# C17주차 — 해석학의 증명: 극한에서 미분가능성까지 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 미분에 새로운 판정 규칙은 없다 — 미분계수는 할선의 기울기라는 한 식에 극한을 씌운 것이고, 그 극한은 1권 45~47주차에서 이미 세운 $\varepsilon$-N$\cdot$$\varepsilon$-$\delta$ 그대로다. **이 주의 위치**: 2학기 20주 과정의 C17주차. 1권 45~47주차가 수열 극한($\varepsilon$-N)과 함수 극한$\cdot$연속($\varepsilon$-$\delta$)을 세우고 미분을 "대학 과목으로 이월"이라 적어 미뤄 두었던 자리를, 이번 주가 정의와 정리로 갚는다. 1권 9주차 문제 10이 논리의 반례로만 들었던 "$|x|$는 $0$에서 연속이지만 미분 불가능"이 여기서 계산으로 증명되는 명제가 되고, S8주차의 중첩 양화사 서식이 해석학의 언어로 그대로 재취업한다. 다음 주 C18주차는 수에서 구조로 옮겨 간다. **원서 대응**: Chartrand 14장 (Proofs in Calculus). 1일차에 이 장을 통독한 상태로 이 교안에 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. **수열 극한**($\varepsilon$-N)과 **함수 극한$\cdot$연속**($\varepsilon$-$\delta$)을 Chartrand의 언어로 재확립하고, 두 서식이 같은 네 걸음임을 대응표로 말할 수 있다. 1. **연속**을 극한으로 정의하고 세 조건으로 분해하며, $\varepsilon$-$\delta$로 증명하고 그 부정으로 불연속을 증명한다. 1. **미분가능성**을 정식으로 정의하고, 미분계수를 정의만으로 계산하는 네 걸음 절차를 백지에서 재현한다. 1. **미분가능 $\Rightarrow$ 연속**을 완전한 증명문으로 쓰고, 그 역이 거짓임을 $|x|$로 보인다 — 1권이 빚으로 남긴 항목의 청산이다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. :::{admonition} 표기 — § 와 난이도 표시 :class: quotebox §는 "절"이라고 읽는다. §1.4는 이 주차의 1.4 절을, §6은 6절 전체를 가리킨다. 다른 주차를 가리킬 때는 "C16주차 §1.3"처럼 주차를 앞에 적는다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다. ::: ## 준비 운동 (C16주차 복습) 지난주까지의 도구를 손에 올려 둔다. 이번 주는 세기를 떠나 극한으로 가지만, 근거를 대는 방식은 바뀌지 않는다. 1. 비둘기집 원리를 기본형과 일반형으로 진술하시오. 1. 이중 세기의 원리를 한 문장으로 적고, 그 답안에서 "세는 대상 $X$"를 반드시 선언해야 하는 이유를 한 줄로 적으시오. 1. C16주차 문제 13이 "지금은 인정하고 쓴다"로 미뤄 둔 도구가 무엇이었는지 적으시오. 이번 주가 그 도구의 정의를 세운다. 이어서 진단 문제 하나를 풀어 보자. 풀지 못해도 된다 — 이번 주가 무엇을 메우는지 가늠하기 위한 기록이다. 1. (진단) $f(x) = x^2$의 $x = a$에서의 미분계수가 $2a$임을, 고등학교에서 외운 미분 공식을 쓰지 않고 보이시오. 그 증명이 출발하는 **정의**가 무엇인지도 함께 적으시오. 답을 노트에 적어 둔다. §5의 백지 재현 뒤에 이 기록을 다시 본다. ### 자주 나오는 세 가지 답 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 공식으로 답한다.** "$(x^2)' = 2x$이므로 $f'(a) = 2a$"라고 적는다. 결론은 옳고, 그 공식이 참이라는 것도 옳다. 문제는 문제가 요구한 것이 결론이 아니라 **근거**라는 데 있다. 이 과정의 허용 목록(근거 ①~④)에 "학교에서 배운 공식"은 없고, 그 공식은 정의에서 유도되어야 목록에 들어온다. §1.4가 그 유도의 절차를 세우고, 예제 2.3이 이 문항을 실제로 유도한다. - **유형 2 — 극한식은 세웠으나 약분에서 멈춤.** $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h}$까지 적고 "$h \to 0$이면 분모가 $0$이 되어 나눌 수 없다"에서 멈춘다. 경계심은 옳다 — $0$으로 나누는 것을 의심하는 것은 정확한 감각이다. 빠진 것은 한 줄이다: 극한은 $h = 0$을 **대입하는 것이 아니라** $h \ne 0$인 값들만으로 말하는 문장이다. 1권 정의 47.1의 "$0 < |x - a|$" 조각이 정확히 그 한 줄을 담당하며, §1.1과 §1.3이 이 자리를 다룬다. - **유형 3 — 접선의 기울기라고 서술.** "$x = a$에서의 접선의 기울기가 $2a$이다"라고 적는다. 기하는 옳고, 실제로 이 그림이 정의의 동기다. 빠진 것은 **접선이 아직 정의되지 않았다**는 사실이다. 접선을 "한 점에서 만나는 직선"으로 두면 곡선에서는 통하지 않는다. 이번 주는 순서를 뒤집는다 — 극한으로 미분계수를 먼저 정의하고, 접선을 그 값으로 정의한다. §1.2가 그 뒤집기를 표에서 시작한다. ## 개념 — 극한의 언어로 미분을 정의하기 ### 1 지금 가진 도구로 밀어붙이면 어디서 막히는가 새 정의를 꺼내기 전에, 1권 45~47주차에서 세운 극한의 도구만으로 준비 운동 4번을 밀어붙여 본다. 목표는 "$x = 2$에서의 순간변화율"을 계산 가능한 문장으로 적는 것이다. :::{admonition} 시도 — 변화율을 좁혀 가기 :class: quotebox "두 점 사이의 변화율은 $\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}$이다. 순간변화율은 두 점이 겹칠 때의 값이므로 $h = 0$을 넣으면 된다. $h = 0$을 넣으면 $\dfrac{f(2) - f(2)}{0} = \dfrac{0}{0}$이고 … " ::: 여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 멈춘 자리에서 무너진 것은 무엇인가. 그리고 그 붕괴를 피하려면 "$h = 0$을 넣는다"를 어떤 문장으로 바꿔야 하는가. 이미 가진 도구 중 무엇이 그 문장을 제공하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 무너진 것은 **식 자체**다. $\frac00$은 값이 아니라 정의되지 않은 표현이므로, $h = 0$을 대입하는 순간 계산할 대상이 사라진다. 바꿔야 할 문장은 "$h = 0$일 때의 값"이 아니라 "$h$가 $0$에 가까워질 때 $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$가 다가가는 값"이다. 그리고 이 문장을 계산 가능한 조건으로 만드는 도구를 우리는 이미 가지고 있다 — 1권 정의 47.1의 함수 극한이다. 그 정의는 $0 < |h - 0| < \delta$를 요구하므로 $h = 0$을 **처음부터 제외한다**. 곧 $h = 0$을 넣지 않고도 $h$가 $0$ 근처에서 하는 일을 말할 수 있다. 이 주에 새로 만들 것은 극한이 아니라, 극한을 씌울 **대상 식**의 이름뿐이다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 미분에는 새로운 판정 규칙이 없다. 미분계수는 할선의 기울기라는 한 식에 함수 극한을 씌운 값이고, 그 극한의 판정은 1권 정의 47.1의 $\varepsilon$-$\delta$ 서식 그대로다. 그래서 이번 주의 증명은 전부 이미 아는 두 서식($\varepsilon$-N, $\varepsilon$-$\delta$) 위에서 진행된다. ::: ### 2 사례를 모아 보기 — 평균변화율의 표 $h$를 실제로 줄여 가며 무엇이 남는지 먼저 읽어 낸다. $f(x) = x^2$, $a = 2$이므로 $f(2) = 4$이고, 각 줄은 $h$만 다르다. | **$h$** | **$f(2+h) = (2+h)^2$** | **평균변화율 $\dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}$** | |---|---|---| | $1$ | $9$ | $5$ | | $0.5$ | $6.25$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $0.1$ | $4.41$ | $4.1$ | | $0.01$ | $4.0401$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $-0.1$ | $3.61$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | 일반 $h \ne 0$ | $4 + 4h + h^2$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 마지막 줄에서 무엇이 보이는지 한 줄로 적어 보자. 그리고 마지막 줄의 식이 $h = 0$에서도 값을 갖는데도 "$h \ne 0$"이라는 단서를 지우면 안 되는 이유를 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\frac{6.25 - 4}{0.5} = \frac{2.25}{0.5} = 4.5$ (2) $\frac{4.0401 - 4}{0.01} = \frac{0.0401}{0.01} = 4.01$ (3) $\frac{3.61 - 4}{-0.1} = \frac{-0.39}{-0.1} = 3.9$ (4) $\frac{4h + h^2}{h} = 4 + h$ 마지막 줄에서 보이는 것은, 약분 뒤 남는 식이 $4 + h$라는 **일차식**이고 위 다섯 줄의 수치가 전부 그 식의 값이라는 것이다($h = 1$에서 $5$, $h = 0.5$에서 $4.5$, $h = 0.1$에서 $4.1$, $h = 0.01$에서 $4.01$, $h = -0.1$에서 $3.9$). "$h \ne 0$"을 지우면 안 되는 이유는 두 식 $\frac{4h+h^2}{h}$와 $4+h$가 **같은 함수가 아니기 때문**이다. 왼쪽은 $h = 0$에서 정의되지 않고 오른쪽은 정의된다. 두 식이 같다고 말할 수 있는 것은 $h \ne 0$인 범위에서뿐이고, 그 범위가 정확히 극한이 들여다보는 범위다. ::: 이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 계산한 $4 + h$의 $h \to 0$ 극한을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 1.1 — 미분가능성과 미분계수 (differentiability, derivative) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 함수 $f$가 점 $a$에서 **미분가능**하다는 것은, 극한 $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ 가 존재한다는 뜻이다. 이 극한값을 $f'(a)$로 쓰고 $f$의 $a$에서의 **미분계수**라 한다. ::: $f'(a)$는 소리 내어 "에프 프라임 에이"로 읽는다. 프라임 기호 $'$는 도함수를 나타내는 표시이고, $f'(a)$는 함수가 아니라 **하나의 수**다. 읽는 법까지가 표기의 일부다. 식 $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$를 **차분몫**(difference quotient)이라 부른다. 두 점 $(a, f(a))$와 $(a+h, f(a+h))$를 잇는 직선 — **할선** — 의 기울기이며, $h$가 줄어들수록 그 할선이 무엇에 가까워지는지를 묻는 것이 정의 1.1이다. 그 극한이 존재할 때 비로소 "$a$에서의 **접선**"을 기울기 $f'(a)$인 직선으로 정의한다. 접선이 미분계수를 설명하는 것이 아니라, 미분계수가 접선을 정의한다. ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 정의 1.1은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ | 할선의 기울기를 식으로 준다 | 극한을 씌울 대상. 이 식 자체는 새 발명이 아니라 §1.2에서 계산한 그 식이다 | | $\lim_{h \to 0}$ | 1권 정의 47.1을 이 식에 적용한다 | 판정 전체가 $\varepsilon$-$\delta$ 서식으로 환원된다 — 새 판정 규칙이 없다는 근거 | | 극한 정의가 요구하는 $0 < \lvert h \rvert$ | $h = 0$을 판정 범위에서 배제한다 | 약분이 정당해지는 근거. 이 조각이 없으면 식이 정의되지 않는다 | | "이 극한이 **존재**한다" | 미분가능의 판정 조건 | 가정에 있으면 값 $f'(a)$를 받아 쓰고, 목표에 있으면 값을 실제로 제시해야 한다 | **조각 삭제 실험 ① — "$0 < \lvert h \rvert$"를 지운다.** 그러면 $h = 0$도 판정 범위에 들어오고, 그 자리에서 차분몫은 $\frac{f(a) - f(a)}{0} = \frac00$이 되어 값을 갖지 않는다. 정의되지 않은 값을 하나라도 포함하는 순간 "모든 $h$에 대해 …"라는 조건 자체를 검사할 수 없다. 이 조각은 형식이 아니라 식의 존재를 지키는 조건이다. **조각 삭제 실험 ② — "극한이 존재한다"를 느슨하게 한다.** "왼쪽에서 다가간 값과 오른쪽에서 다가간 값이 각각 있으면 미분가능하다"로 바꿔 보자. 그러면 $f(x) = |x|$가 $a = 0$에서 미분가능해진다 — 오른쪽에서 $1$, 왼쪽에서 $-1$로 각각 값이 있기 때문이다. 그러나 이 함수의 그래프는 $0$에서 꺾여 있고 접선을 하나로 정할 수 없다. 곧 이 조각을 느슨하게 하면 **뾰족점과 매끄러운 점이 구별되지 않는다** — 정의가 아무것도 구별하지 못하게 되는 것이다. :::{container} quotebox **확인 3.** 실험 ②가 보이는 것을 한 문장으로 적어 보자. 그리고 "극한이 존재한다"는 조각이 좌우에 대해 요구하는 것이 정확히 무엇인지 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 보이는 것은, 미분가능성이 "값이 있다"가 아니라 "**하나의** 값으로 모인다"는 조건이라는 점이다. 정의 1.1의 극한은 1권 정의 47.1을 그대로 쓰므로, $h$가 어느 쪽에서 $0$에 다가가든 $0 < |h| < \delta$인 **모든** $h$에서 차분몫이 같은 수 $L$의 $\varepsilon$ 이내에 있어야 한다. 좌우에서 다른 두 수로 모이면 그 조건을 만족하는 $L$이 없다. 문제 9와 18이 이 자리를 정확히 다룬다. ::: :::{container} quotebox **확인 4.** $f(x) = 3x + 2$의 $a$에서의 차분몫을 정의의 자리에 그대로 넣어 적어 보자. 약분 전과 후를 모두 쓰고, 약분에 쓴 근거를 한 마디로 밝혀 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{\{3(a+h)+2\} - (3a+2)}{h} = \dfrac{3h}{h} = 3$. 약분의 근거는 "$h \ne 0$이므로"다 — 정의의 셋째 조각이 이 한 마디를 보장한다. 남은 식이 상수 $3$이므로 극한도 $3$이고, $f'(a) = 3$이다. 문제 2의 (a)가 이 계산이다. ::: ### 4 두 얼굴 — $h \to 0$ 형과 $x \to a$ 형 같은 정의를 두 가지 식으로 적는 관행이 있다. 어느 쪽을 써도 되지만, 둘이 같은 말임을 한 번은 확인해 두어야 남의 증명을 읽을 수 있다. $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \qquad\text{과}\qquad f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$ :::{container} quotebox **확인 5.** 두 식이 같은 말인 이유를 한 줄로 적어 보자. 그리고 "$h \to 0$"과 "$x \to a$"가 서로 대응함을 어떤 치환이 보장하는지 밝혀 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 치환 $x = a + h$, 곧 $h = x - a$가 보장한다. 이 치환에서 분자 $f(a+h) - f(a)$는 $f(x) - f(a)$가 되고 분모 $h$는 $x - a$가 되며, "$0 < |h| < \delta$"는 "$0 < |x - a| < \delta$"와 글자 그대로 같은 조건이 된다. 곧 두 식은 같은 부등식을 문자만 바꿔 적은 것이다. 계산에는 $h \to 0$ 형이 편하고(전개해서 $h$를 꺼내면 된다), "미분가능 $\Rightarrow$ 연속"처럼 $f(x) - f(a)$를 만들어야 하는 증명에는 $x \to a$ 형이 편하다. 예제 2.3이 두 얼굴을 한 문제 안에서 모두 쓴다. ::: ### 5 절차 해부 — 미분계수를 정의로 계산하는 네 걸음 정의는 두 줄이지만, 답안에서 실제로 쓰이는 것은 네 걸음짜리 절차다. 걸음마다 하는 일이 다르고, 빠졌을 때 무너지는 것도 다르다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 차분몫을 세운다 | $f$의 식에 $a+h$와 $a$를 대입해 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$를 쓴다 | 정의에서 출발하지 않은 답안이 된다. 공식을 인용한 것과 구별되지 않는다 | | ② 분자를 전개해 정리한다 | 상수항이 소거되어 남는 항마다 $h$가 인수로 들어 있게 만든다 | 분자와 분모가 함께 $0$으로 가는 꼴이 그대로 남아 다음 걸음이 나오지 않는다 | | ③ "$h \ne 0$이므로"를 밝히고 약분한다 | 분모의 $h$를 지운다 | $0$으로 나눈 계산이 되어 답안 전체가 무효가 된다. 근거 한 마디가 계산의 자격이다 | | ④ 남은 식에 $h \to 0$을 적용하고 값을 선언한다 | 극한값을 구하고 "극한이 존재하므로 미분가능이며 $f'(a) = \cdots$"로 닫는다 | 값만 남고 "미분가능하다"는 판정이 답안에 적히지 않는다 | **걸음 삭제 실험 — ③의 근거만 빼 본다.** $\frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$라고 계산 자체는 그대로 적을 수 있다. 그러나 근거 없이 지운 것과 근거를 대고 지운 것은 다른 답안이다. $h = 0$이 범위에 들어 있다면 이 약분은 실제로 틀린 조작이고, 들어 있지 않다는 사실은 정의의 셋째 조각에서만 나온다. 곧 걸음 ③의 한 마디는 정의를 인용하는 자리다. **걸음 삭제 실험 — ④를 "대입"으로 바꿔 본다.** 걸음 ④를 "$h$에 $0$을 넣는다"로 적어도 $f(x) = x^2$에서는 같은 답 $2a$가 나온다. 그러나 $f(x) = |x|$, $a = 0$에서는 남는 식이 $\frac{|h|}{h}$이고 여기에 $h = 0$을 넣을 수 없다. 대입으로 적은 절차는 $|x|$ 앞에서 아무 말도 하지 못하고 멈추는 반면, 극한으로 적은 절차는 "좌우가 다르므로 극한이 존재하지 않는다 — 미분 불가능"이라는 **판정**을 낸다. 절차를 대입으로 적으면 계산은 되지만 판정 능력을 잃는다. :::{container} quotebox **확인 6.** 어떤 답안이 다음과 같이 끝났다. 네 걸음 중 무엇이 빠졌는가. "$\dfrac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \dfrac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$. 따라서 $3a^2$. $\blacksquare$" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 걸음 ③의 근거와 걸음 ④의 판정 선언이 빠졌다. 약분한 자리에 "$h \ne 0$이므로"가 없고, 마지막 줄에 "$3a^2$"이라는 값만 있을 뿐 "이 극한이 존재하므로 $f$는 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = 3a^2$이다"라는 문장이 없다. 계산은 한 줄도 틀리지 않았으므로 판정은 **불완전**이다(C5주차의 판정 낱말). 두 줄만 채우면 완성된다. 두 결함의 무게는 다르다 — 불완전으로 만드는 것은 판정 선언의 부재(걸음 ⑤ 전달)이고, "$h \ne 0$이므로"의 누락은 옳음(보완 필요)에 그치는 결함이다. 문제 10이 그 경우다. ::: :::{container} quotebox **확인 7.** 어떤 답안이 $f(x) = x^2$, $a = 0$에 대해 "$f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{h^2}{h}$이고 $h^2$과 $h$ 모두 $0$으로 가므로 값은 $\frac00 = 1$이다"라고 적었다. 어느 걸음에서 무엇이 잘못되었는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 걸음 ②와 ③을 건너뛰고 분자와 분모에 각각 극한을 따로 적용한 것이 잘못이다. 극한의 몫 법칙(§1.7에서 인정하고 쓴다)은 분모의 극한이 $0$이 아닐 때만 쓸 수 있으므로 여기서는 쓸 수 없고, "$\frac00$"은 값이 아니라 계산이 아직 끝나지 않았다는 표시다. 올바른 순서는 먼저 약분해($h \ne 0$이므로 $\frac{h^2}{h} = h$) 남은 식에 극한을 적용하는 것이며, 그 값은 $0$이다. 문제 10이 이 계산을 옳게 수행한 답안을 채점 대상으로 삼는다. ::: ### 6 연속과 미분가능 — 한쪽으로만 통하는 다리 연속의 정의는 1권 정의 47.2에서 이미 세웠다. 이번 주는 그 정의를 세 조건으로 분해해 두고 쓴다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **연속의 세 조건** $f$가 $a$에서 **연속**이라는 것은 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$라는 뜻이고, 이 한 줄은 다음 셋을 모두 요구한다. ① $f(a)$가 정의되어 있다. ② $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재한다. ③ 그 극한값이 $f(a)$와 같다. ::: 세 조건은 각각 따로 깨질 수 있고, 어느 것이 깨졌는지가 곧 답안의 내용이 된다 — 문제 13이 ①이 깨진 사례를, 문제 14가 ②가 깨진 사례를 다룬다. ③만 깨지는 사례는 $g(x) = x^2$ $(x \ne 2)$, $g(2) = 7$이다 — $g(2)$도 있고 극한도 $4$로 존재하지만 그 둘이 다르므로 ③만 어긋난다(1권 47주차 문제 14). 연속의 $\varepsilon$-$\delta$ 직접형도 함께 적어 둔다. 극한의 정의와 달리 $x = a$를 배제하지 않는다. $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon $$ "$0 <$"가 빠져도 되는 이유는 $x = a$일 때 $|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon$이 자동으로 성립하기 때문이다(1권 47주차 문제 17에서 논증했다). ### 정리 1.2 — 미분가능 ⇒ 연속 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $f$가 $a$에서 미분가능하면 $f$는 $a$에서 연속이다. ::: 증명은 예제 2.3에서 처음부터 끝까지 함께 쓴다. 여기서는 이 정리의 **역**을 본다. :::{container} quotebox **확인 8.** 정리 1.2의 역을 정확히 진술해 보자. 그리고 그 역이 거짓임을 보이려면 무엇을 하나 제시하면 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 역은 "$f$가 $a$에서 연속이면 $a$에서 미분가능하다"이다. 거짓임을 보이려면 **반례 하나** — 어떤 점에서 연속이지만 그 점에서 미분 불가능한 함수 하나 — 를 제시하면 된다(C4주차의 비대칭 표: 전칭 명제의 거짓에는 반례 하나가 필요하고 충분하다). 그 반례가 $f(x) = |x|$, $a = 0$이며 문제 9가 그것을 증명한다. ::: 이 역이 거짓이라는 사실은 1권에서 두 번 등장했으나 두 번 모두 미뤄졌다. 1권 9주차 문제 10은 "미분가능하면 연속이다. $f$는 연속이다. 따라서 미분가능하다"를 역 긍정의 오류로 지적하면서 $|x|$를 반례로 들었으나, 그 반례의 성립은 인정하고 쓴다고 적었다. 1권 47주차 문제 19는 미분가능성의 정의를 읽을거리로 소개하고 $\frac{|x|}{x}$를 계산하게 했으나, "극한이 존재하지 않는다"의 정밀한 처리는 이월했다. 이번 주 문제 9가 그 이월을 갚는다 — **1권에서 인정하고 쓰던 사실이 여기서 증명되는 명제가 된다.** 미분가능은 연속보다 **강한** 조건이다. 연속은 "값이 끊기지 않는다"를, 미분가능은 "접선이 하나로 정해진다"를 요구한다. $|x|$의 뾰족점이 그 간극의 가장 짧은 예이고, 문제 17이 진동으로 생기는 다른 종류의 간극을 보인다. ### 7 이번 주가 인정하고 쓰는 것 — 함수 극한의 법칙 이번 주의 증명 중 문제 12와 16, 그리고 예제 2.3의 후반은 함수 극한의 법칙을 쓴다. 그 법칙들의 지위를 먼저 못 박아 둔다. :::{admonition} 인정하고 쓰는 사실 — 함수 극한의 법칙 :class: quotebox $\lim_{x \to a} f(x) = L$이고 $\lim_{x \to a} g(x) = M$이면 $\lim_{x \to a}\{f(x) + g(x)\} = L + M$, $\lim_{x \to a}\{f(x)g(x)\} = LM$, $\lim_{x \to a} cf(x) = cL$이고, 여기에 더해 $M \ne 0$이면 $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac LM$이다. 바탕이 되는 두 극한도 함께 쓴다 — $\lim_{x \to a} c = c$(1권 47주차 문제 6)와 $\lim_{x \to a} x = a$($\delta = \varepsilon$ 한 줄로 끝난다). 이 둘과 위 네 법칙이 있으면 다항식과 유리식의 극한은 전부 조립된다. 합 법칙은 1권 47주차 문제 13에서 $\varepsilon$/2 트릭과 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$로 이미 증명했다. 곱 법칙은 같은 서식에 C6주차의 항 쪼개기를 더하면 나오고, 몫 법칙은 거기에 분모를 아래에서 가두는 한 줄이 더 붙는다(1권 47주차 문제 16이 그 가두기의 사례다). 두 법칙 모두 원서 14장이 증명한다. 이번 주는 곱$\cdot$상수배$\cdot$몫 법칙을 **인정하고 쓴다**. ::: 수열판의 대응물은 1권에서 전부 증명되어 있다 — 합 법칙은 1권 정리 46.1, 상수배 법칙은 1권 정리 46.2, 조임 정리는 1권 정리 46.3, 차 법칙은 1권 46주차 문제 8이다. 곱 법칙만 1권에 없으므로 위 상자에서 따로 다룬 것이다. ### 8 이번 주에 쓸 수 있는 근거 — 목록 갱신 허용 목록은 1권 이래 네 줄이다: ① 정의 ② 닫힘성 ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 ④ 이미 증명한 명제. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다. | **근거** | **이번 주에 추가$\cdot$갱신되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **정의 1.1**(미분가능성과 미분계수), 연속의 세 조건(§1.6), 1권 정의 45.1($\varepsilon$-N)$\cdot$47.1($\varepsilon$-$\delta$)$\cdot$47.2(연속) | "미분가능" $\leftrightarrow$ "차분몫의 극한이 존재" 사이를 번역한다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | 정수$\cdot$실수끼리의 합$\cdot$차$\cdot$곱이 같은 집합에 남음을 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 삼각부등식(1권 17주차 문제 12), 역삼각부등식(1권 17주차 문제 16), 천장 함수 $\lceil x \rceil \ge x$ | 본체 부등식을 잇고, $N$을 자연수로 만드는 자리에 쓴다 | | ④ 이미 증명한 명제 | **정리 1.2**(미분가능 $\Rightarrow$ 연속, 증명은 예제 2.3) $\cdot$ 아르키메데스 성질(1권 45주차 §1.5) $\cdot$ 함수 극한의 합 법칙(1권 47주차 문제 13) $\cdot$ 함수 극한의 곱$\cdot$상수배$\cdot$몫 법칙과 상수함수$\cdot$항등함수의 극한(§1.7에서 인정하고 씀) $\cdot$ $\sqrt{\phantom{x}}$의 $4$에서의 연속(S6주차 문제 19) $\cdot$ 수열 극한의 합$\cdot$상수배$\cdot$조임(1권 정리 46.1~46.3) $\cdot$ 증명 평가의 다섯 걸음(C5주차) | "정리 1.2에 의해"처럼 이름을 대고 한 줄로 끝낸다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 **"학교에서 배운 미분 공식"과 "$h$를 아주 작은 수로 두면"은 근거가 아니다** — 전자는 §0의 유형 1이, 후자는 §1.1의 시도가 실제로 무너지는 답안이다. :::{container} quotebox **확인 9.** 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$f$가 $a$에서 미분가능하므로 $a$에서 연속이다." (나) "$h$가 충분히 작으면 $h^2$은 무시할 수 있으므로 $2a + h \approx 2a$이다." (다) "$\frac1\varepsilon$보다 큰 자연수 $N$이 존재한다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ④(정리 1.2). 정리의 이름을 대고 한 줄로 끝내는 것이 정확한 인용이다. (나) 불허 — 목록 밖이다. "무시할 수 있다"와 "$\approx$"는 판정 가능한 문장이 아니며, 무엇이 얼마나 작아야 하는지가 적혀 있지 않다. 같은 내용을 허용 목록 안에서 적으려면 "$\lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$"라고 극한으로 적어야 한다. (다) 허용 — 근거 ④(아르키메데스 성질, 1권 45주차 §1.5). 이 한 줄이 없으면 $N = \frac1\varepsilon$이 자연수라는 보장이 없다. :::