# 45주차 — 수열 극한의 ε-N 정의

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 수렴한다는 것은, 어떤 오차 한계 $\varepsilon$이 주어져도 그 뒤의 항이 **전부** 오차 안에 들어가는 문턱 $N$을 댈 수 있다는 뜻이다.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 45주차, 10부(해석학 입문)의 첫 주. 10주차 문제 19에서 기호 구조만 해독했던 문장에 뜻을 붙이고, 11주차 문제 15의 층별 부정과 17주차 문제 12의 삼각부등식을 증명 안에서 실제로 쓴다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 13장 전반부. 병행자 참고용이며, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.
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## 이번 주 목표

1. 수렴의 $\varepsilon$-N 정의를 백지에 수식으로 쓰고, 세 양화사가 각각 무엇을 요구하는지 조각별로 말할 수 있다.
1. $\lim \frac{1}{n} = 0$을 비롯한 기본 극한을 네 걸음 서식으로 증명한다.
1. 역산(연습장)과 증명 본문(순방향)을 분리하는 규율을 익힌다.
1. 극한의 유일성과 $(-1)^n$의 발산을 증명한다 — 귀류법(21주차)과 삼각부등식(17주차)의 결합.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (44주차까지의 복습)

1. 수열이란 정의역이 $\underline{\quad}$인 함수다 (40주차 정의 40.1).
1. $|x - 3| < 2 \iff \underline{\qquad}$ (18주차 문제 11).
1. 아르키메데스 성질을 진술하시오 (28주차 문제 16에서 인정하고 쓴 사실이다).
1. 3주차 문제 15의 $\frac{n}{n+1}$을 두고 "1에 한없이 가까워지지만 1은 아니다"라고 관찰했다. 이 관찰을 참$\cdot$거짓을 판정할 수 있는 문장으로 다시 쓰시오.

:::{admonition} 답
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**1.** $\mathbb{N}$ — 수열은 정의역이 $\mathbb{N}$인 함수 $a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$이다

(40주차 정의 40.1).

**2.** $1 < x < 5$ — 18주차 문제 11에서 양방향을 증명했다. $|x - 3|$은 $x$와 3 사이의

거리이므로, 그 거리가 2 미만인 점을 모으면 구간 $(1, 5)$가 된다.

**3.** 임의의 실수 $x > 0$에 대해 $\frac1n < x$인 자연수 $n$이 존재한다. 28주차 문제 16에서

증명 없이 인정하고 썼고, 이번 주 §1.5에서 정식으로 채택한다.

**4.** 바로 아래의 유형 분석 절이 답을 대신한다 — 자신의 답이 세 유형 중 어느 것인지 대조한

뒤, §1.2의 확인 3에서 판정 가능한 문장을 완성한다.
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### 자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 움직임의 서술.** "$n$이 커질수록 1에 다가간다"라고 적는다. 관찰은

정확하다. 빠진 것은 판정 절차다 — "다가간다"에는 확인할 부등식이 하나도 없어서 참인지 거짓인지 손으로 검사할 수 없다. 3주차에서 "느낌이 아니라 정의로 판정한다"를 세운 그 자리로 되돌아온 셈이다.

- **유형 2 — 차를 계산하고 멈춤.** $1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$까지 정확히

계산한 뒤 "이것이 0으로 간다"로 끝낸다. 이번 주 증명의 핵심 재료를 이미 손에 쥐었다. 남은 문제는 "0으로 간다"가 처음의 "1에 다가간다"와 같은 말이라는 점이다 — 설명해야 할 말로 설명을 마쳤으므로 정의가 순환한다.

- **유형 3 — 임의로 작게.** "차이를 원하는 만큼 작게 만들 수 있다"라고 적는다.

정의에 가장 가깝다 — "원하는 만큼"이 곧 $\forall \varepsilon$이다. 빠진 것은 범위다. 차이를 작게 만드는 항이 **하나** 있으면 되는지, 어느 지점 뒤의 **모든** 항이 그래야 하는지가 정해져 있지 않다. §1.1의 실패 사례 ②가 그 차이를 보인다.

## 개념 — 수렴을 판정 가능한 문장으로

### 1 "한없이 가까워진다"로 증명을 시도하면 어디서 막히는가

고등학교에서 쓰던 말만으로 이번 주의 대표 명제를 밀어붙여 보자.

:::{admonition} 시도 — 말 정의로 밀어붙이기
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명제: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. "$n$이 커질수록 $\frac1n$은

작아지고, 0에 한없이 가까워진다. 따라서 극한은 0이다."
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여기서 멈춘다. 이 문장에는 검사할 부등식이 하나도 없다 — 무엇을 계산하면 참이 확정되는지를 말해 주는 조각이 없다. 이 말투가 무엇을 놓치는지는 두 수열이 보인다.

**실패 사례 ① — "작아진다"는 목표값을 지정하지 못한다.** $d_n = 1 + \frac1n$은 $n$이 커질수록 계속 작아지지만 1보다 작아지지 않는다. "작아진다"와 "특정한 수에 수렴한다"는 별개의 주장이다.

**실패 사례 ② — "가까워지는 항이 있다"는 부족하다.** 수열

$$
\begin{aligned}e_n = \begin{cases} \dfrac{1}{n} & (n \text{이 짝수}) \\[4pt] 1 & (n \text{이 홀수}) \end{cases}\end{aligned}
$$

의 항을 나열하면 $1, \frac12, 1, \frac14, 1, \frac16, \dots$이다. 짝수 항만 보면 0에 원하는 만큼 가까운 항이 무한히 많고, 홀수 항은 언제까지나 1이다. "가까워지는 항이 얼마든지 있다"를 수렴의 뜻으로 삼으면 이 수열의 극한이 0이면서 동시에 1이 된다. 극한이 둘이 되면 $\lim$이라는 표기 자체가 대상을 지정하지 못한다.

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**확인 1.** 실패 사례 ②를 막으려면 "$L$에 가까운 항이 존재한다"를 어떤 문장으로

바꿔야 하는가? "어느 지점 뒤의 $\underline{\qquad}$ 항이 $L$에 가깝다" 꼴로 짐작해 보자.
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:::{admonition} 답
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"어느 지점 뒤의 **모든** 항이 $L$에 가깝다." $e_n$은 어느 지점을 잡아도 그 뒤에 1인 항이

남으므로 이 조건을 통과하지 못한다. 실패 사례 ①은 "가깝다"의 기준이 되는 $L$과 허용 오차를

명시하면 막힌다. 정의에 들어갈 조각이 세 개로 좁혀졌다 — 목표값 $L$, 허용 오차, "어느 지점

뒤 전부".
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### 2 오차와 문턱 — 표를 채워 정의 만들기

허용 오차에 이름을 붙여 $\varepsilon$이라 쓴다($\varepsilon$은 그리스 문자 엡실론이며, 이 교재에서 언제나 양수인 오차 한계를 가리킨다). $a_n = \frac1n$, $L = 0$에 대해 오차마다 "이 뒤로는 전부 오차 안"이 되는 문턱 $N$을 찾아보자. 조건은 $\left|\frac1n - 0\right| = \frac1n < \varepsilon$이다.

| **오차 한계 $\varepsilon$** | **$\frac1n < \varepsilon$을 $n$에 대해 풀면** | **문턱 $N$의 한 예** |
|---|---|---|
| $0.1$ | $n > 10$ | $N = 10$ |
| $0.01$ | $n > \underline{\quad(1)\quad}$ | $N = \underline{\quad}$ |
| $0.002$ | $n > \underline{\quad(2)\quad}$ | $N = \underline{\quad}$ |
| 임의의 $\varepsilon > 0$ | $n > \underline{\quad(3)\quad}$ | $N = \underline{\qquad}$ |

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**확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 마지막 행의 $N$을 "$\varepsilon$으로 만든 식"

하나로 적을 수 있는지 확인해 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) $100$  (2) $500$ ($0.002 = \frac{1}{500}$)  (3) $\frac{1}{\varepsilon}$ —

$\frac1n < \varepsilon$의 양변에 양수 $\frac{n}{\varepsilon}$을 곱하면(근거 ③)

$\frac{1}{\varepsilon} < n$이다. 따라서 $N$은 "$\frac{1}{\varepsilon}$ 이상인 자연수"면

된다. 그런 자연수가 실제로 있는지는 따로 근거가 필요하고, 그것이 §1.5의 아르키메데스

성질이다. 남은 두 칸은 둘째 행 $N = 100$, 셋째 행 $N = 500$이다(둘 다 더 큰 자연수를 적어도

된다). 검산하면 $n > 100$일 때 $\frac1n \le \frac{1}{101} < 0.01$이고, $n > 500$일 때

$\frac1n \le \frac{1}{501} < 0.002$이다. 어느 행에서도 $N$은 **하나만** 찾으면 되었다.
:::

같은 표를 $e_n$과 $L = 0$에 대해 만들면 $\varepsilon = 0.5$인 행에서 문턱 칸이 비어 버린다 — 어떤 $N$을 적어도 그보다 큰 홀수 $n$에서 $|e_n - 0| = 1$이기 때문이다. **오차 하나에서 문턱을 못 대면 수렴이 아니다.**

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**확인 3.** 지금까지의 관찰을 한 문장으로 모아 보자. "$(a_n)$이 $L$로 수렴한다"는

것은, $\underline{\qquad}$ 오차 $\varepsilon > 0$에 대해 $\underline{\qquad}$ 문턱 $N$이

있어서, $n > N$인 $\underline{\qquad}$ $n$에 대해 $|a_n - L| < \varepsilon$이라는 뜻이다.
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:::{admonition} 답
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"**모든** 오차 $\varepsilon > 0$에 대해 **어떤** 문턱 $N$이 있어서, $n > N$인

**모든** $n$에 대해 $|a_n - L| < \varepsilon$이다." 양화사가

$\forall, \exists, \forall$ 세 개, 이 순서로 붙는다.
:::

이 관찰에 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일(오차마다 문턱 찾기)을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

### 수열 — 정의역이 $\mathbb{N}$인 함수 [백지 암기 대상]

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**수열**(sequence)은 정의역이 $\mathbb{N}$인 함수 $a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$이다.

$a(n)$을 $a_n$으로 쓰고, 수열 전체를 $(a_n)$으로 표기한다.
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$\frac11, \frac12, \frac13, \dots$은 함수 $n \mapsto \frac1n$이다 — 9부에서 세운 함수 개념(40주차 정의 40.1)이 그대로 무대가 된다. $(a_n)$은 "수열 에이 엔"으로 읽으며 함수 전체를, $a_n$은 항 하나를 가리킨다.

### 정의 45.1 — 수렴 (convergence) [백지 암기 대상]

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수열 $(a_n)$이 실수 $L$로 **수렴한다**는 것은 다음이 성립한다는 뜻이다.

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \big(n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon\big)
$$

이때 $L$을 $(a_n)$의 **극한**(limit)이라 하고 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = L$

또는 $a_n \to L$로 쓴다. 어떤 실수로도 수렴하지 않으면 $(a_n)$은 **발산한다**(diverges)고

한다.
:::

읽는 법 — $a_n \to L$은 "에이 엔이 엘로 수렴한다", $\lim_{n\to\infty} a_n = L$은 "엔이 무한대로 갈 때 에이 엔의 극한은 엘"로 읽는다. 17주차 문제 11의 보조정리(부등호를 $<$로 바꿔도 같은 논증이 그대로 작동함을 18주차 문제 11의 복기에서 확인했다)에 의해

$$
|a_n - L| < \varepsilon \iff L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon \iff a_n \in (L - \varepsilon,\ L + \varepsilon)
$$

이므로, 거리 조건은 구간 조건으로 바꿔 읽을 수 있다(18주차 문제 11이 $L = 3$, $\varepsilon = 2$인 사례다).

**두 역할로 읽기.** 정의는 두 역할이 번갈아 수행하는 절차로 읽을 수 있다. 한쪽은 오차 한계 $\varepsilon > 0$을 아무리 작게 정해 내밀고($\forall \varepsilon$), 다른 쪽은 그 $\varepsilon$을 보고 문턱 $N$을 하나 제시하며($\exists N$), 문턱을 넘은 모든 항이 오차 안에 들어가는지를 확인한다($\forall n > N$). 어떤 $\varepsilon$에 대해서도 $N$을 제시할 수 있으면 수렴이고, $N$을 제시할 수 없는 $\varepsilon$이 하나라도 있으면 수렴이 아니다.

### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| $\forall \varepsilon > 0$ | 오차 한계를 상대가 정한다 | 첫 줄 — "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자" |
| $\exists N \in \mathbb{N}$ | $\varepsilon$을 보고 문턱을 제시한다 | $\varepsilon$의 식으로 $N$을 제시하고 존재 근거를 댄다 |
| $\forall n,\ n > N \Rightarrow$ | 문턱 뒤 전부를 요구한다 | 항 하나가 아니라 꼬리 전체 — "$n > N$이라 하자" |
| $\lvert a_n - L \rvert < \varepsilon$ | 거리를 재는 조건 | 부등식 사슬을 만들어 끝을 $\varepsilon$에 맞춘다 |

**조각 삭제 실험 ①.** 셋째 조각의 "모든 $n > N$"을 "어떤 $n > N$"으로 바꾸면 §1.1의 $e_n$이 통과한다 — 어떤 $\varepsilon$과 $N$에 대해서도 $N$보다 큰 짝수 $n$에서 $\frac1n < \varepsilon$이므로 $e_n \to 0$이 참이 되고, $N$보다 큰 홀수 $n$에서 $|e_n - 1| = 0$이므로 $e_n \to 1$도 참이 된다.

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**확인 4.** 조각 삭제 실험 ①에서 정확히 무엇이 무너지는가?
:::

:::{admonition} 답
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극한의 **유일성**이 무너진다. 한 수열이 0으로도 1로도 수렴하면 "$(a_n)$의 극한"이라는 말과

$\lim$ 표기가 대상을 지정하지 못한다. 표기가 정당하려면 극한이 많아야 하나여야 하고, 그것이

문제 11에서 증명할 명제다.
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**조각 삭제 실험 ②.** 첫째 조각 $\forall \varepsilon > 0$을 $\exists \varepsilon > 0$으로 바꾸면, $(-1)^n$과 $L = 0$이 $\varepsilon = 2$, $N = 1$로 통과한다. 같은 방식으로 $(-1)^n$은 $L = 5$로도 $L = -100$으로도 "수렴"한다.

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**확인 5.** 조각 삭제 실험 ②가 보여 주는 것을 한 문장으로 적고, 이 붕괴가 1주차의

어떤 오류와 같은 꼴인지 생각해 보자.
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:::{admonition} 답
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$\varepsilon$을 증명하는 쪽이 고르면 "임의의 오차"라는 요구가 "내게 편한 오차 하나"로

약해져, 유계인 수열이면 아무 수로나 수렴하게 된다. 1주차에서 "모든 $n$에 대해 참"을 $n = 1,

2, 3$으로 확인하고 끝낸 오류와 같은 꼴 — $\forall$를 $\exists$로 바꿔친 것이다. 문제 18의

답안에 이 바꿔치기가 그대로 나타나 있다.
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### 4 양화사의 순서 — $N$은 ε을 보고 정한다

정의에서 $\exists N$은 $\forall \varepsilon$ 뒤에 있다. 10주차에서 세운 순서 감각대로, 뒤에 오는 존재 대상은 앞의 것에 의존해도 된다.

| **문장** | **뜻** | **$a_n = \frac1n$에서** |
|---|---|---|
| $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n > N,\ \lvert a_n \rvert < \varepsilon$ | 오차마다 문턱이 따로 있어도 된다 | 참 ($\varepsilon = 0.01$이면 $N = 100$) |
| $\exists N,\ \forall \varepsilon > 0,\ \forall n > N,\ \lvert a_n \rvert < \varepsilon$ | 문턱 하나가 모든 오차를 감당한다 | 거짓 |

:::{container} quotebox
**확인 6.** 둘째 문장이 $a_n = \frac1n$에서 거짓인 이유를 적어 보자.

어떤 수열이라면 둘째 문장이 참이 되는가?
:::

:::{admonition} 답
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$N$을 무엇으로 잡아도 $a_{N+1} = \frac{1}{N+1} > 0$이므로, $\varepsilon = \frac{1}{N+1}$을

가져오면 조건이 깨진다. 둘째 문장이 참이 되려면 어느 지점 뒤 모든 항이 정확히 0이어야 한다 —

훨씬 강한 조건이다. 따라서 $N$이 $\varepsilon$의 식이 되는 것은 허용이 아니라

**정상**이다. 문제 16에서는 $N$이 $\varepsilon$의 제곱과 얽힌 식으로 나온다.
:::

### 5 증명 서식과 문턱의 존재 근거

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**$\varepsilon$-N 증명의 네 걸음**

① $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자.

② $N = (\varepsilon\text{으로 만든 식})$인 자연수 $N$을 잡자. (존재 근거를 밝힌다.)

③ $n > N$이라 하자.

④ 그러면 $|a_n - L| = (\text{계산}) < \varepsilon$이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $a_n \to L$이다.
:::

②에서 "그런 자연수가 있다"는 것 자체가 근거를 요구한다.

:::{admonition} 이번 주에 정식으로 채택하는 사실 — 아르키메데스 성질 (Archimedean property)
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임의의 실수 $x > 0$에 대해 $\dfrac{1}{N} < x$인 자연수 $N$이 존재한다. 28주차 문제 16에서

증명 없이 인정하고 썼던 사실이다. 완비성 같은 실수의 더 깊은 성질에서 유도할 수 있으나 이

과정에서는 유도하지 않고 채택하며, 근거 ④로 쓴다.
:::

:::{container} quotebox
**확인 7.** "$N = \frac{1}{\varepsilon}$으로 잡자"라고만 쓰면 무엇이 빠지는가?
:::

:::{admonition} 답
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그 수가 **자연수라는 보장이 없다** — $\varepsilon = 0.003$이면 $\frac{1}{\varepsilon} =

333.\overline{3}$이다. 정의 45.1은 $N \in \mathbb{N}$을 요구하므로

"$\frac{1}{\varepsilon}$보다 큰 자연수가 존재한다"는 근거가 반드시 필요하고, 아르키메데스

성질이 정확히 그것을 준다.
:::

### 6 연습장과 본문 — 역산은 발견이고 증명이 아니다

②의 "$\varepsilon$으로 만든 식"은 저절로 나오지 않는다. **연습장**에서 목표 $|a_n - L| < \varepsilon$을 $n$에 대해 거꾸로 풀어 $N$을 발견하고, **본문**에서는 그 $N$을 "잡자"로 선언한 뒤 순방향으로 검증한다.

:::{container} quotebox
**확인 8.** 16주차에서 세운 "결론에서 출발하지 않는다"는 규율과 위의 절차는

모순인가? 한 문장으로 정리해 보자.
:::

:::{admonition} 답
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모순이 아니다. 역산은 어떤 $N$을 쓸지 찾는 **탐색**이고, 본문은 찾은 $N$을 가정에서 출발해

검증하는 **순방향 논증**이다. 둘을 섞어 적으면 결론에서 출발한 증명이 되므로, 역산은

연습장에 남기고 본문에는 결과만 선언한다. 25주차 문제 19에서 무연근을 다룰 때 세운 분리와

같은 규율이다.
:::

### 7 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 45.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주가 채택하는 사실과 이번 주 증명이 실제로 인용하는 기존 항목이 명시될 뿐이다.

| **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 지금까지의 정의들 + **정의 45.1(수렴)** | "$a_n \to L$"과 $\forall\exists\forall$ 문장 사이를 양방향으로 번역한다 |
| ② 닫힘성 | 양수의 합$\cdot$곱$\cdot$역수는 양수 ((W4)(W5)) | $\frac{\varepsilon}{5} > 0$, $\varepsilon^2 > 0$을 설명 없이 쓴다 |
| ③ 등식의 성질 | 대입$\cdot$전개$\cdot$묶기 + 부등식의 기본 성질 (W1)~(W6)(16주차) | 부등식을 (W6)으로 잇고, 양변에 양수를 곱한다((W3)) |
| ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 | 삼각부등식(17주차 문제 12), 절댓값 보조정리(17주차 문제 11), 절댓값의 기본 성질 — $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$(17주차 문제 4)와 $\lvert x \rvert \ge 0$(17주차 문제 3, 여기에 절댓값의 케이스 정의를 더하면 $x \neq 0$일 때 $\lvert x \rvert > 0$), $0 \le a < b \Rightarrow a^2 < b^2$(16주차 문제 11), 16주차 §1.2의 인정 사실(제곱근), **아르키메데스 성질(이번 주 채택)** | 문턱의 존재는 아르키메데스로, 두 거리의 결합은 삼각부등식으로 정당화한다. 거리를 뒤집어 적을 때는 $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$를 인용한다 |

목록 밖의 것은 근거가 되지 않는다. "$n$이 커지면 작아지니까"는 목록에 없다 — 같은 내용을 "$n > N$이면 $\frac1n < \frac1N$"이라는 부등식(근거 ③)으로 바꿔 적어야 근거가 된다.

:::{container} quotebox
**확인 9.** 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) "$\varepsilon > 0$이므로 $\frac{\varepsilon}{2} > 0$이다"

(나) "$\frac1N < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다"

(다) "$n$을 무한히 크게 하면 $\frac1n$은 0이 된다"
:::

:::{admonition} 답
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(가) 허용 — 근거 ②((W5)).  (나) 허용 — 근거 ④, 아르키메데스 성질.

(다) 불허. "무한히 크게 한다"는 실행할 수 없는 지시이고, $\frac1n = 0$인 자연수는

없다. 같은 취지를 "임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\frac1n < \varepsilon$인 $n$이

존재한다"로 적으면 근거 ④가 되어 허용된다. 내용이 아니라 꼴이 자격을 정한다.
:::

정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 45.1은 §1.3의 조각별 역할과 함께 외운다. 순서를 잊어도 역할에서 재구성할 수 있다.