39주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#
백지 시험 (20문항)#
규칙. 교재를 덮고 150분 안에 푼다. 판정 문항은 성립하면 증명을, 불성립하면 반례를 완전 서식으로 쓴다. \(\mathbb{Z}_n\) 계산은 결과를 \([0]\)부터 \([n-1]\) 사이의 대표원으로 적는다.
기본 ●○○#
1. [정의 백지 테스트] 다음을 정의하시오: 관계 / 반사\(\cdot\)대칭\(\cdot\)추이 / 동치관계 / 동치류 \([x]\) / 분할 / \(\mathbb{Z}_n\).
2. 성적표를 채우시오: \(=\), \(\le\), \(\mid\)(on \(\mathbb{N}\)), \(\equiv \pmod n\) 각각에 대해 반사/대칭/추이 (✓/✗ + 근거 또는 반례 한 마디).
3. \(A = \{1,2,3\}\) 위의 \(R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}\)의 세 성질을 판정하시오. 동치관계라면 동치류를 모두 구하시오.
4. \(\mathbb{Z}\) 위 \(\equiv \pmod 5\)의 서로 다른 동치류를 모두 나열하시오 (각 3개 원소 예시).
5. 다음이 \(\{1,2,3,4,5\}\)의 분할인지 판정하시오 (아니면 위반 조건). (a) \(\{1,3\},\{2,4\},\{5\}\) (b) \(\{1,2,3\},\{3,4,5\}\) (c) \(\{1\},\{2,4\}\) (d) \(\{5\},\{1,2,3,4\},\emptyset\)
6. \(\mathbb{Z}_6\)에서 계산하시오: (a) \([4]+[5]\) (b) \([4][5]\) (c) \([5]^2\) (d) \([3]([2]+[4])\)
표준 ●●○#
7. \(\mathbb{Z}\) 위의 관계 \(x\,R\,y \iff 5 \mid (x + 4y)\)가 동치관계임을 증명하시오. (대칭 힌트: \(y + 4x = 5(x+y) - (x+4y)\))
8. \(\mathbb{R}\) 위의 \(x R y \iff |x| = |y|\): 동치관계임을 밝히고 \([2]\), \([0]\)과 동치류의 일반형을 쓰시오.
9. [백지 재현] 핵심 정리 “\(x R y \iff [x] = [y]\)”를 증명하시오 (세 성질 소비처 표시).
10. [백지 재현] “두 동치류는 같거나 서로소”를 증명하시오.
11. [백지 재현] 분할이 주어졌을 때 “같은 조각” 관계가 동치관계임을 증명하시오 (③덮음\(\cdot\)②서로소의 소비처 표시).
12. [백지 재현] \(\mathbb{Z}_n\)의 덧셈 \([a]+[b]=[a+b]\)가 잘 정의됨을 증명하시오.
13. \(\mathbb{Z}_7\)에서 \([0]\)이 아닌 각 방의 곱셈 역원을 표로 만드시오.
14. \(\mathbb{Z}_6\)에서 \([4][x] = [2]\)의 해를 전수 대입으로 모두 구하시오.
도전 ●●●#
15. (진단) 다음 주장을 반박하시오: “관계 \(R\)이 대칭적이고 추이적이면, \(x R y\)인 \(y\)를 잡아 대칭\(\cdot\)추이로 \(x R x\)를 얻으므로 반사적이다.” — 오류 지적 + 반례 제시.
16. \(\mathbb{R}\) 위의 관계 \(x\,R\,y \iff x - y \in \mathbb{Q}\)에 대해: (a) 동치관계임을 증명하시오 (유리수 닫힘성 인용). (b) \([0]\)의 정체를 밝히시오. (c) \([\sqrt2]\)의 원소를 3개 제시하고, \([0] \cap [\sqrt2] = \emptyset\)인 이유를 밝히시오.
17. “\(\mathbb{Z}_n\)에 영인수가 존재한다 \(\iff\) \(n\)은 합성수”를 증명하시오. (\(\Leftarrow\)는 증인 제작, \(\Rightarrow\)는 대우 — \(n\)이 소수면 영인수 없음(유클리드 보조정리 인정). 38주차 문제 15\(\cdot\)16의 iff 종합)
18. (진단) 학생이 \(A = \{1,2,3,4\}\) 위의 \(R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(2,3),(3,2)\}\)에서 동치류를 구했더니 \([1] = \{1,2,3\}\)과 \([3] = \{2,3,4\}\)가 겹쳤다. 관계의 결함을 정확히 짚고(빠진 순서쌍), 수리 후의 동치류를 구하시오.
19. 다음 두 규칙이 \(\mathbb{Z}_4\)에서 잘 정의되는지 각각 판정하시오 (성립 = 증명, 불성립 = 반례). (a) \(g([a]) = [a^2]\) (b) \(h([a]) = [2^a]\)
20. (서술) 8부 지도(관계 \(\to\) 동치 \(\to\) 분할 \(\to\) 몫 세계)를 자기 언어로 재구성하고, “함수도 관계다”라는 다음 주 예고가 왜 자연스러운 확장인지 두 문장 이내로 쓰시오.
백지 복습 체크리스트 (시험 후)#
정의 6종(1번)을 만점 받았다.
세 정리(핵심 정리\(\cdot\)같거나 서로소\(\cdot\)잘 정의됨)를 백지 재현했다 (9, 10, 12번).
판정 문항에서 반례를 완전 서식으로 썼다.
\(\mathbb{Z}_n\) 계산(6, 13, 14번)에서 실수하지 않았다.
두 함정(15, 18번)을 정확히 진단했다.
해설#
틀린 문제는 접근만 읽고 재시도한 뒤 풀이를 확인한다.
문제 1#
접근. 36~38주차의 백지 암기 상자 여섯 개(정의 36.1, 36.2, 37.1, 37.2, 37.3, 38.1)를 그대로 불러오는 문항이다. 채점의 초점은 문장의 인상이 아니라 조각 하나하나에 있다 — 조각이 빠지면 정의가 무엇을 구별하지 못하게 되는지까지 함께 확인한다. 경계도 채점 대상이다: 정의 38.1이 정하는 것은 무대(\(\mathbb{Z}_n\)이 무엇의 집합이고 원소가 몇 개인가)까지이고, 두 연산은 별개의 정의 38.3이다.
풀이. 관계 (정의 36.1). 집합 \(A\) 위의 관계 \(R\)이란 \(A \times A\)의 부분집합이다: \(R \subseteq A \times A\). \((x, y) \in R\)일 때 \(x\,R\,y\)로 쓴다. 세 성질 (정의 36.2). 반사적: 모든 \(x \in A\)에 대해 \(x R x\). 대칭적: 모든 \(x, y \in A\)에 대해 \(x R y\)이면 \(y R x\). 추이적: 모든 \(x, y, z \in A\)에 대해 \(x R y\)이고 \(y R z\)이면 \(x R z\). 동치관계 (정의 37.1). 반사적\(\cdot\)대칭적\(\cdot\)추이적인 관계. 동치류 (정의 37.2). 동치관계 \(R\)과 \(x \in A\)에 대해 \([x] = \{z \in A : x\,R\,z\}\)이고, \(x\)를 이 동치류의 대표원이라 한다. 분할 (정의 37.3). \(A\)의 부분집합들의 모임으로서 ① 각 조각이 공집합이 아니고 ② 서로 다른 두 조각이 서로소이며 ③ 조각들의 합집합이 \(A\)인 것. \(\mathbb{Z}_n\) (정의 38.1). \(\mathbb{Z}\) 위 \(\equiv \pmod n\)의 동치류 전체의 집합 \(\{[0], [1], \dots, [n-1]\}\)이고 \(|\mathbb{Z}_n| = n\)이다. 연산 (정의 38.3). \([a] + [b] = [a+b]\), \([a][b] = [ab]\) — 잘 정의됨(정의 38.2)이 확인된 뒤에만 정의로 성립한다.
복기. 조각이 빠졌을 때 무너지는 것을 하나씩 확인해 둔다. 관계에서 “\(A \times A\)의”를 빼면 \(R\)의 원소가 순서쌍이라는 사실이 사라져 \(x R y\)와 \(y R x\)를 구별할 수 없게 된다(36주차 §1.3의 삭제 실험). 분할에서 ①을 빼면 \(\emptyset\)을 조각으로 인정하게 되어 문제 5(d)가 분할로 통과하고, ③을 빼면 문제 5(c)가 통과한다. \(\mathbb{Z}_n\)에서 “동치류들의 집합”을 “나머지들의 집합”으로 적으면 원소가 수라는 오해가 남아, 잘 정의됨 검문이 왜 필요한지가 통째로 사라진다. 두 연산을 정의 38.1 안에 밀어 넣는 답안도 많은데, 그러면 “정의 38.2가 확인되기 전까지 정의 38.3의 등호는 선언에 그친다”는 38주차의 순서가 무너져 검문 자체가 절차에서 빠진다.
문제 2#
접근. 36주차의 성적표 작업을 그대로 반복한다. ✓에는 근거를, ✗에는 구체적인 반례를 붙이는 것이 서식이다 — ✗ 자리에 “성립하지 않는다”만 적으면 반증이 아니다(29주차).
풀이.
관계 |
반사 |
대칭 |
추이 |
|---|---|---|---|
\(=\) |
✓ (\(x = x\)) |
✓ (\(x = y\)이면 \(y = x\)) |
✓ (\(x = y\), \(y = z\)이면 \(x = z\)) |
\(\le\) |
✓ (\(x \le x\)) |
✗ 반례: \(1 \le 2\)이지만 \(2 \not\le 1\) |
✓ (\(x \le y\), \(y \le z\)이면 \(x \le z\)) |
\(\mid\) (on \(\mathbb{N}\)) |
✓ (\(n = n \cdot 1\)이므로 \(n \mid n\)) |
✗ 반례: \(2 \mid 4\)이지만 \(4 \nmid 2\) |
✓ (2주차 예제 2.1의 추이성) |
\(\equiv \pmod n\) |
✓ (C1) |
✓ (C2) |
✓ (C3) |
복기. \(=\)와 \(\equiv\)만 세 칸이 모두 ✓이고, 이 둘만 동치관계다. 20주차에서 (C1)~(C3)을 “등호처럼 행동한다”로 요약했던 것이 36주차에서 정확히 세 성질의 이름을 얻고, 37주차에서 “동치관계”라는 한 낱말로 묶인 경로다. \(\le\)와 \(\mid\)는 반사\(\cdot\)추이에 더해 “\(x R y\)이고 \(y R x\)이면 \(x = y\)”까지 갖추고 있고(각각 \(x \le y \le x\)이면 \(x = y\), \(\mathbb{N}\)에서 \(x \mid y\)이고 \(y \mid x\)이면 \(x = y\)이다), 이 셋을 갖춘 관계를 순서관계라 부른다 — 이번 주에는 이름만 기억해 두면 된다. 반사와 추이만으로는 이 이름이 나오지 않는다는 점에 주의한다. \(A\) 위의 전체관계 \(R = A \times A\)는 반사적이고 추이적이지만 원소가 둘 이상이면 순서관계가 아니다.
문제 3#
접근. 무대가 유한하므로 판정은 목록 대조로 끝난다. 반사는 대각선 \((1,1), (2,2), (3,3)\)이 다 있는지, 대칭은 대각선 밖 순서쌍마다 짝이 있는지, 추이는 두 칸짜리 길마다 지름길이 있는지 확인한다.
풀이. (반사) \((1,1), (2,2), (3,3)\)이 모두 \(R\)에 있다 ✓. (대칭) 대각선 원소는 자기 자신이 짝이다. 대각선 밖은 \((1,3)\)과 \((3,1)\)뿐이고 서로가 서로의 짝이므로 ✓. (추이) 확인할 사슬은 다음과 같다. \((1,3),(3,1) \to (1,1) \in R\) ✓. \((3,1),(1,3) \to (3,3) \in R\) ✓. \((1,1),(1,3) \to (1,3) \in R\) ✓. \((1,3),(3,3) \to (1,3) \in R\) ✓. \((3,3),(3,1) \to (3,1) \in R\) ✓. \((3,1),(1,1) \to (3,1) \in R\) ✓. 나머지는 \((1,1),(1,1)\), \((2,2),(2,2)\), \((3,3),(3,3)\)처럼 같은 대각선 순서쌍만 두 번 잇는 사슬이고, 결론 순서쌍이 곧 가정 순서쌍이므로 자동으로 통과한다 ✓ (두 칸 사슬은 모두 아홉 개다). 세 성질이 모두 성립하므로 \(R\)은 동치관계다. 동치류는 정의 37.2대로 \([x] = \{z : x R z\}\)를 읽어 내면 된다: \([1] = \{1, 3\}\), \([3] = \{1, 3\}\), \([2] = \{2\}\). 곧 서로 다른 동치류는 \(\{1,3\}\)과 \(\{2\}\) 두 개이고, 이 둘이 \(A\)의 분할을 이룬다. \(\blacksquare\)
복기. \(1 R 3\)이면서 \([1] = [3]\)인 것이 핵심 정리(문제 9)의 실물 확인이다. 추이 판정에서 대각선이 끼는 사슬은 언제나 자동으로 통과하므로, 실제로 볼 것은 대각선 밖 순서쌍끼리 이어지는 사슬뿐이다. 이 요령을 쓰면 판정 시간이 크게 줄어든다.
문제 4#
접근. \(x \equiv y \pmod 5\)는 \(5 \mid (x - y)\), 곧 “5로 나눈 나머지가 같다”이므로 동치류는 나머지 \(0, 1, 2, 3, 4\)에 하나씩 대응한다. 나눗셈 정리가 나머지의 존재와 유일성을 주므로(정의 38.1의 근거) 동치류는 정확히 다섯 개다.
풀이.
서로 다른 동치류는 이 다섯 개뿐이다. 임의의 정수 \(x\)는 \(x = 5q + r\) (\(0 \le r < 5\))로 유일하게 쓰이므로 \([x] = [r]\)이고, 나머지가 다른 두 수는 합동이 아니므로 다섯 개가 서로 다르다.
복기. 대표원이 \(0 \sim 4\)일 필요는 없다. \([10] = [0]\), \([-3] = [2]\)처럼 한 방에는 이름이 무한히 많고, 바로 그 사실이 38주차의 잘 정의됨 검문을 낳는다. 다섯 조각이 겹치지 않고 \(\mathbb{Z}\) 전체를 덮는다는 것이 분할 정리의 실물이다.
문제 5#
접근. 판정은 정의 37.3의 세 조건 ① 비공 ② 서로소 ③ 덮음을 차례로 대조하는 기계적 작업이다. ✗일 때는 어느 조건이 어디서 깨졌는지 증거를 함께 적는다.
풀이. (a) \(\{1,3\}, \{2,4\}, \{5\}\) — ① 셋 다 비공 ✓ ② 쌍마다 교집합이 공집합 ✓ ③ 합집합이 \(\{1,2,3,4,5\}\) ✓. 분할이다. (b) \(\{1,2,3\}, \{3,4,5\}\) — ①과 ③은 성립하지만 두 조각의 교집합이 \(\{3\}\)으로 비어 있지 않다. ② 위반. (c) \(\{1\}, \{2,4\}\) — ①과 ②는 성립하지만 합집합이 \(\{1,2,4\}\)여서 \(3\)과 \(5\)가 어느 조각에도 속하지 않는다. ③ 위반. (d) \(\{5\}, \{1,2,3,4\}, \emptyset\) — ②와 ③은 성립하지만 \(\emptyset\)이 조각으로 들어 있다. ① 위반.
복기. 세 조건은 “모든 원소가 정확히 한 조각에 속한다”를 셋으로 쪼갠 것이다. ③이 “적어도 한 조각”을, ②가 “많아야 한 조각”을 맡는다. ①은 언뜻 사소해 보이지만, 이것이 없으면 (d)처럼 아무 분할에나 \(\emptyset\)을 얼마든지 덧붙일 수 있어 조각의 개수가 뜻을 잃는다.
문제 6#
접근. 연산의 정의가 \([a] + [b] = [a+b]\), \([a][b] = [ab]\)이므로 대표원으로 \(\mathbb{Z}\)에서 계산한 뒤 결과를 mod 6으로 줄이면 된다. 이 절차가 정당한 근거가 곧 문제 12의 잘 정의됨이다.
풀이. (a) \([4] + [5] = [9]\)이고 \(9 = 6 + 3\)이므로 \([9] = [3]\). 답은 \([3]\)이다. (b) \([4][5] = [20]\)이고 \(20 = 6 \cdot 3 + 2\)이므로 \([20] = [2]\). 답은 \([2]\)이다. (c) \([5]^2 = [5][5] = [25]\)이고 \(25 = 6 \cdot 4 + 1\)이므로 \([25] = [1]\). 답은 \([1]\)이다. (d) 괄호부터 계산하면 \([2] + [4] = [6] = [0]\)이므로 \([3]([2]+[4]) = [3][0] = [0]\). 답은 \([0]\)이다.
복기. (d)를 분배법칙으로 풀어도 같은 값이 나와야 한다: \([3][2] + [3][4] = [6] + [12] = [0] + [0] = [0]\) ✓. 이 일치가 우연이 아닌 이유는 분배법칙이 \(\mathbb{Z}\)에서 \(\mathbb{Z}_n\)으로 상속되기 때문이다(38주차 문제 19). (c)는 \([5] = [-1]\)을 쓰면 \([5]^2 = [(-1)^2] = [1]\)로 더 짧게 끝난다 — 대표원은 \(0 \sim n-1\)이 아니어도 되므로 계산이 쉬운 이름을 고르는 것이 요령이다.
문제 7#
접근. 36주차 문제 13(\(3 \mid (x + 2y)\))과 같은 꼴 \(n \mid \big(x + (n-1)y\big)\)이고 \(n\)만 3에서 5로 바뀌었다 — 법이 바뀌면 \(y\)의 계수도 2에서 4로 따라 움직인다는 점이 복기에서 회수된다. 세 성질을 각각 별도의 문단으로 쓰되, 매번 “5의 배수”를 정의(2주차 정의 2.1)로 풀어 정수를 꺼내는 것이 서식이다. 대칭과 추이는 목표 식을 가정 식들의 정수배 조합으로 만드는 것이 전부다.
풀이. (반사) 임의의 \(x \in \mathbb{Z}\)에 대해 \(x + 4x = 5x\)이고 \(x \in \mathbb{Z}\)이므로 \(5 \mid (x + 4x)\), 곧 \(x R x\)이다 ✓. (대칭) \(x R y\)라 하자. 곧 \(5 \mid (x + 4y)\)이므로 \(x + 4y = 5m\)인 정수 \(m\)이 존재한다. 그러면
이고 \(x + y - m \in \mathbb{Z}\)이므로 \(5 \mid (y + 4x)\), 곧 \(y R x\)이다 ✓. (추이) \(x R y\)이고 \(y R z\)라 하자. 곧 \(x + 4y = 5m\), \(y + 4z = 5n\)인 정수 \(m, n\)이 존재한다. 두 식을 더하면 \(x + 5y + 4z = 5m + 5n\)이므로
이고 \(m + n - y \in \mathbb{Z}\)이므로 \(5 \mid (x + 4z)\), 곧 \(x R z\)이다 ✓. 세 성질이 모두 성립하므로 \(R\)은 동치관계다. \(\blacksquare\)
복기. 이 관계의 정체는 \(\equiv \pmod 5\)다. \(4 \equiv -1 \pmod 5\)이므로 \(x + 4y \equiv x - y \pmod 5\)이고, 따라서 “\(5 \mid (x+4y)\)”는 “\(5 \mid (x - y)\)”와 같은 조건이다. 정체를 알아채면 세 성질이 (C1)~(C3)에서 곧바로 따라 나오지만, 시험에서는 정의만으로 밀고 나가는 위의 서식을 쓸 수 있어야 한다.
문제 8#
접근. 조건이 “\(|x|\)라는 값이 같다”는 등식이므로 세 성질은 등호의 세 성질에서 그대로 상속된다. 등식 기반 관계는 언제나 동치관계라는 것이 37주차 문제 10에서 굳힌 사실이다. 동치류는 정의 37.2대로 \([x] = \{y : |x| = |y|\}\)를 풀면 된다.
풀이. (반사) 임의의 \(x \in \mathbb{R}\)에 대해 \(|x| = |x|\)이므로 \(x R x\) ✓. (대칭) \(x R y\)이면 \(|x| = |y|\)이고, 등호의 대칭성으로 \(|y| = |x|\)이므로 \(y R x\) ✓. (추이) \(x R y\)이고 \(y R z\)이면 \(|x| = |y|\)이고 \(|y| = |z|\)이므로, 등호의 추이성으로 \(|x| = |z|\), 곧 \(x R z\) ✓. 따라서 \(R\)은 동치관계다. 동치류를 구한다. \(|y| = |2| = 2\)인 실수는 \(2\)와 \(-2\)뿐이므로 \([2] = \{2, -2\}\)이고, \(|y| = 0\)인 실수는 \(0\)뿐이므로 \([0] = \{0\}\)이다. 일반형: \(x \neq 0\)이면 \([x] = \{x, -x\}\)로 원소가 두 개이고, \(x = 0\)이면 \([0] = \{0\}\)으로 원소가 하나다. \(\blacksquare\)
복기. 동치류의 크기가 균등하지 않은 예다 — 원점만 혼자 한 조각을 이룬다. 그래도 분할의 세 조건은 그대로 성립한다. 이 분할의 조각들을 음이 아닌 대표원으로 이름 붙이면 \([0, \infty)\)와 일대일로 대응하고, 그 대응이 곧 절댓값을 취한다는 조작의 정체다.
문제 9#
접근. 37주차 예제 2.1의 재현이다. 동치이므로 두 방향을 따로 증명하고(25주차), (\(\Rightarrow\))는 집합 상등이므로 다시 양방향 포함으로 나눈다(27주차). 어느 성질이 어디서 쓰였는지 표시하는 것이 이 문항의 채점 초점이다.
풀이. \(R\)을 \(A\) 위의 동치관계라 하고 \(x, y \in A\)라 하자. (\(\Rightarrow\)) \(x R y\)라 가정한다. 먼저 \([x] \subseteq [y]\)를 보인다. \(z \in [x]\)라 하자. 정의에 의해 \(x R z\)이다. 가정 \(x R y\)에 대칭성을 적용하면 \(y R x\)이고, \(y R x\)와 \(x R z\)에 추이성을 적용하면 \(y R z\)이다. 곧 \(z \in [y]\)이다. 다음 \([y] \subseteq [x]\)를 보인다. \(z \in [y]\)라 하자. 정의에 의해 \(y R z\)이다. 가정 \(x R y\)와 \(y R z\)에 추이성을 적용하면 \(x R z\)이다. 곧 \(z \in [x]\)이다. 양방향 포함이 성립하므로 \([x] = [y]\)이다. (\(\Leftarrow\)) \([x] = [y]\)라 가정한다. 반사성에 의해 \(x R x\)이므로 \(x \in [x]\)이고, 가정에 의해 \(x \in [y]\)이다. 동치류의 정의에 의해 \(x \in [y]\)는 \(y R x\)를 뜻하므로, 대칭성에 의해 \(x R y\)이다. 두 방향이 끝났으므로 \(x R y \iff [x] = [y]\)이다. \(\blacksquare\)
복기. 소비처를 정리하면 (\(\Rightarrow\))에서 대칭과 추이, (\(\Leftarrow\))에서 반사와 대칭이 쓰였다. 세 성질이 전부 소비된다는 것이 “동치관계의 정의가 왜 하필 저 셋인가”에 대한 답이다. 확인 1에서 본 대로 반사성을 빼면 (\(\Leftarrow\))가 무너진다.
문제 10#
접근. 37주차 예제 2.2의 재현이다. 결론이 “\(P\) 또는 \(Q\)” 꼴이므로, \(Q\)(서로소)가 아닌 경우를 가정하고 \(P\)(같음)를 끌어내는 것이 표준 서식이다. \([x] \cap [y] \neq \emptyset\)은 공유 원소의 존재를 주고, 그 원소가 \(x\)와 \(y\)를 잇는 다리가 된다.
풀이. \(R\)을 \(A\) 위의 동치관계라 하고 \(x, y \in A\)라 하자. 주장은 \([x] = [y]\)이거나 \([x] \cap [y] = \emptyset\)이라는 것이다. \([x] \cap [y] = \emptyset\)이면 결론이 이미 성립한다. 그렇지 않다고 하자. 그러면 \(z \in [x] \cap [y]\)인 원소 \(z\)가 존재한다. \(z \in [x]\)이므로 \(x R z\)이고, \(z \in [y]\)이므로 \(y R z\)이다. 후자에 대칭성을 적용하면 \(z R y\)이고, \(x R z\)와 \(z R y\)에 추이성을 적용하면 \(x R y\)이다. 핵심 정리(문제 9)에 의해 \([x] = [y]\)이다. 따라서 두 동치류는 언제나 같거나 서로소다. \(\blacksquare\)
복기. 두 방이 원소를 하나라도 공유하면 통째로 같아지므로 걸치기가 불가능하다. 이것이 분할의 조건 ②를 그대로 주고, 조건 ①과 ③은 반사성이 주는 \(x \in [x]\)에서 나온다(확인 2). 곧 이 정리 하나가 “동치관계는 분할을 만든다”의 핵심 부품이다.
문제 11#
접근. 문제 10과 반대 방향, 곧 분할에서 동치관계를 만드는 문항이다(37주차 문제 11). 관계의 정의가 “같은 조각에 속한다”이므로, 각 성질의 증명은 조각을 하나 꺼내 놓고 조건 ①②③ 중 무엇이 필요한지 지목하는 일이 된다.
풀이. \(\mathcal{P}\)를 \(A\)의 분할이라 하고, \(A\) 위의 관계를 \(x \sim y \iff\) “\(x\)와 \(y\)가 \(\mathcal{P}\)의 같은 조각에 속한다”로 정의하자. (반사) \(x \in A\)라 하자. 조건 **③(덮음)**에 의해 조각들의 합집합이 \(A\)이므로 \(x \in P\)인 조각 \(P \in \mathcal{P}\)가 존재한다. \(x\)와 \(x\)가 함께 \(P\)에 속하므로 \(x \sim x\)이다 ✓. (대칭) \(x \sim y\)라 하자. 곧 \(x\)와 \(y\)가 함께 어떤 조각 \(P\)에 속한다. “\(x\)와 \(y\)가 함께 \(P\)에 속한다”는 진술은 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 읽어도 같은 진술이므로 \(y\)와 \(x\)도 함께 \(P\)에 속하고, 따라서 \(y \sim x\)이다 ✓. (추이) \(x \sim y\)이고 \(y \sim z\)라 하자. 곧 \(x, y \in P\)인 조각 \(P\)와 \(y, z \in Q\)인 조각 \(Q\)가 존재한다. 그러면 \(y \in P \cap Q\)이므로 \(P \cap Q \neq \emptyset\)이고, 조건 **②(서로 다른 두 조각은 서로소)**의 대우에 의해 \(P = Q\)이다. 따라서 \(x\)와 \(z\)가 함께 조각 \(P\)에 속하므로 \(x \sim z\)이다 ✓. 세 성질이 모두 성립하므로 \(\sim\)은 동치관계다. \(\blacksquare\)
복기. ③은 반사에서, ②는 추이에서 소비되고, 대칭은 관계의 서술 자체가 대칭적이라는 이유만으로 성립한다. 조건 ①(비공)은 이 증명에서 쓰이지 않는데, 실제로 빈 조각이 섞여 있어도 이 관계는 동치관계가 된다 — ①은 조각의 개수를 뜻있게 만들기 위한 조건이다. 문제 10과 이 문제를 합치면 “동치관계와 분할은 같은 정보의 두 얼굴”이라는 8부의 결론이 나온다.
문제 12#
접근. 38주차 예제 2.1의 4행 서식을 그대로 재현한다. 증명할 것은 “규칙이 대표원 선택에 무관하다”이므로 첫 문장은 반드시 “같은 방의 두 이름을 잡자”여야 한다. 합동으로 번역한 뒤 (C4)를 인용하고 다시 방의 언어로 되돌아오면 끝난다.
풀이. \([a] = [a']\)이고 \([b] = [b']\)라 하자(같은 방의 두 이름). 핵심 정리에 의해 \(a \equiv a' \pmod n\)이고 \(b \equiv b' \pmod n\)이다(합동으로 번역). (C4)(합 보존, 20주차 예제 2.2)에 의해
이다. 다시 핵심 정리에 의해 \([a + b] = [a' + b']\)이다(방의 언어로 역번역). 곧 \([a] + [b]\)의 값은 대표원으로 \(a, b\)를 골랐든 \(a', b'\)을 골랐든 같은 방이므로, 덧셈 \([a] + [b] = [a+b]\)는 잘 정의된다. \(\blacksquare\)
복기. (C4)를 인용하지 않고 직접 쓸 수도 있다. \(n \mid (a - a')\)이고 \(n \mid (b - b')\)이면 \((a+b) - (a'+b') = (a - a') + (b - b')\)이 두 배수의 합이므로 \(n\)의 배수다(2주차 예제 2.2). 곱셈도 (C4)를 (C5)로 바꾸기만 하면 같은 4행으로 끝난다(38주차 문제 7). 이 서식의 어느 줄도 \(n\)이 소수인지에 의존하지 않는다는 점을 확인해 두면, 문제 17에서 소수 조건이 어디에 쓰이는지가 선명해진다.
문제 13#
접근. \([a]\)의 곱셈 역원은 \([a][b] = [1]\)을 만족하는 \([b]\)다. \(\mathbb{Z}_7\)은 방이 일곱 개뿐이므로, 각 \(a\)에 대해 \(ab\)가 \(1, 8, 15, 22, 29, 36\) 가운데 하나가 되는 \(b\)를 찾으면 된다.
풀이.
방 |
\([1]\) |
\([2]\) |
\([3]\) |
\([4]\) |
\([5]\) |
\([6]\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
곱셈 역원 |
\([1]\) |
\([4]\) |
\([5]\) |
\([2]\) |
\([3]\) |
\([6]\) |
검산 |
\(1 \cdot 1 = 1\) |
\(2 \cdot 4 = 8 = 7+1\) |
\(3 \cdot 5 = 15 = 14+1\) |
\(4 \cdot 2 = 8\) |
\(5 \cdot 3 = 15\) |
\(6 \cdot 6 = 36 = 35+1\) |
곧 \([1]^{-1} = [1]\), \([2]^{-1} = [4]\), \([3]^{-1} = [5]\), \([4]^{-1} = [2]\), \([5]^{-1} = [3]\), \([6]^{-1} = [6]\)이고, \([0]\)이 아닌 여섯 방이 모두 곱셈 역원을 가진다.
복기. 표가 짝을 이룬다는 점을 확인한다 — \([2]\)와 \([4]\)가 서로의 역원이고 \([3]\)과 \([5]\)가 서로의 역원이며, \([1]\)과 \([6]\)은 자기 자신이 역원이다. 역원이 빠짐없이 존재하는 뿌리는 7이 소수라는 것이고, 통로는 문제 17에서 확인하는 유클리드 보조정리다. \(\mathbb{Z}_6\)에서 같은 표를 만들면 \([1]\)과 \([5]\)만 역원을 가진다.
문제 14#
접근. \([4]\)는 \(\mathbb{Z}_6\)에서 곱셈 역원을 갖지 않으므로 “양변을 \([4]\)로 나눈다”는 조작이 막혀 있다. 방이 여섯 개뿐이므로 전수 대입이 가장 확실한 방법이고, 나누기가 막혔다는 이유로 해가 없다고 지레 결론짓는 것이 이 문항의 함정이다.
풀이. \(x\) 자리에 여섯 방을 차례로 넣는다. \([4][0] = [0]\), \([4][1] = [4]\), \([4][2] = [8] = [2]\) ✓, \([4][3] = [12] = [0]\), \([4][4] = [16] = [4]\), \([4][5] = [20] = [2]\) ✓. 따라서 해는 \([2]\)와 \([5]\) 두 개다.
복기. 해가 둘이라는 점이 요점이다. \(\mathbb{Z}\)나 \(\mathbb{R}\)에서 일차방정식의 해는 많아야 하나인데, 여기서는 \([4]\)에 역원이 없어 소거가 불가능하므로 해의 개수를 미리 셀 수 없다. 38주차 문제 18의 답안이 “\([2]\)의 역원이 없으므로 해가 없다”로 끝난 것이 바로 이 지점의 오류다 — 역원이 없다는 것은 나누기라는 기법이 막혔다는 뜻일 뿐, 해가 없다는 뜻이 아니다. 검산: \(4 \cdot 2 = 8 = 6 + 2\) ✓, \(4 \cdot 5 = 20 = 18 + 2\) ✓.
문제 15#
접근. 36주차 문제 15에서 해부한 함정이다. 논증에서 참인 부분과 거짓인 부분을 갈라야 한다 — 계산은 한 줄도 틀리지 않았고, 무너진 곳은 “\(x R y\)인 \(y\)를 잡아”라는 첫 문장이다. 반사성이 모든 \(x\)에 대한 요구라는 점과 대조하면 간격이 드러난다.
풀이. (오류 지적) 논증은 “\(x R y\)인 \(y\)를 잡아”로 시작하지만, 그런 \(y\)가 존재한다는 보장이 어디에도 없다. 대칭성과 추이성은 이미 관계가 있는 순서쌍들에 대해서만 무언가를 말하고, 어떤 순서쌍이 존재하는지는 말해 주지 않는다. 따라서 이 논증이 실제로 증명하는 것은 “\(x R y\)인 \(y\)가 존재하는 \(x\)에 대해서는 \(x R x\)”까지이고, 반사성이 요구하는 “모든 \(x \in A\)에 대해 \(x R x\)”에는 미치지 못한다. 간격은 관계에 한 번도 등장하지 않는 고립된 원소에서 벌어진다. (반례) \(A = \{1, 2\}\), \(R = \{(2,2)\}\)라 하자. 대칭: 확인할 순서쌍은 \((2,2)\) 하나뿐이고 그 짝 \((2,2)\)가 \(R\)에 있으므로 대칭적이다 ✓. 추이: 확인할 사슬은 \((2,2), (2,2) \to (2,2)\) 하나뿐이고 \((2,2) \in R\)이므로 추이적이다 ✓. 반사: \(1 \in A\)인데 \((1,1) \notin R\)이므로 반사적이 아니다 ✗. 곧 대칭적이고 추이적이지만 반사적이 아닌 관계가 실제로 존재하므로 주장은 거짓이다. \(\blacksquare\)
복기. 반례를 만드는 요령은 “논증이 필요로 하는 것을 정확히 빼앗기”다. 논증은 \(x\)마다 짝 \(y\)가 있어야 돌아가므로, 짝이 하나도 없는 원소(\(1\))를 무대에 넣고 관계에서는 완전히 배제하면 된다. 가장 극단적인 반례는 \(R = \emptyset\)으로, 이때도 대칭과 추이는 확인할 쌍이 없어 성립한다(확인 1). 조건이 “모든 \(x\)”인지 “어떤 \(x\)”인지 확인하는 습관이 이 유형 전체의 예방책이다.
문제 16#
접근. (a)는 조건이 “차가 유리수”이므로 유리수 집합의 닫힘성(15주차)이 세 성질 각각의 근거가 된다. (b)와 (c)는 동치류의 정의 \([x] = \{y : x R y\}\)를 조건에 그대로 대입해 집합을 풀어 쓰는 계산이다. (c)의 서로소는 문제 10을 쓰거나 직접 모순을 끌어내면 된다.
풀이. (a) (반사) 임의의 \(x \in \mathbb{R}\)에 대해 \(x - x = 0\)이고 \(0 \in \mathbb{Q}\)이므로 \(x R x\)이다 ✓. (대칭) \(x R y\)라 하자. 곧 \(x - y \in \mathbb{Q}\)이다. 그러면 \(y - x = -(x - y)\)이고 유리수의 \((-1)\)배는 유리수이므로 \(y - x \in \mathbb{Q}\), 곧 \(y R x\)이다 ✓. (추이) \(x R y\)이고 \(y R z\)라 하자. 곧 \(x - y \in \mathbb{Q}\)이고 \(y - z \in \mathbb{Q}\)이다. 그러면
는 두 유리수의 합이므로 유리수다(15주차 예제 2.2). 곧 \(x R z\)이다 ✓. 세 성질이 모두 성립하므로 \(R\)은 동치관계다. \(\blacksquare\) (b) 정의에 의해 \([0] = \{y \in \mathbb{R} : 0 R y\} = \{y : 0 - y \in \mathbb{Q}\}\)이다. \(-y \in \mathbb{Q}\)와 \(y \in \mathbb{Q}\)는 같은 조건이므로 \([0] = \mathbb{Q}\), 곧 유리수 전체가 한 조각이다. (c) 같은 방식으로 \([\sqrt2] = \{y : \sqrt2 - y \in \mathbb{Q}\} = \{\sqrt2 - q : q \in \mathbb{Q}\}\)이고, 이는 \(\sqrt2\)에 유리수를 더한 수 전체다. 원소 세 개를 들면 \(\sqrt2\), \(\sqrt2 + 1\), \(\sqrt2 - \frac{3}{7}\)이다. 서로소인 이유: \(z \in [0] \cap [\sqrt2]\)인 \(z\)가 있다고 하자. \(z \in [0]\)이므로 \(z \in \mathbb{Q}\)이고, \(z \in [\sqrt2]\)이므로 \(\sqrt2 - z \in \mathbb{Q}\)이다. 그러면 두 유리수의 합
가 유리수가 되어(15주차 예제 2.2) \(\sqrt2 \in \mathbb{Q}\)이다. 이는 \(\sqrt2\)가 무리수라는 21주차의 정리와 모순이다. 따라서 그런 \(z\)는 없고 \([0] \cap [\sqrt2] = \emptyset\)이다. \(\blacksquare\)
복기. (c)는 문제 10으로도 끝난다 — 공통 원소가 있으면 “같거나 서로소” 정리에 의해 \([0] = [\sqrt2]\)이고, 핵심 정리로 \(0 R \sqrt2\), 곧 \(-\sqrt2 \in \mathbb{Q}\)가 되어 같은 모순에 이른다. 이 관계가 만드는 분할의 조각들은 \(\mathbb{Q}\)를 통째로 평행이동한 \(q + \mathbb{Q}\) 꼴이고, 조각의 개수가 유한하지도 가산이지도 않다는 사실은 48~49주차에서 다룬다(가산의 정의가 48주차, “가산이 아니다”의 증명 도구인 대각선 논법이 49주차다).
문제 17#
접근. 동치이므로 두 방향을 따로 쓴다(25주차). (\(\Leftarrow\))는 “영인수가 존재한다”는 존재 명제이므로 증인을 실제로 만들어 보이면 되고(26주차), (\(\Rightarrow\))는 직접 하기 어려우므로 대우를 잡는다(19주차) — \(n\)이 합성수가 아니면, 곧 \(n \ge 2\)에서 소수이면 영인수가 없음을 보인다. 여기서 유클리드 보조정리(33주차 문제 16)는 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다.
풀이. \(n \ge 2\)라 하자. \(\mathbb{Z}_n\)의 영인수란 \([a] \neq [0]\), \([b] \neq [0]\)인데 \([a][b] = [0]\)인 쌍 \([a], [b]\)를 말한다. (\(\Leftarrow\)) \(n\)이 합성수라 하자. 그러면 \(n = ab\)이고 \(1 < a < n\), \(1 < b < n\)인 정수 \(a, b\)가 존재한다. \(1 < a < n\)이므로 \(n \nmid a\), 곧 \([a] \neq [0]\)이고, 같은 이유로 \([b] \neq [0]\)이다. 그런데
이므로 \([a], [b]\)가 영인수다. 곧 영인수가 존재한다 ✓. (\(\Rightarrow\)) 대우를 증명한다. 곧 “\(n\)이 합성수가 아니면 \(\mathbb{Z}_n\)에 영인수가 없다”를 보인다. \(n \ge 2\)이고 합성수가 아니므로 \(n\)은 소수이고, \(n = p\)라 쓰자. \([a][b] = [0]\)이라 하자. 곧 \([ab] = [0]\)이므로 \(p \mid ab\)이다. 유클리드 보조정리에 의해 \(p \mid a\) 또는 \(p \mid b\)이고, 따라서 \([a] = [0]\) 또는 \([b] = [0]\)이다. 곧 \([a]\)와 \([b]\)가 모두 \([0]\)이 아니면서 곱이 \([0]\)인 일은 일어나지 않으므로 영인수가 없다. 대우가 증명되었으므로 원래 함의도 참이다 ✓. 두 방향이 모두 성립하므로 동치가 증명되었다. \(\blacksquare\)
복기. 두 방향의 기법이 다르다는 점이 이 문항의 요점이다 — (\(\Leftarrow\))는 증인 제작, (\(\Rightarrow\))는 대우다. 실물로 확인하면 \(n = 6\)에서 \(6 = 2 \cdot 3\)이므로 \([2][3] = [0]\)이고, \(n = 7\)에서는 문제 13의 표대로 모든 방이 역원을 가져 영인수가 있을 자리가 없다. 소수 조건이 실제로 쓰이는 곳은 유클리드 보조정리를 인용하는 단 한 줄이며, 문제 12의 잘 정의됨 증명에서는 소수 조건이 전혀 쓰이지 않았다는 대조를 함께 기억해 둔다.
문제 18#
접근. 결론이 이상할 때는 정리를 의심하기 전에 정리의 가정이 충족되었는지 확인한다. 동치류가 겹친다는 것은 “같거나 서로소” 정리(문제 10)와 어긋나 보이지만, 그 정리의 가정은 “\(R\)이 동치관계”다. 따라서 먼저 할 일은 \(R\)의 세 성질을 실제로 판정하는 것이다.
풀이. (결함 진단) 반사성은 \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\)가 모두 있으므로 성립하고, 대칭성도 \((1,2)\)와 \((2,1)\), \((3,4)\)와 \((4,3)\), \((2,3)\)과 \((3,2)\)가 모두 짝을 이루므로 성립한다. 그러나 추이성이 성립하지 않는다. \((1,2) \in R\)이고 \((2,3) \in R\)인데 \((1,3) \notin R\)이고, 마찬가지로 \((2,3), (3,4) \in R\)인데 \((2,4) \notin R\)이다. 곧 \(R\)은 추이 위반이고 동치관계가 아니다. 따라서 동치류라는 개념을 적용할 자격 자체가 없다. 겹침은 “같거나 서로소” 정리의 반례가 아니라 그 정리의 가정이 깨졌다는 증상이다(37주차 문제 18과 같은 구조). 덧붙여 학생의 계산도 정확하지 않다. 정의대로 \([x] = \{z : x R z\}\)를 읽으면 \([1] = \{1, 2\}\)이지 \(\{1,2,3\}\)이 아니다. \([3] = \{2, 3, 4\}\)는 맞다. (수리 1 — 순서쌍 추가) 추이성이 요구하는 순서쌍 \((1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,4),(4,2)\)를 모두 넣으면 \(R = A \times A\)가 되어 동치관계가 되고, 동치류는 하나뿐이다:
곧 조각이 하나인 분할이다. (수리 2 — 순서쌍 제거) 반대로 \((2,3)\)과 \((3,2)\)를 빼면 \(R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\)이 되고, 이 관계는 반사\(\cdot\)대칭\(\cdot\)추이를 모두 만족한다. 이때 동치류는 \([1] = [2] = \{1,2\}\), \([3] = [4] = \{3,4\}\)로 두 조각이다. \(\blacksquare\)
복기. 수리 방향이 하나가 아니라는 점이 이 문항이 남기는 교훈이다. \((2,3)\)이라는 순서쌍 하나가 \(\{1,2\}\) 무리와 \(\{3,4\}\) 무리를 이어 버렸고, 추이성은 “이었으면 끝까지 이어라”를 요구하므로 전부 잇거나 그 다리를 걷어내는 두 길밖에 없다. 수리 1처럼 빠진 순서쌍을 최소한으로 채워 넣어 추이적으로 만드는 조작을 추이 폐포라 부른다.
문제 19#
접근. 두 규칙 모두 입력이 방이고 계산은 대표원으로 하므로, 물어야 할 것은 “\([a] = [a']\)이면 출력도 같은 방인가”다(문제 12의 서식). (a)는 제곱이므로 (C5)가 보호해 주고, (b)는 \(a\)가 지수 자리에 있어 보호해 줄 정리가 없으니 반례부터 찾는다.
풀이. (a) 잘 정의된다. \([a] = [a']\)라 하자. 핵심 정리에 의해 \(a \equiv a' \pmod 4\)이다. (C5)(곱 보존)를 \(a \equiv a'\)과 \(a \equiv a'\)에 적용하면
이고, 다시 핵심 정리에 의해 \([a^2] = [a'^2]\)이다. 곧 \(g([a])\)의 값이 대표원 선택에 무관하므로 \(g\)는 잘 정의된다. \(\blacksquare\) (b) 잘 정의되지 않는다. 먼저 이 규칙은 대표원이 음이 아닐 때만 뜻을 갖는다는 문제도 있다 — \([1] = [-3]\)인데 \(2^{-3} = 1/8\)은 정수가 아니어서 \([2^{-3}]\)이라는 표기 자체가 성립하지 않는다. 그 점을 접어 두고 음이 아닌 대표원만 써도 규칙은 여전히 무너진다. 반례를 든다. \(\mathbb{Z}_4\)에서 \(5 - 1 = 4\)이므로 \([1] = [5]\)로 같은 방이다. 그런데
이고(\(32 = 4 \cdot 8\)이다), \([2] \neq [0]\)이다. 곧 같은 입력 \([1] = [5]\)에 대해 대표원을 무엇으로 고르느냐에 따라 출력이 달라지므로 \(h\)는 잘 정의되지 않는다. \(\blacksquare\)
복기. 대조가 요점이다. (a)에서 \(a\)는 곱셈의 자리에 있고, 곱셈은 (C5)가 합동을 보존해 준다. (b)에서 \(a\)는 지수의 자리에 있고, 지수에 대한 보존 정리는 없다 — \(2^a\)를 4로 나눈 나머지는 \(a\)의 mod 4가 아니라 \(a\) 자체에 달려 있다. 실제로 \(2^1 \equiv 2 \pmod 4\)이고 \(a \ge 2\)에서는 모두 \(2^a \equiv 0 \pmod 4\)로 고정되므로, \([1] = [5]\)인데도 두 출력이 갈린다. 38주차 문제 12의 \([7]^k\)처럼 지수 자리에 진짜 순환이 생기는 경우도 있지만, 그런 순환이 있는지 없는지가 밑과 법에 따라 달라지므로 지수 자리에는 (C4)\(\cdot\)(C5) 같은 일반 보존 정리가 없다. 잘 정의됨 감각이란 결국 어느 자리가 보존 정리로 보호되는지를 아는 것이다. (a)의 검산: \(g([0]) = [0]\), \(g([1]) = [1]\), \(g([2]) = [4] = [0]\), \(g([3]) = [9] = [1]\)이고, 다른 이름으로 확인해도 \(g([5]) = [25] = [1] = g([1])\) ✓.
문제 20#
접근. 지도의 네 마디를 인과로 잇는 것이 첫 문단이고, 함수 예고를 “관계에 조건 하나를 더한 것”으로 위치시키는 것이 둘째 문단이다. 정의 낱말을 나열하는 대신, 각 마디가 다음 마디를 어떻게 가능하게 하는지를 적는다.
풀이. (예시 답안) 관계는 순서쌍들의 집합이고, 그 가운데 반사\(\cdot\)대칭\(\cdot\)추이를 모두 갖춘 것이 동치관계다. 동치관계는 “어떤 기준에서 같다”를 뜻하므로 각 원소에 자기와 같은 것들의 모임인 동치류를 붙일 수 있고, 핵심 정리(\(x R y \iff [x] = [y]\))와 “같거나 서로소” 정리는 서로 다른 동치류끼리 겹치지 않음을 보장하고, 반사성이 주는 \(x \in [x]\)는 비어 있는 조각이 없다는 것과 모든 원소가 덮인다는 것을 보장한다 — 곧 동치류들이 분할을 이룬다. 그 조각들을 새 세계의 원소로 삼고 대표원으로 계산하는 연산을 얹으면 몫 세계가 되며, 이때 통과해야 하는 검문이 잘 정의됨이다 — \(\mathbb{Z}_n\)이 그 첫 사례다. 함수 예고가 자연스러운 이유는 이렇다. 함수 \(f : A \to B\)도 \(A \times B\)의 부분집합, 곧 순서쌍들의 집합이므로 관계의 특수한 경우이고, 거기에 “모든 입력에 정확히 하나의 출력”이라는 \(\exists!\) 조건(26주차)이 붙은 것뿐이다. 따라서 8부에서 익힌 언어 — 순서쌍, 판정 서식, 그리고 몫 세계 위에서의 잘 정의됨 검문 — 가 그대로 9부의 문법이 된다.
복기. 이 서술을 쓸 때 걸린 마디가 어디였는지 기록해 둔다. “동치류 \(\to\) 분할”에서 막혔다면 문제 10과 확인 2로, “분할 \(\to\) 몫 세계”에서 막혔다면 문제 12와 확인 3으로 돌아가는 것이 최단 경로다.
채점 가이드와 8부 수료#
수료 기준: 1번(정의)을 만점으로 쓰고, 재현 4문항(9~12) 중 3개 이상을 무결로, 판정\(\cdot\)계산(3~8, 13, 14) 중 7개 이상을 정답으로, 진단(15, 18) 중 1개 이상을 정확히 짚었으면 8부 수료로 보고 40주차로 넘어간다.
성질 판정에서 반례 서식이 무너졌다면 29주차(반증)와 36주차를 재복습한다 — ✗ 자리에 구체적인 순서쌍을 적지 않은 답안은 판정이 아니다.
잘 정의됨(12, 19번)에서 실패했다면 38주차를 재복습한다. 9부에서 \(f : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4\) 꼴의 함수를 정의하는 순간 같은 검사가 다시 요구되므로, 미해결로 둔 채 40주차에 들어가면 새 정의와 미해결 검사를 동시에 붙들게 된다.
\(\mathbb{Z}_n\) 계산 실수가 반복되면 20주차(합동 계산)를 재복습한다.
8부까지의 지도. 7부까지가 증명의 기법을 갖추는 과정이었다면, 8부는 그 기법을 하나의 대상 — 관계 — 에 몰아 쓴 첫 사례다. 정의 하나(순서쌍들의 집합)에서 출발해 성질 판정, 구조 정리, 그리고 새 세계의 건설까지 이어지는 이 경로가 대학 수학의 각 과목이 반복하는 표준 경로다.
다음 주 예고: 9부 개막 — 함수(function). “모든 입력에 정확히 하나의 출력”이라는 \(\exists!\) 조건으로 정의되는 특별한 관계로서, 중학교 이래의 함수 개념을 집합론 위에 다시 세운다. 그래프가 곧 함수 자신이라는 것, 그리고 \(f : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4\) 같은 몫 세계 위의 함수에서 잘 정의됨 검문이 다시 등장한다는 것 — 8부에 들인 공이 곧바로 회수된다.