C17주차 — 해석학의 증명: 극한에서 미분가능성까지

내용

C17주차 — 해석학의 증명: 극한에서 미분가능성까지#

이 주의 길잡이

핵심 문장: 미분에 새로운 판정 규칙은 없다 — 미분계수는 할선의 기울기라는 한 식에 극한을 씌운 것이고, 그 극한은 1권 45~47주차에서 이미 세운 \(\varepsilon\)-N\(\cdot\)\(\varepsilon\)-\(\delta\) 그대로다.

이 주의 위치: 2학기 20주 과정의 C17주차. 1권 45~47주차가 수열 극한(\(\varepsilon\)-N)과 함수 극한\(\cdot\)연속(\(\varepsilon\)-\(\delta\))을 세우고 미분을 “대학 과목으로 이월”이라 적어 미뤄 두었던 자리를, 이번 주가 정의와 정리로 갚는다. 1권 9주차 문제 10이 논리의 반례로만 들었던 “\(|x|\)는 \(0\)에서 연속이지만 미분 불가능”이 여기서 계산으로 증명되는 명제가 되고, S8주차의 중첩 양화사 서식이 해석학의 언어로 그대로 재취업한다. 다음 주 C18주차는 수에서 구조로 옮겨 간다.

원서 대응: Chartrand 14장 (Proofs in Calculus). 1일차에 이 장을 통독한 상태로 이 교안에 온다.

이번 주 목표#

수열 극한(\(\varepsilon\)-N)과 함수 극한\(\cdot\)연속(\(\varepsilon\)-\(\delta\))을 Chartrand의 언어로 재확립하고, 두 서식이 같은 네 걸음임을 대응표로 말할 수 있다.
연속을 극한으로 정의하고 세 조건으로 분해하며, \(\varepsilon\)-\(\delta\)로 증명하고 그 부정으로 불연속을 증명한다.
미분가능성을 정식으로 정의하고, 미분계수를 정의만으로 계산하는 네 걸음 절차를 백지에서 재현한다.
미분가능 \(\Rightarrow\) 연속을 완전한 증명문으로 쓰고, 그 역이 거짓임을 \(|x|\)로 보인다 — 1권이 빚으로 남긴 항목의 청산이다.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

표기 — § 와 난이도 표시

§는 “절”이라고 읽는다. §1.4는 이 주차의 1.4 절을, §6은 6절 전체를 가리킨다.

다른 주차를 가리킬 때는 “C16주차 §1.3”처럼 주차를 앞에 적는다.

연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서

3으로 갈수록 지지대가 줄어든다.

준비 운동 (C16주차 복습)#

지난주까지의 도구를 손에 올려 둔다. 이번 주는 세기를 떠나 극한으로 가지만, 근거를 대는 방식은 바뀌지 않는다.

비둘기집 원리를 기본형과 일반형으로 진술하시오.
이중 세기의 원리를 한 문장으로 적고, 그 답안에서 “세는 대상 \(X\)”를 반드시 선언해야 하는 이유를 한 줄로 적으시오.
C16주차 문제 13이 “지금은 인정하고 쓴다”로 미뤄 둔 도구가 무엇이었는지 적으시오. 이번 주가 그 도구의 정의를 세운다.

이어서 진단 문제 하나를 풀어 보자. 풀지 못해도 된다 — 이번 주가 무엇을 메우는지 가늠하기 위한 기록이다.

(진단) \(f(x) = x^2\)의 \(x = a\)에서의 미분계수가 \(2a\)임을, 고등학교에서 외운 미분 공식을 쓰지 않고 보이시오. 그 증명이 출발하는 정의가 무엇인지도 함께 적으시오.

답을 노트에 적어 둔다. §5의 백지 재현 뒤에 이 기록을 다시 본다.

자주 나오는 세 가지 답#

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

유형 1 — 공식으로 답한다. “\((x^2)' = 2x\)이므로 \(f'(a) = 2a\)”라고 적는다.

결론은 옳고, 그 공식이 참이라는 것도 옳다. 문제는 문제가 요구한 것이 결론이 아니라 근거라는 데 있다. 이 과정의 허용 목록(근거 ①~④)에 “학교에서 배운 공식”은 없고, 그 공식은 정의에서 유도되어야 목록에 들어온다. §1.4가 그 유도의 절차를 세우고, 예제 2.3이 이 문항을 실제로 유도한다.

유형 2 — 극한식은 세웠으나 약분에서 멈춤.

\(\frac{(a+h)^2 - a^2}{h}\)까지 적고 “\(h \to 0\)이면 분모가 \(0\)이 되어 나눌 수 없다”에서 멈춘다. 경계심은 옳다 — \(0\)으로 나누는 것을 의심하는 것은 정확한 감각이다. 빠진 것은 한 줄이다: 극한은 \(h = 0\)을 대입하는 것이 아니라 \(h \ne 0\)인 값들만으로 말하는 문장이다. 1권 정의 47.1의 “\(0 < |x - a|\)” 조각이 정확히 그 한 줄을 담당하며, §1.1과 §1.3이 이 자리를 다룬다.

유형 3 — 접선의 기울기라고 서술. “\(x = a\)에서의 접선의 기울기가 \(2a\)이다”라고

적는다. 기하는 옳고, 실제로 이 그림이 정의의 동기다. 빠진 것은 접선이 아직 정의되지 않았다는 사실이다. 접선을 “한 점에서 만나는 직선”으로 두면 곡선에서는 통하지 않는다. 이번 주는 순서를 뒤집는다 — 극한으로 미분계수를 먼저 정의하고, 접선을 그 값으로 정의한다. §1.2가 그 뒤집기를 표에서 시작한다.

개념 — 극한의 언어로 미분을 정의하기#

1 지금 가진 도구로 밀어붙이면 어디서 막히는가#

새 정의를 꺼내기 전에, 1권 45~47주차에서 세운 극한의 도구만으로 준비 운동 4번을 밀어붙여 본다. 목표는 “\(x = 2\)에서의 순간변화율”을 계산 가능한 문장으로 적는 것이다.

시도 — 변화율을 좁혀 가기

“두 점 사이의 변화율은 \(\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\)이다.

순간변화율은 두 점이 겹칠 때의 값이므로 \(h = 0\)을 넣으면 된다.

\(h = 0\)을 넣으면 \(\dfrac{f(2) - f(2)}{0} = \dfrac{0}{0}\)이고 … “

여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다.

확인 1. 멈춘 자리에서 무너진 것은 무엇인가. 그리고 그 붕괴를 피하려면 “\(h = 0\)을 넣는다”를 어떤 문장으로 바꿔야 하는가. 이미 가진 도구 중 무엇이 그 문장을 제공하는가.

답

무너진 것은 식 자체다. \(\frac00\)은 값이 아니라 정의되지 않은 표현이므로,

\(h = 0\)을 대입하는 순간 계산할 대상이 사라진다.

바꿔야 할 문장은 “\(h = 0\)일 때의 값”이 아니라 “\(h\)가 \(0\)에 가까워질 때

\(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)가 다가가는 값”이다. 그리고 이 문장을 계산 가능한 조건으로

만드는 도구를 우리는 이미 가지고 있다 — 1권 정의 47.1의 함수 극한이다.

그 정의는 \(0 < |h - 0| < \delta\)를 요구하므로 \(h = 0\)을 처음부터 제외한다.

곧 \(h = 0\)을 넣지 않고도 \(h\)가 \(0\) 근처에서 하는 일을 말할 수 있다.

이 주에 새로 만들 것은 극한이 아니라, 극한을 씌울 대상 식의 이름뿐이다.

이 주 전체의 기준

미분에는 새로운 판정 규칙이 없다.

미분계수는 할선의 기울기라는 한 식에 함수 극한을 씌운 값이고,

그 극한의 판정은 1권 정의 47.1의 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 서식 그대로다.

그래서 이번 주의 증명은 전부 이미 아는 두 서식(\(\varepsilon\)-N, \(\varepsilon\)-\(\delta\)) 위에서 진행된다.

2 사례를 모아 보기 — 평균변화율의 표#

\(h\)를 실제로 줄여 가며 무엇이 남는지 먼저 읽어 낸다. \(f(x) = x^2\), \(a = 2\)이므로 \(f(2) = 4\)이고, 각 줄은 \(h\)만 다르다.

\(h\)	\(f(2+h) = (2+h)^2\)	평균변화율 \(\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\)
\(1\)	\(9\)	\(5\)
\(0.5\)	\(6.25\)	\(\underline{\quad(1)\quad}\)
\(0.1\)	\(4.41\)	\(4.1\)
\(0.01\)	\(4.0401\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
\(-0.1\)	\(3.61\)	\(\underline{\quad(3)\quad}\)
일반 \(h \ne 0\)	\(4 + 4h + h^2\)	\(\underline{\quad(4)\quad}\)

확인 2. 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 마지막 줄에서 무엇이 보이는지 한 줄로 적어 보자. 그리고 마지막 줄의 식이 \(h = 0\)에서도 값을 갖는데도 “\(h \ne 0\)”이라는 단서를 지우면 안 되는 이유를 적어 보자.

답

(1) \(\frac{6.25 - 4}{0.5} = \frac{2.25}{0.5} = 4.5\)

(2) \(\frac{4.0401 - 4}{0.01} = \frac{0.0401}{0.01} = 4.01\)

(3) \(\frac{3.61 - 4}{-0.1} = \frac{-0.39}{-0.1} = 3.9\)

(4) \(\frac{4h + h^2}{h} = 4 + h\)

마지막 줄에서 보이는 것은, 약분 뒤 남는 식이 \(4 + h\)라는 일차식이고 위 다섯 줄의

수치가 전부 그 식의 값이라는 것이다(\(h = 1\)에서 \(5\), \(h = 0.5\)에서 \(4.5\), \(h = 0.1\)에서 \(4.1\),

\(h = 0.01\)에서 \(4.01\), \(h = -0.1\)에서 \(3.9\)).

“\(h \ne 0\)”을 지우면 안 되는 이유는 두 식 \(\frac{4h+h^2}{h}\)와 \(4+h\)가 **같은 함수가

아니기 때문**이다. 왼쪽은 \(h = 0\)에서 정의되지 않고 오른쪽은 정의된다. 두 식이

같다고 말할 수 있는 것은 \(h \ne 0\)인 범위에서뿐이고, 그 범위가 정확히 극한이

들여다보는 범위다.

이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 계산한 \(4 + h\)의 \(h \to 0\) 극한을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

정의 1.1 — 미분가능성과 미분계수 (differentiability, derivative) [백지 암기 대상]#

함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 미분가능하다는 것은, 극한

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

가 존재한다는 뜻이다. 이 극한값을 \(f'(a)\)로 쓰고 \(f\)의 \(a\)에서의 미분계수라 한다.

\(f'(a)\)는 소리 내어 “에프 프라임 에이”로 읽는다. 프라임 기호 \('\)는 도함수를 나타내는 표시이고, \(f'(a)\)는 함수가 아니라 하나의 수다. 읽는 법까지가 표기의 일부다.

식 \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\)를 차분몫(difference quotient)이라 부른다. 두 점 \((a, f(a))\)와 \((a+h, f(a+h))\)를 잇는 직선 — 할선 — 의 기울기이며, \(h\)가 줄어들수록 그 할선이 무엇에 가까워지는지를 묻는 것이 정의 1.1이다. 그 극한이 존재할 때 비로소 “\(a\)에서의 접선”을 기울기 \(f'(a)\)인 직선으로 정의한다. 접선이 미분계수를 설명하는 것이 아니라, 미분계수가 접선을 정의한다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일#

정의 1.1은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다.

조각	하는 일	증명에서의 역할
\(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\)	할선의 기울기를 식으로 준다	극한을 씌울 대상. 이 식 자체는 새 발명이 아니라 §1.2에서 계산한 그 식이다
\(\lim_{h \to 0}\)	1권 정의 47.1을 이 식에 적용한다	판정 전체가 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 서식으로 환원된다 — 새 판정 규칙이 없다는 근거
극한 정의가 요구하는 \(0 < \lvert h \rvert\)	\(h = 0\)을 판정 범위에서 배제한다	약분이 정당해지는 근거. 이 조각이 없으면 식이 정의되지 않는다
“이 극한이 존재한다”	미분가능의 판정 조건	가정에 있으면 값 \(f'(a)\)를 받아 쓰고, 목표에 있으면 값을 실제로 제시해야 한다

조각 삭제 실험 ① — “\(0 < \lvert h \rvert\)”를 지운다. 그러면 \(h = 0\)도 판정 범위에 들어오고, 그 자리에서 차분몫은 \(\frac{f(a) - f(a)}{0} = \frac00\)이 되어 값을 갖지 않는다. 정의되지 않은 값을 하나라도 포함하는 순간 “모든 \(h\)에 대해 …”라는 조건 자체를 검사할 수 없다. 이 조각은 형식이 아니라 식의 존재를 지키는 조건이다.

조각 삭제 실험 ② — “극한이 존재한다”를 느슨하게 한다. “왼쪽에서 다가간 값과 오른쪽에서 다가간 값이 각각 있으면 미분가능하다”로 바꿔 보자. 그러면 \(f(x) = |x|\)가 \(a = 0\)에서 미분가능해진다 — 오른쪽에서 \(1\), 왼쪽에서 \(-1\)로 각각 값이 있기 때문이다. 그러나 이 함수의 그래프는 \(0\)에서 꺾여 있고 접선을 하나로 정할 수 없다. 곧 이 조각을 느슨하게 하면 뾰족점과 매끄러운 점이 구별되지 않는다 — 정의가 아무것도 구별하지 못하게 되는 것이다.

확인 3. 실험 ②가 보이는 것을 한 문장으로 적어 보자. 그리고 “극한이 존재한다”는 조각이 좌우에 대해 요구하는 것이 정확히 무엇인지 적어 보자.

답

보이는 것은, 미분가능성이 “값이 있다”가 아니라 “하나의 값으로 모인다”는 조건이라는

점이다. 정의 1.1의 극한은 1권 정의 47.1을 그대로 쓰므로, \(h\)가 어느 쪽에서 \(0\)에

다가가든 \(0 < |h| < \delta\)인 모든 \(h\)에서 차분몫이 같은 수 \(L\)의 \(\varepsilon\)

이내에 있어야 한다. 좌우에서 다른 두 수로 모이면 그 조건을 만족하는 \(L\)이 없다.

문제 9와 18이 이 자리를 정확히 다룬다.

확인 4. \(f(x) = 3x + 2\)의 \(a\)에서의 차분몫을 정의의 자리에 그대로 넣어 적어 보자. 약분 전과 후를 모두 쓰고, 약분에 쓴 근거를 한 마디로 밝혀 보자.

답

\(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{\{3(a+h)+2\} - (3a+2)}{h} = \dfrac{3h}{h} = 3\).

약분의 근거는 “\(h \ne 0\)이므로”다 — 정의의 셋째 조각이 이 한 마디를 보장한다.

남은 식이 상수 \(3\)이므로 극한도 \(3\)이고, \(f'(a) = 3\)이다. 문제 2의 (a)가 이 계산이다.

4 두 얼굴 — \(h \to 0\) 형과 \(x \to a\) 형#

같은 정의를 두 가지 식으로 적는 관행이 있다. 어느 쪽을 써도 되지만, 둘이 같은 말임을 한 번은 확인해 두어야 남의 증명을 읽을 수 있다.

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \qquad\text{과}\qquad f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \]

확인 5. 두 식이 같은 말인 이유를 한 줄로 적어 보자. 그리고 “\(h \to 0\)”과 “\(x \to a\)”가 서로 대응함을 어떤 치환이 보장하는지 밝혀 보자.

답

치환 \(x = a + h\), 곧 \(h = x - a\)가 보장한다. 이 치환에서 분자

\(f(a+h) - f(a)\)는 \(f(x) - f(a)\)가 되고 분모 \(h\)는 \(x - a\)가 되며,

“\(0 < |h| < \delta\)”는 “\(0 < |x - a| < \delta\)”와 글자 그대로 같은 조건이 된다.

곧 두 식은 같은 부등식을 문자만 바꿔 적은 것이다.

계산에는 \(h \to 0\) 형이 편하고(전개해서 \(h\)를 꺼내면 된다), “미분가능 \(\Rightarrow\) 연속”처럼

\(f(x) - f(a)\)를 만들어야 하는 증명에는 \(x \to a\) 형이 편하다. 예제 2.3이 두 얼굴을

한 문제 안에서 모두 쓴다.

5 절차 해부 — 미분계수를 정의로 계산하는 네 걸음#

정의는 두 줄이지만, 답안에서 실제로 쓰이는 것은 네 걸음짜리 절차다. 걸음마다 하는 일이 다르고, 빠졌을 때 무너지는 것도 다르다.

걸음	하는 일	이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가
① 차분몫을 세운다	\(f\)의 식에 \(a+h\)와 \(a\)를 대입해 \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)를 쓴다	정의에서 출발하지 않은 답안이 된다. 공식을 인용한 것과 구별되지 않는다
② 분자를 전개해 정리한다	상수항이 소거되어 남는 항마다 \(h\)가 인수로 들어 있게 만든다	분자와 분모가 함께 \(0\)으로 가는 꼴이 그대로 남아 다음 걸음이 나오지 않는다
③ “\(h \ne 0\)이므로”를 밝히고 약분한다	분모의 \(h\)를 지운다	\(0\)으로 나눈 계산이 되어 답안 전체가 무효가 된다. 근거 한 마디가 계산의 자격이다
④ 남은 식에 \(h \to 0\)을 적용하고 값을 선언한다	극한값을 구하고 “극한이 존재하므로 미분가능이며 \(f'(a) = \cdots\)”로 닫는다	값만 남고 “미분가능하다”는 판정이 답안에 적히지 않는다

걸음 삭제 실험 — ③의 근거만 빼 본다. \(\frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h\)라고 계산 자체는 그대로 적을 수 있다. 그러나 근거 없이 지운 것과 근거를 대고 지운 것은 다른 답안이다. \(h = 0\)이 범위에 들어 있다면 이 약분은 실제로 틀린 조작이고, 들어 있지 않다는 사실은 정의의 셋째 조각에서만 나온다. 곧 걸음 ③의 한 마디는 정의를 인용하는 자리다.

걸음 삭제 실험 — ④를 “대입”으로 바꿔 본다. 걸음 ④를 “\(h\)에 \(0\)을 넣는다”로 적어도 \(f(x) = x^2\)에서는 같은 답 \(2a\)가 나온다. 그러나 \(f(x) = |x|\), \(a = 0\)에서는 남는 식이 \(\frac{|h|}{h}\)이고 여기에 \(h = 0\)을 넣을 수 없다. 대입으로 적은 절차는 \(|x|\) 앞에서 아무 말도 하지 못하고 멈추는 반면, 극한으로 적은 절차는 “좌우가 다르므로 극한이 존재하지 않는다 — 미분 불가능”이라는 판정을 낸다. 절차를 대입으로 적으면 계산은 되지만 판정 능력을 잃는다.

확인 6. 어떤 답안이 다음과 같이 끝났다. 네 걸음 중 무엇이 빠졌는가.

“\(\dfrac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \dfrac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2\). 따라서 \(3a^2\). \(\blacksquare\)”

답

걸음 ③의 근거와 걸음 ④의 판정 선언이 빠졌다. 약분한 자리에 “\(h \ne 0\)이므로”가

없고, 마지막 줄에 “\(3a^2\)”이라는 값만 있을 뿐 “이 극한이 존재하므로 \(f\)는 \(a\)에서

미분가능하고 \(f'(a) = 3a^2\)이다”라는 문장이 없다. 계산은 한 줄도 틀리지 않았으므로

판정은 불완전이다(C5주차의 판정 낱말). 두 줄만 채우면 완성된다.

두 결함의 무게는 다르다 — 불완전으로 만드는 것은 판정 선언의 부재(걸음 ⑤ 전달)이고,

“\(h \ne 0\)이므로”의 누락은 옳음(보완 필요)에 그치는 결함이다. 문제 10이 그 경우다.

확인 7. 어떤 답안이 \(f(x) = x^2\), \(a = 0\)에 대해 “\(f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{h^2}{h}\)이고 \(h^2\)과 \(h\) 모두 \(0\)으로 가므로 값은 \(\frac00 = 1\)이다”라고 적었다. 어느 걸음에서 무엇이 잘못되었는가.

답

걸음 ②와 ③을 건너뛰고 분자와 분모에 각각 극한을 따로 적용한 것이 잘못이다.

극한의 몫 법칙(§1.7에서 인정하고 쓴다)은 분모의 극한이 \(0\)이 아닐 때만 쓸 수

있으므로 여기서는 쓸 수 없고, “\(\frac00\)”은 값이 아니라 계산이 아직 끝나지

않았다는 표시다. 올바른 순서는 먼저

약분해(\(h \ne 0\)이므로 \(\frac{h^2}{h} = h\)) 남은 식에 극한을 적용하는 것이며,

그 값은 \(0\)이다. 문제 10이 이 계산을 옳게 수행한 답안을 채점 대상으로 삼는다.

6 연속과 미분가능 — 한쪽으로만 통하는 다리#

연속의 정의는 1권 정의 47.2에서 이미 세웠다. 이번 주는 그 정의를 세 조건으로 분해해 두고 쓴다.

백지 암기 대상

연속의 세 조건

\(f\)가 \(a\)에서 연속이라는 것은 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)라는 뜻이고,

이 한 줄은 다음 셋을 모두 요구한다.

① \(f(a)\)가 정의되어 있다.

② \(\lim_{x \to a} f(x)\)가 존재한다.

③ 그 극한값이 \(f(a)\)와 같다.

세 조건은 각각 따로 깨질 수 있고, 어느 것이 깨졌는지가 곧 답안의 내용이 된다 — 문제 13이 ①이 깨진 사례를, 문제 14가 ②가 깨진 사례를 다룬다. ③만 깨지는 사례는 \(g(x) = x^2\) \((x \ne 2)\), \(g(2) = 7\)이다 — \(g(2)\)도 있고 극한도 \(4\)로 존재하지만 그 둘이 다르므로 ③만 어긋난다(1권 47주차 문제 14).

연속의 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 직접형도 함께 적어 둔다. 극한의 정의와 달리 \(x = a\)를 배제하지 않는다.

\[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon \]

“\(0 <\)”가 빠져도 되는 이유는 \(x = a\)일 때 \(|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon\)이 자동으로 성립하기 때문이다(1권 47주차 문제 17에서 논증했다).

정리 1.2 — 미분가능 ⇒ 연속 [백지 암기 대상]#

\(f\)가 \(a\)에서 미분가능하면 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다.

증명은 예제 2.3에서 처음부터 끝까지 함께 쓴다. 여기서는 이 정리의 역을 본다.

확인 8. 정리 1.2의 역을 정확히 진술해 보자. 그리고 그 역이 거짓임을 보이려면 무엇을 하나 제시하면 되는가.

답

역은 “\(f\)가 \(a\)에서 연속이면 \(a\)에서 미분가능하다”이다.

거짓임을 보이려면 반례 하나 — 어떤 점에서 연속이지만 그 점에서 미분 불가능한

함수 하나 — 를 제시하면 된다(C4주차의 비대칭 표: 전칭 명제의 거짓에는 반례 하나가

필요하고 충분하다). 그 반례가 \(f(x) = |x|\), \(a = 0\)이며 문제 9가 그것을 증명한다.

이 역이 거짓이라는 사실은 1권에서 두 번 등장했으나 두 번 모두 미뤄졌다. 1권 9주차 문제 10은 “미분가능하면 연속이다. \(f\)는 연속이다. 따라서 미분가능하다”를 역 긍정의 오류로 지적하면서 \(|x|\)를 반례로 들었으나, 그 반례의 성립은 인정하고 쓴다고 적었다. 1권 47주차 문제 19는 미분가능성의 정의를 읽을거리로 소개하고 \(\frac{|x|}{x}\)를 계산하게 했으나, “극한이 존재하지 않는다”의 정밀한 처리는 이월했다. 이번 주 문제 9가 그 이월을 갚는다 — 1권에서 인정하고 쓰던 사실이 여기서 증명되는 명제가 된다.

미분가능은 연속보다 강한 조건이다. 연속은 “값이 끊기지 않는다”를, 미분가능은 “접선이 하나로 정해진다”를 요구한다. \(|x|\)의 뾰족점이 그 간극의 가장 짧은 예이고, 문제 17이 진동으로 생기는 다른 종류의 간극을 보인다.

7 이번 주가 인정하고 쓰는 것 — 함수 극한의 법칙#

이번 주의 증명 중 문제 12와 16, 그리고 예제 2.3의 후반은 함수 극한의 법칙을 쓴다. 그 법칙들의 지위를 먼저 못 박아 둔다.

인정하고 쓰는 사실 — 함수 극한의 법칙

\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)이고 \(\lim_{x \to a} g(x) = M\)이면

\(\lim_{x \to a}\{f(x) + g(x)\} = L + M\), \(\lim_{x \to a}\{f(x)g(x)\} = LM\),

\(\lim_{x \to a} cf(x) = cL\)이고, 여기에 더해 \(M \ne 0\)이면

\(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac LM\)이다.

바탕이 되는 두 극한도 함께 쓴다 — \(\lim_{x \to a} c = c\)(1권 47주차 문제 6)와

\(\lim_{x \to a} x = a\)(\(\delta = \varepsilon\) 한 줄로 끝난다). 이 둘과 위 네 법칙이

있으면 다항식과 유리식의 극한은 전부 조립된다.

합 법칙은 1권 47주차 문제 13에서 \(\varepsilon\)/2 트릭과 \(\delta = \min(\delta_1, \delta_2)\)로

이미 증명했다. 곱 법칙은 같은 서식에 C6주차의 항 쪼개기를 더하면 나오고, 몫 법칙은

거기에 분모를 아래에서 가두는 한 줄이 더 붙는다(1권 47주차 문제 16이 그 가두기의

사례다). 두 법칙 모두 원서 14장이 증명한다. 이번 주는 곱\(\cdot\)상수배\(\cdot\)몫 법칙을

인정하고 쓴다.

수열판의 대응물은 1권에서 전부 증명되어 있다 — 합 법칙은 1권 정리 46.1, 상수배 법칙은 1권 정리 46.2, 조임 정리는 1권 정리 46.3, 차 법칙은 1권 46주차 문제 8이다. 곱 법칙만 1권에 없으므로 위 상자에서 따로 다룬 것이다.

8 이번 주에 쓸 수 있는 근거 — 목록 갱신#

허용 목록은 1권 이래 네 줄이다: ① 정의 ② 닫힘성 ③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질 ④ 이미 증명한 명제. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다.

근거	이번 주에 추가\(\cdot\)갱신되는 것	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	정의 1.1(미분가능성과 미분계수), 연속의 세 조건(§1.6), 1권 정의 45.1(\(\varepsilon\)-N)\(\cdot\)47.1(\(\varepsilon\)-\(\delta\))\(\cdot\)47.2(연속)	“미분가능” \(\leftrightarrow\) “차분몫의 극한이 존재” 사이를 번역한다
② 닫힘성	변화 없음	정수\(\cdot\)실수끼리의 합\(\cdot\)차\(\cdot\)곱이 같은 집합에 남음을 별도 설명 없이 쓴다
③ 등식\(\cdot\)부등식의 성질	삼각부등식(1권 17주차 문제 12), 역삼각부등식(1권 17주차 문제 16), 천장 함수 \(\lceil x \rceil \ge x\)	본체 부등식을 잇고, \(N\)을 자연수로 만드는 자리에 쓴다
④ 이미 증명한 명제	정리 1.2(미분가능 \(\Rightarrow\) 연속, 증명은 예제 2.3) \(\cdot\) 아르키메데스 성질(1권 45주차 §1.5) \(\cdot\) 함수 극한의 합 법칙(1권 47주차 문제 13) \(\cdot\) 함수 극한의 곱\(\cdot\)상수배\(\cdot\)몫 법칙과 상수함수\(\cdot\)항등함수의 극한(§1.7에서 인정하고 씀) \(\cdot\) \(\sqrt{\phantom{x}}\)의 \(4\)에서의 연속(S6주차 문제 19) \(\cdot\) 수열 극한의 합\(\cdot\)상수배\(\cdot\)조임(1권 정리 46.1~46.3) \(\cdot\) 증명 평가의 다섯 걸음(C5주차)	“정리 1.2에 의해”처럼 이름을 대고 한 줄로 끝낸다

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 “학교에서 배운 미분 공식”과 “\(h\)를 아주 작은 수로 두면”은 근거가 아니다 — 전자는 §0의 유형 1이, 후자는 §1.1의 시도가 실제로 무너지는 답안이다.

확인 9. 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(f\)가 \(a\)에서 미분가능하므로 \(a\)에서 연속이다.”

(나) “\(h\)가 충분히 작으면 \(h^2\)은 무시할 수 있으므로 \(2a + h \approx 2a\)이다.”

(다) “\(\frac1\varepsilon\)보다 큰 자연수 \(N\)이 존재한다.”

답

(가) 허용 — 근거 ④(정리 1.2). 정리의 이름을 대고 한 줄로 끝내는 것이 정확한 인용이다.

(나) 불허 — 목록 밖이다. “무시할 수 있다”와 “\(\approx\)”는 판정 가능한 문장이 아니며,

무엇이 얼마나 작아야 하는지가 적혀 있지 않다. 같은 내용을 허용 목록 안에서 적으려면

“\(\lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a\)”라고 극한으로 적어야 한다.

(다) 허용 — 근거 ④(아르키메데스 성질, 1권 45주차 §1.5). 이 한 줄이 없으면

\(N = \frac1\varepsilon\)이 자연수라는 보장이 없다.