S13주차 — 유일성: 정확히 하나의 두 얼굴

이 주의 길잡이

핵심 문장: “정확히 하나”는 존재와 유일이라는 독립된 두 책임이고, 유일 쪽에는 다시 두 개시문이 있다 — 둘을 잡아 같음을 보이는 얼굴 1과, 둘이 다르다고 가정해 모순을 내는 얼굴 2.

이 주의 위치: 1학기 20주 과정의 S13주차. 부정 3부작(S10~S12주차)이 끝난 자리에서, S5주차의 구성법과 S11주차의 귀류가 하나의 명제 안에서 역할을 나눠 맡는다. 1권 26주차 정의 26.3에서 서식으로 익힌 유일성 표준 틀이 여기서 두 얼굴로 갈라지고, 1권 26주차 확인 6이 “그렇게 시작해도 된다”고만 답하고 넘어간 자리가 이름과 선택 기준을 얻는다.

원서 대응: Solow 11장. 주간 루틴 1일차에 원서 11장을 통독한 뒤 이 문서로 온다.

이번 주 목표

1. “정확히 하나 존재한다”를 존재와 유일 두 책임으로 분해하고, 두 책임이 서로를 함의하지 않는 이유를 각각의 반례로 말할 수 있다.

2. 유일성의 두 서식 — 얼굴 1(둘을 잡아 같음을 보인다)과 얼굴 2(둘이 다르다고 가정해 모순을 낸다) — 을 걸음마다 이유와 함께 백지에 쓴다.

3. 두 얼굴 중 무엇을 고를지의 판정 기준을 갖추고, 얼굴 2로 쓴 답안에서 다름 가정이 소비되지 않았을 때 얼굴 1로 정리한다(S11주차의 무늬만 귀류 점검).

4. 유일성 신호(“정확히 하나”, “유일한”, “많아야 하나”, 정관사, well-defined)를 감지하고, 답안에서 두 책임을 명시적으로 분리해 적는다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (S12주차 복습)

노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다.

1. S12주차의 직접\(\cdot\)대우\(\cdot\)귀류 판정법 표 여섯 줄을 재현하시오.

2. S11주차의 귀류 4단 서식과 모순의 3대 산지를 쓰시오 — 이번 주의 얼굴 2가 이 서식을 그대로 쓴다.

3. 1권 26주차 정의 26.3(유일성 증명의 표준 틀)과 정의 26.4(\(\exists!\)의 뜻)를 재현하시오.

이어서 다음 과제를 해 보자. 명제 “실수 \(a \neq 0\)과 실수 \(b\)에 대해, \(ax + b = 0\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다”를 증명해 보자. 손에 있는 것은 S5주차의 구성법과 1권 26주차의 표준 틀이다.

자주 나오는 세 가지 답

이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 1권 26주차와 S5주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 해를 구하고 끝낸다. “\(ax + b = 0\)에서 \(ax = -b\)이고, \(a \neq 0\)이므로

\(x = -\frac ba\)이다. 따라서 정확히 하나다.” 이 두 줄은 연습장의 역산이지 답안이 아니다. S5주차의 구성법은 걸음이 셋인데(연습장에서 후보 찾기 \(\to\) 답안에서 제시 \(\to\) 조건식에 넣어 전수 검증), 여기에는 첫 걸음만 있고 찾은 값을 증인으로 제시하는 문장도 대입 검증도 없다. 게다가 사슬의 방향이 “\(x\)가 해이면 \(x = -\frac ba\)”이므로 내용상으로는 오히려 유일 쪽을 향해 있다 — 존재를 얻으려면 역산을 되돌려 그 값이 실제로 조건을 만족함을 따로 보여야 한다. 무엇을 어느 파트에 적어야 하는지가 §1.2 끝의 정의 13.1이다.

• 유형 2 — 표준 틀로 유일만 쓴다. “\(ax_1 + b = 0\)이고 \(ax_2 + b = 0\)이라 하자.

두 식을 빼면 \(a(x_1 - x_2) = 0\)이고 \(a \neq 0\)이므로 \(x_1 = x_2\)이다.” 이 답안도 완전히 옳다 — 1권 26주차 정의 26.3을 정확히 수행했다. 다만 증명된 것은 “있다면 하나뿐”까지이고, 해가 실제로 있다는 말은 없다. 1권 26주차 확인 7이 이 간격을 물었다. 유형 1이 역산으로 찾은 값을 증인으로 제시하고 검증한 뒤 유형 2를 이어 붙이면 완성된 답안이 된다 — 두 책임이 서로 겹치지 않는다는 뜻이다.

• 유형 3 — 다르다고 가정하고 시작한 뒤 그대로 끝낸다. “\(x_1 \neq x_2\)인 두 해가

있다고 하자. 두 식을 빼면 \(a(x_1 - x_2) = 0\)이고 \(a \neq 0\)이므로 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 유일하다.” 계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 그런데 개시문에서 얹은 “\(x_1 \neq x_2\)”와 도착한 “\(x_1 = x_2\)”가 부딪히는데 그 충돌이 답안에 적혀 있지 않다 — S11주차 4단 서식의 걸음 ③(모순 명시)이 빠진 모양이고, 1권 26주차 확인 6이 경고한 그 누락이다. 이 개시문이 정당한 서식인지, 정당하다면 어떻게 닫아야 하는지가 §1.3이다.

이번 주가 새로 주는 것. 세 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 보인다. 유형 1은 존재 파트의 재료를 연습장에서 찾아 놓았고 유형 2는 유일 파트를 온전히 마쳤으며, 무엇을 어느 파트에 어떤 순서로 붙이는지의 규칙이 정의 13.1이다. 유형 3은 다른 개시문으로 같은 일을 하려다 닫는 법을 몰라 멈춘 것이고, 그 개시문에 이름과 서식을 주는 것이 정의 13.2다. 1권 26주차가 “그렇게 시작해도 된다”고만 답하고 지나간 자리가 여기서 두 번째 얼굴이 된다.

개념 — 유일성

1 표준 틀만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가

새 서식을 세우기 전에, 1권 26주차의 표준 틀 하나만으로 한 명제를 밀어붙여 본다.

시도 — 표준 틀로 개시한 뒤

명제: 수열 \((a_n)\)이 \(L\)로도 수렴하고 \(L'\)로도 수렴하면 \(L = L'\)이다.

“\((a_n)\)이 \(L\)로 수렴하고 \(L'\)로도 수렴한다고 하자. 수렴의 정의(1권 45주차 정의 45.1)에

의해, 임의의 양수 \(\varepsilon\)에 대해 \(n > N_1\)인 모든 \(n\)에서 항과 \(L\)의 거리가

\(\varepsilon\) 미만이 되는 문턱 \(N_1\)이 있고, 마찬가지로 \(L'\) 쪽 문턱 \(N_2\)가 있다.

두 정의를 결합하면 … “

여기서 멈춘다. 결합할 대상이 등식이 아니기 때문이다. 뒤에 볼 §1.2의 네 사례에서 두 조건은 등식이거나 순서 관계여서, 빼거나 대입하거나 반대칭성에 넣으면 곧바로 상등이 나온다. 수렴 조건은 등식이 아니라 “모든 \(\varepsilon\)에 대해 …”라는 전칭 문장이고, 전칭 문장은 특수화해야 사실이 나온다(S7주차). 그러면 어떤 \(\varepsilon\)을 지정할 것인가.

확인 1. 위 시도를 이어 가려면 \(\varepsilon\)에 무엇을 지정해야 하는가. 그 값이 자격(“양수”)을 통과하려면 무엇이 손에 있어야 하는지도 적어 보자.

답

지정할 값은 \(L\)과 \(L'\) 사이 거리의 절반이다. 이 값을 넣으면 두 문턱 뒤에서

항이 \(L\)에도 \(L'\)에도 가까워야 하는데 두 근방이 겹치지 않아 충돌이 생긴다.

그런데 특수화의 둘째 걸음은 자격 검증이고(S7주차), 이 값이 양수이려면

\(L \neq L'\)이 손에 있어야 한다. 표준 틀은 그 문장을 가정하지 않는다 —

정의 26.3의 첫 조각이 “다르다고 가정하지 않는다”이기 때문이다.

곧 이 명제에서는 결론의 부정이 있으면 특수화 값을 곧바로 지정할 수 있다.

한 사례에서만 그런 것이 아니다. 준비 운동 유형 3의 답안도 “\(x_1 \neq x_2\)”를 개시문에 얹고 출발했다. 거기서는 그 문장이 쓰이지 않고 남았지만, 극한에서는 그것이 없으면 첫 특수화조차 시작되지 않는다.

이 주 전체의 기준

유일성 명제에는 개시문이 둘 있다. 조건이 등식이어서 결합만으로 상등이 나오면

다르다는 가정을 얹지 않고 시작하고, 결론의 부정이 몸통의 재료가 되어 주면

그것을 얹고 시작해 모순으로 닫는다. 뒤엣것이 S11주차 귀류의 재취업이다.

2 사례 표를 채워 보기

개시문을 정하기 전에, 결합이 실제로 어떻게 일어나는지를 네 사례에서 본다. 각 행에서 “조건을 만족하는 것 둘을 잡으면 무엇이 손에 들어오고, 그 둘을 결합하면 무엇이 나오는지”를 채워 보자.

유일성 주장	둘을 잡으면 손에 들어오는 것	결합하면
\(ax + b = 0\)인 실수 \(x\) (\(a \neq 0\))	\(ax_1 + b = 0\), \(ax_2 + b = 0\)	빼면 \(a(x_1 - x_2) = 0\)이고 \(a \neq 0\)이므로 \(x_1 = x_2\)
집합 \(S\)의 최소원소	\(m_1 \le m_2\) 그리고 \(\underline{\quad(1)\quad}\)	반대칭성으로 \(\underline{\quad(2)\quad}\)
모든 실수 \(x\)에 대해 \(x + e = x\)인 실수 \(e\)	모든 \(x\)에 대해 \(x + e_1 = x\), 모든 \(x\)에 대해 \(x + e_2 = x\)	\(x = e_2\)와 \(x = e_1\)을 각각 특수화하면 \(\underline{\quad(3)\quad}\)
\(x^2 = a\)인 양의 실수 \(x\) (\(a > 0\))	\(x_1^2 = a\), \(x_2^2 = a\)	빼면 \((x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0\)이고 양수성으로 \(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 네 줄이 공통으로 하는 일을 한 문장으로 적어 보자. 네 줄 어디에도 나오지 않은 가정이 하나 있다 — 무엇인가.

답

(1) \(m_2 \le m_1\) (각각을 상대에게 최소성으로 적용한 결과다)

(2) \(m_1 = m_2\)

(3) \(e_2 + e_1 = e_2\)이고 \(e_1 + e_2 = e_1\)이므로, 덧셈의 교환법칙으로 두 좌변이

같아 \(e_1 = e_1 + e_2 = e_2 + e_1 = e_2\)

(4) \(x_1 + x_2 > 0\)이므로 \(x_1 - x_2 = 0\), 곧 \(x_1 = x_2\)

공통으로 하는 일: 조건을 두 번 발동해 문장 두 개를 확보하고, 그 둘을 결합해

\(x_1 = x_2\)를 유도한다. 나오지 않은 가정은 “\(x_1 \neq x_2\)”다 — 결론이 “같다”이므로

다르다는 가정은 필요 없었고, 실제로 어느 줄에서도 쓰이지 않았다.

이 표는 1권 26주차 §1.5의 표를 소재만 바꿔 다시 채운 것이다. 절차 자체에 새로운

것은 없다. 새로운 것은 §1.1처럼 결합이 막히는 명제가 있다는 사실이고, 거기서만

다르다는 가정이 필요해진다.

이 관찰에 정식 이름과 형식을 붙인다.

정의 13.1 — “정확히 하나”의 분해 [백지 암기 대상]

“조건 \(P\)를 만족하는 \(x\)가 정확히 하나 존재한다”(\(\exists!\,x\ P(x)\))는 두 주장을 붙인 것이다.

(존재) \(P(x)\)인 \(x\)가 적어도 하나 있다 — 증인을 제시하고 검증한다(S5주차 구성법).

(유일) \(P(x)\)인 \(x\)는 많아야 하나다 — 둘을 잡아 같음을 보인다(아래 정의 13.2).

두 주장은 독립된 증명 책임이고, 답안은 “(존재) … (유일) …”로 두 문단을 명시적으로 분리해 적는다.

기호 \(\exists!\,x\ P(x)\)는 “\(P(x)\)인 \(x\)가 유일하게 존재한다”로 읽는다. 이번 주에 새로 등장하는 기호는 없다 — 이 기호와 읽는 법은 1권 26주차 정의 26.4에서 정했다.

조각마다 하는 일은 이렇다.

조각	하는 일	증명에서의 역할
(존재) — “적어도 하나 있다”	증인을 제시하고 조건을 전수 검증한다	무대에 대상이 실제로 하나 놓인다. S5주차 구성법의 세 걸음이 그대로 이 칸이다
(유일) — “많아야 하나다”	조건을 만족하는 둘을 잡아 같음을 보인다	놓인 대상이 여럿일 가능성을 지운다. 이 칸을 어떻게 시작하는지가 정의 13.2다

조각 삭제 실험. (유일) 조각을 지우면 주장이 “적어도 하나”로 줄어든다. 그러면 준비 운동 유형 1처럼 값 하나를 제시\(\cdot\)검증하고 끝낸 답안이 통과되고, 거짓 명제 “\(x^2 = 9\)인 실수는 정확히 하나다”까지 증인 3 하나로 통과된다 — 실제 해는 \(3\)과 \(-3\) 둘이다. 반대로 (존재) 조각을 지우면 주장이 “많아야 하나”로 줄어들어 준비 운동 유형 2가 통과되고, 해가 하나도 없는 명제 “\(x^2 = -1\)인 실수는 정확히 하나다”까지 참이 되어 버린다(문제 6). 두 조각 중 어느 쪽을 지워도 거짓 명제가 통과하므로, 두 조각은 서로를 대신하지 못한다.

유일 파트는 존재를 전제하지 않는다. 유일 파트가 증명하는 문장은 “\(x_1\)과 \(x_2\)가 둘 다 \(P\)를 만족하면 \(x_1 = x_2\)이다”라는 조건문이다. \(P\)를 만족하는 것이 하나도 없으면 이 조건문의 가정이 결코 성립하지 않으므로 명제는 공허하게 참이 된다 (1권 26주차 확인 7). 그래서 유일 파트는 존재 파트와 순서도 무관하게, 완전히 독립으로 증명할 수 있다.

정의 13.2 — 유일성의 두 얼굴 [백지 암기 대상]

“\(P(x)\)인 \(x\)는 많아야 하나다”의 개시문은 둘이고, 어느 것으로 시작하느냐에 따라 걸음 셋이 각각 정해진다.

얼굴 1 (직접 유일성). ① “\(P(x_1)\)이고 \(P(x_2)\)라 하자” — 조건을 만족하는 두 대상을 잡는다. 자격은 “\(P\)를 만족”뿐이고, 서로 다르다고 가정하지 않는다.

② 두 조건을 결합해 \(x_1 = x_2\)를 유도한다.

③ “따라서 많아야 하나다”로 닫는다.

얼굴 2 (간접 유일성). ① “\(P(x_1)\), \(P(x_2)\), 그리고 \(x_1 \neq x_2\)라 가정하자” — 서로 다른 둘을 가정한다(귀류 개시).

② 전진해 모순을 만든다.

③ 충돌한 두 문장을 지목하고 “따라서 많아야 하나다”로 닫는다.

1권과의 관계. 얼굴 1은 1권 26주차 정의 26.3 그 자체다. 얼굴 2는 1권 26주차 확인 6이 “그렇게 시작해도 되고, 그러면 모순으로 끝내야 한다”고 한 줄로 답하고 지나간 서식이다. 이번 주가 더하는 것은 서식이 아니라 두 가지다 — 얼굴 2가 S11주차 귀류의 4단 서식과 걸음까지 같은 절차라는 사실(§1.3), 그리고 둘 중 무엇을 고를지의 판정 기준(§1.4). 1권에서 감각으로 고르던 자리가 여기서 절차가 된다.

얼굴 1은 단사 증명과 골격이 같다. S6주차 예제 2.2에서 단사를 증명할 때 “실수 \(x_1\)과 \(x_2\)를 임의로 잡자”로 시작하고 자격에 “\(x_1 \neq x_2\)”를 넣지 않았던 것이 그대로 재현된다. 두 문자를 따로 쓰는 것은 서로 다른 값이라는 뜻이 아니라 각각 독립으로 정해진다는 뜻이라는 그 설명이 여기서도 그대로다.

3 절차 해부 — 걸음마다 하는 일

유일 파트를 여는 두 얼굴의 걸음 여섯 개를 한 표에 놓는다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
얼굴 1 ① 두 대상 도입	이름 둘을 무대에 올린다	이름이 하나뿐이라 조건을 걸 두 번째 대상이 없다
얼굴 1 ② 조건의 이중 발동	정의를 두 번 풀어 결합할 문장 두 개를 확보한다	정의를 두 번 풀지 못하면 결합할 등식이 하나뿐이다 — 1권 26주차 “모두” 조각 삭제 실험
얼굴 1 ③ 상등 도착	\(x_1 = x_2\)에 정확히 닿았음을 선언한다	비슷한 다른 문장에서 멈춘 답안이 통과된다
얼굴 2 ① 개시 선언	조건 둘에 더해 \(x_1 \neq x_2\)를 사실 목록에 올린다	얼굴 1과 구별되지 않고, 다름을 재료로 쓴 줄의 출처가 사라진다
얼굴 2 ② 전진	세 사실에서 새 사실을 만든다	\(x_1 \neq x_2\)를 한 번도 쓰지 않으면 얼굴 1을 귀류로 포장한 것이 된다(S11주차 무늬만 귀류)
얼굴 2 ③ 모순 명시	충돌한 두 문장을 둘 다 지목한다	개시 가정이 회수되지 않아 증명이 닫히지 않는다(준비 운동 유형 3)

걸음 삭제 실험 1 — 얼굴 2에서 모순 명시를 지우면. 걸음 ③의 지목 의무를 지우고 다음 답안을 검사해 보자.

삭제 실험 — 닫히지 않은 얼굴 2

명제: 집합 \(S \subseteq \mathbb{R}\)가 최소원소를 가지면 그 최소원소는 유일하다.

“\(m_1\)과 \(m_2\)가 모두 \(S\)의 최소원소이고 \(m_1 \neq m_2\)라 가정하자. \(m_1\)이 최소이고

\(m_2 \in S\)이므로 \(m_1 \le m_2\)이고, 대칭으로 \(m_2 \le m_1\)이다. 반대칭성에 의해

\(m_1 = m_2\)이다. 따라서 최소원소는 유일하다.”

확인 3. 위 답안에서 마지막 문장 앞에 한 줄이 빠져 있다. 그 줄을 적어 보자. 그리고 그 줄을 적고 나면 개시문의 “\(m_1 \neq m_2\)”가 몸통에서 몇 번 쓰였는지 세어 보자.

답

빠진 줄은 “그런데 이것은 가정 \(m_1 \neq m_2\)와 모순이다 [산지 ②]”이다. 얼굴 2는

귀류이므로 S11주차 4단 서식의 걸음 ③ 없이는 닫히지 않는다. 충돌한 두 문장은

유도된 “\(m_1 = m_2\)”와 개시문의 “\(m_1 \neq m_2\)”이고, 둘 다 개시 가정 쪽에서

나왔으므로 산지는 ②다.

세어 보면 몸통에서 “\(m_1 \neq m_2\)”가 쓰인 줄은 없다. 두 부등식을 얻는 데도,

반대칭성을 쓰는 데도 그 가정은 필요하지 않았다. 곧 이 답안은 S11주차가 말한

무늬만 귀류이고, 정확한 수리는 개시문에서 다름 가정을 빼고 얼굴 1로

정리하는 것이다. 실제로 얼굴 1로 옮기면 두 줄이 사라진다.

걸음 삭제 실험 2 — 얼굴 1에서 자격 제한을 어기면. 얼굴 1의 걸음 ①에서 “서로 다르다고 가정하지 않는다”를 지우고 “\(x_1 \neq x_2\)인 두 해를 잡자”로 시작한 뒤, \(x_1 = x_2\)를 유도하고 그대로 “따라서 유일하다”로 끝내 보자.

확인 4. 위 답안이 실제로 증명한 명제를 적어 보자. 그리고 그 답안이 왜 얼굴 2도 아닌지 한 문장으로 적어 보자.

답

증명한 것은 “서로 다른 두 해가 있다면 그 둘은 같다”까지다. 이 문장은 내용상으로는

유일성과 동치이지만(가정에 \(x_1 \neq x_2\)를 얹고도 \(x_1 = x_2\)에 닿았으므로,

다름 가정을 지운 문장이 그대로 따라 나온다), 답안은 그 사실을 한 줄로도 선언하지

않았다 — 얼굴 1이라면 개시문에서 다름 가정을 지워야 하고, 얼굴 2라면 충돌한

두 당사자를 지목해야 닫힌다.

얼굴 2도 아닌 이유: 얼굴 2는 걸음 ③에서 충돌 두 당사자를 지목하고 닫는데,

이 답안에는 그 줄이 없다. 곧 이 답안은 얼굴 1의 자격을 초과했으면서

얼굴 2의 마무리를 하지 않은 중간 상태다. 자격 초과 자체는 S6주차 반칙 목록의

둘째 항목이고, 여기서는 결론이 “같다”이므로 초과된 자격이 몸통에 아무것도

보태지 못한다.

4 얼굴 판정법 [백지 암기 대상]

명제를 읽고 두 얼굴 중 하나를 고르는 물음표 목록이다. 위에서부터 훑는다.

물음	답이 “예”일 때 보이는 것	처방
조건 \(P\)가 등식\(\cdot\)방정식인가	두 등식을 빼거나 대입하면 곧바로 상등이 나온다	얼굴 1 — 다름 가정을 얹을 이유가 없다
조건 \(P\)가 순서 관계인가(“최소”, “최대”, “상계”)	각각을 상대에게 적용해 두 부등식을 얻고 반대칭성으로 닫는다	얼굴 1 — 반대칭성이 상등을 직접 준다
조건 \(P\)가 전칭 문장인가(“모든 \(x\)에 대해 …”)	상대의 값을 특수화해 넣으면 두 사실이 서로를 소거한다	얼굴 1 — 특수화 두 번으로 끝난다
결론의 부정 \(x_1 \neq x_2\)가 몸통의 재료가 되어 주는가	그것을 얹으면 특수화 값이나 나눗셈의 자격이 즉시 정해진다	얼굴 2 — 다름을 얹으면 특수화 값이 즉시 정해진다(얼굴 1도 불가능하지는 않으나 S7주차 문제 17 같은 \(\varepsilon\)-보조정리를 한 번 더 인용해야 한다)
얼굴 2로 썼는데 다름 가정이 몸통에서 한 번도 쓰이지 않았는가	개시문과 마지막 두 줄이 계산에 관여하지 않는다	얼굴 1로 정리한다(S11주차 무늬만 귀류 점검)

한 줄 요약: 결합만으로 상등이 나오면 얼굴 1, 다름이 재료가 되어 주면 얼굴 2.

넷째 줄이 이번 주의 실질적인 수확이다. 다름 가정이 재료가 되는 전형은 두 가지다 — \(x_1 - x_2\)로 나누어야 할 때(0으로 나눌 수 없으므로 다름이 있어야 나눗셈의 자격이 선다), 그리고 두 대상의 거리를 양수 \(\varepsilon\)으로 지정해야 할 때(§1.1의 극한). 이 둘 중 어느 것도 아니면 얼굴 1이 통한다고 보아도 좋다.

넷째 줄은 얼굴 2를 권하는 줄이지 얼굴 1을 금지하는 줄이 아니다. 극한의 유일성도 얼굴 1로 닫히기는 한다 — 임의의 양수 \(\varepsilon\)을 두 수렴 정의에 그대로 특수화하면(이때 자격 검증에 \(L \neq L'\)이 전혀 필요 없다) 삼각부등식으로 \(|L - L'| < 2\varepsilon\)이 나오고, \(\varepsilon\) 자리에 \(\varepsilon/2\)을 넣어 “모든 양수 \(\varepsilon\)에 대해 \(|L - L'| \le 0 + \varepsilon\)”까지 간 뒤 S7주차 문제 17(“모든 양의 실수 \(\varepsilon\)에 대해 \(a \le b + \varepsilon\)이면 \(a \le b\)”)을 인용하면 \(|L - L'| \le 0\), 곧 \(L = L'\)이다. 다만 이 길은 부품을 하나 더 부르고 줄이 길어진다. 그러므로 넷째 줄은 “다름을 얹어야만 된다”가 아니라 “다름을 얹으면 특수화 값이 즉시 정해져 짧아진다”로 읽는다.

확인 5. 다음 세 명제에 어느 얼굴이 붙는지 고르고, 위 표의 몇째 줄이 근거인지 적어 보자.

(가) 실수 \(a \neq 0\)에 대해, \(ax = 1\)인 실수 \(x\)는 많아야 하나다.

(나) 집합 \(S\)가 최대원소를 가지면 그 최대원소는 유일하다.

(다) 수열 \((a_n)\)의 극한은 많아야 하나다.

답

(가) 얼굴 1 — 첫째 줄. 조건이 등식이므로 \(ax_1 = 1 = ax_2\)에서 \(a(x_1 - x_2) = 0\)을

얻고 \(a \neq 0\)으로 닫는다. 나누는 것은 \(x_1 - x_2\)가 아니라 \(a\)이므로 다름은

필요하지 않다.

(나) 얼굴 1 — 둘째 줄. \(M_1 \ge M_2\)와 \(M_2 \ge M_1\)을 각각 얻고 반대칭성으로 닫는다.

문제 8이 이 명제다.

(다) 얼굴 2 — 넷째 줄. 두 극한 사이 거리의 절반을 \(\varepsilon\)으로 지정하려면

그 값이 양수라는 자격이 필요하고, 그 자격은 두 극한이 다르다는 사실에서

곧바로 나온다(§1.1). 문제 13이 이 명제다.

5 유일성 신호

명제 안에서 유일 파트의 책임을 부르는 표현들이다. 신호를 놓치면 책임 하나가 통째로 빠진 답안이 된다.

신호	요구되는 것	예
“정확히 하나”, “유일한”, “하나뿐인”	존재 + 유일 두 파트	“이 방정식은 유일한 해를 갖는다”
“많아야 하나(at most one)”	유일 파트만	해가 없어도 참일 수 있다(정의 13.1의 공허 참)
“적어도 하나”, “존재한다”	존재 파트만	개수는 말하지 않는다
정관사 + 존재 함축: “그 항등원”, “그 극한”	유일 파트가 그 표기를 정당화한다	유일성이 없으면 그 이름이 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다
well-defined(잘 정의됨)	표현을 바꿔도 값이 하나로 정해진다	유일성이 정의를 떠받치는 형태(문제 12, C11주차\(\cdot\)C15주차)
“그런 \(x\)는 … 일 수밖에 없다”	유일 파트만	유일성의 구어 표현

넷째 줄이 정관사를 정당화하는 방식은 이번 학기 뒤쪽과 다음 학기에서 반복된다. 1권 45주차 문제 11이 극한을 “그 극한”이라 부를 자격을 이미 확보했고(문제 13이 그 증명을 얼굴 2 서식으로 다시 적는다), 항등원과 역원의 유일성은 C18주차에서 군 공리 위의 첫 정리가 되며, 소인수분해의 유일성은 C15주차에서 1권 33주차 문제 16이 남긴 빚을 청산한다. 이번 주의 두 서식이 그 세 곳에서 소재만 바꿔 재생된다.

6 근거 목록 갱신

근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다.

근거	이번 주에 추가\(\cdot\)갱신되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	정의 13.1(“정확히 하나”의 분해)과 정의 13.2(두 얼굴)	명제의 “정확히 하나”를 두 책임으로 번역하고, 유일 파트의 개시문을 얼굴 번호와 함께 적는다. 몸통에서는 최소\(\cdot\)최대(1권 16주차 정의 16.1의 대소 관계), 수렴(1권 45주차 정의 45.1), 나누어떨어짐, 기약분수의 기존 정의를 그대로 푼다
② 닫힘성	변화 없음	“\(a - b\)는 정수이므로”를 별도 설명 없이 쓴다. 부등식 쪽의 닫힘은 1권 16주차 (W4)(W5)이고, “양수 둘의 합은 양수”가 예제 2.3과 문제 11에서 그대로 쓰인다
③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질	변화 없음	1권 16주차 (W2)(W3)(W6) — 양변 연산과 추이성. 유일 파트의 결합 단계는 대부분 이 근거 하나로 끝난다
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실	반대칭성(\(a \le b\)이고 \(b \le a\)이면 \(a = b\)) — 1권 16주차 정의 16.1과 같은 절의 “인정하고 쓰는 사실 — 실수의 삼분법”에서 따라 나오는 유도 결과이고, S7주차 문제 16이 이 논증을 이름 없이 한 문단으로 풀어 적었다. 이번 주부터 “반대칭성”이라는 이름을 붙여 근거 ④로 인용한다. 그 밖에 절댓값의 대칭성(\(-x\)의 절댓값과 \(x\)의 절댓값이 같다 — 1권 17주차 문제 4), 영인수 성질(실수 \(uv = 0\)이면 \(u = 0\)이거나 \(v = 0\) — 1권 16주차 “인정하고 쓰는 사실 — 곱이 0이 되는 경우”), 양의 제곱근의 존재와 유일(1권 16주차 “인정하고 쓰는 사실 — 제곱근”), 나누어떨어짐의 크기 비교(양의 정수 \(m, n\)에 대해 \(m \mid n\)이면 \(m \le n\) — \(n = mk\)에서 \(k \ge 1\)이므로 \(n \ge m\)이다), 삼각부등식(1권 17주차 문제 12), 중간값 정리(인정하고 사용 — S5주차 문제 18에서 인용 서식을 익혔다), 나눗셈 정리의 존재(1권 33주차 예제 2.2), 서로소 형 유클리드 보조정리(S11주차에서 인정하고 쓰기로 한 것 — 완전 증명은 C15주차)	“반대칭성에 의해(근거 ④)”처럼 이름과 근거 번호를 대고 한 줄로 끝낸다. 출처를 다시 캐물어야 하는 것은 이 표가 대신 갖고 있다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “해를 몇 개 찾아보니 하나뿐이었다”는 목록에 없다 — 1권 26주차 확인 8의 (다)가 이 문장을 불허로 판정했고, 유일성 주장은 후보를 세는 일이 아니라 둘을 잡아 같음을 보이는 일이기 때문이다.

확인 6. 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(x_1 + x_2 > 0\)이므로 \(x_1 + x_2 \neq 0\)이고, 따라서 \(x_1 - x_2 = 0\)이다.”

(나) “\(x_1\)과 \(x_2\)가 둘 다 조건을 만족하고 서로 다르다고 가정했으므로 \(x_1 - x_2 \neq 0\)이다.”

답

(가) 허용 — 근거 ②와 근거 ④가 한 줄에 겹쳐 있다. 양수 둘의 합이 양수라는 것은

1권 16주차 (W4)이므로 근거 ②이고, 곱이 0이면 인수 중 하나가 0이라는 영인수

성질을 쓴 부분이 근거 ④다. 답안에서는 둘 다 표기한다.

(나) 허용 — 근거 ③(양변 연산의 가역성). 이 줄이 쓰는 것은 어떤 정의가 아니라

“\(x_1 \neq x_2\)의 양변에서 \(x_2\)를 빼면 \(x_1 - x_2 \neq 0\)”이라는 등식의 성질이다.

다만 얼굴 2의 개시문에서 실제로 다름을 얹은 답안에서만

허용된다. 얼굴 1로 시작해 놓고 이 문장을 쓰면 없는 가정을 쓴 것이 되고,

그것이 §1.3 삭제 실험 2가 잡아내는 자격 초과다.