# S16주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 두 조각을 함께 세우기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 예제마다 하나씩 빠진다. ### 예제 2.1 — "$\max S = c$": 두 조각 증명 **명제.** $S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}$의 최댓값은 3이다. **판정.** 목표의 겉모양이 "$\max S = c$"이므로 §1.6 판정법 첫째 줄, 2부 서식이다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 수식으로 옮긴다. 도착점은 정의 16.1을 펴서 얻는다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (주어진 것) | $x$가 $S$의 원소라는 것 | $x^2 \le 9$ — 조건제시법이 준 유일한 사실 | | 목표 조각 ① (만들 것) | 3이 달성된다 | $\underline{\quad(?)\quad}$ | | 목표 조각 ② (만들 것) | 3이 천장이다 | $\underline{\quad(?)\quad}$ — 기법은 $\underline{\quad(?)\quad}$법 | :::{container} quotebox **확인 11.** 설계 표의 빈칸 세 개를 채워 보자. 그리고 두 조각 중 어느 쪽을 먼저 쓰는 것이 유리한지 생각해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 조각 ①: $3 \in S$, 곧 $3^2 \le 9$인지 검사한다. 조각 ②: $\forall x \in S:\ x \le 3$ — 기법은 **선택**법(§1.3 첫째 줄). 순서는 자유이지만 조각 ①을 먼저 쓰는 쪽이 낫다. 한 줄로 끝나고, 만약 거짓이면 그 자리에서 명제 자체가 거짓임을 알게 되어 조각 ②의 긴 계산을 하기 전에 멈출 수 있다 (§1.4 삭제 실험의 교훈). ::: **1단계 — 소속을 검증한다.** 걸음 ②다. 값을 대입해 조건제시법의 조건을 확인하는 한 줄이다. :::{container} quotebox **확인 12.** 첫 문장을 완성해 보자: "$3^2 = \underline{\quad} \le 9$이므로 $\underline{\quad}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$3^2 = 9 \le 9$이므로 $3 \in S$이다." 등호가 포함된 $\le$라서 통과한다는 것이 요점이다 — 조건이 $x^2 < 9$였다면 이 줄이 무너지고 최댓값도 사라진다(예제 2.3 답안 1과 문제 10의 대조). ::: **2단계 — 지배 조각을 개시한다.** 걸음 ③이다. 목표가 $\forall$ 문장이므로 첫 문장은 선언이다. :::{container} quotebox **확인 13.** 둘째 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$를 잡자. 그러면 가정에 의해 $\underline{\quad}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "임의의 $x \in S$를 잡자. 그러면 가정에 의해 $x^2 \le 9$이다." S6주차 선택법의 서식 그대로다. $x$에 붙은 자격은 "$S$의 원소"뿐이고, 그 자격이 주는 사실은 조건제시법의 조건 하나뿐이다. ::: **3단계 — 지배 조각을 완결한다.** 손에 든 것은 $x^2 \le 9$이고 필요한 것은 $x \le 3$이다. 제곱을 벗기는 일이므로 1권 16주차의 부품을 부른다. :::{container} quotebox **확인 14.** 셋째 문장을 완성해 보자. 1권 16주차 문제 11("$0 \le a < b$이면 $a^2 < b^2$")을 $a = 3$에 특수화하면 무엇이 나오는가. 그것을 어떻게 쓰면 $x \le 3$이 나오는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $a = 3$, $b = x$로 특수화하면 "$3 < x$이면 $9 < x^2$"이다(자격 $0 \le 3$은 참). 이 조건문의 대우가 "$x^2 \le 9$이면 $x \le 3$"이므로(S12주차), 손에 든 $x^2 \le 9$에 곧바로 붙어 $x \le 3$이 나온다. 귀류로 적어도 같다 — "$x > 3$이라 하면 $x^2 > 9$가 되어 $x \in S$와 충돌한다"(S11주차). ::: **4단계 — 두 조각을 회수한다.** 걸음 ④다. :::{container} quotebox **확인 15.** 마지막 문장을 완성해 보자: "$3 \in S$이고 $\underline{\qquad}$이므로 $\underline{\qquad}$에 의해 $\max S = 3$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$3 \in S$이고 모든 $x \in S$에 대해 $x \le 3$이므로, 정의 16.1에 의해 $\max S = 3$이다." 두 조각의 이름을 문장 안에 그대로 다시 적는 것이 규격이다. 문제 8을 푼 뒤에는 "$3$은 상계이고 $3 \in S$이므로 문제 8에 의해"로 줄여 쓸 수 있다. ::: **완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | **(소속)** $3^2 = 9 \le 9$이므로 $3 \in S$이다. | 걸음 ② — 값이 실제로 달성됨을 보인다. 이 줄이 없으면 상계만 증명한 답안이 되고, 집합 밖의 수도 통과한다(§1.4 삭제 실험). | | **(상계)** 임의의 $x \in S$를 잡자. 가정에 의해 $x^2 \le 9$이다. | 걸음 ③ 개시 — 목표가 $\forall$ 문장이므로 첫 문장은 선택법의 선언이다(S6주차). $x$가 가진 자격은 "$S$의 원소"뿐이다. | | $x > 3$이라 하면 1권 16주차 문제 11에 의해 $x^2 > 9$가 되어 $x^2 \le 9$와 충돌한다. 따라서 $x \le 3$이다. | 제곱을 벗기는 유일한 계산. 부품을 $a = 3$, $b = x$에 특수화해 쓰고(S7주차), 방향은 대우 또는 귀류로 뒤집는다(S11~S12주차). | | **(종합)** $3 \in S$이고 모든 $x \in S$에 대해 $x \le 3$이므로, 정의 16.1에 의해 $\max S = 3$이다. $\blacksquare$ | 걸음 ④ — 두 조각을 정의에 되돌려 이름을 회수한다. 이 줄이 없으면 사실 두 개가 나열된 채 끝난다. | **논평.** 네 줄 중 새 기법은 하나도 없다. 첫 줄은 S5주차의 자격 검증, 둘째 줄은 S6주차의 선택법, 셋째 줄은 S7주차의 특수화와 S12주차의 대우, 넷째 줄은 S4주차의 정의 회수다. **이번 주가 한 일은 그 넷을 어느 순서로 놓을지 정한 것뿐이다** — 그것이 서식의 정체다. ### 예제 2.2 — 하계는 세워지지만 최솟값은 없는 집합 **명제.** $S = \left\{\frac1n : n \in \mathbb{N}\right\}$에 대해, $0$은 $S$의 하계이다. 그러나 $\min S$는 존재하지 않는다. 이번에는 설계까지만 함께 하고 본문은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 16.** 두 주장에 §1.6의 판정법을 각각 적용해 보자. 앞 주장의 겉모양은 무엇이고 첫 문장은 무엇인가. 뒤 주장은 무엇을 무너뜨려야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 앞 주장 "0은 하계"는 $\forall$ 문장이다(둘째 줄) — 첫 문장은 "임의의 $x \in S$를 잡자". 뒤 주장은 정의 16.1의 두 조각 중 **하나라도** 무너지는 후보밖에 없음을 보이는 일이다. 후보 $m$이 $S$의 원소라면 $m = \frac1n$ 꼴이고, 그때 $\frac{1}{n+1}$이 더 작은 원소로 남아 조각 ②(지배)가 무너진다. 곧 이 집합에서는 소속을 만족하는 후보마다 지배가 깨지므로 최솟값이 없다. ::: | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | **(하계)** 임의의 $x \in S$를 잡자. $S$의 정의에 의해 $x = \frac1n$인 자연수 $n$이 존재한다. | $\forall$ 목표이므로 선택법으로 개시하고, 조건제시법이 준 사실을 소비해 $x$의 생김새를 등식으로 받는다. | | $n \ge 1 > 0$이므로 (W5)에 의해 $\frac1n > 0$, 곧 $x > 0 \ge 0$이다. 따라서 0은 $S$의 하계다. | 하계의 정의가 요구하는 부등식을 세운다. 양수의 역수가 양수라는 것은 1권 16주차 (W5)이고 근거 ②(닫힘성)다. | | **(최솟값 부재)** $m = \min S$가 존재한다고 하자. 조각 ①에 의해 $m \in S$이므로 $m = \frac1n$인 자연수 $n$이 있다. | 귀류의 개시(S11주차). 무너뜨릴 대상을 조각으로 펴 두면 충돌 후보가 보인다. | | 그런데 $\frac{1}{n+1} \in S$이고 $\frac{1}{n+1} < \frac1n = m$이므로, 조각 ②("모든 $x \in S$에 대해 $m \le x$")가 $x = \frac{1}{n+1}$에서 무너진다. 따라서 $\min S$는 존재하지 않는다. $\blacksquare$ | 충돌 지점을 구성해 제시한다(S5주차). $n + 1$이 자연수라는 것은 근거 ②, $n < n+1$에서 역수의 대소가 뒤집히는 것은 (W3)(W5)다. | **논평.** 0은 하계이지만 최솟값이 아니다. 갈라진 자리는 오직 하나 — **소속 조각**이다 ($0 \notin S$이다. $\frac1n = 0$인 자연수는 없다). 하계$\cdot$최솟값$\cdot$하한 셋을 가르는 것이 이 조각 하나이고, 실제로 $\inf S = 0$이다(문제 15와 같은 계산이 아르키메데스 성질로 최소성을 준다). 1권 22주차 문제 10에서 "최솟값이 없다"고만 적던 상황이 여기서 세 이름으로 분리된다. ### 예제 2.3 — 진단: 소속 누락과 번역 오류 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 아래 두 답안을 읽기 전에, 각 명제에 §1.6의 판정법을 적용해 어느 걸음이 필요한지 먼저 정한다. :::{container} quotebox **확인 17.** 두 답안을 읽기 전에 판정해 보자. (가) "$S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}$의 최댓값은 1이다"는 판정법의 몇째 줄인가. (나) "$\max S \ge 5$"는 몇째 줄이며 첫 문장이 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 첫째 줄 — 2부 서식. 걸음 ②와 ③을 모두 적어야 한다. (나) 셋째 줄 — $\exists$ 문장이므로 구성법이고, 첫 문장은 "$x_0 = \ldots$으로 두자"라는 증인 제시다. 이 판정을 먼저 해 두면 아래 두 답안의 병이 무엇인지 읽는 순간 보인다. ::: **답안 1.** "명제: $S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}$의 최댓값은 1이다. 증명: 임의의 $x \in S$에 대해 $x < 1 \le 1$이므로 1은 상계다. 따라서 $\max S = 1$이다." **진단 — 소속 누락, 그리고 명제 자체가 거짓.** 선택법으로 쓴 첫 문장은 옳고, "1이 상계"라는 결론도 참이다. 무너진 곳은 마지막 줄이다. 정의 16.1은 상계라는 사실 하나에서 최댓값이라는 이름을 내주지 않는다 — 조각 ①($1 \in S$)이 함께 있어야 하는데, 조건 $x < 1$이 그것을 배제하므로 이 답안의 걸음 ②는 **채울 수 없다**. 실제로 이 집합에는 최댓값이 없고 (보조 명제 16.A의 대우: $\sup S = 1 \notin S$), 답안이 증명한 것은 "1은 상계"까지다. 답안을 참인 명제로 고치는 길은 둘이다 — 주장을 "$\sup S = 1$"로 낮추고 최소성 조각을 추가하거나, 집합을 $\{x : 0 \le x \le 1\}$로 바꿔 걸음 ②가 채워지게 하거나. **답안 2.** "명제: $\max S \ge 5$를 보이려면 모든 $x \in S$가 $\ge 5$임을 보이면 된다." **진단 — 번역 오류.** 번역표 둘째 줄이 걸리는데 셋째 줄의 처리를 붙였다. "$\max S \ge 5$"는 $\exists$ 문장("5 이상인 원소가 하나 존재한다")이고, 이 답안이 세우려는 "$\forall x \in S: x \ge 5$"는 "$\min S \ge 5$"의 번역이다. 곧 max와 min을, $\le$와 $\ge$를 뒤섞었다. 두 문장의 관계는 대칭이 아니라 포함이다 — 전원이 5 이상이면 최댓값도 5 이상이므로 이 답안이 세우려는 것은 **목표보다 강한 명제**이고, 대개 거짓이라 증명이 끝나지 않는다($S = [0, 9]$에서 확인 2가 그 사례였다). 올바른 처리는 구성법이다: $x_0 \in S$이면서 $x_0 \ge 5$인 원소 하나를 제시하고 자격 두 줄을 검증하면, 번역표 둘째 줄에 의해 $\max S \ge 5$가 나온다. **두 병의 공통점.** 답안 1은 조각을 하나 빠뜨렸고 답안 2는 조각을 잘못 골랐다. 둘 다 계산이 아니라 **번역 단계의 사고**이고, 그래서 계산을 아무리 검사해도 발견되지 않는다. 답안을 검사할 때 첫 물음이 "$\max$인가 $\min$인가, 부등호는 어느 쪽인가"인 이유다. ### 관찰 — 같은 뼈대 세 예제는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **항목** | **예제 2.1** | **예제 2.2 (하계 부분)** | **예제 2.3 답안 1** | |---|---|---|---| | 목표의 겉모양 | $\max S = c$ | "$0$은 하계" (= $\min S \ge 0$ 꼴) | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 펴면 나오는 양화사 | 소속($\exists$ 성격) $\land$ 지배($\forall$) | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 소속 $\land$ 지배 | | 붙는 기법 | 구성 + 선택 | 선택 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | 답안에 실제로 있는 조각 | 두 조각 모두 | 하계 하나 (그것으로 충분한 목표) | $\underline{\quad(4)\quad}$ | | 결과 | 최댓값 확정 | 하계 확정, 최솟값은 별도로 부정 | 상계까지만 증명됨 | :::{container} quotebox **확인 18.** 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 세 예제가 공통으로 지키는 순서를 세 걸음으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\max S = c$ (2) $\forall$ 문장 하나 (3) 구성 + 선택 (4) 지배(상계) 하나뿐 — 소속이 없다. 공통 순서: ① 명사를 정의로 펴서 **어느 양화사인지 판정한다** $\to$ ② 양화사마다 정해진 기법으로 조각을 하나씩 세운다($\forall$는 선택법, $\exists$는 구성법) $\to$ ③ 세운 조각을 정의에 되돌려 이름을 회수한다. 예제 2.3 답안 1이 실패한 것은 ②에서 조각 하나를 세우지 않고 ③으로 건너뛴 것이다. **뼈대는 예제마다 같고, 달라지는 것은 조각이 몇 개이고 각각이 어느 양화사인가뿐이다.** ::: 이 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **최대/최소법** max$\cdot$min$\cdot$sup을 만나면 ① 정의를 펴서 조각과 양화사를 밝히고 $\to$ ② 조각마다 정해진 기법으로 각각 증명하고 $\to$ ③ 정의를 인용해 이름을 회수한다. 새 기법은 없다. 이번 주의 도구는 번역표(§1.3)와 서식(§1.4)뿐이고, 계산은 S5~S8주차의 것을 그대로 쓴다. ::: ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸 **명제.** $S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 4\}$의 최댓값은 2이다. **판정.** 겉모양이 $\max S = c$이므로 §1.6 첫째 줄, $\underline{\quad(1)\quad}$부 서식이다. **증명.** **(소속)** $2^2 = \underline{\quad(2)\quad} \le 4$이므로 $2 \in S$이다. **(상계)** 이 조각의 양화사 번역은 $\forall x \in S:\ x \le \underline{\quad(3)\quad}$이고, 기법은 $\underline{\quad(4)\quad}$법이다. 임의의 $x \in S$를 잡자. 가정에 의해 $x^2 \le 4$이다. 만약 $x > 2$라면 1권 16주차 문제 11에 의해 $x^2 > 4$인데, 이는 $x \in S$와 $\underline{\quad(5)\quad}$이다. 따라서 $x \le 2$이다. **(종합)** 두 조각이 모두 성립하므로 정의 16.1에 의해 $\max S = 2$이다. $\blacksquare$ **변형 점검.** 집합이 $\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 4\}$(강부등호)였다면 최댓값은 $\underline{\quad(6)\quad}$(존재/부재)이고, 무너지는 것은 걸음 $\underline{\quad(7)\quad}$이다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 기법 이름과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** $S = \{2n + 1 : n \in \mathbb{N}\}$에 대해 $\min S = 3$이다. **판정.** 겉모양이 $\min S = c$이므로 두 조각을 $\underline{\quad(1)\quad}$ 증명한다. **증명.** **(소속)** $n = \underline{\quad(2)\quad}$로 두면 $2n + 1 = 3$이고 그 $n$은 자연수이므로 $3 \in S$이다. 이 줄이 쓰는 기법은 $\underline{\quad(3)\quad}$법이다. **(하계)** 임의의 $x \in S$를 잡자. $S$의 정의에 의해 $x = 2n + 1$인 자연수 $n$이 존재한다. $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$이므로 $n \ge 1$이고, 양변에 2를 곱하면 $2n \ge 2$이다 [근거: $\underline{\quad(4)\quad}$]. 양변에 1을 더하면 $x = 2n + 1 \ge \underline{\quad(5)\quad}$이다 [근거: $\underline{\quad(6)\quad}$]. **(종합)** $3 \in S$이고 모든 $x \in S$에 대해 $3 \le x$이므로 $\underline{\quad(7)\quad}$에 의해 $\min S = 3$이다. $\blacksquare$ **연장.** 같은 집합에 최댓값이 $\underline{\quad(8)\quad}$(존재/부재)하는 이유를 한 문장으로 적는다. ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 판정부터 스스로 한다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다. **명제.** $S = \left\{-\frac1n : n \in \mathbb{N}\right\}$에 대해 $\sup S = 0$이다. - ① 판정과 그 근거 (겉모양이 무엇이고 §1.6의 몇째 줄인가, 조각은 몇 개인가): $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 조각 ①(상계)의 완전한 증명: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 조각 ②(최소성)의 개시문 — 바깥 양화사를 벗기는 첫 문장: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 조각 ②의 증인 제작과 자격 검증 (아르키메데스 성질을 어디에 쓰는지 명시): $\underline{\quad(4)\quad}$ - ⑤ 종합 문장, 그리고 $\max S$가 존재하지 않는 이유 한 줄: $\underline{\quad(5)\quad}$ ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 제출 규격은 네 가지다: ① 번역 — max$\cdot$min이 든 명제는 먼저 양화사 문장으로 펴고, 번역표의 몇째 줄인지 지목한다 ② 조각 라벨 — "$\max = c$" 답안은 (소속)과 (상계)를 라벨해 분리하고, 마지막에 정의로 회수하는 줄을 반드시 적는다 ③ 상계$\cdot$하계 주장에는 소속을 주장하지 않는다 — 이름을 max$\cdot$min으로 올리려면 소속 줄이 따로 있어야 한다 ④ 존재하지 않음을 주장할 때는 후보마다 두 조각 중 어느 쪽이 무너지는지 지목한다. 상계 계산이 옳아도 ②의 소속 줄이 없으면 그 답안은 상한까지만 증명한 답안으로 읽힌다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] max$\cdot$min의 두 조각 정의, 부등식 번역표(4칸), "$\max = c$" 2부 서식, max와 sup의 차이를 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의 16.1, §1.3의 표, §1.4의 네 걸음, 정의 16.2가 그대로 답이다. 통째로 외우기보다 "max를 위에서 누르는 것과 min을 아래서 받치는 것은 전원 검사"라는 한 문장에서 나머지 세 칸을 재구성하는 쪽이 재현률이 높다. ::: **2.** 다음 부등식을 양화사로 번역하고 기법(선택/구성)을 지정하시오. (a) $\min S \ge 2$ (b) $\max S \ge 10$ (c) $\max S \le 7$ (d) $\min S \le 3$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 네 칸을 외워서 고르지 말고, 각 명제에서 "전원을 검사해야 하는가, 하나만 찾으면 되는가"를 그 자리에서 되물어 본다. §1.2의 유한집합 $\{1,3,5,7\}$에 대입해 보면 어느 쪽인지 곧바로 갈린다. ::: **3.** 예제 2.1을 백지 재현하시오 — 두 조각 라벨. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 네 줄이다. 소속 한 줄, 선택법 개시 한 줄, 제곱 벗기기 한 줄, 종합 한 줄. 셋째 줄에서 인용하는 부품이 무엇이었는지만 기억하면 나머지는 복원된다. ::: **4.** 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 1은 예제 2.1의 숫자만 바뀐 것, 훈련 2는 부등호 방향이 뒤집힌 것, 훈련 3은 소속 조각이 최소성 조각으로 교체된 것이다. 세 훈련이 §1.6 판정법 표의 첫째$\cdot$첫째$\cdot$ 다섯째 줄에 각각 대응한다. ::: **5.** 예제 2.3의 두 답안을 재현하고 병명(소속 누락 / 번역 오류)을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 병명만 적고 끝내지 않는다. 각 답안에 대해 "그 답안이 실제로 증명한 명제는 무엇인가"를 한 줄로 적으면 병의 크기가 드러난다 — 답안 1은 참인 명제를 증명했고, 답안 2는 목표보다 강한 명제를 증명하려 했다. ::: **6.** $S = \{1, 3, 5, 7\}$에 대해 $\max S = 7$을 두 조각 서식으로 증명하시오 (유한집합이라 소속$\cdot$지배가 직접 확인되므로 서식 연습이다). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 유한집합에서는 선택법의 "임의의 $x$"가 네 개의 이름으로 대체된다 — 원소를 나열해 각각 검사하는 것이 곧 $\forall$의 증명이다. 그래도 라벨과 종합 줄은 그대로 적는다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 5x + 6 \le 0\}$의 최댓값과 최솟값을 구하고 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 먼저 집합을 푼다: $(x-2)(x-3) \le 0$의 부호를 S15주차의 경우법으로 판정하면 $S = [2, 3]$이다. 그다음은 두 번의 2부 서식이고, 소속 줄은 각각 한 줄로 끝난다. ::: **8.** "$c$가 $S$의 상계이고 $c \in S$이면 $c = \max S$"임을 증명하시오. 이후 max 증명의 근거로 인용할 수 있는 형태로 적으시오. :::{admonition} 다음 문제들이 쓰는 도구 — 아르키메데스 성질 :class: quotebox 문제 9(c)$\cdot$14$\cdot$15와 훈련 3은 다음 사실을 쓴다. **임의의 양의 실수 $\varepsilon$에 대해 $\frac1n < \varepsilon$인 자연수 $n$이 존재한다.** 이것을 아르키메데스 성질이라 하고, S5주차 문제 14에서 증인 $n = \lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1$을 제작해 이미 증명했으므로 근거 ④로 인용한다. 쓰는 자리는 언제나 같다 — "$c'$이 $c$보다 작다"에서 얻은 양수 $c - c'$을 $\varepsilon$ 자리에 넣어, 그 간격보다 작은 $\frac1n$을 확보하는 자리다. ::: **9.** $S = \{2 - \frac1n : n \in \mathbb{N}\}$에 대해: (a) 2가 상계임을 증명하시오. (b) $2$가 $S$의 원소가 아님을 증명하시오. (c) 따라서 max는 없고 $\sup S = 2$임을 논하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 선택법 한 줄, (b)는 "$2 = 2 - \frac1n$이면 $\frac1n = 0$"이라는 충돌 한 줄이다. (c)에서 max가 없다는 결론은 (b)와 보조 명제 16.A의 대우로 한 줄이 되고, 남은 일은 최소성 조각뿐이다. ::: **10.** 다음 답안을 진단하시오. :::{container} quotebox "명제: $S = \{x \in \mathbb{R} : x \le 5\}$의 최댓값은 5이다. 증명: $5 \in S$ ($5 \le 5$)이고, 임의의 $x \in S$는 $x \le 5$이므로 5는 상계다. 따라서 $\max S = 5$이다." ::: 이 답안은 사실 옳다 — 왜 옳은지(닫힌 반직선이라 5가 달성된다) 확인하고, 만약 $S = \{x : x < 5\}$였다면 어디가 무너지는지 지적하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 먼저 명제의 참$\cdot$거짓부터 판정한다 — 조건의 부등호가 $\le$인지 $<$인지가 걸음 ②의 성패를 정하고, 걸음 ③(상계)은 두 경우에 글자까지 같다. ::: **11.** 상계의 특수화 활용: $M$이 $S$의 상계이고 $a \in S$이면 $a \le M$임을 보이고, 이를 이용해 "$7 \in S$이고 $M$이 상계이면 $M \ge 7$"을 유도하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 상계는 가정 쪽의 $\forall$ 문장이므로 §1.6 마지막 줄, S7주차의 특수화다. 세 걸음을 라벨한다 — 값 지정, 자격 검증, 사실 수령. S7주차 문제 8이 같은 작업을 상계 맥락에서 한 번 했다. ::: **12.** 두 집합의 max: 최댓값이 존재하는 집합 $A, B$에 대해 $\max(A \cup B) = \max\{\max A, \max B\}$임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 우변을 $M$이라는 이름으로 두고 시작하면 목표가 "$M = \max(A \cup B)$"라는 익숙한 모양이 된다. 그러면 할 일은 두 조각뿐이고, 지배 조각은 $x \in A$인지 $x \in B$인지로 갈리는 경우법(S15주차)이다. 마지막 줄은 문제 8을 인용하면 한 줄이다. ::: **13.** min의 하계 번역: $S = \{n^2 - 4n + 7 : n \in \mathbb{Z}\}$에 대해 $\min S = 3$임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 하계 조각에서 손에 든 것은 $x = n^2 - 4n + 7$이라는 등식 하나다. 이 이차식을 완전제곱으로 정리하면 (W1)이 곧바로 붙는다. 소속 조각은 그 완전제곱이 0이 되는 $n$을 찾아 대입하는 한 줄이고, $n$이 정수 범위 안에 있는지 확인해야 한다. ::: **14.** 상한의 최소성 조각: $\sup(0, 1) = 1$을 완전히 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 조각 ①은 한 줄이다. 조각 ②는 "$c' < 1$인 $c'$을 임의로 잡자"로 시작해 $c'$보다 큰 $(0,1)$의 원소를 만들어야 하는데, $c'$이 음수일 수도 있으므로 두 수 사이의 평균 $\frac{c'+1}{2}$이 0보다 큰지가 자동으로 보장되지 않는다 — 거기서 경우를 나눈다. ::: ### 도전 ●●● **15.** $S = \{\frac{3n+1}{n+1} : n \in \mathbb{N}\}$의 상한을 구하고 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 분자를 분모의 배수로 쪼개는 변형이 먼저다: $\frac{3(n+1) - 2}{n+1}$. 그러면 각 항이 $3$에서 무엇을 뺀 값인지 보이고, 상계 조각과 최소성 조각이 모두 그 뺀 값 하나로 처리된다. max가 없다는 결론은 문제 9(c)와 같은 한 줄이다. ::: **16.** min과 정렬성: 공집합이 아닌 자연수 부분집합 $S \subseteq \mathbb{N}$은 항상 최솟값을 가짐을 논하시오. 이것이 실수 부분집합과 다른 점을 대조하고, "정수$\cdot$자연수는 min이 보장되나 실수는 아니다"가 왜 귀납$\cdot$정수론의 토대인지 두 문장으로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 앞부분은 1권 33주차의 최소원리를 인용하는 것이 전부이고, 인용 전에 적용 전제 (공집합이 아님, 무대가 자연수)를 확인하는 줄이 필요하다. 대조 사례는 예제 2.2와 S11주차 문제 10에 이미 있다. 마지막 두 문장은 "이산 쪽에는 최소원리, 연속 쪽에는 완비성"이라는 대응으로 정리한다. ::: **17.** 최댓값의 유일성 재확인과 활용: $S$의 최댓값이 존재하면 유일함을 다시 증명하고, 이를 근거로 "$\max S$"라는 표기가 정당함을 논하시오. 이어서 $\max\{a, b, c\}$를 $\max\{\max\{a,b\}, c\}$로 계산하는 것이 정당한 이유를 문제 12로 뒷받침하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 유일성은 S13주차 얼굴 1이다 — 두 최댓값 $M_1, M_2$를 잡고 서로에게 조각 ①과 ②를 교차로 적용하면 두 부등식이 나온다. 뒷부분은 $\{a,b,c\}$를 두 집합의 합집합으로 보는 것이 전부이고, 문제 12를 $A = \{a, b\}$, $B = \{c\}$에 적용한다. ::: :::{admonition} 다음 문제가 쓰는 도구 — 실수의 완비성 공리 :class: quotebox 문제 18은 다음 사실을 쓴다. **공집합이 아니고 위로 유계인 실수 부분집합은 반드시 상한을 가진다.** 이것을 실수의 완비성 공리라 한다. 증명하는 정리가 아니라 실수 체계에 얹는 약속이며(유리수 전체에서는 거짓이다 — $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$에는 유리수 상한이 없다), 이번 주에는 인정하고 쓴다. 이 과정에서는 끝까지 인정하고 쓰며, 공리로 세워 그 귀결들을 정리로 증명하는 자리는 해석학 교재의 첫 장이다. ::: **18.** (sup의 위력) 완비성 공리를 인용해 "위로 유계인 증가수열은 수렴한다"의 증명 스케치를 작성하시오. 1권 46주차가 **단조수렴정리**라는 이름으로 증명 없이 인정하고 쓴 사실이며, 이번에는 상한의 두 조각으로 실제 증명을 세운다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 수렴의 정의는 1권 45주차 정의 45.1이다 — 목표가 $\forall$$\varepsilon$$\exists$N$\forall$n 구조이므로 S8주차의 바깥부터 벗기기가 그대로 적용된다. $N$을 만드는 재료는 단 하나, 상한의 최소성 조각뿐이다: $L - \varepsilon$은 상계가 아니므로 그것을 넘는 항이 존재한다. ::: **19.** (설계) $S = \{x \in \mathbb{R} : x^3 \le x\}$의 구조를 분석하시오 — 이 집합은 유계인가, max/min이 있는가. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 집합을 푸는 것이 절반이다: $x^3 - x = x(x-1)(x+1) \le 0$의 부호를 네 구간에서 판정한다 (S15주차 경우법). 아래로 유계가 아님을 보이려면 "임의의 후보 하계 $c$에 대해 그보다 작은 원소가 존재한다"를 구성해야 하고, 증인을 $c$로 만든 식으로 적는 것이 요령이다. ::: **20.** (서술) (a) "max$\cdot$min은 숨은 양화사 덩어리"를 번역표로 뒷받침하고, 그 덕에 이번 주에 새 기법이 없었음(S5~S8주차 재사용)을 세 문장 이내로 쓰시오. (b) max와 sup의 차이(달성 대 최소상계)를 예제 2.1(max 존재)과 예제 2.3 답안 1(max 없음, sup만)의 대비로 두 문장 이내로 설명하고, "소속 조각의 유무"가 그 경계임을 밝히시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 번역표 네 줄을 먼저 적고 그 귀결로 "새 기법 없음"을 잇는다. (b)는 예제 2.1과 예제 2.3 답안 1의 상계 조각이 글자까지 같다는 관찰에서 출발한다 — 달라지는 것은 소속 조각 하나뿐이다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 **이번 주의 5일 루틴.** 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | 원서 Solow 14장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) | | 2일차 | 교안 §0~§3 — 개념$\cdot$예제$\cdot$빈칸 사다리. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 | | 3일차 | 원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 14장의 연습문제 몇 개를 직접 시도 | | 4일차 | 교안 연습문제 20문항(§4) | | 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 | 3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 14장은 최대/최소법을 앞 장들의 응용으로 빠르게 지나가므로, §1.3의 번역표를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서 예제의 각 줄이 네 칸 중 어느 칸의 문장인지 짚을 수 있다. **1차 시도 — 틀 카드 허용.** 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 정의 16.1, 번역표(§1.3), 2부 서식의 네 걸음(§1.4). 그 상태에서 예제 2.1을 판정부터 종합 문장까지 적고, 이어서 예제 2.2의 하계 부분을 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다. **2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 정의 16.1의 두 조각을 max$\cdot$min 양쪽으로 썼고, 각 조각이 어느 양화사인지 적었다. - [ ] 번역표 네 칸을 재현하고, 첫째 줄과 둘째 줄을 정의에서 유도했다(확인 5). - [ ] "$\max S = c$"의 2부 서식 네 걸음을 쓰고, 걸음 ②를 지웠을 때 무너지는 사례를 하나 들었다. - [ ] 예제 2.1을 처음부터 끝까지 재현하고, 소속 줄과 상계 줄을 손가락으로 짚었다. - [ ] 예제 2.2를 재현하고, 0이 하계이지만 최솟값이 아닌 이유를 조각 이름으로 말했다. - [ ] 정의 16.2(상한)의 두 조각을 쓰고, 최소성 조각이 $\forall$$\exists$ 겹구조임을 지적했다. - [ ] 보조 명제 16.A와 그 대우를 쓰고, 대우가 "최댓값이 없다"의 증명을 어떻게 줄이는지 적었다. - [ ] 예제 2.3의 두 병(소속 누락 / 번역 오류)을 재현하고, 각 답안이 실제로 증명한 명제를 적었다. - [ ] 원서 14장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 첫 문장이 나오지 않는다 | §1.6 판정법 표 — 명사를 펴기 전에는 기법이 붙지 않는다. 겉모양부터 분류한다 | | $\forall$인지 $\exists$인지 헷갈린다 | §1.2의 유한집합 $\{1,3,5,7\}$에 대입해 "전원 검사인가 하나 찾기인가"를 손으로 확인한다 | | 상계는 증명했는데 그다음이 없다 | §1.4 걸음 ② — 소속 줄이 빠졌다. 그 줄이 채워지지 않으면 명제가 거짓일 수 있다 | | 최댓값이 없음을 어떻게 적는지 모르겠다 | 보조 명제 16.A의 대우 — 상한을 먼저 구하고 그것이 집합 밖임을 보인다 | | 최소성 조각에서 증인이 안 만들어진다 | §1.5 확인 8 — 증인은 $c'$을 재료로 만든다. 두 수 사이의 평균과 아르키메데스 성질이 표준 부품이다 | | 가정에 있는 상계를 못 쓰겠다 | §1.6 마지막 줄 — 가정의 $\forall$는 재료다. 관심 원소에 특수화한다(S7주차) | | 집합 자체가 안 풀린다 | 부호 판정은 S15주차의 경우법이다. 집합을 구간으로 푸는 것이 언제나 첫 작업이다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) 2 (2) $4$ (3) $2$ (4) 선택 (5) 모순 (6) 부재 (없음) (7) ②(소속) ※ (7)이 이 훈련의 요점이다. 강부등호로 바뀌면 상계 조각은 그대로 살아남고 소속 조각만 무너진다 — 그래서 최댓값은 사라지지만 상한은 여전히 2다(예제 2.3 답안 1과 같은 구조). S4주차 문제 18(a)에서 두 과녁으로 풀었던 바로 그 집합이고, 변형 점검은 같은 문제 (b)다 — 그때 손으로 하던 판정이 여기서 서식이 된다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 각각 (또는 나눠) (2) $1$ (3) 구성 (4) (W3) — 양수 $2$를 곱해도 부등호 방향이 유지된다 (5) $3$ (6) (W2) — 양변에 같은 수를 더해도 부등호가 유지된다 (7) 정의 16.1 (8) 부재 — 임의의 원소 $2n+1$에 대해 $2(n+1)+1$이 $S$의 더 큰 원소이므로 지배 조각을 만족하는 원소가 없다. ※ 하계 조각에서 (W3)과 (W2)를 각각 한 번씩 쓴다는 것이 이 훈련의 목적이다. 부등식을 "당연하다"로 넘기지 않고 근거 이름을 붙이는 연습이며, 1권 16주차의 여섯 성질이 이번 주 계산의 거의 전부를 감당한다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 겉모양이 $\sup S = c$이므로 §1.6 다섯째 줄이고, 조각은 둘이다 — 상계($\forall$)와 최소성($\forall$$\exists$). (2) "임의의 $x \in S$를 잡자. $S$의 정의에 의해 $x = -\frac1n$인 자연수 $n$이 존재한다. $n \ge 1 > 0$이므로 $\frac1n > 0$이고 (W5), 따라서 $x = -\frac1n < 0 \le 0$이다. 곧 0은 $S$의 상계다." (3) "$c' < 0$인 실수 $c'$을 임의로 잡자. $c'$이 상계가 아님을, 곧 $x > c'$인 $x \in S$가 존재함을 보인다." (4) "$-c' > 0$이므로 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14)에 의해 $\frac1n < -c'$인 자연수 $n$이 존재한다. 그 $n$으로 $x = -\frac1n$을 만들면 $x \in S$이고(자격 ✓), $\frac1n < -c'$의 양변에 $-1$을 곱해 방향을 뒤집으면 $-\frac1n > c'$, 곧 $x > c'$이다(자격 ✓)." (5) "두 조각이 모두 성립하므로 정의 16.2에 의해 $\sup S = 0$이다. 한편 $0 \notin S$이므로 ($-\frac1n = 0$인 자연수는 없다) 보조 명제 16.A의 대우에 의해 $\max S$는 존재하지 않는다." ※ 최소성 조각의 골격은 언제나 같다 — 간격 $c - c'$을 양수로 확보하고, 아르키메데스로 그 간격보다 작은 $\frac1n$을 얻고, 그것으로 증인을 만든다. 문제 14$\cdot$15가 같은 골격이다. ### 문제 1 **접근.** 네 덩어리를 재생하는 문제이므로, 외운 문장을 옮기기보다 각 덩어리가 무엇을 막아 주는지 한 줄씩 덧붙이며 적는 쪽이 재현률이 높다. 정의 16.1은 이름의 요구 조건을, 번역표는 기법 선택을, 2부 서식은 답안의 배치를, sup과의 차이는 "달성"이라는 요구의 유무를 각각 맡는다. **풀이.** **① 두 조각 정의.** $M = \max S$란 ① $M \in S$ ② 모든 $x \in S$에 대해 $x \le M$. $m = \min S$란 ① $m \in S$ ② 모든 $x \in S$에 대해 $m \le x$. 조각 ①을 지우면 상계가 전부 최댓값이 되고, 조각 ②를 지우면 원소가 전부 최댓값이 된다. **② 번역표.** $\max S \le c$는 $\forall x \in S: x \le c$(선택법), $\max S \ge c$는 $\exists x \in S: x \ge c$(구성법), $\min S \ge c$는 $\forall x \in S: x \ge c$(선택법), $\min S \le c$는 $\exists x \in S: x \le c$(구성법). 한 줄 요약은 "max를 누르는 것과 min을 받치는 것이 전원 검사"다. **③ 2부 서식.** ① 후보 지목 $\to$ ② 소속 검증 $\to$ ③ 상계(또는 하계) 증명 $\to$ ④ 정의로 회수. 걸음 ②가 없으면 상한까지만 증명한 답안이 된다. **④ max와 sup의 차이.** max는 "상계 + 소속", sup은 "상계 + 최소성"이다. max는 반드시 집합 안에 있어야 하지만 sup은 밖일 수 있고($\sup(0,1) = 1 \notin (0,1)$), max가 존재하면 둘은 일치한다(보조 명제 16.A). **복기.** 네 덩어리 중 실전에서 가장 먼저 쓰이는 것은 ②다. 명제를 양화사로 펴지 못하면 ①의 조각도, ③의 걸음도 배치할 자리가 정해지지 않기 때문이다. 백지에서도 ② $\to$ ① $\to$ ③ $\to$ ④의 순서로 적으면 앞의 것이 뒤의 것을 불러 준다. ### 문제 2 **접근.** 네 칸을 기계적으로 대조하지 말고, 각 명제마다 "이것을 확인하려면 손으로 무엇을 해야 하는가"를 되묻는다. 전원을 훑어야 하면 $\forall$이고 선택법, 하나만 찾으면 되면 $\exists$이고 구성법이다. §1.2의 유한집합에 대입해 보면 그 자리에서 갈린다. **풀이.** (a) $\min S \ge 2$ $\to$ $\forall x \in S:\ x \ge 2$ — 2가 하계라는 뜻이고 **선택법**. 첫 문장은 "임의의 $x \in S$를 잡자". (b) $\max S \ge 10$ $\to$ $\exists x \in S:\ x \ge 10$ — **구성법**. 첫 문장은 증인 제시이고, 이어서 "그 증인이 $S$의 원소인가"와 "10 이상인가" 두 줄의 자격 검증이 붙는다. (c) $\max S \le 7$ $\to$ $\forall x \in S:\ x \le 7$ — 7이 상계라는 뜻이고 **선택법**. (d) $\min S \le 3$ $\to$ $\exists x \in S:\ x \le 3$ — **구성법**. **검산.** $S = \{1, 3, 5, 7\}$에 대입하면 (a) 거짓($1 < 2$), (b) 거짓(10 이상인 원소 없음), (c) 참, (d) 참이다. 번역이 맞다면 번역문의 참$\cdot$거짓도 원문과 일치해야 한다 — 번역표를 잘못 쓰면 이 검산에서 곧바로 어긋난다. ### 문제 3 **접근.** 재현 문제이므로 계산보다 배치를 먼저 복원한다. 라벨 두 개(소속$\cdot$상계)를 먼저 적어 놓고 그 아래를 채우면, 어느 줄이 비었는지가 눈에 보인다. **풀이.** **(소속)** $3^2 = 9 \le 9$이므로 $3 \in S$이다. **(상계)** 임의의 $x \in S$를 잡자. 가정에 의해 $x^2 \le 9$이다. 만약 $x > 3$이라면 $0 \le 3 < x$이므로 1권 16주차 문제 11에 의해 $9 < x^2$인데, 이는 $x^2 \le 9$와 모순이다. 따라서 $x \le 3$이다. **(종합)** $3 \in S$이고 모든 $x \in S$에 대해 $x \le 3$이므로, 정의 16.1에 의해 $\max S = 3$이다. $\blacksquare$ **복기.** 채점자가 먼저 찾는 것은 계산이 아니라 라벨 두 개와 마지막 회수 줄이다. 세 자리가 모두 있으면 가운데 계산이 다소 거칠어도 구조는 통과하고, 라벨이 없으면 계산이 완벽해도 무엇을 증명했는지가 답안에 적혀 있지 않은 상태가 된다. ### 문제 4 **접근.** 훈련마다 지지대가 다르므로 재현의 초점도 다르다. 훈련 1은 서식의 순서, 훈련 2는 근거 이름((W2)(W3)), 훈련 3은 최소성 조각의 골격이다. **풀이.** 위의 "빈칸 사다리 — 훈련 1~3" 항목을 답으로 삼아 대조 자가 채점한다. 채점 기준을 하나만 둔다면 다음이다 — 훈련 1에서 (7)을 "②(소속)"라고 적었는가, 훈련 2에서 부등식 두 줄에 근거 이름을 붙였는가, 훈련 3의 (4)에서 아르키메데스 성질을 **어느 양수에 적용했는지**($-c'$에 적용했다) 명시했는가. **복기.** 세 훈련은 같은 뼈대의 세 변주다. 훈련 1과 2는 조각이 소속$\cdot$지배로 같고 부등호만 뒤집혔으며, 훈련 3에서 소속 조각이 최소성 조각으로 교체되면서 $\exists$가 $\forall$$\exists$로 한 겹 깊어진다. 그 한 겹이 max와 sup의 난이도 차이 전부다. ### 문제 5 **접근.** 병명을 적는 것으로 끝내면 진단이 아니다. 각 답안에 대해 ㄱ. 어느 조각이 비었거나 잘못 골라졌는가 ㄴ. 그 답안이 실제로 증명한 명제는 무엇인가 ㄷ. 어떻게 고치면 참인 답안이 되는가, 세 가지를 적는다. **풀이.** **답안 1 — 소속 누락.** 조각 ①($1 \in S$)이 비어 있고, 조건 $x < 1$ 때문에 채울 수도 없다. 실제로 증명된 명제는 "1은 $S$의 상계이다"이고 이것은 참이다. 원래 명제 "$\max S = 1$"은 거짓이다 — $\sup S = 1$이고 $1 \notin S$이므로 보조 명제 16.A의 대우에 의해 최댓값이 없다. 수리하려면 주장을 $\sup S = 1$로 낮추고 최소성 조각을 추가하거나, 집합의 조건을 $0 \le x \le 1$로 바꾼다. **답안 2 — 번역 오류.** "$\max S \ge 5$"는 번역표 둘째 줄이라 $\exists$(구성법)인데, 답안은 셋째 줄의 처리인 $\forall$(선택법)를 붙였다. 답안이 세우려는 "$\forall x \in S: x \ge 5$"는 "$\min S \ge 5$"의 번역이며 원래 목표보다 강한 명제다 — $S = [0, 9]$에서 원래 목표는 참이지만 답안의 목표는 거짓이다. 수리하려면 $x_0 \in S$이면서 $x_0 \ge 5$인 원소 하나를 제시하고 자격 두 줄을 검증한다. **복기.** 두 병 모두 계산이 아니라 번역에서 났고, 그래서 계산을 다시 해도 발견되지 않는다. 답안 검사의 첫 물음을 "max인가 min인가, 부등호는 어느 쪽인가"로 고정해 두면 두 병이 같은 자리에서 걸린다. ### 문제 6 **접근.** 유한집합에서는 $\forall$ 문장의 증명이 원소를 나열해 각각 검사하는 것으로 대체된다. 계산은 눈으로 끝나지만, 이 문제의 목적은 답이 아니라 **라벨과 회수 줄을 습관으로 만드는 것**이므로 서식을 그대로 적는다. **풀이.** **(소속)** $S = \{1, 3, 5, 7\}$의 나열에 $7$이 들어 있으므로 $7 \in S$이다. **(지배)** 임의의 $x \in S$를 잡자. $S$가 유한집합이므로 $x$는 $1, 3, 5, 7$ 중 하나이고, $1 \le 7$, $3 \le 7$, $5 \le 7$, $7 \le 7$이므로 어느 경우든 $x \le 7$이다. **(종합)** 두 조각이 성립하므로 정의 16.1에 의해 $\max S = 7$이다. $\blacksquare$ **복기.** 지배 조각의 네 줄은 사실 S15주차의 경우법이다 — 분할은 원소 나열이 주고, 전수성은 "$S$가 이 네 원소로만 이루어졌다"는 조건제시법 대신의 원소나열법이 보증한다. 유한집합에서 $\forall$가 쉬운 이유는 케이스가 유한하기 때문이지 $\forall$가 사라져서가 아니다. ### 문제 7 **접근.** 집합이 조건으로만 주어졌으므로 첫 작업은 언제나 집합을 푸는 것이다. 이차부등식은 인수분해한 뒤 각 인수의 부호로 경우를 나눈다(S15주차). 집합이 구간으로 풀리면 그다음은 2부 서식을 두 번 반복하는 일이고, 소속 줄은 각각 대입 한 줄로 끝난다. **풀이.** 먼저 집합을 푼다. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$이므로 조건은 $(x-2)(x-3) \le 0$이다. 두 인수의 부호로 나누면: $x < 2$일 때 두 인수가 모두 음수라 곱은 양수이므로 조건 불만족, $2 \le x \le 3$일 때 $x - 2 \ge 0$이고 $x - 3 \le 0$이라 곱은 0 이하이므로 만족, $x > 3$일 때 두 인수가 모두 양수라 불만족이다. 세 경우가 실수 전체를 덮으므로 $S = \{x \in \mathbb{R} : 2 \le x \le 3\}$이다. **최댓값.** (소속) $2 \le 3 \le 3$이므로 $3 \in S$이다. (상계) 임의의 $x \in S$에 대해 $S$의 조건이 곧바로 $x \le 3$을 준다. (종합) 정의 16.1에 의해 $\max S = 3$이다. **최솟값.** (소속) $2 \le 2 \le 3$이므로 $2 \in S$이다. (하계) 임의의 $x \in S$에 대해 조건이 $x \ge 2$를 준다. (종합) 정의 16.1에 의해 $\min S = 2$이다. $\blacksquare$ **복기.** 집합을 구간으로 푸는 순간 두 조각이 모두 한 줄이 되었다. **이번 주 문제의 난이도는 max$\cdot$min 쪽이 아니라 집합을 푸는 쪽에 있다** — 문제 19가 그 극단이다. ### 문제 8 **접근.** 증명할 것이 정의의 두 조각을 그대로 확인하는 일이므로, 가정을 조각 이름으로 번역하고 정의에 대입하면 끝난다. 다만 이 문제의 목적은 결과를 **인용 가능한 정리로 승격시키는 것**이므로, 진술과 근거를 답안 끝에 정리해 둔다. **풀이.** $c$가 $S$의 상계이고 $c \in S$라 하자. 정의 16.1의 두 조각을 확인한다. ① (소속) $c \in S$ — 가정에 그대로 있다. ② (지배) $c$가 상계라는 것은 정의상 "모든 $x \in S$에 대해 $x \le c$"이므로 조각 ②가 곧 가정이다. 두 조각이 모두 충족되므로 정의 16.1에 의해 $c = \max S$이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 명제는 이후 모든 max 답안의 마지막 줄을 한 줄로 줄여 준다 — "$c$는 상계이고 $c \in S$이므로 문제 8에 의해 $\max S = c$". 문제 6$\cdot$7이 암묵적으로 쓴 것이 이것이고, 문제 12는 명시적으로 인용한다. 부등호를 뒤집으면 하계판도 같은 증명으로 성립한다. ### 문제 9 **접근.** (a)는 $\forall$이므로 선택법, (b)는 부정형이므로 귀류 한 줄, (c)는 (b)와 보조 명제 16.A의 대우로 max 부재를 얻은 뒤 최소성 조각만 남기는 구조다. 세 소문항이 그대로 "상계 $\to$ 소속 부정 $\to$ 최소성"이라는 상한 증명의 표준 순서다. **풀이.** **(a)** 임의의 $x \in S$를 잡자. $x = 2 - \frac1n$인 자연수 $n$이 존재한다. $n \ge 1 > 0$이므로 $\frac1n > 0$이고 (W5), 따라서 $x = 2 - \frac1n < 2$이다. 특히 $x \le 2$이므로 2는 $S$의 상계다. $\blacksquare$ **(b)** $2 \in S$라 하자. 그러면 $2 = 2 - \frac1n$인 자연수 $n$이 존재하고, 양변에서 2를 빼면 $\frac1n = 0$이다. 그런데 (a)에서 본 대로 모든 자연수 $n$에 대해 $\frac1n > 0$이므로 이는 모순이다. 따라서 $2 \notin S$이다. $\blacksquare$ **(c)** 먼저 max가 없음을 보인다. 만약 $\max S$가 존재한다면 보조 명제 16.A에 의해 $\max S = \sup S$이고, 아래에서 보이듯 $\sup S = 2$이므로 $2 = \max S \in S$가 되어 (b)와 모순이다. 따라서 최댓값은 존재하지 않는다. 이제 $\sup S = 2$를 보인다. 조각 ①(상계)은 (a)다. 조각 ②(최소성): $c' < 2$인 $c'$을 임의로 잡자. $2 - c' > 0$이므로 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14)에 의해 $\frac1n < 2 - c'$인 자연수 $n$이 존재한다. 그 $n$으로 만든 원소 $x = 2 - \frac1n$은 $S$의 원소이고(자격 ✓), 부등식의 양변을 정리하면 $x = 2 - \frac1n > 2 - (2 - c') = c'$이다(자격 ✓). 곧 $c'$은 상계가 아니다. 두 조각이 성립하므로 정의 16.2에 의해 $\sup S = 2$이다. $\blacksquare$ **복기.** (c)의 골격은 이후 문제 14$\cdot$15와 훈련 3에서 그대로 반복된다 — 간격을 양수로 확보하고, 아르키메데스로 그 간격보다 작은 $\frac1n$을 얻고, 그것으로 증인을 만든다. S4주차 문제 18(b)에서 후보 $M$마다 따로 무너뜨리던 작업이 여기서 "sup을 구하고 소속을 부정한다"는 두 걸음으로 정리된 것도 함께 확인해 둔다. ### 문제 10 **접근.** 함정 문제이므로 먼저 명제 자체의 참$\cdot$거짓을 판정한다. 그다음 답안의 각 줄이 서식의 어느 걸음인지 대조하면, 빠진 걸음이 없다는 것이 확인된다. 마지막으로 조건을 $x < 5$로 바꿔 같은 대조를 되풀이하면 어느 걸음이 채워지지 않는지가 드러난다. **풀이.** **이 답안은 옳다.** $S = \{x \in \mathbb{R} : x \le 5\}$의 조건이 등호를 포함하므로 $5 \le 5$가 참이고 따라서 $5 \in S$ — 걸음 ②가 채워진다. 임의의 $x \in S$는 조건 그대로 $x \le 5$이므로 걸음 ③도 채워지고, 마지막 줄이 정의 16.1로 이름을 회수한다. 집합이 위로 무한하지 않다는 점(오른쪽 끝이 닫혀 있다)이 이 답안을 살린다. $S = \{x \in \mathbb{R} : x < 5\}$였다면 걸음 ③(상계)은 그대로 살아남는다 — $x < 5$에서 $x \le 5$가 따라 나온다. 무너지는 것은 **걸음 ②**다. $5 < 5$가 거짓이므로 $5 \notin S$이고, $\sup S = 5$이지만 그것이 집합 밖이므로 보조 명제 16.A의 대우에 의해 최댓값은 존재하지 않는다. $\blacksquare$ **복기.** 부등호 하나($\le$ 대 $<$)가 최댓값의 존재를 가른다. 그리고 그 하나가 건드리는 것은 언제나 걸음 ②뿐이다 — 상계 조각은 두 경우에 글자까지 같다. 훈련 1의 (7), 예제 2.3 답안 1, 이 문제가 같은 사실의 세 얼굴이다. ### 문제 11 **접근.** 상계가 **가정 쪽**에 있으므로 §1.6 마지막 줄이고, S7주차의 특수화다. 특수화는 세 걸음으로 적는다 — 값 지정, 자격 검증, 사실 수령. **풀이.** $M$이 $S$의 상계이고 $a \in S$라 하자. 상계의 정의를 펴면 가정에 든 것은 $\forall$ 문장이다: "모든 $x \in S$에 대해 $x \le M$". 이 문장의 $x$ 자리에 $a$를 넣기로 정한다 [값 지정]. $a$는 이 문장이 요구하는 자격 "$S$의 원소"를 가정에서 그대로 가지고 있다 [자격 검증]. 그러므로 $a \le M$이라는 개별 문장을 얻는다 [사실 수령]. $\blacksquare$ 이제 $7 \in S$이고 $M$이 상계라 하자. 방금 증명한 것에 $a = 7$을 적용하면 $7 \le M$이고, 이는 $M \ge 7$과 같은 문장이다. $\blacksquare$ **복기.** 결론 쪽의 상계는 선택법으로 **만들어야 할 것**이고, 가정 쪽의 상계는 특수화로 **써먹을 것**이다. 같은 낱말이 위치에 따라 정반대의 작업을 부른다는 것이 S6~S7주차의 원리이고, 이번 주는 그 원리가 상계$\cdot$하계라는 새 소재에서 반복되는 자리다. S7주차 문제 8이 같은 작업을 한 번 했다. ### 문제 12 **접근.** 목표의 우변을 $M$이라는 이름으로 먼저 두면 목표가 "$M = \max(A \cup B)$"라는 익숙한 모양이 되고, 할 일은 두 조각뿐이다. 소속 조각은 $M$이 $\max A$ 또는 $\max B$ 자신이라는 데서 나오고, 지배 조각은 $x$가 어느 집합에서 왔는지로 갈리는 경우법이다. **풀이.** $M_A = \max A$, $M_B = \max B$라 하고 $M = \max\{M_A, M_B\}$로 두자. **(소속)** $M$은 $M_A$이거나 $M_B$이다. $M = M_A$이면 정의 16.1의 조각 ①에 의해 $M_A \in A \subseteq A \cup B$이고, $M = M_B$이면 같은 이유로 $M_B \in B \subseteq A \cup B$다. 어느 경우든 $M \in A \cup B$이다 [경우법 — 두 경우가 전체를 덮는다]. **(상계)** 임의의 $x \in A \cup B$를 잡자. 합집합의 정의에 의해 $x \in A$이거나 $x \in B$이다 [가정 쪽의 $\lor$ — 경우법, S15주차]. $x \in A$이면 조각 ②에 의해 $x \le M_A$이고, $M_A \le M$이므로 추이성 (W6)으로 $x \le M$이다. $x \in B$이면 같은 방식으로 $x \le M_B \le M$이다. 두 경우가 $A \cup B$ 전체를 덮으므로 모든 $x \in A \cup B$에 대해 $x \le M$이다. **(종합)** $M$은 $A \cup B$의 상계이고 $M \in A \cup B$이므로, 문제 8에 의해 $\max(A \cup B) = M = \max\{\max A, \max B\}$이다. $\blacksquare$ **검산.** $A = \{1, 4\}$, $B = \{2, 7\}$로 확인하면 좌변은 $\max\{1,2,4,7\} = 7$, 우변은 $\max\{4, 7\} = 7$로 일치한다. $A$와 $B$가 겹쳐도($A = B$) 양변이 같다. **복기.** 두 도구가 협업한 답안이다 — 바깥은 max의 2부 서식이고, 두 조각의 안쪽이 각각 경우법이다. 도구는 겹쳐 쓰이되 서식은 서로를 침범하지 않는다는 것이 이번 주에 확인할 점이고, 이 결과가 문제 17의 결합성을 떠받친다. ### 문제 13 **접근.** 하계 조각에서 손에 든 것은 원소의 생김새 $x = n^2 - 4n + 7$ 하나뿐이다. 이 식이 어떤 수 이상임을 보이려면 (W1)("제곱은 0 이상")을 부를 수 있는 모양으로 바꿔야 하므로 완전제곱으로 정리한다. 소속 조각은 그 제곱이 0이 되는 $n$을 찾아 대입하는 한 줄이다. **풀이.** **(소속)** $n = 2$로 두면 $n^2 - 4n + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$이고 $2 \in \mathbb{Z}$이므로 $3 \in S$이다 [구성법 — 증인 $n = 2$와 자격 검증]. **(하계)** 임의의 $x \in S$를 잡자. $x = n^2 - 4n + 7$인 정수 $n$이 존재한다. 이 식을 완전제곱으로 정리하면 $$ x = n^2 - 4n + 7 = (n^2 - 4n + 4) + 3 = (n-2)^2 + 3 $$ 이고, (W1)에 의해 $(n-2)^2 \ge 0$이므로 (W2)로 양변에 3을 더하면 $x \ge 3$이다. 곧 3은 $S$의 하계다. **(종합)** $3 \in S$이고 모든 $x \in S$에 대해 $3 \le x$이므로, 정의 16.1에 의해 $\min S = 3$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 조각이 완전제곱 하나에서 동시에 나왔다 — 하계는 $(n-2)^2 \ge 0$에서, 소속은 그 부등식의 **등호가 성립하는 $n$**에서. 1권 16주차가 부등식 증명마다 등호 조건을 함께 밝히라고 요구한 이유가 여기서 드러난다: 등호 조건이 곧 소속 조각의 증인 제작법이다. 정수 $n$이 $2$를 쓸 수 있다는 것이 결정적이며, 무대가 $n \ge 3$인 정수로 제한되었다면 $n = 3$에서 $\min S = 4$가 된다. ### 문제 14 **접근.** 조각 ①은 조건에서 곧바로 나온다. 조각 ②는 $\forall$$\exists$ 겹구조이므로 바깥의 $\forall$를 선택법으로 벗기고("$c' < 1$인 $c'$을 임의로 잡자"), 안쪽의 $\exists$를 구성법으로 채운다. 증인 후보는 $c'$과 1 사이의 평균인데, $c'$이 음수일 수도 있어 그 평균이 0보다 크다는 보장이 없으므로 거기서 경우를 나눈다. **풀이.** $S = (0, 1) = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}$이라 하자. **① 상계.** 임의의 $x \in S$에 대해 $x < 1$이므로 $x \le 1$이다. 곧 1은 $S$의 상계다. **② 최소성.** $c' < 1$인 실수 $c'$을 임의로 잡자. $c'$이 상계가 아님을 보인다. **경우 1 ($c' \le 0$).** $x = \frac12$로 두면 $0 < \frac12 < 1$이므로 $x \in S$이고, $x = \frac12 > 0 \ge c'$이다. **경우 2 ($0 < c' < 1$).** $x = \frac{c' + 1}{2}$로 두자. $c' < 1$이므로 $c' = \frac{c' + c'}{2} < \frac{c' + 1}{2} = x$이고, 또 $x = \frac{c'+1}{2} < \frac{1+1}{2} = 1$이다. 따라서 $0 < c' < x < 1$이므로 $x \in S$이고 $x > c'$이다. 두 경우가 $c' < 1$인 실수 전체를 덮으므로, 어느 경우든 $c'$보다 큰 $S$의 원소가 존재한다 — 곧 $c'$은 상계가 아니다. 두 조각이 성립하므로 정의 16.2에 의해 $\sup(0,1) = 1$이다. $\blacksquare$ **복기.** 증인을 만드는 표준 부품은 두 개다 — 두 수 사이의 **평균**(S8주차$\cdot$S11주차에서 반복해 쓴다)과 아르키메데스 성질(문제 9$\cdot$15). 평균은 실수의 조밀성을 쓰는 부품이고 아르키메데스는 수열형 집합에 쓰는 부품이라, 집합이 구간이면 평균, 집합이 $\frac1n$ 꼴로 나열되면 아르키메데스를 먼저 꺼낸다. 경우를 나눈 이유는 증인 공식의 자격 검증이 $c'$의 부호에 걸렸기 때문이고, 이런 갈림은 증인을 만든 뒤 자격을 검증할 때 비로소 보인다. ### 문제 15 **접근.** 원소의 식이 분수이므로 그대로는 상계도 최소성도 다루기 어렵다. 분자를 분모의 배수로 쪼개 "상수에서 무엇을 뺀 값" 꼴로 바꾸면, 그 뺀 값 하나로 두 조각이 모두 처리된다. 문제 9와 완전히 같은 골격이므로, 거기서 $\frac1n$이 하던 역할을 여기서는 $\frac{2}{n+1}$이 맡는다. **풀이.** 먼저 원소의 식을 변형한다. $$ \frac{3n+1}{n+1} = \frac{3(n+1) - 2}{n+1} = 3 - \frac{2}{n+1} $$ **① 상계(3).** 임의의 $x \in S$를 잡자. $x = 3 - \frac{2}{n+1}$인 자연수 $n$이 존재한다. $n \ge 1$이므로 $n + 1 > 0$이고 (W5)에 의해 $\frac{2}{n+1} > 0$이므로 $x < 3$, 특히 $x \le 3$이다. 곧 3은 상계다. **② 최소성.** $c' < 3$인 실수 $c'$을 임의로 잡자. $3 - c' > 0$이므로 아르키메데스 성질 (S5주차 문제 14)에 의해 $\frac1n < \frac{3 - c'}{2}$인 자연수 $n$이 존재한다. 그 $n$에 대해 $\frac{2}{n+1} < \frac{2}{n} < 3 - c'$이고($n < n+1$이므로 역수가 작아진다), 따라서 그 $n$이 만드는 원소 $x = 3 - \frac{2}{n+1}$은 $S$의 원소이며(자격 ✓) $x > 3 - (3 - c') = c'$이다(자격 ✓). 곧 $c'$은 상계가 아니다. 두 조각이 성립하므로 $\sup S = 3$이다. **max 부재.** $3 \notin S$이다 — $3 = 3 - \frac{2}{n+1}$이면 $\frac{2}{n+1} = 0$이 되어 모순이기 때문이다. 따라서 보조 명제 16.A의 대우에 의해 $\max S$는 존재하지 않는다. $\blacksquare$ **검산.** $n = 1, 2, 3$에서 원소는 $2, \frac73, \frac{5}{2}$이고 전부 3보다 작으면서 $n$이 커질수록 3에 가까워진다. 상계 조각과 최소성 조각이 각각 이 두 관찰에 대응한다. **복기.** 분수 꼴 집합을 만나면 첫 작업은 언제나 "상수 $\pm$ 작아지는 항"으로 쪼개는 변형이다. 그 변형 하나로 상한 후보가 눈에 보이고, 두 조각의 계산이 모두 그 작아지는 항에 대한 부등식으로 환원된다. 예제 2.2와 문제 9가 같은 변형의 더 단순한 형태였다. ### 문제 16 **접근.** 앞부분은 최소원리(1권 33주차)를 인용하는 일이지만, 인용 전에 적용 전제 두 가지 (공집합이 아닐 것, 무대가 자연수일 것)를 확인하는 줄이 필요하다 — 1권 33주차의 조각 삭제 실험이 그 두 조각을 지웠을 때의 붕괴를 보여 준다. 뒷부분은 대조이므로, 실수 쪽에서 최솟값이 없는 사례를 하나 들고 그 이유를 구조로 설명한다. **풀이.** $S \subseteq \mathbb{N}$이 공집합이 아니라 하자. 최소원리(1권 33주차)의 적용 전제는 "공집합이 아닌 자연수의 부분집합"이고 $S$가 그것을 그대로 만족하므로, $S$는 최소원소를 가진다. 최소원소란 $m \in S$이면서 모든 $x \in S$에 대해 $m \le x$인 $m$이므로, 이는 정의 16.1의 두 조각과 같은 문장이다 — 곧 $\min S$가 존재한다. 대조. 실수 쪽에서는 같은 보장이 없다. 양의 실수 전체의 집합 $\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$은 공집합이 아니고 아래로 유계이지만(0이 하계) 최솟값이 없다 — 후보 $m > 0$을 무엇으로 잡아도 $\frac{m}{2}$이 더 작은 양의 실수라 지배 조각이 무너진다(같은 논법의 유리수판이 S11주차 문제 10이고, 예제 2.2가 $\frac1n$ 꼴 집합에서 같은 일을 했다). 두 문장 정리. 자연수는 원소들이 서로 1 이상 떨어져 있어 "아래로 내려가는 과정"이 유한 번에 멈추므로 최솟값이 언제나 달성되고, 실수는 두 원소 사이에 언제나 또 다른 원소가 있어 그 과정이 멈추지 않는다. 그래서 자연수 위에서는 최소원리(와 그것과 동치인 귀납 공리)가 증명의 토대가 되고, 실수 위에서는 최솟값 대신 **하한의 존재를 보장하는 완비성**이 그 역할을 대신한다 — 이산 쪽은 최소원리, 연속 쪽은 완비성이다. **복기.** 이 대조가 이번 주 전체의 요약이기도 하다. max$\cdot$min은 "달성"을 요구하므로 이산 구조에서 편안하고, sup$\cdot$inf는 달성을 요구하지 않으므로 연속 구조에서 살아남는다. 문제 18이 그 살아남은 도구로 무엇을 할 수 있는지 보인다. ### 문제 17 **접근.** 유일성은 S13주차 얼굴 1이다 — 조건을 만족하는 대상 둘을 잡되 다르다고 가정하지 않고, 서로에게 정의의 조각을 교차로 적용해 두 부등식을 얻는다. 정관사의 정당화는 그 유일성의 직접적 귀결이고, 결합성은 문제 12를 두 원소 집합에 적용하는 일이다. **풀이.** **유일성.** $M_1$과 $M_2$가 모두 $S$의 최댓값이라 하자. $M_1$은 정의 16.1의 조각 ①에 의해 $S$의 원소이고 $M_2$는 조각 ②에 의해 $S$의 모든 원소를 지배하므로 $M_1 \le M_2$이다. 역할을 바꾸면 $M_2 \in S$이고 $M_1$이 지배하므로 $M_2 \le M_1$이다. 두 부등식에서 차 $M_2 - M_1$을 읽는다. 1권 16주차 정의 16.1(대소 관계)에 의해 $M_1 \le M_2$는 그 차가 양수이거나 0이라는 뜻이고, $M_2 \le M_1$은 그 차가 음수이거나 0이라는 뜻이다. 곧 차는 양수도 음수도 아니므로 삼분법에 의해 $M_2 - M_1 = 0$, 곧 $M_1 = M_2$이다 [1권 16주차 정의 16.1 + 삼분법]. $\blacksquare$ **정관사의 정당화.** 최댓값이 존재하면 그것은 하나뿐이므로 "$S$의 최댓값"이라는 표현이 대상을 하나로 지목한다. 그래서 $\max S$라는 **표기**(집합 하나에 실수 하나를 대응시키는 기호)를 쓸 자격이 생긴다. 유일성이 없다면 $\max S$는 어느 값을 가리키는지 정해지지 않아 표기 자체가 성립하지 않는다. **결합성.** $\{a, b, c\} = \{a, b\} \cup \{c\}$이므로, 문제 12를 $A = \{a, b\}$, $B = \{c\}$에 적용하면 $$ \max\{a, b, c\} = \max\{\max\{a, b\},\ \max\{c\}\} = \max\{\max\{a,b\},\ c\} $$ 이다($\max\{c\} = c$는 정의 16.1의 두 조각을 직접 확인하면 나온다). 곧 셋 이상의 max를 둘씩 접어 계산해도 값이 같고, 계산 순서를 바꿔도 결과가 하나로 정해진다 — 그 "하나로 정해짐"의 근거가 앞의 유일성이다. $\blacksquare$ **복기.** 유일성 $\to$ 표기 정당화 $\to$ 연산으로의 확장이라는 이 세 걸음은 max에만 있는 것이 아니다. 1권 26주차에서 유일성을 증명한 대상마다 같은 순서로 기호가 만들어졌고, S13주차가 그 순서에 이름을 붙였다. 새 기호를 만들 자격은 언제나 유일성이 준다. ### 문제 18 **접근.** 목표는 수렴이므로 정의 45.1(1권 45주차)을 펴야 하고, 그 정의는 $\forall$$\varepsilon$$\exists$N$\forall$n 구조라 S8주차의 바깥부터 벗기기가 그대로 적용된다. 문턱 $N$을 만들 재료가 문제인데, 손에 든 것은 완비성이 주는 상한 $L$뿐이다. $L$의 **최소성 조각**이 "$L - \varepsilon$은 상계가 아니다"를 주고, 그 문장이 곧 $N$의 산지다. **풀이 (스케치).** 수열 $(a_n)$이 증가하고 위로 유계라 하자. 집합 $A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}$은 공집합이 아니고 위로 유계이므로, 완비성 공리에 의해 상한 $L = \sup A$가 존재한다. 이 $L$이 극한임을 보인다. $\varepsilon > 0$을 임의로 잡자 [바깥 $\forall$ — 선택법]. $L - \varepsilon < L$이므로 정의 16.2의 조각 ②(최소성)에 의해 $L - \varepsilon$은 $A$의 상계가 아니고, 따라서 $a_N > L - \varepsilon$인 항이 존재한다. 그 첨자를 $N$으로 삼는다 [$\exists$ — 문턱의 구성]. 이제 $n > N$인 임의의 $n$을 잡자 [안쪽 $\forall$ — 선택법]. $(a_n)$이 증가하므로 $a_n \ge a_N > L - \varepsilon$이고, $L$이 $A$의 상계이므로(조각 ①) $a_n \le L < L + \varepsilon$이다. 두 부등식을 합치면 $L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon$, 곧 $a_n$과 $L$의 차의 절댓값이 $\varepsilon$보다 작다. 정의 45.1이 요구하는 것이 정확히 이것이므로 $a_n \to L$이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 증명에서 완비성이 한 일은 단 하나다 — **$L$을 존재하게 만든 것.** 그 뒤의 계산은 전부 상한의 두 조각과 증가성뿐이다. 그리고 $N$을 만든 것은 최소성 조각이었다: "가장 작은 상계"라는 말이 "그보다 조금이라도 작으면 상계가 아니다"를 뜻하고, 그 문장이 곧 존재 주장이라 증인($a_N$)을 내놓는다. 최소성 조각이 왜 $\forall$$\exists$ 겹구조로 적히는지가 여기서 실전으로 확인된다. 1권 46주차가 증명 없이 채택했던 **단조수렴정리**가 여기서 상한의 두 조각으로 증명된다 — 1권이 남긴 빚 하나가 이 자리에서 회수된다. ### 문제 19 **접근.** 집합을 푸는 것이 절반이다. 삼차부등식은 인수분해한 뒤 세 근이 나누는 네 구간에서 각 인수의 부호를 따진다(S15주차 경우법). 집합이 풀리면 위쪽은 2부 서식으로 끝나지만, 아래쪽은 "하계가 존재하지 않는다"는 부정형 주장이라 후보 하계마다 그것을 무너뜨리는 원소를 구성해야 한다. **풀이.** **집합 풀기.** $x^3 \le x$는 $x^3 - x \le 0$, 곧 $x(x-1)(x+1) \le 0$과 같다. 근 $-1, 0, 1$이 나누는 네 구간에서 세 인수의 부호를 따지면: $x \le -1$에서는 세 인수가 각각 음$\cdot$음$\cdot$음(또는 0)이라 곱이 0 이하, $-1 < x < 0$에서는 음$\cdot$음$\cdot$양이라 곱이 양수, $0 \le x \le 1$에서는 양(또는 0)$\cdot$음(또는 0)$\cdot$양이라 곱이 0 이하, $x > 1$에서는 셋 다 양수라 곱이 양수다. 네 경우가 실수 전체를 덮으므로 $$ S = \{x \in \mathbb{R} : x \le -1\} \cup \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x \le 1\} $$ 이다. **최댓값.** (소속) $1^3 = 1 \le 1$이므로 $1 \in S$이다. (상계) 임의의 $x \in S$를 잡자. $x \le -1$이면 $x \le -1 \le 1$이고, $0 \le x \le 1$이면 $x \le 1$이다 [경우법]. 어느 경우든 $x \le 1$이므로 1은 상계다. (종합) 문제 8에 의해 $\max S = 1$이다. **아래로 유계가 아님.** 임의의 실수 $c$를 잡자. $x = \min\{c - 1,\ -1\}$로 두면 $x \le -1$이므로 $x \in S$이고, 또 $x \le c - 1 < c$이다. 곧 $c$보다 작은 $S$의 원소가 존재하므로 $c$는 하계가 아니다. 임의의 $c$에 대해 그러하므로 $S$에는 하계가 없다. **최솟값.** $\min S$가 존재한다면 그것은 정의 16.1의 조각 ②에 의해 하계인데, 방금 하계가 하나도 없음을 보였으므로 최솟값도 존재하지 않는다. $\blacksquare$ **복기.** "max는 있으나 min은 없는" 비대칭 집합이고, 그 비대칭은 집합의 생김새에서 온다 — 오른쪽은 1에서 닫혀 있고 왼쪽은 무한히 열려 있다. 부정형 주장("하계가 없다")을 증명할 때 후보 $c$를 재료로 증인을 만든 것(여기서는 $\min\{c-1, -1\}$)이 S5주차 구성법의 표준 수법이며, 두 조건($S$의 원소일 것, $c$보다 작을 것)을 동시에 만족시키려고 $\min$을 쓴 것도 자격 검증에서 나온 설계다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 이번 주 전체의 요약이므로 번역표를 먼저 인용하고 그 귀결로 "새 기법 없음"을 잇는다. (b)는 두 예제의 대비이므로, 같은 구조에서 조각 하나만 다르다는 점을 지목한다. **풀이.** (예시 답안) **(a)** 번역표가 보이듯 "$\max S \le c$"와 "$\min S \ge c$"는 $\forall$ 문장으로, "$\max S \ge c$"와 "$\min S \le c$"는 $\exists$ 문장으로 풀린다 — max$\cdot$min이라는 명사 안에 양화사가 접혀 있었을 뿐이다. 그래서 이번 주에는 새 기법이 없었고, S5주차의 구성법$\cdot$S6주차의 선택법$\cdot$S7주차의 특수화$\cdot$S8주차의 겹구조 처리를 max$\cdot$min이라는 새 소재에 옮겨 적용했을 뿐이다. "$\max S = c$"의 2부 서식조차 소속($\exists$ 성격)과 상계($\forall$)의 결합이라 새 논리가 없다. **(b)** 예제 2.1의 $\{x : x^2 \le 9\}$는 3을 포함하므로($3^2 = 9 \le 9$) 소속 조각이 채워져 최댓값이 존재하지만, 예제 2.3 답안 1의 $\{x : 0 \le x < 1\}$은 1을 포함하지 않아 소속 조각이 채워지지 않고 상계$\cdot$최소성만 남아 $\sup S = 1$에서 멈춘다. 두 상황의 상계 조각은 글자까지 같으므로 경계는 오직 **소속 조각의 유무**이고, 그래서 max는 달성되는 최소상계, sup은 달성 여부를 묻지 않는 최소상계라고 말할 수 있다. **복기.** (a)와 (b)는 같은 말의 두 방향이다. 명사를 양화사로 펴면 기법이 정해지고(a), 그렇게 편 조각 중 어느 것이 채워지는가가 이름을 정한다(b). 이번 주에 배운 것은 계산이 아니라 이 두 문장이다. --- **다음 주 예고 (S17주차).** 기법 선택 총정리와 기법 종합 백지시험이다. S1~S16주차의 모든 기법을 "명제의 겉모양 $\to$ 첫수" 하나의 결정 나무로 통합하고, 20문항 종합시험으로 점검한다. S9주차의 전반 시험이 전진-후진과 양화사 4부작까지였다면, S17주차는 부정 3부작$\cdot$유일성$\cdot$ 귀납$\cdot$양자택일$\cdot$최대/최소법까지 전 기법이 대상이다. 이번 주의 번역표(§1.3)와 판정법(§1.6)은 그 결정 나무의 마지막 가지로 들어간다 — S1~S16주차의 백지 체크리스트를 총복습하고 온다.