# 30주차 — 참·거짓 판별 종합: 증명 또는 반증하라 (6부 총정리) :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 실전에는 "증명하라"가 아니라 "참인가"만 주어진다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 30주차. 25~29주차(동치$\cdot$존재$\cdot$집합 증명$\cdot$반증)를 마무리하는 6부 총정리이며, 소재는 1~24주차 전체에서 나온다. 참$\cdot$거짓 라벨이 붙지 않은 명제 앞에 서는 것이 이 주의 과제다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 7~9장 종합 — 참$\cdot$거짓이 표시되지 않은 명제의 판별. 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. **판별 19문항 + 서술 1문항**: 판별 문항은 각 명제의 참$\cdot$거짓을 스스로 판정하고, 참이면 증명$\cdot$거짓이면 반증한다 (권장 150분). 1. 판별–실행 동선(실험 $\to$ 판정 $\to$ 기법 선택 $\to$ 실행 $\to$ 검산)을 절차로 고정한다. 1. 6부(동치$\cdot$존재$\cdot$집합 증명$\cdot$반증)를 수료한다. ## 시험 규칙과 동선 - 교재를 덮고 백지에서 푼다. **문항마다 첫 줄에 "참" 또는 "거짓" 판정을 선언**한 뒤 실행(증명 또는 반증)한다. - 권장 동선: ① 작은 사례 실험($0$, $1$, $2$, 분수, 음수, 소수 $2$, $\emptyset$ 등 — 29주차 §1의 반례 수색 순서) ② 판정 ③ 참이면 기법 선택(23주차 §1.5 선택 순서도), 거짓이면 반례 완전 서식(29주차 §1) ④ 실행 ⑤ 검산(가정을 전부 소비했는지 확인, 반례는 원래 명제에 재대입). - 판정이 틀리면 그 아래의 실행은 검사할 대상을 잃는다. 거짓 명제를 참으로 판정하면 증명하려는 진술 자체가 성립하지 않으므로, 이어 적은 줄들은 어디선가 반드시 무너져 있다. 실험을 아끼지 않는 것이 실행보다 먼저다. :::{container} quotebox **확인 1.** 반례를 제시할 때 붙이는 검증 두 가지는 각각 무엇을 확인하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (검증 1)은 제시한 값이 명제의 **무대와 가정**을 실제로 만족하는지 확인한다 — 정수에 대한 명제라면 정수인지, 조건문이라면 가정 $P$가 참인지. (검증 2)는 그 값에서 **결론이 위배**됨을 확인한다. 둘 중 하나가 빠지면 반례가 아니라 값의 나열이 된다(29주차 §1의 서식). ::: :::{container} quotebox **확인 2.** 결론이 "$a \mid b$ 또는 $a \mid c$"인 조건문을 반증하려면 반례에서 무엇까지 확인해야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 두 갈래를 **모두** 부정해야 한다. "또는"의 부정은 "둘 다 아니다"이므로 (11주차 부정 규칙), $a \nmid b$와 $a \nmid c$를 각각 보여야 결론 위배가 확정된다. 한쪽만 확인하고 멈추면 다른 갈래가 살아 있어 명제가 아직 참일 수 있다. ::: ## 판별 시험 (20문항 — 참·거짓 미표시) **1.** 모든 정수 $n$에 대해, $n^2 + n + 6$은 짝수이다. **2.** 모든 정수 $n$에 대해, $n^2 + n + 3$은 짝수이다. **3.** 정수 $a, b, c$에 대해, $a \mid b$이고 $b \mid c$이면 $a \mid c$이다. **4.** 정수 $a, b, c$에 대해, $a \mid (b + c)$이면 $a \mid b$이거나 $a \mid c$이다. **5.** 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 > 0$이다. **6.** $x, y$가 무리수이면 $x + y$는 무리수이다. **7.** $x, y$가 무리수이면 $xy$는 무리수이다. **8.** $x$가 유리수이고 $y$가 무리수이면 $x + y$는 무리수이다. **9.** 정수 $n$에 대해, $n^2$이 3의 배수이면 $n$은 3의 배수이다. **10.** 정수 $n$에 대해, $n^2$이 4의 배수이면 $n$은 4의 배수이다. **11.** $\sqrt{8}$은 무리수이다. **12.** 두 홀수의 합은 항상 4의 배수이다. **13.** 모든 실수 $x, y$에 대해 $|xy| = |x|\,|y|$이다. **14.** 임의의 집합 $A, B, C$에 대해 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$이다. **15.** 임의의 집합 $A, B$에 대해 $\mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$이다. **16.** $n$이 소수이면 $n^2 + 4$도 소수이다. **17.** 모든 자연수 $n$에 대해 $6 \mid (n^3 - n)$이다. **18.** $x^2 - 4y = 2$를 만족하는 정수 $x, y$는 존재하지 않는다. **19.** $x^2 + 4x + 5 = 0$을 만족하는 실수 $x$가 존재한다. **20.** (서술) 위 19문항을 푼 경험을 바탕으로, "판별 시험"에서 자신이 사용한 동선(실험 $\to$ 판정 $\to$ 실행 $\to$ 검산)을 사례 2개(참 판정 1, 거짓 판정 1)와 함께 요약하시오. 판정을 망설이게 했던 문항과 그 이유도 한 문장으로 덧붙이시오. ## 백지 복습 체크리스트 (시험 후) - [ ] 모든 판별 문항(1~19)에서 첫 줄 판정을 선언했다. - [ ] 거짓 문항의 반례를 완전 서식(제시 + 검증 1 + 검증 2)으로 썼다. - [ ] 참 문항에서 기법 선택의 신호를 댈 수 있다. - [ ] 판정을 틀린 문항이 3개 이하다 (초과 시 29주차 재복습). - [ ] 판정이 틀리면 실행이 검사 대상을 잃는다는 것을 답안에서 확인했다. ## 해설 틀린 문항은 **접근**만 읽고 재시도한 뒤, 그다음에 풀이를 확인한다. ### 문제 1 **접근.** 판정을 먼저 한다. $n = 0$에서 $6$, $n = 1$에서 $8$, $n = 2$에서 $12$, $n = -1$에서 $6$ — 전부 짝수이므로 참으로 예상한다. 실행에 필요한 부품은 이미 갖고 있다. $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이고(1주차 문제 16), 상수 $6$도 짝수이다. 남은 일은 이 둘을 "짝수 + 짝수 = 짝수"(1주차 예제 2.1)로 잇는 것뿐이며, 새로 전개할 계산은 없다. **풀이.** **참.** $n$을 임의의 정수라 하자. $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이고(1주차 문제 16), 정의 1.1에 의해 $n^2 + n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 또 $6 = 2 \cdot 3$이므로 $6$도 짝수이다. 따라서 $$ n^2 + n + 6 = 2k + 2 \cdot 3 = 2(k + 3) $$ 이고 $k + 3$은 정수이므로, 정의 1.1에 의해 $n^2 + n + 6$은 짝수이다. $\blacksquare$ **복기.** 부품을 인용해 조립하는 증명에서도 마지막 줄은 정의 꼴 $2(\text{정수})$까지 밀어붙인다. $2k + 6$에서 멈추면 정의 꼴이 아니다. ### 문제 2 **접근.** 문제 1과 상수항만 다르므로 그 차이가 어디에 작용하는지를 본다. 실험에서 $n = 1$일 때 $1 + 1 + 3 = 5$로 홀수가 나오므로 즉시 거짓으로 판정된다. 전칭 명제의 반증이므로 반례 하나를 완전 서식(제시 + 검증 1 + 검증 2)으로 적으면 끝난다(29주차 §1). 구조도 한 줄로 설명된다 — $n^2 + n$은 항상 짝수인데 $3$은 홀수이므로 합은 항상 홀수다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $n = 1$을 제시한다. (검증 1) $1 \in \mathbb{Z}$이므로 명제의 무대("모든 정수 $n$")를 만족한다 ✓. (검증 2) $1^2 + 1 + 3 = 5$이고 $5 = 2 \cdot 2 + 1$이므로 $5$는 홀수이다. 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없으므로(22주차 문제 5) $5$는 짝수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ 이 명제는 어떤 정수에서도 성립하지 않는다. $n^2 + n$은 짝수이므로(1주차 문제 16) $n^2 + n = 2k$인 정수 $k$가 있고, $n^2 + n + 3 = 2k + 3 = 2(k+1) + 1$은 항상 홀수이기 때문이다. **복기.** 문제 1과 2를 나란히 놓으면 판정 신호가 드러난다. $n^2 + n$이 짝수임은 고정되어 있으므로, 진리값을 결정하는 것은 상수항의 홀짝 하나다. ### 문제 3 **접근.** 2주차 예제 2.1이 정확히 이 명제(나누어떨어짐의 추이성)다. 참으로 판정하고, 실행은 정의 2.1을 두 번 풀어 쓴 뒤 대입해 다시 정의 꼴로 묶는 표준 직접 증명이다. 주의할 지점은 두 등식에 서로 다른 문자를 쓰는 것 — 같은 문자를 쓰면 두 몫이 같다는, 가정에 없는 조건이 들어간다. **풀이.** **참.** $a \mid b$이고 $b \mid c$라 하자. 정의 2.1에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재하고, $c = bl$인 정수 $l$이 존재한다. 첫 식을 둘째 식에 대입하면 $$ c = bl = (ak)l = a(kl) $$ 이다. 정수의 곱은 정수이므로 $kl \in \mathbb{Z}$이고, 따라서 $c = a \cdot (\text{정수})$ 꼴이다. 정의 2.1에 의해 $a \mid c$이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 증명의 유일한 계산은 결합법칙으로 괄호를 옮겨 $a$를 앞으로 빼내는 한 걸음이다. 나누어떨어짐 문제는 대부분 "정의로 풀고 $\to$ 대입하고 $\to$ 다시 정의 꼴로 묶기"의 세 걸음으로 끝난다. ### 문제 4 **접근.** 나누어떨어짐은 합 쪽으로만 보장된다 — $a \mid b$이고 $a \mid c$이면 $a \mid (b+c)$가 참이고(2주차 예제 2.2), 이 명제는 그 화살표를 거꾸로 돌린 것이다. 합이 배수여도 각 조각은 자유로울 수 있으므로 반례를 찾는다. 2주차 문제 16이 같은 구조의 반례를 요구했다. 실험: $3 \mid (1 + 2)$이지만 $3 \nmid 1$이고 $3 \nmid 2$이다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $a = 3$, $b = 1$, $c = 2$를 제시한다. (검증 1) 셋 다 정수이고, $b + c = 3 = 3 \cdot 1$이므로 정의 2.1에 의해 $3 \mid (b + c)$ — 가정이 성립한다 ✓. (검증 2) $1 = 3q$인 정수 $q$는 없으므로 $3 \nmid 1$이고, $2 = 3q$인 정수 $q$도 없으므로 $3 \nmid 2$이다. 즉 결론 "$a \mid b$ 또는 $a \mid c$"의 두 갈래가 모두 거짓이다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 결론이 "또는"인 조건문을 반증하려면 두 갈래를 모두 부정해야 한다(확인 2). 한쪽만 확인하고 멈춘 반례는 서식이 완결되지 않는다. ### 문제 5 **접근.** 반례 수색 순서 ①(0, 1, 2 같은 특수한 작은 수, 29주차 §1)이 곧바로 답을 준다. $x = 0$에서 $x^2 = 0$이고 $0 > 0$은 성립하지 않는다. 부등호가 $\ge$였다면 참이 되는 명제이므로, 등호가 성립하는 경계값을 먼저 대입하는 습관이 판정을 가른다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $x = 0$을 제시한다. (검증 1) $0 \in \mathbb{R}$이므로 명제의 무대("모든 실수 $x$")를 만족한다 ✓. (검증 2) $0^2 = 0$이고 $0 > 0$은 성립하지 않으므로 결론이 위배된다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 참인 진술은 "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge 0$이다"(16주차 (W1))이며, 등호가 성립하는 유일한 지점이 $x = 0$이다. 부등호가 엄격한지 아닌지를 확인하는 것이 이 유형의 판정 신호다. ### 문제 6 **접근.** 15주차 문제 19에서 이미 만들어 둔 증인 쌍이 그대로 반례가 된다. 무리수 전체는 덧셈에 대해 닫혀 있지 않으므로, 무리수에 닫힘성을 적용하려는 자리가 곧 반례 수색 신호다. $\sqrt2$와 그 부호를 바꾼 수를 더하면 합이 $0$이 된다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $x = \sqrt2$, $y = -\sqrt2$를 제시한다. (검증 1) $\sqrt2$는 무리수이다(21주차 예제 2.2). 또 $-\sqrt2$도 무리수이다 — $-\sqrt2$가 유리수라면 $(-1) \cdot (-\sqrt2) = \sqrt2$도 유리수가 되어(15주차 문제 19의 논증) $\sqrt2$가 무리수라는 사실과 모순이기 때문이다. 즉 $x, y$ 모두 가정을 만족한다 ✓. (검증 2) $x + y = \sqrt2 + (-\sqrt2) = 0 = \frac{0}{1}$이므로 합은 유리수이고, 정의 15.1에 의해 무리수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 반례의 (검증 1)은 두 수가 실제로 무리수임까지 포함해야 완결된다. 무리수라는 성질 자체가 증명을 요구하는 성질이므로, 근거를 인용하지 않고 넘어가면 가정 확인이 비어 있게 된다. ### 문제 7 **접근.** 26주차 문제 3이 요구했던 증인이 그대로 반례다. 곱셈에 대해서도 무리수는 닫혀 있지 않고, 가장 짧은 증인은 같은 수를 두 번 쓰는 것이다: $\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2$. 명제에는 $x$와 $y$가 서로 달라야 한다는 조건이 없으므로 $x = y$도 정당한 반례다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $x = y = \sqrt2$를 제시한다. (검증 1) $\sqrt2$는 무리수이므로(21주차 예제 2.2) $x, y$ 모두 가정 "$x, y$가 무리수"를 만족한다 ✓. (검증 2) $xy = \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2 = \frac{2}{1}$이므로 곱은 유리수이고, 정의 15.1에 의해 무리수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** "$x, y$가 무리수이면"은 두 수가 다르다는 뜻이 아니다. 명제에 없는 조건을 스스로 덧붙이면 가장 가까운 반례를 수색 범위 밖으로 밀어내게 된다. ### 문제 8 **접근.** 6$\cdot$7번과 달리 이쪽은 참이다. 결론 "무리수"는 "유리수가 아니다"라는 부정형 개념이어서 곧바로 전개할 등식이 없고, 이것이 귀류법의 신호다(21주차 §1). 부정을 가정해 $x + y$를 유리수로 놓으면 $y = (x+y) - x$가 유리수의 차가 되어 15주차 문제 9에 의해 $y$가 유리수가 되고, 이것이 가정 "$y$는 무리수"와 충돌한다. **풀이.** **참.** $x$를 유리수, $y$를 무리수라 하자. 모순을 이끌어내기 위해 $x + y$가 유리수라고 가정하자. 그러면 $$ y = (x + y) - x $$ 인데, 우변은 유리수 $x + y$와 유리수 $x$의 차이므로 유리수이다(15주차 문제 9). 즉 $y$가 유리수가 되는데, 이는 $y$가 무리수라는 가정과 모순이다(정의 15.1에 의해 무리수는 유리수가 아닌 실수이므로 둘을 동시에 만족할 수 없다). 따라서 $x + y$는 무리수이다. $\blacksquare$ **복기.** 6$\cdot$7번과 8번의 대비가 이 시험의 설계다. 무리수끼리의 연산에는 닫힘성이 없지만, 유리수가 하나 섞이면 유리수 쪽의 닫힘성을 되돌려 쓸 수 있다. 부정형 결론에서 귀류로 갈아타는 신호도 같은 자리에서 반복된다. ### 문제 9 **접근.** 19주차 예제 2.2가 바로 이 명제다. 가정 "$3 \mid n^2$"에서는 $n$ 자체를 꺼낼 방법이 없어 직접 증명이 막히므로, 대우 "$3 \nmid n \Rightarrow 3 \nmid n^2$"로 갈아탄다. 대우의 가정은 $n$의 나머지 정보를 주므로 나눗셈 정리로 경우를 나눌 수 있다. **풀이.** **참.** 대우 "$3 \nmid n$이면 $3 \nmid n^2$"를 증명한다. $3 \nmid n$이라 하자. 나눗셈 정리(17주차 §1)에 의해 $n$은 정수 $q$에 대해 $3q$, $3q+1$, $3q+2$ 중 정확히 하나의 꼴이고, $3 \nmid n$이므로 $n = 3q$인 경우는 제외된다. 경우 1: $n = 3q + 1$이면 $n^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$이고, $3q^2 + 2q$는 정수이므로 $n^2$은 3으로 나눈 나머지가 1이다. 경우 2: $n = 3q + 2$이면 $n^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$이고, $3q^2 + 4q + 1$은 정수이므로 이 경우도 나머지가 1이다. 두 경우 모두 $n^2$을 3으로 나눈 나머지가 1이다. 나눗셈 정리는 몫과 나머지를 **유일하게** 정하므로, 나머지가 1인 이상 나머지가 0일 수는 없다. 따라서 두 경우 모두 $3 \nmid n^2$이다. 대우가 성립하므로 원명제도 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 나머지가 1로 같아 보여도 두 경우의 몫이 다르므로, 경우를 묶어 한 번에 처리하지 않고 각각의 전개를 적는다. 나눗셈 정리는 여기서 두 조각으로 쓰인다 — **빠짐없음**(세 나머지 꼴이 전체를 덮으므로 분할이 완전하다)과 **유일성**(나머지가 1이면 0일 수 없다). 두 조각을 각각 선언하는 줄도 증명의 일부다. ### 문제 10 **접근.** 9번과 문장 모양이 같아 참으로 착각하기 쉬운 자리다. 그러나 지금까지 확보한 것은 $p = 2$(19주차 예제 2.1), $p = 3$(19주차 예제 2.2), $p = 5$(19주차 문제 15) 세 개별 사례이고, 그 일반형 "$p$가 소수이면 $p \mid n^2 \Rightarrow p \mid n$"은 $p$가 **소수**라는 조건에 기대는 정리다(일반형의 뿌리인 유클리드 보조정리는 33주차 문제 16에서 인정하고 쓴다). $4$는 합성수이므로 그 조건이 충족되지 않는다. 조건이 빠졌으면 반례를 찾는다. 실험에서 $n = 2$가 곧바로 걸린다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $n = 2$를 제시한다. (검증 1) $2 \in \mathbb{Z}$이고 $n^2 = 4 = 4 \cdot 1$이므로 정의 2.1에 의해 $4 \mid n^2$ — 가정이 성립한다 ✓. (검증 2) $2 = 4q$인 정수 $q$는 존재하지 않는다(그런 $q$가 있다면 $q = \frac12$인데 이는 정수가 아니다). 따라서 $4 \nmid 2$이고 결론이 위배된다 ✗. 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 9번과 10번은 쌍으로 설계된 문항이다. 정리를 부품으로 인용할 때는 결론뿐 아니라 **조건**("$p$는 소수")까지 함께 기억해야 판정이 흔들리지 않는다. 지금 손에 있는 것이 개별 사례($p = 2, 3, 5$)인지 일반형인지도 함께 확인한다. ### 문제 11 **접근.** 결론이 "무리수"이므로 귀류법의 신호다. 21주차 예제 2.2처럼 처음부터 기약분수를 놓고 전개해도 정답이 되지만, $8 = 4 \cdot 2$를 이용해 $\sqrt8 = 2\sqrt2$로 정리하면 이미 증명한 두 정리의 조립으로 세 줄에 끝난다. 부품 재사용이 짧은 길이다. **풀이.** **참.** 모순을 이끌어내기 위해 $\sqrt8$이 유리수라고 가정하고, $\sqrt8 = r$인 유리수 $r$을 잡자. $8 = 4 \cdot 2$이므로, $a, b \ge 0$에서 $\sqrt{ab} = \sqrt a\,\sqrt b$라는 인정 사실(16주차 §1.2)에 의해 $$ \sqrt8 = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt4\,\sqrt2 = 2\sqrt2 $$ 이고, 따라서 $\sqrt2 = \dfrac{r}{2}$이다. $r$은 유리수이고 $2$는 $0$이 아닌 유리수이므로 그 몫 $\dfrac{r}{2}$는 유리수이다(15주차 문제 15). 즉 $\sqrt2$가 유리수가 되는데, 이는 $\sqrt2$가 무리수라는 사실(21주차 예제 2.2)과 모순이다. 따라서 $\sqrt8$은 무리수이다. $\blacksquare$ **복기.** 근호 안을 제곱인수로 분해해 이미 무리수임을 아는 수로 환원하는 절차는 $\sqrt{18} = 3\sqrt2$, $\sqrt{50} = 5\sqrt2$ 등에도 그대로 통한다. ### 문제 12 **접근.** 실험에서 성공 사례가 먼저 나오는 유형이다. $3 + 5 = 8$은 4의 배수여서 참처럼 보이지만, $1 + 5 = 6$에서 무너진다. 참인 정리는 "두 홀수의 합은 짝수"(1주차 예제 2.3)이며, 그 증명이 보장하는 것은 인수 $2$까지다. $4$를 주장하려면 별도의 근거가 필요한데 그런 근거는 없다. **풀이.** **거짓.** 반례로 두 홀수 $1$과 $5$를 제시한다. (검증 1) $1 = 2 \cdot 0 + 1$이고 $5 = 2 \cdot 2 + 1$이므로 정의 1.2에 의해 둘 다 홀수이다 ✓. (검증 2) $1 + 5 = 6$인데, $6 = 4q$인 정수 $q$가 있다면 $q = \frac32$이고 이는 정수가 아니다. 따라서 $4 \nmid 6$이고 결론이 위배된다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 성공 사례 몇 개는 판정의 근거가 되지 못한다(1주차 문제 18에서 본 현상). 실험은 참을 확인하는 절차가 아니라 반례를 수색하는 절차로 쓴다. $3 + 5 = 8$처럼 우연히 맞는 값을 먼저 만나면 수색을 더 밀어붙인다. ### 문제 13 **접근.** 17주차 문제 10이 같은 명제다. 절댓값의 정의(정의 17.1)가 부호에 따른 케이스로 되어 있으므로 증명도 케이스로 간다. $0$이 섞인 경우를 먼저 처리해 두면 남는 것은 부호 조합 네 가지이고, $x$와 $y$의 역할이 대칭이므로 그중 두 경우는 같은 계산으로 처리된다. **풀이.** **참.** $x, y$를 임의의 실수라 하자. 경우 0: $x = 0$ 또는 $y = 0$인 경우. 그러면 $xy = 0$이므로 $|xy| = |0| = 0$이고, $|x|\,|y|$의 두 인수 중 하나가 $0$이므로 $|x|\,|y| = 0$이다. 양변이 같다. 이제 $x \neq 0$이고 $y \neq 0$이라 하자. 실수의 삼분법에 의해 각각 양수이거나 음수이므로 다음 네 경우가 전체를 덮는다. 경우 1: $x > 0$, $y > 0$. 양수 두 개의 곱은 양수이므로((W4), 16주차) $xy > 0$이고, 정의 17.1에 의해 $|xy| = xy$이며, $|x| = x$, $|y| = y$이므로 $|x|\,|y| = xy$이다. 양변이 같다. 경우 2: $x > 0$, $y < 0$. $y < 0$인 양변에 $x > 0$을 곱하면 방향이 유지되므로((W3), 16주차) $xy < 0 \cdot x = 0$이다. 따라서 정의 17.1에 의해 $|xy| = -xy$이고, $|x| = x$, $|y| = -y$이므로 $|x|\,|y| = x(-y) = -xy$이다. 양변이 같다. 경우 3: $x < 0$, $y > 0$. 같은 방식으로 $x < 0$인 양변에 $y > 0$을 곱하면((W3)) $xy < 0$이므로 정의 17.1에 의해 $|xy| = -xy$이고, $|x| = -x$, $|y| = y$이므로 $|x|\,|y| = (-x)y = -xy$이다. 양변이 같다. 경우 4: $x < 0$, $y < 0$. 삼분법에 의해 $-x > 0$이고 $-y > 0$이므로 (W4)에 의해 $(-x)(-y) > 0$, 곧 $xy > 0$이다. 따라서 정의 17.1에 의해 $|xy| = xy$이고, $|x| = -x$, $|y| = -y$이므로 $|x|\,|y| = (-x)(-y) = xy$이다. 양변이 같다. 모든 경우에서 $|xy| = |x|\,|y|$이므로 명제는 참이다. $\blacksquare$ **복기.** 케이스 증명은 경우들이 모든 가능성을 덮는지로 검산한다. 여기서는 $0$ 여부와 두 부호의 조합이 실수 쌍 전체를 덮는다. 경우 2와 3은 $x, y$의 역할을 맞바꾼 관계이므로 WLOG로 압축해 하나만 적어도 되며(17주차 예제 2.3), 그때는 대칭성을 명시하는 한 줄이 필요하다. ### 문제 14 **접근.** 27주차 예제 2.2가 같은 명제다. 집합의 상등은 원소를 추적해 증명하고, 그 가운데 단계의 엔진은 논리의 분배법칙(7주차 문제 15)이다. 각 단계가 전부 동치이므로 양방향 포함을 따로 쓰는 대신 $\iff$ 사슬 하나로 묶을 수 있다. **풀이.** **참.** 임의의 $x$를 잡자. 먼저 교집합과 합집합의 정의에 의해 $$ x \in A \cap (B \cup C) \iff x \in A \ \land\ (x \in B \lor x \in C) $$ 이다. 여기에 논리의 분배법칙(7주차 문제 15)을 적용하면 $$ x \in A \ \land\ (x \in B \lor x \in C) \iff (x \in A \land x \in B) \ \lor\ (x \in A \land x \in C) $$ 이고, 다시 교집합과 합집합의 정의로 되돌려 읽으면 $$ (x \in A \land x \in B) \ \lor\ (x \in A \land x \in C) \iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) $$ 이다. 세 동치를 이으면 임의의 $x$에 대해 $x \in A \cap (B \cup C)$와 $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$가 동치이므로, 두 집합은 같다. $\blacksquare$ **복기.** 집합의 법칙은 대응하는 논리의 법칙을 원소 수준에서 번역한 것이다. 집합 등식에서 막히면 그 자리의 논리 동치가 무엇인지를 먼저 확인하면 된다. ### 문제 15 **접근.** 4주차 문제 19에서 관찰했고 28주차 문제 9에서 정리로 정리한 사실이다. 한쪽 포함 $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)$는 참이지만 역포함이 거짓이므로, 두 집합이 다름을 보이려면 왼쪽 집합에는 속하고 오른쪽 집합에는 속하지 않는 원소 하나를 제시하면 된다. $A$와 $B$에서 원소를 하나씩 모아 만든 집합이 그 증인이다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $A = \{1\}$, $B = \{2\}$를 제시한다. (검증 1) 둘 다 집합이므로 명제의 무대("임의의 집합 $A, B$")를 만족한다 ✓. (검증 2) $A \cup B = \{1, 2\}$이고 $\{1,2\} \subseteq \{1,2\}$이므로 정의 4.2에 의해 $\{1,2\} \in \mathcal{P}(A \cup B)$이다. 한편 $2 \notin A$이므로 $\{1,2\} \nsubseteq A$, 즉 $\{1,2\} \notin \mathcal{P}(A)$이고, $1 \notin B$이므로 $\{1,2\} \nsubseteq B$, 즉 $\{1,2\} \notin \mathcal{P}(B)$이다. 따라서 $\{1,2\} \notin \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$이다. 한 집합에는 속하고 다른 집합에는 속하지 않는 원소가 있으므로 두 집합은 같지 않다 ✗. 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 집합 상등의 반증은 소속이 갈리는 원소 하나를 제시하는 일이다. 합집합은 두 집합에 걸친 새 부분집합($\{1,2\}$)을 만들어 내지만 $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$는 한쪽에만 담긴 부분집합들만 모으므로, 교환이 성립하지 않는다. ### 문제 16 **접근.** 반례 수색 순서 ⑤(소수 $2$ — 유일한 짝수 소수, 29주차 §1)가 곧바로 답을 준다. 홀수 소수부터 넣으면 $n = 3$에서 $13$, $n = 5$에서 $29$, $n = 7$에서 $53$으로 모두 소수여서 참처럼 보인다. 특수한 소수 $2$를 먼저 시험하는 순서가 판정을 앞당긴다. **풀이.** **거짓.** 반례로 $n = 2$를 제시한다. (검증 1) $2$는 소수이므로(정의 15.2) 가정 "$n$이 소수"를 만족한다 ✓. (검증 2) $2^2 + 4 = 8$이고 $8 = 2 \cdot 4$이므로 $8$의 양의 약수에는 $1$과 $8$ 외에 $2$와 $4$가 있다. 즉 $8$은 소수가 아니다 ✗. 따라서 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 홀수 소수 $n$에서는 $n^2$이 홀수이므로 $n^2 + 4$도 홀수여서 인수 $2$로는 걸러지지 않는다. 그렇다고 반례가 $2$에만 있는 것은 아니다 — $n = 11$이면 $11^2 + 4 = 125 = 5^3$으로 역시 합성수다. $2$를 먼저 시험하는 이유는 반례가 거기에만 살아서가 아니라, 수색 순서에서 가장 먼저 걸리는 자리이기 때문이다. ### 문제 17 **접근.** 부품 세 개의 조립으로 끝난다. $2 \mid (n^3 - n)$은 17주차 문제 7, $3 \mid (n^3 - n)$은 17주차 예제 2.1, "$2 \mid x$이고 $3 \mid x$이면 $6 \mid x$"는 20주차 문제 13이다. 실험($n = 2$에서 $6$, $n = 3$에서 $24$, $n = 4$에서 $60$)으로 참을 예상한 뒤, 새로 전개하지 않고 인용만으로 증명문을 만든다. **풀이.** **참.** $n$을 임의의 자연수라 하자. 먼저 $n^3 - n$은 짝수, 즉 $2 \mid (n^3 - n)$이다(17주차 문제 7). 또한 $3 \mid (n^3 - n)$이다(17주차 예제 2.1). 한편 정수 $x$가 $2 \mid x$이고 $3 \mid x$이면 $6 \mid x$이므로(20주차 문제 13), 정수 $x = n^3 - n$에 이 정리를 적용하면 $6 \mid (n^3 - n)$이다. $\blacksquare$ **복기.** 검산: $n = 5$에서 $125 - 5 = 120 = 6 \cdot 20$ ✓. 인용형 증명에서 확인할 지점은 인용한 정리의 가정이 실제로 충족되는지다 — 여기서는 $n^3 - n$이 정수라는 점이 20주차 문제 13을 적용할 자격이 된다. ### 문제 18 **접근.** 21주차 문제 12가 문자만 바꾼 같은 명제다. 결론이 "존재하지 않는다"라는 부정형이므로 귀류법의 신호이며, 부정을 가정해 정수 $x, y$를 손에 넣은 뒤 홀짝 충돌을 만든다. 도중에 $x^2$이 짝수임을 얻게 되는데, 거기서 $x$가 짝수임을 끌어내려면 19주차 예제 2.1(대우로 증명해 둔 부품)이 필요하다. **풀이.** **참.** 모순을 이끌어내기 위해 $x^2 - 4y = 2$인 정수 $x, y$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $$ x^2 = 4y + 2 = 2(2y + 1) $$ 이고 $2y + 1$은 정수이므로 정의 1.1에 의해 $x^2$은 짝수이다. $x^2$이 짝수이면 $x$도 짝수이므로(19주차 예제 2.1) $x = 2c$인 정수 $c$가 존재한다. 이를 대입하면 $(2c)^2 = 4y + 2$, 즉 $4c^2 = 4y + 2$이고, 양변을 $2$로 나누면 $$ 2c^2 = 2y + 1 $$ 이다. 좌변은 $2 \cdot (\text{정수})$이므로 짝수이고 우변은 $2 \cdot (\text{정수}) + 1$이므로 홀수인데, 어떤 정수도 짝수이면서 동시에 홀수일 수 없다(22주차 문제 5). 모순이다. 따라서 $x^2 - 4y = 2$를 만족하는 정수 $x, y$는 존재하지 않는다. $\blacksquare$ **복기.** 정수 방정식에 해가 없음을 보이는 표준 절차는 양변을 어떤 수로 나눈 나머지로 비교하는 것이다. 여기서는 나누는 수가 $2$였고, 홀짝 충돌이 모순의 자리가 되었다. ### 문제 19 **접근.** 존재 명제의 반증은 반례 하나로 되지 않는다(29주차 예제 2.2). "여기엔 없다"를 아무리 모아도 "어디에도 없다"가 되지 않기 때문이다. 부정 "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 + 4x + 5 \neq 0$"은 전칭 명제이므로 전칭 증명을 쓴다. 도구는 16주차의 완전제곱 변형이며, $(x+2)^2 + 1$ 꼴로 만들면 값이 항상 $1$ 이상임이 드러난다. **풀이.** **거짓.** 부정 "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 + 4x + 5 \neq 0$"을 증명한다. $x$를 임의의 실수라 하자. 완전제곱으로 변형하면 $$ x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1 $$ 이다. 실수의 제곱은 음이 아니므로 $(x+2)^2 \ge 0$이고(16주차 (W1)), 양변에 $1$을 더하면 $x^2 + 4x + 5 \ge 1 > 0$이다. 따라서 어떤 실수 $x$에서도 $x^2 + 4x + 5 \neq 0$이다. 그러므로 $x^2 + 4x + 5 = 0$을 만족하는 실수는 존재하지 않고, 원래 명제는 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 존재의 반증은 부정(전칭)의 증명이라는 대응은 11주차의 부정 규칙에서 나온다. 반증이라는 낱말을 보고 반례부터 찾기 시작하면 이 유형에서 길을 잃으므로, 먼저 부정의 모양($\forall$인지 $\exists$인지)을 적어 두고 전략을 고른다. ### 문제 20 **접근.** 이 문항이 요구하는 것은 계산이 아니라 자기 절차의 언어화다. 문항이 적은 네 단계는 §0의 권장 동선을 줄인 것이므로, §0에 있는 ③(기법 선택)을 되살려 다섯 단계로 적으면 §2 체크리스트의 "기법 선택의 신호를 댈 수 있다" 항목까지 함께 채워진다. 참 판정 사례 하나와 거짓 판정 사례 하나를 골라 그 다섯 단계(실험 $\to$ 판정 $\to$ 기법 선택 $\to$ 실행 $\to$ 검산)에 각각 대응시키고, 마지막에 판정을 망설이게 한 문항과 그 이유를 한 문장으로 덧붙인다. 사례는 자신이 실제로 지나온 과정으로 적는다. 아래는 형식을 보이기 위한 예시 답안이다. **풀이.** (예시 답안) **참 판정 사례 — 문제 17.** ① 실험: $n = 2, 3, 4$에서 $n^3 - n$이 $6, 24, 60$으로 전부 6의 배수였다. ② 판정: 참. ③ 기법 선택: 새로 전개하는 대신 이미 가진 부품 세 개(17주차 문제 7, 17주차 예제 2.1, 20주차 문제 13)를 떠올렸다. ④ 실행: 세 부품을 인용해 조립 증명을 썼다. ⑤ 검산: $n = 5$에서 $120 = 6 \cdot 20$으로 확인했다. **거짓 판정 사례 — 문제 16.** ① 실험: 소수 $3, 5, 7$을 넣어 $13, 29, 53$을 얻어 참처럼 보였다. ② 판정을 보류하고 수색 순서 ⑤("소수 $2$")를 적용해 $n = 2$를 넣자 $8$이 나왔고, 거짓으로 판정했다. ③ 기법 선택: 전칭 조건문의 반증이므로 반례 완전 서식. ④ 실행: 제시 + 검증 1 + 검증 2로 반증문을 썼다. ⑤ 검산: $8$의 양의 약수 $1, 2, 4, 8$을 열거해 소수가 아님을 재확인했다. **망설인 문항 — 문제 10.** 문제 9와 문장 모양이 같아 참으로 판정할 뻔했고, "$p \mid n^2 \Rightarrow p \mid n$은 $p$가 소수일 때의 정리"라는 조건 확인이 판정을 갈랐다. 19주차에서 확보한 것은 $p = 2, 3, 5$의 개별 사례이고 $4$는 그중 어디에도 해당하지 않는다는 점까지 확인했다. **복기.** 이 서술에서 채점되는 것은 문장 솜씨가 아니라 §0의 권장 동선 다섯 단계가 빠짐없이 적혔는지다. 특히 ③(기법 선택의 신호)과 ⑤(검산)는 답안에서 자주 빠지는 두 단계이며, 그 둘이 빠지면 다음 시험에서 같은 자리에서 다시 막힌다. ## 채점 가이드와 6부 수료 - **판정 정확도**: 19문항 중 16개 이상을 옳게 판정하고 거짓 문항의 반례를 완전 서식으로 적었으면 **6부 수료**로 보고 31주차로 넘어간다. - 판정 오류가 4개 이상이면 29주차(반례 수색과 완전 서식)와 23주차(§1.5 선택 순서도)를 다시 읽은 뒤, 문항 순서를 섞어 재시험한다. - 판정은 맞았는데 실행이 빈약한 경우(검증 누락, 서식 붕괴)에는 해당 기법의 주차로 돌아간다. 절차는 24주차 §2의 오답 클리닉을 따른다. - 9번과 10번, 1번과 2번, 6$\cdot$7번과 8번처럼 **쌍으로 설계된 문항**에서 둘 다 틀렸다면, 정리의 "조건"을 읽는 습관(소수 조건, 상수항 하나, 연산 방향)을 특히 복습한다. **6부까지의 지도:** 1~2부(언어: 집합$\cdot$논리) $\to$ 3부(세기) $\to$ 4~5부(기법: 직접$\cdot$케이스$\cdot$대우$\cdot$귀류) $\to$ 6부(문장 유형: iff$\cdot$존재$\cdot$유일$\cdot$집합 상등$\cdot$반증). 다음 7부의 주제는 남은 대형 기법인 **수학적 귀납법**이다. --- **다음 주 예고:** 수학적 귀납법. 무한히 많은 명제를 두 개의 증명(기초 단계와 귀납 단계)으로 처리하는 기법을 배우고, 고교 수열 단원에서 공식으로만 외웠던 등식들을 증명으로 되찾는다. 29주차 문제 8(b)에서 실험으로 범위만 제안해 두었던 "$n \ge 4$에서 $2^n \ge n^2$"은 31주차에서 기법을 갖춘 뒤 32주차 예제 2.1에서 증명된다.