10주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

10주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 판정과 번역을 함께 만들기#

완성된 풀이를 먼저 보이지 않는다. 구조 해부에서 시작해 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

예제 2.1 — 기호 → 한국어 + 진리값#

문제. 다음 각 명제를 한국어로 읽고 진리값을 판정하시오.

(a) \(\forall n \in \mathbb{N},\ 2n \ge n + 1\) (b) \(\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 = n\) (c) \(\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 = n\)

설계 — 판정 전에 정하는 두 가지. 증명 문제에서 하던 대로 번역표부터 채운다.

이 문제에서는

가정 \(\to\) 출발점

기호 명제 (a)(b)(c) — 각각을 양화사\(\cdot\)무대\(\cdot\)열린 문장으로 해부한다

목표 \(\to\) 도착점

한국어 번역 + 진리값 — 판정에는 비대칭 표가 요구하는 근거까지 붙인다

출발점의 해부가 구조이고, 도착점에 무엇이 필요한지가 전략(비대칭 표 적용)이다 — 판정 문제의 설계는 이 두 가지를 먼저 정하는 일이다.

(a)

(b)

(c)

양화사

\(\forall\)

\(\underline{\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

무대

\(\mathbb{N}\)

\(\mathbb{N}\)

\(\mathbb{N}\)

열린 문장

\(2n \ge n+1\)

\(\underline{\quad}\)

\(\underline{\quad}\)

확인 12. 표의 빈칸 네 개를 채워 보자. (b)와 (c)의 행을 나란히 놓고

무엇이 같고 무엇이 다른지도 적는다.

답

(b) \(\exists\), \(n^2 = n\) / (c) \(\forall\), \(n^2 = n\). 두 명제는 무대도 열린

문장도 같고 양화사만 다르다 — 판정이 끝나면 이 차이가 진리값에 어떻게

반영되는지 확인할 수 있는 설계다.

확인 13. 비대칭 표를 적용해 전략 행을 채워 보자. 참이라고 짐작된다면

무엇을 제시해야 하고, 거짓이라고 짐작된다면 무엇을 제시해야 하는가.

(a): \(\underline{\qquad}\) / (b): \(\underline{\qquad}\) / (c): \(\underline{\qquad}\)

답

(a) \(\forall\)이고 참으로 보인다 \(\to\) 문자 \(n\)의 일반 논증.

(b) \(\exists\)이고 참으로 보인다 \(\to\) 증인 하나 + 검증 계산.

(c) \(\forall\)인데 \(n = 2\)부터 수상하다 \(\to\) 반례 하나 + 실패 확인.

전략이 정해졌으니 남은 것은 실행이다.

(a)의 실행 — 일반 논증. “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2n \ge n + 1\)”이다. 특정 \(n\)을 넣어 보는 것은 전략이 아니라고 확인 11에서 못 박았다 — 문자 \(n\)인 채로 부등식을 처리한다.

확인 14. \(2n \ge n+1\)을 “무엇 \(\ge 0\)” 꼴로 바꾸면 좌변은 무엇이 되고,

그것이 0 이상인 근거는 무엇인가?

답

\(2n - (n+1) = n - 1\). 무대가 \(\mathbb{N}\)이므로 \(n \ge 1\), 곧 \(n - 1 \ge 0\)이다.

무대 조각이 논증의 근거로 쓰였다 — 무대가 \(\mathbb{Z}\)였다면 \(n = 0\)이

반례가 되어 거짓이다(§1.3의 무대 실험과 같은 현상).

(b)(c)의 실행 — 증인과 반례.

확인 15. (b)의 증인과 (c)의 반례를 각각 하나씩 제시하고 검증 계산을

붙여 보자.

답

(b) 증인 \(n = 1\): \(1^2 = 1\) ✓. (c) 반례 \(n = 2\): \(2^2 = 4 \neq 2\).

(b)는 한 명의 통과로 참이 확정되고, (c)는 한 명의 탈락으로 거짓이

확정된다 — 둘 다 “하나로 끝나는 싼 칸”이다.

완성본. 방금 만든 판정을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

(a) “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2n \ge n+1\).” 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(2n - (n+1) = n - 1 \ge 0\) (\(n \ge 1\)이므로). 따라서 참이다.

\(\forall\)의 참 칸 — 특정 값 대입이 아니라 문자 \(n\)의 일반 논증. 부등식의 근거는 무대 \(\mathbb{N}\)이 보장하는 \(n \ge 1\)이다.

(b) “\(n^2 = n\)인 자연수 \(n\)이 존재한다.” 증인 \(n = 1\): \(1^2 = 1\) ✓. 따라서 참이다.

\(\exists\)의 참 칸 — 증인 하나의 제시와 검증 계산까지가 판정이다.

(c) “모든 자연수 \(n\)에 대해 \(n^2 = n\).” 반례 \(n = 2\): \(2^2 = 4 \neq 2\). 따라서 거짓이다.

\(\forall\)의 거짓 칸 — 반례 하나의 제시와 실패 확인까지가 판정이다.

(b)와 (c)는 같은 열린 문장 \(n^2 = n\)을 공유하는데 진리값이 갈렸다 — 바뀐 것은 양화사뿐이다. 열린 문장이 아니라 양화사가 명제의 진리값을 정한다.

예제 2.2 — 한국어 → 기호#

문제. 다음 문장을 기호로 번역하시오.

(a) “모든 실수의 제곱은 음이 아니다.” (b) “제곱해서 2가 되는 유리수는 없다.” (c) “임의의 두 유리수 사이에는 유리수가 존재한다.”

이번에는 설계만 함께 하고, 번역은 완성본으로 본다.

확인 16. §1.7의 절차대로 세 문장의 부품을 채워 보자.

(a) 무대: \(\underline{\quad}\) / 양화사: \(\underline{\quad}\) / 열린 문장: \(\underline{\quad}\)

(b) “없다”는 어느 양화사의 어떤 상태인가: \(\underline{\qquad}\)

(c) 변수가 몇 개이고, 무엇이 먼저 정해지는가: \(\underline{\qquad}\)

답

(a) 무대 \(\mathbb{R}\), 양화사 \(\forall\), 열린 문장 \(x^2 \ge 0\).

(b) “없다”는 존재의 부정이다 — \(\exists\) 문장 전체에 \(\neg\)를 씌운다.

(c) 변수 세 개: 두 유리수 \(a, b\)가 먼저 주어지고, 사이의 유리수 \(c\)가

나중에 그 둘에 의존해 존재한다 — \(\forall a, \forall b\) 뒤에 \(\exists c\)가

서는 순서다.

번역.

(a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0\)

(b) \(\neg\, \exists x \in \mathbb{Q},\ x^2 = 2\) — 부정 기호를 양화사 안쪽으로 밀어 넣어 \(\forall\) 문장으로 바꾸는 법은 11주차에서 배운다(문제 20이 그 예고다).

(c) \(\forall a \in \mathbb{Q},\ \forall b \in \mathbb{Q},\ (a < b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{Q},\ a < c < b)\) — “임의의 두”가 \(\forall\) 두 개로, “사이에는 ~가 존재”가 조건문 속의 \(\exists\)로 번역됐다. 참인 명제다 — 증명은 15주차 문제 17에서 증인 \(\frac{a+b}{2}\)를 제작하며 완성한다.

예제 2.3 — 순서 대결#

문제. \(S = \{1, 2, 3\}\)에서 다음의 진리값을 표를 그려 판정하시오.

(a) \(\forall x \in S,\ \exists y \in S,\ x + y \le 4\) (b) \(\exists y \in S,\ \forall x \in S,\ x + y \le 4\)

이번에는 설계부터 스스로 한다. 구조(양화사 순서\(\cdot\)무대\(\cdot\)열린 문장)와 전략 (각 양화사에 비대칭 표 적용)을 먼저 적은 뒤, 아래 산문과 대조한다.

풀이. 두 명제는 열린 문장 \(x + y \le 4\)와 무대 \(S\)가 같고 양화사 순서만 다르다. (a)는 \(x\)마다 통과하는 \(y\)가 하나라도 있으면 되고, (b)는 하나의 \(y\)가 모든 \(x\)를 감당해야 한다.

(a) \(x\)를 하나씩 심사한다. \(x = 1\)이면 \(y = 1\)이 통과(\(1 + 1 = 2 \le 4\)), \(x = 2\)이면 \(y = 1\)이 통과(\(3 \le 4\)), \(x = 3\)이면 \(y = 1\)이 통과(\(4 \le 4\)). 세 후보 전원에 대해 증인이 마련되었으므로 참이다.

(b) 증인 후보 \(y\)를 심사한다. \(y = 1\)을 제시하면, 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x + 1 \le 4\)인지 전수 확인한다: \(1 + 1 = 2 \le 4\) ✓, \(2 + 1 = 3 \le 4\) ✓, \(3 + 1 = 4 \le 4\) ✓. 전원 통과이므로 \(y = 1\)은 만능 증인이고, 참이다.

이번에는 둘 다 참이지만 이유가 다르다 — (a)는 \(x\)마다 증인을 새로 고를 권리를 썼고(쓸 필요까지는 없었다), (b)는 하나의 증인이 전원을 감당했다. §1.6에서 본 대로 (b)가 참이면 (a)는 자동으로 참이지만 역은 성립하지 않는다 — (a)만 참인 사례를 문제 16에서 직접 설계한다.

관찰 — 세 판정의 같은 뼈대#

예제 2.1, 2.3의 판정은 소재만 다를 뿐 같은 세 걸음이다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

확인 17. 예제 2.3(b)의 산문에서 각 단계에 해당하는 대목을 찾아 보자.

① 구조 해부: \(\underline{\qquad}\)

② 전략 결정: \(\underline{\qquad}\)

③ 실행(제시 + 검증): \(\underline{\qquad}\)

답

① “열린 문장 \(x + y \le 4\)와 무대 \(S\)가 같고 양화사 순서만 다르다.”

② “(b)는 하나의 \(y\)가 모든 \(x\)를 감당해야 한다” — \(\exists\) 참 칸: 증인

하나, 단 그 증인의 조건이 \(\forall x\)이므로 검증은 전수(또는 일반) 논증.

③ “증인 \(y = 1\)을 제시하면 … 전수 확인한다: ✓✓✓.”

예제 2.1의 (a)(b)(c)도 정확히 이 세 걸음이었다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

양화 명제 판정의 3단계 틀

① 구조를 해부한다(양화사 순서\(\cdot\)무대\(\cdot\)열린 문장) \(\to\) ② 비대칭 표로 무엇이

필요한지 정한다(일반 논증 / 증인 / 반례 / 전원 논증) \(\to\) ③ 그것을 제시하고

검증 계산까지 적는다

이 틀이 15주차부터의 증명 기법에서 “무슨 증명을 써야 하는가”를 정하는 첫 질문이 된다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 기호 빈칸#

각 문장의 빈 자리에 \(\forall\) 또는 \(\exists\)를 채운다.

(1) “짝수인 정수가 존재한다”: \(\underline{\quad}\, n \in \mathbb{Z},\ \underline{\quad}\, k \in \mathbb{Z},\ n = 2k\)

(2) “1은 모든 자연수의 약수다”: \(\underline{\quad}\, n \in \mathbb{N},\ 1 \mid n\)

(3) “제곱해서 음수가 되는 실수는 없다”: \(\neg\, \underline{\quad}\, x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0\)

(4) \(\forall\) 명제가 거짓임을 보이는 데 필요한 것: \(\underline{\qquad}\) 하나

(5) \(\exists\) 명제가 참임을 보이는 데 필요한 것: \(\underline{\qquad}\) 하나

훈련 2 ●●○ — 판정과 근거를 함께#

이번에는 판정문의 전략 낱말과 근거도 빈칸이다.

명제 A. \(\forall x \in \mathbb{Z},\ \exists y \in \mathbb{Z},\ x + y = 0\)

판정. \(\forall x \exists y\) 꼴이므로, 참을 보이려면 각 \(x\)마다 \(\underline{\quad(1)\quad}\) 을 제작하면 된다. \(x\)가 주어지면 \(y = \underline{\quad(2)\quad}\) 로 잡는다. 검증: \(x + (\underline{\quad(2)\quad}) = 0\) ✓. 이 \(y\)가 무대 \(\mathbb{Z}\)에 드는 근거: \(\underline{\quad(3)\quad}\). 따라서 참이다.

명제 B. \(\exists y \in \mathbb{Z},\ \forall x \in \mathbb{Z},\ x + y = x\)

판정. \(\exists\)가 앞이므로 \(\underline{\quad(4)\quad}\) 하나를 제시하되, 그 조건이 \(\forall x\)이므로 검증은 \(\underline{\quad(5)\quad}\) 이어야 한다. 증인 \(y = \underline{\quad(6)\quad}\): 임의의 \(x \in \mathbb{Z}\)에 대해 \(x + \underline{\quad(6)\quad} = x\) ✓. 따라서 참이다.

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

판정 3단계 틀의 각 칸을 통째로 채운다.

명제. \(\exists y \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{N},\ y \le x\)

  • ① 구조 해부: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 전략 결정: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 실행(제시 + 검증): \(\underline{\quad(3)\quad}\)

(이 훈련이 문제 15와 18의 예행연습이다 — 증인 하나의 제시 안에 \(\forall\)의 일반 논증이 들어 있는 구조.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 판정 문제는 반드시 3단계 틀(구조 해부 \(\to\) 전략 결정 \(\to\) 실행)로 시작한다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. “참”만 적으면 0점이고, 비대칭 표가 요구하는

것 — 증인\(\cdot\)반례는 값과 검증 계산까지, 일반 논증은 문자 계산까지 — 를 적어야

만점이다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. 기호로 번역하시오. (a) 모든 정수는 유리수이다. (b) 어떤 정수는 음수이다. (c) 7의 배수인 세 자리 자연수가 존재한다. (d) 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(n(n+1)\)은 짝수이다.

힌트

§1.7의 절차 그대로 — 무대 찾기, 양화사 낱말 찾기, 나머지를 열린 문장으로.

(c)의 “세 자리”는 부등식 두 개의 ‘그리고’이고, (d)의 “짝수이다”는

\(2 \mid\) 표기(2주차)로 적으면 짧다.

2. 진리값을 판정하시오 (참이면 증인 또는 근거, 거짓이면 반례). (a) \(\exists x \in \mathbb{Z},\ x^2 = 25\) (b) \(\forall x \in \mathbb{Z},\ x^2 > 0\) (c) \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 = 0\) (d) \(\forall x \in \mathbb{N},\ x + 1 \in \mathbb{N}\)

힌트

판정 전에 전략부터 — 각 문항이 비대칭 표의 어느 칸인지 정한다.

(c)는 존재의 반박이다: 반례 하나로는 끝나지 않고 전원 논증이 필요하다

(확인 6에서 같은 구조를 다뤘다).

3. 다음 한국어 문장에서 숨은 양화사를 드러내 기호로 쓰시오. (a) 홀수의 제곱은 홀수다. (b) 소수 중에 짝수가 있다. (c) \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) (항등식)

힌트

“~의 ~는 ~다” 꼴 일반 서술은 \(\forall\) + 조건문(§1.5의 첫 행),

“~중에 ~가 있다”는 \(\exists\) + ‘그리고’다. (c)의 “항등식”이라는 낱말이

양화사를 정해 준다 — §1.5의 끝 문단.

4. 다음 기호를 한국어로 번역하고 진리값을 판정하시오. (a) \(\exists x \in \mathbb{Q},\ x \notin \mathbb{Z}\) (b) \(\forall n \in \mathbb{N},\ n \ge 1\) (c) \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = x\) (d) \(\forall n \in \mathbb{Z},\ n(n+1)\)은 짝수

힌트

왼쪽부터 소리 내어 읽는 것이 번역의 전부다. 판정은 비대칭 표대로 —

(d)는 1주차에서 이미 증명한 명제다(근거 ④로 인용하면 된다).

5. 진리값을 판정하시오 (근거 포함). (a) \(\forall x \in \mathbb{N},\ x^2 \ge x\) (b) \(\exists x \in \mathbb{Z},\ x^2 = -1\) (c) \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > x\) (d) \(\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 - n = 6\)

힌트

(a)는 확인 3에서 판정했다 — 무대 \(\mathbb{N}\)의 \(x \ge 1\)이 근거다.

(c)는 부등호가 \(>\)로 강해지고 무대도 \(\mathbb{R}\)로 바뀌었다: \(x = 1\)이

이미 반례이고, 0과 1 사이의 실수와 0 자신도 반례가 된다.

6. 각 명제에 대해, 참이면 증인을, 거짓이면 반례를 지목하시오. (a) \(\exists x \in \mathbb{Z},\ x + 3 = 1\) (b) \(\forall x \in \mathbb{N},\ x - 1 \in \mathbb{N}\) (c) \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 3\) (d) \(\forall n \in \mathbb{Z},\ n^2 \in \mathbb{N}\)

힌트

판정만 적고 끝내면 0점이다 — 증인\(\cdot\)반례의 지목이 요구 사항이다.

(b)(d)는 이 책의 규약 \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) (1부터 시작)이 급소다.

표준 ●●○#

7. \(S = \{2, 4, 6\}\)에서 진리값을 판정하시오. (a) \(\forall x \in S,\ \exists y \in S,\ x < y\) (b) \(\exists x \in S,\ \forall y \in S,\ x \le y\) (c) \(\forall x \in S,\ \forall y \in S,\ 2 \mid (x + y)\) (d) \(\exists x \in S,\ \exists y \in S,\ x + y = 12\)

힌트

유한 무대에서는 원소별 전수 확인이 가장 확실하다 — \(\forall\)은 전원 통과,

\(\exists\)는 한 명 통과. (c)는 아홉 조합을 다 적는 대신 1주차의 정리 하나로

한 번에 처리할 수도 있다.

8. 다음 두 명제의 진리값이 다름을 보이시오 (각각 판정 + 근거). (a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0\) (b) \(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x + y = 0\)

힌트

(a)는 \(x\)를 받은 뒤 \(y\)를 제작한다 — \(y\)가 \(x\)에 의존해도 된다(순서 규칙).

(b)는 하나의 \(y\)가 모든 \(x\)를 감당해야 한다 — 서로 다른 \(x\) 두 개를

들이밀어 하나의 \(y\)로는 동시에 만족할 수 없음을 보인다.

9. 짝수의 정의를 양화사만으로 완전히 쓰시오: “\(n\)은 짝수” \(\iff\) \(\underline{\qquad}\). 그리고 “모든 짝수의 제곱은 짝수”를 양화사 2개(중첩)로 쓰시오.

10. 다음 영어 문장을 기호로 번역하시오 (영어 수학 문장 읽기 훈련). (a) For every real number \(x\), there is a real number \(y\) for which \(y^3 = x\). (b) There exists an integer that divides every integer. (c) Every integer that is a multiple of 4 is even.

힌트

for every = \(\forall\), there is/exists = \(\exists\) — 어순 그대로 왼쪽부터

배치한다. (c)의 “every ~ that is …”는 \(\forall\) + 조건문이다(§1.5 첫 행과

같은 꼴).

11. \(S = \{1, 2, 3\}\)에서 진리값을 판정하시오. (a) \(\forall x \in S,\ \exists y \in S,\ x \ge y\) (b) \(\exists x \in S,\ \forall y \in S,\ x \ge y\) (c) \(\forall x \in S,\ \forall y \in S,\ x + y \ge 2\) (d) \(\exists x \in S,\ \exists y \in S,\ x + y = 7\)

12. (11주차 예고) 다음 명제의 부정을 말로 쓰시오 (기호 불필요). (a) “모든 학생이 시험에 합격했다.” (b) “어떤 학생은 지각했다.” (c) “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n^2 \ge n\)이다.”

힌트

“모든 ~가 P”의 부정은 “P가 아닌 ~가 하나는 있다”이다 — “모든 ~가

P 아님”으로 적는 경우가 많은데, 그것은 부정이 아니라 훨씬 강한 별개의

주장이다. 비대칭 표의 “\(\forall\) 거짓 = 반례 하나”가 그대로 힌트다.

13. 다음 두 등식을 양화사를 사용해 서로 다른 명제로 구분해 쓰시오. (a) \(3(x + 1) = 3x + 3\) (항등식) (b) \(2x = 6\) (방정식 — “해가 존재한다”는 주장으로)

14. 진리값을 판정하시오 (근거 포함). (a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) (b) \(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ xy = y\)

힌트

(a) 곱셈공식의 정체는 항등식 — \(\forall\forall\) 명제다. (b)의 증인은

“모든 \(y\)를 그대로 두는 곱셈 상수” — \(\exists\)가 앞이므로 \(y\)를 몰라도

통하는 만능 값이어야 한다.

도전 ●●●#

존재 입증 속의 일반 논증 — 문제 15부터 쓰는 구조

증인의 조건 자체가 \(\forall\)를 품고 있으면 — “\(\exists a,\ \forall b,\ \dots\)” —

증인 하나를 고르는 것으로 끝나지 않는다. 그 증인이 조건 전체를 만족함을

보이는 일반 논증까지가 입증이다(훈련 3에서 연습했다). 순서: ① 증인

제시 ② 그 증인에 대해 \(\forall\) 부분을 문자 논증으로 증명.

15. 문제 10(b)의 명제는 참이다. 증인을 제시하고, 그 증인이 조건을 만족함을 2주차 정의로 증명하시오.

힌트

증인 후보는 “모든 정수를 나누는 수”다. 2주차 문제 1(d)에서 이미 만났다.

검증은 임의의 \(b \in \mathbb{Z}\)에 대해 정의 2.1의 등식을 제시하는 것이다.

16. \(\forall x \exists y\)는 참이지만 \(\exists y \forall x\)는 거짓인 상황을 하나 설계하시오. (무대와 열린 문장을 직접 정하고 두 판정을 모두 쓰시오. 예제 2.3, 문제 8을 참고해도 좋으나 새 예를 만들 것.)

힌트

설계 조건은 “\(x\)마다 다른 \(y\)로는 되지만 만능 \(y\)는 없는” 구조다.

순서 관계(\(>\), \(<\))가 이 구조를 만들기 가장 쉽다 — §1.6의 (1)(2)가

그런 예였으니, 무대나 부등호를 바꿔 새 예를 만든다.

17. 덧셈과 곱셈의 대비. 다음 네 명제의 진리값을 각각 판정하시오 (증인/반례 포함). (a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0\) (b) \(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x + y = 0\) (c) \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ xy = 0\) (d) \(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ xy = 0\)

힌트

(a)(b)는 문제 8을 재사용한다. (c)(d)의 관건은 곱셈에 “모든 \(x\)에게 통하는

만능 \(y\)”가 있는가다 — 덧셈과 같은 문형인데 연산만 바꾸면 진리값이

갈리는지 확인한다.

유일성 논증 — 문제 18에서 처음 쓰는 틀

“그런 것이 하나뿐”임을 보이는 표준 틀은 이렇다: 조건을 만족하는 것이

둘 있다고 하고(\(x\)와 \(x'\)), 둘이 같을 수밖에 없음(\(x = x'\))을 강제한다.

각자의 조건에 상대를 대입하는 것이 상투적인 첫 수다. 정식 훈련은

26주차에서 한다 — 여기서는 이 틀을 처음 겪어 보는 것이 목표다.

18. 명제 “\(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ x + y = y\)”가 참임을 증인으로 보이시오. 그리고 그런 \(x\)가 두 개 있을 수 있는지 논증해 보시오. (유일성 — 26주차 예고)

힌트

증인은 “더해도 아무것도 바꾸지 않는 수”다. 유일성: \(x\)와 \(x'\)이 둘 다

만능이라 하고, \(x\)의 조건에 \(y = x'\)을, \(x'\)의 조건에 \(y = x\)를 대입해

두 등식을 나란히 놓는다.

양화사 세 층 — 문제 19를 읽는 법

층이 두 개든 세 개든 규칙은 하나뿐이다: 왼쪽부터, 먼저 나온 변수가 먼저

정해진다(§1.6 순서 규칙). 뜻을 해석하지 말고 구조만 기계적으로 읽는

훈련이다 — 이 문장의 뜻은 45주차에서 완전히 배운다.

19. (예고편 해독) 45주차에서 배울 수열 극한의 정의이다:

\[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon) \]

아직 뜻을 몰라도 된다. 다음만 답하시오. (a) 가장 먼저 정해지는 변수는? (b) \(N\)은 \(\varepsilon\)에 의존해도 되는가? (c) \(n\)이 정해질 때 이미 정해져 있는 변수들은? (d) 이 명제가 거짓이 되려면 어떤 구조의 반례가 필요한가 — “어떤 \(\varepsilon\)이 존재해서, 모든 \(N\)에 대해 …”로 시작하는 문장을 완성해 보시오.

힌트

(a)(c)는 순서 규칙을 왼쪽부터 적용하면 자동이다. (d)는 준비 운동 1번

(\(\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q\))과 “\(\forall\)의 거짓 = 반례의

존재”를 층마다 한 번씩 쓰면 완성된다.

20. “어떤 실수도 제곱하면 \(-1\)이 되지 않는다”를 서로 다른 세 가지 방식으로 쓰시오: ① \(\neg \exists\)로 시작하는 기호 문장 ② \(\forall\)로 시작하는 기호 문장 ③ 자연스러운 한국어 문장 하나 더. ①과 ②가 같은 주장인 이유를 한 문장으로 쓰시오. (11주차 부정 법칙의 예고)

힌트

“없다” = 존재의 부정 = \(\neg\exists\). 같은 상황을 긍정문으로 바꾸면

“모두가 ~ 아니다” = \(\forall\) + 부정된 열린 문장이다. 확인 6에서

\(\exists\)의 거짓 칸을 전원 논증으로 처리한 것이 바로 이 동일성이었다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 비대칭 표(§1.4)와 판정 3단계 틀만 펴 놓고, 예제 2.1의 (a)(b)(c)와 예제 2.3의 (a)(b)를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:

  • \(\forall\)\(\cdot\)\(\exists\)의 정의(정의 10.1)와 읽는 법을 썼다.

  • 비대칭 표를 백지에 재현하고, 네 칸 각각에 실례를 하나씩 붙였다 (예: \(\forall\) 거짓 칸 — 1주차 문제 18의 반례).

  • \(\forall x \exists y,\ y > x\)와 \(\exists y \forall x,\ y > x\)의 판정을 순서 규칙으로 설명했다.

  • 짝수의 정의를 \(\exists\)로, “짝수의 제곱은 짝수”를 \(\forall\) + 조건문으로 번역했다.

  • 문제 16에서 만든 나만의 예로 “\(\forall\exists\) 참 \(\cdot\) \(\exists\forall\) 거짓” 상황을 재현했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

기호를 읽는 것부터 막힌다

정의 10.1 — 읽는 법을 소리 내어 연습한다

명제인지 열린 문장인지 헷갈린다

§1.2의 표 — 머리말(양화사)의 유무를 본다

판정에서 무엇을 제시할지 모르겠다

§1.4 비대칭 표 — 전략은 양화사가 정한다

\(\forall\exists\)와 \(\exists\forall\)가 구분되지 않는다

§1.6 순서 규칙과 예제 2.3 — 누가 먼저 정해지는가

번역에서 무대를 빼먹는다

§1.7 절차의 1단계 — 무대 찾기가 첫 작업이다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(\exists\), \(\exists\) (2) \(\forall\) (3) \(\exists\) (4) 반례 (5) 예(증인)

※ (1)에서 양화사가 두 층인 이유 — “짝수인 정수가 존재한다”의 바깥층은 \(n\)의 존재이고, “\(n\)이 짝수”라는 안쪽 조건이 다시 \(k\)의 존재(정의 1.1)이기 때문이다. 정의를 풀 때마다 \(\exists\)가 한 층씩 드러난다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) 증인 \(y\) (2) \(-x\) (3) 정수의 부호를 바꾼 수(\(-x = (-1) \times x\))도 정수 — 근거 ② 닫힘성 (4) 증인 (5) 모든 \(x\)를 처리하는 일반 논증 (6) \(0\)

※ 명제 A에서 증인 \(-x\)가 \(x\)에 의존하는 것은 순서 규칙이 허용하는 권리이고, 명제 B에서 증인 \(0\)이 \(x\)를 참조하지 않는 것은 순서 규칙이 부과하는 의무다. 같은 “증인 제작”이라도 양화사 순서가 규칙을 바꾼다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 양화사 순서 \(\exists y \forall x\), 무대 \(\mathbb{N}\)(둘 다), 열린 문장 \(y \le x\). (2) \(\exists\) 명제이므로 참을 보이려면 증인 하나 — 단, 증인의 조건이 \(\forall x\)이므로 검증은 모든 \(x\)를 처리하는 일반 논증이어야 한다. (3) 증인 \(y = 1\): 임의의 \(x \in \mathbb{N}\)에 대해 \(x \ge 1\) (\(\mathbb{N}\)의 규약)이므로 \(1 \le x\) ✓. 따라서 참이다.

※ 이 명제가 참인 것은 \(\mathbb{N}\)에 최솟값 1이 있기 때문이다. 무대를 \(\mathbb{Z}\)로 바꾸면 만능 \(y\)(모든 정수 이하의 정수)가 없어 거짓이 된다 — 무대가 진리값을 바꾸는 또 하나의 사례다.

문제 1#

접근. §1.7의 절차 3단계 — 무대 찾기, 양화사 낱말 고르기(“모든/어떤/존재”), 나머지 주장을 열린 문장으로. 복합 조건은 ‘그리고’(\(\land\))로 묶는다.

풀이. (a) \(\forall n \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{Q}\) — 무대 \(\mathbb{Z}\), “모든”이므로 \(\forall\), 주장은 유리수 집합에의 소속이다. (b) \(\exists n \in \mathbb{Z},\ n < 0\) — “어떤 ~는 ~다”는 존재 주장이다. (c) \(\exists n \in \mathbb{N},\ (100 \le n \le 999) \land (7 \mid n)\) — “세 자리”가 부등식 두 개로, “7의 배수”가 \(7 \mid n\)(정의 2.1)으로 번역된다. 두 조건을 동시에 만족하는 하나의 \(n\)이 존재한다는 주장이므로 \(\land\)로 묶는다. (d) \(\forall n \in \mathbb{N},\ 2 \mid n(n+1)\) — “짝수이다”를 \(2 \mid\) 로 적었다.

복기. “~중에 ~가 있다”류는 \(\exists\) + \(\land\), “모든 ~는 ~다”류는 \(\forall\)(필요하면 + 조건문)이 기본 문형이다. 번역이 막히면 무대부터 다시 찾는다 — 무대 없는 양화사는 판정 불능이다(§1.3 삭제 실험).

문제 2#

접근. 비대칭 표부터 적용한다: \(\exists\)의 참 = 증인 하나 / \(\forall\)의 거짓 = 반례 하나 / \(\exists\)의 거짓과 \(\forall\)의 참 = 일반 논증. 문항마다 어느 칸인지 정하고 나서 실행한다.

풀이. (a) 참 — 증인 \(x = 5\): \(5^2 = 25\) ✓ (\(x = -5\)도 증인이다 — \(\exists\)의 입증에는 하나면 충분하므로 아무거나 고른다). (b) 거짓 — 반례 \(x = 0\): \(0^2 = 0\)이고 \(0 > 0\)은 불성립. 부등호가 \(\ge\)였다면 모든 정수에서 \(x^2 \ge 0\)이므로 참이었다 — 등호 하나가 진리값을 갈랐다. (c) 거짓 — 존재의 반박이므로 전원 논증이 필요하다: 모든 실수 \(x\)에서 \(x^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\)이고, 따라서 \(x^2 + 1 = 0\)을 만족하는 실수는 하나도 없다. (d) 참 — \(\forall\)의 참이므로 일반 논증: 임의의 \(x \in \mathbb{N}\)에 대해 \(x + 1\)은 정수이고(근거 ② 닫힘성), 이 책의 규약상 \(x \ge 1\)이므로 \(x + 1 \ge 2 \ge 1\)이다. 1 이상의 정수는 자연수이므로 \(x + 1 \in \mathbb{N}\)이다.

복기. 네 문항이 비대칭 표의 네 칸을 정확히 하나씩 채운다 — (a) \(\exists\) 참, (b) \(\forall\) 거짓, (c) \(\exists\) 거짓, (d) \(\forall\) 참. 백지 재현에서 “칸마다 실례 붙이기”의 재료로 쓸 수 있는 문제다.

문제 3#

접근. “~의 ~는 ~다” 꼴 일반 서술은 대개 \(\forall\) + 조건문(§1.5), “~중에 ~가 있다”는 \(\exists\) + \(\land\). 항등식은 \(\forall\) 명제다.

풀이. (a) \(\forall n \in \mathbb{Z},\ (n \text{ 홀수} \Rightarrow n^2 \text{ 홀수})\) — “홀수의 제곱은”이 “모든 정수를 무대에 올리고 홀수인 것에 한해”로 풀린다. 1주차 문제 11이 정확히 이 명제의 증명이었다. (b) \(\exists n \in \mathbb{N},\ (n \text{ 소수}) \land (n \text{ 짝수})\) — 증인 \(n = 2\) (1주차 문제 19에서 확인했다). (c) \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) — “항등식”이란 모든 \(x\)에서 성립한다는 뜻, 곧 \(\forall\) 명제라는 뜻이다. 반면 “방정식을 풀어라”는 등식을 성립시키는 \(x\)의 목록(진리집합, 8주차)을 구하라는 지시다 — 방정식과 항등식의 구분이 실은 양화사 구분이었던 셈이다.

복기. 겉모습에 양화사가 안 보이면 “이 문장은 몇 개의 대상에 대한 주장인가”를 묻는다 — 전부이면 \(\forall\), 하나 이상이면 \(\exists\)가 숨어 있다.

문제 4#

접근. 기호를 왼쪽부터 소리 내어 읽으면 번역이 되고(“~인 ~가 존재한다 / 모든 ~에 대해”), 판정은 비대칭 표대로 한다.

풀이. (a) “정수가 아닌 유리수가 존재한다” — 참. 증인 \(x = \frac{1}{2}\): 유리수이고(\(\frac{1}{2} = 1 \div 2\) 꼴의 분수) 정수가 아니다. (b) “모든 자연수는 1 이상이다” — 참. 이 책의 규약 \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\)에서 1이 최솟값이므로 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(n \ge 1\)이다. (c) “제곱하면 자기 자신이 되는 실수가 존재한다” — 참. 증인 \(x = 0\): \(0^2 = 0\) ✓ (\(x = 1\)도 증인이다). (d) “모든 정수 \(n\)에 대해 \(n(n+1)\)은 짝수이다” — 참. 연속한 두 정수의 곱이 짝수임은 1주차 문제 16에서 경우 나누기로 증명했다 — 이미 증명한 명제를 근거 ④로 인용하면 판정이 끝난다.

복기. (d)처럼 \(\forall\)의 참 칸이라고 해서 매번 논증을 새로 쓰는 것은 아니다 — 이미 증명된 명제의 인용(근거 ④)도 일반 논증의 자격을 갖는다.

문제 5#

접근. (a)(c)는 부등식 문항 — 일반 논증이 되는지 먼저 시도하고, 안 되면 반례를 찾는다. (b)는 존재의 반박(전원 논증), (d)는 작은 \(n\)부터 대입해 증인을 찾는다.

풀이. (a) 참 — 임의의 \(x \in \mathbb{N}\)에 대해 \(x \ge 1 > 0\)이므로 양변에 양수 \(x\)를 곱해도 부등호가 유지되어 \(x \cdot x \ge x \cdot 1\), 곧 \(x^2 \ge x\)이다 (확인 3의 (가)와 같은 논증). (b) 거짓 — 존재의 반박이므로 전원 논증: 모든 정수 \(x\)에서 \(x^2 \ge 0 > -1\)이므로 \(x^2 = -1\)인 정수는 없다. (c) 거짓 — 반례 \(x = 0\): \(0^2 = 0\)이고 \(0 > 0\)은 불성립 (\(x = \frac{1}{2}\)도 반례다: \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2}\)). (a)와 (c)는 부등호(\(\ge\) 대 \(>\))와 무대가 모두 다르다 — \(x^2 > x\)는 무대가 \(\mathbb{N}\)이어도 \(x = 1\)이 반례(\(1 > 1\) 불성립)라 이미 거짓이고, 무대가 \(\mathbb{R}\)로 넓어지면 \(x = 0\), \(x = \frac{1}{2}\) 같은 반례가 추가로 들어온다. (d) 참 — 증인 \(n = 3\): \(3^2 - 3 = 9 - 3 = 6\) ✓.

복기. 무대만으로 진리값이 바뀌는 사례는 확인 3이 보여 줬다 — 같은 열린 문장 \(x^2 \ge x\)가 \(\mathbb{N}\)에서는 참, \(\mathbb{R}\)에서는 거짓. (c)는 그와 달리 부등호까지 바뀐 별개의 명제다. 어느 쪽이든 판정을 시작하기 전에 무대와 열린 문장부터 확인하는 습관 — §1.7 절차의 1단계가 1단계인 이유다.

문제 6#

접근. 증인/반례를 “지목”하는 것이 요구 사항이다 — 판정만 하고 끝내지 않는다. (b)(d)는 \(\mathbb{N}\)이 1부터 시작한다는 규약이 급소다.

풀이. (a) 참 — 증인 \(x = -2\): \(-2 + 3 = 1\) ✓. (b) 거짓 — 반례 \(x = 1\): \(1 - 1 = 0\)인데 \(0 \notin \mathbb{N}\) (이 책의 규약에서 \(\mathbb{N}\)은 1부터다). 나머지 \(x \ge 2\)에서는 성립하지만, 반례 하나로 \(\forall\)은 무너진다. (c) 참 — 증인 \(x = \sqrt{3}\): \((\sqrt{3})^2 = 3\) ✓. 무대가 \(\mathbb{R}\)이므로 무리수 증인도 허용된다. (제곱해서 3이 되는 양의 실수가 존재한다는 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다 — 실수의 완비성이 필요한 정리로, 이 과정에서는 증명하지 않는다.) (d) 거짓 — 반례 \(n = 0\): \(0^2 = 0 \notin \mathbb{N}\). \(n \neq 0\)이면 \(n^2 \ge 1\)이라 성립하지만, 역시 반례 하나로 충분하다.

복기. (b)(d)의 반례는 둘 다 “경계의 원소”(1과 0)에서 나왔다. 반례 탐색은 무대의 끝, 0, 음수, 경계값부터 확인하는 것이 효율적이다 — 1주차 문제 19의 반례 2(가장 작은 소수)도 같은 자리에서 나왔다.

문제 7#

접근. 유한 무대에서는 원소별 전수 확인이 가장 확실하다. \(\forall\)은 전원 통과, \(\exists\)는 한 명 통과. 중첩이면 바깥 양화사부터 한 층씩 처리한다.

풀이. (a) 거짓 — 반례 \(x = 6\): \(6 < y\)인 \(y \in S\)가 필요한데 후보 \(2, 4, 6\)이 전부 \(6\) 이하이므로 증인이 없다. (\(x = 2, 4\)에서는 증인이 있지만, \(\forall x\)의 반례는 하나면 충분하다.) (b) 참 — 증인 \(x = 2\): 모든 \(y \in S\)에 대해 \(2 \le 2\) ✓, \(2 \le 4\) ✓, \(2 \le 6\) ✓. 증인의 조건이 \(\forall y\)이므로 세 검증 전부가 제시의 일부다. (c) 참 — \(S\)의 원소는 전부 짝수이고, 짝수와 짝수의 합은 짝수(1주차 예제 2.1, 근거 ④)이므로 임의의 \(x, y \in S\)에 대해 \(2 \mid (x+y)\)이다. 아홉 조합을 전수 확인해도 되지만, 증명된 정리 하나가 아홉 검사를 대신한다. (d) 참 — 증인 \((x, y) = (6, 6)\): \(6 + 6 = 12\) ✓. \(x\)와 \(y\)가 같아도 된다 — 서로 다르라는 조건은 어디에도 없다.

복기. (d)의 함정 — “두 원소”라는 인상 때문에 \(x \neq y\)를 스스로 추가하는 경우가 많다. 문장에 적힌 조건만이 조건이다. (c)의 처리 — 유한 무대라도 일반 논증이 통하면 그쪽이 짧다.

문제 8#

접근. (a)는 \(x\)를 받아 \(y\)를 제작한다(\(y\)가 \(x\)에 의존 가능 — 순서 규칙). (b)는 \(y\) 하나가 모든 \(x\)를 감당해야 한다 — 서로 다른 \(x\) 두 개를 들이밀어 하나의 \(y\)로는 동시 만족이 불가능함을 보인다.

풀이. (a) 참 — 임의의 \(x \in \mathbb{R}\)이 주어지면 \(y = -x\)를 고른다. 검증: \(x + (-x) = 0\) ✓. \(y\)가 \(x\)에 의존하는 것은 \(\exists y\)가 \(\forall x\) 뒤에 있으므로 허용된다. (b) 거짓 — 어떤 \(y\)가 모든 \(x\)에 대해 \(x + y = 0\)을 만족한다고 하자. \(x = 0\)을 들이밀면 \(0 + y = 0\)에서 \(y = 0\)이어야 하고, \(x = 1\)을 들이밀면 \(1 + y = 0\)에서 \(y = -1\)이어야 한다. \(y\)는 하나의 값인데 \(0\)과 \(-1\)을 동시에 가질 수 없으므로, 그런 \(y\)는 존재하지 않는다.

복기. (b)의 수법 — 만능 후보에게 서로 다른 요구 두 개를 던져 충돌시키는 것 — 은 \(\exists\forall\) 반박의 표준 수법이다. 문제 18의 유일성 논증(“각자의 조건에 상대를 대입”)이 같은 발상의 발전형이다.

문제 9#

접근. 1주차 정의 1.1의 “존재한다”를 \(\exists\) 기호로 승격시킨다. 중첩 문장은 “모든 짝수” = \(\forall n\) + (짝수라는 가정 \(\Rightarrow\)) 구조다 — §1.5의 “숨은 조건문” 꼴.

풀이. “\(n\)은 짝수” \(\iff \exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k\).

“모든 짝수의 제곱은 짝수”:

\[ \forall n \in \mathbb{Z},\ \left[ (\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k) \Rightarrow (\exists m \in \mathbb{Z},\ n^2 = 2m) \right] \]

1주차 문제 9의 증명이 정확히 이 구조를 따라갔다 — 가정의 \(\exists\)에서 \(k\)를 받아서 \(n = 2k\)를 쓰고, 목표의 \(\exists\)를 위해 \(m = 2k^2\)을 제작해 제시했다(\(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\)).

복기. 1주차 §1.3에서 “존재한다는 방향에 따라 다르게 작동한다”고 했던 표가 이 기호 구조의 정확한 서술이었다 — 가정 쪽 \(\exists\)는 받고, 목표 쪽 \(\exists\)는 만들어 제시한다. 15주차에서 이 구분이 증명 서식으로 굳는다.

문제 10#

접근. for every = \(\forall\), there is/exists = \(\exists\). 영어도 어순 그대로 왼쪽부터 배치하면 된다. (c)의 “every ~ that is …”는 \(\forall\) + 조건문이다.

풀이. (a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y^3 = x\) — \(x\)가 먼저, \(y\)가 나중(의존 허용). 참인 명제다 — 모든 실수가 실수 세제곱근을 갖는다는 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(실수의 완비성이 필요한 정리로, 이 과정에서는 증명하지 않는다). (b) \(\exists a \in \mathbb{Z},\ \forall b \in \mathbb{Z},\ a \mid b\) — “that divides every integer”가 증인의 조건 \(\forall b\)로 들어간다. 문제 15에서 이 명제의 참을 증명한다. (c) \(\forall n \in \mathbb{Z},\ (4 \mid n \Rightarrow 2 \mid n)\) — “every integer that is a multiple of 4”가 \(\forall n\) + 가정 \(4 \mid n\)으로 풀린다.

복기. 영어 수학 문장의 “that ~”, “for which ~”는 대부분 조건문 또는 안쪽 양화사의 신호다. 관계대명사가 나오면 “어느 변수에 대한 조건인가”부터 확인한다.

문제 11#

접근. 문제 7과 같은 유한 무대 훈련이다 — 부등호 방향이 바뀌었으니 판정도 처음부터 새로 한다. 전수 확인이 기본이고, 단조성(합이 커지는 방향)을 쓰면 검사가 줄어든다.

풀이. (a) 참 — \(x = 1\)이면 \(y = 1\) (\(1 \ge 1\) ✓), \(x = 2\)이면 \(y = 1\) (\(2 \ge 1\) ✓), \(x = 3\)이면 \(y = 1\) (\(3 \ge 1\) ✓). 전원에 대해 증인이 있다. (실은 \(y = 1\)이 모든 \(x\)에 통하므로 \(\exists y \in S,\ \forall x \in S,\ x \ge y\)도 참이다 — §1.6의 함의 관계. 다만 문항 (b)는 \(\exists x \forall y\)로 변수 역할이 뒤바뀐 별개 명제여서, 최댓값 \(x = 3\)이라는 다른 증인이 필요하다.) (b) 참 — 증인 \(x = 3\): 모든 \(y \in S\)에 대해 \(3 \ge 1\) ✓, \(3 \ge 2\) ✓, \(3 \ge 3\) ✓. 유한 무대에 최댓값이 있으면 그것이 만능 증인이다. (c) 참 — 합 \(x + y\)는 \(x, y\)가 클수록 커지므로 최소 조합 \(x = y = 1\)에서 \(1 + 1 = 2 \ge 2\) ✓이면 나머지 여덟 조합은 자동으로 통과한다. (아홉 조합 전수 확인도 물론 정답이다.) (d) 거짓 — \(\exists\exists\)의 반박이므로 모든 조합의 실패를 보인다: 최대 조합이 \(3 + 3 = 6 < 7\)이므로 어떤 조합도 7에 닿지 못한다.

복기. (c)(d)는 “최소 조합 / 최대 조합 하나로 전체를 대변”하는 논증이다 — 전수 확인의 지름길이지만, 지름길이 통하는 근거(단조성)를 한 줄 적어야 완결이다.

문제 12#

접근. “모든 ~가 P”의 부정 = “P가 아닌 ~가 하나는 있다”. “어떤 ~는 P”의 부정 = “모든 ~가 P 아님”. \(\forall \leftrightarrow \exists\) 뒤집기를 기호 없이 말로 체험하는 문제다 — 11주차에서 이것이 기계적 법칙으로 승격된다.

풀이. (a) “시험에 불합격한 학생이 적어도 한 명 있다.” — “모든 학생이 불합격했다”로 적는 경우가 많은데, 그것은 부정이 아니라 훨씬 강한 별개의 주장이다. 부정은 원명제를 무너뜨리는 최소 조건이고, \(\forall\)을 무너뜨리는 데는 한 명이면 충분하다(비대칭 표). (b) “지각한 학생이 없다” — 곧 “모든 학생이 지각하지 않았다”. \(\exists\)의 부정이 \(\forall\) + 부정으로 뒤집혔다. (c) “\(n^2 < n\)인 정수 \(n\)이 존재한다.” — 참고로 이 부정은 거짓이다(원명제가 참이므로). 부정을 만드는 작업과 진리값을 판정하는 작업은 별개다.

복기. (a)의 오답 “모든 학생이 불합격”은 부정과 반대를 혼동한 것이다 — 부정은 원명제가 성립하지 않는 경우 전부를 덮는 최소 주장이고, “반대”는 그중 한 극단일 뿐이다.

문제 13#

접근. 항등식 = 모든 \(x\)에서 성립한다는 \(\forall\) 주장 / 방정식(을 명제로 만들면) = 성립시키는 \(x\)가 존재한다는 \(\exists\) 주장 (§1.5 끝 문단).

풀이. (a) \(\forall x \in \mathbb{R},\ 3(x+1) = 3x + 3\) — 참이다. 분배법칙(근거 ③)이 모든 실수에서 성립하기 때문이다. (b) \(\exists x \in \mathbb{R},\ 2x = 6\) — 참이다. 증인 \(x = 3\): \(2 \times 3 = 6\) ✓. 같은 “등식”이라는 겉모습이라도 양화사가 다르면 완전히 다른 주장이다 — (a)는 모든 후보의 통과를, (b)는 한 후보의 통과를 주장한다.

복기. 중학교 이래 “항등식과 방정식의 구별”이라 배운 것의 정체가 양화사 구별이었다. 기호는 새 개념을 만드는 것이 아니라 이미 쓰던 구별을 정확하게 만든다 — “식 자체에 새로운 것은 없다”의 또 한 사례다.

문제 14#

접근. (a) 곱셈공식의 정체는 항등식 = \(\forall\forall\) 명제 — 참이면 문자 전개로 보인다. (b)는 “모든 \(y\)를 그대로 두는 곱셈 상수” 찾기 — \(\exists\)가 앞이므로 \(y\)를 몰라도 통하는 만능 값이어야 한다.

풀이. (a) 참 — 임의의 실수 \(x, y\)에 대해 분배법칙을 두 번 쓰면

\[ (x+y)^2 = (x+y)(x+y) = x(x+y) + y(x+y) = x^2 + xy + yx + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]

이다. 특정 값 대입이 아니라 문자 그대로의 전개이므로 모든 조합을 한 번에 처리한다 — 곱셈공식은 \(\forall\forall\) 명제였다. (b) 참 — 증인 \(x = 1\): 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)에 대해 \(1 \cdot y = y\) ✓. \(\exists\)가 앞에 있으므로 \(x\)는 \(y\)를 참조할 수 없는 만능 값이어야 하는데, 곱셈에는 그런 값(항등원 1)이 존재한다. 훈련 2의 명제 B(덧셈의 0)와 정확히 평행한 구조다.

복기. (b)의 증인 검증은 “모든 \(y\)” 부분 때문에 일반 논증이다 — 존재 입증 속의 일반 논증(문제 15 앞 상자)의 예행이 여기서도 한 번 이루어졌다.

문제 15#

접근. 증인 후보는 “모든 정수를 나누는 수” — 1이다(2주차 문제 1(d)에서 \(1 \mid n\)을 판정했다). 증인을 제시한 뒤에는 그 증인이 조건 전체(\(\forall b\))를 만족함을 일반 논증으로 보여야 한다 — \(\exists\)의 입증에 \(\forall\)의 증명이 포함되는 첫 정식 사례다.

풀이. 증인: \(a = 1\). 임의의 \(b \in \mathbb{Z}\)에 대해 \(b = 1 \cdot b\)이고 \(b \in \mathbb{Z}\)이므로, 정의 2.1에 의해 \(1 \mid b\)이다. \(b\)가 임의였으므로 \(\forall b \in \mathbb{Z},\ 1 \mid b\)가 성립하고, 따라서 \(\exists a \in \mathbb{Z},\ \forall b \in \mathbb{Z},\ a \mid b\)는 참이다. \(\blacksquare\)

\(a = -1\)도 증인이다: 임의의 \(b\)에 대해 \(b = (-1)(-b)\)이고 \(-b \in \mathbb{Z}\) (근거 ②)이므로 \(-1 \mid b\). \(\exists\)의 입증에는 하나면 충분하므로 어느 쪽을 골라도 된다.

복기. 서식이 두 층이다 — ① 증인 제시(하나 고르기) ② 증인 검증(그 증인에 대한 \(\forall\) 일반 논증). 이 2단 서식이 15주차 존재 증명의 표준 틀이 된다. 검산: \(b = 0, 7, -12\)를 넣어 보면 \(1 \times 0 = 0\), \(1 \times 7 = 7\), \(1 \times (-12) = -12\) — 모든 줄이 그대로 작동한다.

문제 16#

접근. 설계 조건은 “\(x\)마다 다른 \(y\)로는 되지만 만능 \(y\)는 없는” 구조다. 순서 관계(\(>\), \(<\))가 이 구조를 만들기 가장 쉽다 — 아무리 큰 후보를 제시해도 그보다 큰(또는 같은) 원소가 무대에 남아 있으면 만능이 될 수 없다.

풀이. (예시 답) 무대 \(\mathbb{N}\), 열린 문장 “\(y > x\)”.

  • \(\forall x \in \mathbb{N},\ \exists y \in \mathbb{N},\ y > x\): 참 —

임의의 \(x\)에 대해 증인 \(y = x + 1\)을 제작하면 \(x + 1 > x\) ✓이고 \(x + 1 \in \mathbb{N}\) (근거 ②).

  • \(\exists y \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{N},\ y > x\): 거짓 —

어떤 \(y\)를 제시해도 \(x = y\)가 반례다: \(y > y\)는 불성립.

두 판정이 모두 서식대로 적혀야 완결이다 — ① \(\forall\exists\) 참의 근거 (\(x\)마다 증인 제작) ② \(\exists\forall\) 거짓의 근거(어느 \(y\)든 무너뜨리는 \(x\)).

복기. 구조만 맞으면 무엇이든 정답이다 — “모든 사람에게 부모가 있다 / 모든 사람의 부모인 한 사람이 있다”, “모든 자물쇠에 그것을 여는 열쇠가 있다 / 모든 자물쇠를 여는 열쇠 하나가 있다” 같은 일상 예도 같은 뼈대다. 스스로 예를 만들어 본 경험이 §1.6의 순서 규칙을 기억에 고정한다.

문제 17#

접근. (a)(b)는 문제 8을 재사용한다(근거 ④ — 이미 판정한 명제의 인용). (c)(d)는 같은 문형에서 연산만 곱셈으로 바꾼 것 — 곱셈에 “만능 \(y\)”가 있는지가 관건이다.

풀이. (a) 참 — 임의의 \(x\)에 대해 증인 \(y = -x\): \(x + (-x) = 0\) ✓ (문제 8(a)). (b) 거짓 — 문제 8(b)에서 보였다: \(x = 0\)은 \(y = 0\)을, \(x = 1\)은 \(y = -1\)을 요구하므로 하나의 \(y\)가 동시에 만족할 수 없다. (c) 참 — 임의의 \(x\)에 대해 증인 \(y = 0\): \(x \cdot 0 = 0\) ✓. (\(x\)를 참조할 필요조차 없는 증인이다.) (d) 참 — 증인 \(y = 0\): 임의의 \(x \in \mathbb{R}\)에 대해 \(x \cdot 0 = 0\) ✓. 하나의 \(y\)가 모든 \(x\)를 감당한다.

대비: 덧셈에서는 \(\exists y \forall x\)가 거짓인데 곱셈에서는 참이다 — 0이라는 “모든 \(x\)에게 통하는 하나”가 곱셈에는 있고 덧셈에는 없기 때문이다. \(\exists\forall\)의 진리값은 그런 만능 원소의 존재 여부가 정한다.

복기. 같은 문형(\(\exists y \forall x\))이라도 열린 문장이 바뀌면 판정을 처음부터 다시 해야 한다 — 문형은 전략(증인 또는 반박)을 정할 뿐, 진리값은 정하지 않는다.

문제 18#

접근. 증인은 “더해도 아무것도 바꾸지 않는 수” — 덧셈의 항등원 0이다. 유일성은 문제 앞 상자의 틀대로 — 조건을 만족하는 것이 둘 있다고 하고(\(x\), \(x'\)), 각자의 만능성을 서로에게 적용해 \(x = x'\)을 강제한다.

풀이. 증인: \(x = 0\) — 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)에 대해 \(0 + y = y\) ✓. 따라서 명제는 참이다.

유일성: \(x\)와 \(x'\)이 둘 다 조건을 만족한다고 하자. 곧 “모든 \(y\)에 대해 \(x + y = y\)”와 “모든 \(y\)에 대해 \(x' + y = y\)”가 둘 다 성립한다. \(x\)의 조건에 \(y = x'\)을 대입하면 \(x + x' = x'\)이고, \(x'\)의 조건에 \(y = x\)를 대입하면 \(x' + x = x\)이다. 덧셈의 교환법칙으로 두 좌변이 같으므로 (\(x + x' = x' + x\)), 두 우변도 같다: \(x' = x\). 즉 그런 \(x\)는 하나뿐이다.

복기. “둘을 가정하고 같음을 강제”가 유일성 증명의 표준 틀이고, 만능 조건끼리는 “서로에게 대입”이 상투적인 첫 수다 — 각자의 \(\forall y\)가 상대를 \(y\) 자리에 받아 주기 때문에 가능한 수다. 26주차 유일성 증명에서 이 틀이 정식 서식으로 굳는다.

문제 19#

접근. 뜻 해석은 접어 두고 순서 규칙(“왼쪽부터, 먼저 나온 것이 먼저 정해진다”)만 기계적으로 적용한다. (d)는 준비 운동 1번의 조건문 부정과 \(\forall\leftrightarrow\exists\) 뒤집기를 층마다 한 번씩 쓴다.

풀이. (a) \(\varepsilon\) — 가장 왼쪽의 변수다. (b) 된다 — \(\exists N\)이 \(\forall \varepsilon\) 뒤에 있으므로 \(N\)은 이미 정해진 \(\varepsilon\)을 참조할 수 있다. \(\varepsilon\)마다 다른 \(N\)을 골라도 된다는 뜻이고, 실제 극한 증명은 “주어진 \(\varepsilon\)으로 \(N\)을 제작”하는 작업이 된다(45주차). (c) \(\varepsilon\)과 \(N\) — \(n\)은 셋째 층이므로 앞의 두 변수가 이미 정해져 있다. (d) “어떤 \(\varepsilon > 0\)이 존재해서, 모든 \(N\)에 대해, \(n > N\)인데 \(|a_n - L| \ge \varepsilon\)인 자연수 \(n\)이 존재한다.” — 층마다 \(\forall \leftrightarrow \exists\)가 뒤집히고, 맨 안쪽 조건문은 준비 운동 1번의 규칙대로 “인데”(\(P \land \neg Q\)) 꼴이 됐다.

복기. 층이 세 개가 되어도 새 규칙은 하나도 없다 — 순서 규칙과 부정 규칙을 층수만큼 반복할 뿐이다. (d)의 절차를 기계로 만드는 것이 11주차의 주제이고, 이 문장의 뜻은 45주차에서 완전히 회수된다.

문제 20#

접근. “없다” = 존재의 부정 = \(\neg\exists\). 같은 상황을 긍정문으로 바꾸면 “모두가 ~ 아니다” = \(\forall\) + 부정된 열린 문장. 두 표현이 같은 주장임을 말로 설명하는 것까지가 문제다.

풀이. ① \(\neg\, \exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = -1\) ② \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \neq -1\) ③ (예) “모든 실수는 제곱하면 \(-1\)이 아니다.” / “실수의 제곱은 결코 \(-1\)이 되지 않는다.”

이유: “조건을 만족하는 것이 하나도 없다”와 “모든 것이 조건을 만족하지 않는다”는 같은 상황의 두 표현이기 때문이다 — 확인 6에서 \(\exists\)의 거짓 칸을 “모든 후보의 실패 논증”으로 처리한 것이 정확히 이 동일성이었다. 기호로는 \(\neg\exists x,\ P(x) \equiv \forall x,\ \neg P(x)\)이고, 11주차에서 공식 법칙으로 승격되어 근거 ④ 목록에 등록된다.

복기. 비대칭 표의 네 칸 중 비싼 두 칸(\(\forall\) 참, \(\exists\) 거짓)은 사실 부정으로 서로 연결되어 있다 — \(\exists\)의 거짓을 보이는 일은 부정 \(\forall\) 명제의 참을 보이는 일이다. 표의 대각선이 부정 법칙 하나로 묶이는 셈이고, 이 정리가 11주차의 출발점이다.

다음 주 예고: 양화사가 겹겹인 명제의 부정을 기계적으로 만드는 법 (\(\forall \leftrightarrow \exists\) 뒤집기 + 드모르간 + 조건문의 “인데”)과 추론 규칙을 배우고, 2부(논리)를 총정리 시험으로 마감한다. 그 뒤 15주차부터 본격적인 증명 기법에 들어간다 — 무슨 증명을 쓸지는 이번 주에 세운 대로 문장의 양화사 구조가 결정한다.