복기. 두 도구가 협업한 답안이다 — 바깥은 max의 2부 서식이고, 두 조각의 안쪽이 각각 경우법이다. 도구는 겹쳐 쓰이되 서식은 서로를 침범하지 않는다는 것이 이번 주에 확인할 점이고, 이 결과가 문제 17의 결합성을 떠받친다.

문제 13#

접근. 하계 조각에서 손에 든 것은 원소의 생김새 \(x = n^2 - 4n + 7\) 하나뿐이다. 이 식이 어떤 수 이상임을 보이려면 (W1)(“제곱은 0 이상”)을 부를 수 있는 모양으로 바꿔야 하므로 완전제곱으로 정리한다. 소속 조각은 그 제곱이 0이 되는 \(n\)을 찾아 대입하는 한 줄이다.

풀이. (소속) \(n = 2\)로 두면 \(n^2 - 4n + 7 = 4 - 8 + 7 = 3\)이고 \(2 \in \mathbb{Z}\)이므로 \(3 \in S\)이다 [구성법 — 증인 \(n = 2\)와 자격 검증].

(하계) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(x = n^2 - 4n + 7\)인 정수 \(n\)이 존재한다. 이 식을 완전제곱으로 정리하면

\[ x = n^2 - 4n + 7 = (n^2 - 4n + 4) + 3 = (n-2)^2 + 3 \]

이고, (W1)에 의해 \((n-2)^2 \ge 0\)이므로 (W2)로 양변에 3을 더하면 \(x \ge 3\)이다. 곧 3은 \(S\)의 하계다.

(종합) \(3 \in S\)이고 모든 \(x \in S\)에 대해 \(3 \le x\)이므로, 정의 16.1에 의해 \(\min S = 3\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 두 조각이 완전제곱 하나에서 동시에 나왔다 — 하계는 \((n-2)^2 \ge 0\)에서, 소속은 그 부등식의 **등호가 성립하는 \(n\)**에서. 1권 16주차가 부등식 증명마다 등호 조건을 함께 밝히라고 요구한 이유가 여기서 드러난다: 등호 조건이 곧 소속 조각의 증인 제작법이다. 정수 \(n\)이 \(2\)를 쓸 수 있다는 것이 결정적이며, 무대가 \(n \ge 3\)인 정수로 제한되었다면 \(n = 3\)에서 \(\min S = 4\)가 된다.

문제 14#

접근. 조각 ①은 조건에서 곧바로 나온다. 조각 ②는 \(\forall\)\(\exists\) 겹구조이므로 바깥의 \(\forall\)를 선택법으로 벗기고(”\(c' < 1\)인 \(c'\)을 임의로 잡자”), 안쪽의 \(\exists\)를 구성법으로 채운다. 증인 후보는 \(c'\)과 1 사이의 평균인데, \(c'\)이 음수일 수도 있어 그 평균이 0보다 크다는 보장이 없으므로 거기서 경우를 나눈다.

풀이. \(S = (0, 1) = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}\)이라 하자.

① 상계. 임의의 \(x \in S\)에 대해 \(x < 1\)이므로 \(x \le 1\)이다. 곧 1은 \(S\)의 상계다.

② 최소성. \(c' < 1\)인 실수 \(c'\)을 임의로 잡자. \(c'\)이 상계가 아님을 보인다. 경우 1 (\(c' \le 0\)). \(x = \frac12\)로 두면 \(0 < \frac12 < 1\)이므로 \(x \in S\)이고, \(x = \frac12 > 0 \ge c'\)이다. 경우 2 (\(0 < c' < 1\)). \(x = \frac{c' + 1}{2}\)로 두자. \(c' < 1\)이므로 \(c' = \frac{c' + c'}{2} < \frac{c' + 1}{2} = x\)이고, 또 \(x = \frac{c'+1}{2} < \frac{1+1}{2} = 1\)이다. 따라서 \(0 < c' < x < 1\)이므로 \(x \in S\)이고 \(x > c'\)이다. 두 경우가 \(c' < 1\)인 실수 전체를 덮으므로, 어느 경우든 \(c'\)보다 큰 \(S\)의 원소가 존재한다 — 곧 \(c'\)은 상계가 아니다.

두 조각이 성립하므로 정의 16.2에 의해 \(\sup(0,1) = 1\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 증인을 만드는 표준 부품은 두 개다 — 두 수 사이의 평균(S8주차\(\cdot\)S11주차에서 반복해 쓴다)과 아르키메데스 성질(문제 9\(\cdot\)15). 평균은 실수의 조밀성을 쓰는 부품이고 아르키메데스는 수열형 집합에 쓰는 부품이라, 집합이 구간이면 평균, 집합이 \(\frac1n\) 꼴로 나열되면 아르키메데스를 먼저 꺼낸다. 경우를 나눈 이유는 증인 공식의 자격 검증이 \(c'\)의 부호에 걸렸기 때문이고, 이런 갈림은 증인을 만든 뒤 자격을 검증할 때 비로소 보인다.

문제 15#

접근. 원소의 식이 분수이므로 그대로는 상계도 최소성도 다루기 어렵다. 분자를 분모의 배수로 쪼개 “상수에서 무엇을 뺀 값” 꼴로 바꾸면, 그 뺀 값 하나로 두 조각이 모두 처리된다. 문제 9와 완전히 같은 골격이므로, 거기서 \(\frac1n\)이 하던 역할을 여기서는 \(\frac{2}{n+1}\)이 맡는다.

풀이. 먼저 원소의 식을 변형한다.

\[ \frac{3n+1}{n+1} = \frac{3(n+1) - 2}{n+1} = 3 - \frac{2}{n+1} \]

① 상계(3). 임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(x = 3 - \frac{2}{n+1}\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. \(n \ge 1\)이므로 \(n + 1 > 0\)이고 (W5)에 의해 \(\frac{2}{n+1} > 0\)이므로 \(x < 3\), 특히 \(x \le 3\)이다. 곧 3은 상계다.

② 최소성. \(c' < 3\)인 실수 \(c'\)을 임의로 잡자. \(3 - c' > 0\)이므로 아르키메데스 성질 (S5주차 문제 14)에 의해 \(\frac1n < \frac{3 - c'}{2}\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 그 \(n\)에 대해 \(\frac{2}{n+1} < \frac{2}{n} < 3 - c'\)이고(\(n < n+1\)이므로 역수가 작아진다), 따라서 그 \(n\)이 만드는 원소 \(x = 3 - \frac{2}{n+1}\)은 \(S\)의 원소이며(자격 ✓) \(x > 3 - (3 - c') = c'\)이다(자격 ✓). 곧 \(c'\)은 상계가 아니다. 두 조각이 성립하므로 \(\sup S = 3\)이다.

max 부재. \(3 \notin S\)이다 — \(3 = 3 - \frac{2}{n+1}\)이면 \(\frac{2}{n+1} = 0\)이 되어 모순이기 때문이다. 따라서 보조 명제 16.A의 대우에 의해 \(\max S\)는 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

검산. \(n = 1, 2, 3\)에서 원소는 \(2, \frac73, \frac{5}{2}\)이고 전부 3보다 작으면서 \(n\)이 커질수록 3에 가까워진다. 상계 조각과 최소성 조각이 각각 이 두 관찰에 대응한다.

복기. 분수 꼴 집합을 만나면 첫 작업은 언제나 “상수 \(\pm\) 작아지는 항”으로 쪼개는 변형이다. 그 변형 하나로 상한 후보가 눈에 보이고, 두 조각의 계산이 모두 그 작아지는 항에 대한 부등식으로 환원된다. 예제 2.2와 문제 9가 같은 변형의 더 단순한 형태였다.

문제 16#

접근. 앞부분은 최소원리(1권 33주차)를 인용하는 일이지만, 인용 전에 적용 전제 두 가지 (공집합이 아닐 것, 무대가 자연수일 것)를 확인하는 줄이 필요하다 — 1권 33주차의 조각 삭제 실험이 그 두 조각을 지웠을 때의 붕괴를 보여 준다. 뒷부분은 대조이므로, 실수 쪽에서 최솟값이 없는 사례를 하나 들고 그 이유를 구조로 설명한다.

풀이. \(S \subseteq \mathbb{N}\)이 공집합이 아니라 하자. 최소원리(1권 33주차)의 적용 전제는 “공집합이 아닌 자연수의 부분집합”이고 \(S\)가 그것을 그대로 만족하므로, \(S\)는 최소원소를 가진다. 최소원소란 \(m \in S\)이면서 모든 \(x \in S\)에 대해 \(m \le x\)인 \(m\)이므로, 이는 정의 16.1의 두 조각과 같은 문장이다 — 곧 \(\min S\)가 존재한다.

대조. 실수 쪽에서는 같은 보장이 없다. 양의 실수 전체의 집합 \(\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}\)은 공집합이 아니고 아래로 유계이지만(0이 하계) 최솟값이 없다 — 후보 \(m > 0\)을 무엇으로 잡아도 \(\frac{m}{2}\)이 더 작은 양의 실수라 지배 조각이 무너진다(같은 논법의 유리수판이 S11주차 문제 10이고, 예제 2.2가 \(\frac1n\) 꼴 집합에서 같은 일을 했다).

두 문장 정리. 자연수는 원소들이 서로 1 이상 떨어져 있어 “아래로 내려가는 과정”이 유한 번에 멈추므로 최솟값이 언제나 달성되고, 실수는 두 원소 사이에 언제나 또 다른 원소가 있어 그 과정이 멈추지 않는다. 그래서 자연수 위에서는 최소원리(와 그것과 동치인 귀납 공리)가 증명의 토대가 되고, 실수 위에서는 최솟값 대신 하한의 존재를 보장하는 완비성이 그 역할을 대신한다 — 이산 쪽은 최소원리, 연속 쪽은 완비성이다.

복기. 이 대조가 이번 주 전체의 요약이기도 하다. max\(\cdot\)min은 “달성”을 요구하므로 이산 구조에서 편안하고, sup\(\cdot\)inf는 달성을 요구하지 않으므로 연속 구조에서 살아남는다. 문제 18이 그 살아남은 도구로 무엇을 할 수 있는지 보인다.

문제 17#

접근. 유일성은 S13주차 얼굴 1이다 — 조건을 만족하는 대상 둘을 잡되 다르다고 가정하지 않고, 서로에게 정의의 조각을 교차로 적용해 두 부등식을 얻는다. 정관사의 정당화는 그 유일성의 직접적 귀결이고, 결합성은 문제 12를 두 원소 집합에 적용하는 일이다.

풀이. 유일성. \(M_1\)과 \(M_2\)가 모두 \(S\)의 최댓값이라 하자. \(M_1\)은 정의 16.1의 조각 ①에 의해 \(S\)의 원소이고 \(M_2\)는 조각 ②에 의해 \(S\)의 모든 원소를 지배하므로 \(M_1 \le M_2\)이다. 역할을 바꾸면 \(M_2 \in S\)이고 \(M_1\)이 지배하므로 \(M_2 \le M_1\)이다. 두 부등식에서 차 \(M_2 - M_1\)을 읽는다. 1권 16주차 정의 16.1(대소 관계)에 의해 \(M_1 \le M_2\)는 그 차가 양수이거나 0이라는 뜻이고, \(M_2 \le M_1\)은 그 차가 음수이거나 0이라는 뜻이다. 곧 차는 양수도 음수도 아니므로 삼분법에 의해 \(M_2 - M_1 = 0\), 곧 \(M_1 = M_2\)이다 [1권 16주차 정의 16.1 + 삼분법]. \(\blacksquare\)

정관사의 정당화. 최댓값이 존재하면 그것은 하나뿐이므로 “\(S\)의 최댓값”이라는 표현이 대상을 하나로 지목한다. 그래서 \(\max S\)라는 표기(집합 하나에 실수 하나를 대응시키는 기호)를 쓸 자격이 생긴다. 유일성이 없다면 \(\max S\)는 어느 값을 가리키는지 정해지지 않아 표기 자체가 성립하지 않는다.

결합성. \(\{a, b, c\} = \{a, b\} \cup \{c\}\)이므로, 문제 12를 \(A = \{a, b\}\), \(B = \{c\}\)에 적용하면

\[ \max\{a, b, c\} = \max\{\max\{a, b\},\ \max\{c\}\} = \max\{\max\{a,b\},\ c\} \]

이다(\(\max\{c\} = c\)는 정의 16.1의 두 조각을 직접 확인하면 나온다). 곧 셋 이상의 max를 둘씩 접어 계산해도 값이 같고, 계산 순서를 바꿔도 결과가 하나로 정해진다 — 그 “하나로 정해짐”의 근거가 앞의 유일성이다. \(\blacksquare\)

복기. 유일성 \(\to\) 표기 정당화 \(\to\) 연산으로의 확장이라는 이 세 걸음은 max에만 있는 것이 아니다. 1권 26주차에서 유일성을 증명한 대상마다 같은 순서로 기호가 만들어졌고, S13주차가 그 순서에 이름을 붙였다. 새 기호를 만들 자격은 언제나 유일성이 준다.

문제 18#

접근. 목표는 수렴이므로 정의 45.1(1권 45주차)을 펴야 하고, 그 정의는 \(\forall\)\(\varepsilon\)\(\exists\)N\(\forall\)n 구조라 S8주차의 바깥부터 벗기기가 그대로 적용된다. 문턱 \(N\)을 만들 재료가 문제인데, 손에 든 것은 완비성이 주는 상한 \(L\)뿐이다. \(L\)의 최소성 조각이 “\(L - \varepsilon\)은 상계가 아니다”를 주고, 그 문장이 곧 \(N\)의 산지다.

풀이 (스케치). 수열 \((a_n)\)이 증가하고 위로 유계라 하자. 집합 \(A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}\)은 공집합이 아니고 위로 유계이므로, 완비성 공리에 의해 상한 \(L = \sup A\)가 존재한다. 이 \(L\)이 극한임을 보인다.

\(\varepsilon > 0\)을 임의로 잡자 [바깥 \(\forall\) — 선택법]. \(L - \varepsilon < L\)이므로 정의 16.2의 조각 ②(최소성)에 의해 \(L - \varepsilon\)은 \(A\)의 상계가 아니고, 따라서 \(a_N > L - \varepsilon\)인 항이 존재한다. 그 첨자를 \(N\)으로 삼는다 [\(\exists\) — 문턱의 구성].

이제 \(n > N\)인 임의의 \(n\)을 잡자 [안쪽 \(\forall\) — 선택법]. \((a_n)\)이 증가하므로 \(a_n \ge a_N > L - \varepsilon\)이고, \(L\)이 \(A\)의 상계이므로(조각 ①) \(a_n \le L < L + \varepsilon\)이다. 두 부등식을 합치면 \(L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon\), 곧 \(a_n\)과 \(L\)의 차의 절댓값이 \(\varepsilon\)보다 작다. 정의 45.1이 요구하는 것이 정확히 이것이므로 \(a_n \to L\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 증명에서 완비성이 한 일은 단 하나다 — \(L\)을 존재하게 만든 것. 그 뒤의 계산은 전부 상한의 두 조각과 증가성뿐이다. 그리고 \(N\)을 만든 것은 최소성 조각이었다: “가장 작은 상계”라는 말이 “그보다 조금이라도 작으면 상계가 아니다”를 뜻하고, 그 문장이 곧 존재 주장이라 증인(\(a_N\))을 내놓는다. 최소성 조각이 왜 \(\forall\)\(\exists\) 겹구조로 적히는지가 여기서 실전으로 확인된다. 1권 46주차가 증명 없이 채택했던 단조수렴정리가 여기서 상한의 두 조각으로 증명된다 — 1권이 남긴 빚 하나가 이 자리에서 회수된다.

문제 19#

접근. 집합을 푸는 것이 절반이다. 삼차부등식은 인수분해한 뒤 세 근이 나누는 네 구간에서 각 인수의 부호를 따진다(S15주차 경우법). 집합이 풀리면 위쪽은 2부 서식으로 끝나지만, 아래쪽은 “하계가 존재하지 않는다”는 부정형 주장이라 후보 하계마다 그것을 무너뜨리는 원소를 구성해야 한다.

풀이. 집합 풀기. \(x^3 \le x\)는 \(x^3 - x \le 0\), 곧 \(x(x-1)(x+1) \le 0\)과 같다. 근 \(-1, 0, 1\)이 나누는 네 구간에서 세 인수의 부호를 따지면: \(x \le -1\)에서는 세 인수가 각각 음\(\cdot\)음\(\cdot\)음(또는 0)이라 곱이 0 이하, \(-1 < x < 0\)에서는 음\(\cdot\)음\(\cdot\)양이라 곱이 양수, \(0 \le x \le 1\)에서는 양(또는 0)\(\cdot\)음(또는 0)\(\cdot\)양이라 곱이 0 이하, \(x > 1\)에서는 셋 다 양수라 곱이 양수다. 네 경우가 실수 전체를 덮으므로

\[ S = \{x \in \mathbb{R} : x \le -1\} \cup \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x \le 1\} \]

이다.

최댓값. (소속) \(1^3 = 1 \le 1\)이므로 \(1 \in S\)이다. (상계) 임의의 \(x \in S\)를 잡자. \(x \le -1\)이면 \(x \le -1 \le 1\)이고, \(0 \le x \le 1\)이면 \(x \le 1\)이다 [경우법]. 어느 경우든 \(x \le 1\)이므로 1은 상계다. (종합) 문제 8에 의해 \(\max S = 1\)이다.

아래로 유계가 아님. 임의의 실수 \(c\)를 잡자. \(x = \min\{c - 1,\ -1\}\)로 두면 \(x \le -1\)이므로 \(x \in S\)이고, 또 \(x \le c - 1 < c\)이다. 곧 \(c\)보다 작은 \(S\)의 원소가 존재하므로 \(c\)는 하계가 아니다. 임의의 \(c\)에 대해 그러하므로 \(S\)에는 하계가 없다.

최솟값. \(\min S\)가 존재한다면 그것은 정의 16.1의 조각 ②에 의해 하계인데, 방금 하계가 하나도 없음을 보였으므로 최솟값도 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)

복기. “max는 있으나 min은 없는” 비대칭 집합이고, 그 비대칭은 집합의 생김새에서 온다 — 오른쪽은 1에서 닫혀 있고 왼쪽은 무한히 열려 있다. 부정형 주장(“하계가 없다”)을 증명할 때 후보 \(c\)를 재료로 증인을 만든 것(여기서는 \(\min\{c-1, -1\}\))이 S5주차 구성법의 표준 수법이며, 두 조건(\(S\)의 원소일 것, \(c\)보다 작을 것)을 동시에 만족시키려고 \(\min\)을 쓴 것도 자격 검증에서 나온 설계다.

문제 20#

접근. (a)는 이번 주 전체의 요약이므로 번역표를 먼저 인용하고 그 귀결로 “새 기법 없음”을 잇는다. (b)는 두 예제의 대비이므로, 같은 구조에서 조각 하나만 다르다는 점을 지목한다.

풀이. (예시 답안)

(a) 번역표가 보이듯 “\(\max S \le c\)”와 “\(\min S \ge c\)”는 \(\forall\) 문장으로, “\(\max S \ge c\)”와 “\(\min S \le c\)”는 \(\exists\) 문장으로 풀린다 — max\(\cdot\)min이라는 명사 안에 양화사가 접혀 있었을 뿐이다. 그래서 이번 주에는 새 기법이 없었고, S5주차의 구성법\(\cdot\)S6주차의 선택법\(\cdot\)S7주차의 특수화\(\cdot\)S8주차의 겹구조 처리를 max\(\cdot\)min이라는 새 소재에 옮겨 적용했을 뿐이다. “\(\max S = c\)”의 2부 서식조차 소속(\(\exists\) 성격)과 상계(\(\forall\))의 결합이라 새 논리가 없다.

(b) 예제 2.1의 \(\{x : x^2 \le 9\}\)는 3을 포함하므로(\(3^2 = 9 \le 9\)) 소속 조각이 채워져 최댓값이 존재하지만, 예제 2.3 답안 1의 \(\{x : 0 \le x < 1\}\)은 1을 포함하지 않아 소속 조각이 채워지지 않고 상계\(\cdot\)최소성만 남아 \(\sup S = 1\)에서 멈춘다. 두 상황의 상계 조각은 글자까지 같으므로 경계는 오직 소속 조각의 유무이고, 그래서 max는 달성되는 최소상계, sup은 달성 여부를 묻지 않는 최소상계라고 말할 수 있다.

복기. (a)와 (b)는 같은 말의 두 방향이다. 명사를 양화사로 펴면 기법이 정해지고(a), 그렇게 편 조각 중 어느 것이 채워지는가가 이름을 정한다(b). 이번 주에 배운 것은 계산이 아니라 이 두 문장이다.

다음 주 예고 (S17주차). 기법 선택 총정리와 기법 종합 백지시험이다. S1~S16주차의 모든 기법을 “명제의 겉모양 \(\to\) 첫수” 하나의 결정 나무로 통합하고, 20문항 종합시험으로 점검한다. S9주차의 전반 시험이 전진-후진과 양화사 4부작까지였다면, S17주차는 부정 3부작\(\cdot\)유일성\(\cdot\) 귀납\(\cdot\)양자택일\(\cdot\)최대/최소법까지 전 기법이 대상이다. 이번 주의 번역표(§1.3)와 판정법(§1.6)은 그 결정 나무의 마지막 가지로 들어간다 — S1~S16주차의 백지 체크리스트를 총복습하고 온다.