# 39주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 백지 시험 (20문항)

**규칙.** 교재를 덮고 150분 안에 푼다. 판정 문항은 성립하면 증명을, 불성립하면 반례를 완전 서식으로 쓴다. $\mathbb{Z}_n$ 계산은 결과를 $[0]$부터 $[n-1]$ 사이의 대표원으로 적는다.

### 기본 ●○○

**1.** [정의 백지 테스트] 다음을 정의하시오: 관계 / 반사$\cdot$대칭$\cdot$추이 / 동치관계 / 동치류 $[x]$ / 분할 / $\mathbb{Z}_n$.

**2.** 성적표를 채우시오: $=$, $\le$, $\mid$(on $\mathbb{N}$), $\equiv \pmod n$ 각각에 대해 반사/대칭/추이 (✓/✗ + 근거 또는 반례 한 마디).

**3.** $A = \{1,2,3\}$ 위의 $R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}$의 세 성질을 판정하시오. 동치관계라면 동치류를 모두 구하시오.

**4.** $\mathbb{Z}$ 위 $\equiv \pmod 5$의 서로 다른 동치류를 모두 나열하시오 (각 3개 원소 예시).

**5.** 다음이 $\{1,2,3,4,5\}$의 분할인지 판정하시오 (아니면 위반 조건). (a) $\{1,3\},\{2,4\},\{5\}$  (b) $\{1,2,3\},\{3,4,5\}$  (c) $\{1\},\{2,4\}$  (d) $\{5\},\{1,2,3,4\},\emptyset$

**6.** $\mathbb{Z}_6$에서 계산하시오: (a) $[4]+[5]$ (b) $[4][5]$ (c) $[5]^2$ (d) $[3]([2]+[4])$

### 표준 ●●○

**7.** $\mathbb{Z}$ 위의 관계 $x\,R\,y \iff 5 \mid (x + 4y)$가 동치관계임을 증명하시오. (대칭 힌트: $y + 4x = 5(x+y) - (x+4y)$)

**8.** $\mathbb{R}$ 위의 $x R y \iff |x| = |y|$: 동치관계임을 밝히고 $[2]$, $[0]$과 동치류의 일반형을 쓰시오.

**9.** [백지 재현] 핵심 정리 "$x R y \iff [x] = [y]$"를 증명하시오 (세 성질 소비처 표시).

**10.** [백지 재현] "두 동치류는 같거나 서로소"를 증명하시오.

**11.** [백지 재현] 분할이 주어졌을 때 "같은 조각" 관계가 동치관계임을 증명하시오 (③덮음$\cdot$②서로소의 소비처 표시).

**12.** [백지 재현] $\mathbb{Z}_n$의 덧셈 $[a]+[b]=[a+b]$가 잘 정의됨을 증명하시오.

**13.** $\mathbb{Z}_7$에서 $[0]$이 아닌 각 방의 곱셈 역원을 표로 만드시오.

**14.** $\mathbb{Z}_6$에서 $[4][x] = [2]$의 해를 전수 대입으로 모두 구하시오.

### 도전 ●●●

**15.** (진단) 다음 주장을 반박하시오: "관계 $R$이 대칭적이고 추이적이면, $x R y$인 $y$를 잡아 대칭$\cdot$추이로 $x R x$를 얻으므로 반사적이다." — 오류 지적 + 반례 제시.

**16.** $\mathbb{R}$ 위의 관계 $x\,R\,y \iff x - y \in \mathbb{Q}$에 대해: (a) 동치관계임을 증명하시오 (유리수 닫힘성 인용). (b) $[0]$의 정체를 밝히시오. (c) $[\sqrt2]$의 원소를 3개 제시하고, $[0] \cap [\sqrt2] = \emptyset$인 이유를 밝히시오.

**17.** "$\mathbb{Z}_n$에 영인수가 존재한다 $\iff$ $n$은 합성수"를 증명하시오. ($\Leftarrow$는 증인 제작, $\Rightarrow$는 대우 — $n$이 소수면 영인수 없음(유클리드 보조정리 인정). 38주차 문제 15$\cdot$16의 iff 종합)

**18.** (진단) 학생이 $A = \{1,2,3,4\}$ 위의 $R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(2,3),(3,2)\}$에서 동치류를 구했더니 $[1] = \{1,2,3\}$과 $[3] = \{2,3,4\}$가 겹쳤다. 관계의 결함을 정확히 짚고(빠진 순서쌍), 수리 후의 동치류를 구하시오.

**19.** 다음 두 규칙이 $\mathbb{Z}_4$에서 잘 정의되는지 각각 판정하시오 (성립 = 증명, 불성립 = 반례). (a) $g([a]) = [a^2]$ (b) $h([a]) = [2^a]$

**20.** (서술) 8부 지도(관계 $\to$ 동치 $\to$ 분할 $\to$ 몫 세계)를 자기 언어로 재구성하고, "함수도 관계다"라는 다음 주 예고가 왜 자연스러운 확장인지 두 문장 이내로 쓰시오.

## 백지 복습 체크리스트 (시험 후)

- [ ] 정의 6종(1번)을 만점 받았다.
- [ ] 세 정리(핵심 정리$\cdot$같거나 서로소$\cdot$잘 정의됨)를 백지 재현했다 (9, 10, 12번).
- [ ] 판정 문항에서 반례를 완전 서식으로 썼다.
- [ ] $\mathbb{Z}_n$ 계산(6, 13, 14번)에서 실수하지 않았다.
- [ ] 두 함정(15, 18번)을 정확히 진단했다.

## 해설

틀린 문제는 **접근**만 읽고 재시도한 뒤 **풀이**를 확인한다.

### 문제 1

**접근.** 36~38주차의 백지 암기 상자 여섯 개(정의 36.1, 36.2, 37.1, 37.2, 37.3, 38.1)를 그대로 불러오는 문항이다. 채점의 초점은 문장의 인상이 아니라 조각 하나하나에 있다 — 조각이 빠지면 정의가 무엇을 구별하지 못하게 되는지까지 함께 확인한다. 경계도 채점 대상이다: 정의 38.1이 정하는 것은 무대($\mathbb{Z}_n$이 무엇의 집합이고 원소가 몇 개인가)까지이고, 두 연산은 별개의 정의 38.3이다.

**풀이.** **관계** (정의 36.1). 집합 $A$ 위의 관계 $R$이란 $A \times A$의 부분집합이다: $R \subseteq A \times A$. $(x, y) \in R$일 때 $x\,R\,y$로 쓴다. **세 성질** (정의 36.2). 반사적: 모든 $x \in A$에 대해 $x R x$. 대칭적: 모든 $x, y \in A$에 대해 $x R y$이면 $y R x$. 추이적: 모든 $x, y, z \in A$에 대해 $x R y$이고 $y R z$이면 $x R z$. **동치관계** (정의 37.1). 반사적$\cdot$대칭적$\cdot$추이적인 관계. **동치류** (정의 37.2). 동치관계 $R$과 $x \in A$에 대해 $[x] = \{z \in A : x\,R\,z\}$이고, $x$를 이 동치류의 대표원이라 한다. **분할** (정의 37.3). $A$의 부분집합들의 모임으로서 ① 각 조각이 공집합이 아니고 ② 서로 다른 두 조각이 서로소이며 ③ 조각들의 합집합이 $A$인 것. **$\mathbb{Z}_n$** (정의 38.1). $\mathbb{Z}$ 위 $\equiv \pmod n$의 동치류 전체의 집합 $\{[0], [1], \dots, [n-1]\}$이고 $|\mathbb{Z}_n| = n$이다. **연산** (정의 38.3). $[a] + [b] = [a+b]$, $[a][b] = [ab]$ — 잘 정의됨(정의 38.2)이 확인된 뒤에만 정의로 성립한다.

**복기.** 조각이 빠졌을 때 무너지는 것을 하나씩 확인해 둔다. 관계에서 "$A \times A$의"를 빼면 $R$의 원소가 순서쌍이라는 사실이 사라져 $x R y$와 $y R x$를 구별할 수 없게 된다(36주차 §1.3의 삭제 실험). 분할에서 ①을 빼면 $\emptyset$을 조각으로 인정하게 되어 문제 5(d)가 분할로 통과하고, ③을 빼면 문제 5(c)가 통과한다. $\mathbb{Z}_n$에서 "동치류들의 집합"을 "나머지들의 집합"으로 적으면 원소가 수라는 오해가 남아, 잘 정의됨 검문이 왜 필요한지가 통째로 사라진다. 두 연산을 정의 38.1 안에 밀어 넣는 답안도 많은데, 그러면 "정의 38.2가 확인되기 전까지 정의 38.3의 등호는 선언에 그친다"는 38주차의 순서가 무너져 검문 자체가 절차에서 빠진다.

### 문제 2

**접근.** 36주차의 성적표 작업을 그대로 반복한다. ✓에는 근거를, ✗에는 구체적인 반례를 붙이는 것이 서식이다 — ✗ 자리에 "성립하지 않는다"만 적으면 반증이 아니다(29주차).

**풀이.**

| **관계** | **반사** | **대칭** | **추이** |
|---|---|---|---|
| $=$ | ✓ ($x = x$) | ✓ ($x = y$이면 $y = x$) | ✓ ($x = y$, $y = z$이면 $x = z$) |
| $\le$ | ✓ ($x \le x$) | ✗ 반례: $1 \le 2$이지만 $2 \not\le 1$ | ✓ ($x \le y$, $y \le z$이면 $x \le z$) |
| $\mid$ (on $\mathbb{N}$) | ✓ ($n = n \cdot 1$이므로 $n \mid n$) | ✗ 반례: $2 \mid 4$이지만 $4 \nmid 2$ | ✓ (2주차 예제 2.1의 추이성) |
| $\equiv \pmod n$ | ✓ (C1) | ✓ (C2) | ✓ (C3) |

**복기.** $=$와 $\equiv$만 세 칸이 모두 ✓이고, 이 둘만 동치관계다. 20주차에서 (C1)~(C3)을 "등호처럼 행동한다"로 요약했던 것이 36주차에서 정확히 세 성질의 이름을 얻고, 37주차에서 "동치관계"라는 한 낱말로 묶인 경로다. $\le$와 $\mid$는 반사$\cdot$추이에 더해 "$x R y$이고 $y R x$이면 $x = y$"까지 갖추고 있고(각각 $x \le y \le x$이면 $x = y$, $\mathbb{N}$에서 $x \mid y$이고 $y \mid x$이면 $x = y$이다), 이 셋을 갖춘 관계를 순서관계라 부른다 — 이번 주에는 이름만 기억해 두면 된다. 반사와 추이만으로는 이 이름이 나오지 않는다는 점에 주의한다. $A$ 위의 전체관계 $R = A \times A$는 반사적이고 추이적이지만 원소가 둘 이상이면 순서관계가 아니다.

### 문제 3

**접근.** 무대가 유한하므로 판정은 목록 대조로 끝난다. 반사는 대각선 $(1,1), (2,2), (3,3)$이 다 있는지, 대칭은 대각선 밖 순서쌍마다 짝이 있는지, 추이는 두 칸짜리 길마다 지름길이 있는지 확인한다.

**풀이.** (반사) $(1,1), (2,2), (3,3)$이 모두 $R$에 있다 ✓. (대칭) 대각선 원소는 자기 자신이 짝이다. 대각선 밖은 $(1,3)$과 $(3,1)$뿐이고 서로가 서로의 짝이므로 ✓. (추이) 확인할 사슬은 다음과 같다. $(1,3),(3,1) \to (1,1) \in R$ ✓. $(3,1),(1,3) \to (3,3) \in R$ ✓. $(1,1),(1,3) \to (1,3) \in R$ ✓. $(1,3),(3,3) \to (1,3) \in R$ ✓. $(3,3),(3,1) \to (3,1) \in R$ ✓. $(3,1),(1,1) \to (3,1) \in R$ ✓. 나머지는 $(1,1),(1,1)$, $(2,2),(2,2)$, $(3,3),(3,3)$처럼 같은 대각선 순서쌍만 두 번 잇는 사슬이고, 결론 순서쌍이 곧 가정 순서쌍이므로 자동으로 통과한다 ✓ (두 칸 사슬은 모두 아홉 개다). 세 성질이 모두 성립하므로 $R$은 동치관계다. 동치류는 정의 37.2대로 $[x] = \{z : x R z\}$를 읽어 내면 된다: $[1] = \{1, 3\}$, $[3] = \{1, 3\}$, $[2] = \{2\}$. 곧 서로 다른 동치류는 $\{1,3\}$과 $\{2\}$ 두 개이고, 이 둘이 $A$의 분할을 이룬다. $\blacksquare$

**복기.** $1 R 3$이면서 $[1] = [3]$인 것이 핵심 정리(문제 9)의 실물 확인이다. 추이 판정에서 대각선이 끼는 사슬은 언제나 자동으로 통과하므로, 실제로 볼 것은 대각선 밖 순서쌍끼리 이어지는 사슬뿐이다. 이 요령을 쓰면 판정 시간이 크게 줄어든다.

### 문제 4

**접근.** $x \equiv y \pmod 5$는 $5 \mid (x - y)$, 곧 "5로 나눈 나머지가 같다"이므로 동치류는 나머지 $0, 1, 2, 3, 4$에 하나씩 대응한다. 나눗셈 정리가 나머지의 존재와 유일성을 주므로(정의 38.1의 근거) 동치류는 정확히 다섯 개다.

**풀이.**

$$
[0] = \{\dots, -5, 0, 5, \dots\},\quad [1] = \{\dots, -4, 1, 6, \dots\},\quad [2] = \{\dots, -3, 2, 7, \dots\}
$$

$$
[3] = \{\dots, -2, 3, 8, \dots\},\quad [4] = \{\dots, -1, 4, 9, \dots\}
$$

서로 다른 동치류는 이 다섯 개뿐이다. 임의의 정수 $x$는 $x = 5q + r$ ($0 \le r < 5$)로 유일하게 쓰이므로 $[x] = [r]$이고, 나머지가 다른 두 수는 합동이 아니므로 다섯 개가 서로 다르다.

**복기.** 대표원이 $0 \sim 4$일 필요는 없다. $[10] = [0]$, $[-3] = [2]$처럼 한 방에는 이름이 무한히 많고, 바로 그 사실이 38주차의 잘 정의됨 검문을 낳는다. 다섯 조각이 겹치지 않고 $\mathbb{Z}$ 전체를 덮는다는 것이 분할 정리의 실물이다.

### 문제 5

**접근.** 판정은 정의 37.3의 세 조건 ① 비공 ② 서로소 ③ 덮음을 차례로 대조하는 기계적 작업이다. ✗일 때는 어느 조건이 어디서 깨졌는지 증거를 함께 적는다.

**풀이.** (a) $\{1,3\}, \{2,4\}, \{5\}$ — ① 셋 다 비공 ✓ ② 쌍마다 교집합이 공집합 ✓ ③ 합집합이 $\{1,2,3,4,5\}$ ✓. **분할이다.** (b) $\{1,2,3\}, \{3,4,5\}$ — ①과 ③은 성립하지만 두 조각의 교집합이 $\{3\}$으로 비어 있지 않다. **② 위반.** (c) $\{1\}, \{2,4\}$ — ①과 ②는 성립하지만 합집합이 $\{1,2,4\}$여서 $3$과 $5$가 어느 조각에도 속하지 않는다. **③ 위반.** (d) $\{5\}, \{1,2,3,4\}, \emptyset$ — ②와 ③은 성립하지만 $\emptyset$이 조각으로 들어 있다. **① 위반.**

**복기.** 세 조건은 "모든 원소가 정확히 한 조각에 속한다"를 셋으로 쪼갠 것이다. ③이 "적어도 한 조각"을, ②가 "많아야 한 조각"을 맡는다. ①은 언뜻 사소해 보이지만, 이것이 없으면 (d)처럼 아무 분할에나 $\emptyset$을 얼마든지 덧붙일 수 있어 조각의 개수가 뜻을 잃는다.

### 문제 6

**접근.** 연산의 정의가 $[a] + [b] = [a+b]$, $[a][b] = [ab]$이므로 대표원으로 $\mathbb{Z}$에서 계산한 뒤 결과를 mod 6으로 줄이면 된다. 이 절차가 정당한 근거가 곧 문제 12의 잘 정의됨이다.

**풀이.** (a) $[4] + [5] = [9]$이고 $9 = 6 + 3$이므로 $[9] = [3]$. 답은 $[3]$이다. (b) $[4][5] = [20]$이고 $20 = 6 \cdot 3 + 2$이므로 $[20] = [2]$. 답은 $[2]$이다. (c) $[5]^2 = [5][5] = [25]$이고 $25 = 6 \cdot 4 + 1$이므로 $[25] = [1]$. 답은 $[1]$이다. (d) 괄호부터 계산하면 $[2] + [4] = [6] = [0]$이므로 $[3]([2]+[4]) = [3][0] = [0]$. 답은 $[0]$이다.

**복기.** (d)를 분배법칙으로 풀어도 같은 값이 나와야 한다: $[3][2] + [3][4] = [6] + [12] = [0] + [0] = [0]$ ✓. 이 일치가 우연이 아닌 이유는 분배법칙이 $\mathbb{Z}$에서 $\mathbb{Z}_n$으로 상속되기 때문이다(38주차 문제 19). (c)는 $[5] = [-1]$을 쓰면 $[5]^2 = [(-1)^2] = [1]$로 더 짧게 끝난다 — 대표원은 $0 \sim n-1$이 아니어도 되므로 계산이 쉬운 이름을 고르는 것이 요령이다.

### 문제 7

**접근.** 36주차 문제 13($3 \mid (x + 2y)$)과 같은 꼴 $n \mid \big(x + (n-1)y\big)$이고 $n$만 3에서 5로 바뀌었다 — 법이 바뀌면 $y$의 계수도 2에서 4로 따라 움직인다는 점이 복기에서 회수된다. 세 성질을 각각 별도의 문단으로 쓰되, 매번 "5의 배수"를 정의(2주차 정의 2.1)로 풀어 정수를 꺼내는 것이 서식이다. 대칭과 추이는 목표 식을 가정 식들의 정수배 조합으로 만드는 것이 전부다.

**풀이.** (반사) 임의의 $x \in \mathbb{Z}$에 대해 $x + 4x = 5x$이고 $x \in \mathbb{Z}$이므로 $5 \mid (x + 4x)$, 곧 $x R x$이다 ✓. (대칭) $x R y$라 하자. 곧 $5 \mid (x + 4y)$이므로 $x + 4y = 5m$인 정수 $m$이 존재한다. 그러면

$$
y + 4x = 5(x + y) - (x + 4y) = 5(x+y) - 5m = 5(x + y - m)
$$

이고 $x + y - m \in \mathbb{Z}$이므로 $5 \mid (y + 4x)$, 곧 $y R x$이다 ✓. (추이) $x R y$이고 $y R z$라 하자. 곧 $x + 4y = 5m$, $y + 4z = 5n$인 정수 $m, n$이 존재한다. 두 식을 더하면 $x + 5y + 4z = 5m + 5n$이므로

$$
x + 4z = 5m + 5n - 5y = 5(m + n - y)
$$

이고 $m + n - y \in \mathbb{Z}$이므로 $5 \mid (x + 4z)$, 곧 $x R z$이다 ✓. 세 성질이 모두 성립하므로 $R$은 동치관계다. $\blacksquare$

**복기.** 이 관계의 정체는 $\equiv \pmod 5$다. $4 \equiv -1 \pmod 5$이므로 $x + 4y \equiv x - y \pmod 5$이고, 따라서 "$5 \mid (x+4y)$"는 "$5 \mid (x - y)$"와 같은 조건이다. 정체를 알아채면 세 성질이 (C1)~(C3)에서 곧바로 따라 나오지만, 시험에서는 정의만으로 밀고 나가는 위의 서식을 쓸 수 있어야 한다.

### 문제 8

**접근.** 조건이 "$|x|$라는 값이 같다"는 등식이므로 세 성질은 등호의 세 성질에서 그대로 상속된다. 등식 기반 관계는 언제나 동치관계라는 것이 37주차 문제 10에서 굳힌 사실이다. 동치류는 정의 37.2대로 $[x] = \{y : |x| = |y|\}$를 풀면 된다.

**풀이.** (반사) 임의의 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $|x| = |x|$이므로 $x R x$ ✓. (대칭) $x R y$이면 $|x| = |y|$이고, 등호의 대칭성으로 $|y| = |x|$이므로 $y R x$ ✓. (추이) $x R y$이고 $y R z$이면 $|x| = |y|$이고 $|y| = |z|$이므로, 등호의 추이성으로 $|x| = |z|$, 곧 $x R z$ ✓. 따라서 $R$은 동치관계다. 동치류를 구한다. $|y| = |2| = 2$인 실수는 $2$와 $-2$뿐이므로 $[2] = \{2, -2\}$이고, $|y| = 0$인 실수는 $0$뿐이므로 $[0] = \{0\}$이다. 일반형: $x \neq 0$이면 $[x] = \{x, -x\}$로 원소가 두 개이고, $x = 0$이면 $[0] = \{0\}$으로 원소가 하나다. $\blacksquare$

**복기.** 동치류의 크기가 균등하지 않은 예다 — 원점만 혼자 한 조각을 이룬다. 그래도 분할의 세 조건은 그대로 성립한다. 이 분할의 조각들을 음이 아닌 대표원으로 이름 붙이면 $[0, \infty)$와 일대일로 대응하고, 그 대응이 곧 절댓값을 취한다는 조작의 정체다.

### 문제 9

**접근.** 37주차 예제 2.1의 재현이다. 동치이므로 두 방향을 따로 증명하고(25주차), ($\Rightarrow$)는 집합 상등이므로 다시 양방향 포함으로 나눈다(27주차). 어느 성질이 어디서 쓰였는지 표시하는 것이 이 문항의 채점 초점이다.

**풀이.** $R$을 $A$ 위의 동치관계라 하고 $x, y \in A$라 하자. ($\Rightarrow$) $x R y$라 가정한다. 먼저 $[x] \subseteq [y]$를 보인다. $z \in [x]$라 하자. 정의에 의해 $x R z$이다. 가정 $x R y$에 **대칭성**을 적용하면 $y R x$이고, $y R x$와 $x R z$에 **추이성**을 적용하면 $y R z$이다. 곧 $z \in [y]$이다. 다음 $[y] \subseteq [x]$를 보인다. $z \in [y]$라 하자. 정의에 의해 $y R z$이다. 가정 $x R y$와 $y R z$에 **추이성**을 적용하면 $x R z$이다. 곧 $z \in [x]$이다. 양방향 포함이 성립하므로 $[x] = [y]$이다. ($\Leftarrow$) $[x] = [y]$라 가정한다. **반사성**에 의해 $x R x$이므로 $x \in [x]$이고, 가정에 의해 $x \in [y]$이다. 동치류의 정의에 의해 $x \in [y]$는 $y R x$를 뜻하므로, **대칭성**에 의해 $x R y$이다. 두 방향이 끝났으므로 $x R y \iff [x] = [y]$이다. $\blacksquare$

**복기.** 소비처를 정리하면 ($\Rightarrow$)에서 대칭과 추이, ($\Leftarrow$)에서 반사와 대칭이 쓰였다. 세 성질이 전부 소비된다는 것이 "동치관계의 정의가 왜 하필 저 셋인가"에 대한 답이다. 확인 1에서 본 대로 반사성을 빼면 ($\Leftarrow$)가 무너진다.

### 문제 10

**접근.** 37주차 예제 2.2의 재현이다. 결론이 "$P$ 또는 $Q$" 꼴이므로, $Q$(서로소)가 아닌 경우를 가정하고 $P$(같음)를 끌어내는 것이 표준 서식이다. $[x] \cap [y] \neq \emptyset$은 공유 원소의 존재를 주고, 그 원소가 $x$와 $y$를 잇는 다리가 된다.

**풀이.** $R$을 $A$ 위의 동치관계라 하고 $x, y \in A$라 하자. 주장은 $[x] = [y]$이거나 $[x] \cap [y] = \emptyset$이라는 것이다. $[x] \cap [y] = \emptyset$이면 결론이 이미 성립한다. 그렇지 않다고 하자. 그러면 $z \in [x] \cap [y]$인 원소 $z$가 존재한다. $z \in [x]$이므로 $x R z$이고, $z \in [y]$이므로 $y R z$이다. 후자에 대칭성을 적용하면 $z R y$이고, $x R z$와 $z R y$에 추이성을 적용하면 $x R y$이다. 핵심 정리(문제 9)에 의해 $[x] = [y]$이다. 따라서 두 동치류는 언제나 같거나 서로소다. $\blacksquare$

**복기.** 두 방이 원소를 하나라도 공유하면 통째로 같아지므로 걸치기가 불가능하다. 이것이 분할의 조건 ②를 그대로 주고, 조건 ①과 ③은 반사성이 주는 $x \in [x]$에서 나온다(확인 2). 곧 이 정리 하나가 "동치관계는 분할을 만든다"의 핵심 부품이다.

### 문제 11

**접근.** 문제 10과 반대 방향, 곧 분할에서 동치관계를 만드는 문항이다(37주차 문제 11). 관계의 정의가 "같은 조각에 속한다"이므로, 각 성질의 증명은 조각을 하나 꺼내 놓고 조건 ①②③ 중 무엇이 필요한지 지목하는 일이 된다.

**풀이.** $\mathcal{P}$를 $A$의 분할이라 하고, $A$ 위의 관계를 $x \sim y \iff$ "$x$와 $y$가 $\mathcal{P}$의 같은 조각에 속한다"로 정의하자. (반사) $x \in A$라 하자. 조건 **③(덮음)**에 의해 조각들의 합집합이 $A$이므로 $x \in P$인 조각 $P \in \mathcal{P}$가 존재한다. $x$와 $x$가 함께 $P$에 속하므로 $x \sim x$이다 ✓. (대칭) $x \sim y$라 하자. 곧 $x$와 $y$가 함께 어떤 조각 $P$에 속한다. "$x$와 $y$가 함께 $P$에 속한다"는 진술은 $x$와 $y$를 바꾸어 읽어도 같은 진술이므로 $y$와 $x$도 함께 $P$에 속하고, 따라서 $y \sim x$이다 ✓. (추이) $x \sim y$이고 $y \sim z$라 하자. 곧 $x, y \in P$인 조각 $P$와 $y, z \in Q$인 조각 $Q$가 존재한다. 그러면 $y \in P \cap Q$이므로 $P \cap Q \neq \emptyset$이고, 조건 **②(서로 다른 두 조각은 서로소)**의 대우에 의해 $P = Q$이다. 따라서 $x$와 $z$가 함께 조각 $P$에 속하므로 $x \sim z$이다 ✓. 세 성질이 모두 성립하므로 $\sim$은 동치관계다. $\blacksquare$

**복기.** ③은 반사에서, ②는 추이에서 소비되고, 대칭은 관계의 서술 자체가 대칭적이라는 이유만으로 성립한다. 조건 ①(비공)은 이 증명에서 쓰이지 않는데, 실제로 빈 조각이 섞여 있어도 이 관계는 동치관계가 된다 — ①은 조각의 개수를 뜻있게 만들기 위한 조건이다. 문제 10과 이 문제를 합치면 "동치관계와 분할은 같은 정보의 두 얼굴"이라는 8부의 결론이 나온다.

### 문제 12

**접근.** 38주차 예제 2.1의 4행 서식을 그대로 재현한다. 증명할 것은 "규칙이 대표원 선택에 무관하다"이므로 첫 문장은 반드시 "같은 방의 두 이름을 잡자"여야 한다. 합동으로 번역한 뒤 (C4)를 인용하고 다시 방의 언어로 되돌아오면 끝난다.

**풀이.** $[a] = [a']$이고 $[b] = [b']$라 하자(같은 방의 두 이름). 핵심 정리에 의해 $a \equiv a' \pmod n$이고 $b \equiv b' \pmod n$이다(합동으로 번역). (C4)(합 보존, 20주차 예제 2.2)에 의해

$$
a + b \equiv a' + b' \pmod n
$$

이다. 다시 핵심 정리에 의해 $[a + b] = [a' + b']$이다(방의 언어로 역번역). 곧 $[a] + [b]$의 값은 대표원으로 $a, b$를 골랐든 $a', b'$을 골랐든 같은 방이므로, 덧셈 $[a] + [b] = [a+b]$는 잘 정의된다. $\blacksquare$

**복기.** (C4)를 인용하지 않고 직접 쓸 수도 있다. $n \mid (a - a')$이고 $n \mid (b - b')$이면 $(a+b) - (a'+b') = (a - a') + (b - b')$이 두 배수의 합이므로 $n$의 배수다(2주차 예제 2.2). 곱셈도 (C4)를 (C5)로 바꾸기만 하면 같은 4행으로 끝난다(38주차 문제 7). 이 서식의 어느 줄도 $n$이 소수인지에 의존하지 않는다는 점을 확인해 두면, 문제 17에서 소수 조건이 어디에 쓰이는지가 선명해진다.

### 문제 13

**접근.** $[a]$의 곱셈 역원은 $[a][b] = [1]$을 만족하는 $[b]$다. $\mathbb{Z}_7$은 방이 일곱 개뿐이므로, 각 $a$에 대해 $ab$가 $1, 8, 15, 22, 29, 36$ 가운데 하나가 되는 $b$를 찾으면 된다.

**풀이.**

| **방** | **$[1]$** | **$[2]$** | **$[3]$** | **$[4]$** | **$[5]$** | **$[6]$** |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 곱셈 역원 | $[1]$ | $[4]$ | $[5]$ | $[2]$ | $[3]$ | $[6]$ |
| 검산 | $1 \cdot 1 = 1$ | $2 \cdot 4 = 8 = 7+1$ | $3 \cdot 5 = 15 = 14+1$ | $4 \cdot 2 = 8$ | $5 \cdot 3 = 15$ | $6 \cdot 6 = 36 = 35+1$ |

곧 $[1]^{-1} = [1]$, $[2]^{-1} = [4]$, $[3]^{-1} = [5]$, $[4]^{-1} = [2]$, $[5]^{-1} = [3]$, $[6]^{-1} = [6]$이고, $[0]$이 아닌 여섯 방이 모두 곱셈 역원을 가진다.

**복기.** 표가 짝을 이룬다는 점을 확인한다 — $[2]$와 $[4]$가 서로의 역원이고 $[3]$과 $[5]$가 서로의 역원이며, $[1]$과 $[6]$은 자기 자신이 역원이다. 역원이 빠짐없이 존재하는 뿌리는 7이 소수라는 것이고, 통로는 문제 17에서 확인하는 유클리드 보조정리다. $\mathbb{Z}_6$에서 같은 표를 만들면 $[1]$과 $[5]$만 역원을 가진다.

### 문제 14

**접근.** $[4]$는 $\mathbb{Z}_6$에서 곱셈 역원을 갖지 않으므로 "양변을 $[4]$로 나눈다"는 조작이 막혀 있다. 방이 여섯 개뿐이므로 전수 대입이 가장 확실한 방법이고, 나누기가 막혔다는 이유로 해가 없다고 지레 결론짓는 것이 이 문항의 함정이다.

**풀이.** $x$ 자리에 여섯 방을 차례로 넣는다. $[4][0] = [0]$, $[4][1] = [4]$, $[4][2] = [8] = [2]$ ✓, $[4][3] = [12] = [0]$, $[4][4] = [16] = [4]$, $[4][5] = [20] = [2]$ ✓. 따라서 해는 $[2]$와 $[5]$ 두 개다.

**복기.** 해가 둘이라는 점이 요점이다. $\mathbb{Z}$나 $\mathbb{R}$에서 일차방정식의 해는 많아야 하나인데, 여기서는 $[4]$에 역원이 없어 소거가 불가능하므로 해의 개수를 미리 셀 수 없다. 38주차 문제 18의 답안이 "$[2]$의 역원이 없으므로 해가 없다"로 끝난 것이 바로 이 지점의 오류다 — 역원이 없다는 것은 나누기라는 기법이 막혔다는 뜻일 뿐, 해가 없다는 뜻이 아니다. 검산: $4 \cdot 2 = 8 = 6 + 2$ ✓, $4 \cdot 5 = 20 = 18 + 2$ ✓.

### 문제 15

**접근.** 36주차 문제 15에서 해부한 함정이다. 논증에서 참인 부분과 거짓인 부분을 갈라야 한다 — 계산은 한 줄도 틀리지 않았고, 무너진 곳은 "$x R y$인 $y$를 잡아"라는 첫 문장이다. 반사성이 **모든** $x$에 대한 요구라는 점과 대조하면 간격이 드러난다.

**풀이.** (오류 지적) 논증은 "$x R y$인 $y$를 잡아"로 시작하지만, 그런 $y$가 존재한다는 보장이 어디에도 없다. 대칭성과 추이성은 이미 관계가 있는 순서쌍들에 대해서만 무언가를 말하고, 어떤 순서쌍이 존재하는지는 말해 주지 않는다. 따라서 이 논증이 실제로 증명하는 것은 "$x R y$인 $y$가 **존재하는** $x$에 대해서는 $x R x$"까지이고, 반사성이 요구하는 "**모든** $x \in A$에 대해 $x R x$"에는 미치지 못한다. 간격은 관계에 한 번도 등장하지 않는 고립된 원소에서 벌어진다. (반례) $A = \{1, 2\}$, $R = \{(2,2)\}$라 하자. 대칭: 확인할 순서쌍은 $(2,2)$ 하나뿐이고 그 짝 $(2,2)$가 $R$에 있으므로 대칭적이다 ✓. 추이: 확인할 사슬은 $(2,2), (2,2) \to (2,2)$ 하나뿐이고 $(2,2) \in R$이므로 추이적이다 ✓. 반사: $1 \in A$인데 $(1,1) \notin R$이므로 반사적이 아니다 ✗. 곧 대칭적이고 추이적이지만 반사적이 아닌 관계가 실제로 존재하므로 주장은 거짓이다. $\blacksquare$

**복기.** 반례를 만드는 요령은 "논증이 필요로 하는 것을 정확히 빼앗기"다. 논증은 $x$마다 짝 $y$가 있어야 돌아가므로, 짝이 하나도 없는 원소($1$)를 무대에 넣고 관계에서는 완전히 배제하면 된다. 가장 극단적인 반례는 $R = \emptyset$으로, 이때도 대칭과 추이는 확인할 쌍이 없어 성립한다(확인 1). 조건이 "모든 $x$"인지 "어떤 $x$"인지 확인하는 습관이 이 유형 전체의 예방책이다.

### 문제 16

**접근.** (a)는 조건이 "차가 유리수"이므로 유리수 집합의 닫힘성(15주차)이 세 성질 각각의 근거가 된다. (b)와 (c)는 동치류의 정의 $[x] = \{y : x R y\}$를 조건에 그대로 대입해 집합을 풀어 쓰는 계산이다. (c)의 서로소는 문제 10을 쓰거나 직접 모순을 끌어내면 된다.

**풀이.** **(a)** (반사) 임의의 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x - x = 0$이고 $0 \in \mathbb{Q}$이므로 $x R x$이다 ✓. (대칭) $x R y$라 하자. 곧 $x - y \in \mathbb{Q}$이다. 그러면 $y - x = -(x - y)$이고 유리수의 $(-1)$배는 유리수이므로 $y - x \in \mathbb{Q}$, 곧 $y R x$이다 ✓. (추이) $x R y$이고 $y R z$라 하자. 곧 $x - y \in \mathbb{Q}$이고 $y - z \in \mathbb{Q}$이다. 그러면

$$
x - z = (x - y) + (y - z)
$$

는 두 유리수의 합이므로 유리수다(15주차 예제 2.2). 곧 $x R z$이다 ✓. 세 성질이 모두 성립하므로 $R$은 동치관계다. $\blacksquare$ **(b)** 정의에 의해 $[0] = \{y \in \mathbb{R} : 0 R y\} = \{y : 0 - y \in \mathbb{Q}\}$이다. $-y \in \mathbb{Q}$와 $y \in \mathbb{Q}$는 같은 조건이므로 $[0] = \mathbb{Q}$, 곧 유리수 전체가 한 조각이다. **(c)** 같은 방식으로 $[\sqrt2] = \{y : \sqrt2 - y \in \mathbb{Q}\} = \{\sqrt2 - q : q \in \mathbb{Q}\}$이고, 이는 $\sqrt2$에 유리수를 더한 수 전체다. 원소 세 개를 들면 $\sqrt2$, $\sqrt2 + 1$, $\sqrt2 - \frac{3}{7}$이다. 서로소인 이유: $z \in [0] \cap [\sqrt2]$인 $z$가 있다고 하자. $z \in [0]$이므로 $z \in \mathbb{Q}$이고, $z \in [\sqrt2]$이므로 $\sqrt2 - z \in \mathbb{Q}$이다. 그러면 두 유리수의 합

$$
z + (\sqrt2 - z) = \sqrt2
$$

가 유리수가 되어(15주차 예제 2.2) $\sqrt2 \in \mathbb{Q}$이다. 이는 $\sqrt2$가 무리수라는 21주차의 정리와 모순이다. 따라서 그런 $z$는 없고 $[0] \cap [\sqrt2] = \emptyset$이다. $\blacksquare$

**복기.** (c)는 문제 10으로도 끝난다 — 공통 원소가 있으면 "같거나 서로소" 정리에 의해 $[0] = [\sqrt2]$이고, 핵심 정리로 $0 R \sqrt2$, 곧 $-\sqrt2 \in \mathbb{Q}$가 되어 같은 모순에 이른다. 이 관계가 만드는 분할의 조각들은 $\mathbb{Q}$를 통째로 평행이동한 $q + \mathbb{Q}$ 꼴이고, 조각의 개수가 유한하지도 가산이지도 않다는 사실은 48~49주차에서 다룬다(가산의 정의가 48주차, "가산이 아니다"의 증명 도구인 대각선 논법이 49주차다).

### 문제 17

**접근.** 동치이므로 두 방향을 따로 쓴다(25주차). ($\Leftarrow$)는 "영인수가 존재한다"는 존재 명제이므로 증인을 실제로 만들어 보이면 되고(26주차), ($\Rightarrow$)는 직접 하기 어려우므로 대우를 잡는다(19주차) — $n$이 합성수가 아니면, 곧 $n \ge 2$에서 소수이면 영인수가 없음을 보인다. 여기서 유클리드 보조정리(33주차 문제 16)는 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다.

**풀이.** $n \ge 2$라 하자. $\mathbb{Z}_n$의 **영인수**란 $[a] \neq [0]$, $[b] \neq [0]$인데 $[a][b] = [0]$인 쌍 $[a], [b]$를 말한다. ($\Leftarrow$) $n$이 합성수라 하자. 그러면 $n = ab$이고 $1 < a < n$, $1 < b < n$인 정수 $a, b$가 존재한다. $1 < a < n$이므로 $n \nmid a$, 곧 $[a] \neq [0]$이고, 같은 이유로 $[b] \neq [0]$이다. 그런데

$$
[a][b] = [ab] = [n] = [0]
$$

이므로 $[a], [b]$가 영인수다. 곧 영인수가 존재한다 ✓. ($\Rightarrow$) 대우를 증명한다. 곧 "$n$이 합성수가 아니면 $\mathbb{Z}_n$에 영인수가 없다"를 보인다. $n \ge 2$이고 합성수가 아니므로 $n$은 소수이고, $n = p$라 쓰자. $[a][b] = [0]$이라 하자. 곧 $[ab] = [0]$이므로 $p \mid ab$이다. 유클리드 보조정리에 의해 $p \mid a$ 또는 $p \mid b$이고, 따라서 $[a] = [0]$ 또는 $[b] = [0]$이다. 곧 $[a]$와 $[b]$가 모두 $[0]$이 아니면서 곱이 $[0]$인 일은 일어나지 않으므로 영인수가 없다. 대우가 증명되었으므로 원래 함의도 참이다 ✓. 두 방향이 모두 성립하므로 동치가 증명되었다. $\blacksquare$

**복기.** 두 방향의 기법이 다르다는 점이 이 문항의 요점이다 — ($\Leftarrow$)는 증인 제작, ($\Rightarrow$)는 대우다. 실물로 확인하면 $n = 6$에서 $6 = 2 \cdot 3$이므로 $[2][3] = [0]$이고, $n = 7$에서는 문제 13의 표대로 모든 방이 역원을 가져 영인수가 있을 자리가 없다. 소수 조건이 실제로 쓰이는 곳은 유클리드 보조정리를 인용하는 단 한 줄이며, 문제 12의 잘 정의됨 증명에서는 소수 조건이 전혀 쓰이지 않았다는 대조를 함께 기억해 둔다.

### 문제 18

**접근.** 결론이 이상할 때는 정리를 의심하기 전에 정리의 **가정**이 충족되었는지 확인한다. 동치류가 겹친다는 것은 "같거나 서로소" 정리(문제 10)와 어긋나 보이지만, 그 정리의 가정은 "$R$이 동치관계"다. 따라서 먼저 할 일은 $R$의 세 성질을 실제로 판정하는 것이다.

**풀이.** (결함 진단) 반사성은 $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$가 모두 있으므로 성립하고, 대칭성도 $(1,2)$와 $(2,1)$, $(3,4)$와 $(4,3)$, $(2,3)$과 $(3,2)$가 모두 짝을 이루므로 성립한다. 그러나 추이성이 성립하지 않는다. $(1,2) \in R$이고 $(2,3) \in R$인데 $(1,3) \notin R$이고, 마찬가지로 $(2,3), (3,4) \in R$인데 $(2,4) \notin R$이다. 곧 $R$은 **추이 위반**이고 동치관계가 아니다. 따라서 동치류라는 개념을 적용할 자격 자체가 없다. 겹침은 "같거나 서로소" 정리의 반례가 아니라 그 정리의 가정이 깨졌다는 증상이다(37주차 문제 18과 같은 구조). 덧붙여 학생의 계산도 정확하지 않다. 정의대로 $[x] = \{z : x R z\}$를 읽으면 $[1] = \{1, 2\}$이지 $\{1,2,3\}$이 아니다. $[3] = \{2, 3, 4\}$는 맞다. (수리 1 — 순서쌍 추가) 추이성이 요구하는 순서쌍 $(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,4),(4,2)$를 모두 넣으면 $R = A \times A$가 되어 동치관계가 되고, 동치류는 하나뿐이다:

$$
[1] = [2] = [3] = [4] = \{1,2,3,4\}
$$

곧 조각이 하나인 분할이다. (수리 2 — 순서쌍 제거) 반대로 $(2,3)$과 $(3,2)$를 빼면 $R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}$이 되고, 이 관계는 반사$\cdot$대칭$\cdot$추이를 모두 만족한다. 이때 동치류는 $[1] = [2] = \{1,2\}$, $[3] = [4] = \{3,4\}$로 두 조각이다. $\blacksquare$

**복기.** 수리 방향이 하나가 아니라는 점이 이 문항이 남기는 교훈이다. $(2,3)$이라는 순서쌍 하나가 $\{1,2\}$ 무리와 $\{3,4\}$ 무리를 이어 버렸고, 추이성은 "이었으면 끝까지 이어라"를 요구하므로 전부 잇거나 그 다리를 걷어내는 두 길밖에 없다. 수리 1처럼 빠진 순서쌍을 최소한으로 채워 넣어 추이적으로 만드는 조작을 추이 폐포라 부른다.

### 문제 19

**접근.** 두 규칙 모두 입력이 방이고 계산은 대표원으로 하므로, 물어야 할 것은 "$[a] = [a']$이면 출력도 같은 방인가"다(문제 12의 서식). (a)는 제곱이므로 (C5)가 보호해 주고, (b)는 $a$가 지수 자리에 있어 보호해 줄 정리가 없으니 반례부터 찾는다.

**풀이.** **(a) 잘 정의된다.** $[a] = [a']$라 하자. 핵심 정리에 의해 $a \equiv a' \pmod 4$이다. (C5)(곱 보존)를 $a \equiv a'$과 $a \equiv a'$에 적용하면

$$
a \cdot a \equiv a' \cdot a' \pmod 4, \quad \text{곧} \quad a^2 \equiv a'^2 \pmod 4
$$

이고, 다시 핵심 정리에 의해 $[a^2] = [a'^2]$이다. 곧 $g([a])$의 값이 대표원 선택에 무관하므로 $g$는 잘 정의된다. $\blacksquare$ **(b) 잘 정의되지 않는다.** 먼저 이 규칙은 대표원이 음이 아닐 때만 뜻을 갖는다는 문제도 있다 — $[1] = [-3]$인데 $2^{-3} = 1/8$은 정수가 아니어서 $[2^{-3}]$이라는 표기 자체가 성립하지 않는다. 그 점을 접어 두고 음이 아닌 대표원만 써도 규칙은 여전히 무너진다. 반례를 든다. $\mathbb{Z}_4$에서 $5 - 1 = 4$이므로 $[1] = [5]$로 같은 방이다. 그런데

$$
h([1]) = [2^1] = [2], \qquad h([5]) = [2^5] = [32] = [0]
$$

이고($32 = 4 \cdot 8$이다), $[2] \neq [0]$이다. 곧 같은 입력 $[1] = [5]$에 대해 대표원을 무엇으로 고르느냐에 따라 출력이 달라지므로 $h$는 잘 정의되지 않는다. $\blacksquare$

**복기.** 대조가 요점이다. (a)에서 $a$는 곱셈의 자리에 있고, 곱셈은 (C5)가 합동을 보존해 준다. (b)에서 $a$는 지수의 자리에 있고, 지수에 대한 보존 정리는 없다 — $2^a$를 4로 나눈 나머지는 $a$의 mod 4가 아니라 $a$ 자체에 달려 있다. 실제로 $2^1 \equiv 2 \pmod 4$이고 $a \ge 2$에서는 모두 $2^a \equiv 0 \pmod 4$로 고정되므로, $[1] = [5]$인데도 두 출력이 갈린다. 38주차 문제 12의 $[7]^k$처럼 지수 자리에 진짜 순환이 생기는 경우도 있지만, 그런 순환이 있는지 없는지가 밑과 법에 따라 달라지므로 지수 자리에는 (C4)$\cdot$(C5) 같은 일반 보존 정리가 없다. 잘 정의됨 감각이란 결국 어느 자리가 보존 정리로 보호되는지를 아는 것이다. (a)의 검산: $g([0]) = [0]$, $g([1]) = [1]$, $g([2]) = [4] = [0]$, $g([3]) = [9] = [1]$이고, 다른 이름으로 확인해도 $g([5]) = [25] = [1] = g([1])$ ✓.

### 문제 20

**접근.** 지도의 네 마디를 인과로 잇는 것이 첫 문단이고, 함수 예고를 "관계에 조건 하나를 더한 것"으로 위치시키는 것이 둘째 문단이다. 정의 낱말을 나열하는 대신, 각 마디가 다음 마디를 어떻게 가능하게 하는지를 적는다.

**풀이.** (예시 답안) 관계는 순서쌍들의 집합이고, 그 가운데 반사$\cdot$대칭$\cdot$추이를 모두 갖춘 것이 동치관계다. 동치관계는 "어떤 기준에서 같다"를 뜻하므로 각 원소에 자기와 같은 것들의 모임인 동치류를 붙일 수 있고, 핵심 정리($x R y \iff [x] = [y]$)와 "같거나 서로소" 정리는 서로 다른 동치류끼리 겹치지 않음을 보장하고, 반사성이 주는 $x \in [x]$는 비어 있는 조각이 없다는 것과 모든 원소가 덮인다는 것을 보장한다 — 곧 동치류들이 분할을 이룬다. 그 조각들을 새 세계의 원소로 삼고 대표원으로 계산하는 연산을 얹으면 몫 세계가 되며, 이때 통과해야 하는 검문이 잘 정의됨이다 — $\mathbb{Z}_n$이 그 첫 사례다. 함수 예고가 자연스러운 이유는 이렇다. 함수 $f : A \to B$도 $A \times B$의 부분집합, 곧 순서쌍들의 집합이므로 관계의 특수한 경우이고, 거기에 "모든 입력에 정확히 하나의 출력"이라는 $\exists!$ 조건(26주차)이 붙은 것뿐이다. 따라서 8부에서 익힌 언어 — 순서쌍, 판정 서식, 그리고 몫 세계 위에서의 잘 정의됨 검문 — 가 그대로 9부의 문법이 된다.

**복기.** 이 서술을 쓸 때 걸린 마디가 어디였는지 기록해 둔다. "동치류 $\to$ 분할"에서 막혔다면 문제 10과 확인 2로, "분할 $\to$ 몫 세계"에서 막혔다면 문제 12와 확인 3으로 돌아가는 것이 최단 경로다.

## 채점 가이드와 8부 수료

- **수료 기준**: 1번(정의)을 만점으로 쓰고, 재현 4문항(9~12) 중 3개 이상을 무결로, 판정$\cdot$계산(3~8, 13, 14) 중 7개 이상을 정답으로, 진단(15, 18) 중 1개 이상을 정확히 짚었으면 8부 수료로 보고 40주차로 넘어간다.
- 성질 판정에서 반례 서식이 무너졌다면 29주차(반증)와 36주차를 재복습한다 — ✗ 자리에 구체적인 순서쌍을 적지 않은 답안은 판정이 아니다.
- 잘 정의됨(12, 19번)에서 실패했다면 38주차를 재복습한다. 9부에서 $f : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4$ 꼴의 함수를 정의하는 순간 같은 검사가 다시 요구되므로, 미해결로 둔 채 40주차에 들어가면 새 정의와 미해결 검사를 동시에 붙들게 된다.
- $\mathbb{Z}_n$ 계산 실수가 반복되면 20주차(합동 계산)를 재복습한다.

**8부까지의 지도.** 7부까지가 증명의 기법을 갖추는 과정이었다면, 8부는 그 기법을 하나의 대상 — 관계 — 에 몰아 쓴 첫 사례다. 정의 하나(순서쌍들의 집합)에서 출발해 성질 판정, 구조 정리, 그리고 새 세계의 건설까지 이어지는 이 경로가 대학 수학의 각 과목이 반복하는 표준 경로다.

---

**다음 주 예고:** 9부 개막 — 함수(function). "모든 입력에 정확히 하나의 출력"이라는 $\exists!$ 조건으로 정의되는 특별한 관계로서, 중학교 이래의 함수 개념을 집합론 위에 다시 세운다. 그래프가 곧 함수 자신이라는 것, 그리고 $f : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4$ 같은 몫 세계 위의 함수에서 잘 정의됨 검문이 다시 등장한다는 것 — 8부에 들인 공이 곧바로 회수된다.