C12주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

내용

C12주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 판정을 함께 만들기#

완성된 답안을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 만들고, 2.2는 설계만 함께 하며, 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 산문으로 읽는다.

예제 2.1 — 전단사 증명#

Result. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x - 3\)은 전단사이다.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것 (도착점)을 먼저 정한다. 둘 다 정의 12.2로 번역해서 얻는다. 전단사는 두 판정의 연접이므로, 번역표도 두 줄로 갈라진다.

	말	수식 번역
가정 (주어진 것)	무대와 대응 규칙	정의역 \(\mathbb{R}\), 공역 \(\mathbb{R}\), \(f(x) = 2x - 3\)
목표 1 (만들 것)	\(f\)가 단사	출발점 “\(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자”, 도착점 “\(\underline{\quad(1)\quad}\)”
목표 2 (만들 것)	\(f\)가 전사	출발점 “\(\underline{\quad(2)\quad}\)”, 도착점 “증인 \(x\) 제시 + \(\underline{\quad(3)\quad}\) 검증 + \(\underline{\quad(4)\quad}\) 검증”

확인 13. 번역표의 빈칸 (1)~(4)를 §1.3의 서식 표를 보고 채워 보자.

답

(1) \(x_1 = x_2\) (2) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자

(3) 자격 \(x \in \mathbb{R}\) (4) 사건 \(f(x) = y\).

출발점과 도착점이 정해졌으므로 남은 것은 그 사이의 계산이다. 두 목표는 서로

독립이며, 답안에서도 (단사)와 (전사) 두 문단으로 나누어 적는다.

1단계 — 단사의 첫 문장. 단사 증명은 두 입력의 값이 같다는 선언으로 시작한다. S6주차의 이중 선택이며, 사건이 조건문인 경우다.

확인 14. 첫 문장과 그다음 한 줄을 완성해 보자.

“\(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. 그러면 \(\underline{\quad} = \underline{\quad}\)이다.”

답

“\(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. 그러면 \(2x_1 - 3 = 2x_2 - 3\)이다.”

정의를 대입해 말을 등식으로 바꾼 줄이며, 근거 ①이다. 여기부터는 등식의

성질(근거 ③)만으로 밀어붙일 수 있다.

2단계 — 단사의 몸통. 도착점은 \(x_1 = x_2\)이므로, 양변에서 \(x\)만 남기는 연산을 순서대로 적용한다.

확인 15. \(2x_1 - 3 = 2x_2 - 3\)에서 \(x_1 = x_2\)까지 두 걸음으로 적어 보자.

각 걸음이 어떤 연산인지도 함께 밝힌다.

답

양변에 3을 더하면 \(2x_1 = 2x_2\)이고, 양변을 2로 나누면 \(x_1 = x_2\)이다.

두 연산 모두 되돌릴 수 있는 연산이라 등식이 보존된다 — 근거 ③.

되돌릴 수 없는 연산(양변 제곱 등)을 쓰면 이 자리가 무너지며, 그것이 문제 18의

답안이 걸리는 지점이다.

3단계 — 전사의 첫 문장과 증인 만들기. 전사 증명은 공역의 원소 하나를 임의로 잡는 선언으로 시작한다(S6주차). 증인은 연습장에서 역산으로 찾는다.

확인 16. 연습장에서 \(y = 2x - 3\)을 \(x\)에 대해 풀어 보자. 그리고 답안의

두 문장을 완성해 보자.

“임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(x = \underline{\quad}\)로 두자.”

답

\(y = 2x - 3\)에서 \(y + 3 = 2x\), 곧 \(x = \frac{y+3}2\).

“임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(x = \frac{y+3}2\)로 두자.”

역산은 연습장에서 하는 일이고, 답안에는 결과만 제시한다 — S5주차 구성법의

걸음 배치 그대로다.

4단계 — 두 검증. 증인을 내놓았으면 자격과 사건을 각각 확인한다. §1.3의 삭제 실험이 보인 대로, 여기서 빠지는 것은 거의 언제나 자격 쪽이다.

확인 17. 두 검증을 각각 한 줄로 적어 보자.

자격: “\(\underline{\qquad}\)이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다.”

사건: “\(f(x) = 2 \cdot \frac{y+3}2 - 3 = \underline{\qquad} = y\)이다.”

답

자격: “실수의 합을 0이 아닌 실수로 나눈 값은 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다”

— 근거 ②.

사건: “\(f(x) = 2 \cdot \frac{y+3}2 - 3 = (y+3) - 3 = y\)이다” — 근거 ③.

이 함수에서는 자격 검증이 한 줄로 끝나지만, §1.1의 \(x^2\)에서는 바로 이 줄이

채워지지 않았다. 쉽게 통과한다는 것과 적지 않아도 된다는 것은 다르다.

5단계 — 결론의 선언. 두 판정이 각각 끝났으므로 정의 12.2의 전단사 조항을 인용해 마무리한다.

확인 18. 마지막 문장을 완성해 보자.

“\(f\)는 \(\underline{\quad}\)이고 \(\underline{\quad}\)이므로 \(\underline{\quad}\)이다.”

답

“\(f\)는 단사이고 전사이므로 전단사이다.”

전단사는 새로 증명할 것이 있는 성질이 아니라 두 판정의 연접이라는 사실이

이 한 줄에 들어 있다.

완성본. 방금 만든 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 “왜”에 스스로 답해 본다.

증명의 한 줄	왜 이 줄을 쓰는가?
(단사) \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. 그러면 \(2x_1 - 3 = 2x_2 - 3\)이다.	단사 서식의 첫 문장(S6주차 이중 선택) 뒤에 정의를 대입해 말을 등식으로 바꾼다(근거 ①).
양변에 3을 더하면 \(2x_1 = 2x_2\)이고, 양변을 2로 나누면 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 \(f\)는 단사이다.	되돌릴 수 있는 연산만 써서 도착점 \(x_1 = x_2\)에 닿는다(근거 ③).
(전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(x = \frac{y+3}2\)로 두자.	전사 서식의 첫 문장은 공역 원소의 임의 선택이고(걸음 ①), 이어 증인을 제시한다(걸음 ②). 증인은 \(y = 2x-3\)의 역산으로 찾았다.
실수의 합을 0이 아닌 실수로 나눈 값은 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다.	자격 검증(걸음 ③). 이 줄이 빠지면 §1.1의 붕괴가 재연된다.
\(f(x) = 2 \cdot \frac{y+3}2 - 3 = (y+3) - 3 = y\)이다. 따라서 \(f\)는 전사이다.	사건 검증(걸음 ④). 증인이 실제로 \(y\)로 감을 계산으로 확인한다.
\(f\)는 단사이고 전사이므로 전단사이다. \(\blacksquare\)	정의 12.2의 전단사 조항을 인용해 두 판정을 하나로 묶는다.

부산물. 전사 증명에서 만든 증인 식 \(x = \frac{y+3}2\)이 그대로 역함수다 — \(f^{-1}(y) = \frac{y+3}2\). 핵심 정리 12.1이 보장하는 것이 이것이고, 확인 7에서 “역산으로 얻은 식이 역함수의 후보”라고 적어 둔 것이 여기서 확정된다.

예제 2.2 — 단사·전사 반증#

과제. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)의 단사\(\cdot\)전사를 판정한다.

이번에는 설계만 함께 하고, 완성본은 표로 본다.

확인 19. 두 판정 모두 “아니다”로 갈 것이다. 각 반증에서 검증해야 할 것을

두 개씩 적어 보자. 확인 5의 부정 전개를 그대로 쓴다.

단사 반증: \(\underline{\qquad}\) / \(\underline{\qquad}\)

전사 반증: \(\underline{\qquad}\) / \(\underline{\qquad}\)

답

단사 반증: ① 제시한 두 입력이 실제로 서로 다르다 ② 그 두 입력의 값이 실제로 같다.

전사 반증: ① 제시한 \(b_0\)가 실제로 공역의 원소다 ② \(f(a) = b_0\)인 \(a\)가

정의역에 하나도 없다.

각 반증마다 검증이 둘이므로, 답안에는 네 문장이 들어간다. 판정 낱말만 적은

답안이 반쪽으로 채점되는 이유다.

성질	판정	증명 또는 반례
단사	아님	\(a_1 = -1\), \(a_2 = 1\)로 두자. \(-1 \neq 1\)이고(검증 ①), \(f(-1) = (-1)^2 = 1\)이며 \(f(1) = 1^2 = 1\)이므로 \(f(-1) = f(1)\)이다(검증 ②). 따라서 단사가 아니다.
전사	아님	\(b_0 = -1\)로 두자. \(-1 \in \mathbb{R}\)이다(검증 ①). 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 = -1\)인 실수 \(x\)는 없다(검증 ②). 따라서 전사가 아니다.

무대를 바꾸면. §1.2의 표에서 본 대로, \(f_5 : [0,\infty) \to [0,\infty)\), \(f_5(x) = x^2\)은 전단사다. 정의역을 줄여 부호가 다른 두 입력을 떼어 놓았고, 공역을 줄여 덮이지 않던 음수를 없앴다 — 무대 조정의 두 방향이 한 함수에서 동시에 일어난 사례다. 판정이 바뀐 것이 아니라 함수가 바뀐 것이다.

예제 2.3 — 합성과 역함수#

Result. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x + 1\)의 역함수를 구하고 \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}\)를 확인한다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

확인 20. 이 과제의 답안에 반드시 들어가야 할 것을 순서대로 적어 보자.

“역함수를 구하라”는 지시에 계산 한 줄만 답하면 무엇이 빠지는가.

답

① \(f\)가 전단사임을 확인한다 — 핵심 정리 12.1에 의해 이것이 역함수의 자격이며,

자격 없이 \(f^{-1}\)이라는 표기를 쓰면 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다.

② 역산으로 후보를 구한다. ③ 양방향 합성이 항등함수임을 둘 다 확인한다

(확인 10). 계산 한 줄만 적으면 ①과 ③이 통째로 빠진다.

증명. 먼저 \(f\)가 전단사임을 본다. (단사) \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하면 \(3x_1 + 1 = 3x_2 + 1\)이고, 양변에서 1을 빼고 3으로 나누면 \(x_1 = x_2\)이다. (전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡고 \(x = \frac{y-1}3\)으로 두면, 실수의 차를 0이 아닌 실수로 나눈 값은 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이고

\[ f(x) = 3 \cdot \frac{y-1}3 + 1 = (y - 1) + 1 = y \]

이다. 따라서 \(f\)는 전단사이고, 핵심 정리 12.1에 의해 역함수를 가진다. 후보는 전사 증명에서 만든 식 \(g(y) = \frac{y-1}3\)이다. 두 합성을 확인한다.

\[ (g \circ f)(x) = g(3x+1) = \frac{(3x+1) - 1}3 = \frac{3x}3 = x \]

\[ (f \circ g)(y) = f\Big(\frac{y-1}3\Big) = 3 \cdot \frac{y-1}3 + 1 = (y-1) + 1 = y \]

곧 \(g \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\)이고 \(f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\)이므로 정의 12.4에 의해 \(g\)가 \(f\)의 역함수다. 따라서 \(f^{-1}(y) = \frac{y-1}3\)이다. \(\blacksquare\)

이번 답안은 표 없이 산문으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 원서와 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다.

관찰 — 세 예제의 같은 뼈대#

예제 2.1, 2.2, 2.3은 다루는 대상이 다를 뿐 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

걸음	예제 2.1	예제 2.2	예제 2.3
무대 확인	\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)	\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
목표의 겉모양	단사 증명 + 전사 증명	\(\underline{\quad(1)\quad}\)	\(\underline{\quad(2)\quad}\)
첫 문장	서식 표의 두 첫 문장	반례 쌍과 \(b_0\)의 제시	\(\underline{\quad(3)\quad}\)
검증 항목	자격 + 사건	다름 + 같음 / 소속 + 부재	\(\underline{\quad(4)\quad}\)
마무리	정의 12.2 인용	정의 12.2의 부정 인용	\(\underline{\quad(5)\quad}\)

확인 21. 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자.

답

(1) 단사 반증 + 전사 반증 (2) 전단사 증명 + 역함수 확정

(3) 예제 2.1과 같은 두 첫 문장 (전단사 확인이 앞에 오므로)

(4) 자격 + 사건 + 양방향 합성 (5) 정의 12.4와 핵심 정리 12.1 인용.

세 예제 모두 **목표의 겉모양을 먼저 읽고 \(\to\) 서식을 고르고 \(\to\) 걸음마다 검증을

붙인다.** 바뀌는 것은 서식의 이름과 검증 항목뿐이다.

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

함수 판정의 3단계 틀

① 무대(정의역\(\cdot\)공역)와 대응 규칙을 적는다 \(\to\) ② 목표의 겉모양으로 네 서식 중 하나를 고른다 \(\to\) ③ 그 서식의 걸음마다 검증을 붙여 답안을 채운다

이 틀은 C13주차의 기수 비교와 C19주차의 군 동형에서 그대로 다시 쓴다. 바뀌는 것은 ①의 무대뿐이다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸#

Result. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 5x - 2\)는 전단사이다.

증명. (단사) \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. 그러면 \(5x_1 - 2 = 5x_2 - 2\)이고, 양변에 2를 더하고 5로 나누면 \(\underline{\quad(1)\quad}\)이다.

(전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(x = \underline{\quad(2)\quad}\)로 두자. 실수의 합을 0이 아닌 실수 5로 나눈 값은 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다. 그러면

\[ f(x) = 5 \cdot \underline{\quad(2)\quad} - 2 = (y + 2) - 2 = \underline{\quad(3)\quad} \]

이다. 단사이고 전사이므로 \(f\)는 전단사이다. \(\blacksquare\)

이어서 역함수는 \(f^{-1}(y) = \underline{\quad(4)\quad}\)이고, 검산하면 \((f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(5x - 2) = \underline{\quad(5)\quad}\)이다.

훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께#

이번에는 서식 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

Result. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 7 - 4x\)는 전단사이다.

증명. (단사) \(\underline{\quad(1)\quad}\)라 하자. 그러면 \(7 - 4x_1 = 7 - 4x_2\)이고, 양변에서 7을 빼면 \(\underline{\quad(2)\quad}\)이며, 양변을 \(-4\)로 나누면 \(x_1 = x_2\)이다. 여기서 쓴 근거는 \(\underline{\quad(3)\quad}\)이다.

(전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(x = \underline{\quad(4)\quad}\)로 두자. \(\underline{\quad(5)\quad}\)이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다 (근거 ②). 그러면

\[ f(x) = 7 - 4 \cdot \underline{\quad(4)\quad} = 7 - (7 - y) = \underline{\quad(6)\quad} \]

이다. 따라서 \(f\)는 \(\underline{\quad(7)\quad}\)이고, 핵심 정리 12.1에 의해 역함수를 가진다.

역함수의 확정: 전사 증명에서 만든 증인 식이 그대로 후보다. \((f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(7 - 4x) = \underline{\quad(8)\quad}\)이고 \((f \circ f^{-1})(y) = y\)이므로, 정의 12.4에 의해 (4)에 적은 식이 곧 \(f^{-1}(y)\)다. \(\blacksquare\)

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

이번에는 판정 자체를 정하는 것부터 시작한다. 위 두 훈련과 달리 결론이 주어져 있지 않다.

과제. \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = 3n + 1\)의 단사\(\cdot\)전사를 판정하고 각각을 증명 또는 반증한다.

① 두 판정: 단사는 \(\underline{\quad(1)\quad}\), 전사는 \(\underline{\quad(2)\quad}\)
② 단사 쪽 답안 전체: \(\underline{\quad(3)\quad}\)
③ 전사 쪽 답안 전체(검증 두 개를 모두 포함): \(\underline{\quad(4)\quad}\)
④ 무대 조정: 공역을 어떻게 줄이면 전단사가 되는가 — \(\underline{\quad(5)\quad}\)

(이 훈련이 문제 9의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 함수 판정 답안에는 채점 항목이 넷이다.

① 무대(정의역\(\cdot\)공역)가 답안에 적혀 있는가. 무대 없는 판정은 판정이 아니다.

② 증명 쪽은 서식의 첫 문장으로 시작했는가. 전사 증명이면 자격 검증 줄이 있는가.

③ 반증 쪽은 검증 두 개가 다 적혀 있는가. 판정 낱말만 적은 답안은 절반이다.

④ 역함수를 다루는 문항에서, 전단사 확인과 양방향 합성이 둘 다 있는가.

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. [백지] 함수 정의, 단사\(\cdot\)전사\(\cdot\)전단사 정의\(\cdot\)증명 서식, 역함수 존재 조건, 상\(\cdot\)원상 정의를 쓰시오.

힌트

정의를 문장으로 통째로 외우면 일부를 잊었을 때 복구할 길이 없다. §1.3의 서식

표는 “첫 문장 / 도착점” 두 칸이고, §1.5의 표는 “전체성은 전사, 유일성은 단사”

두 줄이다. 두 표만 복구하면 나머지는 따라 나온다.

2. 각 함수의 단사\(\cdot\)전사를 판정하시오 (무대 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), 반례 포함). (a) \(f(x) = x + 7\) (b) \(f(x) = x^3\) (c) \(f(x) = |x|\) (d) \(f(x) = 2^x\)

힌트

네 문항 모두 무대가 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)로 고정되어 있으므로, 물어야 할

것은 두 가지다 — 부호가 다른 두 입력이 뭉치는가, 그리고 음수나 0이 덮이는가.

(b)에서 \(x_1^3 = x_2^3\)을 다룰 때는 세제곱의 차를 인수분해한다.

(d)에서 \(2^x\)이 취하지 못하는 값이 무엇인지 먼저 적는다.

3. 예제 2.1(전단사 증명)을 백지 재현하시오.

힌트

계산이 아니라 걸음의 배치를 재현하는 문항이다. (단사)와 (전사) 두 문단으로

나누고, 전사 문단에 자격 검증 줄이 실제로 들어갔는지 확인한다.

4. §3의 빈칸 사다리 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

힌트

훈련 3이 이 문항의 본체다. 판정이 주어져 있지 않으므로 §1.2의 표처럼

작은 값 몇 개를 대입해 방향을 먼저 정하고, 정한 뒤에 서식을 고른다.

5. 예제 2.2(\(x^2\) 반증)를 백지 재현하시오.

힌트

반례의 값만 적으면 절반이다. 확인 19에서 세어 둔 네 개의 검증 문장이

답안에 전부 있는지가 채점 대상이다.

6. \(f(x) = 4x - 1\)의 역함수를 구하고 \(f^{-1} \circ f = \text{id}\)를 확인하시오.

힌트

무대는 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)로 읽는다. 답안 첫 줄에 그 선언을 적고

시작한다 — 무대 없는 판정은 판정이 아니다(채점 기준 ①).

그다음은 확인 20의 세 걸음을 그대로 밟는다. 역산 한 줄만 적으면 전단사 확인과

양방향 합성이 빠진다.

표준 ●●○#

7. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^3 + 1\)이 전단사임을 증명하시오.

힌트

단사 쪽은 \(x_1^3 = x_2^3\)까지 정리한 뒤 S13주차 문제 19가 세운 사실

(“실수 \(a\)에 대해 \(x^3 = a\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나”)을 인용한다. 전사 쪽은

\(y = x^3 + 1\)을 \(x\)에 대해 풀어 증인을 만들고, 같은 정리의 존재 절반이

그 증인이 실수임을 보증한다 — 그 인용이 자격 검증이다.

8. 합성의 단사 보존: \(f, g\)가 단사이면 \(g \circ f\)가 단사임을 증명하시오.

힌트

첫 문장은 \((g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)\)이고, 정의 12.3으로 풀면

\(g(f(a_1)) = g(f(a_2))\)가 된다. 손에 있는 등식이 “\(g\)의 값 두 개가 같다”이므로

먼저 쓸 수 있는 가정은 둘 중 하나뿐이다.

9. \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(n) = 2n\)의 단사\(\cdot\)전사를 판정하시오. 무대를 \(\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}\)(짝수 전체)로 바꾸면 판정이 어떻게 달라지는지 함께 쓰시오.

10. 다음 제시된 증명을 평가하시오 (C5주차의 증명 평가 다섯 걸음).

Result. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)은 전사이다.

증명. 임의의 \(y\)에 대해 \(x = \sqrt y\)로 두면 \(f(x) = y\)이다. 따라서 전사.

힌트

걸음 ①부터 건다 — 이 명제 자체가 참인가. 예제 2.2가 이미 답했다.

거짓 명제에 붙은 증명은 반드시 틀렸으므로, 남은 일은 어느 줄이 왜

틀렸는지 지목하는 것이다. 답안에서 검증되지 않은 채 지나간 조건 하나를 찾는다.

이 문제가 빌려 쓰는 서식 — 집합 상등의 두 포함

문제 11은 두 집합이 같음을 보이는 문항이다. 집합 상등은 두 포함

(\(\subseteq\)와 \(\supseteq\))을 각각 보이는 것으로 증명하고, 각 포함은

“왼쪽 집합의 원소를 임의로 잡아 오른쪽 집합에 속함을 보인다”는 원소 추적으로

증명한다(1권 27주차). 이번 주에 새로 하는 일은 원소가 정의역의 점이고

소속 판정이 정의 12.5의 원상 조건이라는 것뿐이다.

11. 원상의 교집합 보존: \(f^{-1}(T_1 \cap T_2) = f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2)\)를 증명하시오.

힌트

양쪽 모두 “\(a\)가 어디에 속하는가”를 정의로 풀면 \(f(a) \in T_1\)이고

\(f(a) \in T_2\)라는 같은 두 조건이 나온다. 두 포함의 논증이 서로의 역순이므로,

두 방향을 각각 적되 같은 줄을 반대로 읽는다는 점을 확인한다.

12. \(f: A \to B\)가 전단사이면 \(f^{-1}: B \to A\)도 전단사임을 증명하시오.

힌트

\(f^{-1}\)을 대상으로 삼아 §1.3의 서식 두 개를 그대로 적용한다. 단사 쪽은

\(f^{-1}(b_1) = f^{-1}(b_2)\)의 양변에 \(f\)를 적용하고, 전사 쪽은 임의의

\(a \in A\)에 대해 증인을 \(b = f(a)\)로 잡는다. 두 곳 모두 정의 12.4의 두 합성

등식이 계산을 끝내 준다.

13. 함수와 분할(섬유): \(f: \{1,2,3,4\} \to \{a, b\}\), \(f(1) = f(2) = a\), \(f(3) = f(4) = b\)에 대해 원상 \(f^{-1}(\{a\})\), \(f^{-1}(\{b\})\)를 구하고 이들이 정의역의 분할임을 확인하시오.

14. 다음이 함수가 아님을 보이시오 (함수 정의 위반). (a) “\(f(x) = \pm\sqrt x\)” (\(x > 0\)) (b) \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), “\(f(x) = \frac1x\)”

힌트

(a)의 공역은 \(\mathbb{R}\)로 읽는다 — 정의역 \((0,\infty)\)와 함께 확인 4의 (나)와

같은 무대다. 두 문항 모두 정의 12.1의 두 책임 중 어느 쪽이 깨지는지 이름을

붙이고, 깨지는 지점을 구체적인 입력 하나로 지목한다.

도전 ●●●#

15. (전단사 \(\Longleftrightarrow\) 역함수) “함수 \(f: A \to B\)가 역함수를 가짐 \(\Longleftrightarrow\) \(f\)가 전단사”를 양방향 증명하시오.

힌트

(\(\Leftarrow\)) 전단사라는 가정에서 \(g\)를 만들어야 한다 — 각 \(b\)에 대해

“\(f(a) = b\)인 \(a\)”를 값으로 삼되, 그것이 함수임을 §1.5의 표 두 줄로 정당화한다.

(\(\Rightarrow\)) 역함수 \(g\)가 손에 있으면 두 합성 등식이 곧바로

단사와 전사를 준다 — 단사는 \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)에서, 전사는

\(f \circ g = \mathrm{id}_B\)에서 나온다.

16. (합성 역) \(f, g\)가 전단사이면 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)임을 증명하시오 (순서가 뒤집힌다).

힌트

등식을 직접 계산하지 말고 정의 12.4로 되돌린다 — “\(h\)가 \(g \circ f\)의

역함수이다”는 두 합성이 항등함수라는 뜻이므로, \(h = f^{-1} \circ g^{-1}\)에

대해 그 두 합성을 계산하면 된다. 계산이 끝나면 §1.5의 역함수 유일성이

결론을 등식으로 바꿔 준다.

문제 17이 빌려 쓰는 사실 — 유한집합에서 단사와 전사

유한집합 \(A\)에서 자기 자신으로 가는 함수는 단사이면 전사이고 전사이면

단사다. 근거는 비둘기집 원리이며, 지금은 인정하고 쓴다(C16주차에서

비둘기집 원리를 정식화한다).

무한집합에서는 이 사실이 무너진다 — \(f_6 : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\),

\(f_6(n) = 2n\)이 단사이면서 전사가 아닌 반례이고, 이 어긋남이 C13주차에서

무한의 크기를 재는 출발점이 된다.

17. (\(\mathbb{Z}_5\) 위의 함수) \(f: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\), \(f([x]) = [2x + 1]\)이 (a) well-defined인지 (b) 전단사인지 판정하시오. 유한집합에서 단사와 전사가 동치임도 함께 관찰하시오.

힌트

(a)는 C11주차의 well-defined 검사 그대로다 — \([x] = [x']\)를 가정하고

\([2x+1] = [2x'+1]\)을 유도한다. 정의역의 원소가 대표원이 아니라 동치류이므로

이 검사 없이는 \(f\)가 함수인지조차 정해지지 않는다.

(b)는 \([2]\)가 \(\mathbb{Z}_5\)에서 곱셈 역원 \([3]\)을 가진다는 사실을 쓰면

증인을 직접 만들 수 있다 (C11주차 문제 16).

18. (진단 종합) 다음 제시된 증명을 평가하시오.

Result. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 + 1\)은 단사이다.

증명. \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. \(x_1^2 + 1 = x_2^2 + 1\)이라 \(x_1^2 = x_2^2\)이라 \(x_1 = x_2\). 따라서 단사.

힌트

첫 두 줄은 흠이 없다. 셋째 줄에서 쓴 함의를 따로 떼어 명제로 적어 보고,

그 명제가 참인지 판정한다. 예제 2.1 확인 15가 “되돌릴 수 있는 연산”이라고

못 박아 둔 자리와 대조한다.

19. (설계) \(f: \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R} - \{2\}\), \(f(x) = \frac{2x}{x - 1}\)이 전단사임을 증명하고 역함수를 구하시오. 정의역과 공역에서 각각 \(1\)과 \(2\)를 뺀 이유도 함께 쓰시오.

힌트

단사 쪽은 두 분수식을 교차곱해 정리한다. 전사 쪽은 \(y = \frac{2x}{x-1}\)을

\(x\)에 대해 풀되, 얻은 증인이 정의역에 실제로 속하는지 — 곧 \(1\)이 아닌지 —

를 반드시 확인한다. 두 제외의 이유는 서로 다르다: 하나는 값이 정의되지 않는

자리이고, 다른 하나는 치역에 없는 값이다.

20. (서술) (a) “전단사가 역함수의 자격”인 이유를 존재(전사)\(\cdot\)유일(단사)의 언어(S13주차)로, 예제 2.3으로 뒷받침해 세 문장 이내로 쓰시오. (b) 함수가 정의역에 낳는 분할(섬유)이 C11주차의 동치관계와 어떻게 이어지는지 두 문장 이내로 쓰시오.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

이 과정의 한 주는 다섯 날로 나뉜다. 교안만 보는 주가 아니라 원서와 교안을 번갈아 읽는 주이므로, 백지 재현은 마지막 날에 놓인다.

요일	할 일
1일차	원서 Chartrand 10장 통독 — 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다
2일차	교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자를 연필로 먼저 채운다
3일차	원서 10장 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 연습문제 몇 개를 직접 시도한다
4일차	교안 §3 빈칸 사다리와 §4 연습문제 20문항
5일차	백지 재현 1차(틀 카드)\(\cdot\)2차(완전 백지) + 체크리스트

1차 시도 — 틀 카드 허용. §1.3의 네 서식 표와 §1.5의 두 책임 표, 근거 목록 (§1.7)만 한 장에 적어 펴 놓고, 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 계산은 보지 않는다.

2차 시도 — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점	처방
첫 문장이 나오지 않는다	§1.3의 서식 표 — 첫 문장은 창작이 아니라 목표의 겉모양이 정해 준다
전사 증명에서 증인이 떠오르지 않는다	예제 2.1의 3단계 — 연습장에서 \(b = f(a)\)를 \(a\)에 대해 역산한다
증명은 썼는데 채점에서 절반이 깎인다	§1.3의 걸음 삭제 실험 — 빠진 것은 대개 자격 검증이다
반증을 한 줄로 적고 끝낸다	확인 19 — 반증마다 검증이 두 개다
판정이 무대에 따라 달라지는 것이 납득되지 않는다	§1.2의 표와 무대 조정 상자 — \(x^2\)의 네 무대를 다시 채워 본다
역함수를 계산 한 줄로 끝낸다	확인 20과 예제 2.3 — 전단사 확인과 양방향 합성이 답안의 절반이다
원상과 역함수의 기호를 섞는다	§1.6 읽는 법 — 원상은 집합이고 역함수는 함수다
섬유가 왜 분할인지 말하지 못한다	§1.6 확인 11과 문제 13 — 조각으로 세는 것은 치역의 원소에 대한 섬유뿐이다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(x_1 = x_2\) (2) \(\frac{y+2}5\) (3) \(y\) (4) \(\frac{y+2}5\) (5) \(x\)

※ 이 훈련의 관절은 (2)다. 증인은 \(y = 5x - 2\)를 \(x\)에 대해 푼 결과이며, (4)의 역함수 식과 글자 하나까지 같다. 전사 증명의 증인 식이 곧 역함수라는 §1.5의 관찰이 이 두 빈칸의 일치로 보인다. (5)의 계산은 \(f^{-1}(5x-2) = \frac{(5x-2)+2}5 = \frac{5x}5 = x\)이다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) \(f(x_1) = f(x_2)\) (2) \(-4x_1 = -4x_2\) (3) 근거 ③ 등식의 성질(양변에 같은 수를 더하고 0이 아닌 수로 나누는 연산) (4) \(\frac{7-y}4\) (5) 실수의 차를 0이 아닌 실수로 나눈 값은 실수 (6) \(y\) (7) 전단사 (8) \(x\)

※ (5)가 이 훈련에서 새로 요구하는 칸이다. 자격 검증의 근거는 언제나 근거 ② 닫힘성이고, 무대가 \(\mathbb{R}\)이므로 “0으로 나누지 않았다”까지 확인하면 끝난다. (8)의 계산은 \(\frac{7 - (7 - 4x)}4 = \frac{4x}4 = x\)이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 단사이다 (2) 전사가 아니다

(3) 단사 쪽 답안: \(f(n_1) = f(n_2)\)라 하자. 그러면 \(3n_1 + 1 = 3n_2 + 1\)이고, 양변에서 1을 빼면 \(3n_1 = 3n_2\)이며, 양변을 3으로 나누면 \(n_1 = n_2\)이다. 따라서 \(f\)는 단사이다.

(4) 전사 쪽 답안: \(b_0 = 0\)으로 두자. \(0 \in \mathbb{Z}\)이다(검증 ①). \(3n + 1 = 0\)이면 \(3n = -1\)이고 \(n = -\frac13\)인데 이는 정수가 아니므로, \(f(n) = 0\)인 정수 \(n\)은 없다(검증 ②). 따라서 \(f\)는 전사가 아니다.

(5) 공역을 치역으로 줄인다 — \(B' = \{3m + 1 : m \in \mathbb{Z}\}\)로 둔다. 공역을 갈아 끼웠으므로 먼저 이 선언이 함수인지 본다: 모든 정수 \(n\)에 대해 \(3n + 1\)은 \(B'\)의 원소이므로 \(f(n) \in B'\)이고, 따라서 \(f : \mathbb{Z} \to B'\)는 정의 12.1의 두 책임을 만족하는 함수다. 그다음 전사를 본다 — 임의의 \(3m+1 \in B'\)에 대해 증인 \(n = m\)이 있으므로 전사가 되고, 단사는 공역을 줄여도 유지되므로 전단사가 된다.

※ 이 훈련의 관절은 (2)를 정하는 자리다. 결론이 주어져 있지 않으므로 \(n\)에 작은 정수를 넣어 값 \(\dots, -2, 1, 4, 7, \dots\)을 훑고, 그 목록에 없는 정수가 보이는 순간 방향이 정해진다. 방향을 정한 뒤에 서식을 고르는 순서를 지킨다.

문제 1#

접근. 백지 문항의 채점 대상은 낱말이 아니라 구조다. 정의는 조각 단위로, 서식은 “첫 문장 / 도착점” 단위로 복구한다. 표 두 장 — §1.3의 서식 표와 §1.5의 두 책임 표 — 만 복구하면 나머지는 그 표에서 따라 나온다.

풀이. 답안에 다음이 모두 있어야 한다. ① 함수: 각 \(a \in A\)에 \(B\)의 원소가 정확히 하나 대응한다. 정의역\(\cdot\)공역\(\cdot\)치역의 구분과, “정확히 하나”가 전체성과 유일성 두 책임이라는 것. ② 단사: \(f(a_1) = f(a_2)\)이면 \(a_1 = a_2\). 전사: 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)가 존재한다. 전단사: 둘 다. ③ 네 서식: 단사 증명(”\(f(a_1) = f(a_2)\)라 하자” \(\to\) “\(a_1 = a_2\)”), 단사 반증 (두 입력의 다름 + 값의 같음), 전사 증명(“임의의 \(b\)를 잡자” \(\to\) 증인 + 자격 + 사건), 전사 반증(\(b_0\)의 소속 + 원상의 부재). ④ 역함수 존재 조건: \(f\)가 전단사인 것과 동치이며, 전체성은 전사가 유일성은 단사가 담당한다(핵심 정리 12.1). ⑤ 상 \(f(S) = \{f(a) : a \in S\}\), 원상 \(f^{-1}(T) = \{a \in A : f(a) \in T\}\). 원상은 \(f\)가 전단사가 아니어도 정의되는 집합이다.

복기. 백지에서 빠지는 것은 거의 언제나 ③의 반증 두 줄과 ④의 담당 표다. 증명 쪽만 외우면 반증 문항에서 검증이 한 개로 줄고, 담당 표를 잊으면 “전단사라야 역함수가 있다”는 결론만 남고 이유가 사라진다.

문제 2#

접근. 무대가 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)로 고정되어 있으므로 물을 것은 두 가지다 — 서로 다른 두 입력이 같은 값으로 가는가(단사), 그리고 실수 전체가 덮이는가(전사). 각 문항에서 먼저 그래프나 작은 값을 떠올려 방향을 정하고, 방향이 정해진 뒤에 §1.3의 네 서식 중 하나를 고른다.

풀이.

(a) \(f(x) = x + 7\) — 전단사. 단사: \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하면 \(x_1 + 7 = x_2 + 7\)이고, 양변에서 7을 빼면 \(x_1 = x_2\)이다. 전사: 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)에 대해 \(x = y - 7\)로 두면 실수의 차는 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이고, \(f(x) = (y - 7) + 7 = y\)이다.

(b) \(f(x) = x^3\) — 전단사. 단사: \(x_1^3 = x_2^3\)이라 하자. 그러면 \(0 = x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)\)이다. 둘째 인수는 \(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = \big(x_1 + \frac{x_2}2\big)^2 + \frac34 x_2^2 \ge 0\)이고, 0이 되는 것은 \(x_2 = 0\)이면서 \(x_1 = 0\)일 때뿐이다. 둘째 인수가 0이면 \(x_1 = x_2 = 0\)이라 결론이 성립하고, 0이 아니면 첫째 인수가 0이라 \(x_1 = x_2\)이다. 어느 경우든 \(x_1 = x_2\)이다. 전사: 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)에 대해 \(x = \sqrt[3]{y}\)로 두자. S13주차 문제 19 (“임의의 실수 \(a\)에 대해 \(x^3 = a\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다”)의 존재 절반에 의해 \(y\)의 세제곱근이 실수로 존재하므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다(근거 ④). 그리고 \(f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y\)이다.

(c) \(f(x) = |x|\) — 단사도 전사도 아니다. 단사 반증: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\)로 두면 \(-1 \neq 1\)이고 \(f(-1) = 1 = f(1)\)이다. 전사 반증: \(b_0 = -1\)로 두면 \(-1 \in \mathbb{R}\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대해 \(|x| \ge 0\)이므로 \(f(x) = -1\)인 \(x\)는 없다.

(d) \(f(x) = 2^x\) — 단사이지만 전사가 아니다. 먼저 지수함수에 관한 두 사실을 밝혀 둔다. (가) \(2^x\)은 순증가함수다 — \(x_1 < x_2\)이면 \(2^{x_1} < 2^{x_2}\)이다. (나) 모든 실수 \(x\)에 대해 \(2^x > 0\)이다. 둘 다 지금은 인정하고 쓴다(실수 지수의 정의가 이 과정 밖의 주제이므로 이 교재는 두 사실을 증명하지 않는다). 단사: (가)에 의해 \(f\)는 증가함수이고, 1권 41주차 문제 13(“증가함수는 단사”)에 의해 \(f\)는 단사다 — 근거 ④. 전사 반증: \(b_0 = 0\)으로 두자. \(0 \in \mathbb{R}\)이다(검증 ①). (나)에 의해 모든 실수 \(x\)에 대해 \(2^x > 0\)이므로 \(2^x = 0\)인 \(x\)는 없다(검증 ②).

복기. (c)와 (d)는 실패의 개수가 다르다. (c)는 정의역이 부호를 뭉개게 두어 단사가 깨졌고 공역이 음수까지 포함해 전사도 깨졌다 — 두 실패다. (d)는 공역이 치역보다 넓어 전사만 깨졌다 — 한 실패다. 그래서 처방의 크기가 다르다: (d)는 공역을 \((0,\infty)\)로 줄이는 한 번의 조정으로 전단사가 되고, (c)는 정의역을 \([0,\infty)\)로, 공역을 \([0,\infty)\)로 줄이는 두 조정이 모두 필요하다 — 예제 2.2의 \(f_5\)와 같은 사례다. (d)의 조정이 실제로 전사를 낳는다는 것은 위에서 인정한 (나)만으로는 부족하고 “모든 양수가 \(2^x\) 꼴이다”까지 함께 인정해야 얻어진다. 인정한 사실 위에 선 결론은 그 사실을 답안에 적어 두어야 근거가 된다.

검산. (b)의 인수분해는 \(x_1 = 2\), \(x_2 = 1\)로 확인한다 — \((2-1)(4 + 2 + 1) = 7 = 8 - 1\) ✓.

문제 3#

접근. 계산이 아니라 걸음의 배치를 재현하는 문항이다. 답안을 (단사)와 (전사) 두 문단으로 나누고, 각 문단이 §1.3 서식 표의 첫 문장으로 시작하는지 확인한다. 전사 문단에서 자격 검증 줄이 실제로 적혔는지가 이 문항의 핵심 채점 항목이다.

풀이. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x - 3\)이라 하자.

(단사) \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. 그러면 \(2x_1 - 3 = 2x_2 - 3\)이고, 양변에 3을 더하면 \(2x_1 = 2x_2\)이며, 양변을 2로 나누면 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 \(f\)는 단사이다.

(전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(x = \frac{y+3}2\)로 두자. 실수의 합을 0이 아닌 실수로 나눈 값은 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다(자격 검증). 그러면

\[ f(x) = 2 \cdot \frac{y+3}2 - 3 = (y + 3) - 3 = y \]

이다(사건 검증). 따라서 \(f\)는 전사이다.

\(f\)는 단사이고 전사이므로 전단사이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 답안에서 이식 가능한 것은 일차함수의 계산이 아니라 문단 두 개의 구조다. 문제 7, 문제 19, 훈련 1~2가 모두 같은 두 문단으로 쓰이고, 바뀌는 것은 증인 식과 자격 검증의 근거뿐이다.

문제 4#

접근. 사다리의 세 훈련은 지지대의 양만 다르고 요구하는 것이 같다. 훈련 1은 증인 식을 만드는 역산, 훈련 2는 자격 검증의 근거를 말로 적는 일, 훈련 3은 판정 자체를 정하는 일이 각각 새로 요구되는 부분이다.

풀이. 답은 위의 사다리 해설 세 항목(빈칸 사다리 — 훈련 1\(\cdot\)2\(\cdot\)3)에 그대로 있다. §6 첫머리로 돌아가 자기 답안과 한 칸씩 대조한다. 이 문항이 따로 요구하는 것은 지지대 없이 백지에서 재현하는 일이므로, 대조할 때 볼 것은 다음 세 가지다. 훈련 1 — (2)와 (4)가 같은 식으로 나왔는지 확인한다. 다르게 적혔다면 역산이나 역함수 중 한쪽이 틀린 것이다. 훈련 2 — (3)과 (5)는 수식이 아니라 근거 문장이다. “근거 ③”처럼 번호만 적으면 절반이고, 어떤 연산이 왜 등식을 보존하는지까지 적어야 만점이다. 훈련 3 — (1)(2)를 정한 근거가 답안에 있는지 확인한다. 판정을 먼저 적고 이유를 뒤에 붙이는 순서가 아니라, 작은 값을 훑어 방향을 정한 기록이 연습장에 남아 있어야 한다. (5)의 공역은 \(2\mathbb{Z}\)가 아니라 \(\{3m+1 : m \in \mathbb{Z}\}\)다.

문제 5#

접근. 반증 문항의 채점 대상은 반례의 값이 아니라 검증 문장의 개수다. 확인 19에서 세어 둔 대로 단사 반증에 둘, 전사 반증에 둘, 모두 네 문장이 답안에 있어야 한다.

풀이. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\)이라 하자.

(단사가 아님) \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\)로 두자. \(-1 \neq 1\)이다. 그리고 \(f(-1) = (-1)^2 = 1\)이고 \(f(1) = 1^2 = 1\)이므로 \(f(-1) = f(1)\)이다. 서로 다른 두 입력이 같은 값을 가지므로 \(f\)는 단사가 아니다.

(전사가 아님) \(b_0 = -1\)로 두자. \(-1 \in \mathbb{R}\)이므로 \(b_0\)는 공역의 원소다. 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^2 \ge 0\)이므로 \(x^2 = -1\)인 실수 \(x\)는 없다. 따라서 \(f\)는 전사가 아니다. \(\blacksquare\)

복기. 두 반증 모두 “존재한다”를 증명한 것이다 — 단사의 부정도 전사의 부정도 존재 명제이기 때문이다(확인 5). 그래서 두 반증이 S5주차 구성법의 채점표를 그대로 따르고, 검증 두 개가 곧 자격과 사건에 해당한다.

문제 6#

접근. 확인 20의 세 걸음을 그대로 밟는다. 역산 한 줄만 적으면 전단사 확인과 양방향 합성이 빠지고, 그 둘이 이 문항 배점의 대부분이다.

풀이. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 4x - 1\)이라 하자.

(전단사 확인) \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하면 \(4x_1 - 1 = 4x_2 - 1\)이고, 양변에 1을 더하고 4로 나누면 \(x_1 = x_2\)이므로 단사다. 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)에 대해 \(x = \frac{y+1}4\)로 두면 실수의 합을 0이 아닌 실수로 나눈 값은 실수이므로 \(x \in \mathbb{R}\)이고, \(f(x) = 4 \cdot \frac{y+1}4 - 1 = (y+1) - 1 = y\)이므로 전사다. 따라서 \(f\)는 전단사이고 핵심 정리 12.1에 의해 역함수를 가진다.

(후보) 전사 증명의 증인 식을 그대로 쓴다: \(g(y) = \frac{y+1}4\).

(양방향 합성)

\[ (g \circ f)(x) = g(4x - 1) = \frac{(4x-1)+1}4 = \frac{4x}4 = x \]

\[ (f \circ g)(y) = f\Big(\frac{y+1}4\Big) = 4 \cdot \frac{y+1}4 - 1 = (y+1) - 1 = y \]

따라서 \(g \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\), \(f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\)이고 \(f^{-1}(y) = \frac{y+1}4\)이다. \(\blacksquare\)

검산. \(f(2) = 7\)이고 \(f^{-1}(7) = \frac{7+1}4 = 2\) ✓.

문제 7#

접근. 단사 쪽은 \(x_1^3 + 1 = x_2^3 + 1\)에서 1을 소거해 \(x_1^3 = x_2^3\)까지 간 다음, 세제곱이 단사라는 사실을 인용한다. 그 사실은 S13주차 문제 19가 세운 “실수 \(a\)에 대해 \(x^3 = a\)인 실수 \(x\)는 정확히 하나 존재한다”의 유일성 절반이며, 근거 ④로 인용할 수 있다. 전사 쪽은 \(y = x^3 + 1\)을 역산해 증인을 만들고, 그 증인이 실수라는 자격 검증은 같은 정리의 존재 절반을 인용해 채운다. 한 정리의 두 절반이 한 답안 안에서 서로 다른 자리에 들어가는 것이 이 문항의 구조다.

풀이. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^3 + 1\)이라 하자.

(단사) \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. 그러면 \(x_1^3 + 1 = x_2^3 + 1\)이고, 양변에서 1을 빼면 \(x_1^3 = x_2^3\)이다. 이 값을 \(a\)라 두면 \(x_1\)과 \(x_2\)는 모두 \(x^3 = a\)의 실수 해다. S13주차 문제 19에 의해 그런 해는 정확히 하나뿐이므로 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 \(f\)는 단사이다.

(전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R}\)를 잡자. \(x = \sqrt[3]{y - 1}\)로 두자. S13주차 문제 19의 존재 절반에 의해 \(y - 1\)의 세제곱근이 실수로 존재하므로 \(x \in \mathbb{R}\)이다(자격 검증 — 근거 ④). 그러면

\[ f(x) = \big(\sqrt[3]{y-1}\big)^3 + 1 = (y - 1) + 1 = y \]

이다(사건 검증). 따라서 \(f\)는 전사이다.

\(f\)는 단사이고 전사이므로 전단사이다. \(\blacksquare\)

복기. 단사 쪽에서 인용한 것은 유일성이고, 전사 쪽에서 쓴 것은 존재다 — S13주차의 “정확히 하나”가 한 정리 안에서 두 번, 서로 다른 역할로 쓰였다. \(x^2\)에서는 이 인용이 불가능하다는 점이 문제 2(c)\(\cdot\)18과의 차이다.

검산. \(f(-1) = -1 + 1 = 0\)이고 증인 식은 \(y = 0\)에서 \(\sqrt[3]{-1} = -1\) ✓.

문제 8#

접근. 목표가 “\(g \circ f\)가 단사”이므로 첫 문장은 서식이 정해 준다 — \((g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)\)라 하자. 그다음 할 일은 정의 12.3으로 합성을 푸는 것이고, 그러면 손에 남는 등식은 “\(g\)의 값 두 개가 같다”이므로 먼저 쓸 수 있는 가정은 \(g\)의 단사성이다. 그 결과가 다시 “\(f\)의 값 두 개가 같다”이므로 \(f\)의 단사성이 이어 받는다.

풀이. \(f : A \to B\)와 \(g : B \to C\)가 단사라 하자. \((g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)\)라 하자. 정의 12.3에 의해 이는 \(g\big(f(a_1)\big) = g\big(f(a_2)\big)\)이다. \(f(a_1)\)과 \(f(a_2)\)는 모두 \(B\)의 원소이고 \(g\)가 단사이므로 \(f(a_1) = f(a_2)\)이다. 다시 \(a_1\)과 \(a_2\)는 \(A\)의 원소이고 \(f\)가 단사이므로 \(a_1 = a_2\)이다. 따라서 \(g \circ f\)는 단사이다. \(\blacksquare\)

복기. 두 단사성을 쓰는 순서가 강제되어 있다는 점이 이 증명의 요령이다. 안쪽 함수 \(f\)의 단사성을 먼저 쓰려 하면 쓸 등식이 손에 없다. 합성을 다루는 증명은 언제나 바깥 함수부터 벗긴다 — 문제 12와 16에서도 같은 순서다.

문제 9#

접근. 두 무대를 각각 판정하는 문항이다. 대응 규칙 \(n \mapsto 2n\)은 두 무대에서 같으므로, 달라지는 것은 공역뿐이고 따라서 단사 판정은 바뀔 수 없다. 바뀔 수 있는 것은 전사뿐이며, 이것이 §1.2에서 관찰한 무대 조정의 한 방향이다.

풀이.

(무대 \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\)) 단사다: \(f(n_1) = f(n_2)\)라 하면 \(2n_1 = 2n_2\)이고 양변을 2로 나누면 \(n_1 = n_2\)이다. 전사가 아니다: \(b_0 = 1\)로 두자. \(1 \in \mathbb{Z}\)이다. \(2n = 1\)이면 \(n = \frac12\)인데 이는 정수가 아니므로 \(f(n) = 1\)인 정수 \(n\)은 없다.

(무대 \(\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}\)) 공역을 갈아 끼웠으므로 먼저 이 선언이 함수인지 본다 — 모든 정수 \(n\)에 대해 \(2n\)은 짝수이므로 \(f(n) \in 2\mathbb{Z}\)이고, 따라서 \(f : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}\)는 정의 12.1의 두 책임을 만족하는 함수다. 단사는 그대로다 — 위 증명이 공역을 전혀 쓰지 않았기 때문이다. 전사가 새로 성립한다: 임의의 \(b \in 2\mathbb{Z}\)를 잡자. \(2\mathbb{Z}\)의 정의에 의해 \(b = 2m\)인 정수 \(m\)이 존재한다. \(n = m\)으로 두면 \(n \in \mathbb{Z}\)이고(자격) \(f(n) = 2m = b\)이다(사건). 따라서 전사이며, \(f\)는 전단사가 된다. \(\blacksquare\)

복기. 단사 증명이 공역을 한 번도 쓰지 않았다는 관찰이 이 문항의 수확이다. 공역만 바꾸는 무대 조정은 전사 판정에만 영향을 주고, 정의역만 바꾸는 조정은 두 판정 모두에 영향을 줄 수 있다. 다만 공역을 갈아 끼우는 순간 정의 12.1의 “출력이 공역 안에 있다”가 새로 검사 대상이 되므로, 판정에 앞서 그 한 줄을 먼저 적어야 한다. 훈련 3의 (5)가 같은 조정이고 같은 한 줄을 요구한다.

문제 10#

접근. C5주차의 증명 평가 다섯 걸음은 ①(명제 진위)부터 건다. 이 명제는 예제 2.2가 이미 거짓으로 판정했으므로, 붙어 있는 증명은 반드시 틀렸다. 남은 일은 판정 낱말을 적는 것이 아니라 어느 줄이 왜 틀렸는지 지목하는 것이다.

풀이. 판정: 틀림.

걸음 ①에서 이미 걸린다 — 명제 자체가 거짓이다. \(b_0 = -1\)은 공역 \(\mathbb{R}\)의 원소이지만 \(x^2 = -1\)인 실수 \(x\)가 없다(예제 2.2).

결함이 있는 줄은 둘째 줄 “\(x = \sqrt y\)로 두면”이다. 걸음 ④(양화사와 자격)의 위반이며, 구체적으로는 증인의 자격 검증이 빠져 있다. 이 답안은 \(x = \sqrt y\)가 정의역 \(\mathbb{R}\)의 원소인지를 한 번도 확인하지 않았고, \(y < 0\)일 때 \(\sqrt y\)는 실수가 아니므로 그 확인은 채울 수도 없다.

올바르게 고치려면 명제를 고쳐야 한다. 무대를 \(g : [0,\infty) \to [0,\infty)\), \(g(x) = x^2\)으로 조정하면 같은 증인 식으로 자격 검증이 통과하고 명제가 참이 된다(§1.1).

복기. 이 답안이 그럴듯한 이유는 계산이 한 줄도 틀리지 않았기 때문이다. \((\sqrt y)^2 = y\)는 옳고, 사건 검증은 실제로 통과한다. 결함은 계산이 아니라 검증 목록의 빈칸에 있다 — S5주차 §1.6의 반칙 1이 이 자리를 미리 지목해 두었다. 증명 검사는 계산 검사이기 전에 목록 검사다.

문제 11#

접근. 두 집합이 같음을 보이는 문항이므로 두 포함을 각각 논증한다(1권 27주차). 양쪽 모두 소속 조건을 정의 12.5로 풀면 “\(f(a) \in T_1\)이고 \(f(a) \in T_2\)”라는 같은 두 조건이 나오므로, 두 방향의 논증은 같은 줄을 반대로 읽는 일이 된다.

풀이. \(f : A \to B\)이고 \(T_1, T_2 \subseteq B\)라 하자.

(\(\subseteq\)) \(a \in f^{-1}(T_1 \cap T_2)\)라 하자. 정의 12.5에 의해 \(f(a) \in T_1 \cap T_2\)이고, 교집합의 정의에 의해 \(f(a) \in T_1\)이면서 \(f(a) \in T_2\)이다. 앞의 조건에서 다시 정의 12.5에 의해 \(a \in f^{-1}(T_1)\)이고, 뒤의 조건에서 \(a \in f^{-1}(T_2)\)이다. 따라서 \(a \in f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2)\)이다.

(\(\supseteq\)) \(a \in f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2)\)라 하자. 그러면 \(a \in f^{-1}(T_1)\)이고 \(a \in f^{-1}(T_2)\)이므로, 정의 12.5에 의해 \(f(a) \in T_1\)이고 \(f(a) \in T_2\)이다. 곧 \(f(a) \in T_1 \cap T_2\)이고, 다시 정의 12.5에 의해 \(a \in f^{-1}(T_1 \cap T_2)\)이다.

두 포함이 모두 성립하므로 \(f^{-1}(T_1 \cap T_2) = f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2)\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 이 증명의 모든 줄이 동치이므로 두 방향을 “역으로 가역”이라고 한 줄로 줄이고 싶어진다. 그러나 어느 줄이 동치이고 어느 줄이 한 방향뿐인지를 답안이 밝히지 않으면 채점자는 확인할 수 없다. 상 쪽에서는 실제로 한 방향만 성립한다 — \(f(S_1 \cap S_2) \subseteq f(S_1) \cap f(S_2)\) — 는 것이 그 주의의 근거다.

문제 12#

접근. \(f^{-1}\)을 판정 대상으로 삼아 §1.3의 서식 두 개를 그대로 적용한다. 단사 쪽은 \(f^{-1}\)의 값 두 개가 같다는 등식에 \(f\)를 적용하고, 전사 쪽은 임의의 \(a \in A\)에 대해 증인을 \(b = f(a)\)로 잡는다. 두 곳 모두 정의 12.4의 합성 등식이 계산을 끝내 준다.

풀이. \(f : A \to B\)가 전단사라 하자. 핵심 정리 12.1에 의해 역함수 \(f^{-1} : B \to A\)가 존재하고, 정의 12.4에 의해 \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A\)이며 \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B\)이다.

(\(f^{-1}\)이 단사) \(f^{-1}(b_1) = f^{-1}(b_2)\)라 하자. 양변에 \(f\)를 적용하면 \(f\big(f^{-1}(b_1)\big) = f\big(f^{-1}(b_2)\big)\)이고, \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B\)이므로 좌변은 \(b_1\), 우변은 \(b_2\)다. 따라서 \(b_1 = b_2\)이다.

(\(f^{-1}\)이 전사) 임의의 \(a \in A\)를 잡자. \(b = f(a)\)로 두면 \(f\)가 \(A\)에서 \(B\)로 가는 함수이므로 \(b \in B\)이다(자격 검증). 그러면 \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A\)이므로 \(f^{-1}(b) = f^{-1}\big(f(a)\big) = a\)이다(사건 검증).

따라서 \(f^{-1}\)은 단사이고 전사이므로 전단사이다. \(\blacksquare\)

복기. 정의 12.4가 \(f\)와 \(g\)에 대해 대칭이라는 것이 이 결과의 내용이다 — \(g\)가 \(f\)의 역함수라는 조건은 \(f\)가 \(g\)의 역함수라는 조건과 같은 문장이다. 그래서 \((f^{-1})^{-1} = f\)가 따라 나오고, 문제 16이 이 대칭 위에서 돌아간다.

문제 13#

접근. 섬유를 계산한 뒤 분할의 세 조건 — 비공, 서로소, 덮음(C11주차) — 을 하나씩 확인한다. 계산 자체는 정의 12.5를 네 원소에 대입하는 일이라 짧고, 채점은 세 조건이 모두 적혔는지에 붙는다.

풀이. 정의 12.5에 의해 \(f^{-1}(\{a\}) = \{x \in \{1,2,3,4\} : f(x) = a\}\)이다. \(f(1) = f(2) = a\)이고 \(f(3) = f(4) = b\)이므로

\[ f^{-1}(\{a\}) = \{1, 2\}, \qquad f^{-1}(\{b\}) = \{3, 4\} \]

이다. 이 둘이 정의역 \(\{1,2,3,4\}\)의 분할임을 확인한다. ① 비공: \(\{1,2\} \neq \emptyset\)이고 \(\{3,4\} \neq \emptyset\)이다. ② 서로소: \(\{1,2\} \cap \{3,4\} = \emptyset\)이다. ③ 덮음: \(\{1,2\} \cup \{3,4\} = \{1,2,3,4\}\)로 정의역 전체다. 따라서 두 섬유는 정의역의 분할을 이룬다. \(\blacksquare\)

복기. 이 분할이 낳는 동치관계는 C11주차의 핵심 정리(분할 \(\to\) 동치관계)에 의해 “같은 조각에 속함”이고, 여기서 같은 조각에 속한다는 것은 값이 같다는 것이므로 관계는 \(x \sim y \iff f(x) = f(y)\)가 된다. 실제로 \(1 \sim 2\)이고 \(3 \sim 4\)이며 \(1 \not\sim 3\)이다. 함수 하나가 정의역 위에 동치관계 하나를 자동으로 만든다는 §1.6의 문장이 이 예에서 눈으로 확인된다.

문제 14#

접근. 함수가 아님을 보이는 것은 정의 12.1의 두 책임 중 하나가 깨짐을 보이는 일이다. 어느 책임인지 이름을 붙이고, 깨지는 지점을 구체적인 입력 하나로 지목한다. 확인 4에서 두 유형을 이미 분류했다.

풀이.

(a) \(x > 0\)에서 “\(f(x) = \pm\sqrt x\)” — 유일성 위반. \(x = 4\)를 잡으면 이 대응은 \(2\)와 \(-2\) 두 값을 준다. 정의 12.1은 각 입력에 정확히 하나의 출력을 요구하므로 이 대응은 함수가 아니다. 그 결과 \(f(4)\)라는 표기 자체가 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다.

(b) \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)에서 “\(f(x) = \frac1x\)” — 전체성 위반. \(x = 0\)은 정의역 \(\mathbb{R}\)의 원소이지만 \(\frac10\)은 어떤 실수도 아니다. 정의 12.1은 정의역의 모든 원소에 값을 요구하므로 이 대응은 함수가 아니다. 정의역을 \(\mathbb{R} - \{0\}\)으로 조정하면 함수가 된다.

복기. 두 위반은 §1.5의 두 책임 표와 정확히 짝을 이룬다. (a)의 유일성 위반은 단사가 아닌 함수에서 역함수를 만들려 할 때 재연되고, (b)의 전체성 위반은 전사가 아닌 함수에서 재연된다. 함수의 자격 심사와 역함수의 자격 심사가 같은 두 칸을 검사한다는 것이 이 문항의 수확이다.

문제 15#

접근. 양방향 동치이므로 두 증명이 필요하다. (\(\Leftarrow\)) 쪽은 전단사라는 가정에서 함수 \(g\)를 만들어야 하므로 구성법이고, 만든 것이 함수임을 정의 12.1의 두 책임으로 정당화하는 줄이 이 방향의 본체다. (\(\Rightarrow\)) 쪽은 역함수 \(g\)가 손에 있으므로 두 합성 등식을 각각 한 번씩 쓰면 끝난다.

풀이.

(\(\Leftarrow\)) \(f : A \to B\)가 전단사라 하자. 각 \(b \in B\)에 대해 \(f\)가 전사이므로 \(f(a) = b\)인 \(a \in A\)가 존재하고, \(f\)가 단사이므로 그런 \(a\)는 하나뿐이다. 따라서 \(b \mapsto (\text{\)f(a) = b\(인 유일한 \)a\(})\)는 정의 12.1의 두 책임을 모두 만족하며, 이 대응을 \(g : B \to A\)라 하자. 임의의 \(a \in A\)에 대해 \(b = f(a)\)로 두면 \(g(b)\)는 “\(f\)의 값이 \(b\)인 유일한 원소”이고 \(a\)가 그 조건을 만족하므로 \(g(f(a)) = a\)이다. 곧 \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이다. 임의의 \(b \in B\)에 대해 \(a = g(b)\)로 두면 \(g\)의 정의에 의해 \(f(a) = b\)이므로 \(f(g(b)) = b\)이다. 곧 \(f \circ g = \mathrm{id}_B\)이다. 따라서 정의 12.4에 의해 \(f\)는 역함수를 가진다.

(\(\Rightarrow\)) \(f\)가 역함수 \(g : B \to A\)를 가진다고 하자. 곧 \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이고 \(f \circ g = \mathrm{id}_B\)이다. (단사) \(f(a_1) = f(a_2)\)라 하자. 양변에 \(g\)를 적용하면 \(g(f(a_1)) = g(f(a_2))\)이고, \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)이므로 좌변은 \(a_1\), 우변은 \(a_2\)다. 따라서 \(a_1 = a_2\)이다. (전사) 임의의 \(b \in B\)를 잡자. \(a = g(b)\)로 두면 \(g\)가 \(B\)에서 \(A\)로 가는 함수이므로 \(a \in A\)이고(자격), \(f \circ g = \mathrm{id}_B\)이므로 \(f(a) = f(g(b)) = b\)이다(사건). 따라서 \(f\)는 전단사이다.

두 방향이 모두 성립하므로 동치가 확립된다. \(\blacksquare\)

복기. (\(\Leftarrow\)) 방향에서 실제로 일한 것은 §1.5의 두 책임 표 한 장이다 — 전사가 전체성을, 단사가 유일성을 대고 나면 \(g\)가 함수라는 결론이 그냥 나온다. (\(\Rightarrow\)) 방향은 두 합성 등식을 각각 한 번씩만 썼고 순서를 바꿔 쓰면 결론이 뒤바뀐다: \(g \circ f = \mathrm{id}_A\)는 단사를, \(f \circ g = \mathrm{id}_B\)는 전사를 준다. 어느 등식이 어느 판정을 담당하는지가 이 증명의 이식 가능한 부분이다.

문제 16#

접근. 등식을 좌변과 우변으로 직접 계산해 맞춰 보려 하면 길이 없다. 정의 12.4로 되돌린다 — “\(h\)가 \(g \circ f\)의 역함수이다”는 두 합성이 항등함수라는 뜻이므로, \(h = f^{-1} \circ g^{-1}\)에 대해 그 두 합성을 계산하면 된다. 계산이 끝나면 §1.5의 역함수 유일성이 결론을 등식으로 바꿔 준다.

풀이. \(f : A \to B\)와 \(g : B \to C\)가 전단사라 하자. 핵심 정리 12.1에 의해 \(f^{-1} : B \to A\)와 \(g^{-1} : C \to B\)가 존재하므로 \(f^{-1} \circ g^{-1} : C \to A\)가 정의된다. \(g \circ f\)가 전단사라는 것은 여기서 따로 필요하지 않다 — 아래 두 계산이 정의 12.4의 조건을 직접 확인해 주기 때문이다. 두 합성을 계산한다.

\[ (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ \mathrm{id}_B \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A \]

\[ (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ \mathrm{id}_B \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_C \]

(합성의 결합법칙을 썼다 — 세 함수의 합성은 괄호를 어디에 두어도 각 원소에서 같은 값을 주며, 1권 42주차 확인 5와 문제 7이 함수 상등의 세 기준으로 이를 확인해 두었다. 근거 ④.) 두 합성이 각각 항등함수이므로 정의 12.4에 의해 \(f^{-1} \circ g^{-1}\)은 \(g \circ f\)의 역함수다. §1.5에서 본 대로 역함수는 있으면 하나뿐이므로 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)이다. \(\blacksquare\)

복기. 순서가 뒤집히는 이유는 정의역과 공역을 따라가면 보인다. \((g \circ f)^{-1}\)은 \(C\)에서 \(A\)로 가야 하는데, \(C\)에서 출발할 수 있는 것은 \(g^{-1}\)뿐이고 \(A\)에 도착할 수 있는 것은 \(f^{-1}\)뿐이다. 무대만 확인해도 가능한 배치가 하나로 정해진다 — 합성 문항에서 무대를 먼저 적는 습관이 계산보다 먼저 답을 좁혀 준다.

검산. \(A = B = C = \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x\), \(g(x) = x + 1\)로 두면 \((g \circ f)(x) = 2x + 1\)이고 \((g \circ f)^{-1}(y) = \frac{y-1}2\)이다. 한편 \(f^{-1}(y) = \frac y2\), \(g^{-1}(y) = y - 1\)이므로 \((f^{-1} \circ g^{-1})(y) = \frac{y-1}2\) ✓.

문제 17#

접근. 정의역이 \(\mathbb{Z}_5\)이므로 입력은 정수가 아니라 동치류다. 그래서 (a)의 well-defined 검사가 (b)보다 먼저다 — 이 검사가 통과해야 \(f\)가 애초에 함수이고, 함수가 아니면 단사\(\cdot\)전사를 물을 대상 자체가 없다. (b)는 \([2]\)의 곱셈 역원 \([3]\)을 쓰면 증인을 직접 만들 수 있다.

풀이.

(a) well-defined. \([x] = [x']\)라 하자. 합동의 정의에 의해 \(5 \mid (x - x')\)이다. 그러면 \((2x + 1) - (2x' + 1) = 2(x - x')\)이고, \(5 \mid (x-x')\)이므로 \(5 \mid 2(x - x')\)이다. 곧 \([2x + 1] = [2x' + 1]\)이다. 대표원을 무엇으로 고르든 값이 같으므로 \(f\)는 well-defined이며, 따라서 함수다.

(b) 전단사. (단사) \(f([x_1]) = f([x_2])\)라 하자. 그러면 \([2x_1 + 1] = [2x_2 + 1]\)이므로 \(5 \mid (2x_1 + 1) - (2x_2 + 1) = 2(x_1 - x_2)\)이다. 양변의 동치류에 \([3]\)을 곱하면 \([3] \cdot [2] = [6] = [1]\)이므로 \([x_1 - x_2] = [3] \cdot [2(x_1-x_2)] = [0]\), 곧 \([x_1] = [x_2]\)이다. (전사) 임의의 \([y] \in \mathbb{Z}_5\)를 잡자. \([x] = [3(y-1)]\)로 두자. \(3(y-1)\)은 정수이므로 \([x] \in \mathbb{Z}_5\)이다(자격 검증). 그러면

\[ f([x]) = [2 \cdot 3(y-1) + 1] = [6y - 6 + 1] = [6y - 5] = [y] \]

이다 — 마지막 등호는 \(6y - 5 - y = 5(y-1)\)이 5의 배수이기 때문이다(사건 검증). 따라서 \(f\)는 전단사다. \(\blacksquare\)

복기. \(\mathbb{Z}_5\)는 원소가 다섯 개인 유한집합이고, 유한집합에서 자기 자신으로 가는 함수는 단사이면 전사다. 그래서 (b)의 전사 증명은 단사 증명이 끝난 순간 생략할 수도 있다. 무한집합에서는 이 지름길이 막힌다 — 문제 9의 \(f(n) = 2n\)이 단사이면서 전사가 아닌 반례이며, 이 어긋남이 C13주차에서 무한의 크기를 재는 출발점이 된다.

검산. \([y] = [0]\)이면 증인은 \([3(0-1)] = [-3] = [2]\)이고, \(f([2]) = [2 \cdot 2 + 1] = [5] = [0]\) ✓.

문제 18#

접근. 첫 두 줄은 흠이 없다 — 정의 대입과 1의 소거는 옳다. 셋째 줄에서 쓴 함의를 따로 떼어 명제로 적어 보고 그 명제가 참인지 판정한다. C5주차의 증명 평가 다섯 걸음 가운데 ①과 ②가 함께 걸리는 답안이다.

풀이. 판정: 틀림.

걸음 ①에서 이미 걸린다 — 명제 자체가 거짓이다. \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\)로 두면 \(1 \neq -1\)이고 \(f(1) = 1^2 + 1 = 2\)이며 \(f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2\)이므로 \(f(1) = f(-1)\)이다. 곧 \(f\)는 단사가 아니다.

결함이 있는 줄은 셋째 줄 “\(x_1^2 = x_2^2\)이라 \(x_1 = x_2\)”이다. 걸음 ②(논리)의 위반이며, 이 줄이 근거로 삼은 명제 “모든 실수 \(x_1, x_2\)에 대해 \(x_1^2 = x_2^2\)이면 \(x_1 = x_2\)”가 거짓이다 — 반례가 바로 \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\)이다. 제곱은 되돌릴 수 있는 연산이 아니므로 양변에서 제곱을 벗기는 조작이 등식을 보존하지 않는다.

수리하려면 무대를 조정한다. \(\tilde f : [0,\infty) \to \mathbb{R}\), \(\tilde f(x) = x^2 + 1\)은 단사다. 근거는 다음 한 줄이다 — \(x_1, x_2 \ge 0\)이고 \(x_1^2 = x_2^2\)이면 \((x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0\)이고, \(x_1 + x_2 = 0\)인 경우는 둘 다 0이라 결론이 성립하며 그렇지 않으면 \(x_1 - x_2 = 0\)이므로, 어느 경우든 \(x_1 = x_2\)이다. 같은 명제를 1권 19주차 문제 17이 대우로 증명해 두었으므로 근거 ④로 인용해도 된다. 무대를 좁히기 전에는 이 논증의 마지막 갈래가 막힌다는 점이 이 문항의 요지다 — \(x_1 + x_2 = 0\)이면서 둘이 0이 아닌 경우가 실제로 있다.

복기. 문제 10과 이 문항은 결함의 종류가 다르다. 문제 10은 적어야 할 검증을 빠뜨린 것이고(걸음 ④), 이 문항은 거짓 명제를 근거로 쓴 것이다(걸음 ②). 전자는 빈칸이 남은 답안이고 후자는 채워진 칸이 틀린 답안이다. 평가 답안에도 이 구분이 드러나야 한다 — “틀림”이라는 낱말만으로는 두 결함을 구별하지 못한다.

문제 19#

접근. 무대에서 두 점이 빠져 있다는 것이 이 문항의 전부다. 단사 쪽은 두 분수식을 교차곱해 정리하고, 전사 쪽은 역산으로 증인을 만들되 그 증인이 정의역에 속하는지 — 곧 \(1\)이 아닌지 — 를 반드시 확인한다. 제외의 이유는 두 점에서 서로 다르므로 각각 따로 설명한다.

풀이. \(f : \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R} - \{2\}\), \(f(x) = \frac{2x}{x-1}\)이라 하자.

(단사) \(f(x_1) = f(x_2)\)라 하자. 그러면 \(\frac{2x_1}{x_1 - 1} = \frac{2x_2}{x_2 - 1}\)이다. \(x_1 \neq 1\)이고 \(x_2 \neq 1\)이라 두 분모가 0이 아니므로 교차곱할 수 있다:

\[ 2x_1(x_2 - 1) = 2x_2(x_1 - 1) \]

양변을 2로 나누면 \(x_1x_2 - x_1 = x_1x_2 - x_2\)이고, 양변에서 \(x_1x_2\)를 빼면 \(-x_1 = -x_2\), 곧 \(x_1 = x_2\)이다. 따라서 \(f\)는 단사이다.

(전사) 임의의 \(y \in \mathbb{R} - \{2\}\)를 잡자. 연습장에서 \(y = \frac{2x}{x-1}\)을 \(x\)에 대해 풀면 \(y(x-1) = 2x\), \(yx - y = 2x\), \(x(y - 2) = y\), 곧 \(x = \frac{y}{y-2}\)이다. 이 식을 증인으로 제시한다. 자격 검증은 두 가지다. 첫째, \(y \neq 2\)이므로 분모가 0이 아니어서 \(x\)는 실수다. 둘째, \(x \neq 1\)이다 — 만약 \(\frac{y}{y-2} = 1\)이면 \(y = y - 2\)가 되어 \(0 = -2\)라는 모순이 나오기 때문이다. 따라서 \(x \in \mathbb{R} - \{1\}\)이다. 사건 검증:

\[ f(x) = \frac{2 \cdot \frac{y}{y-2}}{\frac{y}{y-2} - 1} = \frac{\frac{2y}{y-2}}{\frac{y - (y-2)}{y-2}} = \frac{\frac{2y}{y-2}}{\frac{2}{y-2}} = \frac{2y}{2} = y \]

따라서 \(f\)는 전사이다. \(f\)는 단사이고 전사이므로 전단사이며, 증인 식이 그대로 역함수다: \(f^{-1}(y) = \frac{y}{y-2}\).

(두 제외의 이유) 정의역에서 \(1\)을 뺀 이유는 \(x = 1\)에서 분모가 0이 되어 값이 정의되지 않기 때문이다 — 정의 12.1의 전체성을 지키기 위한 조정이며, 문제 14(b)와 같은 종류다. 공역에서 \(2\)를 뺀 이유는 \(y = 2\)가 치역에 없기 때문이다 — \(\frac{2x}{x-1} = 2\)이면 \(2x = 2x - 2\)가 되어 \(0 = -2\)라는 모순이 나온다. 공역에 \(2\)를 남겨 두면 전사가 깨지므로, 공역을 치역으로 줄이는 무대 조정을 미리 해 둔 것이다. \(\blacksquare\)

복기. 무대에서 점을 빼는 데에는 서로 다른 두 이유가 있고, 이 문항이 그 둘을 한 함수에 나란히 놓았다. 정의역에서 뺀 점은 그 자리에 값이 없어 정의 12.1의 전체성이 깨지기 때문에 뺀 것이고(문제 14(b)와 같은 자리), 공역에서 뺀 점은 값이 있는데 도달되지 않아 전사가 깨지기 때문에 뺀 것이다. 앞의 것은 함수가 되기 위한 조정이고 뒤의 것은 판정을 통과하기 위한 조정이므로, 답안에서 두 이유를 같은 문장으로 뭉뚱그리면 절반이다. 이 구분이 §1.2 무대 조정의 두 방향과 같은 것이며, 공역을 갈아 끼운 뒤 함수인지 다시 보아야 하는 문제 9\(\cdot\)훈련 3 (5)에서도 같은 구분이 일한다.

검산. \(f(3) = \frac 62 = 3\)이고 \(f^{-1}(3) = \frac{3}{1} = 3\) ✓. \(f(0) = \frac{0}{-1} = 0\)이고 \(f^{-1}(0) = \frac{0}{-2} = 0\) ✓.

문제 20#

접근. (a)는 §1.5의 두 책임 표를 문장으로 푸는 문항이고, 예제 2.3의 어느 줄이 전사에서 오고 어느 줄이 단사에서 오는지를 짚어야 뒷받침이 된다. (b)는 §1.6의 마지막 문단과 문제 13을 잇는 문항이다. 두 문항 모두 분량 제한이 있으므로, 근거가 되는 항목을 먼저 고른 뒤 문장을 짧게 쓴다.

풀이. (예시 답안)

(a) \(f^{-1}(b)\)를 “\(f(a) = b\)인 \(a\)”로 정하려면 각 \(b\)에 그런 \(a\)가 정확히 하나 있어야 하고, S13주차의 분해에 따라 이는 존재와 유일 두 책임이며 존재는 전사가 유일은 단사가 담당한다. 예제 2.3에서 전사 증명이 만든 증인 식 \(\frac{y-1}3\)이 곧 \(f^{-1}\)의 값을 주었고(존재), 단사 증명이 그 값이 유일함을 보장해 \(f^{-1}(y)\)라는 표기가 무엇을 가리키는지 정해졌다(유일). 둘 중 하나라도 빠지면 역산의 결과가 값이 없거나 여러 값이 되어 함수가 되지 못한다.

(b) 함수 \(f\)의 섬유 \(f^{-1}(\{b\})\)들은 정의역을 겹치지 않게 덮으므로 분할을 이루고(문제 13), C11주차의 핵심 정리에 의해 모든 분할은 동치관계를 낳는다. 그 동치관계는 “같은 조각에 속함”, 곧 \(a_1 \sim a_2 \iff f(a_1) = f(a_2)\)이므로, 모든 함수는 자기 정의역 위에 “출력이 같다”는 동치관계를 하나 만든다.

복기. 두 물음의 공통 구조는 “정의가 성립하려면 무엇이 보장되어야 하는가”다. (a)는 역함수라는 정의가 서려면 두 책임이 필요하다는 것이고, (b)는 동치관계라는 구조가 함수에서 공짜로 따라 나온다는 것이다. 서술형 문항의 채점은 결론이 아니라 이 “무엇이 무엇을 보장하는가”의 연결에 붙는다.

다음 주 예고 (C13주차): Chartrand 11.1~11.3 — 기수: 가산과 비가산. 이번 주의 전단사가 무한집합의 크기를 재는 잣대가 된다. 두 집합이 “같은 크기”라는 말이 “둘 사이에 전단사가 존재한다”로 정의되고, 그 정의 위에서 \(\mathbb{Z}\)와 \(\mathbb{Q}\)가 \(\mathbb{N}\)과 같은 크기임이(가산무한) 증명된다. 이어 \(\mathbb{R}\)가 그렇지 않음이 대각선 논법으로 밝혀진다. 문제 9와 문제 17에서 본 어긋남 — 유한집합에서는 단사가 전사를 주지만 무한집합에서는 그렇지 않다 — 이 그 주의 출발점이다. 원서 11.1~11.3을 1일차에 통독하고 온다.