30주차 — 참·거짓 판별 종합: 증명 또는 반증하라 (6부 총정리)#
이 주의 길잡이
핵심 문장: 실전에는 “증명하라”가 아니라 “참인가”만 주어진다.
이 주의 위치: 50주 과정의 30주차. 25~29주차(동치\(\cdot\)존재\(\cdot\)집합 증명\(\cdot\)반증)를 마무리하는 6부 총정리이며, 소재는 1~24주차 전체에서 나온다. 참\(\cdot\)거짓 라벨이 붙지 않은 명제 앞에 서는 것이 이 주의 과제다.
원서 대응: BoP(Book of Proof) 7~9장 종합 — 참\(\cdot\)거짓이 표시되지 않은 명제의 판별. 원서 없이 읽을 수 있다.
이번 주 목표#
판별 19문항 + 서술 1문항: 판별 문항은 각 명제의 참\(\cdot\)거짓을 스스로 판정하고, 참이면 증명\(\cdot\)거짓이면 반증한다 (권장 150분).
판별–실행 동선(실험 \(\to\) 판정 \(\to\) 기법 선택 \(\to\) 실행 \(\to\) 검산)을 절차로 고정한다.
6부(동치\(\cdot\)존재\(\cdot\)집합 증명\(\cdot\)반증)를 수료한다.
시험 규칙과 동선#
교재를 덮고 백지에서 푼다. 문항마다 첫 줄에 “참” 또는 “거짓” 판정을 선언한 뒤 실행(증명 또는 반증)한다.
권장 동선: ① 작은 사례 실험(\(0\), \(1\), \(2\), 분수, 음수, 소수 \(2\), \(\emptyset\) 등 — 29주차 §1의 반례 수색 순서) ② 판정 ③ 참이면 기법 선택(23주차 §1.5 선택 순서도), 거짓이면 반례 완전 서식(29주차 §1) ④ 실행 ⑤ 검산(가정을 전부 소비했는지 확인, 반례는 원래 명제에 재대입).
판정이 틀리면 그 아래의 실행은 검사할 대상을 잃는다. 거짓 명제를 참으로 판정하면 증명하려는 진술 자체가 성립하지 않으므로, 이어 적은 줄들은 어디선가 반드시 무너져 있다. 실험을 아끼지 않는 것이 실행보다 먼저다.
확인 1. 반례를 제시할 때 붙이는 검증 두 가지는 각각 무엇을 확인하는가.
답
(검증 1)은 제시한 값이 명제의 무대와 가정을 실제로 만족하는지 확인한다 —
정수에 대한 명제라면 정수인지, 조건문이라면 가정 \(P\)가 참인지. (검증 2)는 그
값에서 결론이 위배됨을 확인한다. 둘 중 하나가 빠지면 반례가 아니라 값의
나열이 된다(29주차 §1의 서식).
확인 2. 결론이 “\(a \mid b\) 또는 \(a \mid c\)”인 조건문을 반증하려면 반례에서 무엇까지 확인해야 하는가.
답
두 갈래를 모두 부정해야 한다. “또는”의 부정은 “둘 다 아니다”이므로
(11주차 부정 규칙), \(a \nmid b\)와 \(a \nmid c\)를 각각 보여야 결론 위배가
확정된다. 한쪽만 확인하고 멈추면 다른 갈래가 살아 있어 명제가 아직 참일 수
있다.
판별 시험 (20문항 — 참·거짓 미표시)#
1. 모든 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 + n + 6\)은 짝수이다.
2. 모든 정수 \(n\)에 대해, \(n^2 + n + 3\)은 짝수이다.
3. 정수 \(a, b, c\)에 대해, \(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)이면 \(a \mid c\)이다.
4. 정수 \(a, b, c\)에 대해, \(a \mid (b + c)\)이면 \(a \mid b\)이거나 \(a \mid c\)이다.
5. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 > 0\)이다.
6. \(x, y\)가 무리수이면 \(x + y\)는 무리수이다.
7. \(x, y\)가 무리수이면 \(xy\)는 무리수이다.
8. \(x\)가 유리수이고 \(y\)가 무리수이면 \(x + y\)는 무리수이다.
9. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 3의 배수이면 \(n\)은 3의 배수이다.
10. 정수 \(n\)에 대해, \(n^2\)이 4의 배수이면 \(n\)은 4의 배수이다.
11. \(\sqrt{8}\)은 무리수이다.
12. 두 홀수의 합은 항상 4의 배수이다.
13. 모든 실수 \(x, y\)에 대해 \(|xy| = |x|\,|y|\)이다.
14. 임의의 집합 \(A, B, C\)에 대해 \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)이다.
15. 임의의 집합 \(A, B\)에 대해 \(\mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)\)이다.
16. \(n\)이 소수이면 \(n^2 + 4\)도 소수이다.
17. 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(6 \mid (n^3 - n)\)이다.
18. \(x^2 - 4y = 2\)를 만족하는 정수 \(x, y\)는 존재하지 않는다.
19. \(x^2 + 4x + 5 = 0\)을 만족하는 실수 \(x\)가 존재한다.
20. (서술) 위 19문항을 푼 경험을 바탕으로, “판별 시험”에서 자신이 사용한 동선(실험 \(\to\) 판정 \(\to\) 실행 \(\to\) 검산)을 사례 2개(참 판정 1, 거짓 판정 1)와 함께 요약하시오. 판정을 망설이게 했던 문항과 그 이유도 한 문장으로 덧붙이시오.
백지 복습 체크리스트 (시험 후)#
모든 판별 문항(1~19)에서 첫 줄 판정을 선언했다.
거짓 문항의 반례를 완전 서식(제시 + 검증 1 + 검증 2)으로 썼다.
참 문항에서 기법 선택의 신호를 댈 수 있다.
판정을 틀린 문항이 3개 이하다 (초과 시 29주차 재복습).
판정이 틀리면 실행이 검사 대상을 잃는다는 것을 답안에서 확인했다.
해설#
틀린 문항은 접근만 읽고 재시도한 뒤, 그다음에 풀이를 확인한다.
문제 1#
접근. 판정을 먼저 한다. \(n = 0\)에서 \(6\), \(n = 1\)에서 \(8\), \(n = 2\)에서 \(12\), \(n = -1\)에서 \(6\) — 전부 짝수이므로 참으로 예상한다. 실행에 필요한 부품은 이미 갖고 있다. \(n^2 + n = n(n+1)\)은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이고(1주차 문제 16), 상수 \(6\)도 짝수이다. 남은 일은 이 둘을 “짝수 + 짝수 = 짝수”(1주차 예제 2.1)로 잇는 것뿐이며, 새로 전개할 계산은 없다.
풀이. 참. \(n\)을 임의의 정수라 하자. \(n^2 + n = n(n+1)\)은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이고(1주차 문제 16), 정의 1.1에 의해 \(n^2 + n = 2k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 또 \(6 = 2 \cdot 3\)이므로 \(6\)도 짝수이다. 따라서
이고 \(k + 3\)은 정수이므로, 정의 1.1에 의해 \(n^2 + n + 6\)은 짝수이다. \(\blacksquare\)
복기. 부품을 인용해 조립하는 증명에서도 마지막 줄은 정의 꼴 \(2(\text{정수})\)까지 밀어붙인다. \(2k + 6\)에서 멈추면 정의 꼴이 아니다.
문제 2#
접근. 문제 1과 상수항만 다르므로 그 차이가 어디에 작용하는지를 본다. 실험에서 \(n = 1\)일 때 \(1 + 1 + 3 = 5\)로 홀수가 나오므로 즉시 거짓으로 판정된다. 전칭 명제의 반증이므로 반례 하나를 완전 서식(제시 + 검증 1 + 검증 2)으로 적으면 끝난다(29주차 §1). 구조도 한 줄로 설명된다 — \(n^2 + n\)은 항상 짝수인데 \(3\)은 홀수이므로 합은 항상 홀수다.
풀이. 거짓. 반례로 \(n = 1\)을 제시한다. (검증 1) \(1 \in \mathbb{Z}\)이므로 명제의 무대(“모든 정수 \(n\)”)를 만족한다 ✓. (검증 2) \(1^2 + 1 + 3 = 5\)이고 \(5 = 2 \cdot 2 + 1\)이므로 \(5\)는 홀수이다. 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(22주차 문제 5) \(5\)는 짝수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
이 명제는 어떤 정수에서도 성립하지 않는다. \(n^2 + n\)은 짝수이므로(1주차 문제 16) \(n^2 + n = 2k\)인 정수 \(k\)가 있고, \(n^2 + n + 3 = 2k + 3 = 2(k+1) + 1\)은 항상 홀수이기 때문이다.
복기. 문제 1과 2를 나란히 놓으면 판정 신호가 드러난다. \(n^2 + n\)이 짝수임은 고정되어 있으므로, 진리값을 결정하는 것은 상수항의 홀짝 하나다.
문제 3#
접근. 2주차 예제 2.1이 정확히 이 명제(나누어떨어짐의 추이성)다. 참으로 판정하고, 실행은 정의 2.1을 두 번 풀어 쓴 뒤 대입해 다시 정의 꼴로 묶는 표준 직접 증명이다. 주의할 지점은 두 등식에 서로 다른 문자를 쓰는 것 — 같은 문자를 쓰면 두 몫이 같다는, 가정에 없는 조건이 들어간다.
풀이. 참. \(a \mid b\)이고 \(b \mid c\)라 하자. 정의 2.1에 의해 \(b = ak\)인 정수 \(k\)가 존재하고, \(c = bl\)인 정수 \(l\)이 존재한다. 첫 식을 둘째 식에 대입하면
이다. 정수의 곱은 정수이므로 \(kl \in \mathbb{Z}\)이고, 따라서 \(c = a \cdot (\text{정수})\) 꼴이다. 정의 2.1에 의해 \(a \mid c\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 증명의 유일한 계산은 결합법칙으로 괄호를 옮겨 \(a\)를 앞으로 빼내는 한 걸음이다. 나누어떨어짐 문제는 대부분 “정의로 풀고 \(\to\) 대입하고 \(\to\) 다시 정의 꼴로 묶기”의 세 걸음으로 끝난다.
문제 4#
접근. 나누어떨어짐은 합 쪽으로만 보장된다 — \(a \mid b\)이고 \(a \mid c\)이면 \(a \mid (b+c)\)가 참이고(2주차 예제 2.2), 이 명제는 그 화살표를 거꾸로 돌린 것이다. 합이 배수여도 각 조각은 자유로울 수 있으므로 반례를 찾는다. 2주차 문제 16이 같은 구조의 반례를 요구했다. 실험: \(3 \mid (1 + 2)\)이지만 \(3 \nmid 1\)이고 \(3 \nmid 2\)이다.
풀이. 거짓. 반례로 \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 2\)를 제시한다. (검증 1) 셋 다 정수이고, \(b + c = 3 = 3 \cdot 1\)이므로 정의 2.1에 의해 \(3 \mid (b + c)\) — 가정이 성립한다 ✓. (검증 2) \(1 = 3q\)인 정수 \(q\)는 없으므로 \(3 \nmid 1\)이고, \(2 = 3q\)인 정수 \(q\)도 없으므로 \(3 \nmid 2\)이다. 즉 결론 “\(a \mid b\) 또는 \(a \mid c\)”의 두 갈래가 모두 거짓이다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 결론이 “또는”인 조건문을 반증하려면 두 갈래를 모두 부정해야 한다(확인 2). 한쪽만 확인하고 멈춘 반례는 서식이 완결되지 않는다.
문제 5#
접근. 반례 수색 순서 ①(0, 1, 2 같은 특수한 작은 수, 29주차 §1)이 곧바로 답을 준다. \(x = 0\)에서 \(x^2 = 0\)이고 \(0 > 0\)은 성립하지 않는다. 부등호가 \(\ge\)였다면 참이 되는 명제이므로, 등호가 성립하는 경계값을 먼저 대입하는 습관이 판정을 가른다.
풀이. 거짓. 반례로 \(x = 0\)을 제시한다. (검증 1) \(0 \in \mathbb{R}\)이므로 명제의 무대(“모든 실수 \(x\)”)를 만족한다 ✓. (검증 2) \(0^2 = 0\)이고 \(0 > 0\)은 성립하지 않으므로 결론이 위배된다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 참인 진술은 “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이다”(16주차 (W1))이며, 등호가 성립하는 유일한 지점이 \(x = 0\)이다. 부등호가 엄격한지 아닌지를 확인하는 것이 이 유형의 판정 신호다.
문제 6#
접근. 15주차 문제 19에서 이미 만들어 둔 증인 쌍이 그대로 반례가 된다. 무리수 전체는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않으므로, 무리수에 닫힘성을 적용하려는 자리가 곧 반례 수색 신호다. \(\sqrt2\)와 그 부호를 바꾼 수를 더하면 합이 \(0\)이 된다.
풀이. 거짓. 반례로 \(x = \sqrt2\), \(y = -\sqrt2\)를 제시한다. (검증 1) \(\sqrt2\)는 무리수이다(21주차 예제 2.2). 또 \(-\sqrt2\)도 무리수이다 — \(-\sqrt2\)가 유리수라면 \((-1) \cdot (-\sqrt2) = \sqrt2\)도 유리수가 되어(15주차 문제 19의 논증) \(\sqrt2\)가 무리수라는 사실과 모순이기 때문이다. 즉 \(x, y\) 모두 가정을 만족한다 ✓. (검증 2) \(x + y = \sqrt2 + (-\sqrt2) = 0 = \frac{0}{1}\)이므로 합은 유리수이고, 정의 15.1에 의해 무리수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 이 반례의 (검증 1)은 두 수가 실제로 무리수임까지 포함해야 완결된다. 무리수라는 성질 자체가 증명을 요구하는 성질이므로, 근거를 인용하지 않고 넘어가면 가정 확인이 비어 있게 된다.
문제 7#
접근. 26주차 문제 3이 요구했던 증인이 그대로 반례다. 곱셈에 대해서도 무리수는 닫혀 있지 않고, 가장 짧은 증인은 같은 수를 두 번 쓰는 것이다: \(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\). 명제에는 \(x\)와 \(y\)가 서로 달라야 한다는 조건이 없으므로 \(x = y\)도 정당한 반례다.
풀이. 거짓. 반례로 \(x = y = \sqrt2\)를 제시한다. (검증 1) \(\sqrt2\)는 무리수이므로(21주차 예제 2.2) \(x, y\) 모두 가정 “\(x, y\)가 무리수”를 만족한다 ✓. (검증 2) \(xy = \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2 = \frac{2}{1}\)이므로 곱은 유리수이고, 정의 15.1에 의해 무리수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. “\(x, y\)가 무리수이면”은 두 수가 다르다는 뜻이 아니다. 명제에 없는 조건을 스스로 덧붙이면 가장 가까운 반례를 수색 범위 밖으로 밀어내게 된다.
문제 8#
접근. 6\(\cdot\)7번과 달리 이쪽은 참이다. 결론 “무리수”는 “유리수가 아니다”라는 부정형 개념이어서 곧바로 전개할 등식이 없고, 이것이 귀류법의 신호다(21주차 §1). 부정을 가정해 \(x + y\)를 유리수로 놓으면 \(y = (x+y) - x\)가 유리수의 차가 되어 15주차 문제 9에 의해 \(y\)가 유리수가 되고, 이것이 가정 “\(y\)는 무리수”와 충돌한다.
풀이. 참. \(x\)를 유리수, \(y\)를 무리수라 하자. 모순을 이끌어내기 위해 \(x + y\)가 유리수라고 가정하자. 그러면
인데, 우변은 유리수 \(x + y\)와 유리수 \(x\)의 차이므로 유리수이다(15주차 문제 9). 즉 \(y\)가 유리수가 되는데, 이는 \(y\)가 무리수라는 가정과 모순이다(정의 15.1에 의해 무리수는 유리수가 아닌 실수이므로 둘을 동시에 만족할 수 없다). 따라서 \(x + y\)는 무리수이다. \(\blacksquare\)
복기. 6\(\cdot\)7번과 8번의 대비가 이 시험의 설계다. 무리수끼리의 연산에는 닫힘성이 없지만, 유리수가 하나 섞이면 유리수 쪽의 닫힘성을 되돌려 쓸 수 있다. 부정형 결론에서 귀류로 갈아타는 신호도 같은 자리에서 반복된다.
문제 9#
접근. 19주차 예제 2.2가 바로 이 명제다. 가정 “\(3 \mid n^2\)”에서는 \(n\) 자체를 꺼낼 방법이 없어 직접 증명이 막히므로, 대우 “\(3 \nmid n \Rightarrow 3 \nmid n^2\)”로 갈아탄다. 대우의 가정은 \(n\)의 나머지 정보를 주므로 나눗셈 정리로 경우를 나눌 수 있다.
풀이. 참. 대우 “\(3 \nmid n\)이면 \(3 \nmid n^2\)”를 증명한다. \(3 \nmid n\)이라 하자. 나눗셈 정리(17주차 §1)에 의해 \(n\)은 정수 \(q\)에 대해 \(3q\), \(3q+1\), \(3q+2\) 중 정확히 하나의 꼴이고, \(3 \nmid n\)이므로 \(n = 3q\)인 경우는 제외된다.
경우 1: \(n = 3q + 1\)이면 \(n^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1\)이고, \(3q^2 + 2q\)는 정수이므로 \(n^2\)은 3으로 나눈 나머지가 1이다.
경우 2: \(n = 3q + 2\)이면 \(n^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1\)이고, \(3q^2 + 4q + 1\)은 정수이므로 이 경우도 나머지가 1이다.
두 경우 모두 \(n^2\)을 3으로 나눈 나머지가 1이다. 나눗셈 정리는 몫과 나머지를 유일하게 정하므로, 나머지가 1인 이상 나머지가 0일 수는 없다. 따라서 두 경우 모두 \(3 \nmid n^2\)이다. 대우가 성립하므로 원명제도 성립한다. \(\blacksquare\)
복기. 나머지가 1로 같아 보여도 두 경우의 몫이 다르므로, 경우를 묶어 한 번에 처리하지 않고 각각의 전개를 적는다. 나눗셈 정리는 여기서 두 조각으로 쓰인다 — 빠짐없음(세 나머지 꼴이 전체를 덮으므로 분할이 완전하다)과 유일성(나머지가 1이면 0일 수 없다). 두 조각을 각각 선언하는 줄도 증명의 일부다.
문제 10#
접근. 9번과 문장 모양이 같아 참으로 착각하기 쉬운 자리다. 그러나 지금까지 확보한 것은 \(p = 2\)(19주차 예제 2.1), \(p = 3\)(19주차 예제 2.2), \(p = 5\)(19주차 문제 15) 세 개별 사례이고, 그 일반형 “\(p\)가 소수이면 \(p \mid n^2 \Rightarrow p \mid n\)”은 \(p\)가 소수라는 조건에 기대는 정리다(일반형의 뿌리인 유클리드 보조정리는 33주차 문제 16에서 인정하고 쓴다). \(4\)는 합성수이므로 그 조건이 충족되지 않는다. 조건이 빠졌으면 반례를 찾는다. 실험에서 \(n = 2\)가 곧바로 걸린다.
풀이. 거짓. 반례로 \(n = 2\)를 제시한다. (검증 1) \(2 \in \mathbb{Z}\)이고 \(n^2 = 4 = 4 \cdot 1\)이므로 정의 2.1에 의해 \(4 \mid n^2\) — 가정이 성립한다 ✓. (검증 2) \(2 = 4q\)인 정수 \(q\)는 존재하지 않는다(그런 \(q\)가 있다면 \(q = \frac12\)인데 이는 정수가 아니다). 따라서 \(4 \nmid 2\)이고 결론이 위배된다 ✗. 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 9번과 10번은 쌍으로 설계된 문항이다. 정리를 부품으로 인용할 때는 결론뿐 아니라 조건(”\(p\)는 소수”)까지 함께 기억해야 판정이 흔들리지 않는다. 지금 손에 있는 것이 개별 사례(\(p = 2, 3, 5\))인지 일반형인지도 함께 확인한다.
문제 11#
접근. 결론이 “무리수”이므로 귀류법의 신호다. 21주차 예제 2.2처럼 처음부터 기약분수를 놓고 전개해도 정답이 되지만, \(8 = 4 \cdot 2\)를 이용해 \(\sqrt8 = 2\sqrt2\)로 정리하면 이미 증명한 두 정리의 조립으로 세 줄에 끝난다. 부품 재사용이 짧은 길이다.
풀이. 참. 모순을 이끌어내기 위해 \(\sqrt8\)이 유리수라고 가정하고, \(\sqrt8 = r\)인 유리수 \(r\)을 잡자. \(8 = 4 \cdot 2\)이므로, \(a, b \ge 0\)에서 \(\sqrt{ab} = \sqrt a\,\sqrt b\)라는 인정 사실(16주차 §1.2)에 의해
이고, 따라서 \(\sqrt2 = \dfrac{r}{2}\)이다. \(r\)은 유리수이고 \(2\)는 \(0\)이 아닌 유리수이므로 그 몫 \(\dfrac{r}{2}\)는 유리수이다(15주차 문제 15). 즉 \(\sqrt2\)가 유리수가 되는데, 이는 \(\sqrt2\)가 무리수라는 사실(21주차 예제 2.2)과 모순이다. 따라서 \(\sqrt8\)은 무리수이다. \(\blacksquare\)
복기. 근호 안을 제곱인수로 분해해 이미 무리수임을 아는 수로 환원하는 절차는 \(\sqrt{18} = 3\sqrt2\), \(\sqrt{50} = 5\sqrt2\) 등에도 그대로 통한다.
문제 12#
접근. 실험에서 성공 사례가 먼저 나오는 유형이다. \(3 + 5 = 8\)은 4의 배수여서 참처럼 보이지만, \(1 + 5 = 6\)에서 무너진다. 참인 정리는 “두 홀수의 합은 짝수”(1주차 예제 2.3)이며, 그 증명이 보장하는 것은 인수 \(2\)까지다. \(4\)를 주장하려면 별도의 근거가 필요한데 그런 근거는 없다.
풀이. 거짓. 반례로 두 홀수 \(1\)과 \(5\)를 제시한다. (검증 1) \(1 = 2 \cdot 0 + 1\)이고 \(5 = 2 \cdot 2 + 1\)이므로 정의 1.2에 의해 둘 다 홀수이다 ✓. (검증 2) \(1 + 5 = 6\)인데, \(6 = 4q\)인 정수 \(q\)가 있다면 \(q = \frac32\)이고 이는 정수가 아니다. 따라서 \(4 \nmid 6\)이고 결론이 위배된다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 성공 사례 몇 개는 판정의 근거가 되지 못한다(1주차 문제 18에서 본 현상). 실험은 참을 확인하는 절차가 아니라 반례를 수색하는 절차로 쓴다. \(3 + 5 = 8\)처럼 우연히 맞는 값을 먼저 만나면 수색을 더 밀어붙인다.
문제 13#
접근. 17주차 문제 10이 같은 명제다. 절댓값의 정의(정의 17.1)가 부호에 따른 케이스로 되어 있으므로 증명도 케이스로 간다. \(0\)이 섞인 경우를 먼저 처리해 두면 남는 것은 부호 조합 네 가지이고, \(x\)와 \(y\)의 역할이 대칭이므로 그중 두 경우는 같은 계산으로 처리된다.
풀이. 참. \(x, y\)를 임의의 실수라 하자.
경우 0: \(x = 0\) 또는 \(y = 0\)인 경우. 그러면 \(xy = 0\)이므로 \(|xy| = |0| = 0\)이고, \(|x|\,|y|\)의 두 인수 중 하나가 \(0\)이므로 \(|x|\,|y| = 0\)이다. 양변이 같다.
이제 \(x \neq 0\)이고 \(y \neq 0\)이라 하자. 실수의 삼분법에 의해 각각 양수이거나 음수이므로 다음 네 경우가 전체를 덮는다.
경우 1: \(x > 0\), \(y > 0\). 양수 두 개의 곱은 양수이므로((W4), 16주차) \(xy > 0\)이고, 정의 17.1에 의해 \(|xy| = xy\)이며, \(|x| = x\), \(|y| = y\)이므로 \(|x|\,|y| = xy\)이다. 양변이 같다.
경우 2: \(x > 0\), \(y < 0\). \(y < 0\)인 양변에 \(x > 0\)을 곱하면 방향이 유지되므로((W3), 16주차) \(xy < 0 \cdot x = 0\)이다. 따라서 정의 17.1에 의해 \(|xy| = -xy\)이고, \(|x| = x\), \(|y| = -y\)이므로 \(|x|\,|y| = x(-y) = -xy\)이다. 양변이 같다.
경우 3: \(x < 0\), \(y > 0\). 같은 방식으로 \(x < 0\)인 양변에 \(y > 0\)을 곱하면((W3)) \(xy < 0\)이므로 정의 17.1에 의해 \(|xy| = -xy\)이고, \(|x| = -x\), \(|y| = y\)이므로 \(|x|\,|y| = (-x)y = -xy\)이다. 양변이 같다.
경우 4: \(x < 0\), \(y < 0\). 삼분법에 의해 \(-x > 0\)이고 \(-y > 0\)이므로 (W4)에 의해 \((-x)(-y) > 0\), 곧 \(xy > 0\)이다. 따라서 정의 17.1에 의해 \(|xy| = xy\)이고, \(|x| = -x\), \(|y| = -y\)이므로 \(|x|\,|y| = (-x)(-y) = xy\)이다. 양변이 같다.
모든 경우에서 \(|xy| = |x|\,|y|\)이므로 명제는 참이다. \(\blacksquare\)
복기. 케이스 증명은 경우들이 모든 가능성을 덮는지로 검산한다. 여기서는 \(0\) 여부와 두 부호의 조합이 실수 쌍 전체를 덮는다. 경우 2와 3은 \(x, y\)의 역할을 맞바꾼 관계이므로 WLOG로 압축해 하나만 적어도 되며(17주차 예제 2.3), 그때는 대칭성을 명시하는 한 줄이 필요하다.
문제 14#
접근. 27주차 예제 2.2가 같은 명제다. 집합의 상등은 원소를 추적해 증명하고, 그 가운데 단계의 엔진은 논리의 분배법칙(7주차 문제 15)이다. 각 단계가 전부 동치이므로 양방향 포함을 따로 쓰는 대신 \(\iff\) 사슬 하나로 묶을 수 있다.
풀이. 참. 임의의 \(x\)를 잡자. 먼저 교집합과 합집합의 정의에 의해
이다. 여기에 논리의 분배법칙(7주차 문제 15)을 적용하면
이고, 다시 교집합과 합집합의 정의로 되돌려 읽으면
이다. 세 동치를 이으면 임의의 \(x\)에 대해 \(x \in A \cap (B \cup C)\)와 \(x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\)가 동치이므로, 두 집합은 같다. \(\blacksquare\)
복기. 집합의 법칙은 대응하는 논리의 법칙을 원소 수준에서 번역한 것이다. 집합 등식에서 막히면 그 자리의 논리 동치가 무엇인지를 먼저 확인하면 된다.
문제 15#
접근. 4주차 문제 19에서 관찰했고 28주차 문제 9에서 정리로 정리한 사실이다. 한쪽 포함 \(\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)\)는 참이지만 역포함이 거짓이므로, 두 집합이 다름을 보이려면 왼쪽 집합에는 속하고 오른쪽 집합에는 속하지 않는 원소 하나를 제시하면 된다. \(A\)와 \(B\)에서 원소를 하나씩 모아 만든 집합이 그 증인이다.
풀이. 거짓. 반례로 \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\)를 제시한다. (검증 1) 둘 다 집합이므로 명제의 무대(“임의의 집합 \(A, B\)”)를 만족한다 ✓. (검증 2) \(A \cup B = \{1, 2\}\)이고 \(\{1,2\} \subseteq \{1,2\}\)이므로 정의 4.2에 의해 \(\{1,2\} \in \mathcal{P}(A \cup B)\)이다. 한편 \(2 \notin A\)이므로 \(\{1,2\} \nsubseteq A\), 즉 \(\{1,2\} \notin \mathcal{P}(A)\)이고, \(1 \notin B\)이므로 \(\{1,2\} \nsubseteq B\), 즉 \(\{1,2\} \notin \mathcal{P}(B)\)이다. 따라서 \(\{1,2\} \notin \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)\)이다. 한 집합에는 속하고 다른 집합에는 속하지 않는 원소가 있으므로 두 집합은 같지 않다 ✗. 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 집합 상등의 반증은 소속이 갈리는 원소 하나를 제시하는 일이다. 합집합은 두 집합에 걸친 새 부분집합(\(\{1,2\}\))을 만들어 내지만 \(\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)\)는 한쪽에만 담긴 부분집합들만 모으므로, 교환이 성립하지 않는다.
문제 16#
접근. 반례 수색 순서 ⑤(소수 \(2\) — 유일한 짝수 소수, 29주차 §1)가 곧바로 답을 준다. 홀수 소수부터 넣으면 \(n = 3\)에서 \(13\), \(n = 5\)에서 \(29\), \(n = 7\)에서 \(53\)으로 모두 소수여서 참처럼 보인다. 특수한 소수 \(2\)를 먼저 시험하는 순서가 판정을 앞당긴다.
풀이. 거짓. 반례로 \(n = 2\)를 제시한다. (검증 1) \(2\)는 소수이므로(정의 15.2) 가정 “\(n\)이 소수”를 만족한다 ✓. (검증 2) \(2^2 + 4 = 8\)이고 \(8 = 2 \cdot 4\)이므로 \(8\)의 양의 약수에는 \(1\)과 \(8\) 외에 \(2\)와 \(4\)가 있다. 즉 \(8\)은 소수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 홀수 소수 \(n\)에서는 \(n^2\)이 홀수이므로 \(n^2 + 4\)도 홀수여서 인수 \(2\)로는 걸러지지 않는다. 그렇다고 반례가 \(2\)에만 있는 것은 아니다 — \(n = 11\)이면 \(11^2 + 4 = 125 = 5^3\)으로 역시 합성수다. \(2\)를 먼저 시험하는 이유는 반례가 거기에만 살아서가 아니라, 수색 순서에서 가장 먼저 걸리는 자리이기 때문이다.
문제 17#
접근. 부품 세 개의 조립으로 끝난다. \(2 \mid (n^3 - n)\)은 17주차 문제 7, \(3 \mid (n^3 - n)\)은 17주차 예제 2.1, “\(2 \mid x\)이고 \(3 \mid x\)이면 \(6 \mid x\)”는 20주차 문제 13이다. 실험(\(n = 2\)에서 \(6\), \(n = 3\)에서 \(24\), \(n = 4\)에서 \(60\))으로 참을 예상한 뒤, 새로 전개하지 않고 인용만으로 증명문을 만든다.
풀이. 참. \(n\)을 임의의 자연수라 하자. 먼저 \(n^3 - n\)은 짝수, 즉 \(2 \mid (n^3 - n)\)이다(17주차 문제 7). 또한 \(3 \mid (n^3 - n)\)이다(17주차 예제 2.1). 한편 정수 \(x\)가 \(2 \mid x\)이고 \(3 \mid x\)이면 \(6 \mid x\)이므로(20주차 문제 13), 정수 \(x = n^3 - n\)에 이 정리를 적용하면 \(6 \mid (n^3 - n)\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 검산: \(n = 5\)에서 \(125 - 5 = 120 = 6 \cdot 20\) ✓. 인용형 증명에서 확인할 지점은 인용한 정리의 가정이 실제로 충족되는지다 — 여기서는 \(n^3 - n\)이 정수라는 점이 20주차 문제 13을 적용할 자격이 된다.
문제 18#
접근. 21주차 문제 12가 문자만 바꾼 같은 명제다. 결론이 “존재하지 않는다”라는 부정형이므로 귀류법의 신호이며, 부정을 가정해 정수 \(x, y\)를 손에 넣은 뒤 홀짝 충돌을 만든다. 도중에 \(x^2\)이 짝수임을 얻게 되는데, 거기서 \(x\)가 짝수임을 끌어내려면 19주차 예제 2.1(대우로 증명해 둔 부품)이 필요하다.
풀이. 참. 모순을 이끌어내기 위해 \(x^2 - 4y = 2\)인 정수 \(x, y\)가 존재한다고 가정하자. 그러면
이고 \(2y + 1\)은 정수이므로 정의 1.1에 의해 \(x^2\)은 짝수이다. \(x^2\)이 짝수이면 \(x\)도 짝수이므로(19주차 예제 2.1) \(x = 2c\)인 정수 \(c\)가 존재한다. 이를 대입하면 \((2c)^2 = 4y + 2\), 즉 \(4c^2 = 4y + 2\)이고, 양변을 \(2\)로 나누면
이다. 좌변은 \(2 \cdot (\text{정수})\)이므로 짝수이고 우변은 \(2 \cdot (\text{정수}) + 1\)이므로 홀수인데, 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없다(22주차 문제 5). 모순이다. 따라서 \(x^2 - 4y = 2\)를 만족하는 정수 \(x, y\)는 존재하지 않는다. \(\blacksquare\)
복기. 정수 방정식에 해가 없음을 보이는 표준 절차는 양변을 어떤 수로 나눈 나머지로 비교하는 것이다. 여기서는 나누는 수가 \(2\)였고, 홀짝 충돌이 모순의 자리가 되었다.
문제 19#
접근. 존재 명제의 반증은 반례 하나로 되지 않는다(29주차 예제 2.2). “여기엔 없다”를 아무리 모아도 “어디에도 없다”가 되지 않기 때문이다. 부정 “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 + 4x + 5 \neq 0\)”은 전칭 명제이므로 전칭 증명을 쓴다. 도구는 16주차의 완전제곱 변형이며, \((x+2)^2 + 1\) 꼴로 만들면 값이 항상 \(1\) 이상임이 드러난다.
풀이. 거짓. 부정 “모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 + 4x + 5 \neq 0\)”을 증명한다. \(x\)를 임의의 실수라 하자. 완전제곱으로 변형하면
이다. 실수의 제곱은 음이 아니므로 \((x+2)^2 \ge 0\)이고(16주차 (W1)), 양변에 \(1\)을 더하면 \(x^2 + 4x + 5 \ge 1 > 0\)이다. 따라서 어떤 실수 \(x\)에서도 \(x^2 + 4x + 5 \neq 0\)이다. 그러므로 \(x^2 + 4x + 5 = 0\)을 만족하는 실수는 존재하지 않고, 원래 명제는 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 존재의 반증은 부정(전칭)의 증명이라는 대응은 11주차의 부정 규칙에서 나온다. 반증이라는 낱말을 보고 반례부터 찾기 시작하면 이 유형에서 길을 잃으므로, 먼저 부정의 모양(\(\forall\)인지 \(\exists\)인지)을 적어 두고 전략을 고른다.
문제 20#
접근. 이 문항이 요구하는 것은 계산이 아니라 자기 절차의 언어화다. 문항이 적은 네 단계는 §0의 권장 동선을 줄인 것이므로, §0에 있는 ③(기법 선택)을 되살려 다섯 단계로 적으면 §2 체크리스트의 “기법 선택의 신호를 댈 수 있다” 항목까지 함께 채워진다. 참 판정 사례 하나와 거짓 판정 사례 하나를 골라 그 다섯 단계(실험 \(\to\) 판정 \(\to\) 기법 선택 \(\to\) 실행 \(\to\) 검산)에 각각 대응시키고, 마지막에 판정을 망설이게 한 문항과 그 이유를 한 문장으로 덧붙인다. 사례는 자신이 실제로 지나온 과정으로 적는다. 아래는 형식을 보이기 위한 예시 답안이다.
풀이. (예시 답안)
참 판정 사례 — 문제 17. ① 실험: \(n = 2, 3, 4\)에서 \(n^3 - n\)이 \(6, 24, 60\)으로 전부 6의 배수였다. ② 판정: 참. ③ 기법 선택: 새로 전개하는 대신 이미 가진 부품 세 개(17주차 문제 7, 17주차 예제 2.1, 20주차 문제 13)를 떠올렸다. ④ 실행: 세 부품을 인용해 조립 증명을 썼다. ⑤ 검산: \(n = 5\)에서 \(120 = 6 \cdot 20\)으로 확인했다.
거짓 판정 사례 — 문제 16. ① 실험: 소수 \(3, 5, 7\)을 넣어 \(13, 29, 53\)을 얻어 참처럼 보였다. ② 판정을 보류하고 수색 순서 ⑤(“소수 \(2\)”)를 적용해 \(n = 2\)를 넣자 \(8\)이 나왔고, 거짓으로 판정했다. ③ 기법 선택: 전칭 조건문의 반증이므로 반례 완전 서식. ④ 실행: 제시 + 검증 1 + 검증 2로 반증문을 썼다. ⑤ 검산: \(8\)의 양의 약수 \(1, 2, 4, 8\)을 열거해 소수가 아님을 재확인했다.
망설인 문항 — 문제 10. 문제 9와 문장 모양이 같아 참으로 판정할 뻔했고, “\(p \mid n^2 \Rightarrow p \mid n\)은 \(p\)가 소수일 때의 정리”라는 조건 확인이 판정을 갈랐다. 19주차에서 확보한 것은 \(p = 2, 3, 5\)의 개별 사례이고 \(4\)는 그중 어디에도 해당하지 않는다는 점까지 확인했다.
복기. 이 서술에서 채점되는 것은 문장 솜씨가 아니라 §0의 권장 동선 다섯 단계가 빠짐없이 적혔는지다. 특히 ③(기법 선택의 신호)과 ⑤(검산)는 답안에서 자주 빠지는 두 단계이며, 그 둘이 빠지면 다음 시험에서 같은 자리에서 다시 막힌다.
채점 가이드와 6부 수료#
판정 정확도: 19문항 중 16개 이상을 옳게 판정하고 거짓 문항의 반례를 완전 서식으로 적었으면 6부 수료로 보고 31주차로 넘어간다.
판정 오류가 4개 이상이면 29주차(반례 수색과 완전 서식)와 23주차(§1.5 선택 순서도)를 다시 읽은 뒤, 문항 순서를 섞어 재시험한다.
판정은 맞았는데 실행이 빈약한 경우(검증 누락, 서식 붕괴)에는 해당 기법의 주차로 돌아간다. 절차는 24주차 §2의 오답 클리닉을 따른다.
9번과 10번, 1번과 2번, 6\(\cdot\)7번과 8번처럼 쌍으로 설계된 문항에서 둘 다 틀렸다면, 정리의 “조건”을 읽는 습관(소수 조건, 상수항 하나, 연산 방향)을 특히 복습한다.
6부까지의 지도: 1~2부(언어: 집합\(\cdot\)논리) \(\to\) 3부(세기) \(\to\) 4~5부(기법: 직접\(\cdot\)케이스\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류) \(\to\) 6부(문장 유형: iff\(\cdot\)존재\(\cdot\)유일\(\cdot\)집합 상등\(\cdot\)반증). 다음 7부의 주제는 남은 대형 기법인 수학적 귀납법이다.
다음 주 예고: 수학적 귀납법. 무한히 많은 명제를 두 개의 증명(기초 단계와 귀납 단계)으로 처리하는 기법을 배우고, 고교 수열 단원에서 공식으로만 외웠던 등식들을 증명으로 되찾는다. 29주차 문제 8(b)에서 실험으로 범위만 제안해 두었던 “\(n \ge 4\)에서 \(2^n \ge n^2\)”은 31주차에서 기법을 갖춘 뒤 32주차 예제 2.1에서 증명된다.