45주차 — 수열 극한의 ε-N 정의

이 주의 길잡이

핵심 문장: 수렴한다는 것은, 어떤 오차 한계 \(\varepsilon\)이 주어져도 그 뒤의 항이 전부 오차 안에 들어가는 문턱 \(N\)을 댈 수 있다는 뜻이다.

이 주의 위치: 50주 과정의 45주차, 10부(해석학 입문)의 첫 주. 10주차 문제 19에서 기호 구조만 해독했던 문장에 뜻을 붙이고, 11주차 문제 15의 층별 부정과 17주차 문제 12의 삼각부등식을 증명 안에서 실제로 쓴다.

원서 대응: BoP(Book of Proof) 13장 전반부. 병행자 참고용이며, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.

이번 주 목표

1. 수렴의 \(\varepsilon\)-N 정의를 백지에 수식으로 쓰고, 세 양화사가 각각 무엇을 요구하는지 조각별로 말할 수 있다.

2. \(\lim \frac{1}{n} = 0\)을 비롯한 기본 극한을 네 걸음 서식으로 증명한다.

3. 역산(연습장)과 증명 본문(순방향)을 분리하는 규율을 익힌다.

4. 극한의 유일성과 \((-1)^n\)의 발산을 증명한다 — 귀류법(21주차)과 삼각부등식(17주차)의 결합.

본문 곳곳의 확인 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 답 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

준비 운동 (44주차까지의 복습)

1. 수열이란 정의역이 \(\underline{\quad}\)인 함수다 (40주차 정의 40.1).

2. \(|x - 3| < 2 \iff \underline{\qquad}\) (18주차 문제 11).

3. 아르키메데스 성질을 진술하시오 (28주차 문제 16에서 인정하고 쓴 사실이다).

4. 3주차 문제 15의 \(\frac{n}{n+1}\)을 두고 “1에 한없이 가까워지지만 1은 아니다”라고 관찰했다. 이 관찰을 참\(\cdot\)거짓을 판정할 수 있는 문장으로 다시 쓰시오.

답

1. \(\mathbb{N}\) — 수열은 정의역이 \(\mathbb{N}\)인 함수 \(a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)이다

(40주차 정의 40.1).

2. \(1 < x < 5\) — 18주차 문제 11에서 양방향을 증명했다. \(|x - 3|\)은 \(x\)와 3 사이의

거리이므로, 그 거리가 2 미만인 점을 모으면 구간 \((1, 5)\)가 된다.

3. 임의의 실수 \(x > 0\)에 대해 \(\frac1n < x\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 28주차 문제 16에서

증명 없이 인정하고 썼고, 이번 주 §1.5에서 정식으로 채택한다.

4. 바로 아래의 유형 분석 절이 답을 대신한다 — 자신의 답이 세 유형 중 어느 것인지 대조한

뒤, §1.2의 확인 3에서 판정 가능한 문장을 완성한다.

자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

• 유형 1 — 움직임의 서술. “\(n\)이 커질수록 1에 다가간다”라고 적는다. 관찰은

정확하다. 빠진 것은 판정 절차다 — “다가간다”에는 확인할 부등식이 하나도 없어서 참인지 거짓인지 손으로 검사할 수 없다. 3주차에서 “느낌이 아니라 정의로 판정한다”를 세운 그 자리로 되돌아온 셈이다.

• 유형 2 — 차를 계산하고 멈춤. \(1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}\)까지 정확히

계산한 뒤 “이것이 0으로 간다”로 끝낸다. 이번 주 증명의 핵심 재료를 이미 손에 쥐었다. 남은 문제는 “0으로 간다”가 처음의 “1에 다가간다”와 같은 말이라는 점이다 — 설명해야 할 말로 설명을 마쳤으므로 정의가 순환한다.

• 유형 3 — 임의로 작게. “차이를 원하는 만큼 작게 만들 수 있다”라고 적는다.

정의에 가장 가깝다 — “원하는 만큼”이 곧 \(\forall \varepsilon\)이다. 빠진 것은 범위다. 차이를 작게 만드는 항이 하나 있으면 되는지, 어느 지점 뒤의 모든 항이 그래야 하는지가 정해져 있지 않다. §1.1의 실패 사례 ②가 그 차이를 보인다.

개념 — 수렴을 판정 가능한 문장으로

1 “한없이 가까워진다”로 증명을 시도하면 어디서 막히는가

고등학교에서 쓰던 말만으로 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자.

시도 — 말 정의로 밀어붙이기

명제: \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\). “\(n\)이 커질수록 \(\frac1n\)은

작아지고, 0에 한없이 가까워진다. 따라서 극한은 0이다.”

여기서 멈춘다. 이 문장에는 검사할 부등식이 하나도 없다 — 무엇을 계산하면 참이 확정되는지를 말해 주는 조각이 없다. 이 말투가 무엇을 놓치는지는 두 수열이 보인다.

실패 사례 ① — “작아진다”는 목표값을 지정하지 못한다. \(d_n = 1 + \frac1n\)은 \(n\)이 커질수록 계속 작아지지만 1보다 작아지지 않는다. “작아진다”와 “특정한 수에 수렴한다”는 별개의 주장이다.

실패 사례 ② — “가까워지는 항이 있다”는 부족하다. 수열

\[\begin{split} \begin{aligned}e_n = \begin{cases} \dfrac{1}{n} & (n \text{이 짝수}) \\[4pt] 1 & (n \text{이 홀수}) \end{cases}\end{aligned} \end{split}\]

의 항을 나열하면 \(1, \frac12, 1, \frac14, 1, \frac16, \dots\)이다. 짝수 항만 보면 0에 원하는 만큼 가까운 항이 무한히 많고, 홀수 항은 언제까지나 1이다. “가까워지는 항이 얼마든지 있다”를 수렴의 뜻으로 삼으면 이 수열의 극한이 0이면서 동시에 1이 된다. 극한이 둘이 되면 \(\lim\)이라는 표기 자체가 대상을 지정하지 못한다.

확인 1. 실패 사례 ②를 막으려면 “\(L\)에 가까운 항이 존재한다”를 어떤 문장으로

바꿔야 하는가? “어느 지점 뒤의 \(\underline{\qquad}\) 항이 \(L\)에 가깝다” 꼴로 짐작해 보자.

답

“어느 지점 뒤의 모든 항이 \(L\)에 가깝다.” \(e_n\)은 어느 지점을 잡아도 그 뒤에 1인 항이

남으므로 이 조건을 통과하지 못한다. 실패 사례 ①은 “가깝다”의 기준이 되는 \(L\)과 허용 오차를

명시하면 막힌다. 정의에 들어갈 조각이 세 개로 좁혀졌다 — 목표값 \(L\), 허용 오차, “어느 지점

뒤 전부”.

2 오차와 문턱 — 표를 채워 정의 만들기

허용 오차에 이름을 붙여 \(\varepsilon\)이라 쓴다(\(\varepsilon\)은 그리스 문자 엡실론이며, 이 교재에서 언제나 양수인 오차 한계를 가리킨다). \(a_n = \frac1n\), \(L = 0\)에 대해 오차마다 “이 뒤로는 전부 오차 안”이 되는 문턱 \(N\)을 찾아보자. 조건은 \(\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n < \varepsilon\)이다.

오차 한계 \(\varepsilon\)	\(\frac1n < \varepsilon\)을 \(n\)에 대해 풀면	문턱 \(N\)의 한 예
\(0.1\)	\(n > 10\)	\(N = 10\)
\(0.01\)	\(n > \underline{\quad(1)\quad}\)	\(N = \underline{\quad}\)
\(0.002\)	\(n > \underline{\quad(2)\quad}\)	\(N = \underline{\quad}\)
임의의 \(\varepsilon > 0\)	\(n > \underline{\quad(3)\quad}\)	\(N = \underline{\qquad}\)

확인 2. 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 마지막 행의 \(N\)을 “\(\varepsilon\)으로 만든 식”

하나로 적을 수 있는지 확인해 보자.

답

(1) \(100\) (2) \(500\) (\(0.002 = \frac{1}{500}\)) (3) \(\frac{1}{\varepsilon}\) —

\(\frac1n < \varepsilon\)의 양변에 양수 \(\frac{n}{\varepsilon}\)을 곱하면(근거 ③)

\(\frac{1}{\varepsilon} < n\)이다. 따라서 \(N\)은 “\(\frac{1}{\varepsilon}\) 이상인 자연수”면

된다. 그런 자연수가 실제로 있는지는 따로 근거가 필요하고, 그것이 §1.5의 아르키메데스

성질이다. 남은 두 칸은 둘째 행 \(N = 100\), 셋째 행 \(N = 500\)이다(둘 다 더 큰 자연수를 적어도

된다). 검산하면 \(n > 100\)일 때 \(\frac1n \le \frac{1}{101} < 0.01\)이고, \(n > 500\)일 때

\(\frac1n \le \frac{1}{501} < 0.002\)이다. 어느 행에서도 \(N\)은 하나만 찾으면 되었다.

같은 표를 \(e_n\)과 \(L = 0\)에 대해 만들면 \(\varepsilon = 0.5\)인 행에서 문턱 칸이 비어 버린다 — 어떤 \(N\)을 적어도 그보다 큰 홀수 \(n\)에서 \(|e_n - 0| = 1\)이기 때문이다. 오차 하나에서 문턱을 못 대면 수렴이 아니다.

확인 3. 지금까지의 관찰을 한 문장으로 모아 보자. “\((a_n)\)이 \(L\)로 수렴한다”는

것은, \(\underline{\qquad}\) 오차 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\underline{\qquad}\) 문턱 \(N\)이

있어서, \(n > N\)인 \(\underline{\qquad}\) \(n\)에 대해 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이라는 뜻이다.

답

“모든 오차 \(\varepsilon > 0\)에 대해 어떤 문턱 \(N\)이 있어서, \(n > N\)인

모든 \(n\)에 대해 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이다.” 양화사가

\(\forall, \exists, \forall\) 세 개, 이 순서로 붙는다.

이 관찰에 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일(오차마다 문턱 찾기)을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

수열 — 정의역이 \(\mathbb{N}\)인 함수 [백지 암기 대상]

수열(sequence)은 정의역이 \(\mathbb{N}\)인 함수 \(a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\)이다.

\(a(n)\)을 \(a_n\)으로 쓰고, 수열 전체를 \((a_n)\)으로 표기한다.

\(\frac11, \frac12, \frac13, \dots\)은 함수 \(n \mapsto \frac1n\)이다 — 9부에서 세운 함수 개념(40주차 정의 40.1)이 그대로 무대가 된다. \((a_n)\)은 “수열 에이 엔”으로 읽으며 함수 전체를, \(a_n\)은 항 하나를 가리킨다.

정의 45.1 — 수렴 (convergence) [백지 암기 대상]

수열 \((a_n)\)이 실수 \(L\)로 수렴한다는 것은 다음이 성립한다는 뜻이다.

\[ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \big(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon\big) \]

이때 \(L\)을 \((a_n)\)의 극한(limit)이라 하고 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = L\)

또는 \(a_n \to L\)로 쓴다. 어떤 실수로도 수렴하지 않으면 \((a_n)\)은 발산한다(diverges)고

한다.

읽는 법 — \(a_n \to L\)은 “에이 엔이 엘로 수렴한다”, \(\lim_{n\to\infty} a_n = L\)은 “엔이 무한대로 갈 때 에이 엔의 극한은 엘”로 읽는다. 17주차 문제 11의 보조정리(부등호를 \(<\)로 바꿔도 같은 논증이 그대로 작동함을 18주차 문제 11의 복기에서 확인했다)에 의해

\[ |a_n - L| < \varepsilon \iff L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon \iff a_n \in (L - \varepsilon,\ L + \varepsilon) \]

이므로, 거리 조건은 구간 조건으로 바꿔 읽을 수 있다(18주차 문제 11이 \(L = 3\), \(\varepsilon = 2\)인 사례다).

두 역할로 읽기. 정의는 두 역할이 번갈아 수행하는 절차로 읽을 수 있다. 한쪽은 오차 한계 \(\varepsilon > 0\)을 아무리 작게 정해 내밀고(\(\forall \varepsilon\)), 다른 쪽은 그 \(\varepsilon\)을 보고 문턱 \(N\)을 하나 제시하며(\(\exists N\)), 문턱을 넘은 모든 항이 오차 안에 들어가는지를 확인한다(\(\forall n > N\)). 어떤 \(\varepsilon\)에 대해서도 \(N\)을 제시할 수 있으면 수렴이고, \(N\)을 제시할 수 없는 \(\varepsilon\)이 하나라도 있으면 수렴이 아니다.

3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

조각	하는 일	증명에서의 역할
\(\forall \varepsilon > 0\)	오차 한계를 상대가 정한다	첫 줄 — “\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자”
\(\exists N \in \mathbb{N}\)	\(\varepsilon\)을 보고 문턱을 제시한다	\(\varepsilon\)의 식으로 \(N\)을 제시하고 존재 근거를 댄다
\(\forall n,\ n > N \Rightarrow\)	문턱 뒤 전부를 요구한다	항 하나가 아니라 꼬리 전체 — “\(n > N\)이라 하자”
\(\lvert a_n - L \rvert < \varepsilon\)	거리를 재는 조건	부등식 사슬을 만들어 끝을 \(\varepsilon\)에 맞춘다

조각 삭제 실험 ①. 셋째 조각의 “모든 \(n > N\)”을 “어떤 \(n > N\)”으로 바꾸면 §1.1의 \(e_n\)이 통과한다 — 어떤 \(\varepsilon\)과 \(N\)에 대해서도 \(N\)보다 큰 짝수 \(n\)에서 \(\frac1n < \varepsilon\)이므로 \(e_n \to 0\)이 참이 되고, \(N\)보다 큰 홀수 \(n\)에서 \(|e_n - 1| = 0\)이므로 \(e_n \to 1\)도 참이 된다.

확인 4. 조각 삭제 실험 ①에서 정확히 무엇이 무너지는가?

답

극한의 유일성이 무너진다. 한 수열이 0으로도 1로도 수렴하면 “\((a_n)\)의 극한”이라는 말과

\(\lim\) 표기가 대상을 지정하지 못한다. 표기가 정당하려면 극한이 많아야 하나여야 하고, 그것이

문제 11에서 증명할 명제다.

조각 삭제 실험 ②. 첫째 조각 \(\forall \varepsilon > 0\)을 \(\exists \varepsilon > 0\)으로 바꾸면, \((-1)^n\)과 \(L = 0\)이 \(\varepsilon = 2\), \(N = 1\)로 통과한다. 같은 방식으로 \((-1)^n\)은 \(L = 5\)로도 \(L = -100\)으로도 “수렴”한다.

확인 5. 조각 삭제 실험 ②가 보여 주는 것을 한 문장으로 적고, 이 붕괴가 1주차의

어떤 오류와 같은 꼴인지 생각해 보자.

답

\(\varepsilon\)을 증명하는 쪽이 고르면 “임의의 오차”라는 요구가 “내게 편한 오차 하나”로

약해져, 유계인 수열이면 아무 수로나 수렴하게 된다. 1주차에서 “모든 \(n\)에 대해 참”을 $n = 1,

2, 3\(으로 확인하고 끝낸 오류와 같은 꼴 — \)\forall\(를 \)\exists$로 바꿔친 것이다. 문제 18의

답안에 이 바꿔치기가 그대로 나타나 있다.

4 양화사의 순서 — \(N\)은 ε을 보고 정한다

정의에서 \(\exists N\)은 \(\forall \varepsilon\) 뒤에 있다. 10주차에서 세운 순서 감각대로, 뒤에 오는 존재 대상은 앞의 것에 의존해도 된다.

문장	뜻	\(a_n = \frac1n\)에서
\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n > N,\ \lvert a_n \rvert < \varepsilon\)	오차마다 문턱이 따로 있어도 된다	참 (\(\varepsilon = 0.01\)이면 \(N = 100\))
\(\exists N,\ \forall \varepsilon > 0,\ \forall n > N,\ \lvert a_n \rvert < \varepsilon\)	문턱 하나가 모든 오차를 감당한다	거짓

확인 6. 둘째 문장이 \(a_n = \frac1n\)에서 거짓인 이유를 적어 보자.

어떤 수열이라면 둘째 문장이 참이 되는가?

답

\(N\)을 무엇으로 잡아도 \(a_{N+1} = \frac{1}{N+1} > 0\)이므로, \(\varepsilon = \frac{1}{N+1}\)을

가져오면 조건이 깨진다. 둘째 문장이 참이 되려면 어느 지점 뒤 모든 항이 정확히 0이어야 한다 —

훨씬 강한 조건이다. 따라서 \(N\)이 \(\varepsilon\)의 식이 되는 것은 허용이 아니라

정상이다. 문제 16에서는 \(N\)이 \(\varepsilon\)의 제곱과 얽힌 식으로 나온다.

5 증명 서식과 문턱의 존재 근거

백지 암기 대상

\(\varepsilon\)-N 증명의 네 걸음

① \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자.

② \(N = (\varepsilon\text{으로 만든 식})\)인 자연수 \(N\)을 잡자. (존재 근거를 밝힌다.)

③ \(n > N\)이라 하자.

④ 그러면 \(|a_n - L| = (\text{계산}) < \varepsilon\)이다. 따라서 정의 45.1에 의해 \(a_n \to L\)이다.

②에서 “그런 자연수가 있다”는 것 자체가 근거를 요구한다.

이번 주에 정식으로 채택하는 사실 — 아르키메데스 성질 (Archimedean property)

임의의 실수 \(x > 0\)에 대해 \(\dfrac{1}{N} < x\)인 자연수 \(N\)이 존재한다. 28주차 문제 16에서

증명 없이 인정하고 썼던 사실이다. 완비성 같은 실수의 더 깊은 성질에서 유도할 수 있으나 이

과정에서는 유도하지 않고 채택하며, 근거 ④로 쓴다.

확인 7. “\(N = \frac{1}{\varepsilon}\)으로 잡자”라고만 쓰면 무엇이 빠지는가?

답

그 수가 자연수라는 보장이 없다 — \(\varepsilon = 0.003\)이면 $\frac{1}{\varepsilon} =

333.\overline{3}\(이다. 정의 45.1은 \)N \in \mathbb{N}$을 요구하므로

“\(\frac{1}{\varepsilon}\)보다 큰 자연수가 존재한다”는 근거가 반드시 필요하고, 아르키메데스

성질이 정확히 그것을 준다.

6 연습장과 본문 — 역산은 발견이고 증명이 아니다

②의 “\(\varepsilon\)으로 만든 식”은 저절로 나오지 않는다. 연습장에서 목표 \(|a_n - L| < \varepsilon\)을 \(n\)에 대해 거꾸로 풀어 \(N\)을 발견하고, 본문에서는 그 \(N\)을 “잡자”로 선언한 뒤 순방향으로 검증한다.

확인 8. 16주차에서 세운 “결론에서 출발하지 않는다”는 규율과 위의 절차는

모순인가? 한 문장으로 정리해 보자.

답

모순이 아니다. 역산은 어떤 \(N\)을 쓸지 찾는 탐색이고, 본문은 찾은 \(N\)을 가정에서 출발해

검증하는 순방향 논증이다. 둘을 섞어 적으면 결론에서 출발한 증명이 되므로, 역산은

연습장에 남기고 본문에는 결과만 선언한다. 25주차 문제 19에서 무연근을 다룰 때 세운 분리와

같은 규율이다.

7 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 45.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주가 채택하는 사실과 이번 주 증명이 실제로 인용하는 기존 항목이 명시될 뿐이다.

근거	내용	이번 주에는 이렇게 쓴다
① 정의	지금까지의 정의들 + 정의 45.1(수렴)	“\(a_n \to L\)”과 \(\forall\exists\forall\) 문장 사이를 양방향으로 번역한다
② 닫힘성	양수의 합\(\cdot\)곱\(\cdot\)역수는 양수 ((W4)(W5))	\(\frac{\varepsilon}{5} > 0\), \(\varepsilon^2 > 0\)을 설명 없이 쓴다
③ 등식의 성질	대입\(\cdot\)전개\(\cdot\)묶기 + 부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)(16주차)	부등식을 (W6)으로 잇고, 양변에 양수를 곱한다((W3))
④ 이미 증명한 명제\(\cdot\)채택한 사실	삼각부등식(17주차 문제 12), 절댓값 보조정리(17주차 문제 11), 절댓값의 기본 성질 — \(\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert\)(17주차 문제 4)와 \(\lvert x \rvert \ge 0\)(17주차 문제 3, 여기에 절댓값의 케이스 정의를 더하면 \(x \neq 0\)일 때 \(\lvert x \rvert > 0\)), \(0 \le a < b \Rightarrow a^2 < b^2\)(16주차 문제 11), 16주차 §1.2의 인정 사실(제곱근), 아르키메데스 성질(이번 주 채택)	문턱의 존재는 아르키메데스로, 두 거리의 결합은 삼각부등식으로 정당화한다. 거리를 뒤집어 적을 때는 \(\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert\)를 인용한다

목록 밖의 것은 근거가 되지 않는다. “\(n\)이 커지면 작아지니까”는 목록에 없다 — 같은 내용을 “\(n > N\)이면 \(\frac1n < \frac1N\)”이라는 부등식(근거 ③)으로 바꿔 적어야 근거가 된다.

확인 9. 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) “\(\varepsilon > 0\)이므로 \(\frac{\varepsilon}{2} > 0\)이다”

(나) “\(\frac1N < \varepsilon\)인 자연수 \(N\)이 존재한다”

(다) “\(n\)을 무한히 크게 하면 \(\frac1n\)은 0이 된다”

답

(가) 허용 — 근거 ②((W5)). (나) 허용 — 근거 ④, 아르키메데스 성질.

(다) 불허. “무한히 크게 한다”는 실행할 수 없는 지시이고, \(\frac1n = 0\)인 자연수는

없다. 같은 취지를 “임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\frac1n < \varepsilon\)인 \(n\)이

존재한다”로 적으면 근거 ④가 되어 허용된다. 내용이 아니라 꼴이 자격을 정한다.

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 45.1은 §1.3의 조각별 역할과 함께 외운다. 순서를 잊어도 역할에서 재구성할 수 있다.