# 5주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 연산 계산과 첫 증명 완성된 풀이를 먼저 보이지 않는다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 연산 종합 **문제.** $U = \{1, 2, \dots, 8\}$, $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$일 때 $(A \cup B)^c$와 $A^c \cap B^c$를 각각 구하시오. **설계 — 계산 전에 정하는 것.** 연산이 겹쳐 있으므로 순서부터 정한다. 기호를 정의로 번역하면 순서가 저절로 나온다. | **구할 것** | **번역 (정의 5.1–5.2)** | **계산 순서** | |---|---|---| | $(A \cup B)^c$ | "$A$ 또는 $B$에 속하는 수들" — 그 바깥 | ① $A \cup B$ ② 그 결과를 $U$에서 걷어낸다 | | $A^c \cap B^c$ | "$A$ 바깥"과 "$B$ 바깥"의 공통 | ① $A^c$, $B^c$ 각각 ② 공통 원소를 남긴다 | :::{container} quotebox **확인 9.** 첫 단계: $A \cup B = \underline{\quad}$. 기준은 하나다 — $U$의 원소 1부터 8까지 각각에 "$A$ 또는 $B$에 속하는가"를 묻는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. 3과 4는 양쪽에 다 속하지만 — 포함적 "또는"(확인 4) — 자격은 충분하고, 집합은 중복을 세지 않으므로 한 번씩만 적는다. 탈락은 7, 8뿐이다. ::: :::{container} quotebox **확인 10.** 둘째 단계: $(A \cup B)^c = \underline{\quad}$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(A \cup B)^c = \{7, 8\}$. $U$에서 방금 목록 $\{1, \dots, 6\}$을 걷어낸 나머지다. ::: :::{container} quotebox **확인 11.** 이제 오른쪽 식. $A^c = \underline{\quad}$, $B^c = \underline{\quad}$, 그리고 둘의 공통 원소만 남기면 $A^c \cap B^c = \underline{\quad}$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $A^c = \{5, 6, 7, 8\}$, $B^c = \{1, 2, 7, 8\}$. 두 목록에 다 나오는 원소는 7, 8이므로 $A^c \cap B^c = \{7, 8\}$. ::: 두 결과가 일치한다 — §1.5에서 그림으로 관찰한 드모르간 법칙 $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$의 수치 확인이다. 관찰(그림) $\to$ 수치 확인 $\to$ 증명(27주차)의 세 단계 중 두 번째까지 온 것이다. ### 예제 2.2 — 구간의 연산 **문제.** $A = [1, 4)$, $B = (2, 6]$일 때 $A \cap B$, $A \cup B$, $A - B$를 구하시오. 이번에는 설계(끝점 판정표)만 함께 하고, 풀이는 완성본으로 본다. 수직선에 두 구간을 위아래로 그린 뒤, 등장하는 끝점 네 곳(1, 2, 4, 6)마다 "각 집합에 속하는가"를 정의의 부등식으로 판정한다. 첫 줄은 채워져 있다. | **끝점** | **$A = [1, 4)$에 속하는가** | **$B = (2, 6]$에 속하는가** | |---|---|---| | $1$ | 속한다 ($1 \le 1 < 4$ 성립) | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $2$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $4$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | | $6$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ | $\underline{\quad(7)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 12.** 표의 빈칸 (1)~(7)을 채워 보자. 각 칸의 근거는 부등식 대입이다(확인 8). ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 속하지 않는다 ($2 < 1$ 거짓) (2) 속한다 ($1 \le 2 < 4$) (3) 속하지 않는다 ($2 < 2$ 거짓) (4) 속하지 않는다 ($4 < 4$ 거짓) (5) 속한다 ($2 < 4 \le 6$) (6) 속하지 않는다 ($6 < 4$ 거짓) (7) 속한다 ($2 < 6 \le 6$). 이 표가 완성되면 세 연산의 끝점 처리가 전부 결정된 것이다. ::: **풀이.** 수직선에 두 구간을 겹쳐 그린다. - $A \cap B$: 둘 다 속하는 범위는 $2 < x < 4$. 끝점 2는 $B$에서 제외되고(판정표 (3)), 4는 $A$에서 제외되므로(판정표 (4)) $\to$ $(2, 4)$. - $A \cup B$: 이어 붙이면 $1 \le x \le 6$. 1의 포함은 $A$가 보장하고, 6의 포함은 $B$가 보장한다(판정표 (7)) $\to$ $[1, 6]$. - $A - B$: $A$에서 $B$에 속하는 부분을 걷어내면 $1 \le x \le 2$. **2는 남는다** — $2 \notin B$이므로(판정표 (3)) 걷어낼 이유가 없다 $\to$ $[1, 2]$. **끝점 포함 여부는 매번 정의로 판정한다** — "이 점은 $A$에 속하는가? $B$에 속하는가?"를 각각 물으면 틀리지 않는다. ### 예제 2.3 — 첫 연산 증명 **명제.** 임의의 집합 $A, B$에 대해 $A \cap B \subseteq A$이다. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 재료는 두 가지뿐이다 — 4주차의 $\subseteq$ 증명 틀과, §1.3의 방향 표. :::{container} quotebox **확인 13.** 번역표를 채워 보자. 출발점(첫 문장): "$x \in \underline{\quad}$라 하자." 도착점(보일 것): $x \in \underline{\quad}$. 그 사이를 잇는 도구: $x \in A \cap B$를 정의 5.1로 번역하면 어떤 문장이 되는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 출발점: $x \in A \cap B$ — $\subseteq$의 증명은 왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는 것으로 시작한다(4주차 틀). 도착점: $x \in A$. 번역: "$x \in A$ **그리고** $x \in B$". §1.3의 방향 표대로, 가정 쪽의 "그리고"에서는 한쪽만 뽑아 쓸 수 있다 — 어느 쪽을 뽑을지는 도착점이 정한다. ::: **완성본.** 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $x \in A \cap B$라 하자. | $\subseteq$의 증명은 "왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는 것"으로 시작 (4주차 틀). | | 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다. | 연산 기호를 정의("그리고")로 번역. | | 특히 $x \in A$이다. | "그리고"에서 한쪽만 뽑아 쓰는 것은 언제나 허용. | | 따라서 $A \cap B \subseteq A$이다. $\blacksquare$ | 임의의 원소가 건너갔으므로 부분집합. | 실전에서는 이 네 줄을 산문으로 적는다: **증명.** $x \in A \cap B$라 하자. 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다. 특히 $x \in A$이다. $x$는 $A \cap B$의 임의의 원소였으므로 $A \cap B \subseteq A$이다. $\blacksquare$ ### 관찰 — 연산 증명의 뼈대 방금 쓴 네 줄은 연산 증명 전체의 원형이다. 각 줄이 무슨 일을 했는지 짚어 보자. :::{container} quotebox **확인 14.** 예제 2.3의 증명에서 다음 네 걸음에 해당하는 문장을 각각 찾아 보자. ① 원소 잡기: $\underline{\qquad}$ ② 정의 번역: $\underline{\qquad}$ ③ 논리 조작: $\underline{\qquad}$ ④ 역번역$\cdot$결론: $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① "$x \in A \cap B$라 하자." ② "정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다." ③ "특히 $x \in A$이다." — "그리고"에서 한쪽 뽑기. ④ "따라서 $A \cap B \subseteq A$이다." — 조건 성립을 소속으로 되돌려 결론. 네 걸음이 전부다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **연산 증명의 틀 — 원소 추적** ① 원소를 잡는다 ("$x \in$ 왼쪽"이라 하자) $\to$ ② 연산 기호를 정의로 번역한다 ("또는/그리고/아니다") $\to$ ③ 논리 조작을 한다 (한쪽 뽑기, 경우 나누기) $\to$ ④ 역번역으로 목표의 소속을 선언한다 ::: 집합 연산 증명은 전부 이 패턴이다. 본격 훈련은 27주차에서 한다 — 이번 주는 예제 2.3 하나를 익히고, 문제 15$\cdot$16$\cdot$19$\cdot$20에서 네 번 반복한다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(6장)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 계산의 빈칸 $U = \mathbb{Z}$, $E = \{2k : k \in \mathbb{Z}\}$(짝수), $O = \{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$(홀수)라 하자. (1) $E \cup O = \underline{\quad}$ (2) $E \cap O = \underline{\quad}$ (3) $E^c = \underline{\quad}$ (4) $E$와 $O$는 서로소인가? $\underline{\quad}$ (※ (2)(3)의 근거: 모든 정수는 짝수 아니면 홀수이고 둘 다일 수는 없다 — 지금은 이 사실을 인정하고 쓴다. 증명은 17주차(경우 나누기)에서 틀을 얻고 22주차에서 완결된다.) ### 훈련 2 ●●○ — 구간 연산과 근거를 함께 $C = [2, 7)$, $D = (4, 9]$라 하자. 이번에는 결과와 함께 끝점의 **근거**도 빈칸이다. - $C \cap D$: 둘 다 속하는 범위는 $4 < x < 7$이다. 4가 제외되는 근거: $\underline{\quad(1)\quad}$. 7이 제외되는 근거: $\underline{\quad(2)\quad}$. 따라서 $C \cap D = \underline{\quad(3)\quad}$. - $C \cup D = \underline{\quad(4)\quad}$ — 왼쪽 끝 2가 포함되는 근거: $\underline{\quad(5)\quad}$. - $C - D = \underline{\quad(6)\quad}$ — 4가 남는 근거: $\underline{\quad(7)\quad}$. ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 **명제.** 임의의 집합 $A, B$에 대해 $A \cap B \subseteq B$이다. (예제 2.3의 쌍둥이) **증명의 뼈대.** 원소 추적 틀의 네 걸음을 각각 문장으로 통째로 채운다. - ① 원소 잡기: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 정의 번역: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 논리 조작: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 역번역$\cdot$결론: $\underline{\quad(4)\quad}$ (이 훈련이 문제 15의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. 계산 문제에서는 원소$\cdot$끝점마다 자격 조건을 물은 흔적이, 증명 문제에서는 원소 추적의 네 걸음이 점수다. 끝점 판정은 반드시 부등식 대입으로 적는다(확인 8). 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** $A = \{1,2,3,4,5\}$, $B = \{4,5,6,7\}$, $U = \{1,\dots,9\}$일 때 다음을 구하시오. (a) $A \cup B$ (b) $A \cap B$ (c) $A - B$ (d) $B - A$ (e) $A^c$ (f) $(A \cap B)^c$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 기호마다 정의로 번역한다 — $\cup$은 어느 한쪽이라도, $\cap$은 양쪽 다, $-$는 왼쪽엔 있고 오른쪽엔 없고, $^c$는 $U$에서 걷어내기. (f)는 괄호 안($A \cap B$)부터 계산한다. ::: **2.** 문제 1의 집합으로 $A^c \cup B^c$를 계산하고, (f)와 비교해 어떤 법칙이 확인되는지 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 계산 전에 §1.5의 두 등식 중 어느 쪽이 이 상황인지 예측하고, 계산으로 검증한다. ::: **3.** $A = \{a, b, c, d\}$, $B = \{c, d, e\}$일 때 $A \cup B$, $A \cap B$, $A - B$, $B - A$를 구하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 원소가 문자여도 절차는 같다 — 공통 원소($c$, $d$)에 먼저 표시해 두면 네 연산이 한 번에 정리된다. ::: **4.** 다음 중 서로소인 쌍을 모두 고르시오. (a) $\{1,2\}, \{3,4\}$ (b) $\{1,2\}, \{2,3\}$ (c) 짝수 전체, $\{7, 9\}$ (d) $\emptyset, \{1\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 서로소 판정은 "공통 원소가 하나라도 있는가"라는 질문 하나다. (d)는 $\emptyset \cap \{1\}$을 정의로 계산하면 즉답이 나온다. ::: **5.** $U = \{1, \dots, 10\}$, $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$일 때 $A^c$와 $(A^c)^c$를 구하고, 후자가 $A$와 같은 이유를 한 줄로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 여집합을 두 번 취한다. "$A$에 없지 않다"가 무슨 말인지 스스로 물어 본다. ::: **6.** 벤 다이어그램을 두 개 그려 $A - B$와 $A \cap B^c$가 같은 영역임을 확인하시오. (색칠 그림 2개) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 왼쪽 그림: $A$에서 $B$와 겹친 부분을 걷어낸 초승달 모양. 오른쪽 그림: $B^c$($B$ 바깥 전부)를 먼저 색칠한 뒤 $A$와의 공통 부분만 남긴다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $A = [0, 3]$, $B = (1, 5)$일 때 $A \cap B$, $A \cup B$, $A - B$, $B - A$를 구하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 수직선에 두 구간을 위아래로 그리고, 끝점 4곳(0, 1, 3, 5)마다 예제 2.2의 판정표를 만든다 — "각 집합에 속하는가"를 부등식 대입으로. ::: **8.** $U = \mathbb{R}$일 때 다음 여집합을 구간 표기로 쓰시오. (a) $[2, \infty)^c$ (b) $\left( (-1, 3] \right)^c$ (c) $\{0\}^c$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 여집합 = 수직선에서 해당 구간을 지운 나머지. 끝점의 포함 여부가 **반전**되는 것에 집중한다 — 원래 포함이던 끝점은 제외되고, 제외이던 끝점은 포함된다. ::: **9.** $A = \{x \in \mathbb{Z} : 2 \mid x\}$, $B = \{x \in \mathbb{Z} : 3 \mid x\}$일 때 $A \cap B$를 조건제시법 하나로 쓰고, 원소를 5개 나열하시오. (힌트: 2로도 3으로도 나누어떨어지는 수는?) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $\cap$을 "그리고"로 번역하면 조건은 "$2 \mid x$ 그리고 $3 \mid x$"다. 두 조건을 동시에 만족하는 수를 0 근처의 작은 수부터 나열해 규칙을 발견한다. ::: **10.** 참$\cdot$거짓 판정 후, 참이면 벤 다이어그램으로 확인, 거짓이면 반례 제시: (a) $A - B = B - A$ (b) $A \subseteq A \cup B$ (c) $(A - B) \cap B = \emptyset$ (d) $A \cup \emptyset = A$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 수상하면 **가장 작은 반례**($A = \{1\}, B = \{2\}$급)부터 대입해 본다. 참인 항목은 §1.3의 방향 표("또는"의 한쪽 제시, "그리고"의 한쪽 뽑기)로 이유를 한 줄씩 적는다. ::: **11.** 다음 구간 연산을 구하시오. (a) $(-\infty, 2] \cap (-1, \infty)$ (b) $[0, 5] - (1, 3)$ (c) $\left( [1, 4] \cup [6, 9] \right) \cap [3, 7]$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 전부 수직선이다. (c)는 괄호 안(합집합)을 먼저 그려 놓고 $[3, 7]$과 겹치는 부분만 남긴다 — 연산 순서는 괄호가 지배한다. ::: **12.** $A \cap B^c = A - B$인 이유를 정의를 펼쳐 설명하시오. (양쪽의 조건제시법을 나란히 쓰고 비교) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 두 집합의 조건제시법을 위아래로 쓰고 조건 부분만 비교한다. "$x \in B^c$"를 여집합의 정의로 한 번 더 풀면 끝난다. ::: **13.** $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5\}$로 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$를 수치 확인하고, 왜 $|A \cap B|$를 빼야 하는지 한 문장으로 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "왜 빼는가"는 공통 원소 3, 4가 $|A| + |B|$라는 덧셈에서 몇 번씩 세어졌는지를 원소 하나 골라 추적하면 보인다. ::: **14.** $A = \{1\}$, $B = \{2\}$, $C = \{3\}$으로 분배법칙 $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$를 수치 확인하시오. ### 도전 ●●● :::{admonition} 문제 15~20이 쓰는 틀 — 원소 추적과 양방향 포함 :class: quotebox 부분집합 증명은 원소 추적 틀(§2 관찰) 그대로다. 두 집합이 **같음**을 보일 때는 $X \subseteq Y$와 $Y \subseteq X$를 각각 보인다 — 근거는 3주차의 상등 기준(원소가 완전히 같다)이고, 공식 도구로의 승격은 27주차에서 한다. 지금은 인정하고 쓴다. ::: **15.** $A \cap B \subseteq A \cup B$임을 예제 2.3의 틀로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 출발점은 "$x \in A \cap B$라 하자". 번역하면 "그리고" 문장이 나오고, 목표는 "또는" 문장이다. §1.3의 방향 표 — 가정의 "그리고"에서 한쪽을 뽑으면, 목표의 "또는"은 그 한쪽만으로 켜진다. ::: :::{admonition} 새 기술 — "또는"을 만나면 경우를 나눈다 :class: quotebox 문제 16부터는 가정 쪽에서 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"를 **받는** 상황이 나온다. 어느 쪽인지 모르므로, 두 경우로 나누어 **각 경우 모두** 목표에 도달함을 보이면 된다. 채점 기준은 두 가지다: ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가 ② 각 경우가 각각 완결되는가. (1주차 문제 16에서 한 번 겪었고, 본격 훈련은 17주차에서 한다.) ::: **16.** $A \subseteq B$이면 $A \cup B = B$임을 다음 두 단계로 증명하시오: ① $A \cup B \subseteq B$ ② $B \subseteq A \cup B$. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown ①에서 경우 1($x \in A$)은 가정 $A \subseteq B$가 처리하고, 경우 2($x \in B$)는 이미 도착해 있다. ②는 문제 15에서 쓴 "또는 켜기" 한 줄이다. ::: **17.** $A - (B \cup C)$와 $(A - B) \cap (A - C)$가 같음을 $A = \{1,\dots,10\}$, $B = \{2,4,6\}$, $C = \{5,6,7\}$로 수치 확인하고, 벤 다이어그램(3개 원)으로도 확인하시오. 이것은 드모르간 법칙의 차집합 버전이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 수치: 괄호 안($B \cup C$)부터 착실히 계산한다. 벤: "$B$에도 $C$에도 속하지 않는 $A$의 부분"을 두 방식으로 각각 색칠해 비교한다. ::: **18.** $(A - B) \cup (A \cap B) = A$를 문제 17의 세 집합 중 $A, B$로 수치 확인하고, 벤 다이어그램으로 왜 항상 성립하는지 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $A$를 "$B$와 겹친 부분"과 "겹치지 않은 부분"으로 두 동강 내면, 두 조각을 다시 합칠 때 무엇이 되는지 그림에서 읽는다. ::: **19.** $A \subseteq B$이면 $A \cap B = A$임을 양방향 포함(① $A \cap B \subseteq A$ ② $A \subseteq A \cap B$)으로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown ①은 예제 2.3 그대로다. ②가 실제 일이다 — $x \in A$에서 출발해 "$x \in A$ 그리고 $x \in B$"를 만들어야 한다. 뒤쪽 조각은 가정 $A \subseteq B$가 준다. ::: :::{admonition} 새 기술 — "만약 ~라면 모순" :class: quotebox "$x \notin B$"를 직접 보이기 어려울 때는 방향을 바꾼다: "만약 $x \in B$라면"을 가정해 보고, 있어서는 안 될 일(가정과의 충돌)이 생기면 $x \notin B$라고 결론한다. 이 논법의 정식 명칭은 귀류법이고 21주차에서 다룬다 — 지금은 이 한 걸음만 쓴다. ::: **20.** $A$와 $B$가 서로소이면 $A - B = A$임을 증명하시오. ($\subseteq$ 방향은 예제 2.3의 틀 그대로다.) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $\supseteq$ 방향: $x \in A$를 $A - B$에 넣으려면 "$x \notin B$"가 추가로 필요하다. 만약 $x \in B$라면 $x$는 $A$와 $B$ 양쪽에 있게 된다 — 그러면 서로소($A \cap B = \emptyset$)와 어떻게 충돌하는가? ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 원소 추적 틀(§2 관찰)과 근거 목록(1주차 §1.6)만 펴 놓고, 예제 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 이어서 예제 2.2의 세 연산을 끝점 근거와 함께 재계산한다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] $\cup, \cap, -$의 정의를 조건제시법으로 썼다 ("또는 / 그리고 / 그리고 $\notin$"). - [ ] 수학의 "또는"이 포함적임을 예를 들어 설명했다 (확인 4의 $A \cup A$ 붕괴면 충분하다). - [ ] 여집합이 전체집합 없이는 뜻이 확정되지 않는 이유를 설명했다. - [ ] 드모르간 법칙 두 개를 쓰고 벤 다이어그램으로 그렸다. - [ ] 예제 2.3을 백지에 재현하고, 네 걸음(원소 잡기 $\to$ 정의 번역 $\to$ 논리 조작 $\to$ 역번역)을 손가락으로 짚을 수 있다. - [ ] 구간 두 개의 $\cap, \cup, -$를 끝점 근거와 함께 계산했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 정의의 조건이 기억나지 않는다 | §1.2의 표 — 나열에서 자격 조건을 스스로 복원한다 | | 끝점 포함이 헷갈린다 | 예제 2.2의 판정표 — 부등식 대입으로 판정한다 | | 증명 첫 문장이 나오지 않는다 | 예제 2.3의 확인 13 — 출발점은 4주차 $\subseteq$ 틀이 정한다 | | "그리고" 다음 줄이 나오지 않는다 | §1.3의 방향 표 — 가정의 "그리고"는 한쪽만 뽑아도 된다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $\mathbb{Z}$ — 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로 둘을 합치면 정수 전체다. (2) $\emptyset$ — 짝수이면서 홀수인 정수는 없다. (3) $O$ — $U = \mathbb{Z}$에서 짝수를 걷어낸 나머지가 홀수 전체다. (4) 서로소이다 — $E \cap O = \emptyset$이 서로소의 정의 그대로다. ※ (1)~(3) 전부 "모든 정수는 짝수 아니면 홀수, 둘 다는 아니다"라는 인정 사실 위에 서 있다. 이 사실의 증명은 17주차(경우 나누기)에서 틀을 얻고 22주차에서 완결된다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $4 \notin D$ ($4 < 4$ 거짓) (2) $7 \notin C$ ($7 < 7$ 거짓) (3) $(4, 7)$ (4) $[2, 9]$ (5) $2 \in C$ ($2 \le 2$ 성립) — 합집합은 한쪽 소속이면 충분하다 (6) $[2, 4]$ (7) $4 \notin D$이므로 걷어낼 이유가 없다 ※ (4)에서 오른쪽 끝 9의 포함은 $D$가 보장한다($9 \le 9$ 성립). $C$의 오른쪽 끝 7은 제외지만, 두 구간이 $(4, 7)$에서 겹치므로 합집합은 끊기지 않고 한 구간 $[2, 9]$가 된다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) $x \in A \cap B$라 하자. (2) 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다. (3) 특히 $x \in B$이다. (4) 따라서 $A \cap B \subseteq B$이다. $\blacksquare$ ※ 예제 2.3과 다른 곳은 ③에서 뽑는 쪽 하나뿐이다 — 뽑을 쪽은 도착점이 정한다. ### 문제 1 **접근.** 각 기호를 정의로 번역해 원소를 하나씩 심사한다: $\cup$ = 어느 한쪽이라도, $\cap$ = 양쪽 다, $-$ = 왼쪽엔 있고 오른쪽엔 없고, $^c$ = $U$에서 걷어내기. (f)는 괄호 안부터. **풀이.** (a) $A \cup B$: 1~9 중 $A$ 또는 $B$에 속하는 수 — $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ (8, 9만 탈락. 공통 원소 4, 5는 한 번씩만 적는다). (b) $A \cap B$: 양쪽에 다 나오는 수 — $\{4,5\}$. (c) $A - B$: $A$에서 $B$의 원소 4, 5를 걷어냄 — $\{1,2,3\}$. (d) $B - A$: $B$에서 $A$의 원소 4, 5를 걷어냄 — $\{6,7\}$. (e) $A^c$: $U$에서 $A$를 걷어냄 — $\{6,7,8,9\}$. (f) $(A \cap B)^c$: (b)의 $\{4,5\}$를 $U$에서 걷어냄 — $\{1,2,3,6,7,8,9\}$. **검산.** (b)와 (c)를 합치면 $\{1,2,3\} \cup \{4,5\} = A$ 전체가 복원된다 ✓ — 차집합과 교집합이 $A$를 두 조각으로 나눈다는 사실(문제 18)의 예고다. ### 문제 2 **접근.** 계산 전에 예측부터 — (f)는 $(A \cap B)^c$였으므로, §1.5의 드모르간 두 식 중 $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$가 이 상황이다. 일치가 예측된다. **풀이.** $A^c = \{6,7,8,9\}$, $B^c = \{1,2,3,8,9\}$이므로 $$ A^c \cup B^c = \{1,2,3,6,7,8,9\} $$ — 문제 1(f)의 $(A \cap B)^c = \{1,2,3,6,7,8,9\}$와 일치한다. 확인된 법칙은 드모르간 법칙 $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$다. **복기.** 예측 $\to$ 계산 $\to$ 대조의 순서가 검산 습관의 뼈대다. 예측 없이 계산만 하면 일치가 우연인지 법칙인지 구분되지 않는다. ### 문제 3 **접근.** 원소가 문자여도 절차는 같다 — 공통 원소($c$, $d$)를 먼저 표시해 두면 네 연산이 한 번에 정리된다. **풀이.** 공통 원소는 $c, d$다. 따라서 $A \cup B = \{a, b, c, d, e\}$ (전부 모아 중복은 한 번씩), $A \cap B = \{c, d\}$ (공통만), $A - B = \{a, b\}$ ($A$에서 $c, d$ 걷어냄), $B - A = \{e\}$ ($B$에서 $c, d$ 걷어냄). **검산.** $|A \cup B| = 5 = 4 + 3 - 2$ ✓ (문제 13의 등식과 부합). ### 문제 4 **접근.** 서로소 판정 = "공통 원소가 하나라도 있는가?"의 부정. 공집합이 낀 (d)는 정의로 즉답한다. **풀이.** 서로소인 쌍은 **(a), (c), (d)**다. (a) $\{1,2\} \cap \{3,4\} = \emptyset$ — 공통 원소 없음, 서로소. (b) $2$가 공통이므로 $\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\} \neq \emptyset$ — 서로소 아님. (c) 7과 9는 둘 다 홀수이므로 짝수 전체와의 공통 원소가 없다 — 서로소. (d) $\emptyset \cap \{1\} = \emptyset$ — 교집합에 들어갈 원소가 애초에 없다. 서로소다. 공집합은 모든 집합과 서로소다. ### 문제 5 **접근.** 여집합을 두 번 취한다 — "아닌 것의 아닌 것"이 무엇으로 돌아오는지 계산으로 체감하는 문제다. **풀이.** $A^c = U - A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$. $(A^c)^c = U - A^c = \{1, 3, 5, 7, 9\} = A$. 이유: $x \in (A^c)^c$라는 것은 "$x$가 $A$에 없지 않다"는 것이고, 이는 ($U$ 안에서) "$x$가 $A$에 있다"는 것과 같은 말이기 때문이다. ($\neg\neg P \equiv P$ — 7주차에서 이중부정으로 정식화한다.) ### 문제 6 **접근.** 왼쪽 그림: $A$에서 $B$와 겹친 부분을 걷어낸 초승달. 오른쪽 그림: $B^c$($B$ 바깥 전부)와 $A$의 겹침. 두 색칠이 같은 초승달인지 본다. **풀이.** 왼쪽 그림($A - B$): $A$ 원 안에서 $B$와 겹친 렌즈 부분을 지우면 "$A$ 중 $B$ 바깥 부분"(초승달 영역)이 색칠된다. 오른쪽 그림($A \cap B^c$): 먼저 $B$ 바깥 전체를 색칠하고, 그중 $A$ 원 안에 드는 부분만 남기면 — 역시 같은 초승달이다. 두 그림이 같은 영역이므로 $A - B = A \cap B^c$가 관찰된다. (문제 12에서 정의로 다시 확인한다.) ### 문제 7 **접근.** 수직선에 두 구간을 위아래로 그린다. 끝점 4곳(0, 1, 3, 5)마다 "각 집합에 속하는가?"를 부등식 대입으로 개별 판정한다(예제 2.2의 표). **풀이.** 판정표부터: $0 \in A$ ($0 \le 0 \le 3$), $0 \notin B$ ($1 < 0$ 거짓); $1 \in A$, $1 \notin B$ ($1 < 1$ 거짓); $3 \in A$ ($3 \le 3$), $3 \in B$ ($1 < 3 < 5$); $5 \notin A$, $5 \notin B$ ($5 < 5$ 거짓). - $A \cap B$: 둘 다 속하는 범위는 $1 < x \le 3$ — 1은 $B$에서 제외, 3은 둘 다 포함 $\to$ $(1, 3]$. - $A \cup B$: 이어 붙이면 $0 \le x < 5$ — 0의 포함은 $A$가 보장하고 5는 $B$에서 제외 $\to$ $[0, 5)$. - $A - B$: $A$에서 $B$ 부분($1 < x < 5$)을 걷어내면 $0 \le x \le 1$ — 1은 $B$에 없으므로 생존 $\to$ $[0, 1]$. - $B - A$: $B$에서 $A$ 부분($0 \le x \le 3$)을 걷어내면 $3 < x < 5$ — 3은 $A$에 있으므로 제거 $\to$ $(3, 5)$. **복기.** 네 연산 전부에서 일을 한 것은 판정표 한 장이다 — 끝점을 먼저 전부 판정해 두면 나머지는 수직선 읽기다. ### 문제 8 **접근.** 여집합 = 수직선에서 해당 구간을 지운 나머지. 끝점의 포함 여부가 **반전**되는 것에 집중한다. **풀이.** (a) $[2, \infty)^c$: 조건 $x \ge 2$의 부정은 $x < 2$이므로 $(-\infty, 2)$. 2는 원래 포함이었으므로 여집합에서 제외된다. (b) $\left( (-1, 3] \right)^c$: 조건 $-1 < x \le 3$의 부정은 "$x \le -1$ 또는 $x > 3$"이므로 $(-\infty, -1] \cup (3, \infty)$. $-1$은 원래 제외였으니 여집합에 포함되고, $3$은 원래 포함이었으니 제외된다 — 끝점 반전. (c) $\{0\}^c$: 0 한 점만 지운 나머지 — $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. **복기.** 여집합에서 구간이 두 조각으로 갈라질 수 있다((b), (c)) — 결과가 구간 하나라는 보장은 없다. ### 문제 9 **접근.** $\cap$을 "그리고"로 번역하면 조건이 "$2 \mid x$ 그리고 $3 \mid x$"다. 두 조건을 동시에 만족하는 수를 작은 수부터 나열해 규칙(6의 배수)을 발견한다. **풀이.** 0 근처부터 심사한다: $0$ (양쪽 ✓), $\pm 6$ (✓), $\pm 12$ (✓); $2, 3, 4$ 등은 한쪽만 만족해 탈락. 규칙은 6의 배수다. 따라서 $$ A \cap B = \{x \in \mathbb{Z} : 2 \mid x \ \text{그리고}\ 3 \mid x\} = \{x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x\} = \{6k : k \in \mathbb{Z}\} $$ 나열: $0, 6, -6, 12, -12$. (2와 3의 공배수 = 6의 배수 — 최소공배수의 정체다. "$2 \mid x$이고 $3 \mid x$이면 $6 \mid x$"의 엄밀한 증명은 20주차 소재다. 지금은 나열 관찰로 인정하고 쓴다.) ### 문제 10 **접근.** 참일 것 같으면 벤 다이어그램, 수상하면 **가장 작은 반례**($A = \{1\}, B = \{2\}$급)를 대입해 본다. 참인 항목의 이유는 §1.3 방향 표의 낱말로 적는다. **풀이.** (a) **거짓.** 반례: $A = \{1\}, B = \{2\}$이면 $A - B = \{1\} \neq \{2\} = B - A$. (확인 3에서 이미 관찰한 비교환성이다.) (b) **참.** $x \in A$이면 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"가 자동으로 참이므로 $x \in A \cup B$ — "또는"은 한쪽만으로 켜진다. 벤 다이어그램에서 $A$ 원은 $A \cup B$ 색칠 안에 통째로 들어 있다. (c) **참.** $A - B$의 원소는 정의상 $x \notin B$를 만족하므로, $B$와의 공통 원소가 될 수 없다 — 교집합에 들어갈 원소가 하나도 없으므로 $\emptyset$이다. 벤 다이어그램에서 초승달($A - B$)과 $B$ 원은 겹치지 않는다. (d) **참.** $x \in A \cup \emptyset \iff$ "$x \in A$ 또는 $x \in \emptyset$"인데 뒤쪽은 항상 거짓이므로 $\iff x \in A$. 공집합은 합집합에 아무것도 보태지 않는다. **복기.** (b)는 이후 여러 주에서 "항상 참인 포함"으로 인용되는 기본 부품이다. ### 문제 11 **접근.** 전부 수직선이다. (c)는 괄호 안(합집합)을 먼저 그려 놓고 $[3, 7]$과 겹치는 부분만 남긴다 — 연산 순서는 괄호가 지배한다. **풀이.** (a) $(-\infty, 2] \cap (-1, \infty)$: 둘 다 속하는 범위는 $-1 < x \le 2$. $-1$은 $(-1, \infty)$에서 제외($-1 < -1$ 거짓), $2$는 양쪽 다 허용($2 \le 2$ ✓, $-1 < 2$ ✓) $\to$ $(-1, 2]$. (b) $[0, 5] - (1, 3)$: 걷어낼 부분은 $1 < x < 3$. 남는 것은 $0 \le x \le 1$과 $3 \le x \le 5$ — 1과 3은 $(1, 3)$에 안 속하므로 생존 $\to$ $[0, 1] \cup [3, 5]$. (c) 괄호 안: $[1, 4] \cup [6, 9]$ (두 조각, 그 사이 $(4, 6)$은 빈다). $[3, 7]$과의 교집합: 앞 조각과는 $3 \le x \le 4$, 뒤 조각과는 $6 \le x \le 7$ $\to$ $[3, 4] \cup [6, 7]$. **복기.** 차집합$\cdot$교집합에서 결과가 두 조각으로 갈라질 수 있다((b) 참조) — 조각마다 끝점을 따로 판정한다. ### 문제 12 **접근.** 두 집합의 조건제시법을 나란히 쓰고 조건 부분만 비교한다. "$x \in B^c$"를 정의로 한 번 더 풀면 끝난다. **풀이.** $$ A - B = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \notin B\} $$ $$ A \cap B^c = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \in B^c\} = \{x : x \in A \ \text{그리고}\ x \notin B\} $$ 둘째 등호의 근거: $x \in B^c \iff x \notin B$가 여집합의 정의다. 두 집합의 자격 조건이 완전히 같으므로 같은 집합이다. **복기.** **"차집합은 여집합과의 교집합"** — 앞으로 차집합이 나오면 이 변환을 자유롭게 쓴다. 이 등식은 27주차에서 원소 추적 증명으로 승격된다. ### 문제 13 **접근.** 세 값을 각각 세어 등식에 넣는다. "왜 빼는가"는 $A \cap B$의 원소들이 덧셈에서 몇 번 세어졌는지 추적하면 보인다. **풀이.** $A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$이므로 $|A \cup B| = 5$. 우변: $|A| + |B| - |A \cap B| = 4 + 3 - 2 = 5$ ✓ — 일치한다. 이유: $|A| + |B|$에서 공통 원소 3과 4는 **두 번씩** 세어진다 — 3은 $A$의 원소로 한 번, $B$의 원소로 한 번. 한 번씩만 세어지도록 두 번 세어진 개수 $|A \cap B| = 2$를 한 번 빼 준다. **복기.** "겹친 만큼 빼기" — 14주차 포함–배제 원리의 출발점이고, 이 등식의 증명도 그때 한다. 지금은 수치 확인까지다. ### 문제 14 **접근.** 괄호부터: $B \cap C$, 그다음 좌변. 우변도 괄호 두 개를 각각 계산한 뒤 교집합한다. **풀이.** 좌변: $B \cap C = \{2\} \cap \{3\} = \emptyset$ (공통 원소 없음)이므로 $A \cup (B \cap C) = \{1\} \cup \emptyset = \{1\}$ (문제 10(d)). 우변: $A \cup B = \{1, 2\}$, $A \cup C = \{1, 3\}$이므로 $(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1\}$ (공통 원소는 1뿐). 좌변 = 우변 = $\{1\}$ ✓. (논리의 분배법칙 $P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)$의 집합 버전이다 — 7주차에서 재회한다.) ### 문제 15 **접근.** 원소 추적 틀 그대로: "$x \in A \cap B$라 하자"로 열고, "그리고"로 번역하고, 목표가 "또는" 문장이므로 — §1.3 방향 표 — 가정의 "그리고"에서 한쪽을 뽑으면 목표의 "또는"이 켜진다. **풀이.** **증명.** $x \in A \cap B$라 하자. 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다. 특히 $x \in A$이므로 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"는 참이다. 따라서 합집합의 정의에 의해 $x \in A \cup B$이다. $x$는 $A \cap B$의 임의의 원소였으므로 $A \cap B \subseteq A \cup B$이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 증명의 축은 "그리고에서 한쪽 뽑아 또는 켜기"다 — 가정의 "그리고"는 마음대로 뽑아 쓰고, 목표의 "또는"은 한쪽만 보이면 된다. 방향 표의 두 줄이 각각 한 번씩 일한 최소 사례다. ### 문제 16 **접근.** 상등은 양방향 포함으로 쪼갠다(문제 앞 상자). ①에서 $x \in A \cup B$를 풀면 "또는"이 나온다 — **또는을 만나면 경우를 나눈다**. 각 경우 **모두** 목표 $x \in B$에 도달하는지 확인한다. ②는 문제 15의 "또는 켜기" 한 줄이다. **풀이.** **증명.** $A \subseteq B$라 가정하자. ① $A \cup B \subseteq B$: $x \in A \cup B$라 하자. 합집합의 정의에 의해 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"이다. - 경우 1: $x \in A$. 가정 $A \subseteq B$에 의해 $x \in B$이다. - 경우 2: $x \in B$. 그대로 $x \in B$이다. 두 경우가 "또는"의 전부를 덮고, 어느 경우든 $x \in B$이므로 $A \cup B \subseteq B$이다. ② $B \subseteq A \cup B$: $x \in B$라 하자. 그러면 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"가 참이므로 합집합의 정의에 의해 $x \in A \cup B$이다. ①, ②에 의해 두 집합은 서로 부분집합이므로 $A \cup B = B$이다. $\blacksquare$ **복기.** 경우 나누기의 채점 기준 두 가지가 여기서 다 보인다: ① "또는"이 주는 두 경우가 전체를 빠짐없이 덮는다 ② 각 경우가 각각 $x \in B$로 완결된다. ("서로 부분집합이면 같다"는 상등 판정법은 27주차에서 공식 도구가 된다.) ### 문제 17 **접근.** 수치: 괄호 안부터 착실히. 벤: "$B$에도 $C$에도 안 속하는 $A$ 부분"을 양쪽 방식으로 색칠한다. **풀이.** 수치 확인. $B \cup C = \{2, 4, 5, 6, 7\}$이므로 $$ A - (B \cup C) = \{1, 3, 8, 9, 10\} $$ 한편 $A - B = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}$, $A - C = \{1, 2, 3, 4, 8, 9, 10\}$이고, 두 목록의 공통 원소는 $$ (A - B) \cap (A - C) = \{1, 3, 8, 9, 10\} $$ — 일치한다 ✓. 벤 다이어그램(3개 원): 왼쪽 식은 $A$ 원에서 $B \cup C$가 덮는 부분을 통째로 걷어낸 영역, 오른쪽 식은 "$A$ 중 $B$ 바깥"과 "$A$ 중 $C$ 바깥"의 겹침 — 두 방식 모두 "$A$ 중 $B$와 $C$ 어느 쪽에도 안 걸친 부분"이 색칠된다. **복기.** "합집합을 빼는 것 = 각각 뺀 것의 교집합" — 드모르간의 차집합 버전이다. 쌍둥이 항등식 $A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$와 함께 27주차에서 증명한다. ### 문제 18 **접근.** $A$를 "$B$와 겹친 부분"과 "안 겹친 부분"으로 두 동강 내면, 두 조각을 다시 합치면 $A$가 된다는 그림이 보인다. **풀이.** 수치 확인: $A - B = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}$, $A \cap B = \{2, 4, 6\}$이고 $$ (A - B) \cup (A \cap B) = \{1, 2, \dots, 10\} = A $$ — 일치한다 ✓. 벤 다이어그램: $A - B$(초승달)와 $A \cap B$(겹친 렌즈)는 $A$를 겹침 없이 정확히 둘로 나눈 조각이다 — 두 조각은 **서로소**다(초승달의 원소는 $x \notin B$, 렌즈의 원소는 $x \in B$이므로 공통 원소가 있을 수 없다). 서로소인 두 조각을 합치면 $A$ 전체가 복원된다. (이런 "겹침 없는 쪼개기"를 분할(partition)이라 하며 37주차의 주인공이다. 14주차의 포함–배제 증명이 이 쪼개기를 부품으로 쓴다.) ### 문제 19 **접근.** ①은 예제 2.3 그대로다. ②가 실제 일이다: $x \in A$에서 출발해 "$x \in A$ 그리고 $x \in B$"를 만들어야 한다 — 뒤쪽 조각은 가정 $A \subseteq B$가 준다. **풀이.** **증명.** $A \subseteq B$라 가정하자. ① $A \cap B \subseteq A$: 예제 2.3에서 증명했다. 재현하면 — $x \in A \cap B$라 하자. 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다. 특히 $x \in A$이다. 따라서 $A \cap B \subseteq A$이다. ② $A \subseteq A \cap B$: $x \in A$라 하자. 가정 $A \subseteq B$에 의해 $x \in B$이기도 하다. 따라서 "$x \in A$ 그리고 $x \in B$"가 성립하므로, 교집합의 정의에 의해 $x \in A \cap B$이다. 따라서 $A \subseteq A \cap B$이다. ①, ②에 의해 두 집합은 서로 부분집합이므로 $A \cap B = A$이다. $\blacksquare$ **복기.** 목표가 "그리고" 문장일 때는 두 조각을 **모두** 마련해야 한다 — 한 조각은 출발점이, 다른 조각은 가정이 대는 것이 이 문제의 설계다. 가정 쪽 "그리고"의 한쪽 뽑기(①)와 정확히 대칭이다. ### 문제 20 **접근.** $\subseteq$ 방향: $A - B$의 원소는 정의상 $A$의 원소 — 정의에서 바로 나온다. $\supseteq$ 방향: $x \in A$를 $A - B$에 넣으려면 "$x \notin B$"가 추가로 필요하다. 만약 $x \in B$라면? $x$는 $A$와 $B$ 양쪽에 있게 되어 $A \cap B = \emptyset$(서로소)과 충돌한다 — 있어서는 안 될 일이 벌어지므로 $x \notin B$일 수밖에 없다(문제 앞 상자의 "만약 ~라면 모순"). **풀이.** **증명.** $A \cap B = \emptyset$이라 가정하자. ① $A - B \subseteq A$: $x \in A - B$라 하자. 차집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \notin B$이다. 특히 $x \in A$이다. 따라서 $A - B \subseteq A$이다. ② $A \subseteq A - B$: $x \in A$라 하자. 만약 $x \in B$라면 "$x \in A$ 그리고 $x \in B$"가 성립하여 $x \in A \cap B$가 되는데, 이는 $A \cap B = \emptyset$ — 원소가 하나도 없는 집합 — 에 원소가 있다는 뜻이 되어 모순이다. 따라서 $x \notin B$이다. $x \in A$이면서 $x \notin B$이므로, 차집합의 정의에 의해 $x \in A - B$이다. 따라서 $A \subseteq A - B$이다. ①, ②에 의해 $A - B = A$이다. $\blacksquare$ **복기.** ②에서 쓴 "만약 ~라면 모순이므로 ~가 아니다"가 귀류법의 씨앗이다 (21주차에서 정식 도구가 된다). 부정형 정보($x \notin B$)를 직접 만들기 어려울 때, 반대를 가정해 충돌을 끌어내는 이 한 걸음이 표준 우회로다. --- **다음 주 예고:** 순서쌍과 데카르트 곱($A \times B$)으로 좌표평면의 정체를 밝히고, 1부(집합) 전체를 총정리 모의시험으로 마무리한다.