5주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

5주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 연산 계산과 첫 증명#

완성된 풀이를 먼저 보이지 않는다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

예제 2.1 — 연산 종합#

문제. \(U = \{1, 2, \dots, 8\}\), \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\)일 때 \((A \cup B)^c\)와 \(A^c \cap B^c\)를 각각 구하시오.

설계 — 계산 전에 정하는 것. 연산이 겹쳐 있으므로 순서부터 정한다. 기호를 정의로 번역하면 순서가 저절로 나온다.

구할 것

번역 (정의 5.1–5.2)

계산 순서

\((A \cup B)^c\)

“\(A\) 또는 \(B\)에 속하는 수들” — 그 바깥

① \(A \cup B\) ② 그 결과를 \(U\)에서 걷어낸다

\(A^c \cap B^c\)

“\(A\) 바깥”과 “\(B\) 바깥”의 공통

① \(A^c\), \(B^c\) 각각 ② 공통 원소를 남긴다

확인 9. 첫 단계: \(A \cup B = \underline{\quad}\).

기준은 하나다 — \(U\)의 원소 1부터 8까지 각각에 “\(A\) 또는 \(B\)에 속하는가”를 묻는다.

답

\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

3과 4는 양쪽에 다 속하지만 — 포함적 “또는”(확인 4) — 자격은 충분하고,

집합은 중복을 세지 않으므로 한 번씩만 적는다. 탈락은 7, 8뿐이다.

확인 10. 둘째 단계: \((A \cup B)^c = \underline{\quad}\).

답

\((A \cup B)^c = \{7, 8\}\). \(U\)에서 방금 목록 \(\{1, \dots, 6\}\)을 걷어낸 나머지다.

확인 11. 이제 오른쪽 식. \(A^c = \underline{\quad}\), \(B^c = \underline{\quad}\),

그리고 둘의 공통 원소만 남기면 \(A^c \cap B^c = \underline{\quad}\).

답

\(A^c = \{5, 6, 7, 8\}\), \(B^c = \{1, 2, 7, 8\}\).

두 목록에 다 나오는 원소는 7, 8이므로 \(A^c \cap B^c = \{7, 8\}\).

두 결과가 일치한다 — §1.5에서 그림으로 관찰한 드모르간 법칙 \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)의 수치 확인이다. 관찰(그림) \(\to\) 수치 확인 \(\to\) 증명(27주차)의 세 단계 중 두 번째까지 온 것이다.

예제 2.2 — 구간의 연산#

문제. \(A = [1, 4)\), \(B = (2, 6]\)일 때 \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A - B\)를 구하시오.

이번에는 설계(끝점 판정표)만 함께 하고, 풀이는 완성본으로 본다. 수직선에 두 구간을 위아래로 그린 뒤, 등장하는 끝점 네 곳(1, 2, 4, 6)마다 “각 집합에 속하는가”를 정의의 부등식으로 판정한다. 첫 줄은 채워져 있다.

끝점

\(A = [1, 4)\)에 속하는가

\(B = (2, 6]\)에 속하는가

\(1\)

속한다 (\(1 \le 1 < 4\) 성립)

\(\underline{\quad(1)\quad}\)

\(2\)

\(\underline{\quad(2)\quad}\)

\(\underline{\quad(3)\quad}\)

\(4\)

\(\underline{\quad(4)\quad}\)

\(\underline{\quad(5)\quad}\)

\(6\)

\(\underline{\quad(6)\quad}\)

\(\underline{\quad(7)\quad}\)

확인 12. 표의 빈칸 (1)~(7)을 채워 보자. 각 칸의 근거는 부등식 대입이다(확인 8).

답

(1) 속하지 않는다 (\(2 < 1\) 거짓) (2) 속한다 (\(1 \le 2 < 4\))

(3) 속하지 않는다 (\(2 < 2\) 거짓) (4) 속하지 않는다 (\(4 < 4\) 거짓)

(5) 속한다 (\(2 < 4 \le 6\)) (6) 속하지 않는다 (\(6 < 4\) 거짓) (7) 속한다 (\(2 < 6 \le 6\)).

이 표가 완성되면 세 연산의 끝점 처리가 전부 결정된 것이다.

풀이. 수직선에 두 구간을 겹쳐 그린다.

  • \(A \cap B\): 둘 다 속하는 범위는 \(2 < x < 4\). 끝점 2는 \(B\)에서 제외되고(판정표 (3)),

4는 \(A\)에서 제외되므로(판정표 (4)) \(\to\) \((2, 4)\).

  • \(A \cup B\): 이어 붙이면 \(1 \le x \le 6\). 1의 포함은 \(A\)가 보장하고, 6의 포함은

\(B\)가 보장한다(판정표 (7)) \(\to\) \([1, 6]\).

  • \(A - B\): \(A\)에서 \(B\)에 속하는 부분을 걷어내면 \(1 \le x \le 2\). 2는 남는다 —

\(2 \notin B\)이므로(판정표 (3)) 걷어낼 이유가 없다 \(\to\) \([1, 2]\).

끝점 포함 여부는 매번 정의로 판정한다 — “이 점은 \(A\)에 속하는가? \(B\)에 속하는가?”를 각각 물으면 틀리지 않는다.

예제 2.3 — 첫 연산 증명#

명제. 임의의 집합 \(A, B\)에 대해 \(A \cap B \subseteq A\)이다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 재료는 두 가지뿐이다 — 4주차의 \(\subseteq\) 증명 틀과, §1.3의 방향 표.

확인 13. 번역표를 채워 보자.

출발점(첫 문장): “\(x \in \underline{\quad}\)라 하자.”

도착점(보일 것): \(x \in \underline{\quad}\).

그 사이를 잇는 도구: \(x \in A \cap B\)를 정의 5.1로 번역하면 어떤 문장이 되는가?

답

출발점: \(x \in A \cap B\) — \(\subseteq\)의 증명은 왼쪽 집합의 임의의 원소를

잡는 것으로 시작한다(4주차 틀). 도착점: \(x \in A\).

번역: “\(x \in A\) 그리고 \(x \in B\)”. §1.3의 방향 표대로, 가정 쪽의

“그리고”에서는 한쪽만 뽑아 쓸 수 있다 — 어느 쪽을 뽑을지는 도착점이 정한다.

완성본. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜?”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

\(x \in A \cap B\)라 하자.

\(\subseteq\)의 증명은 “왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는 것”으로 시작 (4주차 틀).

교집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in B\)이다.

연산 기호를 정의(“그리고”)로 번역.

특히 \(x \in A\)이다.

“그리고”에서 한쪽만 뽑아 쓰는 것은 언제나 허용.

따라서 \(A \cap B \subseteq A\)이다. \(\blacksquare\)

임의의 원소가 건너갔으므로 부분집합.

실전에서는 이 네 줄을 산문으로 적는다:

증명. \(x \in A \cap B\)라 하자. 교집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in B\)이다. 특히 \(x \in A\)이다. \(x\)는 \(A \cap B\)의 임의의 원소였으므로 \(A \cap B \subseteq A\)이다. \(\blacksquare\)

관찰 — 연산 증명의 뼈대#

방금 쓴 네 줄은 연산 증명 전체의 원형이다. 각 줄이 무슨 일을 했는지 짚어 보자.

확인 14. 예제 2.3의 증명에서 다음 네 걸음에 해당하는 문장을 각각 찾아 보자.

① 원소 잡기: \(\underline{\qquad}\)

② 정의 번역: \(\underline{\qquad}\)

③ 논리 조작: \(\underline{\qquad}\)

④ 역번역\(\cdot\)결론: \(\underline{\qquad}\)

답

① “\(x \in A \cap B\)라 하자.”

② “정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in B\)이다.”

③ “특히 \(x \in A\)이다.” — “그리고”에서 한쪽 뽑기.

④ “따라서 \(A \cap B \subseteq A\)이다.” — 조건 성립을 소속으로 되돌려 결론.

네 걸음이 전부다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

연산 증명의 틀 — 원소 추적

① 원소를 잡는다 (”\(x \in\) 왼쪽”이라 하자) \(\to\) ② 연산 기호를 정의로 번역한다

(“또는/그리고/아니다”) \(\to\) ③ 논리 조작을 한다 (한쪽 뽑기, 경우 나누기) \(\to\)

④ 역번역으로 목표의 소속을 선언한다

집합 연산 증명은 전부 이 패턴이다. 본격 훈련은 27주차에서 한다 — 이번 주는 예제 2.3 하나를 익히고, 문제 15\(\cdot\)16\(\cdot\)19\(\cdot\)20에서 네 번 반복한다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(6장)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 계산의 빈칸#

\(U = \mathbb{Z}\), \(E = \{2k : k \in \mathbb{Z}\}\)(짝수), \(O = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)(홀수)라 하자.

(1) \(E \cup O = \underline{\quad}\) (2) \(E \cap O = \underline{\quad}\) (3) \(E^c = \underline{\quad}\) (4) \(E\)와 \(O\)는 서로소인가? \(\underline{\quad}\)

(※ (2)(3)의 근거: 모든 정수는 짝수 아니면 홀수이고 둘 다일 수는 없다 — 지금은 이 사실을 인정하고 쓴다. 증명은 17주차(경우 나누기)에서 틀을 얻고 22주차에서 완결된다.)

훈련 2 ●●○ — 구간 연산과 근거를 함께#

\(C = [2, 7)\), \(D = (4, 9]\)라 하자. 이번에는 결과와 함께 끝점의 근거도 빈칸이다.

  • \(C \cap D\): 둘 다 속하는 범위는 \(4 < x < 7\)이다. 4가 제외되는 근거:

\(\underline{\quad(1)\quad}\). 7이 제외되는 근거: \(\underline{\quad(2)\quad}\). 따라서 \(C \cap D = \underline{\quad(3)\quad}\).

  • \(C \cup D = \underline{\quad(4)\quad}\) — 왼쪽 끝 2가 포함되는 근거: \(\underline{\quad(5)\quad}\).

  • \(C - D = \underline{\quad(6)\quad}\) — 4가 남는 근거: \(\underline{\quad(7)\quad}\).

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

명제. 임의의 집합 \(A, B\)에 대해 \(A \cap B \subseteq B\)이다. (예제 2.3의 쌍둥이)

증명의 뼈대. 원소 추적 틀의 네 걸음을 각각 문장으로 통째로 채운다.

  • ① 원소 잡기: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 정의 번역: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 논리 조작: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ④ 역번역\(\cdot\)결론: \(\underline{\quad(4)\quad}\)

(이 훈련이 문제 15의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 계산 문제에서는 원소\(\cdot\)끝점마다 자격 조건을

물은 흔적이, 증명 문제에서는 원소 추적의 네 걸음이 점수다.

끝점 판정은 반드시 부등식 대입으로 적는다(확인 8).

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. \(A = \{1,2,3,4,5\}\), \(B = \{4,5,6,7\}\), \(U = \{1,\dots,9\}\)일 때 다음을 구하시오. (a) \(A \cup B\) (b) \(A \cap B\) (c) \(A - B\) (d) \(B - A\) (e) \(A^c\) (f) \((A \cap B)^c\)

힌트

기호마다 정의로 번역한다 — \(\cup\)은 어느 한쪽이라도, \(\cap\)은 양쪽 다,

\(-\)는 왼쪽엔 있고 오른쪽엔 없고, \(^c\)는 \(U\)에서 걷어내기.

(f)는 괄호 안(\(A \cap B\))부터 계산한다.

2. 문제 1의 집합으로 \(A^c \cup B^c\)를 계산하고, (f)와 비교해 어떤 법칙이 확인되는지 쓰시오.

힌트

계산 전에 §1.5의 두 등식 중 어느 쪽이 이 상황인지 예측하고, 계산으로 검증한다.

3. \(A = \{a, b, c, d\}\), \(B = \{c, d, e\}\)일 때 \(A \cup B\), \(A \cap B\), \(A - B\), \(B - A\)를 구하시오.

힌트

원소가 문자여도 절차는 같다 — 공통 원소(\(c\), \(d\))에 먼저 표시해 두면

네 연산이 한 번에 정리된다.

4. 다음 중 서로소인 쌍을 모두 고르시오. (a) \(\{1,2\}, \{3,4\}\) (b) \(\{1,2\}, \{2,3\}\) (c) 짝수 전체, \(\{7, 9\}\) (d) \(\emptyset, \{1\}\)

힌트

서로소 판정은 “공통 원소가 하나라도 있는가”라는 질문 하나다.

(d)는 \(\emptyset \cap \{1\}\)을 정의로 계산하면 즉답이 나온다.

5. \(U = \{1, \dots, 10\}\), \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)일 때 \(A^c\)와 \((A^c)^c\)를 구하고, 후자가 \(A\)와 같은 이유를 한 줄로 쓰시오.

힌트

여집합을 두 번 취한다. “\(A\)에 없지 않다”가 무슨 말인지 스스로 물어 본다.

6. 벤 다이어그램을 두 개 그려 \(A - B\)와 \(A \cap B^c\)가 같은 영역임을 확인하시오. (색칠 그림 2개)

힌트

왼쪽 그림: \(A\)에서 \(B\)와 겹친 부분을 걷어낸 초승달 모양.

오른쪽 그림: \(B^c\)(\(B\) 바깥 전부)를 먼저 색칠한 뒤 \(A\)와의 공통 부분만 남긴다.

표준 ●●○#

7. \(A = [0, 3]\), \(B = (1, 5)\)일 때 \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A - B\), \(B - A\)를 구하시오.

힌트

수직선에 두 구간을 위아래로 그리고, 끝점 4곳(0, 1, 3, 5)마다 예제 2.2의

판정표를 만든다 — “각 집합에 속하는가”를 부등식 대입으로.

8. \(U = \mathbb{R}\)일 때 다음 여집합을 구간 표기로 쓰시오. (a) \([2, \infty)^c\) (b) \(\left( (-1, 3] \right)^c\) (c) \(\{0\}^c\)

힌트

여집합 = 수직선에서 해당 구간을 지운 나머지. 끝점의 포함 여부가

반전되는 것에 집중한다 — 원래 포함이던 끝점은 제외되고, 제외이던

끝점은 포함된다.

9. \(A = \{x \in \mathbb{Z} : 2 \mid x\}\), \(B = \{x \in \mathbb{Z} : 3 \mid x\}\)일 때 \(A \cap B\)를 조건제시법 하나로 쓰고, 원소를 5개 나열하시오. (힌트: 2로도 3으로도 나누어떨어지는 수는?)

힌트

\(\cap\)을 “그리고”로 번역하면 조건은 “\(2 \mid x\) 그리고 \(3 \mid x\)”다.

두 조건을 동시에 만족하는 수를 0 근처의 작은 수부터 나열해 규칙을 발견한다.

10. 참\(\cdot\)거짓 판정 후, 참이면 벤 다이어그램으로 확인, 거짓이면 반례 제시: (a) \(A - B = B - A\) (b) \(A \subseteq A \cup B\) (c) \((A - B) \cap B = \emptyset\) (d) \(A \cup \emptyset = A\)

힌트

수상하면 가장 작은 반례(\(A = \{1\}, B = \{2\}\)급)부터 대입해 본다.

참인 항목은 §1.3의 방향 표(“또는”의 한쪽 제시, “그리고”의 한쪽 뽑기)로

이유를 한 줄씩 적는다.

11. 다음 구간 연산을 구하시오. (a) \((-\infty, 2] \cap (-1, \infty)\) (b) \([0, 5] - (1, 3)\) (c) \(\left( [1, 4] \cup [6, 9] \right) \cap [3, 7]\)

힌트

전부 수직선이다. (c)는 괄호 안(합집합)을 먼저 그려 놓고 \([3, 7]\)과 겹치는

부분만 남긴다 — 연산 순서는 괄호가 지배한다.

12. \(A \cap B^c = A - B\)인 이유를 정의를 펼쳐 설명하시오. (양쪽의 조건제시법을 나란히 쓰고 비교)

힌트

두 집합의 조건제시법을 위아래로 쓰고 조건 부분만 비교한다.

“\(x \in B^c\)”를 여집합의 정의로 한 번 더 풀면 끝난다.

13. \(A = \{1,2,3,4\}\), \(B = \{3,4,5\}\)로 \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\)를 수치 확인하고, 왜 \(|A \cap B|\)를 빼야 하는지 한 문장으로 설명하시오.

힌트

“왜 빼는가”는 공통 원소 3, 4가 \(|A| + |B|\)라는 덧셈에서 몇 번씩 세어졌는지를

원소 하나 골라 추적하면 보인다.

14. \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\), \(C = \{3\}\)으로 분배법칙 \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)를 수치 확인하시오.

도전 ●●●#

문제 15~20이 쓰는 틀 — 원소 추적과 양방향 포함

부분집합 증명은 원소 추적 틀(§2 관찰) 그대로다. 두 집합이 같음을 보일

때는 \(X \subseteq Y\)와 \(Y \subseteq X\)를 각각 보인다 — 근거는 3주차의 상등

기준(원소가 완전히 같다)이고, 공식 도구로의 승격은 27주차에서 한다.

지금은 인정하고 쓴다.

15. \(A \cap B \subseteq A \cup B\)임을 예제 2.3의 틀로 증명하시오.

힌트

출발점은 “\(x \in A \cap B\)라 하자”. 번역하면 “그리고” 문장이 나오고,

목표는 “또는” 문장이다. §1.3의 방향 표 — 가정의 “그리고”에서 한쪽을 뽑으면,

목표의 “또는”은 그 한쪽만으로 켜진다.

새 기술 — “또는”을 만나면 경우를 나눈다

문제 16부터는 가정 쪽에서 “\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)”를 받는 상황이 나온다.

어느 쪽인지 모르므로, 두 경우로 나누어 각 경우 모두 목표에 도달함을

보이면 된다. 채점 기준은 두 가지다: ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가

② 각 경우가 각각 완결되는가. (1주차 문제 16에서 한 번 겪었고, 본격 훈련은

17주차에서 한다.)

16. \(A \subseteq B\)이면 \(A \cup B = B\)임을 다음 두 단계로 증명하시오: ① \(A \cup B \subseteq B\) ② \(B \subseteq A \cup B\).

힌트

①에서 경우 1(\(x \in A\))은 가정 \(A \subseteq B\)가 처리하고, 경우 2(\(x \in B\))는

이미 도착해 있다. ②는 문제 15에서 쓴 “또는 켜기” 한 줄이다.

17. \(A - (B \cup C)\)와 \((A - B) \cap (A - C)\)가 같음을 \(A = \{1,\dots,10\}\), \(B = \{2,4,6\}\), \(C = \{5,6,7\}\)로 수치 확인하고, 벤 다이어그램(3개 원)으로도 확인하시오. 이것은 드모르간 법칙의 차집합 버전이다.

힌트

수치: 괄호 안(\(B \cup C\))부터 착실히 계산한다.

벤: “\(B\)에도 \(C\)에도 속하지 않는 \(A\)의 부분”을 두 방식으로 각각 색칠해 비교한다.

18. \((A - B) \cup (A \cap B) = A\)를 문제 17의 세 집합 중 \(A, B\)로 수치 확인하고, 벤 다이어그램으로 왜 항상 성립하는지 설명하시오.

힌트

\(A\)를 “\(B\)와 겹친 부분”과 “겹치지 않은 부분”으로 두 동강 내면, 두 조각을

다시 합칠 때 무엇이 되는지 그림에서 읽는다.

19. \(A \subseteq B\)이면 \(A \cap B = A\)임을 양방향 포함(① \(A \cap B \subseteq A\) ② \(A \subseteq A \cap B\))으로 증명하시오.

힌트

①은 예제 2.3 그대로다. ②가 실제 일이다 — \(x \in A\)에서 출발해

“\(x \in A\) 그리고 \(x \in B\)”를 만들어야 한다. 뒤쪽 조각은 가정

\(A \subseteq B\)가 준다.

새 기술 — “만약 ~라면 모순”

“\(x \notin B\)”를 직접 보이기 어려울 때는 방향을 바꾼다: “만약 \(x \in B\)라면”을

가정해 보고, 있어서는 안 될 일(가정과의 충돌)이 생기면 \(x \notin B\)라고

결론한다. 이 논법의 정식 명칭은 귀류법이고 21주차에서 다룬다 —

지금은 이 한 걸음만 쓴다.

20. \(A\)와 \(B\)가 서로소이면 \(A - B = A\)임을 증명하시오. (\(\subseteq\) 방향은 예제 2.3의 틀 그대로다.)

힌트

\(\supseteq\) 방향: \(x \in A\)를 \(A - B\)에 넣으려면 “\(x \notin B\)”가 추가로

필요하다. 만약 \(x \in B\)라면 \(x\)는 \(A\)와 \(B\) 양쪽에 있게 된다 — 그러면

서로소(\(A \cap B = \emptyset\))와 어떻게 충돌하는가?

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 원소 추적 틀(§2 관찰)과 근거 목록(1주차 §1.6)만 펴 놓고, 예제 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 이어서 예제 2.2의 세 연산을 끝점 근거와 함께 재계산한다. 정의와 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:

  • \(\cup, \cap, -\)의 정의를 조건제시법으로 썼다 (“또는 / 그리고 / 그리고 \(\notin\)”).

  • 수학의 “또는”이 포함적임을 예를 들어 설명했다 (확인 4의 \(A \cup A\) 붕괴면 충분하다).

  • 여집합이 전체집합 없이는 뜻이 확정되지 않는 이유를 설명했다.

  • 드모르간 법칙 두 개를 쓰고 벤 다이어그램으로 그렸다.

  • 예제 2.3을 백지에 재현하고, 네 걸음(원소 잡기 \(\to\) 정의 번역 \(\to\) 논리 조작 \(\to\) 역번역)을 손가락으로 짚을 수 있다.

  • 구간 두 개의 \(\cap, \cup, -\)를 끝점 근거와 함께 계산했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

정의의 조건이 기억나지 않는다

§1.2의 표 — 나열에서 자격 조건을 스스로 복원한다

끝점 포함이 헷갈린다

예제 2.2의 판정표 — 부등식 대입으로 판정한다

증명 첫 문장이 나오지 않는다

예제 2.3의 확인 13 — 출발점은 4주차 \(\subseteq\) 틀이 정한다

“그리고” 다음 줄이 나오지 않는다

§1.3의 방향 표 — 가정의 “그리고”는 한쪽만 뽑아도 된다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(\mathbb{Z}\) — 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로 둘을 합치면 정수 전체다. (2) \(\emptyset\) — 짝수이면서 홀수인 정수는 없다. (3) \(O\) — \(U = \mathbb{Z}\)에서 짝수를 걷어낸 나머지가 홀수 전체다. (4) 서로소이다 — \(E \cap O = \emptyset\)이 서로소의 정의 그대로다.

※ (1)~(3) 전부 “모든 정수는 짝수 아니면 홀수, 둘 다는 아니다”라는 인정 사실 위에 서 있다. 이 사실의 증명은 17주차(경우 나누기)에서 틀을 얻고 22주차에서 완결된다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) \(4 \notin D\) (\(4 < 4\) 거짓) (2) \(7 \notin C\) (\(7 < 7\) 거짓) (3) \((4, 7)\) (4) \([2, 9]\) (5) \(2 \in C\) (\(2 \le 2\) 성립) — 합집합은 한쪽 소속이면 충분하다 (6) \([2, 4]\) (7) \(4 \notin D\)이므로 걷어낼 이유가 없다

※ (4)에서 오른쪽 끝 9의 포함은 \(D\)가 보장한다(\(9 \le 9\) 성립). \(C\)의 오른쪽 끝 7은 제외지만, 두 구간이 \((4, 7)\)에서 겹치므로 합집합은 끊기지 않고 한 구간 \([2, 9]\)가 된다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) \(x \in A \cap B\)라 하자. (2) 교집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in B\)이다. (3) 특히 \(x \in B\)이다. (4) 따라서 \(A \cap B \subseteq B\)이다. \(\blacksquare\)

※ 예제 2.3과 다른 곳은 ③에서 뽑는 쪽 하나뿐이다 — 뽑을 쪽은 도착점이 정한다.

문제 1#

접근. 각 기호를 정의로 번역해 원소를 하나씩 심사한다: \(\cup\) = 어느 한쪽이라도, \(\cap\) = 양쪽 다, \(-\) = 왼쪽엔 있고 오른쪽엔 없고, \(^c\) = \(U\)에서 걷어내기. (f)는 괄호 안부터.

풀이. (a) \(A \cup B\): 1~9 중 \(A\) 또는 \(B\)에 속하는 수 — \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\) (8, 9만 탈락. 공통 원소 4, 5는 한 번씩만 적는다). (b) \(A \cap B\): 양쪽에 다 나오는 수 — \(\{4,5\}\). (c) \(A - B\): \(A\)에서 \(B\)의 원소 4, 5를 걷어냄 — \(\{1,2,3\}\). (d) \(B - A\): \(B\)에서 \(A\)의 원소 4, 5를 걷어냄 — \(\{6,7\}\). (e) \(A^c\): \(U\)에서 \(A\)를 걷어냄 — \(\{6,7,8,9\}\). (f) \((A \cap B)^c\): (b)의 \(\{4,5\}\)를 \(U\)에서 걷어냄 — \(\{1,2,3,6,7,8,9\}\).

검산. (b)와 (c)를 합치면 \(\{1,2,3\} \cup \{4,5\} = A\) 전체가 복원된다 ✓ — 차집합과 교집합이 \(A\)를 두 조각으로 나눈다는 사실(문제 18)의 예고다.

문제 2#

접근. 계산 전에 예측부터 — (f)는 \((A \cap B)^c\)였으므로, §1.5의 드모르간 두 식 중 \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)가 이 상황이다. 일치가 예측된다.

풀이. \(A^c = \{6,7,8,9\}\), \(B^c = \{1,2,3,8,9\}\)이므로

\[ A^c \cup B^c = \{1,2,3,6,7,8,9\} \]

— 문제 1(f)의 \((A \cap B)^c = \{1,2,3,6,7,8,9\}\)와 일치한다. 확인된 법칙은 드모르간 법칙 \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)다.

복기. 예측 \(\to\) 계산 \(\to\) 대조의 순서가 검산 습관의 뼈대다. 예측 없이 계산만 하면 일치가 우연인지 법칙인지 구분되지 않는다.

문제 3#

접근. 원소가 문자여도 절차는 같다 — 공통 원소(\(c\), \(d\))를 먼저 표시해 두면 네 연산이 한 번에 정리된다.

풀이. 공통 원소는 \(c, d\)다. 따라서 \(A \cup B = \{a, b, c, d, e\}\) (전부 모아 중복은 한 번씩), \(A \cap B = \{c, d\}\) (공통만), \(A - B = \{a, b\}\) (\(A\)에서 \(c, d\) 걷어냄), \(B - A = \{e\}\) (\(B\)에서 \(c, d\) 걷어냄).

검산. \(|A \cup B| = 5 = 4 + 3 - 2\) ✓ (문제 13의 등식과 부합).

문제 4#

접근. 서로소 판정 = “공통 원소가 하나라도 있는가?”의 부정. 공집합이 낀 (d)는 정의로 즉답한다.

풀이. 서로소인 쌍은 **(a), (c), (d)**다. (a) \(\{1,2\} \cap \{3,4\} = \emptyset\) — 공통 원소 없음, 서로소. (b) \(2\)가 공통이므로 \(\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\} \neq \emptyset\) — 서로소 아님. (c) 7과 9는 둘 다 홀수이므로 짝수 전체와의 공통 원소가 없다 — 서로소. (d) \(\emptyset \cap \{1\} = \emptyset\) — 교집합에 들어갈 원소가 애초에 없다. 서로소다. 공집합은 모든 집합과 서로소다.

문제 5#

접근. 여집합을 두 번 취한다 — “아닌 것의 아닌 것”이 무엇으로 돌아오는지 계산으로 체감하는 문제다.

풀이. \(A^c = U - A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\). \((A^c)^c = U - A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\} = A\). 이유: \(x \in (A^c)^c\)라는 것은 “\(x\)가 \(A\)에 없지 않다”는 것이고, 이는 (\(U\) 안에서) “\(x\)가 \(A\)에 있다”는 것과 같은 말이기 때문이다. (\(\neg\neg P \equiv P\) — 7주차에서 이중부정으로 정식화한다.)

문제 6#

접근. 왼쪽 그림: \(A\)에서 \(B\)와 겹친 부분을 걷어낸 초승달. 오른쪽 그림: \(B^c\)(\(B\) 바깥 전부)와 \(A\)의 겹침. 두 색칠이 같은 초승달인지 본다.

풀이. 왼쪽 그림(\(A - B\)): \(A\) 원 안에서 \(B\)와 겹친 렌즈 부분을 지우면 “\(A\) 중 \(B\) 바깥 부분”(초승달 영역)이 색칠된다. 오른쪽 그림(\(A \cap B^c\)): 먼저 \(B\) 바깥 전체를 색칠하고, 그중 \(A\) 원 안에 드는 부분만 남기면 — 역시 같은 초승달이다. 두 그림이 같은 영역이므로 \(A - B = A \cap B^c\)가 관찰된다. (문제 12에서 정의로 다시 확인한다.)

문제 7#

접근. 수직선에 두 구간을 위아래로 그린다. 끝점 4곳(0, 1, 3, 5)마다 “각 집합에 속하는가?”를 부등식 대입으로 개별 판정한다(예제 2.2의 표).

풀이. 판정표부터: \(0 \in A\) (\(0 \le 0 \le 3\)), \(0 \notin B\) (\(1 < 0\) 거짓); \(1 \in A\), \(1 \notin B\) (\(1 < 1\) 거짓); \(3 \in A\) (\(3 \le 3\)), \(3 \in B\) (\(1 < 3 < 5\)); \(5 \notin A\), \(5 \notin B\) (\(5 < 5\) 거짓).

  • \(A \cap B\): 둘 다 속하는 범위는 \(1 < x \le 3\) — 1은 \(B\)에서 제외, 3은 둘 다

포함 \(\to\) \((1, 3]\).

  • \(A \cup B\): 이어 붙이면 \(0 \le x < 5\) — 0의 포함은 \(A\)가 보장하고 5는 \(B\)에서

제외 \(\to\) \([0, 5)\).

  • \(A - B\): \(A\)에서 \(B\) 부분(\(1 < x < 5\))을 걷어내면 \(0 \le x \le 1\) — 1은

\(B\)에 없으므로 생존 \(\to\) \([0, 1]\).

  • \(B - A\): \(B\)에서 \(A\) 부분(\(0 \le x \le 3\))을 걷어내면 \(3 < x < 5\) — 3은

\(A\)에 있으므로 제거 \(\to\) \((3, 5)\).

복기. 네 연산 전부에서 일을 한 것은 판정표 한 장이다 — 끝점을 먼저 전부 판정해 두면 나머지는 수직선 읽기다.

문제 8#

접근. 여집합 = 수직선에서 해당 구간을 지운 나머지. 끝점의 포함 여부가 반전되는 것에 집중한다.

풀이. (a) \([2, \infty)^c\): 조건 \(x \ge 2\)의 부정은 \(x < 2\)이므로 \((-\infty, 2)\). 2는 원래 포함이었으므로 여집합에서 제외된다. (b) \(\left( (-1, 3] \right)^c\): 조건 \(-1 < x \le 3\)의 부정은 “\(x \le -1\) 또는 \(x > 3\)”이므로 \((-\infty, -1] \cup (3, \infty)\). \(-1\)은 원래 제외였으니 여집합에 포함되고, \(3\)은 원래 포함이었으니 제외된다 — 끝점 반전. (c) \(\{0\}^c\): 0 한 점만 지운 나머지 — \((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\).

복기. 여집합에서 구간이 두 조각으로 갈라질 수 있다((b), (c)) — 결과가 구간 하나라는 보장은 없다.

문제 9#

접근. \(\cap\)을 “그리고”로 번역하면 조건이 “\(2 \mid x\) 그리고 \(3 \mid x\)”다. 두 조건을 동시에 만족하는 수를 작은 수부터 나열해 규칙(6의 배수)을 발견한다.

풀이. 0 근처부터 심사한다: \(0\) (양쪽 ✓), \(\pm 6\) (✓), \(\pm 12\) (✓); \(2, 3, 4\) 등은 한쪽만 만족해 탈락. 규칙은 6의 배수다. 따라서

\[ A \cap B = \{x \in \mathbb{Z} : 2 \mid x \ \text{그리고}\ 3 \mid x\} = \{x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x\} = \{6k : k \in \mathbb{Z}\} \]

나열: \(0, 6, -6, 12, -12\). (2와 3의 공배수 = 6의 배수 — 최소공배수의 정체다. “\(2 \mid x\)이고 \(3 \mid x\)이면 \(6 \mid x\)”의 엄밀한 증명은 20주차 소재다. 지금은 나열 관찰로 인정하고 쓴다.)

문제 10#

접근. 참일 것 같으면 벤 다이어그램, 수상하면 가장 작은 반례(\(A = \{1\}, B = \{2\}\)급)를 대입해 본다. 참인 항목의 이유는 §1.3 방향 표의 낱말로 적는다.

풀이. (a) 거짓. 반례: \(A = \{1\}, B = \{2\}\)이면 \(A - B = \{1\} \neq \{2\} = B - A\). (확인 3에서 이미 관찰한 비교환성이다.) (b) 참. \(x \in A\)이면 “\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)”가 자동으로 참이므로 \(x \in A \cup B\) — “또는”은 한쪽만으로 켜진다. 벤 다이어그램에서 \(A\) 원은 \(A \cup B\) 색칠 안에 통째로 들어 있다. (c) 참. \(A - B\)의 원소는 정의상 \(x \notin B\)를 만족하므로, \(B\)와의 공통 원소가 될 수 없다 — 교집합에 들어갈 원소가 하나도 없으므로 \(\emptyset\)이다. 벤 다이어그램에서 초승달(\(A - B\))과 \(B\) 원은 겹치지 않는다. (d) 참. \(x \in A \cup \emptyset \iff\) “\(x \in A\) 또는 \(x \in \emptyset\)”인데 뒤쪽은 항상 거짓이므로 \(\iff x \in A\). 공집합은 합집합에 아무것도 보태지 않는다.

복기. (b)는 이후 여러 주에서 “항상 참인 포함”으로 인용되는 기본 부품이다.

문제 11#

접근. 전부 수직선이다. (c)는 괄호 안(합집합)을 먼저 그려 놓고 \([3, 7]\)과 겹치는 부분만 남긴다 — 연산 순서는 괄호가 지배한다.

풀이. (a) \((-\infty, 2] \cap (-1, \infty)\): 둘 다 속하는 범위는 \(-1 < x \le 2\). \(-1\)은 \((-1, \infty)\)에서 제외(\(-1 < -1\) 거짓), \(2\)는 양쪽 다 허용(\(2 \le 2\) ✓, \(-1 < 2\) ✓) \(\to\) \((-1, 2]\). (b) \([0, 5] - (1, 3)\): 걷어낼 부분은 \(1 < x < 3\). 남는 것은 \(0 \le x \le 1\)과 \(3 \le x \le 5\) — 1과 3은 \((1, 3)\)에 안 속하므로 생존 \(\to\) \([0, 1] \cup [3, 5]\). (c) 괄호 안: \([1, 4] \cup [6, 9]\) (두 조각, 그 사이 \((4, 6)\)은 빈다). \([3, 7]\)과의 교집합: 앞 조각과는 \(3 \le x \le 4\), 뒤 조각과는 \(6 \le x \le 7\) \(\to\) \([3, 4] \cup [6, 7]\).

복기. 차집합\(\cdot\)교집합에서 결과가 두 조각으로 갈라질 수 있다((b) 참조) — 조각마다 끝점을 따로 판정한다.

문제 12#

접근. 두 집합의 조건제시법을 나란히 쓰고 조건 부분만 비교한다. “\(x \in B^c\)”를 정의로 한 번 더 풀면 끝난다.

풀이.

\[ A - B = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \notin B\} \]
\[ A \cap B^c = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \in B^c\} = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \notin B\} \]

둘째 등호의 근거: \(x \in B^c \iff x \notin B\)가 여집합의 정의다. 두 집합의 자격 조건이 완전히 같으므로 같은 집합이다.

복기. “차집합은 여집합과의 교집합” — 앞으로 차집합이 나오면 이 변환을 자유롭게 쓴다. 이 등식은 27주차에서 원소 추적 증명으로 승격된다.

문제 13#

접근. 세 값을 각각 세어 등식에 넣는다. “왜 빼는가”는 \(A \cap B\)의 원소들이 덧셈에서 몇 번 세어졌는지 추적하면 보인다.

풀이. \(A \cup B = \{1,2,3,4,5\}\)이므로 \(|A \cup B| = 5\). 우변: \(|A| + |B| - |A \cap B| = 4 + 3 - 2 = 5\) ✓ — 일치한다. 이유: \(|A| + |B|\)에서 공통 원소 3과 4는 두 번씩 세어진다 — 3은 \(A\)의 원소로 한 번, \(B\)의 원소로 한 번. 한 번씩만 세어지도록 두 번 세어진 개수 \(|A \cap B| = 2\)를 한 번 빼 준다.

복기. “겹친 만큼 빼기” — 14주차 포함–배제 원리의 출발점이고, 이 등식의 증명도 그때 한다. 지금은 수치 확인까지다.

문제 14#

접근. 괄호부터: \(B \cap C\), 그다음 좌변. 우변도 괄호 두 개를 각각 계산한 뒤 교집합한다.

풀이. 좌변: \(B \cap C = \{2\} \cap \{3\} = \emptyset\) (공통 원소 없음)이므로 \(A \cup (B \cap C) = \{1\} \cup \emptyset = \{1\}\) (문제 10(d)). 우변: \(A \cup B = \{1, 2\}\), \(A \cup C = \{1, 3\}\)이므로 \((A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1\}\) (공통 원소는 1뿐). 좌변 = 우변 = \(\{1\}\) ✓. (논리의 분배법칙 \(P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)\)의 집합 버전이다 — 7주차에서 재회한다.)

문제 15#

접근. 원소 추적 틀 그대로: “\(x \in A \cap B\)라 하자”로 열고, “그리고”로 번역하고, 목표가 “또는” 문장이므로 — §1.3 방향 표 — 가정의 “그리고”에서 한쪽을 뽑으면 목표의 “또는”이 켜진다.

풀이. 증명. \(x \in A \cap B\)라 하자. 교집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in B\)이다. 특히 \(x \in A\)이므로 “\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)”는 참이다. 따라서 합집합의 정의에 의해 \(x \in A \cup B\)이다. \(x\)는 \(A \cap B\)의 임의의 원소였으므로 \(A \cap B \subseteq A \cup B\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 증명의 축은 “그리고에서 한쪽 뽑아 또는 켜기”다 — 가정의 “그리고”는 마음대로 뽑아 쓰고, 목표의 “또는”은 한쪽만 보이면 된다. 방향 표의 두 줄이 각각 한 번씩 일한 최소 사례다.

문제 16#

접근. 상등은 양방향 포함으로 쪼갠다(문제 앞 상자). ①에서 \(x \in A \cup B\)를 풀면 “또는”이 나온다 — 또는을 만나면 경우를 나눈다. 각 경우 모두 목표 \(x \in B\)에 도달하는지 확인한다. ②는 문제 15의 “또는 켜기” 한 줄이다.

풀이. 증명. \(A \subseteq B\)라 가정하자. ① \(A \cup B \subseteq B\): \(x \in A \cup B\)라 하자. 합집합의 정의에 의해 “\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)”이다.

  • 경우 1: \(x \in A\). 가정 \(A \subseteq B\)에 의해 \(x \in B\)이다.

  • 경우 2: \(x \in B\). 그대로 \(x \in B\)이다.

두 경우가 “또는”의 전부를 덮고, 어느 경우든 \(x \in B\)이므로 \(A \cup B \subseteq B\)이다. ② \(B \subseteq A \cup B\): \(x \in B\)라 하자. 그러면 “\(x \in A\) 또는 \(x \in B\)”가 참이므로 합집합의 정의에 의해 \(x \in A \cup B\)이다. ①, ②에 의해 두 집합은 서로 부분집합이므로 \(A \cup B = B\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 경우 나누기의 채점 기준 두 가지가 여기서 다 보인다: ① “또는”이 주는 두 경우가 전체를 빠짐없이 덮는다 ② 각 경우가 각각 \(x \in B\)로 완결된다. (“서로 부분집합이면 같다”는 상등 판정법은 27주차에서 공식 도구가 된다.)

문제 17#

접근. 수치: 괄호 안부터 착실히. 벤: “\(B\)에도 \(C\)에도 안 속하는 \(A\) 부분”을 양쪽 방식으로 색칠한다.

풀이. 수치 확인. \(B \cup C = \{2, 4, 5, 6, 7\}\)이므로

\[ A - (B \cup C) = \{1, 3, 8, 9, 10\} \]

한편 \(A - B = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}\), \(A - C = \{1, 2, 3, 4, 8, 9, 10\}\)이고, 두 목록의 공통 원소는

\[ (A - B) \cap (A - C) = \{1, 3, 8, 9, 10\} \]

— 일치한다 ✓. 벤 다이어그램(3개 원): 왼쪽 식은 \(A\) 원에서 \(B \cup C\)가 덮는 부분을 통째로 걷어낸 영역, 오른쪽 식은 “\(A\) 중 \(B\) 바깥”과 “\(A\) 중 \(C\) 바깥”의 겹침 — 두 방식 모두 “\(A\) 중 \(B\)와 \(C\) 어느 쪽에도 안 걸친 부분”이 색칠된다.

복기. “합집합을 빼는 것 = 각각 뺀 것의 교집합” — 드모르간의 차집합 버전이다. 쌍둥이 항등식 \(A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)\)와 함께 27주차에서 증명한다.

문제 18#

접근. \(A\)를 “\(B\)와 겹친 부분”과 “안 겹친 부분”으로 두 동강 내면, 두 조각을 다시 합치면 \(A\)가 된다는 그림이 보인다.

풀이. 수치 확인: \(A - B = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}\), \(A \cap B = \{2, 4, 6\}\)이고

\[ (A - B) \cup (A \cap B) = \{1, 2, \dots, 10\} = A \]

— 일치한다 ✓. 벤 다이어그램: \(A - B\)(초승달)와 \(A \cap B\)(겹친 렌즈)는 \(A\)를 겹침 없이 정확히 둘로 나눈 조각이다 — 두 조각은 서로소다(초승달의 원소는 \(x \notin B\), 렌즈의 원소는 \(x \in B\)이므로 공통 원소가 있을 수 없다). 서로소인 두 조각을 합치면 \(A\) 전체가 복원된다. (이런 “겹침 없는 쪼개기”를 분할(partition)이라 하며 37주차의 주인공이다. 14주차의 포함–배제 증명이 이 쪼개기를 부품으로 쓴다.)

문제 19#

접근. ①은 예제 2.3 그대로다. ②가 실제 일이다: \(x \in A\)에서 출발해 “\(x \in A\) 그리고 \(x \in B\)”를 만들어야 한다 — 뒤쪽 조각은 가정 \(A \subseteq B\)가 준다.

풀이. 증명. \(A \subseteq B\)라 가정하자. ① \(A \cap B \subseteq A\): 예제 2.3에서 증명했다. 재현하면 — \(x \in A \cap B\)라 하자. 교집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \in B\)이다. 특히 \(x \in A\)이다. 따라서 \(A \cap B \subseteq A\)이다. ② \(A \subseteq A \cap B\): \(x \in A\)라 하자. 가정 \(A \subseteq B\)에 의해 \(x \in B\)이기도 하다. 따라서 “\(x \in A\) 그리고 \(x \in B\)”가 성립하므로, 교집합의 정의에 의해 \(x \in A \cap B\)이다. 따라서 \(A \subseteq A \cap B\)이다. ①, ②에 의해 두 집합은 서로 부분집합이므로 \(A \cap B = A\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 목표가 “그리고” 문장일 때는 두 조각을 모두 마련해야 한다 — 한 조각은 출발점이, 다른 조각은 가정이 대는 것이 이 문제의 설계다. 가정 쪽 “그리고”의 한쪽 뽑기(①)와 정확히 대칭이다.

문제 20#

접근. \(\subseteq\) 방향: \(A - B\)의 원소는 정의상 \(A\)의 원소 — 정의에서 바로 나온다. \(\supseteq\) 방향: \(x \in A\)를 \(A - B\)에 넣으려면 “\(x \notin B\)”가 추가로 필요하다. 만약 \(x \in B\)라면? \(x\)는 \(A\)와 \(B\) 양쪽에 있게 되어 \(A \cap B = \emptyset\)(서로소)과 충돌한다 — 있어서는 안 될 일이 벌어지므로 \(x \notin B\)일 수밖에 없다(문제 앞 상자의 “만약 ~라면 모순”).

풀이. 증명. \(A \cap B = \emptyset\)이라 가정하자. ① \(A - B \subseteq A\): \(x \in A - B\)라 하자. 차집합의 정의에 의해 \(x \in A\)이고 \(x \notin B\)이다. 특히 \(x \in A\)이다. 따라서 \(A - B \subseteq A\)이다. ② \(A \subseteq A - B\): \(x \in A\)라 하자. 만약 \(x \in B\)라면 “\(x \in A\) 그리고 \(x \in B\)”가 성립하여 \(x \in A \cap B\)가 되는데, 이는 \(A \cap B = \emptyset\) — 원소가 하나도 없는 집합 — 에 원소가 있다는 뜻이 되어 모순이다. 따라서 \(x \notin B\)이다. \(x \in A\)이면서 \(x \notin B\)이므로, 차집합의 정의에 의해 \(x \in A - B\)이다. 따라서 \(A \subseteq A - B\)이다. ①, ②에 의해 \(A - B = A\)이다. \(\blacksquare\)

복기. ②에서 쓴 “만약 ~라면 모순이므로 ~가 아니다”가 귀류법의 씨앗이다 (21주차에서 정식 도구가 된다). 부정형 정보(\(x \notin B\))를 직접 만들기 어려울 때, 반대를 가정해 충돌을 끌어내는 이 한 걸음이 표준 우회로다.

다음 주 예고: 순서쌍과 데카르트 곱(\(A \times B\))으로 좌표평면의 정체를 밝히고, 1부(집합) 전체를 총정리 모의시험으로 마무리한다.